16 PROBABILIDAD COMPUESTA
PA R A
1
E M P E Z A R
Indica la probabilidad de los siguientes sucesos. a) Sacar un múltiplo de 8 al lanzar un dado. b) Sacar diferente número de caras y de cruces al lanzar tres monedas al aire. c) Obtener un número par, como producto de las puntuaciones que resultan al lanzar un dado dos veces, sabiendo que en uno de los dados se ha obtenido un 4. a) Ningún número del 1 al 6 es múltiplo de 8; por tanto, este suceso es imposible. La probabilidad es cero. b) Al lanzar tres monedas al aire, siempre vamos a obtener o dos caras y una cruz, o dos cruces y una cara, por lo que este suceso va a ocurrir seguro. La probabilidad es uno. c) Como uno de los dados es 4, al multiplicarlo por cualquier otro número obtenido en el otro dado, siempre vamos a obtener un número par. La probabilidad es uno.
2
Razona si los siguientes sucesos son equiprobables o no. a) Al lanzar dos dados, obtener como suma de sus caras superiores 7 y 2 puntos. b) Al lanzar un dado, obtener un dos y un cuatro. a) Para obtener 7 puntos hay varias posibilidades: (1, 6), (2, 5),(3, 4)… En cambio, para obtener 2 puntos solo hay una (1, 1). Por tanto, los sucesos no son equiprobables. b) En este caso, sí son equiprobables, ya que (siempre y cuando el dado esté equilibrado) la probabilidad de obtener un 4 es la misma que la de obtener un dos.
3
A un enfermo se le receta un medicamento A que tiene una eficacia del 90%. Sin embargo, el mismo paciente debe tomar otro fármaco B debido a una dolencia crónica, que reduce la eficacia de A en un 30%. En estas condiciones, ¿cuál es la eficacia esperada de A en el tratamiento del paciente? La eficacia será 0,90 (1 0,30) 100 63%.
Experimentos compuestos PA R A
P R A C T I C A R
16.1 Indica si estos experimentos son simples o compuestos. a) Lanzar tres dados de forma consecutiva. b) Sacar una carta de una baraja. c) Sacar, sin reemplazamiento, dos cartas de una baraja. d) Lanzar un dado de quinielas 14 veces. e) Escoger dos películas entre las cinco que se proyectan en un ciclo de cine clásico. a) Compuesto
b) Simple
c) Compuesto
d) Compuesto
e) Compuesto
Ejercicio resuelto 16.2 Se considera el experimento aleatorio compuesto “lanzar una moneda y un dado al aire y observar los resultados obtenidos en cada uno”. a) Indica los experimentos simples que forman dicho experimento compuesto. b) Indica el número de sucesos elementales que forma cada uno de los experimentos simples anteriores. ¿Son equiprobables? c) Indica el número de sucesos elementales que forma el experimento aleatorio compuesto. ¿Son equiprobables? a) Los experimentos simples son “lanzar una moneda” y “lanzar un dado”. b) El espacio muestral de “lanzar una moneda” está formado por dos sucesos elementales equiprobables: E1 C, X El espacio muestral de “lanzar un dado” está formado por seis sucesos elementales equiprobables: E1 1, 2, 3, 4, 5, 6 c) El número de sucesos elementales del experimento compuesto será el producto: . Como los sucesos elementales de los experimentos simples son equiprobables en los dos casos, los sucesos elementales del experimento compuesto también son equiprobables. 66
16.3 Se lanzan al aire cuatro monedas. ¿Cuáles son los experimentos simples que intervienen? Calcula el número de sucesos elementales de los espacios muestrales correspondientes a los experimentos aleatorios simples y al experimento aleatorio compuesto y di si son equiprobables o no. El experimento compuesto está formado por cuatro experimentos simples iguales: “lanzar una moneda”. El número de sucesos elementales de cada experimento simple es 2. E C, X. Estos dos sucesos son equiprobables. El número de sucesos elementales del experimento compuesto es 24 16 . Estos 16 sucesos son equiprobables. E
CCCC XCCX
CCCX XCXC
CCXC XXCC
CXCC CXXX
CCXX XXCX
CXCX XXXC
CXXC XXXX
16.4 Una bolsa contiene tres bolas blancas y dos negras. Se extraen dos bolas al azar. Indica los experimentos aleatorios simples que forman el experimento compuesto y escribe el espacio muestral de este último en el caso de que: a) La extracción se haya realizado con reemplazamiento. b) La extracción se haya realizado sin reemplazamiento. c) Se hayan extraído las bolas de una sola vez. a) El experimento compuesto está formado por dos experimentos simples iguales: “Extraer una bola de una urna que contiene 3B y 2N”. El espacio muestral del experimento compuesto es: E BB
BN
NB
NN.
b) El experimento compuesto está formado por dos experimentos simples diferentes: “Extraer una bola de una urna que contiene 3B y 2N” y “Extraer una bola de una urna que contiene cuatro bolas (las mismas que en el anterior excepto la que ha resultado extraída)”. El espacio muestral del experimento compuesto es el mismo: E BB
BN
NB
NN.
c) Se puede considerar que se trata de un experimento simple con espacio muestral: E Dos blancas, Dos negras, Una de cada color.
16.5 Dos mazos de cartas contienen, uno, las diez cartas de oros, y el otro, las diez cartas de copas. Se extrae una carta de cada mazo. Indica cuál es el experimento aleatorio compuesto y cuáles los experimentos aleatorios simples que lo forman. Calcula el número de sucesos elementales del espacio muestral del experimento compuesto y di si son o no equiprobables. El experimento compuesto es elegir dos cartas, cada una de un mazo diferente con 10 cartas cada uno. Está formado por dos experimentos simples iguales en esencia: elegir una carta de entre diez. El número de sucesos elementales de cada experimento simple es 10. El número de sucesos elementales del experimento compuesto es 102 100, que son equiprobables.
16.6 Beatriz quiere planificar sus vacaciones. Como lugares posibles puede elegir entre ciudad, mar o montaña; como meses, julio o agosto, y como medio de transporte, coche o avión. Indica de cuántas formas diferentes puede planificar sus vacaciones Beatriz.
Se trata de un experimento compuesto, formado por tres experimentos simples: “Elegir destino: ciudad, mar o montaña” (3 sucesos elementales). “Elegir mes: julio o agosto” (2 sucesos elementales). “Elegir transporte: avión o coche” (2 sucesos elementales). Así, Beatriz tiene 3 2 2 12 formas diferentes de planificar sus vacaciones. 67
PA R A
A P L I C A R
16.7 Para realizar un curso de tenis, Elena debe escoger tres días de la semana de lunes a sábado. A la hora de realizar la inscripción, todas las posibilidades están disponibles, pero a Elena le gustaría ir los mismos días que su amiga Noelia, que se apuntó el día anterior. Elena no conoce la elección de Noelia ni puede contactar con ella, y debe, por tanto, probar suerte y elegir al azar. Escribe todas las posibilidades suponiendo que: a) No hay ninguna restricción. b) Los tres días no pueden ser consecutivos. c) Sabe que Noelia ha escogido el lunes como uno de los tres días. d) Sabe que Noelia no puede ir los sábados y que, con seguridad, ha escogido el lunes. a) E
LMX LXV MXJ MVS
LMJ LXS MXV XJV
LMV LJV MXS XJS
LMS LJS MJV XVS
b)
c)
LMX LXV
LMJ LXS
LMV LJV
LMS LJS
LXJ ⇒ 10 posibilidades LVS
d)
LMX
LMJ
LMV
LXJ
LXV
LMJ LXV LVS MJS
LMV LXS MXV MVS
LMS LJV MXS XJS
LXJ LJS MJV XVS
LXJ LVS MJS ⇒ 20 posibilidades JVS
⇒ 16 posibilidades
LVJ
⇒ 6 posibilidades
16.8 En la secretaría del centro escolar de Javier, Iñaki y Fran desean conocer el mes en que han nacido los tres alumnos. Modeliza la situación con un experimento aleatorio compuesto e indica los experimentos simples que lo componen. Indica cuántos sucesos elementales tiene el experimento aleatorio compuesto si: a) No hay restricción alguna. b) Se sabe que Javier nació en el primer trimestre del año. c) Se sabe que Fran e Iñaki nacieron en el último cuatrimestre del año. d) Se sabe que los tres alumnos nacieron en meses diferentes. El experimento compuesto está formado por tres experimentos simples iguales: “Escoger uno de los doce meses del año”. El número de sucesos elementales de cada experimento simple es 12. a) 123 1728 sucesos elementales
c) 12 4 4 192 sucesos elementales
b) 3 12 12 432 sucesos elementales
d) 12 11 10 1320 sucesos elementales
Diagrama de árbol y tablas de contingencia PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto 16.9 Mediante un diagrama de árbol, escribe todos los sucesos elementales del experimento compuesto que consiste en lanzar tres veces una moneda. Escribe el espacio muestral. C C X C X X
68
C X C X
CCC CCX CXC CXX
C X C X
XCC XCX XXC XXX
E
CCC XCC
CCX XCX
CXC XXC
CXX XXX
16.10 La bolsa contiene una bola blanca, una negra y una verde. Se sacan al azar dos bolas. Escribe los espacios muestrales del experimento aleatorio en los casos siguientes. a) La extracción se ha realizado con reemplazamiento. b) La extracción se ha realizado sin reemplazamiento. c) Se han sacado las dos bolas a la vez. a)
B N V
BB BN BV
N
B N V
NB NN NV
V
B N V
VB VN VV
B
E
BB NB VB
BN NN VN
BV NV VV
b)
N
BN
V
BV
B
NB
V
NV
B
VB
N
VN
B
N
V
E
BN NV
BV VB
NB VN
c) E BN, BV, NV Ejercicio resuelto 16.11 Se observan dos características en 60 elementos de una población. La primera tiene como posibles valores A y B, y la segunda, a y b. Completa la tabla de contingencia siguiente y calcula el porcentaje de datos que presentan el resultado B.
a b Total
A 8
B
Total 25
20
60
Teniendo en cuenta los totales, se completan las casillas vacías. a b Total
A 8 12 20
B 17 23 40
Total 25 35 60
40 El 100 66,7% presenta el valor B. 60 16.12 Completa las siguientes tablas de contingencia y calcula los porcentajes de: a) Los datos que presentan los resultados B y a al mismo tiempo. b) Los datos que presentan el resultado B. Tabla 1 a b Total Tabla 1 a b Total
A
B 10
Total
20
50
B 10 10 20
Total 20 30 50
20
A 10 20 30
a) De los 50 datos, 10 presentan las características B y a. 10 Son el 100 20% del total. 50 b) De los 50 datos, 20 presentan la característica B. 20 Son el 100 40% del total. 50
Tabla 2 a b Total Tabla 2 a b Total
A
B 5
3 15
8 A 7 1 8
Total
B 5 2 7
Total 12 3 15
a) De los 15 datos, 5 presentan las características B y a. 5 Son el 100 33,3v% del total. 15 b) De los 15 datos, 7 presentan la característica B. 7 Son el 100 46,6v% del total. 15 69
PA R A
A P L I C A R
16.13 Se lanzan tres dados. Con la ayuda de un diagrama de árbol, escribe todos los sucesos elementales equiprobables que forman parte de los siguientes sucesos aleatorios. A Obtener suma de cinco puntos B Obtener suma de seis puntos C Obtener suma de dieciséis puntos Suceso A: 1.er dado
1
2.º dado 1
3.er dado 3
113
2
2
122
3
1
131
A (1 1 3) (1 3 1) (3 1 1) (2 2 1) (2 1 2) (1 2 2) 2
3
Suceso B:
1.er dado
2
212
2
1
221
1
1
311
3 4
3.er dado 4 3 2 1
1 2 3
3 2 1
213 B 222 231
1
2
312
2 1
1 1
321 411
2.º dado 1 2
1
2
3 4
Suceso C:
1
1.er dado
6
114 123 132 141
2.º dado
3.er dado
4
6
646
5
5
655
6
4
664
5
6
556
6
5
565
6
6
466
(2(3
2 2) (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) 1 2) (3 2 1) (4 1 1) (1 4 1) (1 1 4)
C (6 6 4) (6 4 6) (4 6 6) (6 5 5) (5 6 5) (5 5 6)
5
4
16.14 Parte de la información recogida en una encuesta se ha perdido y solo se ha podido completar una parte de la tabla. ¿Crees que puede ser correcta?
Hombre Mujer Total
Fumador 35 75
No fumador
Total
80
115 200
No puede ser correcta, ya que, por un lado, el número de mujeres fumadoras debería ser 35 para que el total de mujeres fuera 115, y, por otro, debería ser 40 para que el total de fumadores fuera 75. 70
16.15 Unos grandes almacenes poseen dos locales de venta, A y B. Realizan una oferta por la que cada cliente con un gasto superior a 10 euros tiene derecho a adquirir un “billete de la suerte”. Cada boleto puede contener premios de 100 ó 20 euros, o, por el contrario, no tener premio. – La empresa ha enviado 10 000 billetes al local A y 5000 al B. – El 90% de los billetes de A y el 85% de los de B no contienen premio. – Entre los dos locales, se han mandado 1000 billetes con 20 euros de premio. De ellos, el 40% ha ido al local B. Ordena todos los datos anteriores en una tabla de contingencia y calcula el porcentaje de billetes del local A que tienen menos de 100 euros de premio. Teniendo en cuenta los datos del enunciado, construimos la siguiente tabla de contingencia: A 400 600 9000 10 000
100 € 20 € 0€ Total
B 350 400 4250 5000
Total 750 1000 13 250 15 000
El porcentaje de billetes del local A con menos de 100 € de 9000 600 premio es: 100 96%. 10 000
Probabilidad en experimentos compuestos PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto 16.16 Una bolsa contiene una bola negra y dos blancas. Se extraen tres bolas con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que en la primera extracción salga blanca y de que en las dos últimas salga negra. 2 – 3 2 – 3
2 – 3 1 – 3
B
B
1 – 3
1 – 3
N
2 – 3
B
1 – 3
N
2 – 3 1 – 3
2 – 3 1 – 3
N
2 – 3 1 – 3
B N B N
BBB BBN BNB BNN
B N
NBB NBN
B N
NNB NNN
2 1 1 2 P(BNN) 3 3 3 27
16.17 Una bolsa contiene dos bolas verdes y cinco blancas. Se extraen dos bolas con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las dos bolas sean verdes. 2 __ 7
V
VV
B
VB
V
BV
B
BB
V
2 __ 7
5 __ 7 2 __ 7
5 __ 7
2 2 4 P(VV) 7 7 49
B 5 __ 7
16.18 Se lanza tres veces una moneda al aire. Calcula las probabilidades de que: a) La primera vez se obtenga una cara, y las otras dos, cruces. b) Las tres sean cruces. c) Las tres sean caras. Construimos el diagrama de árbol correspondiente al experimento:
1 __ 2
1 __ 2
1 __ 2
C
1 __ 2
X
C
1 __ 2
C
1 __ 2
X
X
1 __ 2 1 __ 1 2 __ 2 1 __ 2 1 __ 2 1 __ 2
1 __ 2 1 __ 2
C X
CCC CCX CXC CXX
C X C X
XCC XCX XXC XXX
C X
1 1 1 1 1 a) P(CXX) 3 = 2 2 2 2 8 1 1 1 1 1 b) P(XXX) 3 = 2 2 2 2 8 1 1 1 1 1 c) P(CCC) 3 = 2 2 2 2 8 71
16.19 Se lanza cuatro veces una moneda. Se considera el suceso de obtener alternativamente cara y cruz empezando por cara. Calcula la probabilidad de dicho suceso dibujando únicamente las ramas del diagrama de árbol que conducen a él. Tenemos una única rama del árbol:
1 __ 2
C
1 __ 2
X
1 __ 2
C
1 __ 2
X
CXCX
1 1 1 1 1 1 Por tanto: P(CCC) 4 = 2 2 2 2 2 16 Ejercicio resuelto 16.20 Una bolsa contiene tres bolas negras y cuatro blancas. Se extraen tres bolas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que en la primera extracción salga blanca y de que en las dos últimas salga negra. 1 – 2 4 – 7
B
B
3 – 7
1 – 2
N
2 – 3
B
1 – 3
N
N
2 – 5 3 – 5 3 – 5 2 – 5
3 – 5 2 – 5 4 – 5 1 – 5
B N B N
BBB BBN BNB BNN
B N
NBB NBN
B N
NNB NNN
4 1 2 4 P(BNN) 7 2 5 35
16.21 Una bolsa contiene dos bolas verdes y cinco blancas. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las dos bolas sean verdes. 1 __ 6 2 __ 7
5 __ 7
V
VV
B
VB
V
BV
B
BB
V 5 __ 6 2 __ 6
2 1 2 1 P(VV) 7 6 42 21
B 4 __ 6
16.22 Se extraen dos cartas sin devolución de una baraja de 40 naipes. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos teniendo en cuenta, únicamente, las ramas del diagrama de árbol que conducen a ellos. a) La primera carta es de oros, y la segunda, de espadas. b) Las dos cartas son de oros. c) La primera carta es un rey, y la segunda, un caballo. d) Las dos cartas son caballos. 5 10 10 a) P(OE) 78 40 39 10 9 3 b) P(OO) 40 39 52
4 4 2 c) P(RC) 40 39 195 4 3 1 d) P(CC) 40 39 130 PA R A
A P L I C A R
16.23 Para contactar con el servicio de internet de una compañía telefónica hay que llamar a Información general, que pasa la llamada a Información técnica, que, finalmente, pasa la llamada a Información sobre conexiones. Las probabilidades de que las líneas de estos departamentos estén ocupadas son 0,15, 0,10 y 0,08, respectivamente. Calcula la probabilidad de poder contactar con el departamento de Información sobre conexiones. La probabilidad de contactar con Información general es 1 0,15 0,85. Una vez en el primer departamento, la probabilidad de contactar con Información técnica es 1 0,10 0,90, y una vez en este departamento, la probabilidad de contactar con el tercero es 1 0,08 0,92. Por tanto, la probabilidad de contactar con Información sobre conexiones es 0,85 0,90 0,92 0,7038. 72
16.24 Javier nació un lunes y no sabe el día de la semana que han nacido sus amigos Pablo, Francisco y Miguel. a) Calcula la probabilidad de que los tres hayan nacido, como Javier, en lunes. b) Calcula la probabilidad de que Pablo haya nacido en lunes, pero Francisco y Miguel lo hayan hecho en días diferentes del lunes. c) Calcula la probabilidad de que los cuatro amigos hayan nacido en diferente día de la semana. d) Calcula la probabilidad de que Pablo no haya nacido en lunes, de que Francisco haya nacido en martes y de que Miguel haya nacido en domingo. e) Calcula la probabilidad de que los cuatro amigos hayan nacido en el mismo día de la semana. 1 1 1 1 a) P(LLL) 7 7 7 343 36 1 6 6 b) P(LLL) 343 7 7 7 6 5 4 120 c) P(diferentes días) 7 7 7 343 6 1 1 6 d) P(LMD) 7 7 7 343 1 1 1 1 e) P(LLL) 343 7 7 7
Probabilidad condicionada PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto 16.25 Una bolsa contiene dos bolas blancas, tres negras y cinco verdes. Se extraen al azar tres bolas. Calcula la probabilidad de que las dos primeras sean blancas y la tercera verde si la extracción se ha realizado: a) Con reemplazamiento b) Sin reemplazamiento a) Los sucesos correspondientes a la 1.ª, 2.ª y 3.ª extracciones son independientes, ya que se realizan con reemplazamiento. 2 2 5 1 Por tanto: P(BBV) P(B) P(B) P(V) 10 10 10 50 b) Los sucesos correspondientes a la 1.ª, 2.ª y 3.ª extracciones son dependientes, ya que se realizan sin reemplazamiento. B V 2 1 5 1 Por tanto: P(BBV) P(B) P P B BB 10 9 8 72
16.26 En una bolsa hay 10 bolas verdes, de las que 4 tienen lunares y el resto son lisas, y 15 bolas rojas, de las que 5 tienen lunares y el resto son lisas. Se toma una bola al azar. a) Ordena los datos en una tabla de doble entrada. b) Calcula la probabilidad de que sea verde. c) Calcula la probabilidad de que sea lisa. d) Calcula la probabilidad de que sea lisa y verde. e) Se sabe que tiene lunares, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja? a) Lunares Lisas Total
Verdes 4 6 10
10 2 b) P(Verde) 25 5 16 c) P(Lisa) 25
Rojas 5 10 15
Total 9 16 25 6 d) P(Verde Lisa) 25 5 25 Roja P(Roja Lunares) 5 e) P Lunares P(Lunares) 9 9 25
73
16.27 Completa la tabla de contingencia y calcula la probabilidad que se indica en cada apartado. A 8
a b Total
B
a) P(A/a)
Total 20
19
b) P(A/b) c) P(b/B)
40
En primer lugar completamos la tabla:
A 8 13 21
a b Total
B 12 7 19
Total 20 20 40
8 40 P(A a) 8 2 a) P(A/a) 9 P(a) 20 5 25 13 40 P(A b) 13 b) P(A/b) 20 P(b) 20 40 7 40 P(b B) 7 c) P(b/B) 19 P(B) 19 40 PA R A
A P L I C A R
16.28 Se ha observado el color del pelo y de los ojos de un grupo de 68 personas. Los resultados son los que aparecen en la siguiente tabla. Azul Verde Marrón Total
Rubio 10 8 2
Castaño 7
Moreno
32
7 8
Total 18
68
Completa la tabla de contingencia y calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar: a) Tenga los ojos marrones. b) Tenga el pelo rubio y los ojos verdes. c) Sabiendo que tiene el pelo castaño, que tenga los ojos verdes. d) Sabiendo que tiene los ojos verdes, que tenga el pelo castaño.
Azul Verde Marrón Total
Rubio 10 8 2 20
Castaño 7 1 32 40
41 a) P(Ojos marrones) 68 8 2 b) P(Pelo rubio Ojos verdes) 68 17 1 68 Ojos verdes P(Ojos verdes Pelo castaño) 1 c) P 40 P(Pelo castaño) Pelo castaño 40 68
1 68 P(Pelo castaño Ojos verdes) Pelo castaño 1 d) P P(Ojos verdes) Ojos verdes 9 9 68
74
Moreno 1 0 7 8
Total 18 9 41 68
16.29 La probabilidad de que los pacientes que acuden a las urgencias de un hospital en un día determinado tengan la enfermedad E es 0,325. Calcula la probabilidad de que los tres primeros que lleguen después de las 10 de la mañana tengan la enfermedad E. Sabemos que P(E) 0,325; por tanto, P(EEE) 0,3253 0,034. 16.30 En un país se verifica que el 51% de los nacidos son niñas. Calcula la probabilidad de que al tener tres hijos: a) Los tres sean chicos. b) Las dos primeras sean chicas, y el menor, chico. Sean los sucesos A nacer niña y O nacer niño. ) 1 0,51 0,49. Sabemos que P(A) 0,51; por tanto, P(O) P(A a) P(OOO) 0,493 0,118 b) P(AAO) 0,51 0,51 0,49 0,127 16.31 La probabilidad de pasar una prueba de competencia en expresión escrita de francés es 0,8, y la de pasar otra de competencia oral en esta misma lengua es 0,75. La probabilidad de pasar las dos es 0,65. a) ¿El hecho de aprobar una prueba es independiente del de pasar la otra? b) ¿Los dos sucesos son incompatibles? c) Calcula la probabilidad de pasar al menos una de las pruebas. d) Calcula la probabilidad de pasar la segunda prueba sabiendo que se ha pasado la primera. Sean los sucesos E pasar una prueba de competencia escrita, O pasar una prueba de competencia oral. Sabemos que P(E) 0,8 P(O) 0,75 P(E 0) 0,65 a) Como P(E O) 0,65 P(E) P(O) 0,6, los sucesos no son independientes. b) P(E O) 0 ⇒ P y E no son incompatibles. c) P(E O) P(E) P(O) P(E O) 0,8 0,75 0,65 0,9 O P(O E) 0,65 d) P 0,8125 E P(E) 0,8
16.32 En un grupo de 100 personas, el 40% son hombres; el 30%, personas mayores de edad, y el 20% son chicos menores de edad. Se elige una persona al azar. a) Calcula la probabilidad de que sea mujer. b) Calcula la probabilidad de que sea hombre mayor de edad. c) Sabiendo que es un menor de edad, calcula la probabilidad de que sea una mujer. Construimos una tabla de contingencia que recoja los datos del enunciado:
Hombre Mujer Total
Mayores 20 10 30
Menores 20 50 70
Total 40 60 100
60 a) P(Mujer) 0,6 100 20 b) P(Hombre Mayor) 0,2 100 50 1 00 Mujer 5 P(Mujer Menor) 5 c) P 0,714 Menor 70 P(Menor) 7 70 100
16.33 De las 50 personas que hay en una discoteca, 20 son chicas. Entre chicos y chicas, hay 10 personas bailando. También se sabe que hay 24 chicos que no están bailando. Se otorga un premio por sorteo a una de las personas que están bailando. ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un chico? Construimos una tabla de contingencia que recoja los datos del enunciado:
Chicas Chicos Total
Bailando 4 6 10
No Bailando 16 24 40
Total 20 30 50
6 50 P(Chico Bailando) 6 P(Chico/Bailando) 0,6 P(Bailando) 10 10 50
75
Aplicaciones de la probabilidad PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto 16.34 Una bolsa contiene dos bolas negras y tres blancas; una segunda bolsa contiene una bola negra y tres blancas, y una tercera bolsa contiene una bola de cada color. Se lanza una moneda; si sale cara, se elige directamente la primera bolsa, y si sale cruz, se vuelve a tirar la moneda. Si en el segundo lanzamiento sale cara, se elige la segunda bolsa, y si sale cruz, se elige la tercera. Finalmente, se elige una bola de la bolsa elegida. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? Se elabora el diagrama de árbol. 1 – 2
2 – 5
B1 1 – 4
B2
1 – 4
N B
3 – 5 1 – 4
N B
3 – 1 – 4 2 1 – 2
B3
1 3 1 3 1 1 49 P(B) 2 5 4 4 4 2 80
N B
16.35 Una bolsa contiene 3 bolas blancas, 2 verdes y 1 roja, y otra contiene 3 bolas blancas, 3 verdes y 2 rojas. Se lanza una moneda al azar y, si sale cara, se elige la primera bolsa; si sale cruz, la segunda. Se saca una bola de la bolsa elegida. Calcula la probabilidad de que sea roja. 3 __ 6 1 __ 2
B
2 __ 6
B1
V
1 __ 6
R
3 __ 8
1 __ 2
B 3 __ 8
B2
1 1 2 1 1 2 10 5 P(R) 6 2 8 2 12 16 48 24
V
2 __ 8
R
16.36 Una bolsa contiene 2 bolas blancas y 3 verdes; una segunda bolsa contiene 1 bola blanca y 2 verdes, y una tercera bolsa contiene 1 bola de cada color. Se lanza un dado y, si sale el 1, se elige una bola de la primera bolsa. Si sale un número primo, se elige una bola de la segunda bolsa, y en otro caso se elige de la tercera. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? Elegiremos la primera bolsa si sacamos un 1 al tirar el dado. Elegiremos la segunda si obtenemos un 2, 3 ó 5; y la tercera si obtenemos un 4 ó un 6. Construimos el diagrama de árbol. 1 __ 6
2 __ 5
B1
B 3 __ 5 1 __ 3
3 __ 6
2 __ 3
B2 1 __ 2
2 __ 6
1 __ 2
B3
V B V B
2 1 1 3 1 2 2 2 3 2 72 P(B) 5 6 3 6 2 6 5 30 18 12 180
V
16.37 Una bolsa contiene 2 bolas blancas y 2 negras, y otra contiene 3 bolas blancas y 1 negra. Se elige al azar una de las bolsas y se sacan 2 bolas con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que: a) Las 2 sean negras.
b) Las 2 sean blancas.
c) Sean de diferente color.
Elaboramos el diagrama de árbol. 2 __ 4
1 __ 2
1 __ 2
B1 2 __ 4 3 __ 4
N
B
B2 1 __ 4
76
B
N
2 __ 4 2 __ 4 3 __ 4
2 __ 4 2 __ 4
1 __ 3 4 __ 4
B
BB
N
BN
B
NB
N
NN
B
BB
N
BN
B
NB
1 __ 4 N
NN
2 2 1 1 1 1 4 1 5 a) P(NN) 4 4 2 4 4 2 32 32 32 2 2 1 3 3 1 13 4 9 b) P(BB) 4 4 2 4 4 2 32 32 32 5 7 13 14 c) P(Diferente color) 1 P(NN) P(BB) 1 32 16 32 32
16.38 Una bolsa contiene 1 bola blanca y 1 negra. Otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Se saca una bola de la primera bolsa y, sin mirar su color, se introduce en la segunda. A continuación se saca una bola de esta segunda bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca? ¿Y de que sea negra? Si la primera bola es blanca, la segunda bolsa queda compuesta con 4 bolas blancas y 2 negras. Si la primera bola es negra, la segunda bolsa queda con 3 bolas blancas y 3 negras. Teniendo en cuenta esto, construimos el diagrama de árbol. 4 __ 6 1 __ 2
B 2 __ 6
B
N 3 __ 6
1 __ 2
B 3 __ 6
N
N
4 3 7 1 4 1 3 P(B) 12 12 12 2 6 2 6 2 3 5 1 2 1 3 P(N) 12 12 12 2 6 2 6 7 5 O bien: P(N) 1 12 12 PA R A
A P L I C A R
16.39 Juan y Jaime han jugado muchas partidas de ping-pong. Gracias a las frecuencias relativas, se puede 3 afirmar que la probabilidad de que gane Juan es ——. Los dos hermanos deciden jugar un torneo de tres 5 partidas. a) Calcula la probabilidad de que Juan gane las tres. b) Calcula la probabilidad de que Juan gane dos, y Jaime, una. c) Calcula la probabilidad de que Jaime gane más partidas que Juan. Sean los siguientes sucesos: A Juan gana la partida y B Jaime gana la partida. 3 3 2 ) 1 . Sabemos que P(A) ——; por tanto, P(B) P(A 5 5 5 Elaboramos el diagrama de árbol.
3 __ 5
3 __ 5
A
2 __ 5
B
A
3 __ 5 2 __ 5
3 __ 5 3 __ 5
2 __ 5
A
AAA
B
AAB
A
ABA
2 __ 5
B
ABB
A
BAA
2 __ 5
B
BAB
A
B 2 __ 5
3 __ 5
3 __ 5 B
2 __ 5
A
BBA
B
BBB
27 3 3 3 a) P(AAA) 125 5 5 5 b) P(Juan gane dos y Jaime una) P(AAB) P(BAA) P(BAA) 3 3 2 3 2 3 2 3 3 18 18 18 54 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 125 125 125 c) P(Gane más Jaime que Juan) P(ABB) P(BAB) P(BBA) P(BBB) 12 12 12 44 80 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 125 125 125 125 125 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 16.40 En una fábrica se montan las tres componentes principales de un ordenador: unidad central, pantalla y teclado. La probabilidad de que la unidad central falle es 0,01; la de que falle la pantalla es 0,03 y la de que falle el teclado es 0,05. Calcula la probabilidad de que un ordenador elegido al azar no tenga ningún fallo. Sean los siguientes sucesos: UC La unidad central no tiene fallo. P La pantalla no tiene fallo. T El teclado no tiene fallo.
UC La unidad central falla. P La pantalla falla. T El teclado falla.
C) 0,01 ⇒ P(UC) 0,99 Sabemos que P(U P(P) 0,03 ⇒ P(P) 0,97 P(T) 0,05 ⇒ P(T) 0,95 Se supone que el funcionamiento correcto o no de los tres componentes es independiente. Por tanto: P(UC P T) P(UC) P(P) P(T) 0,99 0,97 0,95 0,912 77
16.41 Para abrir la puerta del laboratorio de Química contamos con tres llaveros. El llavero A tiene cinco llaves, de las cuales una es maestra (abre todas las puertas) y otra abre el laboratorio. El llavero B tiene seis llaves, una de las cuales es maestra, y otra, del laboratorio. El llavero C tiene dos llaves, de las cuales únicamente una abre el laboratorio. Calcula la probabilidad de que al elegir al azar un llavero y una de sus llaves, consigamos abrir la puerta del laboratorio. Sea el siguiente suceso: S La llave elegida sí abre la puerta del laboratorio. Construimos el diagrama de árbol considerando el número de llaves que abren la puerta de cada uno de los llaveros A, B y C. 2 __ 5
S 3 __ 5
A 1 __ 3
1 __ 3
B
1 __ 3
2 __ 6
4 __ 6
1 __ 2
1 __ 2
C
S S
2 2 1 2 1 2 1 1 1 37 P(S) 15 18 3 5 3 6 3 2 6 90
S S S
16.42 Los turistas de un viaje organizado a un país del trópico han bebido agua sin tratar y algunos de ellos han contraído una determinada enfermedad. El síntoma principal es la aparición de eccema; sin embargo, no todos los enfermos tienen síntomas en la piel. Por otra parte, algunas personas que no han contraído la enfermedad tienen eccema por otras causas. En concreto, el 95% de los enfermos tiene eccema, y el 1% de los que no han contraído la enfermedad también tiene eccema. Además, la enfermedad ha afectado al 15% de los viajeros. Calcula la probabilidad de que un viajero elegido al azar tenga eccema. Sean los sucesos: E: turista enfermo, E: turista sano, Ec: turista que presenta eccema, Ec: turista que no presenta eccema. Ec Ec Los datos que nos da el enunciado son: P 0,95 P 0,01 P(E) 0,15 E E Construimos un diagrama de árbol.
Ec
0,95 E 0,15
0,85
0,05
Ec
0,01
Ec
Ec Ec P(Ec) P(E) P P(E) P 0,15 0,95 0,85 0,01 0,151 E E
E 0,99
Ec
Matemáticas aplicadas PA R A
A P L I C A R
16.43 De una urna con 7 bolas blancas y 5 bolas negras se saca una bola, se anota el color y se saca otra bola y se anota el color. Calcula la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color. Construimos el diagrama de árbol. 7 ___ 12
5 ___ 12
6 ___ 11
B
BB
5 ___ 11
N
BN
7 ___ 11
B
NB
4 ___ 11
N
NN
B
N
7 6 5 4 42 20 62 31 P(las dos bolas sean del mismo color) P(Bb) P(NN) 12 11 12 11 132 132 132 66 78
16.44 En una clase con 12 chicos y 18 chicas se tienen que elegir dos representantes. ¿Cuál es la probabilidad de que sean un chico y una chica los elegidos? Sean los sucesos A elegir una chica y B elegir un chico. 18 12 Sabemos que P(A) y que P(B) . Construimos un diagrama de árbol: 30 30 18 ___ 30
12 ___ 30
18 ___ 30
A
AA
12 ___ 30
O
AO
18 ___ 30
A
OA
12 ___ 30
O
OO
A
O
18 12 12 18 216 216 432 12 P(sean elegidos un chico y una chica) P(AO) P(OA) = 30 30 30 30 900 900 900 25
Actividades finales PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
16.45 Una cadena de perfumerías va a abrir su tienda número 50. En las cien primeras compras entrega a cada cliente un cupón. Del total de los cupones, 10 tienen premio de 100 euros, 15 de 50 euros y 25 de 10 euros. El resto de los cupones únicamente dan la bienvenida al centro. Los tres primeros clientes son hermanos. Calcula: a) La probabilidad de que ninguno de los tres haya recibido premio. b) La probabilidad de que, entre los tres, hayan conseguido 200 euros. Sean los siguientes sucesos. A: ganar premio de 100 €. B: ganar premio de 50 €. C: ganar premio de 25 €. D: no ganar nada. 50 49 48 4 v a) P(DDd) 0,12 100 99 98 33 10 9 50 10 50 9 50 10 9 b) P(AAD) P(ADA) P(DAA) P(ABB) P(BAB) P(BBA) 100 99 98 100 99 98 100 99 98 10 15 14 15 10 14 15 14 10 10 9 50 10 15 14 1 3 3 0,02 100 99 98 100 99 98 100 99 98 100 99 98 100 99 98 49 16.46 En una peluquería para niños hay tres recipientes con caramelos para ofrecer a los clientes. En el primer recipiente, la mitad de los caramelos son de fresa y la otra mitad de limón. En el segundo recipiente hay una cuarta parte de caramelos de fresa y el resto de limón. Por último, el tercer recipiente contiene el doble de caramelos de fresa que de limón. El dueño del establecimiento elige al azar uno de los recipientes y, de él, uno de los caramelos. a) Calcula la probabilidad de que sea de fresa. b) Calcula la probabilidad de que sea de limón. Elaboramos un diagrama de árbol: 1 __ 2 1 __ 3
1 __ 3
R1 1 __ 3
R2
R3
1 __ 4 2 __ 3
F 1 __ 2 3 __ 4 1 __ 3
L F L F L
1 1 1 1 2 1 1 1 2 17 a) P(F) 2 3 4 3 3 3 6 12 9 36 17 19 b) P(L) 1 P(F) 1 36 36 79
16.47 En el cuarto de Ángela hay dos cajones para guardar los calcetines: uno para los blancos y otro para los de color. Sin embargo, en el primer cajón hay cinco pares de calcetines blancos y uno de color, y en el segundo, cinco de color y uno blanco. Ángela saca, sin fijarse en el color, un par del primer cajón y, despistada, lo introduce en el segundo. Seguidamente saca un par del segundo cajón. Elabora el correspondiente diagrama de árbol incluyendo las probabilidades de todas sus ramas e indicando, también, las probabilidades de todos los sucesos elementales. Elaboramos el diagrama de árbol:
1. er cajón 5 __ 6
1 __ 6
2 2.º cajón __ B 7
BB
B 5 __ 7 C
1 __ 7
6 __ 7
C
BC
B
CB
C
CC
Sean los siguientes sucesos elementales: BB Sacar blanco en el primer cajón y blanco en el segundo.
BC Sacar blanco en el primer cajón y color en el segundo.
CB Sacar color en el primer cajón y blanco en el segundo.
CC Sacar color en el primer cajón y color en el segundo.
Y sus probabilidades son: 5 5 2 10 P(BB) 0,24 21 6 7 42
5 5 25 P(BC) 0,60 6 7 42
1 1 1 P(CB) 0,02 6 7 42
1 6 6 P(CC) 0,14 6 7 42
16.48 A una biblioteca de un instituto llega un paquete de 50 libros que hay que ordenar. 20 libros están escritos en lengua inglesa, 10 de ellos son novelas, otros 5 son de texto, y el resto, de poesía. Los otros 30 libros están escritos en francés, y de ellos hay 15 novelas, 10 son de texto, y el resto, de poesía. Se coge un libro al azar. Elabora una tabla de doble entrada con los datos ordenados y calcula las probabilidades de que: a) Sea de poesía. b) Esté escrito en francés. c) Sea de poesía y esté escrito en francés. d) No esté escrito en francés ni sea de poesía. Los datos del enunciado los ordenamos en la siguiente tabla de doble entrada:
Francés Inglés Totales
Novelas 15 10 25
Texto 10 5 15
Poesía 5 5 10
Totales 30 20 50
5 1 c) P(Poesía Francés) 50 10 10 5 15 3 d) P(Francés Poesía) P(Inglés Novelas) P(Inglés Texto) 50 50 50 10 10 1 a) P(Poesía) 50 5
30 3 b) P(Francés) 50 5
16.49 Una tienda de informática tiene tres proveedores de ordenadores personales. El proveedor A le proporciona el 50% de los ordenadores que vende; el B, el 40%, y el C, el 10% restante. El 0,5% de los ordenadores de A, el 1% de los de B y el 2% de los de C no funcionan correctamente. Se elige un ordenador de la tienda al azar. Calcula la probabilidad de que no funcione correctamente. Sea el suceso F: Elegir un ordenador que funcione. Elaboramos un diagrama de árbol:
0,995
F
0,005
F F
A 0,5 0,4
0,99 B 0,01
0,1
0,98
F F
0,02
F
C
P(F) 0,5 0,005 0,4 0,01 0,1 0,02 0,0025 0,004 0,002 0,0085 80
16.50 Un examen consta de una serie de preguntas cerradas con tres respuestas, de las cuales una sola es correcta. Javier contesta al azar todas las preguntas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte las tres primeras? b) ¿Cuál es la probabilidad de que de las cuatro primeras preguntas acierte exactamente tres? Sea A: Contestar al azar una pregunta y acertar. 1 1 1 1 a) P(AAA) P(A) P(A) P(A) 3 3 3 27 1 1 1 2 8 b) P(A AAA) P(A A AA) P(AA A A) P(AAA A) 4 3 3 3 3 81 16.51 Después de un año de funcionamiento, los motores de los coches de una cierta marca y un cierto modelo pueden sufrir tres tipos de fallos: – Fallo en el sistema de refrigeración con un 2% de probabilidad. – Fallo en la correa de distribución con un 3% de probabilidad. – Fallo en general en el funcionamiento interno del motor con una probabilidad del 0,25%. Se supone que los fallos son independientes unos de otros. Calcula la probabilidad de que un coche no presente ningún fallo después de un año de funcionamiento. Sean los siguientes sucesos y sus probabilidades: FR Se elige un coche con fallo en la refrigeración ⇒ P(FR) 0,02 ⇒ P(FR) 0,98 FC Se elige un coche con fallo en la correa ⇒ P(FC) 0,03 ⇒ P(FC) 0,97 ) 0,9975 FM Se elige un coche con fallo general en el motor ⇒ P(FM) 0,0025 ⇒ P(FM Así: ) 0,98 0,97 0,9975 0,95 P(coche sin fallos) P(FR FC FC) P(FR) P(FC) P(FM 16.52 En una clase hay 17 chicas y un número indeterminado de chicos. Se sabe que 12 estudiantes estudian como segunda lengua extranjera francés y que, de ellos, 8 son chicos. Además hay 8 chicos que estudian italiano como segunda lengua extranjera. Sabiendo que cada uno de los estudiantes de la clase estudia una y solo una de las lenguas mencionadas, calcula: a) La probabilidad de que, elegido un estudiante al azar, sea chico. b) La probabilidad de que sea chica y estudie francés. c) Se elige un estudiante al azar y resulta ser chica. ¿Cuál es la probabilidad de que estudie italiano? Francés 4 8 12
Chicas Chicos Totales
Italiano 13 8 21
Totales 17 16 33
Con los datos del enunciado elaboramos la siguiente tabla de doble entrada:
16 a) P(Chico) 33 4 b) P(Chica Francés) 33
13 33 P(Chica y estudia Italiano) Italiano 13 c) P 17 P(Chica) Chica 17 33
16.53 Un dado está trucado de forma que la probabilidad de obtener un cinco es exactamente el doble de la de obtener cualquiera de las otras cinco puntuaciones. a) Se lanza una vez el dado. Calcula la probabilidad de obtener cada una de las puntuaciones. b) Se lanza dos veces el dado. Calcula la probabilidad de obtener como suma tres puntos. a) Se tiene que P(5) 2a P(1) P(2) P(3) P(4) P(6) a 1 2 1 Por tanto: 2a 5a 1 ⇒ a . Así, P(5) P(1) P(2) P(3) P(4) P(6) 7 7 7 b) Para obtener una suma de tres puntos, las únicas posibilidades son obtener un 1 y un 2, o un 2 y un 1. Así: 1 1 2 P(suma de dos dados sea igual a 3) P(1, 2) P(2, 1) 2 P(1) P(2) 2 7 7 49 81
PA R A
R E F O R Z A R
16.54 Suponiendo que la probabilidad de nacimiento de una niña es igual a la de un niño, calcula la probabilidad de que una pareja, que piensa tener tres hijos, tenga por lo menos una niña. Cada uno de los nacimientos es independiente del otro, por tanto: 1 1 1 1 Sea el suceso A los tres hijos sean niños ⇒ P(A) 2 2 2 8 1 7 Así, P(tener al menos una niña) P(A ) 1 P(A) 1 8 8 16.55 ¿Qué es más fácil: obtener dos reyes al sacar dos cartas de una baraja española cuando la extracción se hace con devolución o cuando se hace sin ella? Halla la probabilidad en cada caso. Sea el suceso R sacar un rey de la baraja española. 4 4 1 4 3 1 Con devolución: P(RR) 0,01 Sin devolución: P(RR) 0,0077 40 40 100 40 39 130 Por tanto, es más fácil si la extracción se hace con devolución. 16.56 Una bolsa contiene seis bolas de las que cuatro están marcadas con la letra P, y dos, con la letra E. Calcula la probabilidad de obtener las letras de la palabra PEPE en este orden y cuando las extracciones se realizan: a) Con devolución
b) Sin devolución
Sean los sucesos P: sacar una bola con la letra P 4 4 2 4 2 a) P(PEPE) 81 6 6 6 6
E: sacar una bola con la letra E 1 4 2 3 1 b) P(PEPE) 15 6 5 4 3
16.57 Lanzamos una moneda y tiramos un dado. a) Escribe el espacio muestral del experimento. b) Calcula la probabilidad de obtener una cara y un seis. c) Halla la probabilidad de obtener una cruz o un seis.
C1 C2 C3 C4 C5 C6 a) E X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 b) P(C6) 12 1 7 c) P(obtener cruz o seis) P(C1) P(C2) P(C3) P(C4) P(C5) P(C6) P(X6) 7 12 12 16.58 La tabla siguiente muestra las preferencias entre practicar el senderismo o el ciclismo de montaña, de un grupo de jóvenes. Senderismo Ciclismo
Chicas 65 70
Chicos 55 80
Escogida una persona al azar, calcula las probabilidades de que: a) Prefiera el senderismo. d) Sabiendo que prefiere el senderismo, que sea chica. b) Prefiera el senderismo y sea chica. e) Sabiendo que es chica, que prefiera el senderismo. c) Prefiera el senderismo o sea chica. En total tenemos 65 55 70 80 270 jóvenes. 65 55 120 4 a) P(Senderismo) 0,4v 270 270 9 13 65 b) P(Chica Senderismo) 0,24 54 270 80 190 19 c) P(Chica Senderismo) 1 P(Chico Ciclismo) 1 0,704 270 270 27 65 270 P(Chica Senderismo) Chica 65 13 0,542 d) P 120 P(Senderismo) Senderismo 120 24 270
65 270 Senderismo P(Chica Senderismo) 13 65 0,481 e) P 135 P(Senderismo) Chica 27 135 270
82
16.59 Una bolsa tiene una bola blanca y otra negra. Otra bolsa tiene dos bolas blancas y una negra. Se elige una bolsa al azar y, de ella, una bola. Calcula la probabilidad de que sea blanca. Realizamos el diagrama de árbol correspondiente: 1 __ 2
B1
1 __ 2
B2
1 __ 2
B 1 __ 2
2 __ 3
N B
1 __ 3
N
1 1 2 1 1 2 7 P(B) 2 2 3 2 4 6 12
PA R A
A M P L I A R
16.60 En la diana de la figura inferior, calcula: A N A
G A G
A N A
G A G
a) La probabilidad de que el dardo quede clavado en la zona azul. b) La probabilidad de que al lanzar dos dardos, ambos queden clavados en una zona del mismo color. c) La probabilidad de que al lanzar tres dardos, al menos uno de ellos quede clavado en la zona naranja. d) La probabilidad de que al lanzar cuatro dardos y quedar los tres primeros clavados en la zona azul, el cuarto también quede clavado en la zona azul.
A: Azul. N: Naranja. G: Gris Sean los siguientes sucesos: A: El dardo queda clavado en la zona azul G: El dardo queda clavado en la zona gris N: El dardo queda clavado en la zona naranja 6 a) P(A) 0,5 12 6 6 2 2 4 4 56 7 b) P(AA) P(RR) P(GG) 0,38v 12 12 12 12 12 12 144 18 10 3 125 c) P(N N N ) 0,579 ⇒ 12 216 10 3 91 N N ) 1 0,421 ⇒ P(al menos uno en la zona roja) 1 P(N 12 216 6 d) P(A) 0,5, ya que la cuarta tirada es independiente de las tres anteriores. 12
16.61 Una bolsa contiene 3 bolas blancas y 2 rojas. Se extrae una bola que resulta ser blanca y, seguidamente, se extrae una segunda bola. Calcula la probabilidad de que esta segunda bola sea roja si: a) La primera bola se devolvió a la bolsa antes de sacar la segunda. b) La extracción de la segunda bola se hizo sin haber devuelto la primera a la bolsa. 2 a) P(R) 0,4 5
2 b) P(R) 0,5 4
16.62 Una bolsa contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Belén, Ricardo, Javier y Elena extraen, en este orden, una bola de la bolsa sin devolución. El primero que extraiga una bola blanca recibirá como premio una semana en una estación de esquí con los gastos pagados. Determina las probabilidades que tiene cada uno de obtener el premio. Sean los sucesos: B sacar bola blanca 2 P(gane Belén) P(B) 0,4 5 3 2 2 P(gane Javier) P(NNB) 0,2 5 4 3
N sacar bola negra 3 2 P(gane Ricardo) P(NB) 0,3 5 4 3 2 1 P(gane Elena) P(NNNB) 0,1 5 4 3 83
16.63 En una universidad, el 55% de los estudiantes son alumnas. El 40% del total de alumnos cursan una carrera experimental. De la gente que estudia una carrera no experimental, el 55% son chicos. Se elige una persona al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica y estudie una carrera experimental? b) Si resulta ser chico, ¿cuál es la probabilidad de que estudie una carrera experimental? Recogemos los datos del enunciado en la siguiente tabla de doble entrada: Experimental E
No experimental E
Totales
Chicos H
12
66 55 33 100
45
Chicas M Totales
28 40
27 60
55 100
28 a) P(Mujer y Carrera experimental) 0,28 100 12 1 00 Carrera experimental P(Carrera experimental y Chico) 12 b) P 0,26v 4 5 Chico P(Chico) 45 100
16.64 Calcula el radio de la circunferencia mayor para que la probabilidad de acertar con un dardo en la zona gris sea la misma que la probabilidad de acertar en la zona naranja. N G 20 cm
N: Naranja. G: Gris Sea r el radio de la circunferencia pequeña, y R, el radio de la grande. Así: área de la zona gris: r2 400 cm2 área de la zona naranja: R2 400 cm2 Para que ambas zonas tengan la misma probabilidad de acierto, debemos conseguir que tengan la misma área. Por tanto: R2 400 400 ⇒ R2 800 ⇒ R
84
28,29 cm 800
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
16.65 Un perro perdido Un perro se ha perdido en un entramado de caminos. Siempre que llega a una bifurcación, elige al azar cualquiera de los caminos posibles con la misma probabilidad. a) Calcula la probabilidad de que el perro encuentre a su dueño. b) Calcula la probabilidad de que el perro se encuentre con un gato. c) Calcula la probabilidad de que el perro encuentre un hueso. d) Calcula la probabilidad de que el perro llegue a casa. Elaboramos un diagrama de árbol de la situación. D El perro encuentra al dueño. H El perro encuentra un hueso. 1 __ 2
1 __ 4 1 __ 4 1 __ 4 1 __ 4
1 __ 2
H D
H 1 __ 3 C
1 __ 3
1 __ 2
G
1 __ 3
G H 1 __ 2 G
G El perro encuentra un gato. C El perro encuentra su casa.
1 a) P(D) 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) P(G) 12 4 2 4 3 4 2 8 8 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c) P(H) 4 2 4 3 4 2 8 12 8 3 1 1 1 d) P(C) 4 3 12
16.66 Tres comidas al día Se ha realizado una encuesta sobre los hábitos de alimentación a 90 personas. Entre otras, se hicieron las dos siguientes preguntas: 1.ª ¿El desayuno lo hace fuerte o ligero? 2.ª Teniendo en cuenta el almuerzo de mediodía y la cena, ¿cuáles de estas dos comidas las hace habitualmente fuertes y cuáles ligeras? Los resultados obtenidos fueron: – 40 contestaron que hacían fuertes el almuerzo y la cena, y de ellas, 15 también hacían el desayuno fuerte. – 35 contestaron que hacían el almuerzo fuerte, pero la cena ligera, y de ellas, 32 hacían el desayuno ligero. – 2 personas hacían como única comida ligera el almuerzo. – Ninguna persona hacía almuerzo y cena ligeros a la vez. Completa la tabla siguiente y calcula la probabilidad de que, elegida una persona al azar, resulte que hace fuerte solo una de las tres comidas sabiendo que hace el desayuno fuerte. Desayuno fuerte
Desayuno ligero
Total
Desayuno ligero 25 32 13 70
Total 40 35 15 90
Almuerzo y cena fuertes Almuerzo fuerte, cena ligera Almuerzo ligero, cena fuerte Total Completamos la tabla con los datos del enunciado: Almuerzo y cena fuertes Almuerzo fuerte, cena ligera Almuerzo ligero, cena fuerte Total
Desayuno fuerte 15 3 2 20
Como solo hace una comida fuerte y sabemos que el desayuno lo hace fuerte, necesariamente el almuerzo y la cena son ligeros, por tanto: Almuerzo y cena ligeros P 0, ya que ninguna persona hace el almuerzo y la cena ligeros a la vez. Desayuno fuerte
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A U T O E VA L U A C I O N
16.A1 La siguiente tabla muestra los usuarios de una compañía telefónica, en una localidad, según el sexo y según si tienen contrato fijo o son de prepago.
Fijo Prepago Totales
Mujeres 48
Hombres
Totales 100
80 132
Se elige uno de ellos al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y tenga contrato fijo? b) Si la persona elegida resulta tener contrato de prepago, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? En primer lugar completamos la tabla de doble entrada: Mujeres 48 84 132
Fijo Prepago Totales
Hombres 52 80 132
Totales 100 164 264
52 a) P(Hombre Fijo) 0,197 264 84 264 P(Mujer Prepago) Mujer 84 21 b) P 0,512 164 P(Prepago) Prepago 164 41 264
16.A2 Se sacan, de forma sucesiva y sin reemplazamiento, dos cartas de una baraja española. Se consideran los sucesos: A La primera carta es de oros. B La segunda carta es un rey. Indica si los sucesos A y B son dependientes o independientes, y calcula la probabilidad de que ocurran ambos a la vez. Los sucesos A y B son dependientes, ya que el suceso B depende de lo obtenido en el suceso A, pues no se realiza reemplazamiento. 10 Se tiene, por tanto, que: P(A B) P(B / A) P(A) P(A) 0,25 40 Para calcular la probabilidad de B condicionada a A elaboramos un diagrama de árbol: 1.ª carta 4 ___ 40
3 ___ 39
Rey
36 ___ 40
No Rey
2.ª carta Rey
36 ___ 39 4 ___ 39
No Rey
35 ___ 39
No Rey
4 3 36 4 1 P(B / A) 0,1 90 39 40 39 10 1 10 1 Así: P(A B) P(B / A) P(A) 0,025 10 40 40
Rey
16.A3 Una bolsa contiene tres bolas blancas, una negra y dos azules. Se lanza una moneda al aire y, si sale cara, se introduce otra bola blanca en la bolsa, y si sale cruz, se introducen dos bolas negras. A continuación se saca una bola de la bolsa. Calcula la probabilidad de que sea azul. Elaboramos un diagrama de árbol de la situación: 4 __ 7 1 __ 2
1 __ 2
C 2 __ 7 3 __ 8 X 2 __ 8
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1 __ 7
B N A B
3 __ 8
N A
1 2 1 2 15 Por tanto: P(A) 0,267 2 7 2 8 56
16.A4 Se escriben los diez dígitos del 0 al 9, cada uno en un papel, y se introducen en una bolsa. Seguidamente se eligen dos papeles al azar. a) Calcula la probabilidad de que los dos números sean pares. b) Calcula la probabilidad de que sumen 8. Resuelve el problema tanto para el caso de extracciones con reemplazamiento como para el de extracciones sin reemplazamiento. Con reemplazamiento
5 5 1 a) P(dos números pares) 10 10 4 b) Los casos favorables son obtener las siguientes parejas de números: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0). Número de casos favorables 9 9 P(Suma 8) 0,09 Número de casos posibles VR10,2 100 Sin reemplazamiento
5 4 2 a) P(dos números pares) 10 9 9 b) Los casos favorables son los mismos que en el caso anterior, excepto (4, 4), ya que en este no hay reemplazamiento. 8 8 P(S 8) 0,089 V10,2 90 16.A5 Se lanzan cinco monedas al aire. a) Calcula la probabilidad de obtener más caras que cruces. b) Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras. a) No se pueden obtener igual número de caras y de cruces. Por tanto, la probabilidad de obtener más caras que cruces será igual a la de obtener más cruces que caras y ambas valdrán 0,5 5! 2! 3! Número de casos favorables C5,2 10 b) P(2 caras) 0,3125 25 Número de casos posibles VR2,5 32
E N T R E T E N I D O
Mensaje secreto Este es el mensaje que Hugo ha mandado a Mario. Para que nadie se entere de lo que pone, lo ha cifrado usando un alfabeto desplazado. De este modo ha creado un criptograma.
WHPJR ÑD FRPWUDVHQD SDUD HPWUDU HP HÑ RUGHPDGRU GH MXDP El problema es que ha olvidado dar a Mario el número que indica los lugares que ha desplazado las letras del abecedario. ¿Eres capaz de descifrar el mensaje? Para resolver este criptograma es de gran utilidad recordar la información que daba la sección de “Entreinterrogantes” de la página dedicada a Carroll. En ella se mencionaba que las letras más “frecuentes” en castellano eran la A y la E. De este modo, si contamos el número de veces que se repiten las letras en el mensaje, comprobamos que la más frecuente es la D (8 veces), seguida de la H (7 veces). Como además el número de lugares que separa los pares de letras (A, e) y (D, H) coincide, podemos conjeturar que la A ha sido sustituida por la D, y la E por la H, lo que llevaría a que Hugo ha desplazado 3 lugares cada una de las letras del abecedario. Comprobamos que al descifrar el mensaje siguiendo esta hipótesis obtenemos un mensaje coherente. En este caso recorremos el camino contrario, es decir, las letras, en lugar de avanzar tres posiciones, retroceden. Así, obtenemos que el mensaje original es: TENGO LA CONTRASEÑA PARA ENTRAR EN EL ORDENADOR DE JUAN. 87
NOTAS
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