ÍNDICE INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 1 UNIDAD 2. CURVAS PLANAS, ECUACIONES, PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARES .......................................................................................................................................... 2 2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y ..................................................................... 3 2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. ...................................................................... 5 2.3 Tangentes a una curva. ............................................................................................................ 8 2.4 Área y longitud. ........................................................................................................................ 10 2.5 Curvas planas y traficación en coordenadas polares. ....................................................... 11 2.6 Cálculo en coordenadas polares. .......................................................................................... 14
UNIDAD 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL. .................. ........................... .................. .................. .................. ......... 16
3.1 Definición de función vectorial de una variable real. .......................................................... 17 3.2 Limites y continuidad de una función vectorial. ................................................................... 18 3.3 tangentes a una curva. ............................................................................................................ 19 3.4 integración de funciones vectoriales. .................................................................................... 20 3.5 Longitud de arco. ..................................................................................................................... 21 3.6 Vectores tangente, normal y binormal. ................................................................................. 22 3.7 Curvatura. ................................................................................................................................. 23 3.8 Aplicaciones. ............................................................................................................................. 24 Preguntas ......................................................................................................................................... 26
INTRODUCCIÓN En este espacio les daré a conocer los conocimientos que se tendrán que tener en cuenta para la materia de cálculo vectorial el cual este siguiente reporte estará mostrando los diferentes temas que se tienen que presentar al ver el segundo parcial de la materia ya antes mencionada. Mostrará sobre los conceptos básicos y como realizar los ejercicios para poder preceder a resolver problemas relacionados con temas de la unidad 2 “curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares”, y la unidad 3 “funciones vectoriales de una variable real”.
La cual son temas hablados de ecuaciones paramétricas con curvas y como resolverlas resolverlas junto con su gráfica, derivadas de curvas, tangentes de curvas, áreas y longitudes, coordenadas polares, variable real, límites y continuidad funciones vectoriales, longitud de arco, vectores, curvas y sus aplicaciones. Pues para poder desarrollar estos temas se deberá leer la información que se presenta como las ecuaciones paramétricas las cueles se definen por dos variables y se sitúa en el plano el cual se le conoce como plano cartesiano y junto con su ecuación que se le llama como ecuación cartesiana.
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UNIDAD 2. CURVAS PLANAS, ECUACIONES, PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARES
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2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica. En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana. Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’.
Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como,
x = f(t) y = g(t) Por ejemplo, una ecuación que represente la caída de una partícula desde una altura x en un tiempo t, se representa generalmente a través de una ecuación Cartesiana, sin embargo, esta puede ser presentada a través de una ecuación paramétrica que sea función del tiempo t. La curva paramétrica es el conjunto de todos los puntos de t que a su vez representan un par (x, y) o (f (t), g (t)). Trazar una curva paramétrica es ligeramente diferente a trazar una curva plana. Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en coordenadas Cartesianas. Sin embargo, existen problemas importantes asociados con este método, siendo uno que no conocemos los límites del parámetro. Y en ausencia de límite la gráfica se extendería en ambas direcciones hasta el infinito. En efecto, no existe una solución adecuada a este problema, ya que todo depende completamente del problema dado y la única solución es limitarla uno mismo hasta un valor específico y asumir que esta es la extensión del gráfico. Otro método para graficar una curva paramétrica es eliminar el parámetro de la ecuación y reducir la ecuación en términos de una ecuación Cartesiana, la cual puede ser graficada con mayor facilidad. De hecho, existen varios métodos para hacer esto. Uno de estos métodos consiste en resolver una de las ecuaciones paramétricas para la variable paramétrica ‘t’. 3
Reemplace este valor de ‘t’ en la otra ecuación paramétrica y déjela así, esta es una
ecuación Cartesiana en términos de x e y. Sin embargo, la técnica anterior no es siempre fructífera, especialmente cuando se trata de funciones trigonométricas, ya que puede convertirla ecuación a una forma más críptica que definitivamente no pueda ser resuelta. Hacer uso de las identidades trigonométricas definitivamente sería una mejor opción en este escenario. Asimismo, existe una amplia gama de técnicas disponibles, todo dependerá de la función dada, esto se entenderá con más práctica. Ahora tratemos de resolver un ejemplo que involucre las técnicas descritas anteriormente para arrojar algo de luz sobre los conceptos tratados. p = 4cos (t) q = 3 sin (t) 0 <= t <= 2 La función dada implica funciones trigonométricas así que tratemos de hacer uso de las identidades trigonométricas para reducirla. p/ 5 = cos (t) q/ 3 = sin (t) p2/ 25 = cos2 (t) q2/ 9 = sin2 (t) Podemos hacer uso de la identidad sin2 (t) + cos2 (t) = 1. Entonces, sume las dos ecuaciones para producir una ecuación única como, p2/ 25 + q2/ 9 = 25cos2 (t)/ 25 + 9sin2 (t)/ 9 p2/ 25 + q2/ 9 = 1 La ecuación reducida es una ecuación Cartesiana que puede ser graficada mediante la elaboración de una tabla que represente los valores de entrada y salida de la función como, p q 5 0 0 2 - 5 0 0 −2 El gráfico de la función sería,
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2.2 Derivada de una curv a en form a paramétrica. Existe una relación paramétrica entre dos ecuaciones cuando ambas actúan como función del mismo valor. Un gráfico puede ser trazado para estas ecuaciones, el cual forma una curva que no es descrita con respecto a su función directamente, sino a través de alguna otra variable común entre ambas relaciones, y esta podría ser una curva que se trace sobre su propio recorrido. Tales funciones de la curva forman una parte integral del vector cálculo. La función paramétrica puede ser representada de la manera siguiente: x = f (t), y = g (t) Es posible observar que no existe una relación directa entre x e y, pero que, si están relacionadas a través de otra variable, t. Esta t es llamada el ‘parámetro’. En otras palabras, una ecuación paramétrica es
una ecuación que se basa en una variable en particular. Una ecuación paramétrica, en términos generales, se conoce también como representación paramétrica y tales funciones se llaman funciones en su forma paramétrica. La función de una curva es escrita en forma paramétrica en caso de que la curva no pueda ser escrita en forma de una sola ecuación. Estas funciones paramétricas en la física son definidas con el fin de reflejar el cambio de posición de un objeto en particular usando el tiempo como referencia. Es a veces necesario encontrar la razón de cambio de una función paramétrica. Para calcular la derivada, debemos diferenciarla con la ayuda de una regla determinada. Conocemos que y con respecto a t, mostrará la siguiente relación dy/dt = (dy/dx) . (dx/dt) dy/dx = (dy/dt) . dx/dt En ambos casos, dx/dt no debe igualarse a 0. El concepto anterior se conoce como regla de la cadena.
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En los lugares donde las derivadas se calculan directamente, es decir, donde no existe una fórmula directa para el cálculo de derivadas, la regla de la cadena puede aplicarse con el fin de hacer el cálculo más fácil. Vamos ahora a entender mejor la aplicación de la regla de la cadena, así como el concepto de diferenciación de las funciones paramétricas con un ejemplo. Encontremos la ecuación de la recta tangente en un valor dado de t, cuando x= 3t2 – t
t=4 Para calcular las co-ordenadas, tenemos la siguiente relación y – y1 = m (x – x1) Aquí, vamos a calcular la pendiente de la ecuación y las co-ordenadas. El valor de x para t = 4, es t = 4, x = 3 x 42 – 4 = 3 x 16 – 4 = 48 – 4 = 44 y el valor de y sería, A partir de estos valores, deducimos que cuando t = 4, la tangente pasa por las coordenadas (44,2). Ahora, para calcular la pendiente, m, que es dy/dx, tenemos que aplicar la fórmula de la regla de la cadena como: dy/dx = (dy / dt) / (dx / dt)
dy/dt =
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Sin colocar el valor de t en ambos lados de la ecuación, obtenemos = (¼) / (24 −1)
= (¼) / 23 = 1 / 92 Después de colocar los valores que hemos obtenido, conseguimos la ecuación para la tangente de la curva como de la manera que sigue y – 2 = 1 / 92 (x - 44)
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2.3 Tangentes a una cu rva. L a p e n d i e n t e d e l a r ec t a t a n g e n t e a u n a c u r v a e n u n p u n t o e s l a derivada de la funci ón en dicho pun to.
Recta tangente a una curva en un punto L a r e c t a t a n g e n t e a u n a c u r v a en u n p u n t o e s a q u e l l a q u e p as a p o r e l p u n t o ( a , f ( a) ) y c u y a p e n d i e n t e e s i g u a l a f ' ( a ).
Ejemplos Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x 2 − 5x + 6 paralela a la recta 3x + y − 2 = 0. y = −3x + 2
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x. m = −3 Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. f'(a) = 2a − 5 2a − 5 = −3a = 1
P(1, 2) y − 2 = −3 (x − 1) y = −3x + 5 8
Observamos que como la recta es paralela a la dada tiene la misma Dada la parábola f(x) = x 2 , hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
y = xm= 1 f'(a) = 1.
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2.4 Área y longitud. Una mejor técnica para definir una c urva es describirla con una función vectorial de var iables reales. Esta es una estrategia alternativa para de finir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente. Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto, la definición de la longitud del arco es la misma que para o tras curvas definidas paramétricamente. Para una función valorada vectorial “p”, en el intervalo cer rado [a, b] cuya definición está dada por la ecuación, La primera derivada de la función será, Tenemos la longitud del arco de la función como, Aquí tenemos x = q(t), y = r(t) y z = s(t). Sin embargo, tenemos, Esto puede ser escrito como, La ecuación anterior puede ser aproximada mediante la suma de Riemann para confirmar que es la longitud del ar co de una función vectorial, Aquí tenemos, ti = a + i t y, t = (b – a)/ n Por lo tanto, se puede concluir que, Esto implica que tenemos, La ecuación anterior representa la longitud total de un polígono que tiene sus segmentos de r ecta entre los vértices p (ti), donde i = 0… n. por tanto, se puede concluir que el resultado obtenido es una solución casi perfecta. La longitud del arco también está re presentada por la ecuación, En la ecuación anterior s(t) representa la longitud de la curva desde p(a) hasta p(t). Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, se puede establecer que, Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente. Considere que t(s) es la función inversa representada por la ecuación anterior. En esta situación tenemos que, p2(s) = p (t(s)) será un parámetro de la curva de entrada en términos de la longitud del arco. Al hacer uso de la regla de la cadena, podemos establecer que, p’2 (s) = dp(t(s))/ ds p2 (s) = p’(t(s))/ ds
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Esto significa que, | p2 (s) | = | p’(t) |/ (ds/ dt) Después de haber visto un montón de fórmulas, pasemos ahora a un ejemplo para entender mejor los conceptos aprendidos anteriormente. Determine la longitud del arco de una hélice representada por la ecuación, p (t) = cos (t) + sin (t) + t 0 <= t <= 2 p’(t) = -sin (t) + cos (t) + | p’(t) | = = L = | p’(t) | dt = dt = 2
2.5 Curvas planas y traficación en coordenadas polares. Rosa de cuatro hojas/pétalos Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de c uatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma
una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:
Rosa de tres hojas/pétalos
Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógica mente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
Rosa de ocho hojas/pétalos El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:
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Una rosa dentro de otra Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:
Cardiodes A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardiode. La función que lo ha generado es:
Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:
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LIMACONES O CARACOLES Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que ge neran limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma: Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:
Otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:
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2.6 Cálculo en coordenadas polares. Cuando se conoce el módulo del vector = con el eje OX, las coordenadas de P son:
x = |
| · c os α
y = |
y el ángulo α que forma
| · sen α
Coordenada x
x = |
| · cos α
Coordenada y
y = |
| · sen α
Ejemplos
Pasar a coordenadas cartesianas :
2120º
1 0 º = (1, 0) 1 9 0 º = (0, 1)
1 1 8 0 º = (−1, 0) 1 2 7 0 º = − (0, −1)
Módulo Argumento o ángulo
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Ejemplos
Pasar a coordenadas polares :
260º
2120º
2240º
2300º
(2, 0)
20º
(−2, 0)
2180º
(0, 2)
290º
( 0 , − 2 )
2270º
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UNIDAD 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL.
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3.1 Definición de funci ón vectorial de una variable real. Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector: Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t). La función vectorial también se puede encontrar representada como (). Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma: = , … … … . = , , … .
DOMINIO El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir: = 1 , 2 , 3 … … = 1 ∩ 2 ∩ 3 ∩ … … . .
REPRESENTACIÓN GRÁFICA La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función. Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde: = 1 = 2() = 3()
Las cuales se llaman ecuaciones paramétricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C.
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3.2 Limites y continuidad de una función v ectorial. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Dada una función vectorial = ( , , ()
lim →
= lim → ,
lim → , lim → = ℓ
Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector () se acerca más y más al vector ℓ . Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes. CONTINUIDAD Sea : → ℝ ⊆ ℝ. á ó es continua en a sí y sólo si:
- Existe el vector - Existe el lim→
- lim→ =
Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si
y sólo si
sus funciones componentes f ,g y h son continuas en t = a.
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3.3 tangentes a un a curva.
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3.4 integración de funci ones vectoriales. La función vectorial () es una anti derivada de la función vectorial (), siempre y cuando ′ = ()
INTEGRAL INDEFINIDA Si () es
cualquier anti derivada de (), la integral indefinida de esta se define
como () = +
Donde c es un vector constante arbitrario. INTEGRAL DEFINIDA Para la función vectorial (), se define la integral definida de la misma () = ( , , ) = () , () , () 5
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL (Regla de Barrow) Supongamos que () es una anti derivada de () en el intervalo [a,b] diremos: () = − ()
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3.5 Longitud de arco.
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3.6 Vectores tangente, normal y binormal.
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3.7 Curvatura.
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3.8 Aplicaciones.
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Preguntas ¿Cómo se puede dibujar una curva paramétrica? puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en coordenadas Cartesianas.
¿Cómo es la representación gráfica de una función vectorial? es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función. Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde: = 1 = 2() = 3()
¿Qué es una ecuación paramétrica? se conoce también como representación paramétrica y tales funciones se llaman funciones en su forma paramétrica.
¿Cómo es la función escrita de una curva? es escrita en forma paramétrica en caso de que la curva no pueda ser escrita en forma de una sola ecuación. Estas funciones paramétricas en la física son definidas con el fin de reflejar el cambio de posición de un objeto en particular usando el tiempo como referencia
¿Qué es La función vectorial () ? es una anti derivada de la función vectorial (), siempre y cuando ′ = ()
¿Cómo es la mejor forma para definir una curva? es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta es una estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente.
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