PENGUJIAN HIPOTESIS
Dalam inferensi statistika kita akan menghadapi suatu permasalahan. Sebelum kita mencari jawaban secara faktual terlebih dahulu kita mencoba menjawab secara teoritis. Jawaban atas masalah secara teoritis sering disebut hipotesis. Hipotesis merupakan jawaban sementara, yang masih perlu diuji kebenaranny k ebenarannya a melalui fakta -fakta. Pengujian hipotesis dengan menggunakan dasar fakta diperlukan alat bantu, yang digunakan adalah analisis analisis statistik. Dalam pengujian hipotesis kita akan menghadapi sekumpulan sampel, dan kesimpulan analisis sampel tersebut akan digunakan dalam kesimpulan umum yang merupakan kesimpulan populasi. Oleh karena itu sampel yang diambil harus mewakili populasi. Tujuan uji hipotesis statistik adalah untuk menentukan apakah dugaan tentang karakteristik suatu populasi didukung kuat oleh informasi yang diperoleh dari data observasi atau tidak. Hipotesis statistik adalah setiap pernyataan tentang karateristik suatu populasi. Diterima atau tidaknya pernyataan ini di evaluasi berdasarkan informasi yang diperoleh dengan mengambil sampel dari populasi itu. Hipotesis Hipotesis yang akan kita kita hadapi adalah : a. Hipotesis Nol (H O) Hipotesis Nol adalah suatu dugaan awal terhadap pernyataan tertentu yang dapat diterima atau ditolak. H 0 memprediksi tidak adanya perbedaan antara suatu kondisi dengan kondisi lainnya. b. Hipotesis Hipotesis Alternatif (H1) Hipotesis Hipotesis alternatif adalah hipotesis yang menentang/melawan menentang/melawan Ho. H1 memprediksi adanya perbedaan perbedaan antara suatu kondisi dengan kondisi lainnya. Hal yang perlu diingat bahwa prosedur dalam pengujian hipotesis adalah akan menguji H0, bukan menguji H 1. Untuk mengambil keputusan harus memilih satu diantara dua keputusan dibawah ini : -
Menerima / gagal menolak H O jika HO sangat didukung oleh data, hal ini berarti menolak H1
-
Menolak / gagal menerima H O jika HO tidak didukung didukung oleh data, hal ini berarti menerima H1
Proses pemilihan pemilihan kedua tindakan diatas diatas disebut pengujian pengujian hipotesis statistik. statistik. Dalam statistika dikenal dua macam hipotesis yaitu : a. hipotesis Statistik b. hipotesis verbal
kedua macam hipotesis ini hanya berbeda bentuknya saja tetapi harus mempunyai makna yang sama. Andaikan kita mempunyai hipotesis Statistik untuk menguji kesamaan dua rata-rata populasi sebagai berikut: HO : 1 = 2 H1 : 1 2 Hipotesis di atas dapat diverbalkan menjadi : HO : Rata-rata nilai populasi pertama tidak berbeda secara signifikan dengan ratarata nilai populasi kedua. H1 : Rata-rata nilai populasi pertama berbeda secara signifikan dengan rata-rata nilai populasi kedua. Keputusan untuk menolak atau menerima hipotesa nol didasarkan atas informasi yang terkandung didalam suatu sampel yang ditarik dari populasi yang diamati. Nilai-nilai sampel tesebut digunakan untuk menghitung suatu bilangan tunggal yang berkaitan dengan suatu titik pada garis, dan berperan sebagai suatu penentu keputusan. Penentu keputusan ini disebut Statistik uji. Keseluruhan himpunan nilai yang mungkin dimiliki oleh statistik uji tersebut dapat dibagi menjadi dua kelompok atau daerah, yang satu berhubungan dengan daerah penolakan dan yang lain behubungan dengan daerah penerimaan. Jika statistik uji yang dihitung dari suatu sampel tertentu memiliki suatu nilai dalam daerah penolakan maka hipotesis nol ditolak dan hipotesis alternatif diterima. Prosedur keputusan yang dijelaskan diatas mempunyai dua jenis kesalahan yang lazim terjadi pada masalah keputusan dengan dua pilihan. Ada dua tipe kesalahan dalam pengujian : Kesalahan tipe I yaitu menolak H O padahal HO benar (menolak hal yang sebenarnya benar). α = P (Melakukan Kesalahan tipe I ) Kesalahan tipe II yaitu menerima H O padahal H O salah (menerima hal yang sebenarnya salah). = P (Kesalahan tipe II)
Di dalam analisis statistik yang dilakukan selalu mengandung suatu kesalahan, maka setiap peneliti harus tahu bagaimana baiknya analisis yang digunakan, kebenaran yang mutlak tidak dapat dicapai. Dua tipe kesalahan itu dapat dinyatakan sebagai tabel berikut :
1
Tabel. 1.3. Tipe Kesalahan SIFAT HAKIKAT H0 HO BENAR
KEPUTUSAN UJI HIPOTESIS
HO SALAH
Kesalahan Tipe
Menolak HO
I
Menerima HO
Benar Kesalahan Tipe
Benar
II
Oleh karena α dan merupakan probabilitas salah dalam pengambilan keputusan, α maupun semakin baik hasil keputusan yang kita ambil. Dengan perkataan lain menunjukkan tingkat akurasi keputusan, karena kesalahan yang sangat kecil. Tingkat akurasi analisis ini sering disebut power of the test (kekuatan uji). Dengan memperkecil α berarti, memperbesar power of the test , yang akhirnya juga memperkecil , karena β = 1 – power of the test.
1. Pengujian Hipotesis untuk Rata-rata ( x ) Uji Rata-rata satu populasi Didalam pengujian satu populasi dapat digunakan sampel besar atau sampel Kecil. Perbedaannya terletak pada pemakaian tabel, dengan variansi populasi. Tabel 1.4. Pemakaian Tabel statistik untuk pengujian rata-rata satu populasi Sampel
Variansi Populasi Diketahui
Tidak diketahui
n 30
Z
Z
n < 30
Z
T
Dimana hipotesis yang dugunakan adalah sebagai berikut : a). HO: = 0 H1 : 0 b). H0 : = 0 H1 : > 0 c). H0 : = 0 H1 : < 0
2
Statistik Uji a.
Z
X
0
jika variansi populasi diketahui.
n
b. Z
X
0
jika variansi populasi tidak diketahui.
S n
n
X
1
n
( X
i
n
X n
i
2
S
,
i 1
X )
X
2
i 1
n 1
2
i
n X
i 1
n 1
Kriteria : a). H0 diterima jika - Z/2 ≤ Z hit ≤ Z/2 H0 ditolak jika Zhit > Z/2 atau Zhit < - Z/2
-Z/2
Z/2 0 Gambar 1.9
b). H0 diterima jika Z hit ≤ Z H0 ditolak jika Z hit > Z
Z
0 Gambar 1.10 c). H0 diterima jika Z hit ≥ -Z H0 ditolak jika Z hit < - Z
-Z
0 Gambar 1.11
3
2
Uji rata-rata untuk satu populasi dengan sampel kecil (n < 30) Statistik Uji t
X
S /
0
n
Kriteria : a). H0 diterima jika - t/2, n-1 ≤ t
hit
≤ t/2,
n-1
H0 ditolak jika thit > t/2, n-1 atau thit < - t/2, n-1
-t/2
t/2
0 Gambar 1.12
b). H0 diterima jika t hit ≤ t,
n-1
H0 ditolak jika t hit > t, n-1
t
0 Gambar 1.13 c). H0 diterima jika t hit ≥ -t, n-1 H0 ditolak jika t hit < -t, n-1
-t
0 Gambar 1.14
Contoh1: Hasil penelitian menunjukkan bahwa di Kota “X” mempunyai pendapatan per hari rata rata 68 ribu rupiah. Untuk meningkatkan pendapatan tersebut, warga diberi pelatihan enterpreneur, untuk meningkatkan penghasilan. Diambil sampel dengan 50 warga yang telah mendapatkan pelatihan selama 3 bulan dan telah mempraktekkan pelatihan tersebut. Setelah tiga bulan diteliti ternyata mempunyai rata-rata pendapatan 72 ribu rupiah dengan deviasi standar 5,9. Apakah saudara percaya bahwa pelatihan tersebut meningkatkan pendapatan? = 5%
4
Jawab : HO: = 68 H1 : > 68 = 5%
1,65
0 Gambar 1.15
H0 diterima jika Z hit ≤ 1,65 H0 ditolak jika Z hit > 1,65 Z hit
X
S
0
72 68
n
5, 9
50
4,794
Oleh karena Zhit > 1,65 maka H0 ditolak berarti H 1 diterima Kesimpulan : Pelatihan tersebut meningkatkan pendapatan.
Contoh 2. Kepala Sekolah suatu SMA mendengar berita bahwa Guru A selalu memberi nilai lebih tinggi dari guru lainnya pada mata pelajaran yang sama. Sebelum melakukan tindakan teguran, Kepala Sekolah memutuskan untuk melakukan penelitian terlebih dahulu. Untuk itu diambil sekelompok siswa yang mengikuti pelajaran Guru A. Dari hasil pengumpulan nilai 10 siswa mempunyai nilai sebagai berikut : 58 69 64 58 62 71 94 83 75 86. Apabila nilai rata-rata untuk mata pelajaran tersebut (yang diasuh oleh beberapa guru dan guru A merupakan salah satu gurunya) adalah 65. Keputusan apa yang akan diambil oleh Kepala Sekolah SMP tersebut ? = 0,05. Jawab : HO : = 65 H1 : 65 = 0,05
-2,262
2,262
0 Gambar 1.16
5
H0 diterima -2,262 ≤ thit ≤ 2,262 H0 ditolak jika t hit > 2,262 t hit
X
0
S
atau
72 65
n
3,910101
thit < -2,262
1,79
Oleh karena thit ≤ 2,262 maka H0 diterima berarti H 1 ditolak Kesimpulan : Nilai Guru A tidak lebih tinggi dari guru lainnya, jadi Kepala Sekolah tidak mempunyai alasan untuk menegur Guru A.
2. Uji Hipotesis Proporsi Satu Populasi Akan di uji proporsi unsur-unsur yang bersifat A dari suatu populasi sama dengan harga tertentu p0. a) HO: p = p0 H1 : p p0 b) H0 : p = p0 H1 : p > p0 c) H0 : p = p0 H1 : p < p0 Statistik Uji
Zhit =
p - p0 ˆ
p(1-p)/n ˆ
ˆ
Dimana : p = ˆ
X/n
X = sifat yang diselidiki n = banyaknya anggota sampel Kriteria : a). H0 diterima jika - Z/2 ≤ Zhit ≤ Z/2 H0 ditolak jika Zhit > Z/2 atau Zhit < - Z/2
-Z/2
Z/2
0 Gambar 1.17
6
b). H0 diterima jika Z hit ≤ Z H0 ditolak jika Z hit > Z
Z
0 Gambar 1.18
c). H0 diterima jika Z hit ≥ -Z H0 ditolak jika Z hit < - Z
-1,65
0
Gambar 1.19
Contoh 3. Hasil penelitian terhadap keberhasilan penelitin di sebuah lembaga terbukti bahwa 80% yang aktif meneliti adalah peneliti yang telah mengikuti pelatihan metode penelitian. Ada isu bahwa keaktifan peneliti tersebut mengalami penurunan. Untuk membuktikan hal tersebut maka dilakukan penelitian dengan mengambil 100 staf yang telah mengikuti pelatihan metode penelitian Dari hasil pengumpulan tersebut ternyata 75 staf aktif malakukan penelitian. Apakah kita percaya bahwa persentase keaktifan staf dalam melakukan penelitian telah mengalami penurunan ? α=5% Jawab : HO : p = 0,8 H1 : p < 0,8 H0 diterima jika Z hit 1,96 ≥ -1,65 H0 ditolak jika Zhit < - 1,65
-1.65
0 Gambar 1.20
7
0.75 - 0.8
Zhit =
(0.75X0.25)/100
1.15
Oleh karena – 1,96 ≤ Zhit ≤ 1,96 maka Ho diter ima berarti H 1 ditolak. Kesimpulan : Keaktifan staf dalam melakukan penelitian tidak mengalami penurunan.
3. Uji variansi satu populasi Misalkan
X 1 , X 2 , ... , X n
sampel random yang saling bebas dengan n observasi diambil
dari suatu populasi dengan rata-rata μ (tidak diketahui) dan variansi
2
(tidak diketahui) .
Andaikan kita mempunyai hipotesis Statistik untuk menguji variansi populasi sebagai berikut: HO
:
H1
:
2
2
0
2
0
2
Statistik uji : 2
n
1 S
0
2
2
Kriteria : Tolak HO jika : 2
hit
2
1 / 2; n 1
atau
2
hit
2
/ 2; n 1
Contoh 4 : Hasil penelitian menunjukkan bahwa di Kota “X” mempunyai variansi pendapatan per hari 68 ribu rupiah. Untuk meningkatkan pendapatan tersebut, warga diberi pelatihan enterpreneur, untuk meningkatkan penghasilan. Diambil sampel dengan 50 warga yang telah mendapatkan pelatihan selama 3 bulan dan telah mempraktekkan pelatihan tersebut. Setelah tiga bulan diteliti ternyata mempunyai deviasi standar 5.9 ribu rupiah. Apakah saudara percaya bahwa dengan pelatihan tersebut variansi pendapatan 25? = 5%
4. Uji Dua Kelompok Berpasangan Dalam suatu penelitian mungkin kita akan menggunakan subyek yang sama untuk diberi perlakuan atau subyek dapat dibuat berpasangan atas dasar keserupaan : gen, bobot, usia atau lingkungan dan faktor lain.
8
Apabila kita ingin menguji kecocokan atas perbedaan pada suatu eksperimen yang menggunakan satu kelompok sampel, maka sebelum melakukan eksperimen, peneliti melakukan pengukuran awal (pre test), kemudian sesudah eksperimen dilakukan pengukuran ulang (post test), maka peneliti akan mempunyai dua kelompok nilai yang berasal dari satu kelompok sampel. Apabila eksperimen itu mempunyai dampak terhadap hasil (tujuan eksperimen), maka skor kedua kelompok
tersebut akan menunjukkan
perbedaan yang berarti. Oleh karena itu yang dihadapi hanya sekelompok subyek, maka akan lebih sederhana jika perhitungannya didasarkan pada selisih antara nilai pre test dan post test. Langkah ini merupakan usaha mengubah dua kelompok nilai menjadi sekelompok nilai, sehingga analisisnya tidak berbeda dengan analisis satu populasi. Jika selisih dua nilai diberi notasi D, maka D berfungsi sebagai nilai tunggal. Langkah uji hipotesis : HO : D = 0 H1 : D 0 Dimana : D = Selisih antara pengaruh pre test dan post test Statistik uji : t=
D - μD SD /
n
n
D
i
D=
i=1
n n
D -D
2
i
2
SD =
i=1
n-1
Kriteria : Terima Ho jika : - t(/2;n-1) ≤ thit ≤t(/2;n-1) H0 ditolak jika thit > t(/2;n-1) atau thit < - t(/2;n-1)
-t/2,n-1
0
t/2,n-1
Gambar 1.21
9
Contoh5 : Pengukuran terhadap hasil penataran dua belas orang staf menghasilkan nilai yang disajikan pada Tabel 1.5. Apakah penataran mempunyai dampak positif terhadap pengetahuan guru?
α
= 5%
HO : D = 0 H1 : D 0 n
D
i
D=
i=1
= 48 / 12 = 4
n n
D -D
2
i
2
SD =
i=1
= 4,99
n-1
Tabel 1. 5. Nilai PreTest dan Post Test Guru 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Jumlah
Pre Test 78 60 70 84 90 81 66 70 60 65 88 62
Post Test 84 63 70 89 100 91 60 76 70 63 92 64
Di = Pre Test – Post Test 6 3 0 5 10 10 -6 6 10 -2 4 2 48
Terima Ho jika : - 2,201 ≤ thit ≤ 2,201 H0 ditolak jika thit > 2,201 atau thit < - 2,201 t hit =
D - μD SD /
n
4- 0
1.44
2.78
Oleh karena thit > 2,201 maka Ho ditolak berarti H 1 diterima Kesimpulan : Penataran tersebut mempunyai dampak positif terhadap pengetahuan guru.
5. Uji Hipotesis tentang Rata-rata Dua Populasi Misalkan
X 11 , X 12 , ..., X 1n
1
dan X 21 , X 22 , ... , X 2 n2 adalah dua sampel random yang saling
bebas, sampel pertama dengan n 1 observasi diambil dari suatu populasi dengan rata-rata
10
μ1 (tidak diketahui) dan variansi
2
1
. Sampel kedua dengan n 2 obsrvasi diambil dari suatu
populasi dengan rata-rata μ2 (tidak diketahui) dan variansi
2
2
.
Andaikan kita mempunyai hipotesis Statistik untuk menguji kesamaan dua rata-rata populasi sebagai berikut: a.
HO : 1 = 2
HO : 1 - 2 = O
H1 : 1 2 b.
HO : 1 = 2 H1 : 1 > 2
c.
HO : 1 = 2 H1 : 1 < 2
Statistik Uji 1. Jika variansi kedua populasi diketahui. Z
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) 2
2
1
2
n1
n2
2. Jika variansi kedua populasi tidak diketahui dan berbeda. Z
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) 2
S 1
n1
2
S 2
n2
3. Jika variansi kedua populasi tidak diketahui dan dianggap sama.
Z
( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) S p2 (
2 p
Dimana S
1 n1
1 n2
)
(n1 1) S 12 n1
(n 2
n2
1) S 22
2
Kriteria : a). H0 diterima jika - Z/2 ≤ Zhit ≤ Z/2 H0 ditolak jika Z hit > Z/2 atau Zhit < - Z/2
-Z/2
Z/2
0 Gambar 1.22
11
b). H0 diterima jika Z hit ≤ Z H0 ditolak jika Z hit > Z
Z
0 Gambar 1.23 c). H0 diterima jika Z hit ≥ -Z H0 ditolak jika Z hit < - Z
-Z
0 Gambar 1.24
Contoh 6. Dua sampel random terdiri dari staf laki-laki dan staf wanita dari sebuah lembaga menunjukkan rata-rata test mereka sebagai berikut. Tabel. 1.6. Deskripsi Staf laki-laki dan Wanita Staf
Ukuran Sampel
Laki-laki
Rata-rata sampel
n 1 = 45
Wanita
X 1 X 2
n2 = 35
Deviasi Standar sampel
2,78 2,70
S1 = 0,55 S2 = 0,55
Apakah data menunjukkan bahwa rata-rata nilai test staf laki-laki lebih tinggi dari rata-rata nilai test staf wanita ? a. Bila dianggap variansi kedua populasi adalah sama. b. Bila dianggap variansi kedua populasi adalah tidak sama. Gunakan α = 0,05 Jawab : HO : 1 = 2
HO : 1 - 2 = 0
H1 : 1 > 2
Z
x x 1
2
S p2
1
1
n
1
2
n 1
2
12
x1 x2
Z
S p2
1
n
1
2
S p
Z
Z 0,.05
n 1
2
n1 1 S12 n2 1 S22 n1 n2 2 23,596 78
44 0,55
2
34 0,55
2
78
0,3025
2.,78 2,70 1 1 0,3025 45 45
2,867 0,05
1,645
0 Gambar 1.25
S p
0,55
Karena Zhit > Z0,05 maka HO ditolak atau dapat disimpulkan rata-rata nilai test staf laki-laki lebih tinggi dari rata-rata nilai test staf wanita maka 1 2.
6. Uji Hipotesis Proporsi Dua Populasi Akan diuji proporsi unsur-unsur yang bersifat A dari suatu dua populasi adalah sama. Misalkan p 1 dan p2 masing-masing proporsi (persentase atau probabilitas) elemen-elemen populasi I dan populasi II. a) HO: p1 = p2 H1 : p1 p2 b) H0 : p1 = p2 H1 : p1 > p2 c) H0 : p1 = p2 H1 : p1 < p2
Statistik Uji
Z
( p1 p 2 ) ˆ
p1 (1 p1 ) ˆ
ˆ
ˆ
n1
p2 (1 p2 ) ˆ
ˆ
n2
Dimana :
p1
X 1 / n1
p2
X 2 / n2
ˆ
ˆ
13
X1 = sifat yang diselidiki untuk populasi I X2 = sifat yang diselidiki untuk populasi II n1 = banyaknya sampel dari populasi I n2 = banyaknya sampel dari populasi II Kriteria : a). H0 diterima jika - Z/2 ≤ Zhit ≤ Z/2 H0 ditolak jika Zhit > Z/2 atau Zhit < - Z/2
-Z/2
Z/2
0 Gambar 1.26
b). H0 diterima jika Z hit ≤ Z H0 ditolak jika Z hit > Z
Z
0 Gambar 1.27
c). H0 diterima jika Z hit ≥ -Z H0 ditolak jika Z hit < - Z
-Z
0 Gambar 1.28
Contoh 7. Dua sampel random terdiri dari staf laki-laki dan staf perempuan yang aktif dalam melakukan penelitian sebagai berikut.
14
Tabel. 1.7. Deskripsi Staf Laki-laki dan Perempuan Siswa
Ukuran Sampel
Laki-laki
Jumlah yang aktif X 1
n1 = 45
Perempuan
X 2
n 2 = 35
40
30
Apakah data menunjukkan dengan kuat bahwa persentase staf yang aktif dalam melakukan penelitian, staf laki-laki lebih banyak dari staf yang perempuan?. Gunakan α = 0,05 Jawab : H0 : p1 = p2 H1 : p1 > p2
p1
p2
ˆ
ˆ
Z
40 0,89 45 30 0,86 35 0,89 0,86
0, 89 0,11 0, 86 0,14
45
0, 03 0,00564
0, 03 0,075
0, 03 0, 0022 0, 0034
35
0, 4
Z0,025 = 1,96 Karena Zhit < Z0,025 Keputusan : HO diterima atau tidak ada perbedaan prosentase keaktifan staf lakilaki dan perempuan dalam melakukan penelitian
15
