UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE ECONOMÍA CARRERA DE ESTADISTICA MUESTREO 1 DOCENTE: ING. CARDENAS RESUMEN RESUM EN DE LA MATERIA MATERIA DE 1 Y 2 EMI SEMESTRE
MISHELL TREJO AULA 28
2016
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ESTIMADORES DE LA MEDIA EJERCICIO 1 Para medir la variable X nivel de precipitación atmosférica en una determinada región disponemos de un marco de 4 zonas climáticas de la misma cuyos niveles de precipitación actual son de 6, 4, 3, y 8 decenas de litros por metro cuadrado !e trata de estimar en decenas de litros por metro cuadrado el nivel actual medio de precipitación atmosférica en la región e"trayendo muestras de tama#o $ sin reposición y sin tener en cuenta el orden de colocación de sus elementos utilizando el estimador media aritmética de la muestra !e supone %ue todas las zonas climáticas tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas &specificar el dise#o muestral y las estimaciones correspondientes para cada muestra Para este e'emplo se tiene una población de 4 unidades ( )*u+, u$, u3, u4 %ue corresponde a cada una de las regiones %ue conforma la población -enotamos por X la variable .nivel de precipitación/ y sea Xi el valor %ue toma la variable X sobre la unidad ui con i ) +, $, 3, 4 &l procedimiento de muestreo considerado consiste en e"traer muestras de tama#o $ sin reposición y sin tener en cuenta el orden de los elementos Por lo tanto, el dise#o muestral para este estudio de muestreo viene dado por 0!, P 0122 donde ! ) *0u+, u$2, 0u+, u32, 0u+, u42, 0u$, u32, 0u$, u42, 0u3, u42, y P0s2 ) +6 para todo s $ ! Para estimar el parámetro poblacional Ẋ)
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5Xi
&l problema considera el estimador media muestral Ẋ)
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os valores %ue toma este estimador sobre cada una de las muestras se representa en la siguiente tabla ! p0s2 X0s2 b7X 0u+, u$2 +6 06,42 0u+, u32 +6 06,32 4 0u+, u42 +6 06,82 9 0u$, u32 +6 04,32 3 0u$, u42 +6 04,82 6 0u3, u42 +6 03,82 EJERCICIO 2 &n una población de : ) +; unidades se encuentran estas formando 4 subcon'untos <0i2 i ) +, $, 3, 4 os valores de una caracter=stica X medida sobre los elementos de la población se presenta en la siguiente tabla ad'unta <0i2 <0+2
<0$2 <032 <042
2
X
+, $,3 4 6 >,++ $, $,
!e considera un procedimiento de muestreo %ue consiste en elegir cada subcon'unto <0i2 con probabilidades proporcionales a sus tama#os !e considera el estimador b ?+ .media aritmética de los muestra/ para estimar la media poblacional y se considera el estimador b ?$ .total de los elementos de la muestra/ para estimar el total poblacional &specificar el dise#o muestral y las distribuciones de probabilidades en el muestreo de los estimadores b ?+ y b ?$
ESTIMADORES DE PROPORCIONES EJERCICIO 1 !uponga %ue se cuenta con un lote de +$ piezas, el cual tiene 4 art=culos defectuosos !e van a seleccionar art=culos al azar de ese lote sin reemplazo @amos a generar la distribución muestral de proporciones para el nAmero de piezas defectuosas Bomo se puede observar en este e'ercicio la proporción de art=culos defectuosos de esta población es P ) 4+$)+3 Por lo %ue podemos decir %ue el 33C de las piezas de este lote están defectuosas &l nAmero posible de muestras de tama#o a e"traer de una población de +$ elementos es +$B)9>$, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera
Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendr=a %ue Dacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y dividirla entre el nAmero total de muestras &sto es Ep )00;8 ⋅ 82 F 0;6 ⋅++$2 F 0;4 ⋅ 3362 F 0;$ ⋅ $8;2 F 0; ⋅ 6229>$ ) ;333 Bomo podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la proporción de la población Ep ) P EJERCICIO 2 &l $;C de los pasa'eros de un avión tienen fobia !i se toma un pasa'ero al azar & 0Xi2 ) G ) ;,$ @ar 0Xi2 ) G 0+H G 2 ) ;,$ 0;,82 ) ;,+6 !uma X) X+ FIF Xn) 5Xi Proporción P ) X n
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PROMEDIO EJERCICIO 1 Jn comerciante tuvo las siguientes ventas lunes, K 9;L martes, K 6;;L miércoles, K 9$;L 'ueves, K 68;L viernes, K 84;, y sábado K >+; MBuál fue el promedio de las ventas en la semanaN 9; F 6;; F 9$; F 68; F 84; F >+; Promedio ) 6
)
4;; 6
)9;
Promedio ) K 9; diarios Otra manera de estimar un promedio es localizando la moda, es decir, el dato %ue tiene la mayor frecuencia o se repite más en una tabla
EJERCICIOS DE APLICACIÓN Muestreo Estratificado 1._ !e desea estimar la talla media de salmones y la proporción de salmones %ue cumplen la norma para el consumo en un cultivo de 3+; salmones distribuidos en tres estan%ues con la siguiente información
Se ide a2 MBuántos salmones se debe elegir en la muestra del cultivo y por estan%ue para estimar la talla media si se desea una confianza de >C y un error no mayor a $ cent=metrosN !i usamos un dise#o <& con i2 C y un error no mayor a ;;N !i usamos un dise#o <& con
Afi$aci"# Óti%a
I#terretaci"# !e debe elegir a lo menos 69 salmones en la muestra de los cuales 34 deben ser elegidos del estan%ue +, +3 del estan%ue $ y $; del estan%ue 3 !e debe elegir a lo menos 8 salmones en la muestra de los cuales +9 deben ser elegidos del estan%ue +, $+ del estan%ue $ y $; del estan%ue 3
2._ &stimar la Proporción !ea A ) Papas del cultivo %ue cumplen la norma para el consumo &n este caso el parámetro de interés es p ) P 0 A2) proporción de papas %ue cumplen la norma para el consumo E# este caso se tie#e& de! e#u#ciado de! ro'!e%a& (ue 1 p)1 * +.,+- p)2 * +.2- p) /* +.+ so# !as roorcio#es esti%adas or cu!ti0o Asi#aci"# Proorcio#a!
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I#terretaci"# !e debe elegir a lo menos +$ papas en la muestra de los cuales 96 deben ser elegidos del cultivo +, 3; del cultivo $ y 46 del cultivo 3 3Q &li'a una muestra estratificada de tama#o n)4 de esta población Jse la tabla de nAmeros aleatorios, en cada alternativa empiece en la fila + columna + y continAe seleccionando Dacia la derecDa Sndi%ue los pasos para elegir la muestra
Reso!uci"#
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Jsando la tabla de nAmeros aleatorios, se elige una muestra aleatoria simple de tama#o n)$ de los Dombres, buscando nAmeros del + al +$ !e parte de la fila + columna + !e usan dos d=gitos
os nAmeros elegidos son +; y + Por lo tanto la muestra del estrato de Dombres %ueda constituida por Tabián y Uuan Tabián :O traba'a y Uuan !S traba'a Jsando la tabla de nAmeros aleatorios, se elige una muestra aleatoria simple de tama#o n)$ de las mu'eres, buscando nAmeros del + al 8 !e parte de la fila + columna + !e usa un d=gito Tinalmente, la proporción de alumnos %ue traba'a en la muestra estratificada es de $C 4V !e está interesado en determinar la audiencia de la publicidad televisiva en una cadena local de un municipio, se decide realizar una encuesta por muestreo para estimar el nAmero de Doras por semana %ue se ve la televisión en las viviendas del municipio Wste está formado por tres barrios con diferentes perfiles socioVculturales %ue afectan a la audiencia televisiva ay $+; Dogares en el barrio <, 84 en el barrio Y y +$6 en el barrio B a empresa publicitaria tiene tiempo y dinero suficientes como para entrevistar 3; Dogares y decide seleccionar muestras aleatorias de tama#os + del barrio <, 6
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del barrio Y, y > del barrio B !e seleccionan las muestras aleatorias simples y se realizan las entrevistas Los resu!tados& co# %edicio#es de! tie%o (ue se 0e !a te!e0isi"# e# oras or se%a#a& se %uestra# e# !a siuie#te ta'!a3
Esti%e e! tie%o %edio (ue se 0e !a te!e0isi"#& e# oras or se%a#a& ara3 a4 Los oares de! 'arrio A. '4 Los oares de! 'arrio 5. c4 Los oares de! 'arrio C. d4 Todos !os oares Para todos !os casos fi$e u# !6%ite ara e! error de esti%aci"# So!uci"#3 &n primer lugar se calculan las medias y varianzas muéstrales en cada estrato
< partir de estos valores calculamos las varianzas de los estimadores de la media en cada estrato y los l=mites para los errores de dicDas estimaciones
C7!cu!os
Para el con'unto de todos los Dogares el estimador de la media es
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a varianza de este estimador la podemos calcular basándonos en las varianzas de los estimadores de la media en cada estrato mediante
EJERCICIOS DE APLICACIÓN Muestreo Siste%7tico 1._ &n una localidad de 4 ;;; Dabitantes se %uiere construir un centro de ocio os Dabitantes se distribuyen por edades como sigue >;; ni#os, + ;; 'óvenes, + $;; adultos y 8; ancianos Para averiguar %ué tipo de actividades les gustar=a %ue Dubiera en dicDo centro, se selecciona una muestra de +6; personas para ser encuestadas a4 E8!ica c"%o se o'te#dr6a !a %uestra %edia#te u# %uestreo siste%7tico 9si# te#er e# cue#ta !os ruos or edades4. '4 Si o'te#e%os !a %uestra %edia#te u# %uestreo a!eatorio estratificado co# rearto roorcio#a!& :a cu7#tos #i;os& $"0e#es& adu!tos < a#cia#os de'ere%os e#cuestar= So!uci"#
a &l coeficiente de elevación es Obtendr=amos aleatoriamente un nAmero entre + y $ &mpezando en ese nAmero, ir=amos eligiendo de $ en $ Previamente Dabr=amos numerado a todos los Dabitantes b lamamos n+ al nAmero de ni#os %ue tendr=amos %ue seleccionar, n$ al nAmero de 'óvenes, n3 al de adultos y n4 al de ancianos &ntonces
Por tanto, debemos seleccionar n+ ) 36 ni#os n$ ) 4$ 'óvenes n3 ) 48 adultos n4 ) 34 ancianos
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2._ !uponemos %ue %ueremos saber la opinión sobre un profesor de una clase de 6; personas -icDas personas están ordenadas por orden alfabético en la lista de alumnos de clase Para realizar la encuesta, seleccionamos a +$ personas Por lo tanto, :)6; y n)+$ &l intervalo fi'o entre su'etos es
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