MATEMÁTICA: “Guía Nº 5” ECUACIONES: CALCULAR LA INCOGNITA “x” Una tarea fundamental para trabajar en Matemática y en Física es saber traspasar términos a fin de despejar la incógnita que se quiere calcular. Una ecuación es una expresión donde se igualan dos miembros: 1er miembro
=
2do miembro
Primero hay que separar en términos en los signos “+” o “ −” de las operaciones de suma y resta. Si hay algún paréntesis debe resolverse primero, hacer la distributiva o bien incorporarlo todo adentro de un término de la separación en términos realizada. Separación en términos
término
+
término
−
término
=
término
+
término
Para despejar una incógnita (la x) se procede con las reglas de traspaso de términos: 1) Todo término que está sumando en un miembro puede pasarse restando al otro miembro (o viceversa). 2) Todo término que está multiplicando en un miembro puede pasarse dividiendo al otro miembro (o viceversa). 3) Todo exponente de potencia puede pasarse como índice de raíz al otro miembro. Para que sea válido un traspaso es necesario que la operación a “desarmar” (sea la suma, multiplicación o potencia) esté afectando a todo el miembro y no solo a una parte de él. De manera que las operaciones se desarman de afuera hacia adentro. En cada término deben resolverse primero las potencias, luego las multiplicaciones y divisiones y por último se hacen las sumas y restas de términos.
MATEMÁTICA: Ecuaciones- 1 -5
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Es muy importante no alterar el orden en que deben efectuarse los traspasos de términos. Con un par de ejemplos detallamos esta situación: Ejemplo 1: X
2
+
X
5=3
X
3−5
=
2 X
= −
2
2 BIEN
+
5=3 MAL
X + 5 = 3 . 2 X +5 = 6
2
En la operación mal resuelta el 2 está solo afectando a la X en el primer miembro y no a todo el mismo, por lo cual no puede pasarse multiplicando al otro miembro. Es válido pasar el 5 que está sumando en el primer miembro, restando al segundo, pues la suma es la operación fundamental (o de “afuera”) del primer miembro y es la que debe desarmarse primero. Ejemplo 2: 3
7−
x
2
+
2
=
9
20 3
7=
7−
20 3
x
2
+
2
9
21 − 20 3 x 2 + 2 = 3 9
1 3 x 2 + 2 = 3 9 9.
+
2
27 = x 2 + 2
20 3 x 2 + 2 + 3 9 3
=
33 = x 2
1 3 2 = x + 2 3
3 = 3 x 2 + 2
27 − 2 = x 2 25 = x 2 25 = x 5=x
Es importante por lo tanto, que las operaciones de traspaso de términos se hagan en el orden o rden adecuado, “desarmando” las operaciones desde la más externa o “de afuera” hacia la más interna, como lo prueba el reciente ejemplo.
MATEMÁTICA: Ecuaciones- 2 -5
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EJERCITACIÓN PARA DESPEJAR LA INCÓGNITA a) 2x + 5 = 4
(x = -1/2)
5x + 2 = 3x − 1 b) − 5x
(x = 3/8)
c) 2 x + 1 = 3 x − 2
(x = -45)
d) 1 ( x + 5 ) = 3 (2 x − 1)
(x = 4)
3
5
3
7
2 3 e) 3 − 5 x − = (5 − 2 x ) + 8 3 4
(x = -65/42)
f) x 2 + 4 = 13
(x = 3)
g) ( x − 5)2 − 1 = 3
(x = 7)
h) 2 = 1
(x = 2)
i) 1
(x = 2/13)
x
13 2 j) 2 + 5 x = 2 11 16 k) =1 20 − 2 l)
3
=
2
m) n)
o) 1
12
(x = 2)
17 = 3
(x = 5)
25 =5 3 − 100
(x = 5)
+
12 6
1+
(x = 4)
=
3
(x = 2)
x
=
3 5 + 7
(x = -420/29)
MATEMÁTICA: Ecuaciones- 3 -5
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Trabajo práctico Nº 5 : "Resolución de ecuaciones" 8 5.1)
3x – 2 = 5 + 2x
1 3 x + 5 = x − 4 2 4
5.2)
5.3) 2.(x + 5) −1 = 3.(x − 1)
1 2 2 5.4) 3 . x − 5 = 5 (3 − x )
+
6
5.12)
5 = x
5.13)
1 20
5.14)
5 13 = . x 2 + 3 2
5.15)
=
3=
2
1 1 − 5
15 14 12 − x
5.5) x3 – 7 – 7 = 1 5.6)
( x + 5 )2 − 6 = 30
5.7)
2=
7
3 4 = 5.8) 5 x 5.9)
20 3 x − 5
4 x 5.10) 5 3
5.11)
=
x 3
=
5 4 x
−
2
2
19
=
1
MATEMÁTICA: Ecuaciones- 4 -5
Fatela PREUNIVERSITARIOS
Respuestas a los los ejercicios del trabajo práctico Nº 5 5.1) x = 7 5.2) x = 36 5.3) x = 12 5.4) x = 20/11 5.5) x = 2 5.6) x = 1 5.7) x = 7/2 5.8) x = 20/3 5.9) x = 5 5.10) x = 5/4 5.11) x = 3 5.12) x = 2 5.13) x = 20/3 5.14) x = 2 5.15) x = 2
