Aref Ar ef Antar An tar Neto José Jos é Luiz Pereira Pereira Sampaio Nilton Lapa Sidney Luiz Cavallantte
TRIGONOMETRIA Noções oç ões de d e Matemáti atemática ca
VOLUME 3
Capa:
Annysteyne Maia Chaves
CIP – Brasil. Catalogação-na-Fonte. Câmara Câmara Brasileira do L ivro, ivr o, SP
Trigonometria: 2º grau / Aref Antar Neto. (et al.) Fortaleza: Ed. Vestseller, 2009. (Noções de matemática; v.3)
T747
1. Trigonometria (2º grau) I. Antar Neto, Neto, Aref, 1949 – II. Série.
17. CDD – 514 18. – 516.24
78-1488
Índices para catálogo sistemático: 1. Trigonometria 514.7 (17.) (17.) 516.24 (18.) (18.)
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Índice Parte I Capítulo 1. Medidas de arcos e ângulos ..............................................................13
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
― Arcos de circunferência .............................................................13 ― Medida de um arco....................................................................14 ― Ângulos......................................................................................15 ― Medida de um ângulo ................................................................15 ― Unidades usuais de medida ......................................................16 ― O número : uma razão geométrica ..........................................17 ― Arco de uma volta......................................................................18 ― Comprimento de um arco ..........................................................18 ― Conversão de unidades.............................................................19
Razõess trigonom tri gonom étricas no triângulo r etângul etângulo: o: seno, cosseno Capítulo 2. Razõe e tangent tangente e ...........................................................................................23 2.1 ― Relações métricas no triângulo retângulo..................................23 2.2 ― Razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente..................................................................................24 2.3 ― Aplicação importante: ângulos notáveis ....................................26 2.4 ― Primeiras relações fundamentais...............................................29 Exercícios Suplementares .........................................................34
Parte II trigonométrica ...........................................................39 Capítulo 3. Circunferência trigonométrica...........................................................39 3.1 ― Segmento orientado ..................................................................39 3.2 ― Eixo............................................................................................39 3.3 ― Medida algébrica de um segmento orientado............................40 3.4 ― Relação de Chasles...................................................................40 3.5 ― Sistema de abscissas ................................................................41 3.6 ― Sistema cartesiano ortogonal ....................................................42 3.7 ― Arco orientado ...........................................................................44 3.8 ― Circunferência trigonométrica....................................................44 3.9 ― Medida algébrica de um arco orientado.....................................45 3.10 ― Ângulos......................................................................................46 3.11 ― Arcos ou ângulos ângulos com mais de um volta ...................................46 3.12 ― Algumas expressões importantes..............................................49 3.13 ― Arcos côngruos..........................................................................49 2k 3.14 ― Expressões do tipo ......................................................52
Capítulo 4. Seno e cosseno .................................................................................. 60
4.1 4.2 4.3 4.4
― Seno e cosseno ........................................................................ 60 ― Variação e sinais do seno e do cosseno................................... 62 ― Relação sen2 + cos2 = 1 ....................................................... 63 ― Alguns valores particulares ....................................................... 64
4.5 ― Senos dos arcos de medidas
n
.............................................. 66
Capítulo 5. Tangente e cotangente ......................................................................
5.1 5.2 5.3 5.4
71
― Tangente................................................... ................................ 71 ― Variação e sinais da tangente................................................... 73 ― Cotangente ............................................................................... 77 ― Variação e sinais da cotangente ............................................... 79
Capítulo 6. Secante e cossecante
....................................................................... 86
6.1 ― Secante e cossecante............................................................... 86 6.2 ― Variação e sinais da secante e da cossecante ......................... 87 6.3 ― Resumos................................................................................... 88 Capítulo 7. Redução ao 1º quadrante ..................................................................
94
Capítulo 8. Equações simples ........................................................................... ... 98
8.1 ― Introdução ................................................................................. 98 8.2 ― Conjunto-universal e conjunto-solução ..................................... 98 8.3 ― Equação do tipo cos x = a......................................................... 98 8.4 ― Notação arc cos a ................................................................... 100 8.5 ― Conjunto-universo U = ......................................................... 102 8.6 ― Equação do tipo sen x = a ...................................................... 104 8.7 ― Notação arc sen a................................................................... 106 8.8 ― Equação do tipo tg x = a ......................................................... 109 8.9 ― Notação arc tg a...................................................................... 110 8.10 ― Notação arc cotg a. Equação do tipo cotg x = a ..................... 113 8.11 ― Resumo das notações novas.................................................. 116 Exercícios Suplementares ...................................................... 119
Parte III Capítulo 9. Primeiras fórmulas trigonométricas ...............................................
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
125
― Introdução ............................................................................... 125 ― Mudança de sinal do arco (ou ângulo).................................... 125 ― Cosseno da soma e cosseno da diferença ............................. 126 ― Arcos (ou ângulos) complementares ...................................... 128 ― Seno da soma e seno da diferença ........................................ 132
9.6 ― Tangente da soma e tangente da diferença ............................134 9.7 ― Resumo ................................................................................... 136 9.8 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da forma k x.............................................................................139 9.9 ― Simplificação de expressões trigonométricas dos arcos da k forma x, k ímpar...............................................................143 2 Capítulo 10. Fórmulas de arco dobr o, arco triplo e arco metade
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5
....................148
― Introdução ........................................................................... 148 ― Arco dobro...........................................................................148 ― Arco triplo............................................................................152 ― Arco metade........................................................................153 ― Fórmulas auxiliares: sen a, cos a e tg a em função de
a tg .....................................................................................155 2 10.6 ― Resumo...............................................................................157 Capítulo 11. Transformação em produto
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
..........................................................160
― Introdução ........................................................................... 160 ― Transformação de sen p sen q e cos p cos q................160 ― Transformação de sen p cos q.........................................163 ― Transformação de tg p tg q ..............................................163 ― Fórmulas de reversão: transformação de produtos em somas
ou diferenças.......................................................................164 11.6 ― Resumo...............................................................................166 Exercícios Suplementares...................................................168
Parte IV Capítulo 12. Equações trigonométricas
12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
............................................................173
― Finalidade deste capítulo ....................................................173 ― Equações clássicas.............................................................182 ― 1ª equação clássica ............................................................182 ― 2ª equação clássica ............................................................188 ― 3ª equação clássica ............................................................190 ― Equações que envolvem as relações inversas ...................194
Capítulo 13. Inequações trigon ométricas
13.1 13.2 13.3 13.4
.........................................................200
― Inequação do tipo cos x < a ................................................200 ― Inequação do tipo cos x > a ................................................201 ― Inequações dos tipos sen x < a e sen x > a ........................203 ― Inequações dos tipos tg x < a e tg x > a..............................206
Exercícios Suplementares...................................................212
Parte V Capítulo 14. Resolução de triângulos
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
............................................................... 217
― Introdução .......................................................................... 217 ― Lei dos senos ..................................................................... 217 ― Lei dos cossenos................................................................ 220 ― Área do triângulo ................................................................ 223 ― Resumo .............................................................................. 225
Exercícios Suplementares.................................................. 236
Parte VI Capítulo 15. Funções trigonométricas
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5
............................................................. 241
― Introdução .......................................................................... 241 ― O conceito de função ......................................................... 241 ― Função real de variável real ............................................... 242 ― Gráfico de uma função real de variável real ....................... 242 ― A correspondência entre um número real e um ponto da
Circunferência trigonométrica............................................. 243 15.6 ― Função seno....................................................................... 245 15.7 ― Definição de função periódica ............................................ 246 15.8 ― Gráfico da função seno ...................................................... 246 15.9 ― Definição de função limitada .............................................. 247 15.10 ― Função cosseno ................................................................. 248 15.11 ― Gráfico da função cosseno................................................. 248 15.12 ― Função tangente ................................................................ 249 15.13 ― Gráfico da função tangente ................................................ 250 15.14 ― Função cotangente............................................................. 252 15.15 ― Gráfico da função cotangente ............................................ 253 15.16 ― Função secante.................................................................. 254 15.17 ― Gráfico da função secante.................................................. 254 15.18 ― Função cossecante ............................................................ 256 15.19 ― Gráfico da função cossecante............................................ 256 15.20 ― Definição de função par e função ímpar............................. 257 15.21 ― Paridade das funções trigonométricas ............................... 257 15.22 ― Resumo .............................................................................. 258
Capítulo 16. Cálcul o de períodos e construç ão de gráficos
........................... 264
16.1 ― Introdução .......................................................................... 264 16.2 ― Cálculo do período de funções da forma y = m + nf(ax + b)264 16.3 ― Cálculo do período de somas e produtos de duas funções periódicas........................................................................... 266 16.4 ― Construção de gráficos....................................................... 269
Capítulo 17. Funções trigonométricas inversas
17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6
...............................................277
― O conceito de função inversa..............................................277 ― Introdução às funções trigonométricas inversas .................278 ― A inversa do seno: função arco-seno..................................279 ― A inversa do cosseno: função arco-cosseno.......................279 ― A inversa da tangente: função arco-tangente .....................282 ― A inversa da cotangente: função arco-cotangente..............283
Exercícios Suplementares ................................................................286 Respostas dos exercícios propostos ................................................288 Respostas dos exercícios suplementares.........................................316 Tabela de razões trigonométricas.....................................................327
logo, podemos escrever: tg
sen cos
Podemos, como exemplo, verificar as relações acima com os valores da tabela para os ângulos notáveis: 2
2 1 3 4 1 3 2 2 a) sen 30º cos 30º 1 2 2 4 4 4
3 sen 60º 2 b) 3 tg 60º cos 60º 1 2
c)
sen 45º cos 45º
1 tg 45º 2 2 2 2
Exercícios Resolvidos 2.4)
Calcule sen e tg , sabendo que é um ângulo agudo e que cos =
1 . 3
Solução 2
2
1º) como sen + cos = 1, temos: 2
1 8 1 sen = 1 – cos = 1 – 1 9 9 3 2
2
Assim, sen 2º) como tg
8 2 2 . 3 3
sen , temos: cos
2 2 3 2 2 tg 1 3 2.5)
Sendo sen – cos = m e um ângulo agudo, determine o produto sen · cos . Solução Elevando ambos os membros da igualdade dada ao quadrado, temos: 2
2
2
2
2
(sen – cos ) = m sen – 2sencos + cos = m ;
30
2
2
mas, sen + cos = 1; então: 2
1 – 2sencos = m 2sencos = 1 – m
2
e, finalmente
1 m2 sen · cos = 2 2.6)
Prove que: 1 1 1 sen sen cos cos tg tg 1 Solução Vamos
partir sen tg = ; cos
do
primeiro
membro
da
igualdade,
lembrando
que
1 sen2 1 cos2 cos sen 1º m sen cos sen cos cos2 sen2 (cos2 sen2 ) cos2 sen2 1 2º m 2 2 sen cos sen cos sen cos
Exercícios Propostos 2.7)
Num triângulo retângulo, um dos catetos mede 5 e a altura relativa à hipotenusa mede 3. Determine as medidas do outro cateto, da hipotenusa e dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa.
2.8)
No triângulo da figura são dados m = 3 e n = 1
Calcule a, b, c e h 2.9)
Com referência à figura do exercício anterior, sendo dados m = 5 e h = determine as medidas dos demais segmentos indicados.
5,
2.10) Ainda com referência à figura do exercício 2.8, sendo dados b = 2 e n = 3, calcule as medidas dos demais segmentos indicados.
31
2.11) Voando a uma altitude de 1000 metros, o piloto mede, em dois instantes diferentes, os ângulos segundo os quais ele avista uma árvore, como indica a figura.
Qual é a distância percorrida pelo avião entre os dois instantes considerados? Utilizar os valores tg 30º = 0,58 e tg 45º = 1,00. 2.12) Sendo 4 cm o raio da circunferência da figura, calcule o comprimento da corda AB. Dados: sen 20º = 0,34 e cos 20º = 0,94.
2.13) Calcule a medida c do lado AB do triângulo retângulo dado na figura abaixo. Dados: sen 25º = 0,42; cos 25º = 0,91; tg 25º = 0,47.
2.14) Calcule a altura do edifício representado na figura. São dados: tg 87º = 19,1; tg 58º = 1,6
32
2.15) Sendo a medida de um ângulo agudo tal que sen
2 , calcule cos e 7
tg . 2.16) Sendo a medida de um ângulo agudo tal que tg = 3, calcule sen e cos . 2.17) Prove que 2
1 1 sen tg cos 1 sen 2.18) Simplifique a expressão 6
6
4
4
2
sen x + cos x – sen x – cos x + sen x
33
4.5)
Prove que sen
2
·cos2 – cos2·sen2 = sen2 – sen2
Solução 2
2
Vamos desenvolver o 1º membro lembrando que cos = 1 – sen e 2 2 cos = 1 – sen . 2 2 2 2 2 2 2 2 sen ·cos – cos ·sen = sen ·(1 – sen ) – (1 – sen )·sen = 2 2 2 2 2 2 2 2 = sen – sen ·sen – sen + sen ·sen = sen – sen . Dê todos os valores de x no intervalo –2 x 2 tais que cosx
4.6)
3 . 2
Solução A figura ao lado auxilia a visualização do problema. Os arcos cujos cossenos 3 tem extremidades no 2 ponto P (2º quadrante) ou no ponto Q (3º quadrante) e correspondem aos valores em graus indicados. Essas medidas, expressas em radianos, são a resposta procurada. Temos 7 5 5 então x ou x ou x ou x 6 6 6
valem
4.7)
7 . 6
Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que senx
2 . 2
Solução 2 corresponde aos 2 pontos P e Q indicados na figura ao lado. Os arcos de extremidade P tem 5 expressão geral x 2k (k ) e 4 aqueles de extremidade Q tem 7 expressão geral x 2k (k ) 4 O valor sen x
4.5. SENOS DOS ARCOS DE MEDIDAS Vamos examinar um processo para o cálculo dos senos de arcos cujas medidas são da forma
3
,
66
4
,
5
,
6
,
10
etc.
n
(com n
3, inteiro). Incluem-se nestes casos
Primeiramente, observemos que, se dividirmos a circunferência em n partes iguais (n
3), dois pontos de divisão P e Q sucessivos determinam a corda PQ,
que é o lado do polígono regular inscrito de n lados. Sua medida é indicada por n. A figura 4.11 dá alguns exemplos.
a) pentágono regular (n = 5)
b) octógono regular (n = 8)
c) hexágono regular (n = 6)
d) decágono regular (n = 10)
Fig. 4.11 O ângulo P O Q é a enésima parte da circunferência e mede, 2 portanto, (fig. 4.12). Se os pontos P n e Q são marcados de modo que a
corda PQ seja perpendicular ao eixo Ox. então o arco AQ tem medida
n
e
resulta
sen (n 3, inteiro)
n
n
2 Fig. 4.12
67
Da Geometria conhecem-se as expressões dos lados dos polígonos regulares em função do raio da circunferência circunscrita. Temos, por exemplo: 3
r 3
(triângulo equilátero)
4
(quadrado)
6
r 2 r
8
r 2 2
(octógono regular)
(hexágono regular)
5 1 2
r
10
(decágono regular)
Lembrando que a circunferência trigonométrica tem raio r = 1, obtemos os valores: sen sen sen sen sen
3
4
6
8
10
3
2 4
2 6
2 8
2
3 2
2 2 1 2
2 2 2
10
2
5 1 4
Exercício Resolvido 4.8)
Calcule sen
12
.
Solução Vamos determinar inicialmente a expressão de 12 em função do raio da circunferência circunscrita. A figura acima representa um dodecágono regular inscrito na circunferência de raio r . Observe que a medida do segmento PQ é retângulo AQ
2
AA'Q
6
= r. No triângulo
podemos
escrever
A ' A MA onde AQ 12 A ' A 2r e MA r OM.
Assim, 2 12
68
2r(r OM)
2
Mas no triângulo retângulo OMQ temos OM
2
2
OQ MQ , isto é,
2
2 3r 2 2 6 2 r OM r r 4 4 2 r 3 2 2 Então, 12 2r r r (2 3 ) 2 2
e finalmente,
12
r 2 3.
Pondo r = 1, obtemos sen
12
12
2
2 3 . 2
Exercícios Propostos 4.9)
Dê o sinal de cos (– 2187º).
4.10) Dê o sinal de sen (– 3295º). 4.11) Determine o valor de cos 3465°. 4.12) Determine o valor de sen 4290º. 4.13) Dê o valor de sen 793º (utilizando a tabela que se encontra no final deste volume).
4.14) Sendo sen x
4.15) Sendo
1 m2 , determine cos x. 2
2 sen x cos x
2 , calcule sen x e cos x.
4.16) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que a) cos x
b) sen x
4.17) Prove que
2 2
1 2 4 5 cos 3 5 sen
3 5 sen 0 4 5 cos
4.18) Prove que 3 3 cos – sen = (cos – sen ) (1 + sen ·cos ) 4.19) Prove que 2 (1 + sen x + cos x) = 2(1 + sen x) (1 + cos x)
69
4.20) Prove que 2 2 2 2 2 2 sen + sen – sen ·sen + cos ·cos = 1 4.21) Simplifique a expressão 6
6
2
2
sen x + cos x + 3sen x·cos x 4.22) Calcule sen
4.23) Calcule cos
70
16
8
Exercícios Resolvidos
5.6)
Simplifique a expressão 2 2 y = (1 – sen ) (1 + cotg ) Solução 2
2
Lembrando que 1 – sen = cos e que cotg
cos , escrevemos: sen
sen2 cos2 cos2 2 y (1 sen )(1 cotg ) cos 1 cos 2 sen2 sen 2
5.7)
cos2 sen2
2
2
cotg2
Demonstre a identidade tg x tg y tg x tg y cotg x cotg y Solução
Vamos desenvolver a expressão do 1º membro: tg x tg y tg x tg y tg x tg y tg x tg y (tg x tg y) cotg x cotg y 1 tg x tg y 1 tg x tg y tg x tg y tg x tg y
tg x tg y 5.8)
2
2
Sendo cotg x = m, escreva em função de m a expressão y = cos x – sen x. Solução
Em
1º
cos2 x sen2x
lugar,
m
2
sen x
2
partindo
da
identidade
1 sen2x
donde
sen2x
cotg x
cosx , sen x
escrevemos
m2 . Desta última igualdade resulta
1
2
2
1
m2
. Além disso, temos cos x = 1 – sen x = 1 – 1 m2 1 m2 1 m 2 Sendo assim, a expressão dada fica: 2
2
y = cos x – sen x = isto é, y
5.9)
78
m2 1 m2
1 1 m2
m2 1 m2 1
Simplifique y
cotg2a 1 cotg2a
1 1 tg2a
5.21) Sendo cotg x = m, calcule cos x. 5.22) Se tg x =
2 p , calcule cos x. 1 p 2
2
5.23) Dado que 3cos x – sen x = 2, calcule tg x e cotg x. 2
2
5.24) Dado que (a – 1)sen x + (a + 1)cos x = a, calcule tg x e cotg x. 5.25) Determine os valores de m para que se tenha, simultaneamente: 2m 3 2m 1 tg x e cotg x m 3m 5.26) Determine todos os valores de x no intervalo –2 condição: a) tg x = –1 b) cotgx c)
x
2, que satisfazem a
3 3
tg x = – 3
d) cotg x 3 e) tg x = 0 5.27) Determine todos os valores de x no intervalo – condição: a) cotg x = –1 b) tg x
que satisfazem a
3
3 3 cotg x = 0
d) tg x e)
x
3 3
c) cotg x
5.28) Dê a expressão geral de todos os valores de x tais que: a) tg x = 0 b) cotg x = –1 c) tg x = 3 d) cotg x = 0 e) tg x
3 3
2
f) tg x = 1 2 g) cotg x = 3 h) tg x + cotg x + 2 = 0 5.29) Sendo A e B arcos de 1º quadrante, tais que determine tg A e tg B.
84
sen A sen B
cos A 1 e 2 cos B
2 10 , 5
5.30) Simplifique cada uma das expressões dadas abaixo: 2 2 a) y = cotg ·tg·sen + tg ·cotg ·cos b) y = sen ·cos ·tg cos (1 sen ) c) y 1 cos tg d) y = tg ·sen + cos 2 2 2 e) y = (1 + tg ) (1 + cotg ) (1 – cos ) 1 cotg f) y 1 tg g) y = 2cos – sen (cotg – tg ) h) y
i)
y
t g2 1 tg2 t g (1 tg2)2
cotg (1 cotg2)2
5.31) Prove as identidades seguintes: a) (tg + cotg ) sen ·cos = 1 b)
1 t g2 1 tg2
2 cos2 1 2
2 2
2
c) [(cotg + cos ) – (cotg – cos ) ] = 16(cotg
2 )
– cos
85
6.2)
Prove que 4 2 4 2 cossec – cossec = cotg + cotg Solução 2
2
Lembrando que cossec = 1 + cotg , podemos escrever 4 2 2 2 cossec – cossec = cossec ·[cossec – 1] = 2 2 = (1 + cotg ) [(1 + cotg ) – 1] = 2 2 4 2 = (1 + cotg )·cotg = cotg + cotg 6.3)
Prove que sec x tg x sec x tg x 2(sec x cossec x) cossec x cotg x cossec x cotg x SoIução Partindo da expressão do 1º membro: sec x tg x sec x tg x cossec x cotg x cossec x cotg x
(sec x tg x)(cossec x cotg x) (sec x tg x)(cossec x cotg x) (cossec x cotg x)(cossec x cotg x)
O denominador desta fração é igual a 2
2
2
2
cossec x – cotg x = (1 + cotg x) – cotg x = 1 Podemos então desenvolver o numerador: sec x·cossec x – sec x·cotg x + tg x·cossec x – tg x·cotg x – sec x·cossec x – sec x·cotg x + tg x·cosssec x + tg x·cotg x = 2(tg x ·cossec x – sec x·cotg x) = cos x sen x 1 1 1 1 2 2 cos x sen x 2(sec x cossec x) cos x sen x cos x sen x 6.4)
Sendo sec – tg = a (a 0), calcule sen Solução Podemos escrever
1 sen a cos cos
donde a·cos = 1 – sen Elevando ao quadrado, resulta 2
2
2
a cos = (1 – sen ) 2
2
2
isto é, a (1 – sen ) = (1 – sen ) 2 2 ou a (1 – sen ) (1 + sen ) – (1 – sen ) = 0 2 e (1 – sen ) [a (1 + sen ) – (1 – sen )] = 0 Há dois casos a considerar: 1) 1 – sen = 0, donde sen = 1. Esta resposta é inaceitável, pois teríamos cos = 0 e assim não existiriam sec e tg . 2
2) a (1 + sen) – (1 – sen ) = 0
92
Desta equação tiramos sen
1 a2 1 a2
Exercícios Propostos 6.5)
Dado sen x = –0,60, calcule as demais razões trigonométricas de x.
6.6)
Dado tg x
6.7)
Dado sec x
5 , calcule as demais razões trigonométricas de x. 2
6.8)
Dado sec x
t 2 1 (t 0) , calcule as demais razões trigonométricas de x.
6.9)
Sendo cossec x = m, calcule tg x.
7 , calcule as demais razões trigonométricas de x. 3
2
6.10) Determine os valores de p para os quais é possível a igualdade sec x = 2p – 1. 6.11) Determine m para que se tenha, simultaneamente: tg x = 3m + 3 e sec x = m + 2. 6.12) Sendo m e n números positivos tais que cossec x
mn m(m n)
, determine
tg x. 6.13) Simplifique as expressões: 1 sen a) y sec tg 4
2
4
b) y = (sec – sec )·cos cossec cotg cossec cotg c) y cossec cotg cossec cotg d) y = (1 – cos ) (cosssec + cotg ) 6.14) Prove cada uma das identidades seguintes: 2 2 2 a) (1 – cotg x) + (1 – tg x) = (sec x – cossec x) sec x cossec x tg x cotg x b) tg x cotg x sec x cossec x
93
Exercícios Suplementares II.1)
Utilizando a tabela, dê o valor de: a) sen 3973º b) cos 415º c) tg 3297º 11 d) cotg 2 142 e) sec 3 19 f) cossec 3
II.2)
Calcule sen x e cos x, sendo: 2 2 8sen x + 2cos x = 5sen x + 1
II.3)
Calcule sen x e cos x, sendo sen x·cos x =
II.4)
Calcule sen x e cos x, sendo: 3 3 2(sen x + cos x) = sen x + cos x
II.5)
Calcule sen x e cos x, sendo: sen x + acos x = a
II.6)
Calcule sen x e cos x, sendo (m + 1)sen x + (m – 1)cos x = m + 1 (m 1)
2 5 9
1 tg2
2
–1=
II.7)
Prove que 2cos
II.8)
Prove que: 2 2 2 2 1 + (1 + 2tg x)sen x = 2tg x + cos x
II.9)
Sendo cos + cos = a e sen + sen = b, calcule cos ·cos + sen ·sen .
II.10) Prove que: 4 4 tg x cotg x 4 tg x cotg x
II.11) Prove que
II.12) Sendo tg
1 tg2
2 sen x cos x 2 sen x cos x
cos4 x sen4 x 2
sec x b
= a
2
b
2
cos2 x 2 sec x
, simplifique:
y = sen (1 + tg ) + cos (1 + cotg ) – sec
119
II.13) Simplifique: 2 y = cotg x(tg x – sen x)(sec x + 1) II.14) Simplifique y
1 1 cos
1 1 cos
sendo de 1º quadrante. II.15) Simplifique y
II.16) Sendo senx
(tg x cotg x)2 sec 2 x cossec 2 x a
e cos x > 0, calcule as demais razões trigonométricas
ab
de x. II.17) Sendo cos x =
a2 b2 2
a b trigonométricas de x.
2
com a > b > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões
a b , com a > b > 0 e cos x < 0, calcule as demais razões ab trigonométricas de x.
II.18) Sendo tg x
II.19) Sendo cotg x
mn
2 mn trigonométricas de x.
II.20) Sendo cotg
, com m > n > 0 e sen x > 0, calcule as demais razões
+ cossec = m (m 0), calcule cos .
II.21) Determine m para que se tenha simultaneamente cos x
sen x
m3 5
e
2m 4 . 5
II.22) Determine m para que se tenha simultaneamente cotg x = 3 m + 1 e cossec x = 2m + 2 . 3
3
II.23) Sendo sen x + cos x = a, calcule sen x + cos x. 3
3
II.24) Sendo sen x + cos x = a, calcule tg x + cotg x. II.25) Prove que: 2 2 3 3 tg ·sec + sen (sec + cos ) = sec – cos II.26) Utilizando redução ao 1º quadrante, calcule sen A + cos 2A + tg 3 A, sendo 535 A 12
120
3 , no conjunto-universo U = [– ; ] 3 2
II.27) Resolva a equação cos 2x
II.28) Resolva a equação equação tg 3x = –1, no conjunto-universo U =
II.29) Sendo x = arc sen
II.30) Sendo x = arc tg
.
1 , calcule tg x. 5
1 , calcule sen x. 2
II.31) Resolva a equação arc sen
3 x 1 = arc cos x
II.32) Resolva a equação arc cos
2 13 13
1 arc tg x 2
II.33) Calcule y = sen (arc tg 2) II.34) Calcule y = sec (arc cotg a) II.35) Resolva a equação tg x + 3 cotg x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2 ]. 2
II.36) Resolva a equação tg x = 2sec x – 1 no conjunto-universo U = [– ; ]. 2
II.37) Resolva a equação 8cos x + sec x = 0 no conjunto-universo U =
.
II.38) II.38) Resol Resolva va a equaçã equação o 4sen 4sen x cos cos x + 3 = 0 no conjun conjuntoto-uni univer verso so U = [0; [0; 2 ]. 2
2
II.39) Resolva a equação sec x + cossec x = 4 no conjunto-universo U = [0; 2 ]. II.40) Resolva a equação
2 2
cos x
3 2
cotg x
7 no conjunto-universo U = .
121
cos cos cos sen sen 4 1 3 2 2 4 6 2 4 6 2 5 3 5 3 15 15 15
9.2)
Calcule cos 105º, utilizando os senos e cossenos de 60º e 45º. Solução Como 105º = 60º + 45º, temos: cos 105º = cos(60º + 45º) = cos 60º·cos 45º – sen 60º·sen 45º = 1 2 3 2 2 6 donde cos 105º 2 2 2 2 4
9.3)
Demonstre a identidade cos(a + b)·cos(a – b) = cos2a – sen2b Solução 1º membro membro = cos(a + b)·cos(a – b) = = (cos a·cos b – sen a·sen b) · (cos a·cos b + sen a·sen b) = = cos2a·cos2b – sen2a·sen2b = cos2a·(1 – sen2b) – (1 – cos2a)·sen2b = = cos2a – cos2a·sen2b – sen2b + cos2a·sen2b = cos2a – sen2b = membrro = 2º memb
9.4. ARCOS (OU ÂNGULOS) COMPLEMENTARES
(ou igual a um côngruo 2 5 11 complementares ; (30º; 60º), ; , ; de ) são chamados complementares; são 2 8 1 2 12 8 exemplos de pares de arcos complementares. Assim, se é a medida de um arco, é a medida de um seu complementar. 2 Dois arcos cujas medidas tem soma igual a
Propriedade: se dois arcos são complementares, o cosseno de um deles é igual ao ao seno do out ro , isto é:
cos sen 2 sen cos 2 A verificação da primeira igualdade é simples: basta desenvolver o cosseno da diferença; assim:
128
cos cos cos sen sen 2 2 2 como cos 0 e sen 1, ve vem : 2 2 cos sen 2 Para verificarmos a segunda relação efetuamos uma mudança de variável; assim, na igualdade (já verificada) cos x sen x 2 x ; logo fazemos a substituição x , da qual resulta 2 2 2 2 cos sen . 2 Interpretação Geométrica Se P e Q são, respectivamente, as extremidades dos arcos de medida e (fig. 9.5), é imediato que AÔP = QÔB (medida ). 2
Fig. 9.5 Assim, a bissetriz b dos quadrantes ímpares contém a bissetriz OD do triângulo isósceles POQ. Portanto, P e Q são simétricos em relação a b. b. Podemos então concluir que arcos complementares tem extremidades simétricas sim étricas em relação à bissetriz biss etriz dos quadr antes ímpares ímpares.. Podemos agora deduzir facilmente as relações entre as demais razões trigonométricas: sen 2 cos cotg tg 2 cos sen 2
129
1 1 cotg tg 2 tg cotg 2 1 1 sec cossec 2 sen cos 2 1 1 cossec sec 2 sen cos 2 Temos, assim, a seguinte tabela de relações:
sen cos 2
cos sen 2
tg cotg 2
cotg tg 2
sec cossec 2
cossec sec 2
Exercícios Resolvidos 9.4)
Simplifique a expressão: sen 10º cos 50º tg 65º y cos 80º sen 40º cotg 25º Solução Usando as fórmulas de mudança de sinal, vem: sen 10º cos 50º tg 65º y cos 80º sen 40º cotg 25º Notando, agora, que 10º + 80º = 90º, 50º + 40º = 90º e 65º + 25º = 90º, as relações entre arcos complementares nos permitem escrever: sen 10º cos 50º tg 65º y sen 10º cos 50º tg 65º logo, y = –1
9.5)
130
Sendo x um arco qualquer, calcule o valor da expressão y sen2 x sen2 x 6 3
Solução Basta notar que
6 x 3 x 6 3 2; portanto, sen x cos x ; assim 3 6 y sen2 x sen 2 x sen2 x cos2 x 6 3 6 6 logo, y = 1 9.6)
Sendo e dois arcos complementares tais que sen – sen = m, calcule o produto sen ·sen Solução Temos sen = cos ; assim, a diferença dada fica sen – cos = m Elevando ao quadrado ambos os membros, vem sen2 – 2sen ·cos + cos2 = m2 ou 1 – 2sen ·cos = m2 e daí 1 m2 sen cos 2 Então 1 m2 sen sen 2
9.7)
Calcule o valor da expressão y = sen 41º · sen 42º · sen 43º · sen 44º · sen 45º · sec 46º · sec 47º · sec 48º · sec 49º Solução Notando que 41º + 49º = 90º, temos que sec 49º = cossec 41º
1 ; sen 41º
portanto, sen 41º · sec 49º = 1. Pelo mesmo motivo, sen 42º · sec 48º = 1 sen 43º · sec 47º = 1 sen 44º · sec 46º = 1 Assim, a expressão dada se reduz a y = sen 45º 2 logo, y 2
131
9.7. RESUMO 1º) Mudança de sinal do arco (ou ângulo ) sen
sen
tg tg sec
cos
cos
cotg
sec
cotg
cossec
cossec
2º) Arcos (ou ângul os) compl ementares
cos 2
sen 2
sen
cos
cotg 2
tg 2
tg
cotg
cossec 2
sec
sec 2
cossec
3º) Soma e diferença de arcos (ou ângulo s) sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b tg a b
tg a tg b 1 tg a tg b
tg a b
tg a tg b 1 tg a tg b
Exercícios Propostos 9.14) Dado que sen
3 5
,
2
, determine:
a) sen (–) b) cos (–) c) tg (–) 9.15) Sendo sen (x – y) = a, calcule a para que se tenha 2
3·sen (y – x) + 2cos (y – x) = 0. Resolva, em seguida, a equação sen (x – y) = a, para x – y no 1º quadrante. 9.16) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determine seu valor numérico
136
a) y = cos 3x·cos x + sen3x·sen x b) y = cos 65º·cos 25º – sen 65º·sen 25º c) y = cos 70º·cos 10º + sen 70º·sen 10º 9.17) Calcule cos 75º e cos 15º, usando, para ambos, as fórmulas de cos(a + b) ou cos(a – b). 9.18) Se sen
2 3 2
,
, calcule cos x . 4
9.19) Calcule cos arc sen
9.20) Dado que sec
3,
3 5
1 arc sen . 2
3 2
2 , determine:
2 b) cos 2 c) tg 2 a) sen
x a, determine: 4 a) cos x 4 b) sen x 4
9.21) Sendo cos
x m , determine sen x . 6 3
9.22) Sendo cos
9.23) Simplifique as expressões
x sen x cos x 2 2 a) y 1 tg x cotg x 2 x cos a b tg 12 b) y 5 x cos b a cotg 12 sen x cos
9.24) Calcule o valor da expressão: y = tg 1º · tg 2º · tg 3º · ... · tg 88º · tg 89º
137
9.25) Calcule o valor da expressão: y = 2 · cos 26º · cos 27º · cos 28º · cos 29º · cos 30º · cossec 61º · cossec 62º · cossec 63º · cossec 64º 9.26) Simplifique as expressões abaixo e, se possível, determine seu valor numérico: a) y = sen 2a·cos a – sen a·cos 2a 4 4 b) y = sen ·cos + sen ·cos 5 5 5 5 9.27) Calcule sen 105º.
3 24 9.28) Calcule sen arc sen arc tg . 2 7 2
2
9.29) Mostre que sen (a + b)·sen (a – b) = cos b – cos a. 9.30) Calcule tg 15º. 9.31) Supondo satisfeitas as condições de existência, mostre que:
x cos x sen x 4 cos x sen x
tg
9.32) Determine tg x, sabendo que:
tg x
9.33) Sendo
4
x 2 tg 4 4
, mostre que:
1 tg 1 tg 2 9.34) Mostre que, se x + y + z =
, então 2 tg x·tg y + tg x·tg z + tg y·tg z = 1 2
9.35) Se cotg e cotg são raízes da equação x + bx – 1 = 0, calcule cotg( + ), sabendo que b 0. 9.36) São dadas, a seguir, conjuntos-solução: 2 E1: x – sx + p = 0, 2 E2: x – s1x + p1 = 0, 2 E3: x – s2x + p2 = 0;
três equações do 2º grau com seus respectivos S1 = {sen (a + b); cos (a – b)} S2 = {sen a; cos a} S3 = {sen b; cos b}
Mostre que s = s 1·s2 e que p = p1 + p2
138
9.44) Simplifique as expressões: a) y
3 cotg 2 2 cos 2 tg
sen 2 tg
3 3 sen cos 2 2 b) y cos cos 2 sen sen 2 2 sen cos
9.45) Se tg 35º = a, calcule: y
tg 215º tg 125º tg 235º tg 325º
9.46) Simplifique a expressão: 9 13 sen sen cos 7 2 2 9.47) Calcule a expressão: cos x 1620º tg x 630º 5 y sen 990º , sabendo que sen x 5 sen 900º x 9.48) Avalie a expressão: E = sen 0º + sen 1º + sen 2º + ... + sen 360º 9.49) Avalie a expressão: E = cos 20º + cos 40º + cos 60º + ... + cos 180º 9.50) Mostre que, se x, y e z são ângulos internos de um triângulo não retângulo, então tg x, tg y e tg z tem sua soma igual ao seu produto.
147
11.6. RESUMO 1º) Fórmulas de transfor mação em prod uto sen p
sen q 2 sen
pq pq cos 2 2
sen p
sen q 2 sen
pq pq cos 2 2
cos p
cos q 2 cos
pq pq cos 2 2
cos p
cos q 2 sen tg p
tg p
tg q tg q
pq pq sen 2 2
sen p q cos p cos q sen p q cos p cos q
2º) Fórmulas de reversão sen a cos b
1 sen a b sen a b 2
cos a cos b
1 cos a b cos a b 2
sen a sen b
1 cos a b cos a b 2
Exercícios Propostos 11.11) Transforme em produto as expressões: a) sen 6x + sen 2x c) sen x – sen 3x b) cos 7x + cos 3x d) cos 3x – cos 9x 11.12) Transforme em produto as expressões: a) 1 – 2sen 2x c) sen x + cos x b) sen 2x + 2sen x d) sen 3x – cos x 11.13) Transforme em produto as expressões: a) sen 11x + sen 3x + sen 15x – sen x b) cos 5x + cos x + sen 9x + sen 3x 11.14) Simplifique a expressão: cos 9x cos 7x y sen 9x sen 7x
166
11.15) Simplifique a expressão: sen 100º sen 20º y cos 100º cos 20º 11.16) Sendo a b y
, calcule o valor de: 3 sen a sen b cos b cos a
11.17) Utilizando as fórmulas de transformação em produto, demonstre que: 2 2 sen a – sen b = sen (a + b)·sen (a – b) 2
2
11.18) Transforme em produto a expressão sen 3x – cos x 11.19) Demonstre que: tg 3x – tg x = 2sen x·sec 3x 11.20) Demonstre que: a cotg a tg cossec a 2 11.21) Adotando cos 10º = 0,98, calcule o valor de tg 10º + tg 40º 11.22) Sabendo que sen a tg x
xy 2
0 e que:
b tg y a b tg
xy , prove que a cos y = b cos x 2
11.23) Transforme os produtos abaixo em somas ou diferenças: a) sen 40º·cos 12º b) 2cos 5x·cos x c) 2sen 3x·sen 2x 11.24) Calcule o valor das expressões: 5 a) y sen cos 24 24 7 b) y cos cos 12 12 3 9 c) y 2 sen sen 24 24 11.25) Simplifique a expressão: y = sen x (2cos 2x + 2cos 4x + 2cos 6x + 1) 11.26) Sendo cos 10º = a, calcule o valor da expressão: y = 8cos 65º·cos 25º·cos 145º·cos 125º
167
Exercícios Supl ementares 1 2
III.1)
Resolva a equação sen( x)
III.2)
Simplifique a expressão: cos 3x cos x sen 3x sen x y 1 2 cos 2x 1 2 cos 2x
III.3)
Calcule sen 285º, conhecidos os senos e cossenos de 30º e 45º.
III.4)
Sendo
III.5)
Dados sen a
III.6)
Mostre que cotg a b
III.7)
Sendo a b
III.8)
Simplifique a expressão:
e ângulos agudos de um triângulo retângulo, verifique que: sen 2 cos 3
2 , 0a e sen b 3 2 sen (a – b) + cos (a + b).
5 , 0 5
b
2
, calcule o valor de
cotga cotgb 1 cotga cotgb
, calcule o valor de y 1 3 cotg a 1 3 cotg b . 3
tg 2 2 y 3 2 1 t g 2 cotg 2 cotg
III.9)
Calcule a expressão:
cos arc sen b 2 y 3 arc sen a sen arc cos b cos 2 2 sen arc sen a
III.10) Se A, B e C são ângulos internos de um triângulo, mostre que: cotg A·cotg B + cotg A·cotg C + cotg B·cotg C = 1
1 3
3 4
III.11) Calcule sen 2 arc cos
III.12) Calcule cos 4 arc sen
168
1 arc tg 2 2
III.13) Calcule tg
III.14) Verifique as identidades: a) 2sen – sec = sec ·(sen 2 – 1) b) 2cos – sec = sec ·cos 2 III.15) Calcule cos 15º de dois modos: 1º) utilizando o fato 15º = 45º – 30º 30º 2º) utilizando o fato 15º = 2
*, calcule o valor de sen 3n cos 3n y sen n cos n
III.16) Sendo n
III.17) Sabendo que sen 2x = m, calcule o valor de: y
sen2 x cos2 x 4 4
III.18) Simplifique a expressão y
III.19) Sendo x y
4
, calcule y
sen 3x sen x 4 sen x
cos x cos y sen x sen y
III.20) Simplifique a expressão: sen 40º sen 10º y cos 80º cos 50º III.21) Simplifique a expressão: cos cos 7 y 2 sen sen 5 sen2
2
2
III.22) Transforme em produto a expressão cos a – cos b. III.23) Transforme em produto a expressão sen a + sen b + sen c, sabendo que a, b e c são ângulos internos de um triângulo. III.24) Transforme em produto a expressão: sen a b tg a tg b sen a sen b III.25) Calcule o valor de y = tg 9º – tg 27º – tg 63º + tg 81º
169
Obtemos então y k , ou seja, x k 4 2 donde x 2k 2 S x | x 2k k 2 12.2. EQUAÇÕES CLÁSSICAS Denominamos equações clássicas certos tipos de equações em cuja resolução se utilizam artifícios especiais. Analisaremos aqui os três tipos mais importantes, com seus métodos de resolução. 12.3. 1ª EQUAÇÃO CLÁSSICA Trata-se da equação asen x + bcos x = c (ab 0) Há dois métodos principais. O primeiro, que consiste em colocar sen x e cos x x em função de tg t , deve ser utilizado de preferência quando os coeficientes são 2 literais e se impõe uma discussão. O segundo, mais indicado nos problemas numéricos, utiliza o ângulo auxiliar . 1º método x Conhecemos as expressões de sen x e cos x em função de tg t : 2 2t 1 t2 sen x e cos x 1 t2 1 t2 Com esta substituição, a equação clássica fica 2 2 at b 1 t c 1 t2 1 t2 ou seja, após as simplificações: (b + c)t2 – 2at + c – b = 0
(I)
x Esta equação (I) permite calcular t e, em seguida, tendo-se tg t , 2 podemos calcular x: x = 2 arc tg t + 2k . Supondo b + c 0, a equação (I) admitirá raízes se e somente se
4a2 4 b c c b 0 isto é, se
182
a2 + b2 c2 x como incógnita auxiliar, corre-se o 2 x risco de perder a solução x = + 2k , que corresponderia à situação em que tg 2 não existe. Verifiquemos em que caso isto aconteceria: se x = + 2k for solução, teremos, para esse valor de x, sen x = 0 e cos x = –1, de modo que na equação a sen x + b cos x = c, obteríamos b + c = 0.
Note-se, porém, que, adotando-se tg
Conclusão: se b + c = 0, teremos a solução x = + 2k e, além desta, a c b solução t que se obtém de (I). Se b + c 0, teremos apenas as soluções 2a dadas por (I). Exercícios Resolvidos 12.13) Resolva a equação 2sen x + 3cos x = 1 Solução Temos a = 2, b = 3 e c = 1 x 2t 1 t2 Pondo tg t ,obtemos sen x e cosx . A equação fica 2 1 t2 1 t2 3 1 t 2 4t 1 1 t2 1 t2 isto é, 2t2 – 2t – 1 = 0. 1 3 Dai resulta t , donde 2 1 3 x arc tg k 2 2
1 3 e, finalmente, x = 2 arc tg 2k. 2 Como b + c = 4 0, segue que a solução x 2k não satisfaz. Sendo assim, 1 3 S x | x 2 arc tg 2k k 2 12.14) Resolva a equação 3 sen x cos x 1
183
Solução x 2t Temos a 3 , b = –1 e c = 1. Pondo tg t , vem sen x e 2 1 t2 1 t2 cosx . 1 t2 A equação fica 2 3t 1 t 2 1 1 t2 1 t2 x 3 isto é, t . Daí resulta k 2 6 3 donde x 2k . 3 Neste caso, temos b + c = 0; logo, os valores de x dados por x = + 2k também constituem solução , como se pode verificar diretamente, pondo sen x = 0 e cos x = –1 na equação dada. Temos então S x | x 2k ou x 2k k 3
12.15) Resolva e discuta a equação msen x + cos x + 3m – 1 = 0. Solução Temos a = m, b = 1 e c = 1 – 3m. Há dois aspectos a observar: primeiramente, se m = 0 ou m 0 e, em segundo lugar, se b + c = 0 ou 2 b + c 0. Como b + c = 2 – 3m teremos b + c = 0 para m . Vamos 3 então analisar separadamente os três casos: 1º) m = 0 2 2º) m 3 2 3º) m 0 e m 3 1º caso: suponhamos m = 0. A equação fica cos x = 1, donde resulta S x | x 2k k
2 2 . A equação fica sen x + cos x + 1 = 0. 3 3 x 2t 1 t2 4t 1 t2 e cos x , obtemos 1 0 Pondo tg t,sen x 2 1 t2 1 t2 3 1 t 2 1 t 2 2º caso: suponhamos m
3 x 3 isto é, t . Resulta = arc tg k . 2 2 2 3 Temos então x 2 arc tg 2k e ainda x 2k . Assim, 2
184
3 S x | x 2 arc tg 2k ou x 2k k 2 3º caso: suponhamos m 0 e m
2 x 2t . Pondo tg t , sen x e 3 2 1 t2
1 t2 2m t 1 t 2 cos x , obtemos 3m 1 0 1 t2 1 t2 1 t2 isto é (3m – 2)t2 + 2mt + 3m = 0. A equação admitirá solução se e somente se = 4m2 – 4(3m – 2)·3m 0, 3 ou seja, 0 m 4 2 Como m 0 e m , devemos ter 3
2 2 3 ou m 3 3 4 Se t1 e t2 são as raízes desta equação do 2º grau, escrevemos 0m
S x | x 2 arc tg t1 2k ou x 2 arc tg t 2 2k k
2º método: ângulo auxiliar Dada a equação asen x + bcos x = c (ab 0), podemos escrever b c sen x cos x a a b Seja arc tg (valor que pode ser obtido, por exemplo, por meio de uma a tabela). Podemos fazer a substituição b sen tg a cos e a equação fica sen c cos x sen x cos a c donde sen x cos sen cos x cos a isto é, c sen x cos a Esta última é uma equação imediata que fornece os valores de x. Haverá soluções desde que seja satisfeita a condição c 1 cos 1 a
185
c2 Note que esta condição se escreve 2 cos2 1 a 1 1 1 a2 2 e como cos b 2 a2 b 2 sec 2 1 tg2 1 2 a c2 a2 resulta 2 2 2 1 a a b
e finalmente a2 b2 c 2 Esta condição confirma aquela que encontramos no 1º método.
Exercícios Resolvidos 12.16) Resolva a equação sen x 3 cos x 1 . Solução
Façamos arc tg 3 . Assim, podemos substituir 3 por 3 sen 3 tg 3 cos 3 A equação fica sen 3 cos x 1 sen x cos 3 sen x cos sen cos x cos ou 3 3 3 1 e finalmente sen x . 3 2 Observe a figura. Para o ponto P, temos x 2k 3 6 5 Donde x 2k e para o ponto Q temos x 2k 6 3 6 Donde x 2k . 2 Assim,
186
S x | x 2k ou x 2k k 6 2 12.17) Resolva a equação sen x – 2·cos x = 1 Solução Façamos arc tg 2. Assim, 2 tg
sen cos
sen cos x 1 cos ou seja sen x·cos – sen ·cos x = cos e a equação fica sen x
sen (x – ) = cos Escrevemos ainda
sen x sen 2 sen x sen 0 2 x x 2 sen cos 0 2 4 2 4 Há 2 casos a considerar: I)
x sen 0 2 4
x II) cos 0 2 4 x De I) vem k , donde x 2k . 2 4 2
187
De II) vem
x k , donde 2 4 2 x 2 2k . 2
Assim, S x | x 2k ou x 2 arc tg2 2k k 2 2 12.4. 2ª EQUAÇÃO CLÁSSICA Trata-se da equação asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d, abc 0 Há dois métodos principais. O primeiro consiste em colocar a expressão em função de tg x = r e é preferível nos casos de coeficientes literais, que exigem discussão. O segundo, mais indicado nos problemas numéricos, utiliza o arco dobro para recair na 1ª equação clássica. 1º método Vamos dividir ambos os membros da equação por cos2x. Obtemos d a tg2 x b tgx c cos2 x 1 e, lembrando que sec 2 x 1 tg2 x , 2 cos x vem atg2x + btg x + c = d(1 + tg2x) ou seja: (a d)r 2 br c d 0 (I) Esta equação (I) permite calcular r para, em seguida, recairmos na equação imediata tg x = r. Note, entretanto, que, ao dividirmos ambos os membros por cos2x, podemos perder a solução x k , que corresponderia ao caso cos x = 0. 2 Verifiquemos em que situação isto ocorreria. Se x k for solução, teremos, 2 para este valor de x, cos x = 0 e sen x = ± 1, de modo que na equação asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d obteríamos a = d. Conclusão: se a = d, teremos a solução x k e, além desta, a solução 2 dc r que se obtém de (I). Se a d, teremos apenas as soluções dadas por (I). b
188
Exercício Resolvido 12.18) Resolva a equação 3cos2x + 4sen x·cos x – sen2x = 2 Solução
k não 2 constitui solução. Podemos então supor cos x 0 e dividir ambos os membros da equação por cos2x. Obtemos 2 3 4 tg x tg2x cos2 x 1 e como sec 2 x 1 tg2 x 2 cos x resulta 3 + 4tg x – tg2x = 2(1 + tg2x) ou seja: 3tg2x – 4tg x – 1 = 0 2 7 Dai vem tg x e assim 3 2 7 S x | x arc tg k k 3 Temos a = –1, b = 4, c = 3 e d = 2. Como a d, é claro que x
2º método: arco do bro Conhecemos as identidades 1 sen2 x 1 cos 2x 2 1 cos2 x 1 cos 2x 2 1 sen x cos x sen 2x 2 Substituindo estas expressões na equação asen2x + bsen x·cos x + c cos2x = d, obtemos a b c 1 cos 2x sen 2x 1 cos 2x d 2 2 2 Donde bsen 2x + (c – a) cos 2x = 2d – a – c Esta é a 1ª equação clássica, cuja resolução já examinamos.
Exercício Resolvido 12.19) Resolva a equação 3 sen2 x 2 sen x cos x 3 cos2 x 2
189
Solução Façamos a substituição em função do arco 2x: 3 3 1 cos 2x sen 2x 1 cos 2x 2 2 2 Donde sen 2x 3 cos 2x 2 sen sen 3 , a equação fica sen 2x 3 cos 2x 2 Pondo 3 tg 3 cos cos 3 3 ou sen 2x cos sen cos 2x 2 cos 3 3 3 2 e então sen 2x 3 2 Observe a figura. Para o ponto P, temos 2x 2k , ou seja, 3 4 5 3 x k e para o ponto Q temos 2x 2k , ou seja, x k . 24 3 4 24 Assim,
5 k k S x | x k ou x 24 24 12.5. 3ª EQUAÇÃO CLÁSSICA Trata-se da equação a sen x cos x b sen x cos x c isto é, uma equação que se exprime em função da soma sen x + cos x e do produto sen x cos x. Há dois métodos principais. O primeiro baseia-se na mudança de variável sen x + cos x = z
190
O segundo utiliza a mudança de variável x y 4 1º método Pondo sen x + cos x = z e elevando esta expressão ao quadrado, obtemos sen2 x + 2 sen x cos x + cos 2 x = z2 donde z2 1 sen x cos x 2 Substituindo na equação dada, vem z2 1 az b c 2 ou seja: bz2 2az b 2c 0 (I) Uma vez calculado z nesta equação (I), recai-se na equação sen x + cos x = z. Esta pode ser resolvida por transformação em produto, escrevendo-se
sen x cos x sen x sen x 2 sen cos x 2 cos x 4 2 4 4 Resulta então a equação imediata 2 cos x z 4 É claro que só são aceitáveis os valores de z dados em (I) tais que 2z 2 Exercício Resolvido 12.20) Resolva a equação sen x + cos x + 2 2 sen x cos x = 0 Solução Pondo sen x + cos x = z e z2 1 sen x cos x = , a equação fica 2 z 2 z2 1 0 ou seja: 2 z2 z 2 0 Daí obtemos z
2 ou z 2 . 2
191
2 2 , vem sen x + cos x = 2 2 2 ou seja, 2 cos x 4 2 1 e finalmente cos x 4 2 Para z
Temos então x
2k e x 2k 4 3 4 3
Para z 2 vem sen x + cos x = 2 , ou seja,
2 cos x 2 e 4
finalmente cos x 1 . Temos então x 2k e 4 4 5 x 2k 4 Assim, 5 2k k S x | x 2k ou x 4 3 4 2º método
y , obtemos 4 2 sen x sen y cos y sen y 4 2 2 cos x cos y cos y sen y 4 2 Assim, sen x cos x 2 cos y 1 1 e sen x·cos x = (cos2y – sen2y) = cos2y – 2 2 Substituindo estas expressões na equação a(sen x + cos x) + bsen x·cos x = c obtemos 1 a 2 cos y b cos2 y c 2 b ou seja: bcos2y + a 2 cos y – c = 0 2 donde se calcula cos y. Pondo x
192
Exercícios Resolvidos 12.21) Resolva a equação sec x + cossec x = 2 2 Solução Escrevemos
1 1 2 2 cos x sen x
donde, sen x + cos x = 2 2 sen x cos x É, portanto, a 3ª equação clássica. Façamos x
y , obtendo (como 4
explicado na teoria acima) sen x cos x 2 cos y e sen x cos x cos2 y
1 2
1 A equação fica 2 cos y 2 2 cos2 y 2 2 donde 2 cos y – cos y – 1 = 0. 1 Aqui obtemos cos y = 1 ou cos y . Para cos y = 1 vem y = 2 k , donde 2 1 2 2 x 2k . Para cos y = vem y 2k, donde x 2k . 4 2 3 4 3 É imediato que estes valores satisfazem as condições de existência de sec x e cossec x. Assim, 2 S x | x 2k ou x 2k k 4 4 3 12.22) Resolva a equação sen3 x + cos3 x = 1. Solução Fatorando o 1º membro através da identidade a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 – ab), vem (sen x + cos x) (sen2x + cos2x – sen x cos x) = 1 ou (sen x + cos x)(1 – sen x cos x) = 1 z2 1 Pondo sen x + cos x = z e sen x cos x , a equação fica 2 z2 1 z 1 1 2 3 Isto é, z – 3z + 2 = 0 A expressão do 1º membro, fatorada, resulta (z – 1)2(z + 2). Assim, temos z = 1 ou z = –2. Somente o valor z = 1 satisfaz a condição 2 z 2 . Recaímos então na equação sen x + cos x = 1, donde
193
2 2 cos x 1 ou cos x 4 4 2
2k e finalmente 4 4 x 2k ou x 2k. Assim, 2 S x | x 2k ou x 2k k 2
Portanto, x
12.6. EQUAÇÕES QUE ENVOLVEM AS RELAÇÕES INVERSAS Daremos neste item alguns exemplos de equações que envolvem as notações arc sen x, arc cos x, arc tg x e arc cotg x. A variedade dos exercícios deste tipo é muito grande, sendo portanto impossível estabelecer uma teoria geral. Os exercícios resolvidos a seguir poderão sugerir alguns dos métodos mais comuns. Exercícios Resolvidos 12.23) Resolva a equação arc tg x + arc tg (1 – x) = 2 arc tg x x 2 Solução Indiquemos
= arc tg x, donde tg = x e 2 2 = arc tg (1 – x), donde tg = 1 – x e 2 2 = arc tg x x 2 , donde tg = x x 2 e 2 2 A equação dada fica 2 e podemos então escrever tg tg 2 tg tg 2 tg 1 tg tg 1 tg2 ou ainda x 1 x 2 x x2 1 x 1 x 1 x x 2 2
Nesta equação, o valor de x pode ser calculado. Obtemos 1 1 x e, assim, S 2 2
194
12.24) Resolva a equação arc sen 2x = arc sen x 3 + arc sen x Solução Indiquemos
= arc sen 2x, donde sen = 2x e 2 2 = arc sen x 3 , donde sen = x 3 e 2 2 = arc sen x, donde sen = x e 2 2 A equação dada fica e, em seguida, escrevemos sen sen sen sen cos sen cos Calculemos cos e cos . Como sen x 3, obtemos cos2 1 sen2 1 3x2 e, assim, cos 1 3x 2 . Mas , donde se conclui que cos não é negativo. Portanto, 2 2 cos 1 3x 2 .
Como sen = x, obtemos cos2 = 1 – sen2 = 1 – x2 e sendo , 2 2 vem cos 1 x 2 . Com isto, a equação fica 2x x 3 1 x2 x 1 3x 2 1 onde se calculam os valores de x. Obtemos x 0 ou x . 2
Discussão Sendo 2x = sen , devemos ter 1 2x 1 , isto é, 1 1 x 2 2 Sendo x 3 sen , devemos ter 1 x 3 1 , isto é, 3 3 x 3 3 Sendo x = sen , devemos ter 1 x 1 . Nota-se que os três valores encontrados para x satisfazem estas três condições. Podemos então escrever 1 1 S 0; ; 2 2
12.25) Resolva a equação arc sen x + arc sen (1 – x) = arc cos x
195
Solução Indiquemos
2 2 arc sen 1 x , donde sen 1 x e 2 2 arc cos x, donde cos x e 0 A equação dada fica e, em seguida, escrevemos cos cos cos cos sen sen cos Calculemos cos e cos . Como sen x e , vem 2 2 cos 1 x 2 . Como sen 1 x e , vem 2 2 2 cos2 1 sen2 1 1 x 2x x 2 e então arc sen x, donde sen x e
cos 2x x 2 . Com isto, a equação fica
1 x2 2x x2 x 1 x x onde se calculam os valores de x. Obtemos x = 0 ou x
1 ou x 2. O 2
valor x = 2 não é satisfatório. Escrevemos 1 S 0; 2 12.26) Resolva a equação arc tg x + 2 arc cotg x
2 3
Solução Indiquemos
2 2 arc cotg x, donde cotg x e 0 2 2 A equação dada fica 2 e, em seguida, escrevemos 2 3 3 2 tg 2 tg 3 2 tg tg 2 tg 3 1 tg2 1 tg 2 tg 3 arc tg x, donde tg x e
196
2 x 3x 1 1 2 1 3x x Nesta equação obtemos x 3 e, assim, S 3 Exercícios Propos tos Resolva as equações dadas a seguir: 12.27) sen 7x = sen 5x 12.28) cos 2x = cos x
12.29) tg x cotg 2x 2 12.30) sen 2x cos x 4 5 12.31) tg 3x cotg 2x 0 4 2 12.32) 3 + 2cos 2x = 4cos x 12.33) sec x – cos x = sen x
12.34) cos a – cos x = sen (x – a) a 2k 2 12.35) cos2
xa xa cos2 1 cos a 0 2 2
12.36) sen (a + 2x) + sen (a + x) + sen a = 0
12.37) sen x sen x sen 0 12 4 3 12.38) sen3 x cos x
1 cos3 x sen x 4
12.39) cos x·cos 7x = cos 3x·cos 5x
197
Função secante
Função cossecante
f(x) = sec x
f(x) = cossec x
D(f) = {x | x I(f)
2
+ k, (k
= {y | y –1 ou y
D(f) = {x | x
k, (k )} I(f) = {y | y –1 ou y 1}
)}
1}
período 2 função ímpar
período 2 função ímpar
Exercícios Resolvidos 15.1) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = 2sen x.
Solução Temos que, para todo x real, –1 sen x 1; multiplicando essa desigualdade por 2, vem: –2 2sen x 2 e daí –2 f(x) 2 Assim, I(f) = {y | –2 y 2} 15.2) Determine o domínio da função
f(x) tg x
3
Solução Sabemos que existe tg
se e somente se k, k 2
Fazemos, então,
x 260
3
2
k
e tiramos x
k
6
Logo
D(f ) x | x
k, k 6
15.3) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = –2 + 3sec x
Solução Temos que, para todo x do domínio da função secante, sec x – 1 ou sec x
1;
multiplicando as desigualdades por 3, vem 3sec x –3 ou 3sec x
3;
subtraindo agora 2, temos –2 + 3sec x –5 ou –2 + 3sec x e daí f(x) –5 ou f(x) 1 Assim, I(f) = {y
1
| y –5 ou y 1}
15.4) Calcule o valor máximo assumido pela função f(x) = 5
sen x · cos x
Solução Sabemos que 2sen x·cos x = sen 2x, donde sen x·cos x =
1 sen 2x 2
Escrevemos então, f(x)
1 sen2x 52
5
sen 2x
Como a base 5 é um número maior que 1, f(x) terá valor máximo quando o expoente assumir seu maior valor possível; como o máximo valor de sen 2x é 1, temos fmáx
1
5 5
15.5) Determine o domínio da função f(x)
1
cotg x
4
Solução Para obtermos o domínio dessa função, devemos impor duas condições: que a cotangente exista e que seja diferente de zero.
x 4 Sabemos que existe cotg se, e somente se k; fazemos então, 1ª) existência de cotg
261
x
4
2ª) cotg
k e tiramos x k 4
x 0 4
Sabemos que cotg
x
4 Portanto,
2
0 para
2
k ; fazemos, então
k e tiramos x k
D(f ) x | x
4
k e x , k, k 4 4
Observe que, se marcarmos na circunferência trigonométrica os pontos
4
k e
k , obtemos 4 4 quatro pontos igualmente distribuídos, isto é, que dividem a circunferência em quatro partes iguais. Portanto, podemos escrever que k D(f ) x | x , k 4 2 correspondentes às extremidades dos arcos
k P; P '
k Q; Q ' 4
15.6) Mostre que a função definida por f(x) = x·sen x é par.
Solução Vamos calcular f(–x) f(–x) = (–x)·sen (–x) = (–x)·(–sen x) ou seja f(–x) = x·sen x = f(x) Como f(–x) = f(x), a função é par.
Exercícios Propost os 15.7) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = sen 3x b) f(x) = 3sen x
262
c) f(x) = 3 + sen x d) f(x) = –2 – cos x
e) f(x) = 1 + 4cos x f)
3
f(x) = |cos x|
15.8) Determine o conjunto-imagem de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = sec 2x b) f(x) = –2sec x c) f(x) = –2 + sec 2x d) f(x) = 2 + 4cossec x e) f(x) = |cossec x| f) f(x) = |–1 + cossec x| 15.9) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = tg 2x
5 c) f(x) = sec 3x 4 b) f(x) = cotg x
15.10) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções: 1 a) f(x) tg 2x b) f(x) c)
f(x)
1 sen x cos x 1
cotg x d) f(x)
3
1 sen 3x sen x
15.11) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função f(x) = –1 + 3sen x 15.12) Determine os valores mínimo e máximo que assume a função f(x) = |–1 + 3sen x| 15.13) Determine o valor mínimo assumido pela função sen x · cos x f(x) = 4 15.14) Determine o valor máximo assumido pela função cos x f(x) = (0, 1) 15.15) Determine o conjunto-imagem da função f(x) = sen x – cos x
263
15.16) Determine a paridade de cada uma das seguintes funções 3 a) f(x) = x ·cos x b) f(x) = x·tg x tg 3x sen x c) f(x) cossec 2x d) f(x)
264
x 2 cotg 2x sen x sec 3x
16.1. INTRODUÇÃO No capítulo 15, tomamos conhecimento dos períodos e dos gráficos das funções f(x) = sen x, f(x) = cos x, f(x) = tg x etc. No entanto, é muito comum surgirem, em problemas (como, por exemplo, no estudo da Ondulatória, em Física), funções trigonométricas que ou sofreram transformações em relação às originais ou são a soma ou o produto daquelas; por exemplo, as funções definidas 2 por f(x) = sen 2x, f(x) = cos x, f(x) = a·sen (t + ), f(x) = sen x + cos x. Vamos, no presente capítulo, estudar algumas regras para o cálculo dos períodos e para a construção dos gráficos de algumas dessas funções.
16.2.CÁLCULO DO PERÍODO DE FUNÇÕES DA FORMA y = m + n·f(ax + b) Sejam m, n, a e b constantes reais, com a · n enunciamos o seguinte teorema:
0. Nessas condições,
Se uma função f, definida por y = f(x), é periódica, de período p, então a função definida por g(x) = m + n ·f(ax + b) é periódica e seu período é P
P |a|
Por exemplo, f(x) = cos x é uma função periódica, de período p = 2 ; então,
a função definida por g(x) = 5 + 3cos 2x P
p |a|
é periódica e seu período é 4 2 |2|
Deve-se notar, com muita atenção, que dos coeficientes m = 5, n = 3, a = 2 e b=
, o único a influir no período é a = 2, isto é, o coeficiente de x. 4
265
Demonstração do Teorema Devemos provar (ver 15.7) que existe um real T, tal que g(x) = g(x + T), isto é m + n · f(ax + b) = m + n ·f[a(x + T) + b]. Assim: se y = f(x) tem período p, temos que f(x) = f(x + p) = f(x + 2p) = f(x + 3p) = . . , isto é, para k
, f(x) = f(x + k·p) Multiplicando essa igualdade por n (n
0) e somando em seguida m,
vem: m + n·f(x)= m + n·f(x + k·p) Fazendo agora a substituição de x por ax + b (a
0), obtemos:
m + n·f(ax + b) = m + n ·f(ax + b + kp) que podemos escrever m + n·f(ax + b) = m + n ·f(ax + b + a
kp ) a
ou ainda m + n·f(ax + b) = m + n ·f[a(x
Considerando
kp a
kp ) + b] a
T temos
m n f(ax b) m n f[a(x T) b] g(x)
g(x T)
logo, como existe o real T
kp a
para o qual g(x) = g(x + T), a função g é
periódica. Como, por definição, período é o menor T positivo, obtemos, fazendo k = 1, o período de g p P |a|
Exercícios Resolvidos 16.1) Calcule o período da função f(x) = sen
x . 3
Solução Como a função sen x tem período p = 2 , então p 2 P 6 |a| 1 3
266
16.2) Calcule o período de função
2x 3 4
f x 3 tg
Solução Como a função tg x tem período p = , então p 3 P 2 a 2 3 16.3) Calcule o período da função f(x) = 4 – 3sec x .
Solução Como a função sec x tem período p = 2, então p 2 P 2 a 2
16.4) Calcule o período da função f(x) = sen x.
Solução Devemos, inicialmente, escrever a função na forma y = m + n ·f(ax + b). Para isso, vamos lembrar a fórmula de arco dobro 2
cos 2x = 1 – 2sen x de onde tiramos sen2 x
1 cos 2x 2
isto é, que 1 1 cos 2x 2 2 Como a função cos x tem período p = 2, então p 2 P a 2 f x
16.3. CÁLCULO DO PERÍODO DE SOMAS E PRODUTOS DE DUAS FUNÇÕES PERIÓDICAS Sejam f e g duas funções periódicas, definidas por y = f(x) e y = g(x), cujos períodos são, respectivamente, p1 e p2 com p 1 p 2. Enunciamos, então,o seguinte teorema: Se
p1 p2
m , onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as n
funções definidas por
= f + g e = f ·g são periódicas e seu período é P = np1 = mp2
267
Por exemplo, f x sen
x e g x 2
tg
x 3
são funções periódicas, cujos
2 4 e p2 3 . 1 1 2 3 Estabelecendo a razão entre p 1 e p2, obtemos p1 4 p2 3
períodos são p1
Assim, o período das funções x x x x x sen tg e x sen tg 2 3 2 3 P 3p1 4p2; logo P 12
Demonstr ativo do teorema Devemos provar que existe um real T, tal que
x x T e x x T isto é, f x g x
f x T g x T e f x g x f x T g x T
Assim: se f e g tem períodos p 1 e p2, respectivamente, podemos escrever que f(x) = f(x + knp1) (I) e g(x) = g(x + kmp 2) (II) onde para k
tem-se também (kn) e (km) .
Efetuando as operações (I) + (II) e (I) · (II), vem (III) : f(x) + g(x) = f(x + knp1) + g(x + kmp 2) e (IV) : f(x) · g(x) = f(x + knp 1) · g(x + kmp2) p m Como 1 , então np1 = mp2. Fazendo p2 n knp1 kmp2
T , as igualdades (III) e (IV) são escritas f x g x f x T g x T x
x T
e f x g x x
f x T g x T x T
logo, como existe o real T = knp 1 = kmp2 para o qual
x x T e x x T , as funções e são periódicas . Como, por definição, período é o menor T positivo, fazendo k = 1, obtemos o período de e : P = np1 = mp2
268
Deve-se notar que esse teorema é aplicável, não só a funções da forma f f + g e f · g, mas, também, às funções f g e g 0 . g
Exercícios Resolvidos 16.5) Calcule o período da função (x) = tg 3x + cos 4x
Solução Calculamos, inicialmente, os períodos p 1 e p2 das funções f(x) = tg 3x e g(x) = cos 4x; assim: 2 p1 e p2 3 4 2 Estabelecemos, agora a razão entre p 1 e p2, encontrando p1 2 p2 3 Temos, então, que P = 3p 1 = 2p2; logo, P =
16.6) Calcule o período da função
x sec
x sen 3x 2
Solução Calculamos, inicialmente, os períodos p 1 e p2 das funções f(x) = sec
x e 2
g(x) = sen 3x; assim: 2 2 4 e p2 1 3 2 Estabelecemos, agora, a razão entre P 1 e P2 encontrando p1 6 p2 1 p1
Temos, então, que P = 1 ·p1 = 6p2; logo, P = 4 16.7) Calcule o período da função
x
cos 3x cotg 8x
Solução Sendo f(x) = cos 3x e g(x) = cotg 8x, vem 2 p1 e p2 3 8 p 16 Assim, 1 p2 3 Portanto, P = 3p 1 = 16p2 = 2
269
16.8) Calcule o período da função
x tg2x
Solução Sendo x tg x tg x , notamos que os períodos p 1 e p2 são iguais (p1 = p 2 = ). Não podemos, portanto, aplicar o teorema visto, a menos que consigamos mudar a forma da função (x). No caso, se lembrarmos a fórmula de arco dobro 2tgx tg 2x 1 tg2x e daí tirarmos tg2 x 1
2tgx tg2x
poderemos aplicar o teorema; sendo f(x) = 2tg x e g(x) = tg 2x, temos p1 e p2 Assim,
p1 p2
2
2 1
Portanto, P = 1 ·p1 = 2p2 =
16.9) Calcule o período da função (x) = sec x – sen x
Solução Também aqui não podemos utilizar o teorema (16.3), pois p 1 = p2 = 2. Vamos, então, transformar a função; assim: 1 1 sen x cos x x sen x cos x cos x Lembrando que 2sen x ·cos x = sen 2x, temos 1 1 sen 2x 2 x cosx 1 Agora, f x 1 sen 2x e g(x) = cos x, onde 2 p 2 1 p1 e p2 2 e 1 2 p2 2 Portanto, P = 2p 1 = 1·p2 = 2
16.4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS De modo geral, a construção do gráfico de uma função f, definida por y = f(x), pode ser feita com o auxílio de uma tabela na qual são atribuidos alguns valores particulares a x e determinados os correspondentes valores de y. Foi o que fizemos para a obtenção dos gráficos das funções trigonométricas no capítulo 15. No entanto, conhecidos aqueles gráficos, com algumas regras de transformações no gráfico de uma função , podemos, facilmente, construir os gráficos de muitas outras funções.
270
Vamos enunciar algumas dessas regras. Seja G o gráfico da função definida por y f(x) e seja k
0 uma constante
real. 1ª) O gráfico G' da função y = f(x) + k pode ser obtido a partir de G, fazendo este sofrer uma translação de k unidades, na direção Oy, “para cima”, se k é positivo, ou “para baixo”, se k é negativo.
2ª) O gráfico G' da função y = f(x + k) pode ser obtido a partir de G, fazendo este sofrer uma translação de k unidades, na direção Ox, “para a esquerda”, se k é positivo, ou “para a direita”, se k é negativo.
3ª) O gráfico G' da função y = –f(x) pode ser obtido a partir de G, fazendo este sofrer uma reflexão em relação ao eixo Ox.
271
4ª) O gráfico G' da função y = |f(x)| pode ser obtido a partir de G, fazendo a “parte” que está abaixo do eixo Ox sofrer uma reflexão em relação a Ox.
Vamos, agora, resolver alguns exercícios onde construiremos gráficos de funções trigonométricas que sofreram transformações. Nem sempre necessária, mas de grande utilidade, é a determinação prévia do período e do conjuntoimagem. Para maior praticidade, propomos as seguintes etapas para a resolução dos problemas: determinação do conjunto-imagem cálculo do período identificação da função trigonométrica base identificação das transformações sofridas pela função base construção do gráfico
Exercícios Resolvidos 16.10) Construa o gráfico da função g(x) = 2 + sen x.
SoIução Temos que I(g) = [1; 3] e p = 2 A função base é f(x) = sen x. A função dada é da forma g(x) = f(x) + k, k = 2; utilizaremos, portanto, a primeira regra, transladando o gráfico de sen x duas unidades “para cima”.
272
16.11) Construa o gráfico da função g x cos x
4
Solução Temos que I(g) = [–1; 1] e p = 2 A função base é f(x) = cos x. A função dada é da forma g x f x k , k
4
; pela segunda regra,
transladamos o gráfico de cos x “para a direita”, de uma distância igual a
4
16.12) Construa o gráfico da função g(x) = sen 2x.
Solução Temos que I(g) = [–1;1] e p = . A função base é f(x) = sen x. A função dada é da forma g(x) = f(kx), k = 2; note que, nas regras dadas, não consta esse tipo de transformação. No entanto, a construção do gráfico não tem maiores dificuldades se observarmos que, em primeiro lugar, o conjunto-imagem é o mesmo de sen x, isto é, a amplitude é a mesma e, em segundo lugar,o período de g(x) é a metade do período de f(x); podemos, intuitivamente, entender que, num intervalo de comprimento , sen 2x “faz” tudo o que sen x “faz” num intervalo de comprimento 2 . Portanto, devemos obrigar o gráfico de sen x a “encolher” do intervalo [0; 2] para [0; ]. Assim:
16.13) Construa o gráfico da função g x cos
x 2
Solução Temos que I(g) = [–1; 1] e p = 4
273
A função base é f(x) = cos x 1 ; a exemplo do exercício 2 anterior, note que o conjunto-imagem não se altera e que o período de g(x) x é o dobro do período de f(x). Entendemos, intuitivamente, que cos “faz”, 2 num intervalo de comprimento 4 , exatamente o mesmo que cos x “faz” num intervalo de comprimento 2 . Vamos, então, “esticar” o gráfico de cos x do intervalo [0; 2 ] para [0; 4 ]. Assim:
A função dada é da forma g(x) = f(kx), k =
16.14) Construa o gráfico da função g(x) = 3sen x.
Solução Temos que I(g) = [–3; 3] e p = 2 . A função base é f(x) = sen x. A função dada é da forma g(x) = k ·f(x), k = 3; note, também, que esse tipo de transformação não consta das regras dadas. Observe que o período de g(x) é o mesmo de f(x) e que o conjunto-imagem “mudou” de [–1; 1] para [–3; 3], isto é, que a amplitude se alterou. Devemos construir uma senóide que, em um intervalo como [0; 2 ], percorra todo o conjunto-imagem [–3; 3]. Assim:
16.15) Construa o gráfico da função g x
1 cos x 2
Solução Temos que
274
I
1 1 e p 2
g 2 ; 2
A exemplo do que foi observado no exercício anterior, devemos construir uma cossenóide que, num intervalo como [0; 2 ], percorra o conjunto 1 1 imagem ; ; assim: 2 2
16.16) Construa, para 0
x 2, o gráfico da função g(x) = –2 – sen x.
Solução Temos que I(g) = [–3; –1] e p = 2 A função base é f(x) = sen x A “evolução” da função base até a função dada foi (I)
(II)
sen senx 2 senx Sabemos que a transformação (I) (ver regra 3ª) provoca uma reflexão no gráfico de sen x em relação ao eixo Ox e que a transformação (II) (ver regra 1ª) faz o gráfico de –sen x sofrer uma translação de duas unidades “para baixo”. Assim:
Exercícios Propost os 16.17) Calcule o período das seguintes funções: a) f(x) = sen 4x b) f x 2 cos c)
x 2
f x tg 3x
4 275
2x 3
d) f x 1 cotg
e) f x 1 3 sec f)
3x 2
f x cossec 2x
x 5 f x 5 4 sen nx , n 0
g) f x tg h)
16.18) Calcule o período das seguintes funções: 2
a) f(x) = cos x x 2 2 c) f(x) = cos 2x 3x d) f x sen2 2 b) f x sen2
16.19) Sabe-se que a função definida por f(x) = Asen (kx) tem período 6 e conjunto imagem [–4; 4]. Determine essa função. 16.20) Seja k um real positivo. Determine a condição para que a função f(x) = tg (kx) tenha período racional. 16.21) O conjunto-imagem da função f(x) = A + B ·cos (Bx + A) é [–3; 7]. Determine o período dessa função. 16.22) Calcule o período das seguintes funções: x a) x sen cossec 3x 3 5x b) x tg 2x sec 3 2x c) x cos 4x tg 3 3x sen 8 d) x 4x cos 5 16.23) Calcule o período das seguintes funções: a) f(x) = cos x + cossec x b) f(x) = sec 3x + sen 3x 16.24) Calcule o período das seguintes funções: a) f(x) = sen 2x + cos 2x 3
b) f(x) = sen x
276
c)
f x cos3
x 2
16.25) Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções: a) g(x) = 2 + cos x b) g(x) = –1 + sec x
4 d) g x tg x 4
c) g x sen x
16.26) Construa os gráficos das seguintes funções: x a) g x sen 2 b) g(x) = cos 2x c) g(x) = –3cos x d) g x
1 sen x 2
16.27) Construa o gráfico das funções e determine seus períodos: a) g(x) = |sen x| b) g(x) = –|cos x| 16.28) Construa o gráfico da função g(x) = 1 + 3sen 2x 16.29) Construa o gráfico da função g(x) = sen x + cos x
277
