Instituto Tecnológico de Minatitlán. Ingeniería Industrial. Calculo Vectorial. Luis Humberto Morales Investigación unidad 3,4 y 5. Alumnos: Antonio Cobix Margiel Kristel. Bartolo Garcia Ambar Lizbeth. Jimenez Bante Diana Madai. Pino Valdes Dania Isabel. Rodriguez Salome Néstor.
Funciones vectoriales de una variable real.
3.1 Definición de función vectorial de una variable real.
La derivada de una función vectorial r se define como: r’ (t)=lim t0
Para todo t para el cual existe el límite. Si r’ (t) existe, entonces r es derivable en t. si r’(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I.La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerado limites laterales. 3.2. Graficación de curvas en función del parámetro T.
Las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por: r(t) = r(t) = Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t),g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t).
1.
2.
Ejemplos de graficación de curvas en función del parámetro T.
3.3
Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.
Derivación de funciones vectoriales 1. Si r(t)=f(t)i + g(t)j, donde f y g son funciones funciones derivables de t, entonces r’(t)= f’(t)i + g’ (t)j
Plano
2. Si r(t)=f(t)I + g(t)j + h(t)k, donde f,g y h son funciones derivables de t, entonces r’(t) = f’(t)i + g’(t)j + h’(t)k
Espacio
Ejemplos de las derivaciones de funciones vectoriales
Propiedades de las derivadas Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, w una función real derivable de t y c un escalar.
1. Dt crt=cr’(t)
2. Dt r(t)u(t)=r’(t)u’(t)
3. Dt w(t)r(t)=w(t)r’(t)+w’(t)r (t)
4. Dt r(t).u(t)=r(t).u’(t)+r’(t).u(t)
5. Dt r(t) x u(t)=r(t) x u’(t)+r’(t) x u(t)
6. Dt r(w(t))=r’(w(t))w’(t)
7. si r(t) . r(t)= c, entonces r (t) . r’ (t)= 0
Ejemplo de propiedades de la derivada.
3.4. Integración de funciones vectoriales.
La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la derivada de una función vectorial. Definición de la integral de una función vectorial 1. Si r(t)= f(t)i + g(t)j, donde f y g son continuas en a,b, entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es
Y su integral definida en el intervalo a t b es
2. Si r(t)=f(t)i + g(t)j + h(t)k, es donde f,g y h son continuas en la integral indefinida (o antiderivada) de r es
, entonces
Y su integral definida en el intervalo a t b es
Ejemplos: Integración de una función vectorial.
Ejemplo de integrales de una función vectorial.
3.5 longitud de arco
Si C es una curva suave dada por r(t) =x(t)i+ y(t)j + z(t)k en un intervalo
la longitud de arco de C en ese intervalo es s= dt = dt
Ejemplos: De longitud de arco.
3.6. Vector tangente, normal y binomial
Definición del vector tangente unitario Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I. El vector tangente unitario T(t) en t se define como T(t) =
Definición del vector normal principal (unitario) Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I, si T’(t) 0, el vector normal principal en t se define como N(t) =
Ejemplos: de vector tangente, normal y binomial.
3.7.curvatura
Definición de la función longitud de arco Sea C una curva suave dada por r(t) en un intervalo cerrado b, la función longitud de arco viene dada por
s(t) =
. Para a
du
La longitud de arco s se denomina parámetro longitud de arco.
t
Ejemplo de curvatura
2.
Funciones reales de varias variables.
4.1 Definición de una función de varias variables. Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f(x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x, y) es el recorrido de f . Una función de varias variables reales
.
que a cada
es una correspondencia
le asigna a lo mas una imagen
La notación para las funciones de dos o tres variables es similar a la utilizada para funciones de una sola variable:
Dos variables
Tres variables
variables, donde los dominios constan de triadas tetradas o nDefiniciones análogas se aplican a funciones de tres, cuatro o
adas (x1, x2…xn). En todos los casos, el recorrido esta constituido por números reales.
Ejemplo de funciones de varias variables.
4.2 Graficas de una función de varias variables La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z)
es decir; tales que
La grafica de una función de dos variables
z
=
f(x,
y)
puede
interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. En consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D.
Ejemplo de una graficas de varias variables.
4.3 Curvas y superficies de nivel La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos una función f de dos variables, la grafica tiene que representar conjuntos de puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y). Por este motivo, para representar la grafica de una función de dos variables necesitamos tres dimensiones. En el caso de la grafica tridimensional, partimos de tres ejes perpendiculares entre sí: en los dos ejes horizontales representamos las variables x e y, y en el eje vertical representamos los valores z que toma la función.
Hemos denominado los ejes con las letras X, Y y Z, respectivamente. A cada valor de las variables x e y le corresponde un punto (x, y) del plano que se encuentra en la base. Por ´ ultimo, la función f asocia un valor z = f(x, y) al punto (x, y).
Ejemplo de curvas y superficie de nivel
4.4 Derivadas parciales de varias variables y su interpretación geométrica.
pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas y C en el punto P,
Las derivadas parciales
2
respectivamente.
Ejemplos de derivadas parciales
4.5 Derivada direccional Sirve para determinar la pendiente en cualquier dirección para determinar la pendiente en un punto de una superficie se define un nuevo tipo de derivada ala que llamaremos derivada direccional
Sea
una función escalar y sean
un vector unitario, entonces la derivada direccional de direc irecci ción ón del vect vector or , es está dad dadaa por: por:
y en
en la
Ejemplo de derivada direccional.
4.6 Derivadas parciales de orden superior Si tenemos z f = (x, y), sabemos sabemos que las derivadas derivadas parciales de la función respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vez de las mismas variables. Esto es:
Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables, estas funciones pueden derivarse nuevamente respecto de x y de y y les llamamos derivadas parciales de segundo orden. Hay que hacer notar que ahora tendremos que la primera derivada derivada parcial respecto respecto de puede ser ser derivada parcialmente respecto respecto de y también respecto respecto de x y de y . De igual manera, manera, la primera derivada parcial respecto de de y , puede ser ser derivada parcialmente respecto respecto a esa misma variable y también respecto de . De manera que las segundas derivadas, o derivadas de segundo orden, pueden ser estas cuatro derivadas parciales:
Ejemplo de derivadas parciales de orden superior
4.7 Incrementos diferenciales, regla de la cadena Para una función real de una variable independiente:
Entonces, la diferencial de Y( ) es una aproximación del incremento Ay = para una Ay para un incremento en x(Ax)
Ay =dy para una Ax pequeña (AX=dx) para una función de dos variables Z=f(x,y) Dz= fx(x,y) dx+ f y (x,y) dy (aproximación lineal del cambio) Az=dz para incrementos pequeños en (Ax=dx, Ay=dy) Regla de la cadena Si W= f(X1, X2, … Xn) Y a su vez
X1= Y1 (t1,t2,…tn) X2= Y2 (t1,t2,…tn)
X3= Y3 (t1,t2,…tn)Xn=Yn (t1, t2, tn)
Ejemplo de regla de cadena
4.8 Derivadas parciales iteradas
Definiendo los términos necesarios:
Sea de clase C1. Recordar que esto significa que , y existen y son continuas; y la existencia de derivadas, a su vez, tienen derivadas parciales continuas implica que f es diferenciable. Si estas derivadas a su vez, tienen derivadas parciales continuas, decimos que f es de clase C2, o que es dos veces continuamente diferenciable. Así mismo decimos que f es de clase C3, significa que f tiene derivadas parciales iteradas continuas de tercer orden, y así sucesivamente. A continuación, unos ejemplos de cómo se describen estas derivadas de orden superior:
= , = ), = (, etc. Por supuesto que el proceso pude repetirse para las derivadas de tercer orden y así sucesivamente. Si f es una función de solo X y Y y son continuamente diferenciables, al tomar las segundas derivadas parciales, obtenemos las cuatro funciones:
, Y
Todas estas se llaman derivadas parciales iteradas, mientras que se llaman derivadas parciales mixtas.
y
Ejemplo de derivadas parciales iteriadas
4.9 Gradiente La dirección del vector gradiante en un P(x 0, yo) es la dirección en la que la derivada direccional tiene su valor máximo, siendo la direccion opuesta del gradiante la del máximo decrecimien dec recimiento. to. En cooerdenadas rectangulares Sea el operador.
Cuando se aplica sobre una función de tres variables f(x,y,z), se denomina gradiante de la función f.
gradiente
Para una función de dos variables
Relación con la gradiente con la derivada direccional. La derivada direccional en la dirección del vector unitario u se define:
Du f(x,y)cos ( ) + fy(x,y)sen ( )
Donde u= cos ( )i +sen ( )j
Ejemplo de gradiente
4.10 Divergencia de un campo vectorial y rotacional
Un campo vectorial en es una función F: A C a cada punto X en su dominio A un vector F(x). Definición:
que asigna
Podemos ilustrar gráficamente F adhiriendo una flecha a cada punto (fig.)
De manera análoga, una función f: A C que asigna un número a cada punto se llama campo escalar. Por ejemplo, un campo vectorial F (x, y, z) en tiene 3 campos escalares componentes de modo que F (x, y, z)= Si cada campo es una función , ( decimos que el campo vectorial F es de clase . Se supone que los campos vectoriales son al menos de clase , a no ser que se diga lo contrario.
Es conveniente trazar la flecha que representa F(x) de modo que comience en X, no en el origen (que es como se acostumbra trazar vectores). Consideramos este vector desplazado con su cola X como equivalente al vector correspondiente que comienza en 0.
“Campo vectorial” vectorial” significara significara un campo vectorial vectorial en en
diga lo contrario.
Ejemplos divergencia de un campo vectorial
o , a menos que se
Integración
5.2 Integral de línea Se dice que si una fuerza constante de medida vectorial F mueve una partícula a lo largo de una recta de un punto A a un punto B, y si W es la medida del trabajo realizado, entonces W= F. V
Suponga ahora que el vector de fuerza no es constante, y en lugar de que el movimiento sea a lo largo de una recta, es a lo largo de una curva. Considere que la fuerza ejercida sobre la partícula ubicada en el punto (x,y), de algún disco B de de R², está dada por el campo vectorial F(x,y)=
M(x,y) i + N(x,y) j
Donde M y N son continuas en B. Sea C la curva, contenida en B, que tiene la ecuación vectorial R (t) =f (t) i + g (t) j
a≤t≤b
Se requiere que las funciones f y g sean tales que f´ y g´ resulten continuas [a,b] y en que cualquier punto de [a,b] al menos una de ellas sea diferente de cero. La curva C es suave [a,b]. Se desea definir el trabajo realizado por la fuerza variable de medida vectorial F al desplazar la partícula a lo largo de C del punto (f(a), g(a)) al punto (f(b), g(b)). En cualquier punto (f (t), g (t)) de C el vector fuerza es F(f(t), g(t)) = M(f(t), g(t))i + N(f(t), g(t)) j j
Considere que Δ es una partición del intervalo [a,b] tal que a = t₀ < t₁
< = b
Sea Pᵢ el punto (xᵢ, yᵢ) = (f(tᵢ), g(tᵢ)) de C. refiérase a la figura 1.
es igual a (t )- (); por tanto, f) El vector
R
=
ᵢ
R
–
=
Puesto que f´ y g´ son continuas en [a,b], se infiere del teorema del valor medio que existen números cᵢ y dᵢ en el intervalo abierto tales que
) Al tomar , y sustituir de las dos ecuaciones anteriores en (3), se obtiene
Δᵢ
ᵢ
Para cada i considere el vector
Cada uno de los vectores fᵢ (i = 1, 2…, n) es una aproximación al vector fuerza F (f(t), g(t)), dado por (2), a lo largo del arco de C desde a intervalo abierto , los valores de los vectores F (f(t), g(t)) se encuentran cerca de . Además, el arco de C desde a se aproxima mediante el segmento rectilíneo . Así, al aplicar la formula (1), se obtiene el trabajo realizado por el vector F (f (t), g(t)) al desplazar la partícula a lo largo del arco de C desde a . Si se denota esta aproximación por Δ ᵢ W, de la formula (1) y las ecuaciones (4) y (5) se tiene
W = [M (f , g (f ) + N (f , g ) ] . [f´ + g´ t [M (f, g (f)f´ t + [N(f, g)g´ t Una aproximación de la medida del trabajo realizado por (f(t), g(t)) a lo largo o bien, equivalentemente, de C es ) f´( t + Δᵢ
I
j j
i
j] j] Δᵢ
] Δᵢ
] Δᵢ
F
Δᵢ
Cada una de estas sumas es una suma de Riemann. La primera es una suma de Riemann para la función que tiene valores M (f(t), g(t))f´(t), es una suma de Riemann para la función que tiene valores N (f(t), g(t) g´(t). si n se incrementa sin límite y cada Δ ᵢt se aproxima a cero, entonces estas sumas tienden a la integral definida:
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE UNA CURVA DE R² Sea C una curva suave contenida en un disco abierto B de R² y que la ecuación vectorial R (t) = f (t) i
+ g(t) j
a≤t≤b
Sea F un campo vectorial sobre B definido por F(x,y) = M(x,y) i +N(x,y) j j Donde M y N son continuas en B. Si se emplea la notación de la forma diferencial, la integral de línea de M(x,y) de de x + N (x,y) dy sobre C está definida por
=
o, equivalentemente, usando la notación vectorial, la integral de línea de F sobre C está definida por
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE UNA CURVA SUAVE A TROZOS DE R² Suponga que la curva C consiste de los arcos suaves C1,C2…Cn contenidos en un
disco abierto B de R², y considere R(t) y F(x,y) como en la definición anterior entonces la integral de línea de M(x,y) dx+ N(x,y) dy sobre C está definida por
O, equivalentemente, empleando la notación vectorial, la integral de línea de F sobre C se define como
DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA SOBRE UNA CURVA DE R ᶟ Sea C una curva suave contenida en una bola abierta B de Rᶟ que tiene la ecuación vectorial R (t)= f(t) i+ g(t) j j+ h(t)k
a≤ t ≤ b
Sea F un campo vectorial sobre B definido por F(x,y,z)= M(x,y,z)i+ N(x,y,z) j j+ R(x,y,z)k Donde M, N y R son funciones continuas en B. Si se se emplea la notación de la forma diferencial, la integral de línea de M(x,y,z)dx+ N(x,y,z)dy+ R(x,y,z)dz sobre C está definida por
=
O, equivalentemente, empleando la notación vectorial, la integral de línea de F sobre C se define como
Ejemplo de integral de linea
5.3 Integrales iteradas dobles y triples INTEGRALES ITERADAS: Tiene sentido diferenciar una función de varias variables respecto de una de ellas, manteniendo constantes las demás. Por un procedimiento análogo, vamos a integrar funciones de varias variables. Por ejemplo, si se nos da la derivada parcial fx (x,)=2xy Podemos, considerando a y como constante, integrar con respecto a x, obteniendo así
integrar en x mantener y constante sacar fuera el factor y
= y (x²) + C (y)
una primitiva de 2x es x²
= x² y + C (y)
C (y) es función de y
Nótese que la <> de integración, C, es una función de y. En otras palabras, integrando respecto a x solo somos capaces de reconstruir f (x,y) parcialmente de la reconstrucción total de una función de dos variables a partir de sus derivadas parciales. La integral del ejemplo es una integral iterada. Los corchetes utilizados suelen omitirse. De hecho, las integrales iteradas se escriben
Los límites interiores de la integración pueden ser variables respecto de la variable de integración. Por el contrario, los límites exteriores de integración han de ser constantes con respecto a las dos variables de integración. Una vez efectuada la integración interior, se llega a la integración definida ordinaria y la segunda integración produce ya un número real. Los límites de integración de
una integral iterada identifican dos intervalos para las variables. Así en el ejemplo, los limites exteriores indican que x esta en el intervalo 1≤ x ≤2 y los interiores indican que y está en el intervalo1≤ y ≤x. conjuntamente, esos dos
intervalos determinan la región de integración de R de la integral iterada(véase la figura 13.1).
Puesto que una integral iterada no es sino un caso especial de integral definida, en que el integrando esa su vez una integral, podemos utilizar las propiedades de las integrales definidas al evaluar integrales iteradas.
Ejemplo de integrales iteradas dobles y triples
SOLUCIÓN:
Usando el resultado 3x -2x-1 -2x-1 vemos que
5.4 Aplicaciones a áreas y solución de problema ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA En respecto de la sección completamos desde una perspectiva nueva el viejo problema de calcular el área de una región en el plano. Consideremos la región plana R acotada por a≤ x ≤b y g (x) ≤ y ≤ g (x) su área viene dada por la integral definida
₂
Gracias al teorema fundamental del calcula podemos reescribir el integrando como una integral definida. En concreto, si consideramos que x esta fija y hacemos variar y desde g (x) hasta g (x) tenemos
₂ = g (x) - g (x) ₂
₂
₁
Combinando esas dos integrales podemos expresar el área de R como la integral iterada
₂ ₂
Área de R
Colocando un rectángulo en la región R es fácil determinar tanto el orden como los límites de la integración. Un rectángulo vertical implica el orden dy dx, con los limites interiores de integración correspondiendo a las cotas superior e inferior del rectángulo (figura 13.2). Una región de este tipo se llama
verticalmente simple , por que os limites exteriores de integración son las
rectas verticales x=a y x=b. Análogamente, un rectángulo horizontal implica el orden dx dy, con los limites inferiores determinados por las cota izquierda y derecha del rectángulo (figura 13.3). Una región de esta clase se llama horizontalmente simple, ya que los limites exteriores son las rectas horizontales y=c e y=d. las integrales iteradas en los dos tipos de regiones se resumen en el cuadro siguiente
ÁREA DE UNA REGIÓN EN EL PLANO
₂ ₂ 2.(y), donde h,h₂ son continuas en ₂ [c,d], el área de R viene dada por
1.- Si R está definida por a ≤ x ≤ b y g (x) ≤ y ≤ g (x), donde g , g son continuas en el [a,b], el área de R viene dada por
si Resta definida por c≤y≤d y h (y)≤ x ≤ h
Nota: debe debe convencerse de que el orden en esas dos integrales es diferente: dy dx para regiones verticalmente simples, y dx dy parar regiones horizontalmente simples. EJEMPLO 1: ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAR Representar mediante una integral iterada el área del rectángulo de la figura 13.4
SOLUCIÓN: La región de la figura 13.4 es simple verticalmente y horizontalmente, de manera que podemos utilizar cualquiera de los órdenes de integración. Eligiendo el orden dy dx obtenemos
Como vemos el resultado es el que cabía esperar. EJEMPLO 2: CÁLCULO DEL ÁREA POR UNA INTEGRAL ITERADA Usar una integral iterada para calcular el área de la región acotada por las graficas de f(x) = sen x
la curva seno es la cota superior
g(x)= cos x
la curva coseno es la cota inferior
Entre x = /4 y x = 5 /4
SOLUCIÓN: puesto que f y g vienen dadas como funciones de x, conviene un rectángulo representativo vertical, luego el orden orden dy dx de integración (figura (figura 13.5). Los limites exteriores de integración son /4 ≤ x ≤ 5 /4. Además, el rectángulo esta acotado superiormente por f(x) = sen x e inferiormente por g(x) = cos x, luego
=2
NOTA: la región de integración de una integral iterada no tiene por qué estar acotada por rectas. Por ejemplo, de la figura 13.5 es verticalmente simple
aunque sus fronteras izquierda y derecha no son rectas verticales. Lo que caracteriza a las regiones verticalmente simples es que estas acotadas superior e inferiormente por graficas de funciones de x. EJEMPLO 3: ÁREA DADA POR LA SUMA DE DOS INTEGRALES ITERADAS. Calcular el área de la región R comprendida entre la parábola y = 4x- x²
la parábola es la cota c ota superior
y el eje x, y por encima enc ima de la recta y = -3x + 6
la recta y el eje x constituyen la cota inferior
Que se muestra en la figura 13.6
SOLUCIÓN: empezamos partiendo de la región R en dos subregiones R₁ y R₂ (FIGURA 13.6). En ambas subregiones conviene utilizar rectángulos verticales de modo que
+ -8 +
=
El área de la región es 15/2 unidades cuadradas.
5.5. Integral doble en coordenadas polares: Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y petalos de una curva rosa, y de integrados que contienen + .
Las coordenadas polares (r, ) de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares (x,y) del punto, de la manera siguiente. siguiente.
y y tan = Ɵ
Para definir una integral doble de una función continua Z= f(x,y) en coordenadas polares, considerar una región R limitada o acotada por la graficas de r = yr= y las rectas . En lugar de hacer una partición de R en rectángulos pequeños, se utiliza una partición en sectores polares pequeños. A R se le superpone una red o cuadricula polar formada por rayos o semirectas radiales y arcos circulares. Los sectores polares R que se encuentran completamente dentro de R forman una partición polar interna Ϫ, cuya norma //Ϫ// es la longitud de la diagonal mas larga en los n sectores polares.
El área de i es:
Sea R una región plana que consta de los puntos (x,y) =(r cos Ɵ, r sen Ɵ) que satisfacen las condiciones 0 Si son continuas en (
5.6 Coordenadas cilíndricas y esféricas Muchas regiones solidas comunes como esferas, elipsoides, conos y paraboloides pueden dar lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. Las ecuaciones rectangulares de conversión a coordenadas cilíndricas son:
Z=Z
Las ecuaciones para obtener polares y que Z no cambia.
son iguales que en caso de coordenadas
En este sistema de coordenadas, la región solida más simple es un bloque cilíndrico determinado por:
Para expresar una integral triple por medio de coordenadas cilíndricas, supóngase que Q es una región solida cuya proyección R sobre el plano XY puede describirse en coordenadas polares.
Y
Es decir:
Si f es una función continua sobre el solido Q, se puede expresar la integral triple de f sobre Q como:
Don de la integral doble R se evalúa en coordenadas polares. Es decir R es una región plana que es R-simple o Si R es r-simple, la forma iterada de la integral triple en forma cilíndrica es:
Este es uno de los seis posibles ordenes de integración. Los otros cinco son:
Bibliografia C.H. Edwards, Jr. David E. Penney. Cálculo y Geometría analítica. Cuarta edición. Jerrold E. Marsden. Anthony J. Tromba. Calculo vectorial. Tercera edición. Leithold Louis. Calculo. Séptima edición. Larson Ronald E. Calculo y geometría analítica. Sexta edición. Larson Hostetler Edwards. Calculo II. Octava edición.
