Tugas 3 Matematika Aktuaria Nama : Ignatius Ignatius Danny Danny Pattirajawan Pattirajawane e NIM
: 016338119
Soal: δ t =
1. Dana F menga mengakum kumula ulasi si pada pada tingka tingkatt laju laju bunga bunga δ t
1 + t
. Dana G mengakumulasi pada
4t =
( )
F t
2
1 + 2t
tingkat laju bunga
.
t
G ( t )
adalah jumlah dana F pada saat , dan F ( 0 )
t
=
( )
G ( 0)
jumlah dana G pada saat , dengan
H t
. Misalkan
=
adalah
( ) − G ( t )
F t
T
, hitung
,
H ( t )
t
yaitu nilai saat ketika δ t =
1
maksimum.
4 + t 2
1 + 8t + t
t ≥ 0
s
4
2. Diketahui , untuk . Hitung 3. ese!"ang ese!"ang mendep!sit mendep!sit!kan !kan dana sebesa" sebesa" 100 100 ke "ekening "ekening sebuah sebuah bank dengan tingkat tingkat bunga bunga n!minal te"k!n#e"si setengah tahunan. $ada saat yang sama, dia mendep!sit!kan lagi dana sebesa" 100 ke "ekening bank lain δ
dengan laju bunga
. etelah %% bulan, nilai masing&masing "ekening adalah 300. Hitung
( i − δ ) . i
4. 'udi meminj meminjam am dana dana sebesa" sebesa" 10.000 selama selama 10 tahun dengan suku bunga e(ekti( e(ekti( pe"tahun dan mengakumulasi sejumlah yang dipe"lukan untuk mengembalikan pinjaman dengan menggunakan sinking (und. )a melakukan 10 kali pembaya"an sebesa" X pada pada akhi" setiap tahun, yang memasukkan bunga pinjaman dengan suku bunga e(ekti( 8*. +ika suku bunga i
2i
e(ekti( pinjaman .
pe"tahun, maka t!tal pembaya"an tahunan akan menjadi 1, X. Hitung
Jawab: 1 Soal !i atas atas meru"a#an meru"a#an #asus #asus nilai a#umulasi a#umulasi !engan su#u bunga #ontinu #ontinu ber$ariasi yang !inyata#an !inyata#an !engan rumus: rumus:
t 2
∫ δ dt
AV t
2
AV t
=e
t
t 1
1
Di mana t 2
δ t
'
δ t =
AV t
1
AV t
!an
δ t =
4 t 2
1 + 2 t
*mbil
nilai a#umulasi masing&masing !ana "a!a wa#tu
t
t 1 =0
!an
t 2 =t
mulai !ari wa#tu
+ntu# !ana ( t
∫ 11+t dt
AV t = F ( t )= F ( 0 ) e
0
= F ( 0 ) e
ln ( 1+ t )
| = F ( 0 ) [ 1+ t ] t
0
+ntu# !ana ): t
∫ 1 +42t t dt
AV t =G ( t ) =G ( 0 ) e
2
=G ( 0 ) e
0
ln (1 + 2 t 2)
| =G ( 0 ) [ 1 +2 t ] t
0
2
[
H ( t ) = F ( t ) − G ( t )= F ( 0 ) 1 + t −G ( 0 ) 1 + 2 t
[
]
2
]
'
ma#simum a!ala% saat
H (t ) =0
' !an #arena
F ( 0 ) =G ( 0 )
mem"erole%: '
'
'
H ( t ) = F ( t ) − G ( t ) = F ( 0 ) −G ( 0 ) 4 t =0
1− 4 t =0 →t =
Ja!i
H ( t )
!an
meru"a#an su#u bunga #ontinu yang untu# !ana ( nilainya a!ala%
1 1 + t se!ang#an untu# !an )'
H ( t )
t 1
a!ala% masing&masing nilai a#umulasi "a!a
2
1 4
ma#simum saat
t
men,a"ai - ta%un atau 3 bulan t 2
AV t
. Mengguna#an rumus
2
AV t
1
∫ δ dt
=e
t
t 1
#ita
0
' ma#a a!ala%:
t 2 =4, t 1 =0
Di mana 4
∫ 1+84t ++t 2 t dt
S ´4|= A e
2
0
AV 0= A
' ambil
= A e
1 2
4
2
∫ d(11++88t t ++22t t ) 2
0
= A e
AV 4= S 4´ |
!an
ma#a
| = A √ 65
1 4 ln ( 1+ 8 t + 2t 2) 2 0
3 99 bulan a!ala% 8 ta%un 3 bulan Dana !engan ting#at bunga nominal ter#on$ersi setenga% ta%un tela% mengalami "embungaan sebanya# 2 × 8 =16 #ali' se%ingga "ersamaannya !engan !ana su#u bunga #ontinu
setela% ( 2)
100 ( 1 +
i
2
8,25 δ
100 e
100 ( 1 +
i
( 2)
8
1 4 ta%un a!ala%:
16
) =100 e 8,25 =300 δ
=300 → δ =
( 2) i
2
ln 3 =0,133 8,25
16
) =300 →i ( 2)=0,142
− δ = 0,142−0,133 =0,009
/ Pinjaman 10000 selama 10 ta%un !engan bunga
i
' memili#i uture $alue
sebesar 10
FV = 10000 ( 1 + i )
Nilai tersebut %arus !ilunasi !engan sin#ing un! !enganbunga !engan "embayaran 10
10000 ( 1 + i)
X
"er ta%un
!i a#%ir Ja!i
= X ´S ´10|0,08
Se!ang#an bila bunga "injamannya se%ingga
8
2 i ' ma#a "embayarannya menja!i
1,5 X '
10
10000 ( 1 + 2 i )
=1,5 X ´S ´10|0,08
ila #e!ua "ersamaan !iban!ing#an ma#a !i"erole% 10
1 +2 i ( ) 1 +i
i=
=1,5 → 1 + 2 i=1,04 ( 1 + i ) → 0,96 i =0,04
0,04 =0,042 0,96
