Sejarah Dan Filsafat Matematika
TUGAS 1.a Nama Mahasisswa
:
NIM
:
MPMT5101 Tanggal Pengumpulan
SOAL 1. Jelaskan tentang karya Grammarie Egyptienne en Encriture Hieroglyphique 2. Ketika
matematikawan
Mesir
berkeinginan
untuk
menghitung
dengan
menggunakan pecahan, maka dia berhadapan dengan berbagai kesulitan, mengapa begitu? Jelaskan! 3. Carilah, dengan metode pembagian Mesir, hasilbagi-hasilbagi dari: a. 183 : 7 b. 18 : 7 c. 46 : 8 d. 1059 : 11 4. Dengan menggunakan tabel 2/n, tulislah 12/15 , 8/49 , dan 20/35 sebagai jumlah dari pecahan- pecahan satuan tanpa pengulangan 5. Jelaskan spekulasi-spekulasi tentang Piramida Agung! 6. Jelaskan tentang Plimpton 322 secara singkat dan jelas! 7. Jelaskan penggunaan teorema Phytagoras oleh bangsa Babilonia!
JAWAB 1. Grammarie Egyptienne en Encriture Hieroglyphique adalah salah satu karya terbesar J ean
F rancois Champollion ( 1790 – 1832 ). Isi dari Grammarie Egyptienne en Encriture Hieroglyphique adalah sebuah sistem gramatika dan uraian umum yang menjadi landasan bagi
penterjemahan terhadap pembacaan papirus – papirus yang
ditemukan oleh para Egiptolog. Sistem gramatika yang disusun oleh Champolion ini berdasarkan Batu Rosetta yang ditemukan tahun 1799 oleh seorang perwira pasukan Perancis sewaktu Napoleon invasi ke Mesir. Berdasarkan karya Champolion inilah maka Papirus Rhaind dapat diterjemahkan, sehingga dapatlah diketahui bagaimana orang – orang mesir kuno melakukan proses penghitungan dalam kehidupan mereka. 2. Penghitungan menggunakan bilangan pecahan yang dilakukan oleh matematikawan mesir menghadapi berbagai masalah karena mereka secara umum tidak menyenangi penyebut
yang bukan satu, tanpa alasan yang jelas, sehingga penghitungan yang sederhana menjadi rumit. Untuk mengatasi permasalah penghitungan tersebut mereka menyusun Tabel Pecahan
Satuan, tabel ini mengisi sepertiga dari delapan belas kaki papirus Rhint. Untuk penyebut yang merupakan kelipatan 3 mereka menggunakan aturan :
2/n = 1/2n + 1/6n. Secara umum untuk penghi tungan mereka menggunakan aturan : 2/n = 1/n + 1/2n + 1/3n + 1/6n , tetapi aturan ini tidak mereka catatkan pada tabel kecuali pada 2/101. Dengan tabel tersebut mereka mampu melakukan perkalian, pembagian bahkan untuk perkalian dan pembagian dengan bilangan pecahan. Mereka juga mampu menuliskan bilangan rasional dalam bentuk – bentuk pecahan seperti : 9/13 = ½ + 1/8 + 1/26 + 1/52 + 1/104.
3a. 183 : 7 1
7
2
14
4
28
8 16
56 112
1/7 16 + 8 + 2 + 1/7
1 112 + 56 + 14 + 1 = 183
Jadi hasil dari pembagian 183:7 adalah 6 + 8 + 2 + 1/7 atau 26 + 1/7 3b. 18 : 7 1
7
2 4/7
14 4
2 + 4/7
14 + 4 = 18
Untuk 4/7 bisa ditulis sebagai : 2/7 + 2/7, berdasarkan tabel 2/7 adalah ¼ + 1/28 Jadi : 4/7 = 2/7 + 2/7 = ¼ + 1/28 + ¼ + 1/28 = ½ + 2/28 = ½ + 1/14 Jadi hasil bagi 18 : 7 adalah 2 + 4/7 atau 2 + ½ + 1/14 3.c. 46 : 8 1 2 4 1/2 1/4 4+1+½+¼
8 16 32 4 2 32 + 8 + 4 + 2 = 46
Jadi 46 : 8 adalah 4 + 1 + ½ + ¼ atau 5 + ½ + ¼
3.d. 1059 : 11 1 2 4 8 16
11 22 44 88 176
32 64 3/11
352 704 3 704 + 352 + 3 = 1059
64 + 32 + 3/11
96 + 3/11 Untuk 3/11 bisa ditulis sebagai : 3/11 = 2/11 + 1/11 Berdasarkan tabel satuan 2/n nilai untuk 2/11 adalah 1/6 + 1/66 Sehingga nilai untuk 3/11 dapatlah ditulis sebagai = 2/11 + 1/11 = 1/6 + 1/66 + 1/11 = 1/6 + 1/11 + 1/66 Sehingga 1059: 11 adalah sama dengan 64 + 32 + 3/11 atau 96 + 3/11 bisa ditulis juga sebagai 96 + 1/6 + 1/11 + 1/66
4.a. 12/15 12/15 bisa ditulis sebagai 2/15 + 2/15 + 2/15 + 2/15 + 2/15 + 2/15 Sementara itu 2/15 berdasarkan aturan 2/3k = 1/2k + 1/6k Dengan anggapan bahwa k = 5 maka didapatkan 2/3.5 = ½.5 + 1/6.5 atau 2/15 = 1/10 + 1/30 Sehingga 2/15 + 2/15 + 2/15 + 2/15 + 2/15 + 2/15 bisa ditulis sebagai ( 1/10 + 1/30 ) + ( 1/ 10 + 1/30 ) + ( 1/10 + 1/30 ) + ( 1/10 + 1/30 ) + ( 1/ 10 + 1/30 ) + ( 1/10 + 1/30 )
= 6/10 + 6/30 Untuk 6/10 bisa ditulis sebagai : 1 1/2 1/10 ½ + 1/10
10 5 1 5+1=6
6/10 = ½ + 1/10
Untuk 6/30 bisa ditulis sebagai : 1 1/2 1/6 1/30 1/6 + 1/30
30 15 5 1 5+1=6
6/30 = 1/6 + 1/30 Sehingga 6/10 + 6/30 dapat ditulis sebagai ½ + 1/10 + 1/6 + 1/30 atau ½ + 1/6 + 1/10 + 1/30 Jadi nilai 12/15 adalah sama dengan ½ + 1/6 + 1/10 + 1/30. 4.b. 8/49 Untuk 8/49 artinya sama dengan 4.(2/49), berdasarkan tabel 2/n satuan maka 2/49 = 1/28 + 1/196 Jadi 4.(2/49) = 4.(1/28 + 1/96) = 4/28 + 4/196 Cara I : Untuk 4/28 4/28 = 2/28 + 2/28 4/28 = 1/14 + 1/14 4/28 = 2/14
Untuk 4/196
Diketahui 2/28 = 1/14 2/14 = 1/7
Diketahui 2/196 = 1/98
4/196 = 2/196 + 196 4/196 = 1/98 + 1/98 4/196 = 2/98
1/7
2/98 = 1/49 1/49
Jadi 4/28 + 4/196 adalah = 2/14 + 2/98 = 1/7 + 1/49 Jadi nilai 8/49 adalah sama dengan 1/7 + 1/49
Cara II : Untuk meyederhanakan 4/28 dan 4/196 terpaksa kita menggunakan aturan 2/n = 1/n + 1/2n + 1/3n + 1/6n meskipun penulisan seperti kurang disukai oleh orang orang mesir. Untuk 4/28 4/28 = 2/28 + 2/28 4/28 = 1/14 + 1/14 4/28 = 2/14
Untuk 4/196
Diketahui 2/28 = 1/14
4/196 = 2/196 + 196 4/196 = 1/98 + 1/98 4/196 = 2/98
Diketahui 2/196 = 1/98
Digunakan aturan
Digunakan aturan
2/n = 1/n + 1/2n + 1/3n + 1/6n
2/n = 1/n + 1/2n + 1/3n + 1/6n
2/14 = 1/14 + 1/28 + 1/42 + 1/84
2/98 = 1/98 + 1/196 + 1/249 + 1/588
Jadi 4/28 + 4/196 adalah = 2/14 + 2/98 = 1/14 + 1/28 + 1/42 + 1/84 + 1/98 + 1/196 + 1/249 + 1/588 Jadi nilai 8/49 dapat ditulis juga sebagai
1/14 + 1/28 + 1/42 + 1/84 + 1/98 + 1/196 + 1/249 + 1/588 4.c. 20/35 Untuk 20/35 bisa ditulis sebagai : 1 1/7
35 5
1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7
5 + 5 + 5 + 5 = 20
Jadi 20/35 bisa ditulis sebagai : = 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 = 2/7 + 2/7 Pada tabel 2/n satuan 2/7 adalah ¼ + 1/28, sehingga : = 2/7 + 2/7 = ¼ + 1/28 + ¼ + 1/28 = ½ + 2/28 = ½ + 1/14 Jadi 20/35 bisa ditulis sebagai ½ + 1/14
5. Piramida Agung adalah Piramida yang dibuat oleh Khufu sekitar tahun 2600 S.M , orang Yunani menyebut Piramida ini sebagai Cheops. Hal – hal yang menjadi spekulasi pada Piramida Agung yang antara lain adalah : A. Keakur atan Yang M enakjubkan. Piramida Agung mempunyai tinggi 481,2 kaki, keempat sisinya mempunyai kemiringan
51 51′ , dengan keakuratan yang luar biasa. a. Alas Piramida tersebut hampir merupakan sebuah persegi sempurna, tidak satupun dari keempat sisinya berbeda lebih dari 4,5 inchi dari panjang rata – rata 755,78 kaki. b. Sisi – sisi piramida secara tepat mengarah ke titik – titik mata angin dari kompas, dengan kesalahan tidak sampai 1 derajat.
c. Setengah dari keliling alas dibagi tinggi harus tepat sama dengan bilangan , dengan selisih hanyaa 0,00036. B. Menggunakan Perbandingan E mas. a. Perbandingan Emas ternyata terdapat pada Cheops, yakni berupa “Luas dari tiap
sisinya akan sama dengan luas persegi yang memiliki sisi – sisi yang sama dengan tinggi dari piramida tersebut ”. Jika : Panjang sisi alas = 2b Tinggi sisi segitiga = a Tinggi piramida = h Maka Relasi yang dibuat oleh Herodatus adalah :
ℎ = 12 2. = Menurut Teorema Phythagoras : Hipotenusa = a Panjang kaki – kakinya adalah b dan h. Maka
ℎ = atau ℎ = −
− = dan jika kedua ruas dibagi dengan maka didapatkan 1 − = yang ekuivalen dengan = 1. Dengan anggapan x sama dengan maka didapat persamaan = 1. Yang jika dicari penyelesainnya adalah = (√ 5 −1)(√ 5 −1). Sehingga didapatkan : = (√ 5 −1) = 0,6180339… Kalau disamakan maka
Bilangan 0,6180339 adalah rasio perbandingan emas.
b. Kalau kita secara langsung menghitung dengan angka real yang ada piramida tersebut, yakni tinggi piramida tersebut (h) adalah 481,2 dan setengah panjang sisi
755,78 maka tinggi (a) sisi piramida tersebut adalah : = √ ℎ = 481,2 377,89 = 611,85 dan = , , = 0,61762 .
alas (b) adalah
Bilangan 0,61762 mendekati bilangan 0,6180339 yang merupakan perbandingan emas. c. Teori yang lain tentang perbandingan emas ini menyatakan bahwa “ Luas alas
piramida berbanding dengan jumlah luas semua sisi dan alasnya”. Jumlah keempat sisi segitiga piramida tersebut adalah
2 maka didapatkan = + = = , = 0,61819…. + ,+,
adalah
4. 2 dan luas alasnya
ekuivalen dengan :
Kembali ditemukan perbandingan emas yakni 0,61819. C. Mi tos – Mitos Yang Terbentuk dari Piramida Agung. a. Mitos tentang pir amida dibangun untuk melindungi kehidupan penduduk dari
pasir , agar pasir tidak bergerak menutupi lahan penduduk bercocok tanam di sepanjang tepi sungai nil. b. Mitos tentang piramida adalah salah satu bentuk lumbung yang berguna menyimpan hasil panen gandum yang berlimpah. c. Mitos tentang piramida berisi ramalan peri stiwa yang akan terjadi di dunia oleh Charles Piazzi Smyth, seorang astronom terkenal dari Skotlandia. Ia mengadakan penelitian tentang satuan yang dipakai untuk membangun piramida agung, yang dissebutnya sebagai “Inchi Piramida”.
Charles Piazzi Smyth menyimpulkan bahwa piramida di bangun oleh tuhan untuk meramal, semacam buku ramalan dalam bentuk batu.
6. Plimton 322, merupakan istilah yang dipergunakan untuk koleksi nomor 322 dari G.A
Plimton di Uni versitas Columbia. Isi plimton 322 diterjemahkan oleh Neugebauer dan Sachs pada tahun 1945. Isi Plimton 322 adalah tablet tanah liat yang berisi angka – angka yang merupakan daftar penghitungan seperti hitungan pada aturan phythagoras, ternyata teorema phytagoras telah diketahui oleh orang – orang babilonia sekitar seribu tahun sebelum phythagoras lahir. Pada tablet tanah liat tersebut jika bilangan bilangan di tengah kolom di kuadratkan dan jika kita mengurangkan dari tiap bilangan itu, kuadrat dari bilangan yang ada pada kolom pertama maka hasilnya adalah suatu kaudrat sempurna. Petunjuk tentang bagaimana orang Babilonia menyelesaikan persamaan pythagoras ada pada kolom ke empat dari tablet tanah liat tersebut, tetapi sayang tablet tersebut agak cacat. Secara umum untuk mendapatkan nilai - nilai yang dicari pada tablet tanah tersebut dapat dipergunakan aturan :
Jika m dan n adalah dua buah bilangan yang didapatkan dari perluasan – perluasan
60 = dan = 2 .3 .5 Dan nilai untuk = 2, = − dan = . Khusus untuk = , khusus oleh orang babilonia lebih senang sebagai = − 2. seksagesimal berujung dengan aturan
dihitung
Tablet mereka dapat ditulis kembali sebagai :
2 . 3 2 2 . 3
=
5
120 3456 2400
3 5
= − 119 3367 1679 Dan seterusnya
= = − 169 4825 2929
Jadi secara jelas Plimton 322 adalah sebuah tabel yang didapatkan dari penghitungan pengkwadratan seperti aturan Pythagoras dengan aturan yang jelas dan sudah ditemukan sekitar seribu tahun sebelum Pythagoras lahir.
7. Penggunaan aturan pythagoras yang dibuat tablet tanah di “Plimton 322” oleh orang Babilonia adalah pada kumpulan tablet yang berisi permasalahan matematika yang digali di Susa oleh orang – orang Perancis pada tahun 1936. Salah satu tablet tersebut menghitung jari – jari r dari sebuah lingkaran yang mengelilingi segitiga sama kaki dengan panjang sisi – sisinya 50 dan 60. AD = 40 AE = r ED = 40 – r
= 30 40 − = = 31,15 Tablet yang lain membicarakan bahwa : “Sebuah balok dengan panjang 0.30 [ berdiri tegak, sejajar menempel pada dinding ]. Bagian ujung atasnya merosot sejauh 0;6. Berapa jauhkan ujung bagian bawah bergerak menjauh.”
