UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.
CALCULO AVANZADO:
SERIES DE FOURIER:
Ejercicios resueltos y propuestos. Prof. Jorge Inostroza L.
1.- Hallar el período de la función: f ( x)
Sen(
2S )x . ba
Solución:
Si Sen(
2S )x ba
Sen u Sen u Sen(u 2S ) Si T es el período
2S )x ba
Sen(
Sen(
2S T ba Por ejemplo si f ( x)
2S ( x T )) ba 2S Sen(
Sen(
a bien T
2S 2S x T) ba ba
Sen(u 2S ) ?
(b a) el período buscado.
3S ) x y como f ( x) 5
Sen
10 2S . el período será 10 3 3
2.- Probar que si f (x) ,tiene período p; f (D x) tiene período
p
D
.
Solución:
f (D x)
f (D ( x T ))
f (Dx p) DT
pó T
x Del mismo modo entonces f ( ) tendrá período T
E
el período de Sen
2S x será T ba
2S
p
D
.
pE (Basta cambiar D por
1
E
).Entonces
ba o sea b-a. 2S
1
Y el período de Cos
Sx
2S
será
l
S
2l .
l
3.- Pruebe que la función :
f ( x)
1 1 Sen x Sen 3x Sen 5 x , es de período 6S 3 5
Solución.
Sen x , tiene periodo 2k1S 2k 2S Sen 3x “ “ 3 2k 3S Sen 5 x “ “ haciendo k1 5 Y por lo tanto la función dada.
4.- Pruebe la ortogonalidad de la base:
3 k2
9 y k3
15 cada una será de período 6S .
^1; Cosx; Senx;.....................Coskx; Senkx............... `
Solución: S
1 $ Coskx
³ Coskxdx
0
S
S
1 $ Senkx
³ Senkxdx
0
S
S
Cos nx $ Sen mx
³ Cosnx Sen mxdx
........
0
.......
0
........
0.
S
S
Cos nx $ Cos mx
³ Cos nx Cos mxdx
S
S
Sen nx $ Sen mx
³ Sen nx Sen mxdx
S
5.- Si la función : f (t ) D m enteros tal : E n
CosD t Cos E t es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n
Solución.
2
CosD t
Cos D (t p ) D p
2mS
Cos E t
Cos E (t p) Ep
2nS . Luego el cuociente
6.- Pruebe que la función f (t )
D E
m . n
Cos (10t ) Cos (10 S )t , no es periódica.
Solución.
10 10 S esto no es posible pues el primer miembro es un entero . Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos:
m n
10(m n)
S
7.- Pruebe que la función : f (t ) 10 2 Cos 2 t , es de período S . Solución.
1 Cos 2t 1 f (t ) 10 2 ( ) = 50(1 Cos 2t ) , Como Cos 2t tiene período 2S , la función lo es. 2 2
8.- Encontrar el período de la función: f (t )
t t Cos Cos . 3 4
Solución.
t 3 t Cos 4
Cos
es de período 6S es de período 8 S , luego ambas lo son de período 24 S
9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:
f ( x)
0 ° ®S / 2 °0 ¯
S x 0 0 x dS /2 S /2 x S
3
Solución. 1
Los coeficientes serán: a 0 ak
bk
1
S
1
S
S
S
³S
1
f ( x)Coskxdx
³
S
S
³S
S /2
1
f ( x) Senkxdx
0
S /2
S
³ 0
S
³S
f ( x)dx =
S 2
S 2
1
S /2
S
³S
S 2
dx =……….=
S 4
.
S 1 Senk = 2k 2
Coskxdx
..........
Senkxdx
1 ° 2k ........k impar ° S °1 1 .......... (1 Cosk ) = ® ......k 2,6,10,14... 2k 2 °k °0 .......k 4,8,12,16 ° ¯
10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función: f ( x)
S x...... S d x d 0 ® ¯ x..............0 d x d S
Solución.
Como lo muestra el gráfico es una función par luego su Serie será : f a0 ¦ a k Coskx , con a 0 2 1
ak
2
S
S
³ xCoskxdx 0
S
La S de F será:
2
f
2¦ 1
2
S
S
³ xdx
S
0
1 ........ 2 (CoskS 1) k
0........k par ° ® 2 °¯ k 2 ....k impar
Cos (2k 1) x (2k 1) 2
11.- Si f(x) = Cos ( D x ), S d x d S ; D una constante no entera. Probar que a partir de su Serie de Fourier.
S Sen DS
2D (
1 2D
2
1 1 1 2 2 ............) 2 D 1 D 2 D 32 2
4
Solución.
Se trata de una función par ,luego bk ak
S
S
0
0
0y
1
a0
S
S
³S Cos D xdx
2
DS
Sen DS
1 Cos D x Cos kxdx = ³ Cos (D k ) x Cos (D k ) x dx ³ S S 2
S
ak
1 § Sen(D k ) x Sen(D k ) x · ¸ ¨ S © D k D k ¹0
1 § Sen(D k )S Sen(D k )S · ¸ ¨ S © D k D k ¹
ak
1 § SenDS CoskS SenDS CoskS · 1 SenDS ¨ ¸= S© D k D k S ¹
ak
2D 1 D 2 k 2 S SenDS .
k
1 · § 1 ¨ ¸ ©D k D k ¹
k
Luego la representación quedará: SenDS
CosD x
DS
f
¦ 1
2D (1) k SenDS S (D 2 k 2 )
SenDS § 1 (1) k Coskx · ¨¨ 2D ¦ ¸ ; si x = 0 S ©D (D 2 k 2 ) ¸¹
§ 1 (1) k · ¸. 2D ¨¨ 2 ¦ 2 (D k 2 ) ¸¹ © 2D
S SenDS
12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función
f ( x)
0 ® ¯x
S x 0 0 x S
Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que:
S2 8
f
1
¦ (2k 1)
2
.
1
Solución.
Fig.
5
a0 f ¦ a k Coskx bk Senkx ; donde : 2 1 0..............k ..... par S 1 1 ° (CoskS 1) ® 2 xCoskxdx 2 ³ S 0 Sk °¯Sk 2 ...........k ....impar
La serie debe ser de la forma: 1
S
xdx S³
a0
0
1
S
ak
2
S
xSenkxdx S³
bk
0
f ( x)
S 4
2
¦ S
1 (1) k 1 . Luego la representación será: k
Cos (2k 1) x (1) k S + Senkx . 2k (2k 1) 2
En x = 0 la serie converge al valor de la función, por ser continua 0
S 4
S2 1 ¦ S 1 (2k 1) 2 8 2
f
Sin embargo en x
f
1
¦ (2k 1)
2
.
1
S converge al valor promedio de los limites laterales o sea a
S 2
y el
resultado es el mismo.
Fig
13.- Hallar la Serie de Fourier parta la función f ( x)
x ® ¯S x
S / 2 x S /2 . S / 2 x 3S / 2
Solución.
Fig.
Aquí el intervalo es (S / 2,3S / 2) por lo que la serie debe tener la fórmula más general aunque (b-a) = 2 S , luego será de la forma. 6
S /2
1§ ¨ xdx S ¨© S³/ 2
a0 ¦ a k Coskx bk Senkx , siendo a 0 2 1
ak
S
S /2
(
³
3S / 2
xCoskxdx
S / 2
S =
S /2
(
³
3 S k2
0
/2
³ xCoskxdx )
=0
S /2
3S / 2
xSenkxdx
S / 2
·
(S x)dx ¸¸ = ³ S ¹
3S / 2
SCoskxdx
S /2
1
bk
³
3S / 2
³
3S / 2
SSenkxdx
S /2
³ xSenkxdx )
=
S /2
(1) k 1 ........k impar 1 0................k impar ® ® 2k ¯(1)k .........k par ¯0................k par
Luego la serie de Fourier para esta función queda: 3(1) k
¦ S (2k 1)
Sen(2k 1) x 2
(1) k Sen2kx. 4k
Observación.
Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en S / 2 se transforma en una función par cuya serie no es la misma.
14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función:
f ( x)
1 / 2 x................0 d x d 1 ® ¯ x 3 / 2...............1 x d 2
Fig.
Solución. a) Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma:
a0 ¦ a k Cos kSx bki Senk Sx , 2
7
2
³
con a 0
1
f ( x)dx
0
2
³ (1 / 2 x)dx ³ ( x 3 / 2)dx 0 0
1
ak
0...........k par ° ³0 (1 / 2 x)CoskSx dx ³1 ( x 3 / 2)Cos kSx dx =……… ® 4 ....k impar °¯ k 2S 2
bk
0...........k par ° ³0 (1 / 2 x)Sen kSx dx ³1 ( x 3 / 2)Sen kSx dx =……….. ® 3 ......k impar °¯ kS
1
2
1
2
Así la S de F quedará: 4
S
2
¦
Cos (2k 1)kSx 3 Sen(2k 1)kSx ¦ (2k 1) S (2k 1) 2
b) La extensión par de la función hace que la Serie sea
:
a0 kS ¦ a k Cos x con (b-a) = 4 2 2 2
Donde a 0 1
ak
2
1 2 ³ f ( x)dx 20
1 kS 2 ³ f ( x)Cos xdx 20 2
0 y ak
1
2
2
kS kS kS kS 1 3 ³0 2 Cos 2 x dx ³0 xCos 2 x dx ³1 xCos 2 xdx 2 ³1 Cos 2 xdx =
…………………….=
La Serie:
16
S2
16 k 2S 2
si
.k
2,6,10..........(4k 2) .
(4k 2)S x 2 .(¿) (4k 2) 2
Cos
¦
15.- Sea la función f ( x)
Senx
a) determine el período. b) Pruebe que es par
c) encuentre la S de F. en > S / 2, S / 2@.
Fig.
8
Solución. Sen ( x S )
SenxCosS CosxSenS
Senx , período S , que el gráfico
Senx
también confirma.
b) Sen( x)
Senx
2
2
S
par.
a0 ¦ a k Cos 2kx ; pues el intervalo es de magnitud S ,donde 2
c) La S de F. será :
a0
Senx
S /2
1
³ Sen xdx
S
0
ak
1
S
S /2
³
2k quedando . S (4k 1).
Senx Cos 2kxdx
0
1 2 kCos 2kx ¦ . Como la serie pedida. 2S S (4k 1)
16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período 4l e impar respecto a la recta x l .Determinar que su Serie de Fourier para f(x) está dada por:
f
¦a
2 n 1Cos
1
(2n 1)S x con 2l
l
a 2 n 1
2 (2n 1)S x f ( x)Cos ³ 2l l 0
Fig.
Solución.
bn
0
a0
1 f ( x)dx 2l ³2l
2l
2l
2l
1 f ( x)dx . Pero ³ f ( x)dx l ³0 0
l
³ 0
2l
f ( x)dx ³ f ( x)dx l
l
l
= ³ f ( x)dx ³ f ( x)dx 0
0
0
9
2l
an
1 nS x f ( x )Cos ³ 2l l 0
l
1 nS x ® ³ f ( x )Cos 2l l ¯0
2l
³ f ( x )Cos l
nS ½ x ¾ Si x 2l ¿
an
0 l ½ 1 nS nS x ³ f (u )Cos (u )(du ) ¾ ®³ f ( x)Cos 2l 2l l ¯0 ¿ l
an
l 0 ½ 1 nS nS x ³ f (2l x)Cos (2l x)( dx) ¾ ; f (2l x) ®³ f ( x)Cos 2l 2l l ¯0 ¿ l
an
1 ® l¯
l
³ 0
f ( x)Cos
2l u .
f ( x)
l nS nS nS nS nS ½ ½ dx ³ f ( x)® Cos x Sen 2lCos 2lSen x ¾dx ¾ 2l 2l 2l 2l 2l ¿ ¿ ¯ 0
l l ½ 1 nS nS an x dx + ³ (1) n 1 f ( x)Cos x dx ¾ ®³ f ( x)Cos 2l l ¯0 2l ¿ 0 si n par 0 l 2 (2n 1)S ° l a f ( x)Cos dx an = ® 2 ? nS 2 n 1 ³ l 0 2l ° l ³ f ( x)Cos 2l dx si n impar ¯ 0
a0 f ¦ (a k Coskx bk Senkx) , la Serie de Fourier de f(x).Si g ( x) f ( x S ) , 2 1 a mostrar que la Serie de Fourier de g(x) es 0 ¦ (1) k (a k Coskx bk Senkx) 2 17.- Sea
Solución.
Fig
Nótese que el gráfico de g(x) se obtiene desplazando el de f(x) a la derecha en S ,entonces:
Si g ( x)
A0 ¦ Ak Coskx Bk Senkx 2
donde 0
pues S x S S
10
A0
A0
1
S 1
S
2S
³ g ( x)dx 0
1
S
2S
0
S
³
f (u )du
a0
S
1
0
1
S
S
2S
S
³ f ( x S )Coskxdx 0
³ f (u )Cos(u S )du
S
S
³ f (u )^Cos(u )Cos S Sen uSen S `du
S
S
³S f (u )Cos(u )CosS du = S ³S (1)
1
S
1
Ak
Ak
³ g ( x)Coskxdx
S
S
S
2S
1
Ak
Ak
1
S u S , luego
si hacemos u= x S
³ f ( x S )dx ,
k
f (u )Cos (u )du
(1) k a k .
Igualmente para Bk .
18.- Sea t R y f ( x)
Cos (tSenx).
a) Probar que f(x) es par y de período S b) Escriba los coeficientes y la Serie de Fourier si x >0, S @ c) Probar que para a 0 (t ) se tiene : ta 0 ' ' a 0 'ta 0
0.
Solución.
f ( x)
Cos (tSen( x)
¿ f ( x)
f (x S ) ?
f (x S ) 2
b) a 0 bk
S 2
S
x > S ; S @
f ( x)
a) f ( x) par sii f ( x)
Cos (tSen( x))
Cos(tSen( x S ))
Cos (t ( Senx))
S
³ Cos(tSenx)dx
Cos (tSenx) luego es par.
ak
0
2
S
Cos(tSenx)
Cos (tSenx)
f ( x).
S
³ Cos(tSenx)Cos 2kxdx 0
S
³ Cos(tSenx) Sen2kxdx. 0
11
c) Si a 0 (t )
2
S
S
2
³ Cos (tSenx)dx a'0 (t )
S
S ³0
0
( Sen(tSenx)) Senxdx
2
S
Cos (tSenx) Sen S³
a ' ' 0 (t )
2
xdx.
0
Luego: ta ' ' 0 a ' 0 ta 0
2
S
^ tCos (tSenx) Sen S³
2
x Sen(tSenx) Senx tCos (tSenx ) `dx .
0
Pero como: Si u Sen(tSenx) du Cos (tSenx) tCosxdx dv Senxdx v Cosx Entonces: S
S
³ Sen(tSenx) Senxdx 0
Sen(tSenx) Cosx ³ tCos (tSenx ) Cos 2 xdx 0
S
³ tCos (tSenx) Cos
2
xdx
0
Reemplazando se cumple.
19.- Si f ( x) e x 0 d x d 2 . Obtener la Serie de Fourier de g(x) ,función par de período 8 tal que g(x) = f(x) en 0 d x d 2.
Solución.
Fig.
Hacemos g(x) como la extensión par de la función f(x) extendida al 0 d x d 4 f e ( x)
e x ® ¯0
0d xd2 2 xd4
Así g(x) es la extensión par de f e (x) , por lo tanto: g ( x)
a0 kS kS ¦ a k Cos x bk Sen x; 2 4 4
12
4
Con a 0 2
1 x kS e Cos xdx ³ 20 4
ak
2
1 f ( x)dx 2 ³0
1 x e dx 2 ³0
1 2 (e 1) 2
8e 2 ........... 16 k 2S 2
(1) k 1 ° ® k 1 kS °(1) 4 ¯
k par k impar
20.- Probar la relación de Parseval: p
1 f 2 ( x)dx ³ p p
2
a0 2 2 ¦ (a k bk ) . 2
Solución.
a0 kS kS ¦ a k Cos x bk Sen x 2 p p
Si f ( x) SC > p; p @ y f ( x)
p
³f
f ( x) $ f ( x)
2
( x)dx
p
a0 kS kS (1 $ f ) ¦ a k (Cos x $ f ) bk ( Sen x$ f ) 2 p p
p
Pero 1 $ f
³ f ( x)dx
f $ Cos
pa0
p
p
³f
2
( x)dx
p
kS x p
pa k
f $ Sen
kS x p
pbk
° a 0 2 2 2 ½ p® ¦ a k bk ¾ °¯ 2 ¿
21.- Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en >0,2@ y mediante la relación de Parseval, probar que :
S2 96
f
1
¦ (2k 1)
4
.
1
Solución.
Haciendo la extensión par de f(x) a > 2;2@
13
2
2
³ xdx
a0
kS 1 xCos xdx ³ 20 2
ak
2
0
p
2
Aplicando Parseval:
2 ³ x dx
2
2
a0 2 ¦ ak 2
k par 0 ° 8 ® °¯ k 2S 2 k impar
16 1 ? ³ f 2 ( x)dx 3 p p
S4 4 64 ¦ 4 96 2 S (2k 1) 4
8 y 3
1
¦ (2k 1)
4
22.- Si a k y bk son los coeficientes de Fourier para f(x) .Entonces:
lim a k k of
lim bk k of
0
Solución. p
1 Siendo: f 2 ( x)dx ³ p p
a0 2 2 ¦ (a k bk ) y que la serie es convergente, entonces su 2 2
2
termino general tiende a cero o sea lim (a k bk ) k of
0 a k o 0 bk o 0.
Ejercicios propuestos. 1.- Escribir la Serie de Fourier de las funciones:
x
e S d x d S b) f ( x) SenSx 0 x 1 x S S x 0 Graficar la extensión periódica d) f ( x) c) f ( x) ® ¯x S 0 d x d S
a) f ( x)
ex
-1
S x 0
e) f ( x)
0 ° ®S / 2 °0 ¯
0 x S /2 S /2 x S
f) f ( x)
0 ® ¯x
S x 0 Graficar su extensión periódica y evaluar en x = 0 0 x S
14
2.- Si f ( x) 1 x f
serie numérica:
1 d x d 1 ,hallar su Serie de Fourier y deducir la convergencia de la 1
¦ (2k 1)
2
1
3.- Determinar la Serie de Fourier para la función f ( x)
4 d x d 4 con ello deducir
x
la convergencia numérica del ejercicio anterior.
4.- Desarrollar en serie de cosenos la función f(x)= Sen x y analizar su convergencia para x = 0.
5.- Desarrollar en Serie de Fourier f(x) = x 2 S2 1 ¦ 16 k2
6.- Dada la función de impulso unitario: f ( x)
¿Cuál es el valor de la serie si a) x
0 d x d 2S , y con ello pruebe que
° 1 ° ° ®1 ° ° °¯ 1
S d x d 0 0 x
kS b) x= (2k 1)
S 2
S 2
S 2
d xdS
,k Z ?
15
CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIER. Ejercicios resueltos y propuestos. 0 ° ®1 / 2 °e x ¯
1.- Encontrar la integral de Fourier para la función: f ( x)
x 0 x
0
x!0
Solución.
Si la integral converge, escribimos: f ( x)
1
S
f
³ ^A(w)Coswx B(w)Senwx`dw donde : 0
f
A( w)
³
f
f (v)Cos ( wv)dv
³ f (v)Sen(wv)dv
B( w)
f
f
f
A( w)
v ³ e Cos(wv)dv
0
f
B ( w)
v ³ e Sen(wv)dv
0
1 e v (Coswv wSenwv ) f = 2 0 1 w 1 w2 e v ( Senwv wCoswv ) f 0 1 w2
f
f ( x)
1 Coswx wSenwx S dw Si x = 0 2 ³ 2 S 0 1 w f
Senw 2.- Demostrar que : ³ Coswxdw S 0 w 1
f
w Luego: 1 w2 1
³1 w
2
dw
0
0 d x 1 x 1 x !1
1 / 2 ° ®1 / 4 °0 ¯
Solución.
La integral corresponde a una función par puesto que B ( w) función extendida par: f ( x)
Así A( w)
2 ³ 1 / 2Coswvdv 0
1 / 2 ° ®! / 4 °0 ¯
0 , luego consideremos la
0 d x 1 x 1 x !1
Senw f ( x) w
f
1 senw Coswxdw S ³0 w
16
3.- Demostrar que: f
1 SenSw Senwxdw S ³0 1 w 2
x S
1 / 2 Senx ® ¯0
x !S
.
Solución.
La integral representa a una función impar, pues A( w) 1 / 2Senx ® ¯0
considerar la extensión impar : f i ( x)
S d x d S x !S S
f
De ese modo A( w)
0
y
B ( w)
³
³ 1 / 2SenvSenwvdv
f (v) Senwvdv
S
f
S
S
³ SenvSenwvdv
B ( w)
SenSw , luego debemos 1 w2
0 y B ( w)
0
1 Cos (1 w)v Cos(1 w)v dv 2 ³0
B ( w)
S½ 1 1 1 Sen(1 w)v Sen(1 w)v ¾ ® 0¿ 2 ¯1 w 1 w
B ( w)
1 ^(1 w) Sen(1 w)S (1 w) Sen(1 w)S ` 2(1 w 2 )
SenwS 1 w2
f
Así
f i ( x)
1 SenwS Senwxdw S ³0 1 w 2
y corresponde con f(x) si x (0, S )
4.- Representar mediante una integral de Fourier del tipo
f ( x)
x ° ®2 x °0 ¯
1
S
f
³ A(w)Coswxdx a la función: 0
0 x 1 1 x 2 x!2
Solución .
Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensión de la función dada. Así f
A( w)
2³ f (v)Cos ( wv)dv 0
2 ½ 1 2®³ vCos( wv)dv ³ (2 v)Cos ( wv)dv ¾ usando tablas. 1 ¿ ¯0
17
A( w)
2Cosw Cos 2w 1½ 2® ¾ y por lo tanto: w2 ¯ ¿ f
2 2Cosw Cos 2 w 1 ® S ³0 ¯ w2
f ( x)
½ ¾Coswxdw ¿
5.- Si f(x) es una función par con su integral f ( x)
que:
1
x 2 f ( x)
S
1
S
f
³ A(w)Coswxdw .Demostrar 0
f
³ A * (w)Cos(wx)dw
donde A * ( w)
0
d 2 A( w) dw 2
Solución.
Como x 2 f ( x) 1
f ( x)
dA dw
S
1
S
f
³ A * (w)Cos(wx)dw
pues es una función par y como
0
f
f
³ Cos(wx)dw
con
2³ f (v)Cos ( wv )dv Entonces
A( w)
0
0
f
d2A dw 2
2 ³ vf (v) Sen( wv )dv 0
f
2 ³ v 2 f (v)Cos ( wv )dv , comparando con 0
f
2 ³ v 2 f (v)Cos ( wv )dv A * ( w)
A * ( w)
0
d 2 A( w) . dw 2
Observación:
Para representar la función: f ( x)
f ( x)
1 ® ¯0
g ( x)
0 x a x!a
Consideramos la extensión par de
0 x a y aplicamos lo anterior en que A( w) x!a
1
2Senwa w
f
S ³0 f ( x) Senx .
6.- Sea f ( x)
x 2 ® ¯0
B ( w) Sen( wx )dw . Hallar la integral de Fourier de la función
Solución.
18
1
Como f(x) es una función impar, g(x) es par ,luego: I g f
A( w)
f
2 ³ g (v)Cos ( wv )dv
0
f
³ f (v)Sen(1 w)vdv
0
0
³ f (v)^Sen(1 w)v Sen(1 w)v`dv
0
f
³ A(w)Cos(wx)dw donde
f
2 ³ f (v) SenvCos ( wv )dv
0
A( w)
S
f
1 ^B( w 1) B( w 1) `.Luego 2
³ f (v)Sen(1 w)vdv 0
bastaría con conocer el coeficiente B(w). 7.- Si f(x) es una función par con integral: f ( x) 1
f
1
S
f
³ A(w)Cos(wx)dw. Entonces 0
§ dA ·
¨ ¸Sen( wx )dw . S ³ © dw ¹
xf ( x)
0
Solución
Para xf ( x)
1
S
f
f
³ B * (w)Sen(wx)dw donde B * (w) 0
f
dA dw
0
1
8.- Probar que si f ( x)
f
³f
0
f
2 ³ vf (v)( Senwvdv pues A( w)
2
2 ³ vf (v) Sen( wv )dv .Pero como
( x)dx
f
1
S
2
0
dA . dw
f
³ A(w)Cos(wx) B(w)Sen(wx)dw . Entonces se cumple: 0
f
A S³
2 ³ f (v)Cos ( wv )dv B * ( w)
( w) B 2 ( w) dw.
0
Solución. f
f$f
³
f 2 ( x)dx
f
1
S 1
f
³ A(w)^Cos(wx) $ f ` B(w)^Sen(wx) $ f `dw 0
f
^A S³
2
( w) B 2 ( w) `dw .
0
9.- Aplicando lo anterior probar que: f
S Sen 2 (aw) ³f w 2 dw a . 19
Solución.
S
Si tomamos: f (x)
a d x d a , función par
a
a 2S 2S Sen( wa ) ? A 2 ( w) Sen( wv ) = 0 w w
2 ³ SCos ( wv )dv
entonces: A( w)
0
a
a
Por otra parte: ³ f 2 ( x)dx a
1
Luego: 2aS 2 f
Sa
S
4S 2 Sen 2 ( wa ) w2
³S
2
dx
2 aS 2
a
f
f
2 ³ A (w)dw 0
1 4S 2 Sen 2 ( wa ) aS dw ? 2 ³ S 0 2 w
Sen 2 ( wa ) ³0 w 2 dw o bién
2
Sen ( wa ) dw w2 f
³
f
10.- Probar que : x
2 Sen( wS ) SCos ( wS ) ½ ® ¾Sen( wx )dw S ³0 ¯ w 2 w ¿
0 x S
Solución.
Como se puede apreciar se trata de una función impar o sea f ( x)
1
? f ( x)
S
x S x !S
f
³ B(w)Sen(wx)dw donde 0
f
B ( w)
° x ® °¯0
2 ³ vSen( wv )dv 0
2S 2 Cos ( wS ) 2 Sen( wS ) ? w w
f
f ( x)
x
2 Sen( wS ) Cos ( wS ) ½ ® ¾Sen( wx )dw w S ³0 ¯ w 2 ¿
11.- Utilizar la función: f ( x) f
1 w ³0 (1 w 2 ) 2 Cos(wx)dw
xe x f
x t 0 , para deducir que 2w
³ (1 w 0
2 2
)
Sen( wx )dw .
Usar además esta igualdad y la convergencia para deducir que: f
dw ³0 (1 w 2 ) 2
f
w 2 dw ³0 (1 w 2 ) 2 .-
20
Solución. a) Considerando la extensión par de la función dada: f p ( x) f
2³ ve v Cos ( wv )dv
0
1
f
S
f
³ A(w)Cos(wx)dw 0
f
2 ³ f p (v)Cos ( wv )dv
con: A( w)
1
............
0
(1 w 2 ) (1 w 2 ) 2
2
(1 w ) Cos ( wx )dw . 2 2 )
S ³ (1 w
f p ( x)
0
b) Considerando la extensión impar de la función dada. f i ( x) f
donde B ( w)
2 ³ ve v Sen( wv )dv
.............
0
f i ( x)
1
f
2w
S ³ (1 w
2 2
0
)
1
S
f
³ B(w)Sen(wx)dw 0
2w luego (1 w 2 ) 2
Sen( wx )dw
Entonces ambas funciones coinciden en x>0 o sea son iguales las integrales.
f
(1 w 2 ) ³0 (1 w 2 ) 2 Cos(wx)dw
f
f
0
(1 w 2 ) En a) si x = 0 ³ dw S 0 (1 w 2 ) 2 1
2w
³ (1 w
2 2
)
Sen( wx )dw
f
dw 0?³ 2 2 0 (1 w )
f
w 2 dw ³0 (1 w 2 ) 2
21
Ejercicios propuestos.
1.- Sea: f ( x)
xe
2.- Sea f ( x)
°1 ® °¯0
f
y que
³ 0
x
. Pruebe que: A( w)
x 1 x !1
B( w)
0
Verifique que B ( w)
4w S (1 w 2 ) 2
0
A( w)
2 Senw Sw
2 Senw Cos ( wx)dw converge a ½ si x =1 ó x = -1. Sw
3.- Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en cada punto. a) f ( x)
c) f ( x)
° x ® °¯0 1 / 2 ° ®1 °0 ¯
x S x !S 5 d x 1 1d x d 5
b) f ( x)
°k ® °¯0
d) f ( x)
xe
x 10 x ! 10 x
x !5
4.- Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y de Cosenos para: a) f ( x)
x 2 ® ¯0
5.- Para f ( x)
0 d x d 10 x ! 10
e kx;
6.-Si f ( x) e x Cosx de Cosenos.
b) f ( x)
0dxd5 Cosh( x) ® x!5 ¯0
x ! 0 , Hallar las Integrales de Senos y de Cosenos. x t 0 Hallar la integral de Fourier, además la de Senos y la
22
