Tarea 3 - Ecuaciones Diferenciales Sadrac Sanhueza Carrasco Universidad de Concepci´ on on 9 de agosto de 2013
1.
Tract ractri riz z
Una persona P que parte del origen se mueve en la direcci´on on positiva del eje X , jalando un peso a lo largo de la curva curva C , llamado llamado Tractriz, ractriz, como se muestra en la figura. Inicialmente el peso se encontraba en el eje y , en (0, s) y es jalado con una cuerda de longitud constante s, que se mantiene tensa durante el movimiento. Determine una ED para la trayectoria C del movimiento. Suponga que la cuerda siempre es tangente a C .
Soluci´ on on Sabiendo que: ← →
Para todo punto C de la Tractriz, la recta P C es tangente a la Tractriz en C La distancia entre el punto P (x p , 0) y el punto C (x, y) es constante e igual as El punto C 0 (0, s) est´a en la Tractriz Sea f la funci´on on Tractriz y para cada x ∈ R y sea y = f (x) ← → Como P C pasa por los puntos C (x, y), P (x p , 0), luego su ecuaci´on on es y − 0 = m (x − x p )
donde m es la pendiente. La pendiente es equivalente a la derivada de f en x, luego y = f (x)(x − x p ) (1)
1
Por el Teorema de Pit´agoras x p = x ∓ (s2 − y 2 )
(2)
con signo (−) si C se mueve en sentido positivo y signo (+) si lo hace en sentido negativo. De (2) en (1), se tiene: y = −f (x)(s2 − y 2 )
(3)
Por lo tanto, la funci´on Tractriz f ser´a la que resuelva la ecuaci´on diferencial (3) y cumpla la condici´on inicial f (0) = s , finalmente: y = −
2.
dy dy −y (x)(s2 − y 2 ) ⇐⇒ = 2 dx dx s − y2
Superficie Reflectora
Suponga que cuando la curva C que se muestra en la figura se gira respecto al eje X genera una superficie de revoluci´on, con la propiedad de que todos los rayos de luz paralelos al eje X que inciden en la superficie son reflejados a un solo punto 0 (el origen) utilice el hecho de que el a´ngulo de incidencia es igual al ´angulo de reflexi´ on para determinar una ED que describa la forma de la curva C .
Soluci´ on
Supongamos que la curva C gira con respecto al eje X y la recta que pasa por el punto (x, y ) es tangente a la curva C . Como el ´a ngulo de incidencia es igual al ´angulo de reflexi´on, se tiene que 2θ + α = π
2
Luego tan α =
cat.op. y 2tan(θ ) = = tan(π − 2θ ) = − tan(2θ) = − cat.ady. −x 1 − (tan x)2
Luego, haciendo un cambio de variable, y = tan x As´ı,
y 2y = ⇐⇒ y − y (y )2 = 2 xy ⇐⇒ y (y )2 + 2xy − y = 0 2 x y 1−( )
Usando la f´ormula cuadr´atica se tiene y =
Como
dy dx
−2x ±
4x2 + 4y 2 −x ± x2 + y 2 = y 2y
> 0, la ecuaci´ on diferencial de la curva C es
dy −x + x2 + y 2 = dx y
3