Unidad 3 Graficas de Control Para Atributos

Gráficas de Control para Atributos – Guillermo García González 2

Gráficas de Control para Atributos

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA INDUSTRIAL (Sistema Abierto) Control Estadístico de la Calidad

Catedrático: Ing. Sandra Martínez Lugo

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Gráficas de Control para Atributos

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA INDUSTRIAL (Sistema Abierto) Control Estadístico de la Calidad

Catedrático: Ing. Sandra Martínez Lugo

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Contenido Introducción ………………………………………………………………………………………………………………………… 4

Unidad 3 Gráficos Gráfico s de Control para Variables Variabl es ........ ............... ............. ............. .............. ............. ............. ............. ............. .............. ........... .... 6 3.1 Conceptos Concepto s Generales General es para Atributos ................ ....................... .............. ............. ............. .............. ............. ............. .............. ............. ........ 6 3.2 Elaboraci El aboración ón e Interpretació Interp retación n de Gráficas Gráfic as para p ara Atributos Atri butos ............. .................... ............. ............. ........... 7 3.2.1 Gráfico p ........................................................................................................................... 11 3.2.1 Gráfico np ......................................................................................................................... 12 3.2.1 Gráfico c ................................................................ Error! Bookmark not defined. 3.2.1 Gráfico u ........................................................................................................................... 14 3.3 Capacidad de proceso ........................................................................................................ 15 Conclusión ....................................................................................................................................... 31 Bibliografía ..................................................................................................................................... 32

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INTRODUCCIÓN Los diagramas de control por atributos constituyen la herramienta esencial utilizada para controlar características de calidad cualitativas, esto es, características no cuantificables numéricamente. Ejemplos de tales características no medibles son la fracción o porcentaje de unidades defectuosas en la producción (P), el número de unidades defectuosas en la producción (NP), el número de defectos por unidad producida (U), y el número de defectos de todas las unidades producidas (C). Al igual que en los gráficos de control por variables, el diagrama de atributos representa un estadístico T del proceso (como puede ser el número de defectos) frente al número de la muestra o al tiempo. Una línea central representa el valor medio o esperado del estadístico, mientras que los límites de control suelen definir una zona de control que abarca 3s por encima y por debajo de la línea central. Estos límites son escogidos de manera que si el proceso está bajo control, casi la totalidad de los puntos muestrales se halle entre ellos. Así, un punto que se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso está fuera de control. Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los límites de control, pero se comportan de manera sistemática o no aleatoria, también tendríamos un proceso fuera de control (veremos cómo estudiar la existencia de tales patrones no aleatorios mediante los llamados tests para causas especiales).

Este tipo de gráficos se suele aplicar en situaciones en las que el proceso es una operación de montaje complicada, y la calidad del producto se mide en términos de la ocurrencia de disconformidades, del funcionamiento exitoso o fallido del producto, etc. Los diagramas de control por atributos tienen la ventaja de que hacen posible considerar varias características de calidad al mismo tiempo y clasificar los productos como disconformes si no satisfacen las especificaciones de cualquiera de las características. Tenemos dos opciones a la hora de realizar un gráfico de control por atributos:

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1. Podemos comparar un producto con un estándar y clasificarlo como defectuoso o no (gráficos P y NP) 2. En el caso de productos complejos, la existencia de un defecto no necesariamente conlleva a que el producto sea defectuoso. En tales casos, puede resultar conveniente clasificar un producto según el número de defectos que presenta (gráficos C y U). Es importante notar que los gráficos P, NP, y U permiten trabajar con muestras de tamaños diferentes, mientras que los gráficos C están diseñados para muestras de igual tamaño.

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UNIDAD 3 GRÁFICAS DECONTROL PARA ATRIBUTOS 3.1 Conceptos Generales para Atributos Cuando no es fácil medir un producto o una parte, o cuando la calidad se puede obtener como un atributo conforme o no con unas especificaciones de calidad, se puede usar una gráfica de control de características. Estas técnicas analizan tanto las características buenas como malas, sin hacer referencia al grado. Entonces, se acepta o se rechaza contando cuántas unidades tienen o no el defecto, o comprobando el número de tales eventos que ocurren en la unidad, grupo o área, y comparando con el criterio de aceptación establecido. Se acepta o rechaza la pieza o el lote sin asociar un valor concreto. El atributo a controlar se suele elegir de forma que sea fácilmente observable y por tanto económico de controlar y clasificar.. Antes de seguir conviene definir los términos siguientes: a. Defecto: cualquier característica individual que no esté de acuerdo con los requisitos de calidad establecidos. b. Defectuoso: cualquier unidad que tiene uno o más defectos. Los tipos de gráficos de control por atributos que se estudian son: a. b. c. d.

Gráfico p o de fracción de unidades defectuosas. Gráfico np o de número de unidades defectuosas por muestra. Gráfico c o de número de defectos por muestra. Gráfico U o de número de defectos por unidad.

Algunos conceptos utilizados en gráficos de control y que se utilizaran en el presente trabajo son los siguientes: -

Cota nominal = medida deseada

-

Límite de tolerancia superior (LTS)

-

Límite de tolerancia inferior (LTI)

-

Límite de variación superior (LVS)

-

Límite de variación inferior (LVI)

Condiciones a cumplir por un proceso: - Condición de idoneidad: LTS > LVS > LVI > LTI

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- Condición de precisión: Índice Relativo de Precisión = IRP = (LTS-LTI)/R La función primaria de una Gráfica de Control es mostrar el comportamiento de un proceso:   

Identificar la existencia de causas de variación especiales (proceso fuera de control). Monitorear las variables claves en un proceso de manera preventiva. Indicar cambios fundamentales en el proceso.

3.2 Elaboración e Interpretación de Gráficas para Atributos Ventajas   

Resume varios aspectos de la calidad del producto; es decir si es aceptable o no. Son fáciles de entender. Provee evidencia de problemas de calidad.

Desventajas  



Interpretación errónea por errores de los datos o los cálculos utilizados El hecho de que un proceso se mantega bajo control no significa que sea un buen proceso, puede estar produciendo constantemente un gran número de no conformidades. Controlar una característica de un proceso no significa necesariamente controlar el proceso. Si no se define bien la información necesaria y las características del proceso que deben ser controladas, tendremos interpretaciones erróneas debido a informaciones incompletas.

Elección del tipo de gráfica

Paso 1: Establecer los objetivos del control estadístico del proceso 

La finalidad es establecer qué se desea conseguir con el mismo.

Paso 2: Identificar la característica a controlar 

Es necesario determinar qué característica o atributo del producto/servicio o proceso se van a controlar para conseguir satisfacer las necesidades de información establecidas en el paso anterior.

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Paso 3: Determinar el tipo de Gráfica de Control que es conveniente utilizar.     

Conjugando aspectos como: Tipo de información requerida. Características del proceso. Características del producto. Nivel de frecuencia de las unidades no conformes o disconformidades.

Paso 4: Elaborar el plan de muestreo (Tamaño de muestra, frecuencia de maestreo y número de muestras)  

    

Las Gráficas de Control por Atributos requieren generalmente tamaños de muestras grandes para poder detectar cambios en los resultados. Para que el gráfico pueda mostrar pautas analizables, el tamaño de muestra, será lo suficientemente grande (entre 50 y 200 unidades e incluso superior) para tener varias unidades no conformes por muestra, de forma que puedan evidenciarse cambios significativamente favorables (por ejemplo, aparición de muestras con cero unidades no conformes). El tamaño de cada muestra oscilará entre +/- 20% respecto al tamaño medio de las muestras n = (n^ + n2 + ... + nN) / N N = Número de muestras La frecuencia de muestreo será la adecuada para detectar rápidamente los cambios y permitir una realimentación eficaz. El periodo de recogida de muestras debe ser lo suficientemente largo como para recoger todas las posibles causas internas de variación del proceso. Se recogerán al menos 20 muestras para proporcionar una prueba fiable de estabilidad en el proceso.

Paso 5: Recoger los datos según el plan establecido  



Se tendrá un especial cuidado de que la muestra sea aleatoria y representativa de todo el periodo de producción o lote del que se extrae. Cada unidad de la muestra se tomará de forma que todas las unidades del periodo de producción o lote tengan la misma probabilidad de ser extraídas. (Toma de muestras al azar). Se indicarán en las hojas de recogida de datos todas las informaciones y circunstancias que sean relevantes en la toma de los mismos.

Paso 6: Calcular la fracción de unidades 

Para cada muestra se registran los siguientes datos:

1. 2. 3. 4. 5.

El número de unidades inspeccionadas "n". El número de unidades no conformes. La fracción de unidades no conformes El número de defectos en una pieza La fracción de defectos por pieza

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Paso 7: Calcular los Límites de Control Gráficas de Control por Atributo

Tipo

Data

Tamaño de Muestra

Formula

CL

UCL

LCL

p

Piezas defectuosas

Varia

p=np/n

p=Σnp/Σn

p+3√p(1P)/√n

p-3√p(1-

np-

P)/√n

n=Σn/k

np

Piezas defectuosas

Constante

p=np/n

np=Σnp/k

np+3√np(1P)

3√np(1-P)

c

Defectos por Pieza

Constante

c

c=Σc/k

c+3√c

c-3√c

u

Defectos por Pieza

Varia

u=c/n

u=Σc/Σn

u+3√u/√n

u-3√u/√n

Paso 8: Definir las escalas de la gráfica.   

El eje horizontal representa el número de la muestra en el orden en que ha sido tomada. El eje vertical representa los valores de la fracción de unidades La escala de este eje irá desde cero hasta dos veces la fracción de unidades no conformes máxima.

Paso 9: Representar en el gráfico la Línea Central y los Límites de Control.  -

 -

 -

Línea Central Marcar en el eje vertical, correspondiente al valor de la fracción Línea de Control Superior Marcar en el eje vertical el valor de UCL. A partir de este punto trazar una recta horizontal discontinua (a trazos). Identificarla con UCL. Límite de Control Inferior Marcar en el eje vertical el valor de LCL. A partir de este punto trazar una recta horizontal discontinua (a trazos). Identificarla con LCL.

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Nota: Usualmente la línea que representa el valor central se dibuja de color azul y

las líneas correspondientes a los límites de control de color rojo. Cuando LCL es cero, no se suele representar en la gráfica.

Paso 10: Incluir los datos pertenecientes a las muestras en la gráfica. 



Representar cada muestra con un punto, buscando la intersección entre el número de la muestra (eje horizontal) y el valor de su fracción de unidades no conformes (eje vertical). Unir los puntos representados por medio de trazos rectos.

Paso 11: Comprobación de los datos de construcción de la Gráfica de Control. 

    

Se comprobará que todos los valores de la fracción de unidades de las muestras utilizadas para la construcción de la gráfica correspondiente están dentro de sus Límites de Control. LCL < gráfica < UCL Si esta condición no se cumple para alguna muestra, esta deberá ser desechada para el cálculo de los Límites de Control. Se repetirán todos los cálculos realizados hasta el momento, sin tener en cuenta los valores de las muestras anteriormente señaladas. Este proceso se repetirá hasta que todas las muestras utilizadas para el cálculo de los Límites de Control muestren un proceso dentro de control. Los Límites, finalmente así obtenidos, son los definitivos que se utilizarán para la construcción de las Gráficas de Control.

Paso 12: Análisis y resultados. 

La Gráfica de Control, resultado de este proceso de construcción, se utilizará para el control habitual del proceso.

Interpretación de la gráfica e Identificación de causas especiales o asignables.

Pautas de comportamiento que representan cambios en el proceso:  -

 -

 -

 -

Un punto exterior a los límites de control. Se estudiará la causa de una desviación del comportamiento tan fuerte. Dos puntos consecutivos muy próximos al límite de control. La situación es anómala, estudiar las causas de variación. Cinco puntos consecutivos por encima o por debajo de la línea central. Investigar las causas de variación pues la media de los cinco puntos indica una desviación del nivel de funcionamiento del proceso. Fuerte tendencia ascendente o descendente marcada por cinco puntos consecutivos. Investigar las causas de estos cambios progresivos.

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 -

Cambios bruscos de puntos próximos a un límite de control hacia el otro límite. Examinar esta conducta errática.

3.2.1 Gráfico p Un gráfico P es un gráfico de control del porcentaje o fracción de unidades defectuosas (cociente entre el número de artículos defectuosos en una población y el número total de artículos de dicha población). Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control P se basan en la distribución Binomial: supóngase que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la probabilidad de que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p, y que los artículos producidos sucesivamente son independientes; entonces, si seleccionamos k muestras aleatorias de n artículos del producto cada una, y representando por al número de artículos defectuosos en la muestra iésima, tendremos que

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Normalmente se usan límites de control de tres sigmas en el diagrama de control P. Como ya comentamos en el capítulo anterior, el uso de límites de control más estrechos hacen que el diagrama de control sea más sensible a pequeños cambios en p, pero ello también hace aumentar la probabilidad de que se produzcan falsas alarmas de proceso fuera de control (error de tipo II). Debe advertirse que este diagrama de control se basa en el modelo probabilístico binomial, en el cual se supone que la probabilidad de ocurrencia de un artículo con disconformidad es constante, y que unidades sucesivas en la producción son independientes. Por otra parte, hay que tener cuidado con la interpretación de los puntos del diagrama de control que se hallan por debajo del límite inferior de control. Tales puntos no representan a menudo una mejora real en la calidad del proceso. Frecuentemente son el resultado de errores en el método de inspección o recogida de datos.

3.2.2 Gráfico np El diagrama NP está basado en el número de unidades defectuosas. Este tipo de gráficos permite tanto analizar el número de artículos defectuosos como la posible existencia de causas especiales en el proceso productivo. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control NP se basan en la distribución Binomial: Supóngase que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la probabilidad de que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p, y que los artículos producidos sucesivamente son independientes; entonces, si seleccionamos k muestras aleatorias de n artículos del producto cada una, y representando por al número de artículos defectuosos en la muestra i-ésima, tendremos que .

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3.2.3 Gráfico c El diagrama C está basado en el número total de defectos (o no conformidades) en la producción. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control C se basan en la distribución de Poisson:

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Para construir el diagrama de control C empezamos por tomar k muestras de unidades cada una, .e.: . Sea u el número esperado de unidades defectuosas en cada una de las muestras.

3.2.4 Gráfico u El diagrama U está basado en el número de defectos por unidad de inspección producida. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control U se basan en la distribución de Poisson:

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Para construir el diagrama de control U empezamos por tomar k muestras de unidades cada una, i.e.: . Sea u el número esperado de unidades defectuosas en cada una de las muestras.

3.3 Capacidad de proceso Las técnicas estadísticas ayudan durante el ciclo del producto a reducir la variabilidad y a mejorar la capacidad de los procesos.

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Gráficas de Control para Atributos – Guillermo García González 16 Definiciones básicas.  Proceso: Éste se refiere a alguna combinación única de máquinas,

  







herramientas, métodos, materiales y personas involucradas en la producción. Capacidad o habilidad: Esta palabra se usa en el sentido de aptitud, basada en el desempeño probado, para lograr resultados que se puedan medir. Capacidad del proceso: Es la aptitud del proceso para producir productos dentro de los límites de especificaciones de calidad. Capacidad medida: Esto se refiere al hecho de que la capacidad del proceso se cuantifica a partir de datos que, a su vez, son el resultado de la medición del trabajo realizado por el proceso. Capacidad inherente: Se refiere a la uniformidad del producto que resulta de un proceso que se encuentra en estado de control estadístico, es decir, en ausencia de causas especiales o atribuibles de variación. Variabilidad natural: Los productos fabricados nunca son idénticos sino que presentan cierta variabilidad, cuando el proceso está bajo control, solo actúan las causas comunes de variación en las características de calidad. Valor Nominal: Las características de calidad tienen un valor ideal óptimo que es el que desearíamos que tuvieran todas las unidades fabricadas pero que no se obtiene, aunque todo funcione correctamente, debido a la existencia de la variabilidad natural.

La aplicación del análisis de capacidad de los procesos tiene los objetivos siguientes: 1. Predecir que tanto cumplirá las tolerancias especificadas el proceso. 2. Apoyar a los diseñadores en la selección o modificación de un proceso. 3. Soportar la determinación de intervalos de muestreo para monitoreo del proceso. 4. Determinar el desempeño de un equipo nuevo. 5. Planear la secuencia de procesos productivos cuando hay un efecto interactivo de procesos o tolerancias. 6. Seleccionar de entre diversos proveedores. 7. Reducir la variabilidad de un proceso de manufactura. La capacidad de los procesos para cumplir especificaciones se refiere a la uniformidad de los procesos medida como la variabilidad del producto, hay dos formas de pensar en esta variabilidad: 1. La variabilidad natural en un cierto tiempo (variabilidad instantánea). 2. La variabilidad en el tiempo. Es usual tomar 6-sigma de la población  como la dispersión en la distribución de la característica de calidad del producto como medida de la capacidad del proceso. Los límites de tolerancia natural del proceso, superior (LTNS) e inferior (LTNI) , se encuentran en   3 , o sea:

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LTNS =  + 3  LTNI =  - 3 

(6.1)

Para un proceso normal, los límites de tolerancia naturales incluyen 99.73% de la variable, sólo el 0.27% (2700 ppm) de la salida del proceso se encontrará fuera de estos límites de tolerancia naturales. Sin embargo, si el proceso no es normal, el porcentaje puede diferir grandemente. Esto se esquematiza en la figura siguiente:

.00135 LTNI

LTNS .00135

Fig. 6.1 Localización de los límites de tolerancia natural

Existen diversas técnicas para evaluar la capacidad del proceso, entre las que se encuentran: Histogramas o papel de probabilidad, cartas de control y experimentos diseñados. LSE

LIE

Z

s p

xi

_ X

Fig. 6.2 Fracción defectiva fuera de especificaciones

p = porcentaje de medidas bajo la curva de probabilidad fuera de especificaciones. En el área sombrada observamos medidas fuera de los límites de especificación.

Para solucionar este problema, podemos reducir la desviación estándar.

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También podríamos cambiar la media.

Lo ideal sería, por supuesto cambiar ambas.

Fig. 6.3 Algunas alternativas para mejorar la capacidad

Condiciones para realizar un estudio de capacidad del proceso Para realizar un estudio de capacidad es necesario que se cumplan los siguientes supuestos1: 







El proceso se encuentre bajo control estadístico, es decir sin la influencia de fuerzas externas o cambios repentinos. Si el proceso está fuera de control la media y/o la desviación estándar del proceso no son estables y, en consecuencia, su variabilidad será mayor que la natural y la capacidad potencial estará infravalorada, en este caso no es conveniente hacer un estudio de capacidad. Se recolectan suficientes datos durante el estudio de habilidad para minimizar el error de muestreo para los índices de habilidad. Si los datos se componen de menos de 100 valores, entonces deben calcularse los límites de confianza inferiores. Los datos se recolectan durante un periodo suficientemente largo para asegurar que las condiciones del proceso presentes durante el estudio sean representativos de las condiciones actuales y futuras. El parámetro analizado en el estudio sigue una distribución de probabilidad normal, de otra manera, los porcentajes de los productos asociados con los índices de capacidad son incorrectos.

También es importante al realizar un estudio de capacidad, asegurarnos que la variación en el sistema de medición no sea mayor al 10%.

Variación a corto plazo y a largo plazo Existen dos maneras de expresar la variabilidad: Variación a corto plazo (Zst) – Los datos son recogidos durante un periodo de tiempo suficientemente corto para que sea improbable que haya cambios y otras causas especiales.

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Las familias de variación han sido restringidas de tal manera que los datos considerados, sólo son los que se obtuvieron del subgrupo racional. Ayuda a determinar subgrupos racionales importantes.

Fig. 6.4 Variabilidad a corto plazo

Variación a Largo Plazo(Zlt) – Los datos son recogidos durante un periodo de tiempo suficientemente largo y en condiciones suficientemente diversas para que sea probable que contenga algunos cambios de proceso y otras causas especiales. Aquí todas las familias de variación exhiben su contribución en la variación del proceso general.

Fig. 6.5 Variabilidad a largo plazo

Para el cálculo de Z utilizamos las siguientes formulas: Z st  Z LT 

límite especif .  nom. desv. std ST

límite especif .  media desv. std LT

dónde: Zst = variación a corto plazo. nom = Valor nominal u objetivo Zlt = variación a largo plazo.

Z shift.- A largo plazo los procesos tienen un desplazamiento natural de 1.5 desviaciones estándar. Zlt = Zst-1.5shift

Índice de capacidad potencial Cp El índice de capacidad potencial Cp = PCR compara la amplitud de variación permitida por las especificaciones entre la amplitud de variación entre los límites de tolerancia naturales del proceso.

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Cp  PCR 

LSE  LIE

6

(6.2)

Ejemplo 6.1 para el caso de anillos de pistones, donde el LSE = 74.05mm y el LIE= 73.95mm y de la carta R se estimó  

R

 0.0099 por tanto se tiene:

d 2

Cp = PCR = (LSE – LIE) / 6 = (74.05 – 73.95) / 6 (0.0099) = 1.68 La función P (inverso de Cp) es el porcentaje de la banda de especificaciones usada por el proceso.  1  100 Cp  

P  

(6.3)

Para el caso del ejemplo se tiene: P = [(1/1.68)] 100 = 59.5% Cuando sólo existe un límite de especificaciones, el índice de capacidad potencial Cp o PCR se define como: Cps  PCRS 

Cpi  PCR I 

LSE  

para el límite superior

3   LIE

(6.4)

para el límite inferior

3

Ejemplo 6.2 Para el caso de la resistencia de las botellas de vidrio, si el LIE = 200psi, Cp  PCRI 

264  200 3(32 )



64 96

 0.67

Lo cual indica falta de habilidad, la fracción abajo del límite inferior es: Z I 

LIE   



200  264 32

 2

P(x <= ZI) = 0.0228 o 2.28% por debajo del límite inferior de especificaciones Algunos de los índices de capacidad potencial Cp y las piezas defectivas en partes por millón (ppm) que están fuera de especificaciones se muestran a continuación: Cp 0.25 0.50 0.60

1-lado 226,628 66,807 35,931

2-lados 453,255 133,614 71,861

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0.70 0.80 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 2.00

17,865 8,198 1,350 484 159 48 14 4 1 0.17 0.0009

35,729 16,395 2,700 967 318 96 27 7 2 0.34 0.0018

Se recomienda que para procesos existentes el mínimo Cp sea de 1.33 y de 1.67 para procesos críticos, el ideal es 2.0 para procesos nuevos como es el caso de Motorola en su programa 6-sigma. Este índice no toma en cuenta la localización relativa de la media del proceso respecto a los límites de especificaciones. Por lo que es necesario otro índice adicional.

Indice de capacidad real Cpk Este índice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a las especificaciones, en este caso se denomina Cpk o PCRk, y se evalúa tomando el mínimo entre los Cp’s correspondientes a cada lado de la media, como sigue, Cpk  PCRk  min ( PCRS , PCR I )

debe ser mayor a 1

(6.5) donde, Cps  PCRS 

Cpi  PCR I 

LSE  

3   LIE

3

para el límite superior

(6.6)

para el límite inferior

Ejemplo 6.3 Para un proceso donde los límites de especificación sean LSE=62, LIE=38, la media del proceso sea =53 y su desviación estándar =2, se tiene: Cps  PCRS 

Cpi  PCRI 

62  53 32 53  38 32

 1.5 para el límite superior

 2.5 para el límite inferior

Por tanto, el índice de capacidad real es: Cpk  PCRk  min( PCRS , PCR I )  min(1.5,2.5)  1.5

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Note que el PCR a considerar corresponde al límite de especificación más cercano a la media del proceso. Siempre se cumple que, Cpk <= Cp Siendo el Cpk menor cuando el proceso no está centrado

Normalidad y capacidad del proceso Las consideraciones anteriores se basan en la suposición que el proceso tiene un comportamiento normal, si no es así, puede ser necesario transformar los datos con alguna función matemática para dar la apariencia de normalidad, por ejemplo la distribución siguiente de acabado superficial en una parte maquinada no es normal: Frec. a)

Microdureza Se puede transformar cada valor x con su inverso o sea con y=1/x de esta forma la distribución transformada es la siguiente (ver método de Box Cox con Lamda óptima en Minitab): Frec. b) Y=1/x Fig. 6.6 Transformación de datos para normalizarlos Lo cual representa una distribución normal.

6.2.4 INDICE DE CAPACIDAD POTENCIAL Cpkm ó PCRkm Dos procesos pueden tener un Cpk igual a uno, pero sin embargo no necesariamente están centrados respecto a la media de las especificaciones como se muestra a continuación:

LIE



LSE

LIE



LSE

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PROCESO A: Cpk = 1

PROCESO B: Cpk =1

Fig. 6.7 Procesos con Cpk = 1 pero con centrado diferente

Un nuevo índice que toma en cuenta el centrado es el siguiente: 1

Si T  ( LSE  LIE )

(6.7)

2





 

2



 (   T ) 2

T   

(6.8)

(6.9)

Se tiene, Cpkm  PCRkm 

LSE  LIE 6



LSE  LIE 6   (   T ) 2

 2

LSE  LIE 1  

2

(6.10)

Una condición necesaria para que Cp km sea mayor de uno es:   T 

1 6

( LSE  LIE )

Ejemplo 6.4 Para los procesos A y B ilustrados anteriormente se tiene: Límites de especificación: LIE = 38, LSE = 62, T = 50 Proceso A: Media = 50, desv. estándar = 5 Proceso B: Media = 57.7, desv. estándar = 2.5 Entonces Cpkm (A) =

1 1 0

 1.0 2

Cpkm (B) =

1  (3)

2

 0.63

Por tanto es mejor el proceso A, centrado en la media. En base a lo anterior se ha propuesto otro índice de capacidad por Pearn (1992), que toma en cuenta el descentrado de la media del proceso respecto del de especificaciones, o sea: Cp pmk  PCR pmk 

Cpk

1  

2

(6.11)

Nota: Es muy importante que el proceso sea normal, de lo contrario se obtendrán resultados inexactos. Cuando los procesos son ligeramente anormales se pueden utilizar los métodos de Pearson, transformar los datos por Box Cox o usar Weibull.

Capacidad del proceso con Cartas de Control

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La carta de control es un mejor instrumento para evaluar la capacidad del proceso porque se puede observar que el proceso esté en control ya sea en forma instantánea o durante el tiempo antes de evaluar la capacidad. Se puede observar que cuando el proceso está en control, no existen causas asignables que puedan ser corregidas, y la única alternativa para reducir la variabilidad es con la intervención de la administración. En casos especiales como estos donde las variaciones presentes son totalmente inesperadas tenemos un proceso inestable ó impredecible. ? ?

?

? ?

? ?

Fig. 6.10 Comportamiento de un proceso fuera de control

Si las variaciones presentes son iguales, se dice que se tiene un proceso “estable”. La distribución será “predecible” en el tiempo.

Predicción



Tiempo

Fig. 6.11 Comportamiento de un proceso dentro de control

Cálculo de la desviación estándar del proceso  

R d 2

ó  

S C 4

(Para cartas de control X-R y X-S respectivamente)

Donde, S = Desviación estándar de la población d2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - R

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C4 = Ídem al anterior para una carta X - S En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio = Suma rangos / (n -1) Ejemplo 6.7 (carta X - R) De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes: x = 64.06 , R = 77.3 Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

  x media de medias   

R d 2



77.3 2.326

 33.23

Si el límite de especificación es: LIE = 200. El C pk 

200  264.06 3  33.23

=

0.64 por tanto el proceso no cumple con las

especificaciones. Ejemplo 6.8 (carta X - S) De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes:

x  100, s  1.05

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:   x  100 s 1.05   =  1.117 C 4 .094

C4 para n = 5 tiene el valor 0.94 Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105. El C pk  El C p 

105  100 3  1.117

105  85 6  1.117

 1.492

 2.984

Por lo tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones.

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Capacidad de procesos con minitab normales y no normales Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con 1. Calc > Random data > Normal 2. Generate 100 Store in columns C1 32.02 OK

Mean 264.06 Estándar deviation

Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330 Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Ryan como sigue: 3. Stat > Basic statistics > Normalita Test 4. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente Probability Pl ot of Datos Normal 99.9 Mean S tD ev N RJ P-Value

99 95

269.3 30. 72 100 0.994 >0.100

90

t n e c r e P

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

150

200

250 Datos

300

350

Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene: 5. Graph > Probability plot > Normal 6. Graph Variable C1 7. Distribution Normal OK Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es normal la distribución.

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Probability Pl ot of Datos Normal - 95% CI 99.9 Mean StDev N AD P-Value

99 95

269.3 30.72 100 0.317 0.533

90

t n e c r e P

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

150

200

250

300

350

400

Datos

Determinación de la capacidad del proceso Una vez comprobada la normalidad de los datos, determinar la capacidad con: 1. Stat > Quality tools > Capability análisis > Normal 2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330 3. Estimate R-bar OK Los resultados se muestran a continuación: Process Capability of Datos LSL

USL

Process Data LS L 200.00000 Target * USL 330.00000 Sample Mean 269.25354 S ample N 100 StDev(Within) 30.83472 StDev(Ov erall) 30.80011

Within Overall P otential (Within) C apability Cp 0.70 CPL 0.75 CPU 0.66 C pk 0.66 C C pk 0 .70 O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm

210 O bserved Performance PPM < LSL 10000.00 PPM > USL 30000.00 PPM Total 40000.00

240

Exp. Within Performance PPM < LSL 12353.30 PPM > USL 24415.36 PPM Total 36768.66

270

300

330

0.70 0.75 0.66 0.66 *

360

Exp. Ov erall Performance PPM < LSL 12272.69 PPM > USL 24288.79 PPM Total 36561.48

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Interpretación: La desviación estándar Within se determina en base al Rango medio y d2 (1.128 para n = 2), con esta se determinan los índices de capacidad potencial Cp y real Cpk , lo cual es adecuado para un proceso en control o normal. La desviación estándar Overall se determina con la desviación estándar de todos

los datos de la muestra dividido entre el factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta desviación estándar se determinan los índices de desempeño Pp y Ppk así como el desempeño Overall, no importando si el proceso está en control o no, en este último caso los valores no tienen significado práctico.

Opción Six Pack Para mostrar toda la información relevante: Determinar la capacidad con: 4. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal 5. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330 6. Estimate R-bar OK Los resultados se muestran a continuación: Process Capability Sixpack of Datos I Chart

Capability Histogram UCL=361.8

e u l a 320 V l a u d i 240 v i d n I

_ X=269.3

LCL=176.7

160 1

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

210

240

Moving Range Chart UCL=113.6

e g 100 n a R g n 50 i v o M

300

330

360

Normal Prob Plot A D: 0. 317, P : 0.533

1

1

270

__ MR=34.8

0

LCL=0 1

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Last 25 Observations

200

300

400

Capability Plot Within StDev 30.83472 Cp 0.70 C pk 0.66 C Cpk 0.70

300 s e u l a 250 V

200

Within

Overall

O verall StDev 30.80011 Pp 0.70 P pk 0.66 C pm *

Specs

80

85

90 Observation

95

100

En este caso de la gráfica de probabilidad normal, los datos siguen una distribución normal.

Capacidad de procesos no normales.

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Cuando los datos provienen de poblaciones no normales una opción para realizar el estudio de capacidad de procesos es mediante la distribución Weibull. Ejemplo en Minitab En una compañía se manufacturan losetas para piso, el problema que se tiene es referente a la deformación en las mismas. Se toman 100 mediciones durante 10 días. El límite superior de especificación (USL) = 3.5 mm Realice un estudio de capacidad con la ayuda de Minitab e interprete los resultados. Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma = 1, Factor de escala = 1 con 8. Calc > Random data > Weibull 9. Generate 100 Store in columns C1 Shape parameter 1.2 Scale parameter 1 Threshold parameter 0 OK Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5 Determinar la capacidad con: 7. Stat > Quality tools > Capability análisis > NoNormal 8. Single column C1 Dsitribution Weibull Lower Spec 0 Upper spec 3.5 9. Estimate R-bar OK Los resultados se muestran a continuación: Process Capability of Datos1 Calculations Based on Weibull Distribution Model USL Process Data LS L Target USL Sample Mean S ample N S hape S cale

O v erall C apability Pp * P PL * P PU 0.85 P pk 0.85

* * 3.50000 0.82279 100 1.24929 0.88470

Exp. Ov erall Performance P P M < LS L * PP M > USL 3795.26 PPM Total 3795.26

O bserv ed Pe rformance P P M < LS L * PPM > USL 10000 PPM Total 10000

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

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El histograma no muestra evidencia de alguna discrepancia seria entre el modelo y los datos, ya que la curva muestra buen ajuste. Sin embargo observamos que algunos datos caen fuera del límite superior de especificación. Lo cual quiere decir que en algunos casos la deformación será mayor a 3.5 mm. El índice Ppk y Ppu 2 = 0.85 lo cual nos dice que el desempeño del proceso no es capaz ya que 0.85<.1.33 También observamos que PPM > USL 3,795 lo cual significa que aproximadamente 3,795 PPM estarán fuera de los límites de especificaciones. También se cuenta con la opción Six Pack para esta opción.

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CONCLUSIÓN Del desarrollo de los conceptos y ejemplos se puede observar el enorme potencial que posee la utilización del Control Estadístico de la calidad como instrumento y herramienta destinada a un mejor control, una forma más eficaz de tomar decisiones en cuanto a ajustes, un método muy eficiente de fijar metas y un excepcional medio de verificar el comportamiento de los procesos.

Gr áfica de Control de Atributos

Piezas Defectuosas Gr áfica p

Gr áfica np

Defectos por pieza Gr áfica u

Gr áfica c

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Unidad 3 Graficas de Control Para Atributos

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