Investigacion Unidad 3 Probabilidad Frank Felipe

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE FELIPE CARRILLO PUERTO “UNIDAD ACADEMICA TULUM” CARRERA: INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL. MATERIA: HABILIDADES DIRECTIVAS I. TRABAJO: INVESTIGACIÓN. UNIDAD 3: TIPOS DE DISTRIBUCIONES, VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS DISCRETAS Y CONTINUAS. CONTINUAS. DOCENTE: ING. MANUEL GILBERTO PUC LEÓN. ALUMNOS: JUAN FELIPE COCOM CHAN FRANK LOPEZ SALINAS SEMESTRE: 3 GRUPO: C

TULUM QUINTANA ROO 24 DE NOVIEMBRE DEL 2015

Índice.

Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas. con tinuas. ....... 4 Binominal. ................................................ .......................................................................... .................................................... .................................. ........ 4 Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. ...................................... ...................................... 5 Gráfica. ................................................. ........................................................................... .................................................... .................................. ........ 5 Poisson. ................................................... ............................................................................. .................................................... .................................. ........ 6 Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. ...................................... ...................................... 6 Gráfica. ................................................. ........................................................................... .................................................... .................................. ........ 7 Hipergeométrica......................................................................... .................................................................................................. .......................... 8 Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. ...................................... ...................................... 9 Gráfica. ................................................. ........................................................................... .................................................... .................................. ........ 9 Normal y logaritmo-normal. .......................... .................................................... .................................................... ............................ .. 10 Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. .................................... .................................... 10 Gráfica. ................................................. ........................................................................... .................................................... ................................ ...... 11 Aproximación de la normal a la binomial................................................. ........................................................... ........... 13 Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. .................................... .................................... 13 Gráfica. ................................................. ........................................................................... .................................................... ................................ ...... 14 Conclusión................................................... Conclusión......................... .................................................... .................................................... ................................ ...... 21 Bibliografía. ................................................. ........................................................................... .................................................... ................................ ...... 22

Investigación Unidad 3: Tipos de distribuciones, distribuci ones, variables aleatorias discretas y continuas.

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Introducción. En el siguiente trabajo de investigación de la unidad se presentara la información necesaria para poder comprender lo que sin los tipos de distribuciones, las variables aleatorias y las discretas. Por mencionar algunas de estas variables podemos mencionar las binomiales, de igual forma mencionaremos la distribución de Poisson, en esta investigación se mencionaran ejercicios para que se pueda tener un mejor conocimiento. Esperemos que sea de su total agrado la siguiente información y que ayudemos a su entendimiento.

Investigación Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas.

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Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas. Binominal. La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones: 1)

El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.

2)

Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso.

3)

La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las

pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q 4)

Las pruebas son estadísticamente independientes,

En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de ‚éxitos en la

n pruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento. La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del ‚éxito. n y p son los

parámetros de la distribución.

La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia.


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Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. La media y la varianza de la variable binomial se calculan como: Media = μ = n p Varianza = σ2 = n p q

Gráfica. Gráficamente el aspecto de la distribución depende de que sea o no simétrica Por ejemplo, el caso en que n = 4:


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Poisson. Una variable de tipo poisson cuenta ‚éxitos (es decir, objetos de un tipo determinado) que ocurren en una región del espacio o del tiempo. El experimento que la genera debe cumplir las siguientes condiciones: El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del espacio es independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo o espacio disjunto del anterior. La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra fuera de él. La probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del tiempo o del espacio tiende a cero a medida que se reducen las dimensiones de la región en estudio. Como consecuencia de estas condiciones, las variables Poisson típicas son variables en las que se cuentan sucesos raros. La función de probabilidad de una variable Poisson es:

El parámetro de la distribución es λ que es igual a la media y a la varianza de la

variable.

Esta característica puede servirnos para identificar a una variable Poisson en casos en que se presenten serias dificultades para verificar los postulados de definición.

Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. La distribución de Poisson se puede considerar como el límite al que tiende la distribución binomial cuando n tiende a

y p tiende a 0, siendo np constante (y

menor que 7); en esta situación sería difícil calcular probabilidades en una variable Investigación Unidad 3: Tipos de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas.

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binomial y, por tanto, se utiliza una aproximación a través de una variable Poisson con media l = n p. La varianza de la variable aproximada es ligeramente superior a la de la variable binomial.

Las variables Poisson cumplen la propiedad de que la suma de variables Poisson independientes es otra Poisson con media igual a la suma las medias. El aspecto de la distribución depende muchísimo de la magnitud de la media. Como ejemplo, mostramos tres casos con λ = 0,5 (arriba a la izquierda), λ = 1,5 (arriba a la derecha) y λ = 5 (abajo) Obsérvese que la asimetría de la distribución disminuye al crecer λ y que, en paralelo, la gráfica empieza a tener un a specto

acampanado.

Gráfica.


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Hipergeométrica. Una variable tiene distribución hipergeométrica si procede de un experimento que cumple las siguientes condiciones: 1)

Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto finito de N objetos.

2)

K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como

fracasos. X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a K si K < n. En este caso, la probabilid ad del ‚éxito en pruebas sucesivas no es constante pues depende del resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son independientes entre sí. La función de probabilidad de la variable hipergeométrica es:

Los parámetros de la distribución son n, N y K. Los valores de la media y la varianza se calculan según las ecuaciones:

Si n es pequeño, con relación a N (n << N), la probabilidad de un ‚éxito variar muy

poco de una prueba a otra, así pues, la variable, en este caso, es esencialmente binomial; en esta situación, N suele ser muy grande y los números combinatorios se vuelven prácticamente inmanejables, así pues, la probabilidades se calculan


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más cómodamente aproximando por las ecuaciones de una binomial con p = K / N.

Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. La media de la variable aproximada (μ = n p = n (K / N)) es la misma que la de la

variable antes de la aproximación; sin embargo, la varianza de la variable binomial es ligeramente superior a la de la hipergeométrica.

El factor por el que difieren ser siempre menor que 1 y tan próximo a 1 como cierto sea que n << N. El aspecto de la distribución es bastante similar al de la binomial. Como ejemplo, mostramos los casos análogos a los de las binomiales del apartado anterior (p inicial = 0,25 y n = 4)

Gráfica.


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Normal y logaritmo-normal. La distribución normal fue definida por De Moivre en 1733 y es la distribución de mayor importancia en el campo de la estadística. Una variable es normal cuando se ajusta a la ley de los grandes números, es decir, cuando sus valores son el resultado de medir reiteradamente una magnitud sobre la que influyen infinitas causas de efecto infinitesimal. Las variables normales tienen una función de densidad con forma de campana a la que se llama campana de Gauss. Su función de densidad es la siguiente:

Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. Los parámetros de la distribución son la media y la desviación típica, μ y σ,

respectivamente. Como consecuencia, en una variable normal, media y desviación típica no deben estar correlacionadas en ningún caso (como desgraciadamente ocurre en la inmensa mayoría de las variables aleatorias reales que se asemejan a la normal. La curva normal cumple las siguientes propiedades: 1)

El máximo de la curva coincide con la media.

2)

Es perfectamente simétrica respecto a la media (g1 = 0).

3)

La curva tiene dos puntos de inflexión situados a una desviación típica de la

media. Es convexa entre ambos puntos de inflexión y cóncava en ambas colas.


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Gráfica.

4)

Sus colas son asintóticas al eje X.

Para calcular probabilidades en intervalos de valores de la variable, habría que integrar la función de densidad entre los extremos del intervalo. Por desgracia (o por suerte), la función de densidad normal no tiene primitiva, es decir, no se puede integrar. Por ello la única solución es referirse a tablas de la función de distribución


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de la variable (calculadas por integración numérica) Estas tablas tendrían que ser de triple entrada (μ, σ, valor) y el asunto tendría una complejidad enorme.

Afortunadamente, cualquier que sea la variable normal, X, se puede establecer una correspondencia de sus valores con los de otra variable con distribución normal, media 0 y varianza 1, a la que se llama variable normal tipificada o Z. La equivalencia entre ambas variables se obtiene mediante la ecuación:

La función de distribución de la variable normal tipificada está tabulada y, simplemente, consultando en las tablas se pueden calcular probabilidades en cualquier intervalo que nos interese. De forma análoga a lo pasaba con las variables Poisson, la suma de variables normales independientes es otra normal.

Histograma de una normal idealizada

Histograma de una muestra de una variable normal


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Aproximación de la normal a la binomial. En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos binomiales de una forma muy aproximada con la distribución normal, esto puede llevarse a cabo si n y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,   

P ( x ,n , p ) n C x p x q n  x  p z 

x  np 

 npq 

Dónde: x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros.  =



=

np = media de la distribución binomial. npq

= desviación estándar de la distribución binomial.

Propiedades: Media, varianza y desviación estándar. Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida. En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuándo puede utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí ambos, np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena. Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,


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Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación: z 

( x  1 / 2 )   

Gráfica. ¿Por qué vamos a sumar o a restar ½ a x? Este es un factor de corrección debido a que se está evaluando una variable discreta con una distribución continua, por lo que hay que delimitar claramente desde que punto se va a evaluar la variable, dicho de otra forma, en que límite de la barra (inferior o superior) nos debemos posicionar para determinar la probabilidad requerida, cada barra de probabilidad a evaluar tiene como base la unidad, ese es el porqué del  ½.

X2 = 65.5

= 60

X = 65

X1 = 64.5

Ejemplos: La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que?: A) Al menos 30 sobrevivan B) Más de 46 sobrevivan C) Menos de 50 no sobrevivan?


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Solución: a) n = 100 p = p(paciente se recupere) = 0.40 q = p(paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60  =



=

np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperen npq

=

100( 0.40 )( 0.60 )

 4.899

pacientes que se recuperan

x = variable que nos define el número de pacientes que se recuperan x = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan

X = 29.5

z 

( x  1 / 2 )   



= 40

( 30  1 / 2 )  40 4.899



29.5  40 4.899

 2.1433  2.14

P (z = -2.14) =0.4838 P (x  30) = p(z = -2.14) +0.5 = 0.4838 + 0.5 = 0.9838


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X = 46.5

= 40

z 

( x  1 / 2 )  40 4.899



( 46  1 / 2 )  40 4.899



46.5  40 4.899

 1.33

P (z = 1.33) = 0.4082 P (x  46) = 0.5 – p(z = 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918 n = 100 p = P (paciente no sobreviva) = 0.60 q = P (paciente sobreviva) = 1 – p = 0.40  



np  ( 100 )( 0.60 )  60

 npq 

Pacientes que no se recuperan

100( 0.60 )( 0.40 )

 4.899

Pacientes que no se recuperan

x = variable que nos define el número de pacientes que no sobreviven x = 0, 1, 2,…, 100

X = 49.5

= 60


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z 

( 50  1 / 2 )  60 4.899



49.5  60 4.899

 2.14

P (z = -2.14) = 0.4838 P (x  50) = 0.5 – P (z = -2.14) = 0.5 – 0.4838 = 0.0162 Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuáles solo una es la correcta ¿cuál es la probabilidad de que al azar se den de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de las 200 preguntas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos? Solución: n = 80 p = P (dar una contestación correcta) = 0.25 q = P (dar una contestación incorrecta) = 1 – p = 0.75  



np  80 x0.25  20

Preguntas contestadas correctamente

 npq  ( 80 )( 0.25 )0.75 )  3.8729

Preguntas contestadas correctamente

x = número de preguntas que son contestadas correctamente = 0, 1, 2,...,80

X2 = 30.5

 = 20

z 1 

( x1  1 / 2 )   



X1 = 24.5

( 25  1 / 2 )  20 3.8729

 1.1619  1.16

,

P (z1 = 1.16) = 0.377


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z 2 

( x2  1 / 2 )  



( 30  1 / 2 )  20



3.8729

 2.7111  2.71

, P (z2 = 2.71) = 0.4966

P (25  x  30) = P (z2) – P (z1) = 0.4966 – 0.377 = 0.1196

Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa línea a) menos de 354 productos sean defectuosos?, b) entre 342 y 364 productos sean defectuosos?, c)exactamente 354 productos sean defectuosos? Solución: a)n = 1000 p = p(un producto sea defectuoso) = 0.35 q = p(un producto no sea defectuoso) = 1- p = 0.65  

np  1000( 0.35 )  350



Productos defectuosos

 npq  ( 1000 )( 0.35( 0.65 ) 

15.0831 productos defectuosos

x = número de productos defectuosos que se manufacturan en la línea = 0, 1, 2,..., 1000

X = 353.5

 = 350


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z 

( 354  1 / 2 )  



( 354  1 / 2 )  350



15.0831

 0.2320  0.23

, P (z = 0.23) = 0.091

p(x 354) = 0.5 + p(z = 0.23) = 0.5 + 0.091 = 0.5091 b)

X1 = 341.5

z 1 

z 2 

( 342  1 / 2 )  350 15.0831

( 364  1 / 2 )   



 = 350

 0.5635  0.56 ( 364  1 / 2 )  350 15.0831

X2 = 364.5

,  0.9613

p(z1= - 0.56) = 0.2123

 0.96,

P (z2= 0.96) = 0.3315

P (342  x  364) = p(z1) + p(z2) = 0.2123 + 0.3315 = 0.5438

c)

X2 = 354.5 X1 = 353.5  = 350


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z 1 

( 354  1 / 2 )  



( 354  1 / 2 )  350 15.0831



z 2 

( 354  1 / 2 )   



 0.2320

( 354  1 / 2 )  350 15.0831



0.23, p(z1 = 0.23) = 0.091

 0.2983  0.30

,

P (z2= 0.30) = 0.1179 P (x = 354) = p(z2) - p(z1) = 0.1179 – 0.091 = 0.0269


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Conclusión. Después de la información presentada acerca de la unidad sobre los tipos de distribuciones donde se nos mencionan que Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos: Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos. Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos. Y otros de los ejemplos o derivados de estas distribuciones son las de binomial, la de Poisson, Hipergeométrica, por mencionar. De esta información presentada esperemos y allá sido de su total agrado y comprensión.


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Bibliografía. Berenson, k. L. (s.f.). Estadística para Administración. Prentice. Fernández, G. F. (23 de Mayo de 2008). Blogspot . Recuperado el 24 de Noviembre

de

2015,

de

http://pendientedemigracion.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_ba sica%201.htm#INICIO Jay, L. D. (2011). Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias. En L. D. Jay, Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias (pág. 245). Internacional Thomson Editores. Sweeney, W. A. (2010). Estadistica para administración y Economia. En W. A. Sweeney, Estadistica para administración y Economia (pág. 500). Internacional Thomson Editores.


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