MATEMÁTICAS (4º E.S.O.) NUESTRA MADRE DEL BUEN CONSEJO PP. AGUSTINOS=LEÓN= AGUSTINOS=LEÓN=
TRIGONOMETRÍA
NOMBRE y APELLIDOS:.......................................................................................................... APELLIDOS:.......................................................................................................... ..... Nº:...........Grupo:.............................FECHA
1) Reduce al primer giro y calcula las siguientes razones trigonométricas sin calculadora: a) cos (1290)º b ) sen (2130)º c ) sen 570º d ) cos 14520º e) sen (120º) f ) cos (240º) g ) tg 2565º h ) cos 15/2 rad
2)
i ) sen 55/6 rad j) j ) tg 79 rad
Conocida una razón y el cuadrante correspondiente, halla las otras dos razones directas:
a) ¿Sabiendo que el sen = ( 3/5). Y además 180º < < 270º. Calcula (utilizando las fórmulas trigonométricas) las razones trigonométricas: (cos y (tg . cuánto v alen (y (y con su sig no co rrespo ndiente) las b ) Sabiendo que el cos = ( 4/5). Y además 90º < < 180º. Calcula (utilizando las fórmulas trigonométricas) las razones trigonométricas: seno y tangente cuánto v alen (y (y con su sig no co rrespo ndiente) las c ) Calcula sen y cos sabiendo que la tg 5 y 2º cuadrante.
3)
Conocido el valor de la razón y sin calculadora, halla los ángulos que le corresponden en el primer giro. 2
a) ¿Qué ángulos cumplirán que sen =
2
?
b ) ¿Qué ángulos cumplirán que cos = ½ ? c ) ¿Qué ángulos cumplirán que tg =
4)
3 2
?
Resolver los siguientes triángulos rectángulos en A, aplicando, siempre que sea posible relaciones trigonométricas y (¡no el teorema de Pitágoras!). Y hallar también su área:
a) a= 320 m, B= 47º b) a= 42,5 m, b= 35,8 m c) b= 32,8 cm, B= 22º d) b= 8 mm, c= 6 mm e) a= 8 km, b= 6 km f) a= 13 m, c= 5 m g) c= 42,7 dam, C= 31º h) c= 124 dm, B= 67º 21'
Ejercicios de OBSERVACIÓN DIRECTA P ) 1 A la distancia de 16 metros del pie de un poste, el ángulo de elevación de su punto m ás alto es de 36º. Hallar la altura del poste y la distancia del observador a la cúspide.
P ) 2 Desde un barco se mide por radar la distancia a la cima de una montaña, obteniéndose 2570 m. Hallar la altura de la montaña sabiendo que el ángulo que forma la visual con el horizonte es de 29º.
P ) 3 El ángulo de elevación del extremo de una chimenea, observado desde un punto del suelo horizontal situado a 36 m. del pie de la chimenea, es de 25º. Halla: a) La altura de la chimenea. La distancia del observador a la cúspide de la chimenea. b )
P ) 4 Un niño sostiene una cometa con una cuerda de 16 metros. Si la cometa está a una altura de 8 m, ¿qué ángulo forma la cuerda con la horizontal?
P ) 5 Para determinar la altura de un obelisco, a 50m de distancia de su base se dispone un teodolito, y desde el mismo o
se lanza una visual al punto más alto del monumento, observándose que forma un ángulo de 38 32’ con la horizontal. Considerando que el anteojo del teodolito se encuentra a 1,70 m de altura sobre el suelo, calcular la altura del obelisco.
P ) 6 Un avión vuela a 350 m de altura, y el piloto observa que el ángulo de depresión de la torre de control de un aeropuerto próximo es de 15º. ¿Qué distancia le separa del mismo en ese instante?
P ) 7 Dos torres gemelas distan entre sí 1 km. Desde la parte superior de una de ellas se ve la base de la otra bajo un ángulo de depresión de 5º ¿Qué altura tienen las torres?
P ) 8 En un instante dado, el altímetro de una avioneta registra 1095 m de altitud. El piloto ve la torre de control del aeropuerto mediante una visual que forma un ángulo de 81º con la vertical. ¿A qué distancia del aeropuerto vuela el aparato?
P ) 9 Desde el punto M horizontal equidistante entre dos torres A y B, los ángulos de elevación de sus extremos superiores son 30º y 60º respectivamente. Si A tiene una altura de 40 m, halla la altura de B y la distancia entre ambas torres.
P 1 ) 0 La inclinación de los rayos solares varía a lo largo del día. En cierto instante, un poste de 12 m de altura, proyecta una sombra de 24 m. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de los rayos solares respecto de la horizontal?
P 1 ) 1 Desde la parte superior de un faro, a 120 m por encima del horizonte, el ángulo de depresión de una boya es de 42º ¿A qué distancia está la boya del pie del faro? ¿Qué distancia hay entre la boya y la parte superior del faro?
P 1 ) 2 Subimos con una bicicleta un puerto de montaña cuya ladera permite que el trazado de la carretera sea recto. Si la pendiente de la carretera es del 22% ¿a qué altura nos encontraremos cuando el cuentakilómetros marque 6 km?
P 1 ) 3 Un niño está haciendo volar su cometa. Ha soltado ya 47 m de hilo y el ángulo que forma la cuerda de la cometa con la horizontal es de 52º. ¿A qué altura se encuentra la cometa?
P 1 ) 4 Desde un navío se observa el alto de un faro de 36 m de alto, con un ángulo de elevación de 10º ¿A qué distancia del faro se encuentra el navío?
P 15 ) a) Halla el área de un pentágono regular de perímetro 41cm. Halla el área de un dodecágono regular de lado 6 cm. b )
P 16 ) Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40 . ¿A qué distancia del poste sujetaremos el cable? ¿Cuál es la longitud del cable?
P 17 ) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54 . Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.
Ejercicios para aplicar LA ESTRATEGIA DE LA ALTURA
A ) 1
Con los datos de la figura adjunta. C alcula:
a) La altura del mástil ( h) b ) La distancia ( x)
Una montaña de 650 m de altura separa dos pueblos A y B. Desde A se observa la cima C de la montaña con un o o ángulo de elevación de 24 , y desde B con 36 . ¿Cuál es la distancia entre los dos pueblos?
A ) 2
A ) 3
Dos observadores se encuentran a una distancia de 4 km. En el plano vertical que pasa por ellos hay un globo, y cada uno de ellos lo ve bajo el ángulo que se indica en la figura adjunta. Halla la distancia del globo a cada observador y la altura a la que está sobre el suelo.
A ) 4
Una antena de radio está sujeta al suelo con dos tirantes de cable de acero. Calcula: a) La altura de la antena. b ) La longitud de los cables. c ) El valor del ángulo sobre el vértice superior B Entre dos ciudades A y B que distan 80 km. se observa un avión. Las visuales desde el avión a A y a B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. a) ¿A qué altura está el avión? b ) ¿A qué distancia se encuentra de cada ciudad?
A ) 5
A ) 6
En la figura siguiente Y teniendo en cuenta que el ángulo de la avioneta NO es recto aunque pudiera parecerlo. a) Halla la altura ( h) a la que vuela la avioneta de la figura. b ) El valor de los ángulos y . La distancia ( d). c )
d
2500 m
h
1600 m
A ) 7
2500 m
Para hallar la altura a la que se encuentra un globo, se procede del siguiente modo:
Micaela se coloca en el punto B y Miguel en el punto A, a 5 m de ella, de tal forma que los puntos A, B y C quedan alineados. Si los ángulos y miden 40º y 50º respectivamente, ¿a qué altura se encuentra el globo?
Ejercicios de DOBLE OBSERVACIÓN D ) 1 Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte situado en una llanura, encuentra que desde un cierto lugar, el fuerte se ve bajo un ángulo de 10º, y que desde otro lugar ubicado 200 m. más cerca del fuerte, éste se observa bajo un ángulo de 15º. ¿Cuál es la altura del fuerte y cuál es su distancia al segundo lugar de observación?
D ) 2 Un mástil de una bandera de 2 m de longitud se alza sobre la azotea de una casa. Desde un punto del plano de la base de la casa, los ángulos de elevación de la punta y base del mástil son 50º y 46º respectivamente. Halla la altura de la casa.
D ) 3 Observamos el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 72º sobre la horizontal. Si nos alejamos 350 metros, lo vemos bajo un ángulo de 31º. ¿A qué altura se encuentra la torre?
D ) 4 Para medir la altura de una montaña, medimos el ángulo de elevación de la parte más alta desde un punto determinado y se obtiene 40º, acercándose a la montaña una distancia de 300 m se obtiene un nuevo ángulo de elevación de 55º. Halla dicha altura
D ) 5 En el centro de un lago sale verticalmente un chorro de agua y se quiere medir su altura. Para ello, se mide el ángulo de elevación desde la orilla a la parte más alta del chorro, y se obtienen 68º; alejándose 75 m del lago se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtienen 37º. Calcula la altura del chorro de agua.
D ) 6 Una escultura está colocada sobre un pedestal de 1,5 m de altura. Desde un punto del suelo se ve la escultura bajo un ángulo de 42º y el pedestal bajo un ángulo de 18º. Halla la altura de la escultura.
D ) 7 Para medir la altura de un edificio nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80º. Halla la altura de la torre.
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Ejercicios de TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS O ) 1 En dos estaciones de radio, A y C , que distan entre sí 50 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C , el ángulo en A es de 65º y el ángulo en C es de 80º. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?
O ) 2 Calcula los lados y los ángulos que faltan en los apartados de los siguientes triángulos:
A)
B)
C)
D)
O ) 3 Dos de los lados, a y b, de una finca de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ángulo comprendido entre estos dos lados es de 70º. Si deseáramos vallar la finca, ¿cuántos metros de valla necesitaríamos?
O ) 4 Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de 110º. Al cabo de 2 horas, el primer barco está a 34 km del punto inicial y el segundo barco, a 52 km de d icho punto. En ese mismo instante, ¿a qué distancia se encuentra un barco del otro?
O ) 5 Miguel (M) y Sara (S) quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo (C) que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspondiente al vértice en el que está Sara (M SC) es de 25º y el ángulo del vértice en el que está Miguel (S MC) es de 140º ¿A qué distancia se encuentra Sara del castillo? ¿Y Miguel?
O ) 6 Se desea unir tres puntos, A, B y C , mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ángulo correspondiente a B es de 50, y el ángulo en A es de 75. ¿Cuál es la distancia entre B y C ? ¿Y entre A y C ?
