LAPORAN PRAKTIKUM STATISTIKA DASAR PRAKTIKUM KE-3 (Selang Kepercayaan Untuk Satu Populasi dan Dua Populasi)
Oleh : Nama
: Eva F. Bisono
NIM
: 105090607111013 Tanggal Praktikum: 5 Mei 2011
Asiste Asisten n: 1. Betty tty Mu Mutia tiara In Indah 2. Rajul ajulli liad adin in Ramad amadh han
LABORATORIUM LABORATORIUM STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2011
BAB I PENDAHULUAN
Selang Kepercayaan Satu Populasi 1.1. Tujuan Umum
Mahasiswa mampu membuat, memahami dan menginterpretasikan secara benar problematika pada pendugaan parameter rata-rata dan ragam untuk satu populasi dengan saling kepercayaan 1.2. Tujuan Khusus
Mahasiswa mampu: 1.
Menghitung selang kepercayaan untuk rata-rata, ragam dan promosi untuk satu populasi 2. Menganalisis perubahan-perubahan yang terjadi pada selang kepercayaan satu populasi jika besaran-besaran selang kepercayaan berubah-ubah. 3. Menginterpretasi dengan benar hasil selang kepercayaan bagi rata-rata, ragam dan proporsi untuk satu populasi
Selang Kepercayaan Dua Populasi 1.1.Tujuan Umum Diharapkan mahasiswa mampu membuat,memahami, dan menginterpretasikan secara benar problematika pada pendugaan parameter rata-rata dan proporsi untuk dua populasi dengan selang kepercayaan. 1.2.Tujuan Khusus Mahasiswa mampu : 1. Menghitung selang kepercayaan untuk rata – rata dan proporsi untuk dua populasi
2. Menganalisis perubahan – perubahan yang terjadi pada selang kepercayaan dua populasi jika besaran – besaran selang kepercayaan berubah – ubah 3. Menginterpretasi dengan benar hasil selang kepercayaan bagi ratarata, ragam dan proporsi untuk dua populasi.
BAB II DASAR TEORI A. Selang Kepercayaan untuk Satu Populasi
Salah satu system pendugaan parameter populasi berdasarkan statistic sample adalah dengan selang kepercayaan (Interfal Confidence) di mana system ini menghasilkan dugaan parameter yang representative terhadap parameternya dibandingkan system pendugaan titik (Walpole:1995) Selang kepercayaan 1 Selang Kepercayaan sebesar (1-)100 % bagi adalah :
x
z -
σ α
2
n
x < µ <
z +
σ α
2
n
Jika tidak diketahui, s dapat digunakan (Cramer:1998) Pada umumnya parameter satu populasi yang ingin diduga adalah: untuk data kuantitatif (µ dan σ2) dan untuk data kualitatif (proporsi(P)). Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter. (www.ilmustatistik.org) Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat kepercayaan yang tinggi. Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalah Tidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya. (Guilford:1973) B. Selang Kepercayaan untuk Dua Populasi
Persamaan regresi adalah hubungan antara peubah bebas dengan peubah respon yang dicocokkan pada data percobaan. Peubah bebas adalah peubah yang dikendalikan dalam percobaan. Peubah bebas x 1, x2, …, xk bukanlah peubah acak, tapi k besaran yang ditentukan sebelumnya oleh peneliti dan tidak mempunyai sifat-sifat distribusi. Sedangkan peubah respon adalah peubah yang bergantung pada satu atau lebih peubah bebas. (http://cokbin.blogspot.com)
Salah satu system pendugaan parameter populasi berdasarkan statistic sample adalah dengan selang kepercayaan (Interfal Confidence) di mana system ini menghasilkan dugaan parameter yang representative terhadap parameternya dibandingkan system pendugaan titik (Walpole:1995) Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat kepercayaan yang tinggi . Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalah Tidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya. (Guilford:1973) Analisis korelasi mencoba mengukur kekuatan hubungan antara dua peubah demikian melalui sebuah bilangan yang disebut koefisien korelasi. Koefisien korelasi linier didefinisikan sebagai ukuran hubungan kiner antara dua peubah acak X dan Y, dan dilambangkan dengan r. Jadi, r mengukur sejauh mana titik-titik menggerombol sekitar sebuah garis lurus. Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan positif, maka ada korelasi positif yang tinggi antara kedua peubah. Korelasi antar kedua peubah semakin menurun jika secara numeric dengan semakin memencarnya atau menjauhnya titik-titik dari suatu garis lurus. (www.ilmustatistik.org)
BAB III
METODOLOGI 1.1. Selang Kepercayaan Satu Populasi – Menggunakan Data
Data nilai Ujian Tengah Praktikum Pemrograman II kelas C 1. Memaasukkan data ke dalam kolom C1, sesuai data yang ada 2. Mencari nilai µ dan σ2 untuk menguji selang kepercayaannya. Dengan klik stat basic statistic store descriptive statistic. Kemudian muncul dialog seperti berikut.
Variables : isi kolom data yang akan kita cari rata-ratanya. Misalnya C1 Kemudian klik statistics muncul dialog seperti berikut
Pilih mean dan standard deviation 3. Untuk uji selang kepercayaan dengan µ dan σ 2 diketahui dengan cara metode teoritis, maka lakukan langkah berikut: Stat Basic Statistics 1-Sample z kemudian muncul dialog seperti berikut :
Samples in columns : Isi dengan kolom yang berisi data Standard deviation : Isi dengan standar deviasi yang telah kita hitung terlebih dahulu Test Mean : Isi dengan nilai rata-rata yang telah dicari Kemudian pada Option kita klik hingga muncul kotak dialog seperti berikut :
Confidence level : Isi dengan selang kepercayaan, yakni 95% Alternative : pilih not equal Setelah selesai klik OK 4.
Analisis minitab untuk selang kepercayaan µ satu populasi dengan σ2 tidak diketahui. Lakukan langkah berikut ini : Klik Stat Basic Statistics 1-Sample t. Kemudian muncul kotak dialog seperti berikut :
Samples in columns : Klik kolom yang berisi data Test mean : Isi dengan rata – rata yang telah diketahui Klik OK Kemudian untuk mencari penduga bagi σ 2 adalah Klik calc calculator. Kemudian akan muncul kotak dialog box seperti ini :
Store result in variable : isi dengan K1 Expression : isi dengan nilai batas bawah rumus 2 pendugaan bagi σ Klik OK Untuk memunculkan data klik data display data klik K1 OK
5. Analisis minitab untuk selang kepercayaan proporsi(P) satu populasi Klik calc
calculator
Pengisian sama dengan langkah di nomor 4 akan tetapi dengan rumus selang kepercayaan untuk σ 2 diketahui 1.1. Selang Kepercayaan Dua Populasi – Persis di modul 1. Analisis minitab untuk selang kepercayaan selisih µ dua populasi dengan kedua σ2 diketahui. Klik calc calculator muncul kotak dialog calculator seperti ini
Untuk pengisian pada kotak – kotak yang kosong, lakukan seperti pengisian pada kotak satu populasi, hanya saja pada kotak expression rumus yang digunakan adalah rumus selang kepercayaan untuk dua populasi. 2.
Analisis minitab untuk selang kepercayaan selisih µ dua populasi dengan σ2 tidak diketahui dan diasumsikan σ 2 kedua populasi tak sama Klik stat basic statistics 2-Sample-t muncul kotak dialog seperti ini
Sample in different columns /: isi firsr dengan data pertama dan second dengan data kedua Alternative : isi dengan not equal Confidence level : isi dengan 95 Assume equal variable : dibiarkan kosong Klik OK 3.
Analisis minitab untuk selang kepercayaan selisih µ dua populasi dengan σ2 tidak diketahui dan diasumsikan σ 2 kedua populasi sama Klik Stat Basic statistics 2-Sample-t muncul kotak dialog seperti pada nomor 2. Samples in different columns : isi first dengan data 1, second dengan data 2. Alternative isi dengan 95 Confidence level : isi dengan not equal Assume equal variable : beri tanda centang Klik OK
4. Analisis minitab untuk selang kepercayaan selisih µ dua populasi berpasangan Klik Stat Basic Statistics berikut ini :
paired t
muncul kotak dialog
First sample : isi dengan kolom data pertama Second sample : isi dengan kolom data kedua Sample size : isi dengan jumlah sample Mean : isi dengan rata – rata yang akan dicari selangnya Standard deviation : isi dengan standard deviasi yang akan dicari 5. Analisis minitab untuk selang kepercayaan selisih dua proporsi (P1 – P2) populasi
Klik calc calculator muncul kotak dialog Store result in variable : isi dengan kolom K Expression : isi dengan nilai batas bawah rumus pendugaan bagi selisih dua P populasi. Untuk batas atas ulangi lagi langkah berikut. Klik OK Kemudian untuk memunculkan data dapat dilakukan dengan langkah klik data display data pilih data yang akan ditampilakn OK
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Output Data Uji selang kepercayaan satu populasi Data nilai ujian tengah praktikum pemrograman 2 kelas C: 64
1.
58 78 65 90 85 64 70 70 59 89 81 68 73 69
Uji selang kepercayaan dengan µ dan σ 2 diketahui
One-Sample Z: Data Test of mu = 72.2 vs not = 72.2 The assumed standard deviation = 10.2623 Variable Data
N
Mean
15 72.2000 Z 0.00
2.
StDev
SE Mean
95% CI
10.2623 2.6497 (67.0067, 77.3933)
P 1.000
Uji selang kepercayaan µ satu populasi dengan σ 2 tidak diketahui.
One-Sample T: Data Test of mu = 72.2 vs not = 72.2 Variable T P Data 77.8831)
N
Mean
15 72.2000 0.00 1.000
StDev
SE Mean
10.2623
2.6497
95% CI
(66.5169,
Data Display
3.
K1
66.5164 (BATAS BAWAH)
K2
77.8836
(BATAS ATAS)
Uji selang kepercayaan proporsi(P) satu populasi
Data Display K3
-0.0563290 ( batas bawah )
K4
0.116329
( batas atas )
Uji selang kepercayaan dua populasi Data di modul + NIM (13) Data 1 : 98 88 75 74 68 66 91 100 94 98 Data 2 : 88 93 78 78 91 100 69 90 101 99 1.
Uji selang kepercayaan selisih µ dua populasi dengan kedua diketahui
σ2
Data Display K5 K6
-27.0488 34.0488
( batas bawah ) ( batas atas )
Two-Sample T-Test and CI Sample
N
Mean
StDev
SE Mean
1
10
85.2
13.2
4.2
2
10
88.7
10.7
3.4
Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 95% CI for difference:
-3.50000
(-14.81305, 7.81305)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0.65 Value = 0.523 DF = 17
P-
2.
Uji selang kepercayaan selisih µ dua populasi dengan σ2 tak diketahui dan diasumsikan σ2 kedua populasi tak sama Two-Sample T-Test and CI Sample 1
N
Mean
StDev
SE Mean
10
85.2
13.2
4.2
2 10 88.7 10.7 Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 95% CI for difference:
3.4
-3.50000
(-14.81569, 7.81569)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0.65 Value = 0.523 DF = 17
1.
P-
Uji selang kepercayaan selisih µ dua populasi dengan σ 2 tak diketahui dan diasumsikan σ2 kedua populasi sama
Two-Sample T-Test and CI Sample
N
Mean
StDev
SE Mean
1
10
85.2
13.2
4.2
2
10
88.7
10.7
3.4
Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 95% CI for difference:
-3.50000
(-14.76799, 7.76799)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0.65 Value = 0.522 DF = 18 Both use Pooled StDev = 11.9928
1. Uji selang kepercayaan selisih µ dua populasi berpasangan
Paired T-Test and CI N
Mean
Difference
StDev 10
SE Mean
55.0000
10.0000
3.1623
95% CI for mean difference: (47.8464, 62.1536)
P-
T-Test of mean difference 17.39 P-Value = 0.000
=
0
(vs
not
=
0):
T-Value
=
2. Uji selang kepercayaan selisih dua proporsi (P1-P2) populasi Data Display K7
-0.0928402
K8
0.308840
Analisis dan Interpretasi data Uji selang kepercayaan satu populasi 1.
Uji selang kepercayaan dengan µ dan σ 2 diketahui
Dari pengujian selang kepercayaan seperti ketentuan yang telah ditentukan yakni µ dan σ2 diketahui. Dan dengan α sebesar 0.05, test sample nya yakni 72.2 dan standard deviasi nya sebesar 10.2623 di dapatkan hasil selang kepercayaan yang ditunjukkan pada CI dengan nilai antara 67.0067 < µ < 77.39333. Nilai tersebut, menunjukkan bahwa rata – rata populasi pada data berada pada selang CI tersebut. Dengan 67.0067 adalah batas bawah atau batas minimum nilai, dan 77.3933 adalah batas atas atau batas maksimum dari nilai. Dari hasil tersebut dapat dilihat bahwa selang kepercayaan dari data yang diuji adalah pendek. Hal ini dapat dipengaruhi dari tingkat α yang digunakan. Dari data tersebut didapatkan nilai P = 1.000. Dalam hal ini nilai P > α, oleh karena itu, H0 diterima. Hal ini menunjukkan bahwa nilai mu sebesat 72.2 tersebut terdapat pada selang kepercayaan data yang diuji. Uji selang kepercayaan dengan µ dan σ 2 tak diketahui Dari pengujian selang kepercayaan seperti ketentuan yang telah ditentukan yakni µ dan σ 2 tak diketahui, dengan α sebesar 0.05, test sample nya yakni 72.2 dan standard deviasi nya sebesar 10.2623 di dapatkan hasil selang kepercayaan yang ditunjukkan pada CI dengan nilai antara 66.5169 < µ < 77.8831. Terlihat hasil yang tidak terlalu berbeda secara signifikan antara uji selang pertama dengan selang kedua. Hal ini diakibatkan karena uji selang yang kedua ini adalah estimasi selang karena σ 2 tak diketahui. 2.
Dari hasil tersebut dapaat dilihat bahwa selang kepercayaan yang didapatkan adalah pendek. Hal ini dapat dipengaruhi oleh tingkat kesalahan data yang digunakan. Sama seperti sebelumnya didapatkan nilai P=1.000. Dalam hal ini nilai P > α, oleh karena itu, H0 diterima. Hal ini
menunjukkan bahwa nilai mu sebesat 72.2 tersebut terdapat pada selang kepercayaan data yang diuji. Uji selang kepercayaan dengan µ dan σ 2 tak diketahui Didalam uji selang kepercayaan yang ketiga, atau dapat juga disebut uji proporsi, didapatkan selang kepercayaan untuk ( 1 – α ) dengan tingkat kepercayaan 95 %, adalah sebesar -0.0563290 < P < 0.116329. Hal ini menunjukkan bahwa proporsi sukses dalam sampel acak berukuran sebanyak n, yakni n adalah sebesar 15, rata – rata berada pada selang -0.0563290 < P < 0.116329. H0 dari data tidak berbeda sebab selang melewati nilai utama yakni 0. 3.
Selang kepercayaan dua populasi Uji selang kepercayaan selisih µ dua populasi dengan kedua σ 2 diketahui Didalam uji selang kepercayaan yang pertama untuk dua populasi ini, didapatkan nilai selang kepercayaan dengan rentang yang cukup lebar yakni -14.81305 < µ1 - µ2 < 7.81305. mu1 – mu2 = -3.5000, dan Pvalue > α. Dengan mu1-mu2 tidak sama dengan 0, maka karakteristik yang dimiliki data 1 dan data 2 tidak ada perbedaan. Sedangkan didapatkannya Pvalue > α, berarti H0 dapat diterima. Untuk itu, nilai duga untuk selisih rata – rata dua populasi melewati nilai 0 ( batas bawah – dan batas atas + ), kedua populasi memiliki rata – rata sama dengan tingkat kebenaran pendugaan sebesar 95 %. 1.
2.
Uji selang kepercayaan selisih µ dua populasi dengan σ2 tak diketahui dan diasumsikan σ2 kedua populasi tak sama
Didalam uji selang kepercayaan yang kedua ini didapatkan nilai selang kepercayaan sebesar - 14.81569 < µ1 - µ2 < 7.81569. Nilai yang didapatkan ini tidak jauh berbeda dengan yang pertama. mu1 – mu2 juga didapatkan hasil yang tidak sama dengan 0, hal ini menunjukkan bahwa karakteristik yang dimiliki data 1 dan data 2 tidak ada perbedaan. Sedangkan Pvalue > α, berarti H0 dapat diterima. Seperti halnya dengan uji selang yang pertama, duga untuk selisih rata – rata dua populasi melewati nilai 0 ( batas bawah – dan batas atas + ), kedua populasi memiliki rata – rata sama dengan tingkat kebenaran pendugaan sebesar 95 %. 3.
Uji selang kepercayaan selisih µ dua populasi dengan σ 2 tak diketahui dan diasumsikan σ2 kedua populasi sama
Didalam uji selang kepercayaan yang pertama untuk dua populasi ini, didapatkan nilai selang kepercayaan dengan rentang yang cukup lebar yakni -14.76799, < µ1 - µ2 < 7.76799. mu1 – mu2 = -3.5000, dan Pvalue > α. Dengan mu1-mu2 tidak sama dengan 0, maka karakteristik yang dimiliki data 1 dan data 2 tidak ada perbedaan. Sedangkan didapatkannya Pvalue > α, berarti H0 dapat diterima. . Artinya, dari data tersebut dapat dikatakan bahwa nilai duga untuk selisih rata – rata dua populasi melewati nilai 0 (batas bawah – dan batas atas + ) adalah kedua populasi mempunyai rata – rata yang sama besar dengan tingkat kebenaran pendugaan sebesar 95 %. 4. Uji selang kepercayaan selisih µ dua populasi berpasangan Didalam uji selang kepercayaan yang pertama untuk dua populasi ini, didapatkan nilai selang kepercayaan dengan rentang yang cukup lebar yakni 47.8464< µ1 - µ2 < , 62.1536. mu1 – mu2 = 55.000 dan Pvalue < α. Dengan mu1-mu2 tidak sama dengan 0, maka karakteristik yang dimiliki data 1 dan data 2 tidak ada perbedaan. Sedangkan didapatkannya Pvalue < α, berarti H0 dapat ditolak. Artinya, dari data tersebut dapat dikatakan bahwa nilai duga untuk selisih rata – rata dua populasi tak melewati nilai 0 (batas bawah + dan batas atas + ) adalah kedua populasi mempunyai rata – rata yang berbeda dimana data kedua memiliki nilai lebih tinggi daripada sebelumnya dengan tingkat kebenaran pendugaan sebesar 95 %. 5. Uji selang kepercayaan selisih dua proporsi (P1-P2) populasi Artinya dari data tersebut dapat dikatakan bahwa nilai duga untuk selisih rata – rata dua proporsi sama dengan tingkat kebenaran sebesar 95 %.
BAB V PENUTUP
5.1. Kesimpulan Jika nilai duga dari suatu selang tak melewati batas 0 (batas bawah + dan batas atas +, ataupun batas bawah - dan batas atas - ), maka populasi mempunyai rata – rata yang berbeda. Sedangkan jika suatu selang melewati batas 0 ( batas bawah – dan batas atas + ), maka populasi mempunyai rata – rata yang sama. Karakteristik suatu data, ataupun selang kepercayaan yang didapatkan dari suatu data, dapat dikatakan bergantuk pada taraf nyata yang digunakan untuk uji selang tersebut. Untuk mengetahui apakah sifat – sifat antara data 1 dan data 2 berbeda, maka dapat menggunakan parameter H0, dan Pvalue untuk menentukannya. 5.2. Saran
Asisten praktikum seharusnya lebih memperhatikan bagimana pemahaman dari mahasiswa bukan mengejar target selesainya bab dalam modul praktikum, agar mahasiswa dapat lebih memahami kegunaan dan aplikasi – aplikasi yang ada dalam program studi mahsiswa masing - masing
