MATEMATIKA
Teknik Telekomunikasi 1A
1. Dife Difere rens nsia iasi si Pars Parsia iall 2. Pers Persam amaa aann Dif Difer eren ensi sial al
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO PROGRAM STUDI TEKNIK TELEKOMUNIKASI TELEKOMUNIKASI POLITEKNIK NEGERI MALANG TAHUN 2012/2013
1
Kata Pengantar
Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat rahmat dan karunia-Nyalah, tugas ini dapat terselesaikan dengan baik, tepat pada waktunya. Dalam Dalam penye penyeles lesaia aiann tugas tugas ini, ini, kami kami banyak banyak mengal mengalami ami kesuli kesulitan tan.Na .Namun mun berkat berkat bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak, akhirnya makalah ini dapat terselesaikan dengan baik. Kami sadar, sebagai seorang mahasiswa yang masih dalam proses pembelajaran, tugas ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan adanya kritik dan saran saran yang yang bersif bersifat at positi positif, f, guna guna perkem perkemba banga ngann yang yang lebih lebih baik baik lagi lagi di masa masa yang yang akan akan datang.
Malang, Mei 2013
Penyusun
i
Daftar Isi
Kata Pengantar........................................................................................................................................i Daftar Isi................................................................................................................................................ii Direfensiasi Parsial.................................................................................................................................1 I.Turunan Parsial................................................................................................................................1 II.Pertambahan Kecil..........................................................................................................................7 III.Turunan Fungsi Implisit...............................................................................................................10 IV.Perubahan Variabel.....................................................................................................................13 V.Laju Perubahan.............................................................................................................................15 Persamaan Diferensial..........................................................................................................................21 I.Proses Pembentukan Persamaan Diferensial..................................................................................21 II.Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1...........................................................................23 III.Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2..........................................................................26 IV.Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3..........................................................................29 V.Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4...........................................................................34 VI.Persamaan Diferensial Bernouli..................................................................................................37 VII.Persamaan Diferensial Eksak.....................................................................................................40 Pembagian Tugas..................................................................................................................................42 Referensi...............................................................................................................................................42
ii
Direfensiasi Parsial I.
Turunan Parsial Definisi
Jika f fungsi dua variable ( x dan y) maka:
Turuna Turunann parsia parsiall f terhadap x, dino dinota tasi sika kann
(i)
didefinisikan sebagai
(ii)
deng dengan an atau atau fx( x x y , y),
=
Turunan parsial f terhadap y, dinota dinotasik sikan an dengan dengan
atau atau fy( x x y ,y), didefinisikan
sebagai
=
f ∂ x ∂
adalah adalah turunan fungsi fungsi f(x,y) terhadap terhadap x dengan memperlaku memperlakukan kan y sebagai
suatu tetapan, yang disebut turunan turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x f ∂ ∂ y
adalah adalah turunan fungsi fungsi f(x,y) terhadap terhadap x dengan memperlaku memperlakukan kan y sebagai
suatu tetapan, yang disebut turunan turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y a. Fung Fungsi si dua dua peu peuba bah h atau atau leb lebih ih
Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam dalam bentuk eksplisit atau implisit. implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). F(x,y). Sebaliknya Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk bentuk implisit, secara umum ditulis ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0. Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y , dan sumbu z seperti gambar berikut: Z
X Y
1
b.
Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: 1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah. 2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah 3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus. Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial. Definisi
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan z ∂ x ∂
= Lim ∆ x →0
z ∂ x ∂
dan
∂ z ∂ y
dan didefinisikan oleh
F ( x + ∆ x, y ) − F ( x, y )
∆ x
dan z ∂ y ∂
= Lim ∆ y →0
F ( x, y
+ ∆ y ) − F ( x, y ) ∆ y
Asalkan limitnya ada. Contoh :
Tentukan turunan parsial pertama dari a. z =
2 2 x + y
Jawab Z ∂ ∂ x
= Lim ∆ x →0
= Lim ∆ x →0
F ( x + ∆ x, y ) − F ( x, y )
∆ x ( x + ∆ x ) 2
+ y 2 − ∆ x
x 2
+ y 2
2
( x + ∆ x ) 2
= Lim ∆ x →0
( x + ∆ x ) 2
= Lim ∆ x →0 = Lim ∆ x →0
+ y 2 .
∆ x
+ y 2 x 2 + y 2 x 2
+ y 2 − ( x 2 + y 2 ) ∆ x
( x + ∆ x ) 2
+ y 2 +
x 2
+ y 2
( x + ∆ x ) 2
+ y 2 +
x 2
+ y 2
2 x
2
+ y 2
x x 2
= Lim ∆ y →0
+ y 2
F ( x, y
+ ∆ y ) − F ( x, y ) ∆ y
= Lim ∆ x →0
( x 2
+ ( y + ∆ y ) 2 − ∆ y
x 2
+ y 2
= Lim
( x 2
+ ( y + ∆ y ) 2 − ∆ y
x 2
+ y 2 .
∆ x →0
( x + ∆ x ) 2
= Lim ∆ x →0
+ ( y + ∆ x) 2 + x 2 + y 2 ( x 2 + ( y 2 + x 2 + y 2
( x 2
+ y 2 − ( x 2 + y 2 ) ∆ x 2 x∆ x + ∆ x 2
= Lim ∆ x →0
∆ x
( x + ∆ x ) 2
+ y 2 +
x 2
+ y 2
2 x + ∆ x
= Lim ∆ x →0
=
+ y 2 + ( x + ∆ x ) 2 + y 2 +
2 x + ∆ x
=
=
( x + ∆ x ) 2
2 x
=
∂ y
x 2
2 x∆ x + ∆ x 2
= Lim ∆ x →0
∂ Z
+ y 2 − ∆ x
( x + ∆ x ) 2
+ y 2 +
x 2
+ y 2
2 y 2 x
2
+ y 2
y x 2
+ y 2
b. z = Sin (x+y) Jawab Z ∂ x ∂
= Lim ∆ x →0
F ( x + ∆ x, y ) − F ( x, y )
∆ x 3
= Lim ∆ x →0
sin( x + ∆ x + y ) − sin( x + y )
∆ x
1 1 2 cos ( x + ∆ x + y + x + y ) sin ( x + ∆ x + y − x − y ) Lim = 2 2 ∆ x →0
∆ x
∆ x ) sin ∆ x x y + + cos( = 2 Lim 2 2 ∆ x →0 ∆ x sin ∆ x x ∆ Lim 2 2 = ∆ x→0 cos (x+y+ ) Lim 2 ∆ x → 0 ∆ x
sin ∆ x x ∆ Lim 2 2 1 = ∆ x→0 cos (x+y+ ) Lim . 2 ∆ x → 0 ∆ x / 2
2
= 2 cos (x+y)(1)(1/2) = cos (x+y) ∂ Z ∂ y
= Lim ∆ x →0
= Lim ∆ x →0
F ( x, y + ∆ y ) − F ( x, y )
∆ y
sin( x + y + ∆ y ) − sin( x + y)
∆ y 1
1
2 cos ( x + y + ∆ y + x + y ) sin ( x + y + ∆ y − x − y ) = Lim 2 2 ∆ x →0
∆ y
∆ x ) sin ∆ x cos( x y + + = 2 Lim 2 2 ∆ x →0 ∆ x sin x ∆ = 2 Lim cos (x+y+ ) Lim ∆ x→0
2
∆ x → 0
∆ x
2
∆ x
sin ∆ x x ∆ Lim 2 2 1 = ∆ x→0 cos (x+ ) Lim . 2 ∆ x → 0 ∆ x / 2
2
= 2 cos (x+y)(1)(1/2) = cos (x+y)
4
Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan z ∂ x ∂
sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya
y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan
∂ z ∂ y
sama artinya dengan menurukan variable y
dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan. Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan
∂W ∂ x
,
∂W ∂ y
, dan
∂W
z ∂
yang secara berturut didefinisikan oleh:
∂W = Lim F ( x + ∆ x, y , z ) − F ( x, y , z ) ∂ x ∆ x→o ∆ x ∂W F ( x, y + ∆ y, z ) − F ( x, y, z ) = Lim ∂ y ∆ y →o ∆ y
∂W = Lim F ( x, y , z + ∆ z ) − F ( x, y , z ) ∂ z ∆ z →o ∆ z Asalkan limitnya ada. Contoh:
y 1. Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan x Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat 2
∂ F ( x, y, z ) = yz + a. y 2 1+ 2 ∂ x x
= yz -
b.
∂ F ( x, y, z ) ∂ y
− y 2 x
2 yx2 x (1 + y ) 2
2
2 1 = xz + y 2 1 + 2 x x
= xz -
2 2 x
x(1 + y ) 2
5
c.
∂ F ( x, y, z ) = xy ∂ z Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial
≥2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.
ke n, untuk n
Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya. Jadi andaikan z = F(x,y) maka: 2
Turunan parsial tingkat dua adalah
2
∂ z ∂ z
x ∂
2
,
y ∂
2
2
,
∂ z
x∂ y ∂
2
, dan
∂ z ∂ y∂ x
Demikian pula, jika W = F(x,y,z) Turunan parsial tingkat dua adalah 2
∂ W ∂ x
2
2
,
∂ W 2
∂ y
2
,
∂ W 2
∂ z
2
,
2
∂ W
,
∂ x∂ y
∂ W
2
,
∂ W
2
,
∂ W
∂ x∂ z ∂ y∂ z ∂ y∂ x
2
,
∂ W ∂ z ∂ x
2
,
∂ W ∂ z ∂ y
Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus m
n
, dimana m
banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-n Contoh 2
2
∂ z
Tentukan 1. z =
x ∂
2
dan
∂ z ∂ y
2
dari fungsi berikut:
xy x − y
Jawab Dari z =
xy x − y
, diperoleh
∂ z y( x − y) − xy(1) = 2 ∂ x ( x − y ) − y 2 = 2 ( x − y )
∂ z x( x − y) − xy(−1) = 2 ∂ y ( x − y ) =
x 2 ( x − y ) 2
∂2 z ∂ ∂ z = Sehingga ∂ x 2 ∂ x ∂ x
6
∂ − y 2 = ∂ x ( x − y ) 2 =
= 2
Dan
∂ z ∂ y
2
0( x − y )
2
− (− y 2 )(2)( x − y )(1) ( x − y ) 4
− 2 y 3 4 ( x − y )
2 xy 2
∂ x 2 = ∂ y ( x − y) 2 =
0( x − y ) 2
− x 2 (2)( x − y )(−1) 4 ( x − y )
− 2 x 3 − yx 2 = ( x − y ) 4
II.
Pertambahan Kecil
Misalkan kita kembali ke volume silinder pada awal program; sekali lagi kita tuliskan V= πr 2h . Telah kita lihat bhwa kita dapat mencari
dengan h konstan, dan
dengan r konstan.
2
Sekarang kita lihat apa yang akan kita peroleh bila r dan h diubah bersama-sama. Jika r diubah menjadi r +
, dan h menjadi h +
, maka V akan berubah menjadi V +
.
Volume yang baru diberikan oleh
Kurangi kedua ruas dengan V= πr 2h, maka di peroleh
7
Karena ∂r dan ∂h kecil dan semua suku yang memiliki derajat kekecilan yang lebih tinggi.
Mari kita hitung sebuah contoh numeric untuk melihat bagaimana penggunaan hal ini. Contoh
Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm, h = 10 cm. tentukanlah harga pendekatan pertambahan volumenya jika r bertambah dengan 0,2 cm dan h berkurang dengan 0,1 cm.
Yakni volumenya bertambah dengan 54,96 sentimeter kubik. Hasil seperti ini berlaku bukan hanya untuk volume silinder saja, tetapi juga untuk sembarang fungsi dengan dua variable bebas. Contoh. Misalkan z adalah fungsi x dan y, yakni z=f(x,y); jika x dan y bertambah
sedikit dengan ∂ x dan ∂ y , maka pertambahan ∂ z akan relative kecil juga. Jika kita jabarkan ∂ z dalam deret pangkat ∂ x dan ∂ y yang berpangkat lebih tinggi, dengan A dan B adalah fungsi x dan y. 8
Jika y dijaga tetap, maka ∂ y = 0, sehingga
Ini adalah kunci untuk semua penerapan selanjutnya dan hasil ini akan kita kutip berulang-ulang. Hasil ini berlaku umum dan hasil yang serupa berlaku juga untuk fungsi dengan tiga variable bebas, yaitu : Jika z = f ( x, y,w) Maka ∴∂z = Jika kita ingat aturan yang berlaku untuk fungsi dengan dua variable bebas, tidak sulit bagi kita untuk memperluasnya bilamana diperlukan. Karena itu kita tuliskan sekali lagi: z = f ( x, y) maka ∴∂z =
Contoh 1 .
Jika
, dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm, tentukanlah perubahan I jika V bertambah
sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 0,5 ohm.
9
Sehingga untuk R = 50, V = 250, ∂V = 1, dan ∂R = 0,5 ∂I =
=
0,02 – 0,05 = -0,03 A
Yakni I turun sebesar 0,03 A Contoh 2.
Jika
tentukanlah persentasi pertambahan y, jika w bertambah 2 persen, s berkurang 3
persen, dan d bertambah 1 persen , Perhatikan bahwa dalam hal ini y merupakan fungsi dengan tiga variable, w, s, dan d, sehingga rumus yang berlaku untuknya adalah
Harga ∂w, ∂s, ∂d :
III. Turunan Fungsi Implisit
Dalam matematika, sebuah
fungsi implisit
adalah fungsi yang mana variabel
takbebas tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk variabel bebas. Menyatakan
10
sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x: y = f ( x).
Sebaliknya, sebuah fungsi adalah
implisit
apabila nilai y didapatkan dari x dengan
memecahkan persamaan dalam bentuk: R( x, y) = 0
Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, namun kita tidak diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya. Secara formal, sebuah fungsi f : X →Y dikatakan sebagai
fungsi implisit
apabila
fungsi tersebut memenuhi persamaan: R( x, f ( x)) = 0
untuk semua x∈ X , dengan R adalah fungsi pada perkalian Cartesian X × Y . Fungsi implisit sering berguna dalam keadaan yang tidak memudahkan buat memecahkan persamaan dalam bentuk R( x, y) = 0 untuk y yang dinyatakan dalam x. Bahkan bila memungkinkan untuk menyusun ulang persamaan ini untuk memperoleh y sebagai fungsi eksplisit f ( x), hal ini boleh jadi tidak diinginkan, karena pernyataan f jauh lebih rumit dari pernyataan R. Dalam keadaan lain, persamaan R( x, y) = 0 mungkin tidak dapat menyatakan suatu fungsi sama sekali, dan sebenarnya mendefinisikan fungsi bernilai ganda. Bagaimanapun, dalam banyak keadaan, bekerja dengan fungsi implisit masih dimungkinkan. Beberapa teknik dari kalkulus, seperti turunan, dapat dilakukan dengan relatif mudah menggunakan fungsi implisit.
Fungsi implisit adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam terdapat fungsi eksplisit yaitu suatu fungsi yang dinyatakan dalam
. Selain itu, . Dalam menentukan
turunan fungsi implisit akan lebih mudah diselesaikan apabila disajikan ke dalam fungsi explisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunannya. Namun tidak semua fungsi implisit bias dijadikan fungsi eksplisit. Sebagai contoh: tidak dapat dijadikan fungsi eksplisit
. Lalu bagaimana caranya
mencari turunan Fungsi Implisit apabila kita tidak perlu mengubah fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit? Berikut adalah langkah-langkah yang kita gunakan apabila menggunakan maple: 1. Definisikan funsi 11
2. Ketik formula implicitdiff(f,y,x) apabila mencari dan implicitdiff(f,x,y) apabila mencari 3. ENTER
Contoh: Cari
dan
jika
.
Solusi: Lakukan langkah-langkah seperti di atas berikut adalah tampilan pada maple:
Maka dengan mudah akan didapatkan hasil sebagai berikut:
12
•
•
IV. Perubahan Variabel
Jika z merupakan fungsi z dan y, yaitu
, dan x dan y itu sendiri
merupakan fungsi dari dua variabel lainna u dan v, maka z juga merupakan fungsi u dan v. Oleh sebab itu kita perlu mencari
dan
. Bagaimanakah memperolehnya?
Bagilah kedua sisi dengan
Jika v dipertahankan konstan untuk sementara, maka
menjadi
ketika
menjadi
dan
.
Catatlah keduanya
Inilah contoh untuk pekerjaan ini. Jika z = x2 + y2, dimana
dan
, carilah
dan
13
Dan pada kedua hasil ini, simbol x dan y dapat digantikan masing-masing oleh
dan
. Hasil-hasil penting dari pembahasan tersebut. 1. Pertambahan Kecil
2. Laju Perubahan
3. Fungsi Implisit
4. Perubahan Variabel
14
V.
Laju Perubahan Laju perubahan nilai fungsi
Dalam bahasa sehari-hari sering dijumpai ungkapan-ungkapan seperti laju pertumbuhan ekonomi, laju inflasi, laju perkembangan investasi, laju pertumbuhan penduduk, laju pembiakan bakteri
dan lain sebagainya. Istilah laju dalam bahasa sehari-hari dapat
dirumuskan dalam bahasa matematika sebagai laju perubahan nilai fungsi. Ada dua macam laju perubahan nilai fungsi laju perubahan rata-rata dan laju perubahan sesaat . A. Laju peubahan rata-rata.
Kecepatan gerak suatu benda dapat ditentukan apabila diketahui letak atau posisi benda sebagai fungsi waktu. Hal ini dapat dilakukan dengan cara mencatat letak benda dari waktu ke waktu secara terus menerus. Sebagai contoh seorang mahasiswa mengendarai motor dari rumah ke kampus yang jaraknya 15 km. Ia berangkat dari rumah pukul 06.00 dan jarak yang ditempuh dicatat setiap 5 menit dengan cara mengamati sepedometer pada motornya. Catatan jarak yang ditempuh setiap 5 menit , sepeti ditunjukkan pada tabel: Waktu 06.00 06.05 06.10 06.15 06.20 06.25 06.30
Jarak 0 2,5 3,75 7,75 10 12,5 15
15
Berdasarkan tabel tersebut tampak bahwa jarak sejauh 15 km ditempuh dalam waktu 30 menit atau 0,5 jam. Dengan demikian, kecepatan rata-rata mahasiswa itu mengendarai motor dari rumah ke kampus adalah vrata −rata =
15 km 0,5 jam
= 30 km jam
Perhatikan bahwa perubahan rata-rata ditentukan sebagai perbandingan antara perubahan jarak terhadap perubahan waktu, dituliskan vrata −rata =
s ∆ ∆t
Dengan ∆ s sebagai perubahan jarak dan ∆t sebagai perubahan waktu. Sekarang misalkan letak benda sebagai fungsi diketahui dan dapat dinyatakan sebagai s = f(t). ketika t = t 1 benda berada di f(t 1 ) dan t = t 2 benda berada di f(t 2 ) , sehingga perubahan jaraknya ∆ s =
f(t 2 ) - f(t 1 )
dan perubahan waktu ∆t = t 2 – t 1
Dengan demikian, kecepatan rata-rata dalam interval waktu
=
v rata −rata
∆ s = ∆t
f ( t 2 ) t 2
t 1
≤
t
≤ t 2 adalah:
− f ( t 1 ) − t 1
Laju perubahan rata-rata nilai fungsi
Misalnya diketahui fungsi y = f(x) jika x berubah dari x1 ke x2 (x1< x 2 ) maka nilai fungsi f(x) berubah dari f(x1 ) menjadi f(x2). Jadi perubahan x sebesar ∆ x= x2 x1mengakibatkan
perubahan nilai fungsi y = f(x) sebesar ∆ y = f(x2 ) - f(x1 ).
Dengan demikian, laju perubahan rata-rata nilai fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut: Definisi:
Misalkan diketahui fungsi y = f(x). laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam interval x1 ≤
x
≤ x 2 ditentukan oleh
∆ y = ∆ x
f ( x 2 ) x 2
− f ( x1 ) − x1
16
B. Laju perubahan sesaat.
Sebagai contoh pengenalan masalah untuk memahami kecepatan sesaat, akan dibahas gerak benda jatuh bebas. misalnya benda B jatuh bebas dari ketinggian tertentu. Jarak jatuhnya terhadap kedudukan semula sebagai fungsi waktu t di lambangkan dengan rumus: s(t) = 5t2 s = jaak jatuh terhadap kedudukan benda semula, dinyatakan dalam satuan meter. t = waktu yang diperlukan, dinyatakan dalam satuan detik dalam waktu t = 1 detik benda B turun sejauh s(1) 2 = 5(1)2 = 5 meter dan dalam waktu t = 2 detik benda B turun sejauh s(2) = 5(2) 2 = 10 meter, dengan demikian, kecepatan rata-rata gerak benda B dalam interval t = 1 detik sampai t = 2 detik adalah : v rata −rata =
s( 2 ) − s(1)
2 −1
=
20 − 5 1
= 15
meter/detik
Dengan cara yang sama, dapat pula ditentukan kecepatan rata-rata dalam interval t 1 = 1 detik sampai t = t 2 detik dengan nilai t 2 yang makin mendekati nilai t 1 seperti diperlihatkan pada tabel: t1 1 1 1 1 . .
t2 1,5 1,2 1,1 1,01 . .
↓
↓
1
1
Vrata-rata =(m/detik) 12,5 11,0 10,5 10,05
10,0
Jika t2 makin mendekati ke t 1 atau ∆t = t 2 – t 1 semakin kecil maka kecepatan rataratanya juga semakin berkurang dan menuju ke sebuah nilai tertentu. Interval waktu terkeci, yaitu ketika
∆t
mendekati nol adalah interval waktu terbaik untuk
menetapkan kecepatan sesaat pada waktu t = 1 detik. Kecepatan sesaat pada waktu t = 1 detik diharapkan dekat dengan 10 m/detik seperti diperlihatkan pada baris 17
terakhir pada tabel. Tampak bahwa proses perhitungan tersebut mengarah pada konsep limit. Jadi kecepatan sesaat adalah limit dari kecepatan rata-rata. Menentukan kecepatan sesaat sebagai limit dari kecepatan rata-rata, secara eksak dapat dirumuskan sebagai berikut, Misalkan sebuah benda B bergerak sehingga jarak benda s sebagai fungsi waktu t ditentukan oleh persamaan: s = f(t) Pada waktu t = t 1 benda berada di f(t 1) dan pada waktu t = (t 1 + h) benda berada di f(t1 + h), sehingga benda kecepatan rata-rata gerak benda B dalam inteval t 1
≤
t
≤ (t 1 −h) adalah v rata −rata
=
f ( t 1 + h )
− f ( t 1 ) f ( t 1 + h ) − f ( t 1 ) = ( t 1 + h ) − t 1 h
Kecepatan sesaat pada waktu t = t 1 diperoleh apabila nilai h mendekati nol. Dengan demikian, kecepatan sesaat ditentukan dengan konsep limit sebagai: v sesaat pada t
=
lim v rata −rata
h → 0 l
=
lim
h → 0 l
f ( t 1
+ h ) − f ( t 1 ) h
Turunan (Laju yang Berkaitan)
Matematika selalu dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, seperti penerapan pelajaran Fisika. Kali ini akan dibahas tentang Laju yang Berkaitan. Jika didapatkan peubah y yang bergantung kepada nwaktu t, maka jika diturunkan akan menjadi dy/dt yang disebut laju sesaat perubahan. Dan bila y adalah sebuah jarak, maka laju sesaat perubahan disebut sebagai kecepatan. Banyak laju yang kita temukan dalam kehidupan kita seharihari seperti laju air masuk ke dalam ember, membesarnya luas pencemaran minyak, laju angin yang menerbangkan layang-layang, dan laju lainnya. Apabila selain peubah y yang berkaitan dengan t, terdapat juga peubah x dan kita juga mengetahui tentang dx/dt, maka kita bisa mencari dy/dt karena dy/dt dan dx/dt keduanya berkaitan dan disebut laju yang berkaitan. Jika kita mendapat sebuah soal cerita tentang laju yang berkaitan seperti, maka kita harus memiliki prosedur sistematis atau langkah-langkah.
:
Langkah 1
18
Andaikan t menyatakan waktu. Gambarlah diagram yang berlaku untuk semua t > 0. beri pengenal besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t bertambah, dengan nilai-nilai konstanta yang diketahui. Berikan nama huruf pada besaran yang berubah sesuai waktu, dan bubuhkan garis-garis yang sesuai dari gambar dengan peubah-peubah ini Langkah 2
Nyatakan apa yang diketahui dan informasi apa yang diinginkan tentang peubah peubah. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan terhadap t. Langkah 3
Tulislah sebuah persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang sahih untuk semua waktu t > 0, bukan hanya pada saat beberapa saat tertentu. Langkah 4
Diferensialkan persamaan yang ditemukan dalam langkah 3 secara implisit terhadap t. Persamaan yang dihasilkan, memuat turunan-turunan terhadap t, sahih untuk semua t > 0. Langkah 5
Gantikan persamaan yang ditemukan dalam langkah 4 untuk semua data yang sahih pada saat tertentu untuk mana jawab masalah disyaratkan. Selesaikan turunan yang diinginkan. Soal Latihan :
Seorang anak menerbangkan layang-layang. Jika tinggi layang-layang 90 dm di atas tingkat tangan anak itu dan angin meniupnya pada arah mendatar dengan laju 5 dm/detik, seberapa cepat anak tersebut mengulur benang pada saat panjangnya 150 dm ? ( Anggap benang membentuk sebuah garis, walaupun sebenarnya anggapan ini tidak realistis ). Jawab
Langkah 1. Dimisalkan jarak antara si anak dengan layang-layang adalah x, tinggi
layang-layang dari tanah adalah y, panjang benang (yang dianggap lurus, walaupun dalam kenyataan tidak lurus) dianggap z, dan t menyatakan banyaknya detik saat mengulur benang, maka didapatkan bahwa kecepatan angin bisa dikatakan bahwa bertambahnya jarak si anak dengan layang-layang, yaitu dx/dt. 19
Langkah 2.
Diketahui bahwa kecepatan angin 5 dm/s, maka dx/dt = 5. Tinggi y = 90
dm dikatakan tinggi y tidak berubah dari waktu ke waktu sehingga turunan dy/dt = 0. panjang benang saat itu adalah z = 150 dm, yang dicari adalah kecepatan mengulur benang yaitu dz/dt. Langkah 3. Menurut Teorema Phytagoras,
z2 = x2 + y2 Langkah 4. Dengan mendiferensialkan secara implisit terhadap t dan memakai Aturan
Rantai, maka kita mempunyai
atau
Langkah 5.
untuk semua t > 0, dx/dt = 5 dan dy/dt = 0, dy/dt samadengan 0
dikarenakan tinggi layang-layang dari tangan si anak tidak berubah tetap 90 dm. Sedangkan pada saat panjang benang 150 dm maka nilai x yaitu jarak anak dengan layanglayang adalah
Setelah itu kita ganti data-data di atas ke dalam persamaan langkah 4, maka diperoleh
20
Jadi, kecepatan si anak mengulur benang saat panjang benang 150 dm adalah 4 dm/detik. Inilah salah satu bagian dari Matematika yang juga dipakai dalam pelajaran Fisika.
Persamaan Diferensial I.
Proses Pembentukan Persamaan Diferensial Pengertian Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x.Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalampersamaan tersebut. Contoh:
Persamaan Diferensial Orde Satu
Persamaan Diferensial Orde Dua
Persamaan Diferensial Orde Tiga Proses Pembentukan Persamaan Diferensial Contoh:
konstanta sembarang
(persamaan diferensial orde-dua) Contoh:
Bentuk sebuah persamaan differensial dari fungsi y=x+ 21
Solusi:
∴
Dari persamaan diatas
Persamaan diferensial orde satu Contoh:
Pembentukan persamaan diferensial untuk Solusi:
Substitusi
∴ 22
Catatan:
Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua
II.
Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1
Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y. Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung
Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana Catatan selanjutnya
ditulis y ’
ditulis y “
A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi dengan A(x) maka diperoleh bentuk +
y=
misal P(x) =
.
dan Q(x) =
maka
+ P(x) y = Q(x) … (i) untuk menyelesaiakn PD ini, disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor Integral. misal faktor integral nya adalah
, kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor
integralnya, diperoleh : + P(x) y jika diambil y
= Q(x)
… (ii)
dan diturunkan kedua ruas Turunan Aturan Perkalian, maka
diperoleh turunan pertamanya (y
)=
+ P(x) y
sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii), diperoleh 23
(y
) = Q(x)
kemudian integralkan kedua ruas, diperoleh SOLUSI UMUM : y
= Q(x)
dx + C
solusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian
=1
Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini : 1.
+ 2xy = 4x Penyelesaian :
Perhatikan bentuk PD (i), maka ambil P(x) = 2x dan Q(x) = 4x Faktor Integral :
=
Kemudian substitusi ke SOLUSI UMUM, diperoleh y
= Q(x)
y
= 4x
y
= 4x
y
= 2
y
=2
dx + C
dx + C +C d(x2) + C +c
y=2+c 2. x
= y + x3 + 3x2 – 2x
Penyelesaian :
x
– y = x3 + 3x2 – 2x [bagi dengan x] – y = x2 + 3x – 2 24
dan Q(x) = x2 + 3x – 2
ambil P(x) =
= e-ln x =
Faktor Integral : sehingga penyelesaiannya y
= Q(x)
dx + C
y = (x2 + 3x – 2) dx + C y = (x + 3 – 2 ) dx + C y = x3 + 3x2 – 2x ln x + cx y = x3 + 3x2 – ln x2x + cx 3. xy’ – 2y = x 3 ex Penyelesaian :
x
– 2y = x3 ex [bagi dengan x] – y = x2 ex dan Q(x) = x2 ex
ambil P(x) =
= e-2 ln x =
Faktor Integral : sehingga penyelesaiannya y
= Q(x) (x2 ex)
y
=
y
= ex dx + C
y
= ex + c
dx + C
dx + C
y = x2 ex + c x2
25
III. Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2 Metode 2 : Dengan Pemisahan Variabel
Kadang-kadang akan lebih baik menggunakan x untuk menyatakan vareabel bebas dari pada t dalam persamaan diferensial. Dalam kasus ini persamaan umum linear orde satu mempunyai bentuk
Jika persamaan (2.2.26) adalah tak linear, yakni f tidak linear dalam vareabel bergantung y, maka tidak terdapat metode umum yang dapat dipakai untuk menyelesaikannya. Dalam bagian ini kita akan membahas subklas dari persamaan linear orde satu yang dapat diintegralkan langsung. Pertama kita tulis kembali persamaan (2.2.26) dalam bentuk
Adalah selalumungkin untukmengerjakan ini denganmemisalkan M (x; y) = ¡f (x; y) dan N (x; y) = 1, tetapi mungkin cara lain juga bisa. Dalam kasus M hanya fungsi dari x dan N hanya fungsi dari y, maka persamaan (2.2.26) menjadi
Persamaan ini disebut persamaan terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk
kemudian kita dapat memisahkannya dalam ruas yang lain. Persamaan (2.2.29) lebih simetrik dan dapat menghilangkan perbedaan vareabel bebas dan tak bebas. Contoh 1. Tunjukkan bahwa persamaan
adalah persamaan terpisah dan temukan sebuah fungsi yang merupakan kurva inte-gralnya. Jawab.
Kita dapat tulis persamaan (2.2.30) ke dalam 26
yang mempunyai bentuk seperti persamaan (2.2.28), oleh karena itu terpisah. Periksa bahwa suku pertama persamaan (2.2.31) yang merupakan turunan dari -x 3/3 dan suku yang ke dua dengan menggunakan aturan rantai merupakan turunan dari y-y 3/3 terhadap x. Jadi persamaan (2.2.31) dapat dituliskan sebagai
atau
Oleh karena itu kita dapatkan
dimana c adalah sembarang konstan, yang merupakan kurva integral dari persamaan (2.2.31). Sebuah persamaan dari kurva integral yang melalui sebuah titik tertentu (x 0; y0) dapat ditemukan dengan mensubstitusikan x 0 dan y0 untuk x dan y berturut-turut ke dalam persamaan (2.2.32) dan kita dapat temukan c. Sembarang fungsi terturunkan y = (x) yang memenuhi (2.2.32) adalah solusi dari persamaan (2.2.30). Dengan menggunakan cara yang sama untuk persamaan (2.2.28) dengan memisalkan H 1 dan H2 adalah sembarang fungsi sedemikian sehingga
maka persamaan (2.2.28) menjadi
Dengan menggunakan aturan rantai
maka persamaan (2.2.34) menjadi 27
Dengan mengintegralkan persamaan (2.2.35) kita dapatkan
dengan c adalah sebarang konstan. Setiap fungsi y = (x) yang memenuhi persamaan (2.2.36) adalah solusi dari (2.2.28). Dengan kata lain persamaan (2.2.36) mendefinisikan solusi implisit daripada eksplisit. Fungsi-fungsi H 1 dan H2 adalah antiturunan dari M dan N berturut-turut. Dalam prakteknya persamaan (2.2.36) biasanya diperoleh dari persamaan (2.2.29) dengan mengintegralkan suku pertama terhadap x dan suku ke dua terhadap y. Jika persamaan (2.2.28) ditambah dengan kondisi awal y(x 0) = y0 maka solusinya merupakan solusi dari (2.2.36) dengan mensubstitusikan x = x 0 dan y = y 0 dan akan didapatkan
Substitusikan kembali c ke dalam persamaan (2.2.36) dan catat bahwa
maka kita dapatkan
Persamaan (2.2.37) merupakan solusi implisit dari persamaan diferensial (2.2.28) yang memenuhi kondisi awal y(x 0) = y0. Contoh 2. Selesaikan masalah nilai awal
Jawab.
Persamaan differensial ini dapat dituliskan sebagai
Kita integralkan ruas kiri terhadap y dan ruas kanan terhadap x dan memberikan
28
dengan c adalah sebarang konstan. Kemudian kita substitusikan kondisi awal x = 0 dan y = -1 ke dalam persamaan (2.2.39) didapat c = 3. Jadi solusi masalah nilai awal dapat diberikan
Untuk menyatakan solusi eksplisit dalam persamaan (2.2.40) kita pecahkan y sebagai fungsi dari x dan kita dapatkan
Persamaan (2.2.41) memberikan dua solusi, tetapi hanya ada satu yang memenuhi kondisi awal, yakni
Catat bahwa kesalahan yang bertanda positif terletak pada persamaan (2.2.41) yang sebetulnya merupakan solusi persamaan diferesial dengan kondisi awalnya y(0) = 3. Untuk menentukan daerah dimana solusi (2.2.42) valid yakni kita harus temukan nilai dibawah tanda akar haruslah positif, jadi x > -2.
IV. Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3 Metode 3: Persamaan homogen
f(x, y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx, ky) = k n f(x, y) dengan k adalah konstanta. dikatakan homogen berderjat n jika:f ( x,y) =
n
f (x,y)M
(x,y) dx + N (x,y) dy = 0Syarat persamaan diferensial diatas dikatakan homogeny jika M (x,y) dan N (x,y) adalahhomogeny dan berderajat sama.4.1. Langkah-langkah Menentujan Penyelesaian Umum Persamaan Diferensial Homogen . Gunakan tranformasi: dy = x du + u◊y = u x dx, atau dy = y dy + u du ◊x = u y . Persamaan diferensial homogeny tereduksi ke Persamaan Diferensial terpisah . Gunakan aturan persamaan diferensial terpisah untuk mendapatkan solusi umum persamaan diferensial.
.
transformasi y = u x, dan u = jika menggunakan
Gantilah u = jika menggunakan
transformasi
x = u y untuk
mendapatkan kembali variable semula. Contoh :
1. f(x, y) = x + 3y 29
f(kx, ky) = kx + 3ky = k(x + 3y), fungsi homogen pangkat 1 2. f(x, y) = ey/x + tan (y/x) f(kx, ky) = e ky/kx + tan (ky/kx) = k 0 (ey/x + tan (y/x)), fungsi homogen pangkat 0 3. f(x, y) = x2 + 2xy + y2 f(kx, ky) = (kx) 2 + 2 kx ky + (ky) 2 = k 2 (x2 + 2xy + y 2), , fungsi homogen pangkat n 4. F(x, y) = 5x – 7y + 13 bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) k n(5x – 7y + 13) 5. F(x,y) = 4x3 + 3y3 – 6xy, bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) k n(4x3 + 3y3 – 6xy) 6. F(x,y) = x2 + 5y – 6x 2y, bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) k n(x2 + 5y – 6x 2y) Bentuk umum PD Homogen adalah M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Jika M(x, y) dan N(x, y) maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0 atau M(x/y) dx + N(x/y) dy = 0. Jika PD sudah diubah menjadi M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0, maka untuk menentukan solusi PD tersebut, ambil u =
y = ux
dy = u dx + x du M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0 (M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0 dx + Sehingga solusinya :
du = 0 dx +
du = C, dengan u = 30
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari PD berikut 1. (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0 Penyelesaian :
Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen ambil M(x, y) = x2 – xy + y2 M(kx, ky) = (kx) 2 – kx ky + (ky) 2 = k 2(x2 – xy + y 2) N(x, y) = xy N(kx, ky) = kx ky = k 2(xy) (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0 adalah PD homogen (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0, bagi dengan x 2, diperoleh (1 – +
) dx – dy = 0 … (i)
misal : y = ux dy = u dx + x du substitusi ke pers (i) (1 – u + u2) dx – u (u dx + x du) = 0 dx – u dx + u 2 dx – u2 dx – ux du = 0 (1 – u) dx – ux du = 0 [bagi dengan x(1 – u)] dx – dx – ln x – ln x –
du = 0 du = c 1 du = c1 du –
du = c 1 31
ln x + u + ln (1 – u) = ln C, dengan ln C = c 1 substitusi kembali u = , sehingga ln x + + ln (1 – ) = ln C 2. (1 + 2ex/y) dx + 2e x/y(1 – x/y) dy = 0 Penyelesaian :
Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen ambil M(x, y) = 1 + 2ex/y M(kx, ky) = 1 + 2e kx/ky = k 0(1 + 2ex/y) N(x, y) = 2ex/y(1 – x/y) N(kx, ky) = 2ekx/ky(1 – kx/ky) = k 0(2ex/y(1 – x/y)) (1 + 2ex/y) dx + 2e x/y(1 – x/y) dy = 0 adalah PD homogen … (i) misal : x = uy dx = u dy + y du substitusi ke pers (i), sehingga (1 + 2eu) (u dy + y du) + 2e u(1 – u) dy = 0 u dy + y du + u 2e u dy + y 2e u du + 2eu dy – u 2e u dy = 0 u dy + y du + y 2e u du + 2eu dy = 0 (u + 2eu) dy + y(1 + 2e u) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2e u)] dy + dy + ln y +
du = 0 du = c1 = c1
ln y + ln (u + 2e u) = ln C, dengan ln C = c 1 substitusi kembali u = , sehingga 32
ln y + ln (x/y + 2e x/y) = ln C ln (y(x/y + 2ex/y)) = ln C x + 2yex/y = C 3. 2xyy’ – y2 + x2 = 0 Penyelesaian :
Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen 2xy
– y2 + x2 = 0
2xy dy + (x 2 – y2) dx = 0 ambil M(x, y) = 2xy M(kx, ky) = 2 kx ky = k 2(2xy) N(x, y) = x2 – y2 N(kx, ky) = (kx)2 – (ky)2 = k 2(x2 – y2) 2xy dy + (x 2 – y2) dx = 0 adalah PD homogen 2xy dy + (x 2 – y2) dx = 0 [bagi x 2] dy + (1 –
) dx = 0 … (i)
ambil y = ux dy = x du + u dx substitusi ke pers (i), diperoleh 2u(x du + u dx) + (1 – u 2) dx = 0 2ux du + 2u 2 dx + dx – u 2 dx = 0 2ux du + (u 2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u 2 + 1)] 2
du+ dx = 0 2
du+
dx = c1 33
2
+
dx = c1
ln (u2 + 1) + ln x = ln C, dengan ln C = c 1 ln (u2 + 1) = -ln x + ln C ln (u2 + 1) = ln u2 + 1 = substitusi kembali u = , diperoleh +1= y2 + x2 = Cx y2 + x2 – 2 x + – = 0 (y – 0)2 + (x – )2 =
V.
Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4 Metode 4: Persamaan linier
Persamaan linier orde satu memiliki bentuk umum ruas kanan ≠ 0 Faktor integrasi:
Solusi umum
+ P(x) y = Q(x) dengan syarat y = Q(x)
+
-------------------------------------------------------------------------Tinjaulah persamaan
+ 5y =
Persamaan diatas jelas persamaan orde pertama, namun berbeda dari yang kita pelajari selama ini. tidak satupun metode sebelumnya bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Sehingga kita harus menemukan sebuah metode lain untuk menyelesaikannya. Dalam hal ini, kita mulai dengan mengalihkan kedua sisi dengan e 5x . ini sehingga dihasilkan 34
+y
=
+y
=
Sekarang diperoleh bahwa sisi kiri merupakan turunan y.
{ y.
∴
(y.
)=y
+
}=
Sekarang, integrasikan kedua sisi terhadap x : ∫ (y.
) = ∫
dx
y.
= ∫
y.
= ∫
y.
=
+C
y.
=
+C
y=
y=
+
y=
+C
Contoh :
Tentukan solusi umum dari: 35
1) 2)
+ 4y = x -2x 2 ′+ = (1+)2
Pembahasan:
1)
+ 4y = x -2 P(x) = 4 ; Q(x) = x – 2 Faktor Integrasi:
=
=
Solusi Umum: y = Q(x)
+C
y= x–2 y=(
+ -
-
y=(
y=( 2)
)+
)+
)
′+ =
+y= P(x) = 1 ; Q(x) = Faktor Integrasi:
=
=
Solusi Umum: y = Q(x)
+C
36
y=
y=
+
y=
−2
(1+) +2
+C
−2 (1+ )+2+
VI. Persamaan Diferensial Bernouli
Ini adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum seperti :
Di mana, seperti sebelumnya, P dan Q adalah fungsi dari (atau konstanta). Cara penyelesaianya yaitu : 1. Bagi bentuk umum persamaan Bernoulli pada semua sisinya dengan
Dan akan menjadi
2. Kemudian kalikan hasil pada semua sisi dengan
m S e e n h i j n a g d g i a a k a n
3. Dengan menggunakan pemisalan
37
Kemudian persamaan diatas akan menjadi
4. Dengan faktor integrasi
5. Sehingga PDP nya menjadi
6. Contoh soal dan Pembahasan
=
1)
P(x) = z=
–n+1
z=
–2+1
z=
–1
;Q(x) =
;n = 2
38
–2
.
–2
.
=
-y2.
=
________________ : -y2 y-1 =
–z =
P(x) =
Persamaan Linier Orde Satu
;Q(x) =
Solusi umum
e ∫(1-n) P(x) dx z = ∫(1-n) Q(x) e ∫(1-n) P(x) dx dx + C z=∫
dx + C
z = x-1 + C z= x-1 + C
39
Maka, Solusi Umumnya adalah = 1 + Cx
VII. Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan diferensial eksak adalah salah satu ilmu matematika yang banyak digunakan untuk menjelaskan masalah – masalah fisis. Masalah – masalah fisis tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial. Jika model matematika berbentuk persamaan diferensial. Definisi Persamaan Diferensial: Suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan diferensial.untuk lebih jelasnya langsung saja kita cermati dengan contoh di bawah ini.
Salah satu contoh lagi dari bentuk diferensial eksak:
PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(x,y) =0.
Maka:
Jika persamaan (*) merupakan PD Eksak, maka berlaku sebagai berikut:
40
Apabila persamaan (*) seperti gambar di atas, merupakan PD Eksak.
41
Pembagian Tugas
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
Achmad Fahmi Amrullah Aditya Pandu Wijaya Agustin Dwi Kurniawati Angga Among Ari Aulia S Chaula N F A Doni Firmawan Eva Novianingsih Faisal Dwi Kurniawan Fauziah Nur Aini Fitra Setya Amanda Gita Sukma Devyana Jeremy Gabriel Luqmanul Hakim Mentari Tata Jelita M. Hutama Fahrurrozi M. Ubaidillah Nur Salindri Rafhael Ikhwan Riznatul Nuril Azizah Septian Eka Prasetya Suci Prafitri Winda Prasetianingtyas Yusuf Hanif Abdullah
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3 Persamaan Diferensial Eksak Proses Pembentukan Persamaan Diferensial Turunan Fungsi Implisit Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4 Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1 Persamaan Diferensial Bernouli Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 4 Laju Perubahan Turunan Parsial Laju Perubahan Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2 Persamaan Diferensial Eksak Perubahan Variabel Pertambahan Kecil Perubahan Variabel Persamaan Diferensial Bernouli Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 1
Turunan Fungsi Implisit Pertambahan Kecil Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 3 Penyelesaian Persamaaan Diferensial Metode 2 Proses Pembentukan Persamaan Diferensial Turunan Parsial
Referensi
Yusuf Yahya, D.Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika dasar Untuk Perguruan Tinggi , Ghalia Indonesia, 2004. Purcell,Edwin J., Kalkulus jilid I , Erlangga, Jakarta, 2003 http://arisgunaryati.files.wordpress.com/2012/06/kalkulus-lanjut3.pdf 42
