09/03/2012
EJEMPLOS: EXPERIMENTOS ALEATORIO
PROBABILIDAD
1. Lanzar una dado tres veces
Es la parte de las matemáticas que proporciona modelos para la incertidumbre
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
La incertidumbre se da en los resultados de los experimentos aleatorios
ESPACIO MUESTRAL (S)
3. Número de personas que se suben a un camión una mañana
Es una actividad en la que conocemos los posibles resultados pero no podemos predecirlos con exactitud
UNIDAD 3
Al conjunto de todos los resultados posibles
2. Moneda al aire
EJEMPLO
EJERCICIO:
SI LANZAMOS UNA MONEDA S = {C, X}. SI SE DECIDE LANZAR DOS VECES: SI SE LANZA Y SE OBTIENE C, SE LANZA NUEVAMENTE, PERO SI LA PRIMERA VEZ SE OBTIENE X, ENTONCES SE LANZA UN DADO. C
C
X
SE SELECCIONAN 3 ARTÍCULOS DE UN PROCESO, SE EXAMINAN Y SE CLASIFICAN: D = DEFECTUOSO N = NO DEFECTUOSO
1 DADO
EXPERIMENTO ESTADÍSTICO SUCESO O EVENTO ALEATORIO ALEATORIO (E)
EVENTO ELEMENTAL ( e)
2 X
3 4
S = {CC, CX, X1,X2,X3,X4,X5,X6}
5 6
CONT CONTRU RUIR IR UN DIA DIAGRAM GRAMA A DE DETERMINAR EL ESPACIO ESPACIO MUESTRAL
ÁRBO ÁRBOLL
Y
09/03/2012
EJERCICIO:
EJEMPLO:
PROBABILIDAD PERMITE MEDIR LA PROBABILIDAD DEL EVENTO (Subconjunto de S, de interés) P ( Evento)
P(Roja) = R 3 posibles rojas de 7 resultados posible P(Roja) = 3/7 = 0.4285
Númeroderesultadosfavorables Númeroderesultadosposibles
Cuando es imposible de que ocurra un evento:
P(Azul) = R’ = COMPLEMENTO
P= 0
Cuando se está seguro de que ocurrirá un evento: P= 1
Estos números se han escrito separadamente en tarjetas y los han puesto juntos en un sombrero: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10 Una persona saca un número al azar sin mirar dentro del sombrero. Calcula la probabil idad de cada resultado. a. P(1) b. P(3 ó 10) c. P(no 5) d. P(6) 1/14, 1/7, 11/14 y 1/7
LANZAMIENTO DE DADO S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = Número Par; S = {2, 4, 6} B = Número mayor a 3; S = {4, 5, 6} Si el elemento del subconjunto: {4, 6} = INTERSECCIÓN = A ∩B
EJERICICIO:
Sea P el evento de que una persona que se selecciona al azar entre las que comen en un restaurante y cumple con sus impuestos, y Q el evento de que dicha persona tenga más de 65 años. Entones… Si M = {a, e, i, o, u} y N = {r, s, t}, entonces: M∩N = Ø (Nulo: No hay elementos en común)
Si el elemento del subconjunto contiene a todos los elementos de A o B o ambos = UNIÓN AUB
SI: A = {a, b, c} B = {b, c, d, e} AUB = {a, b, c, d, e}
MUTUAMENTE EXCLUYENTES (DISJUNTOS)
09/03/2012
DIAGRAMAS DE VENN
Relación gráfica entre eventos y el espacio muestral:
EJERCICIO:
ESPACIO MUESTRAL =
EVENTOS =
Un experimento consiste en lanzar un par de dados, 1 verde y 1 rojo y registrar los números que resultan. Si “x” es el resultado del dado verde y “y” el del dado rojo, Describa el espacio muestral. Con una lista de los elementos (x, y) b. Mediante el método de la regla. c. Enumere los elementos que corresponden al evento: 1. A, en que la suma sea mayor a 8. 2. B, que ocurra un 2 en cualquiera de los dados. 3. C, se obtiene un número mayor de 4 en el dado verde. 4. A∩C 5. A∩B 6. B∩C 7. Dibuje un diagrama de Venn para dibujar intersecciones a.
A∩B = 1 y 2 B∩C = 1 Y 3 AUC = 1, 2, 3, 4, 5, 7 B’∩A = 4 y 7 A∩B∩C = 1 (AUB)∩C = 2, 6 y 7
S
C 5 4
3 1
7 A
2
6 B
EJERCICIO:
Un experimento consiste en preguntarle a tres mujeres aleatoriamente si lavan sus platos con el detergente marca X. a. b. c.
Enumere los elementos de un espacio muestral S utilizando Y para la respuesta “sí” y N para “no”. Escriba los elementos de S que corresponden al evento E: al menos 2 de las mujeres usan la marca X. Defina un evento que tenga como elementos los puntos {YYY, NYY, YYN, NYN}
Un experimento consiste en lanzar primeramente un dado y después lanzar una moneda, siempre y cuando el número en el dado sea par. Si el resultado del dado es non, la moneda se lanza dos veces. Al utilizar la notación 4C, por ejemplo, se indica el evento donde el número en el dado es un 4 y la moneda cae cara; y 3CX para señalar el evento de que el dado muestra 3 y en la moneda se da una cara y una cruz. Dibuje un diagrama de árbol para mostrar los 18 elementos del espacio muestral S.
CONTEO DE PUNTOS MUESTRALES REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN: Si una operación puede realizarse en n 1 formas y por cada una de estas una segunda operación se puede llevar a cabo en n 2 formas, entonces las dos operaciones pueden realizarse juntas en n 1n2 formas.
¿Cuántos puntos muestrales hay en un espacio muestral cuando se lanza un par de dados una sola vez? n1 = 6 formas y n 2 = 6 formas n1n2 = (6)(6) = 36 formas
09/03/2012
EJERCICIO
PERMUTACIONES
Un constructor ofrece la oportunidad de comprar una casa de tipo Tudor, rústico, colonial o tradional y una sola plata, dos pisos o desniveles. ¿De cuántas maneras se puede ordenar una casa?, dibuje el diagrama de árbol.
REGLA DE MULTIPLICACIÓN GENERALIZADA:
n1n2 ,…, nk
Considere el conjunto a, b y c. Si obtenemos los
diferentes arreglos para este conjunto tendremos: abc acb, bac, cab, cba
PERMUTACIONES
El # Permutaciones = n! = 3! = 3x2x1 = 6
EJERCICIO Se sacan dos boletos de la lotería, entre 20 posibles, para el primero y el segundo premios, encuéntrese el número de puntos muestrales en el espacio S.
Si consideramos a, b, c y d = 4! = 24 permutaciones
Si restringimos a solo tomar grupos de 2 letras, entonces el número de permutaciones será nPr
= n!/(n-r)! = 4!/(4-2)! = 4X3x2x1/2x1 = 12
ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dc
¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?
Si en un mismo conjunto se tienen objetos iguales: a, b, c y d; a = b = x; c = d = y Entonces: n! /n1!n2!...nK! 4!/(2!2!) = 6 Permutaciones xxyy, xyxy, yxxy, yyxx, xyyx, yxyx
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
Se trata de una permutación con repetición. Donde n1 = 3 (tres círculos), n 2 = 2 (dos cuadrados), n3 = 1 (un triángulo), n 4 = 1 (un rombo), luego: P = 7!/(3!2!1!1!) = 5040/12 = 420 Permutaciones
SUMA DE LOS PESOS DE TODOS LOS PUNTOS MUESTRALES. Se lanza una moneda dos veces al aire, ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cuando menos una vez cara? S = {CC, CX, XC, XX} A = {CC, CX, XC} 4w=1 ; w=1/4 P(A) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
09/03/2012
EJERCICIO
EJERCICIO
Se carga un dado de tal manera que el número par tiene el doble de posibilidades de presentarse que un non. Si E es el evento en el que se da un número menor que 4 en un solo lanzamiento, encuentre P(E).
REGLA DE ADICIÓN
Si A y B son eventos cualquiera, entonces:
Se carga un dado de tal manera que el número par tiene el doble de posibilidades de presentarse que un non. Si E es el evento en el que se da un número menor que 4 en un solo lanzamiento, encuentre P(E). S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} probabilidades w, 2w, w, 2w, w, 2w, respectivamente: 9w = 1 w = 1/9 P(E) = {1, 2, 3} P(E) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Cuando un evento (B) se dé cuando se sabe que algún otro evento (A) se ha presentado
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩B) La probabilidad de que B ocurra dado que ocurrió A
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces: P(B|A) = P(A ∩B)/P(A) P(AUB) = P(A) + P(B)
Si un experimento puede tener cualquiera de N resultados diferentes igualmente factibles y si exactamente n de esos resultados corresponden al evento A, entonces: P(A) = n/N
EJERCICIO E MP LE AD O
D ES EM PL EA DO
T OTA L
HOMBRE MUJER
460 140
40 260
500 400
TOTAL
600
300
900
EVENTOS DE INTERÉS M: Se escoge hombre E: el elegido tiene empleo P(M|E) = P(E∩M)/P(E) P(E)= P(E∩M) =
09/03/2012
EJERCICIO
La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es P(D) = 0.83, la de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82 y la que despegue y llegue a tiempo P(D∩A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión:
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos eventos son independientes si y solo si: P(B|A) = P(B) Y P(A|B) = P(A)
Llegue a tiempo dado que despegó a tiempo Despegue a tiempo dado que llegó a tiempo
Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces: P(A∩B) = P(A)P(B|A) Dos eventos son independientes si y solo si: P(A∩B) = P(A)P(B)
La ocurrencia de B es independiente de A y viseversa
TEOREMA DE BAYES
EJERCICIO
En una bolsa se han colocado 4 pelotas blancas y 3 negras y el una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una pelota de la primera bolsa y sin verla se mete en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que la pelota que se saque de está última sea negra?
P(N1∩N2) BOLSA 2: 3B, 6N
(3/7)(6/9)
P(N1∩B2) (3/7)(3/9)
BOLSA 1: 4B, 3N
P(B1∩N2) BOLSA 2: 4B, 5N
P(N2) = (3/7)(6/9) + (4/7)(5/9) = 38/63
(4/7)(5/9)
P(B1∩B2) (4/7)(4/9)
La determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados
“Sea A1, A 2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/A ). i entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión: P ( Ai / B )
P( Ai ) P ( B / Ai ) P ( A1 ) P ( B / A1 ) P ( A2 ) P ( B / A2 ) P( An ) P ( B / An )
09/03/2012
3 máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y result a ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabil idad de haber producido la citada pieza defectuosa?
a.
P(D) = P(A)·P(D/A) + P(B)·P(D/B) + P(C)·P(D/C) =
(0.45)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.25)(0.05) = 0.038
A 0.45 0.30
B
0.25
C
0.96
D N D N
0.05
D
0.95
N
0.03 0.97 0.04
Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
