Método de pesos 1. Formule el problema fiscal de Fairville, suponiendo que el consejo municipal especifique una meta mas G 5, que requiera que el impuesto sobre la gasolina sea igual por lo menos a 10% de la factura fiscal total. 550 x p + 35x f f + 55 x s + 0.075 x g g ≥ 16 35 x f f ≤ .1 (550 x p + 35x f f + 55 x s + 0.075 x g g) 55 x s ≤ .2 (550 x p + 35x f f + 55 x s + 0.075 x g g) X g ≤ 2 0.075 x g g ≥ .1 (550 x p + 35x f f + 55 x s + 0.075 x g g) x p, x f , x s, x g ≥ 0 Estas restricciones se simplifican entonces como: 550 x p + 35 x f f + 55 x s + 0.075 x g g ≥ 16 55 x p + 31.5 x f f + 5.5 x s + 0.0075 x g g ≥ 0 110 x p + 7x f f + 44 x s + 0.015 x g ≥ 0 X g ≤ 2 55 x p + 3.5 x f f + 5.5 x s - 0.0675 x g g ≤ 0 x p, x f , x s, x g ≥ 0 En función del modelo de Fairville, las metas flexibles se expresan como sigue: 550 x p + 35 x f f + 55 x s + 0.075 x g + s1- - s1+ = 16 g + 55 x p + 31.5 x f f + 5.5 x s + 0.0075 x g + s2 - - s2 + = 0 g + 110 x p + 7x f f + 44 x s + 0.015 x g + s3- - s3+ = 0 X g + s4- + s4+ = 2 55 x p + 3.5 x f f + 5.5 x s - 0.0675 x g + s5 - + s5 + = 0 x p, x f , x s, x g ≥ 0 si - - si + ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4 , 5 Modelo de programación por metas:
Minimizar G1: s1Minimizar G2: s2 Minimizar G3: s3Minimizar G4: s4Minimizar G5: s5 + Sujeta a: 550 x p + 35 x f f + 55 x s + 0.075 x g + s1- - s1+ = 16 g + 55 x p + 31.5 x f f + 5.5 x s + 0.0075 x g + s2 - - s2 + = 0 g + 110 x p + 7x f f + 44 x s + 0.015 x g + s3- - s3+ = 0 X g + s4- + s4+ = 2 55 x p + 3.5 x f f + 5.5 x s - 0.0675 x g + s5 - + s5 + = 0 x p, x f , x s, x g ≥ 0 si - - si + ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5
Método de los pesos. Función Objetivo
Minimizar Z = G1+ G2 + G3 + G4 + G5 Minimizar Z= s1- + s2 - + s3- + s4- + s5 + Sujeta a: 550 x p + 35 x f + 55 x s + 0.075 x g + s1- - s1+ = 16 55 x p + 31.5 x f + 5.5 x s + 0.0075 x g + s2 - - s2 + = 0 110 x p + 7x f + 44 x s + 0.015 x g + s3- - s3+ = 0 X g + s4- + s4+ = 2 55 x p + 3.5 x f + 5.5 x s - 0.0675 x g + s5 - + s5 + = 0 si - - si + ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 Solución:
Conclusión:
La solución óptima es: x p = 0.0201 x f = 0.0457 x s = 0.0582 x g = 2 S5- = 1.45 Una de las metas no se cumple S5- = 1.45 y significa que la gasolina falla a $1.45 millones del objetivo. 2. El centro comercial NW gestiona eventos especiales para atraer clientes potenciales. Entre los eventos que aparecen atraer a los adolescentes, al grupo de jóvenes de mediana edad y a los adultos mayores, los dos más populares son los conciertos de bandas y las posiciones de arte. Sus costos por presentación son de $1500 y $3000, respectivamente. El presupuesto anual (estricto) total asignado a los dos eventos es de $15,000. El gerente del centro comercial estima la asistencia como sigue:
Cantidad de personas que as isten por presentación
Evento Concierto de Bandas Exposición de arte
Adolescentes
Mediana Edad Adultos Mayores
200
100
0
0
400
250
El gerente ha fijado metas mínimas de 1000, 1200 y 800 para la asistencia de adolescentes, personas de mediana edad y adultos mayores, en ese orden. Formule el problema como un modelo de programación de metas.
Solución:
1500x1 + 3000x2 ≤ 15000 200x1 + 0x2 ≥ 1000 100x1 + 400x2 ≥ 1200 0x1 + 250x2 ≥ 800 Las Metas flexibles se expresan como sigue: 1500x1 + 3000x2 + s1- - s1+ = 15000 200x1 + 0x2 + s2 - - s2 + = 1000 100x1 + 400x2 + s3- - s3+ = 1200 0x1 + 250x2 + s4- + s4+ = 800 x1, x2 ≥ 0 + si - si ≥ 0, I = 1, 2, 3, 4 Modelo de programación por metas: Minimizar G1: s1+ Minimizar G2: s2 Minimizar G3: s3Minimizar G4: s4-
Sujeta a: 1500x1 + 3000x2 + s1- - s1+ = 15000 200x1 + 0x2 + s2 - - s2 + = 1000 100x1 + 400x2 + s3- - s3+ = 1200 0x1 + 250x2 + s4- + s4+ = 800 x1, x2 ≥ 0 si - - si + ≥ 0, I = 1, 2, 3, 4 Método de los pesos. Función Objetivo
Minimizar Z = G1+ G2 + G3 + G4 Minimizar Z: S 1+ + S2- + 2S3- + S4 Sujeta a:
1500x1 + 3000x2 + s1- - s1+ = 15000 200x1 + 0x2 + s2 - - s2 + = 1000 100x1 + 400x2 + s3- - s3+ = 1200 0x1 + 250x2 + s4- + s4+ = 800 x1, x2 ≥ 0 si - - si + ≥ 0, I = 1, 2, 3, 4 Solución:
Conclusión:
La solución óptima es: x 1 = 5 x 2 = 2.5 S4- = 175 S3- = 300 Dos de las metas no se cumplen S 4- = 175 y S3- = 300 por lo que la asistencia de mediana edad es de 175 asistentes faltantes del objetivo y la asistencia de adultos mayores faltantes 300 al objetivo. 3. La oficina de admisión de la Universidad de Ozark está recibiendo solicitudes de estudiantes de primer año para el año académico venidero. Las solicitudes caen dentro de las tres categorías: estudiantes del estado, de fuera del estado e internacionales. Las relaciones hombres-mujeres de los solicitantes del estado y de fuera del estado son 1:1 y 3:2; para los estudiantes internacionales, la relación correspondiente es de 8:1. La
calificación en el Examen de la Universidades Americanas (ACT, por sus siglas en inglés) es un importante factor de la aceptación de nuevos estudiante. Las estadísticas recopiladas por la universidad indican que las calificaciones promedio de estudiantes del estado, fuera del estado e internacionales, son de 27, 26 y23, respectivamente. El comité de admisión ha establecido las siguientes metas deseables para la nueva clase de primer año: a) b) c) d) e)
Que la clase que empieza sea por lo menos 1200 estudiantes. Que la calificación promedio de todos los solicitantes sea por lo menos de 25. Que los estudiantes internacionales constituyan por lo menos el 10% de la clase. Que la relación mujeres-hombres sea por lo menos de 3:4 Que los estudiantes de fuera del estado comprendan por lo menos 20% de la clase.
Formule el problema como un modelo de programación de metas.
Solución: X1= Estudiantes del estado X2 =Estudiantes fuera del estado X3 = Estudiantes Internacionales
X1 + X2 + X3 ≥ 1200 27X1 + 26X2 + 23X3 ≤ 25X1 +25X2 + 25X3 0.1X1 + 0.1X2 + 0.1X3 ≤ X3 X1 + 2/3X2 + 1/8X3 ≤ 3/4X1 + 3/4X2 + 3/4X3 0.2X1 + 0.2X2 + 0.2X3 ≤ X2 Simplificación
X1 + X2 + X3 ≥ 1200 2X1 + X2 - 2X3 ≥ 0 0.1X1 + 0.1X2 - 0.9X3 ≥ 0 1/4X1 + 1/12X2 + 5/8X3 ≥ 0 X1 + 0.8X2 + X3 ≥ 0 X1, X2, X3 ≥ 0 Las Metas flexibles se expresan como sigue:
X1 + X2 + X3 + s1- - s1+ ≥ 1200 2X1 + X2 - 2X3 + s2 - - s2 + ≥ 0 0.1X1 + 0.1X2 - 0.9X3 + s3- - s3+ ≥ 0 1/4X1 + 1/12X2 + 5/8X3 + s4- + s4+ ≥ 0 X1 + 0.8X2 + X3 + 5 4- + s5+ ≥ 0 X1, X2, X3 ≥ 0
si - - si + ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 El modelo de programación por metas es el siguiente:
Minimizar G1: s1Minimizar G2: s2 Minimizar G3: s3Minimizar G4: s4Minimizar G5: s5 Sujeta a: X1 + X2 + X3 + s1- - s1+ ≥ 1200 2X1 + X2 - 2X3 + s2 - - s2 + ≥ 0 0.1X1 + 0.1X2 - 0.9X3 + s3- - s3+ ≥ 0 1/4X1 + 1/12X2 + 5/8X3 + s4- + s4+ ≥ 0 X1 + 0.8X2 + X3 + 5 4- + s5+ ≥ 0 X1, X2, X3 ≥ 0 si - - si + ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 Método de los pesos. a) Función Objetivo
Minimizar Z = G1+ 2G2 + G3 + G4 + G5 Minimizar Z= s1- + 2s2 - + s3- + s4- + s5 + Sujeta a: X1 + X2 + X3 + s1- - s1+ = 1200 2X1 + X2 - 2X3 + s2 - - s2 + = 0 0.1X1 + 0.1X2 - 0.9X3 + s3- - s3+ = 0 1/4X1 + 1/12X2 + 5/8X3 + s4- + s4+ = 0 X1 + 0.8X2 + X3 + 5 4- + s5+ = 0 X1, X2, X3 = 0 si - - si + ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 Solución:
Conclusión:
b) Función Objetivo
Minimizar Z = 4G1+ 2G2 + G3 + G4 + G5 Minimizar Z= 4s1- + 2s2 - + s3- + s4- + s5 + Sujeta a: X1 + X2 + X3 + s1- - s1+ = 1200 2X1 + X2 - 2X3 + s2 - - s2 + = 0 0.1X1 + 0.1X2 - 0.9X3 + s3- - s3+ = 0 1/4X1 + 1/12X2 + 5/8X3 + s4- + s4+ = 0 X1 + 0.8X2 + X3 + 5 4- + s5+ = 0 X1, X2, X3 = 0 si - - si + ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 Solución:
Conclusión:
4. Las granjas Circle K consumen 3 toneladas diarias de un alimento especial, el cual está constituido por una mezcla de piedra caliza (carbonato de calcio), maíz y soya, y que debe satisfacer los siguientes requisitos nutricionales: Calcio. Al menos 0.8%, pero no más de 1.2%
Por lo menos 22% Proteína Fibra A lo sumo 5% La siguiente tabla muestra el contenido nutricional de los ingredientes alimenticios. lb por lb de ingrediente Ingrediente
Calcio
Proteína
Fibra
Piedra caliza
.380
.00
.00
Maíz
.001
.09
.02
.002
.50
.08
Soya
Formule el problema como un modelo de programación de metas, y establezca su opinión con respecto a la aplicabilidad de la programación de metas a esta situación.
Solución:
P+M+S=3 0.38P + 0.001M + 0.002S ≥ 0.0008 0.38P + 0.001M + 0.002S ≤ 0.012 0P + 0.09M + 0.5S ≥ 2.2 OP + 0.02M + 0.08S ≤ 0.05 P, M, S ≥ 0 Simplificación:
P+M+S≥3 P+M+S≤3 0.38P + 0.001M + 0.002S ≥ 0.0008 0.38P + 0.001M + 0.002S ≤ 0.012 0P + 0.09M + 0.5S ≥ 2.2 OP + 0.02M + 0.08S ≤ 0.05 P, M, S ≥ 0 Las metas flexibles se expresan como sigue:
P + M + S + s1- - s1+ = 3 P + M + S + s2 - - s2 + = 3 0.38P + 0.001M + 0.002S + s3- - s3+ = 0.0008 0.38P + 0.001M + 0.002S + s4- - s4+ = 0.012 0P + 0.09M + 0.5S + s5 - - s5 + = 2.2 OP + 0.02M + 0.08S + s6 - + s6+ = 0.05 P, M, S ≥ 0 si - - si + ≥ 0, I = 1, 2, 3, 4, 5 , 6 El modelo de programación por metas es el siguiente: Minimizar G1: s1Minimizar G2: s2 +
Minimizar G3: s3Minimizar G4: s4+ Minimizar G5: s5 Minimizar G6: s6+ Sujeta a: P + M + S + s1- - s1+ = 3 P + M + S + s2 - - s2 + = 3 0.38P + 0.001M + 0.002S + s3- - s3+ = 0.0008 0.38P + 0.001M + 0.002S + s4- - s4+ = 0.012 0P + 0.09M + 0.5S + s5 - - s5 + = 2.2 OP + 0.02M + 0.08S + s6 - + s6+ = 0.05 P, M, S ≥ 0 si - - si + ≥ 0, I = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Función Objetivo
Minimizar Z = G1+ G2 + G3 + G4 + G5 + G6 Minimizar Z= s1- + 2s2 + + s3- + s4- + s5 - + s6 + Sujeta a: P + M + S + s1- - s1+ = 3 P + M + S + s2 - - s2 + = 3 0.38P + 0.001M + 0.002S + s3- - s3+ = 0.0008 0.38P + 0.001M + 0.002S + s4- - s4+ = 0.012 0P + 0.09M + 0.5S + s5 - - s5 + = 2.2 OP + 0.02M + 0.08S + s6 - + s6+ = 0.05 P, M, S ≥ 0 si - - si + ≥ 0, I = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Solución:
Conclusión:
