COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
ÍNDICE 1ra SEMANA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
187
2da SEMANA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
190
3ra SEMANA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES NOTABLES
193
4ta SEMANA
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
197
5ta SEMANA
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES RECTANGULARES
200
6ta SEMANA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA (C.T) (C.T)
204
7ma SEMANA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
207
8 ava SEMANA
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
209
9na SEMANA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ARCOS
211
10ma SEMANA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS NOTABLES NOTABLES Ciclo Regular 2012-II
213
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186
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice u origen desde una posición inicial hasta otra posición final, debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un mismo plano. Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación:
Equivalencias: 1 Vuelta = 2 rad 1rad = 57º17’44” 1rad = 63g 66m 20s 3,1416 22/7 2 + 3
Unidad Angular: Un radián: (1rad)
OJO: 1rad es aquel ángulo donde el radio es igual que la longitud de arco.
Antihorario
Horario
Medida del ángulo trigonométrico < - ; + >
NOTA: Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del ángulo será positivo. es positivo
Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo será negativo. es negativo
¡RECUERDE QUE!: Para sumar o restar ángulos trigonométricos que no se pueden realizar a simple vista debemos procurar tenerlos en un solo sentido de preferencia antihorario para ello se recomienda el cambio de sentido.
CONSIDERACIONES: 1rad > 1°> 1g 27’ = 50m 81” =250s a°b’c’’ = a° + b’ + c’’; b, c < 60 ag bmcs = ag + bm + cs; b, c < 100 Si: x°y’z” = a°b’c’’ xgymzs = agbmcs x=a y=b z=c Ejemplos: 1. Hallar: “C + P + U”; Si: C°+P’+U’’ = 5°50’60’’ + 3°23’18’’ Resolución: C°+P’+U’’ = 5°50’60’’ + 3°23’18’’ C°P’U’’ = 8º73’78’’ C°P’U’’ = 9º13’18’’ C=9 P = 13 U = 18
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Un ángulo puede ser medido medido en diferentes sistemas, los más conocidos son sexagesimal, centesimal y radial. Sistema Sexagesimal o Inglês (S): Unidad Angular: Grado Sexagésima: (1º) Sub Unidades: Minuto Sexagesimal: (1’) Segundo Sexagesimal: (1”)
Equivalencias: 1 Vuelta = 360º 1º = 60’ 1’ = 60” 1º = 3600”
Sistema Centesimal o Francés (C): Unidad Angular: Grado Sexagésima: (1g) Sub Unidades: Minuto Sexagesimal: (1m) Segundo Sexagesimal: (1s)
Equivalencias: 1 Vuelta = 400g 1g = 100m 1m = 1000s 1g = 10 000s
Sistema Radial o Circular (Internacional):
C + P + U = 40
2. Si se cumple: 2º62’63’’ =QºQ’Q’’. Calcular: Q 2 a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 3. Si: x°y’z’’=3°42’48’’ + 5°29’34’’. 5°29’34’’. Hallar: E
e) 25
z y
1
x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RELACIÓN NUMÉRICA ENTRE LOS SISTEMAS: S
C
180
R
200
K
S 9
C 10
Donde: S: N° de grados sexagesimales. C: N° de grados centesimales. R: N° de radianes. K: Constante de proporcionalidad.
En todo problema donde intervienen S, C y R podemos ayudarnos de las igualdades. S = 9K S = 180K C = 10K C = 200K ó R K R = K 20
Ciclo Regular 2012-II
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187
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Ejemplo1: Determinar la medida de un ángulo en radianes, tal que verifique la siguiente condición: 6S 5C 1040 Resolución: Sabiendo que: S = 9k ; C = 10k ; R K
R =
(10)
R
20
20 2 Ejemplo2: Determinar la medida de un ángulo en radianes, tal que verifique la siguiente condición: 2C 5 58
a) 8
b) 9
d) 3 8
e) 3 10
R
20
Reemplazamos: 6(9k) + 5(10k) = 1040 Operando: 104k = 1040 k = 10 Luego reemplazamos en: R K
COMPLEMENTO 90 – 90 – S 100 – 100 – C
Medida ( ) S C
2
Simplificando:
180° = rad 200g = rad
Además si: 180º = 200g
En todo problema donde intervienen S y C podemos ayudarnos de las igualdades.
C S
C S
k
3
M 19 27
19 3
Ejemplo 1: Convertir 50g al sistema sexagesimal. Resolución: Utilizando la regla práctica:
b) 2
19k 3
k
sistema sistema que quiero ( sexagesima sexagesimal ) sistema sis tema que no quiero ( centesimal )
50 g .
8
M = 21
Ejemplo: Simplificar la expresión: J
8
S = 9 k ; C = 10 K
Reemplazando y Operando: M 19k
a) 1
C S
c) 3
50g. 9 = 45° C S C S
d) 4
5S 2C C S
X A
" x" grados A
1
Ejemplo 2: Convertir 36° a radianes. Resolución: Utilizando la regla de práctica:
e )5
sistema que no quiero ( sexagesima sexagesimal ) sistema
36.
X
rad rad 75 rad 5 180 5
Ejemplo 3: Hallar: E
YB
Resolución: Recordando:
" y" gradosB
A = número de grados A Y B = número de grados B. B
¡RECUERDE QUE!: Para plantear problemas: S: Número de grados sexagesimales. 60S: Número de minutos sexagesimales. 3600S: Número de segundos sexagesimales. C: Número de grados centesimales. 100C: Número de minutos centesimales. 10000C: Número de segundos centesimales. R: Número de radianes. OJITO:
Ciclo Regular 2012-II
sistema sistema que quiero (radianes)
36.
Se cumple que la relación de conversión entre los sistemas A y B, esta dado por la igualdad: A
40g = 45°
10 g
Si el ángulo trigonométrico es positivo, la relación numérica entre sistemas estará dado por: C > S > R Si el ángulo trigonométrico es negativo, la relación numérica entre sistemas estará dado por: R > S > C Si el ángulo trigonométrico es nulo, la relación numérica entre sistemas estará dado por: R = S = C Si “A” y “B” son dos nuevos sistemas de medición angular tal que:
9° = 10g
sistema sistema que quiero sistema que no quiero sistema
Pregunta 3
le simplificamos:
¡RECUERDE QUE! Para convertir de un sistema a otro, se utiliza el siguiente esquema:
S = 9K C = 10K
Resolución: Sabemos que:
– R – R
R
CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS: Es el procedimiento mediante el cual un ángulo expresado en cierto sistema, se expresa en otro sistema; es decir en otras unidades. El procedimiento se denomina “factor de conversión” y su uso es como se muestra en los siguientes ejemplos: Relación Importante: Si el ángulo es una vuelta completa se cumple: 360º = 400g = 2rad
c) 10
Ejemplo: Simplificar la expresión: M C S
SUPLEMENTO 180 – 180 – S S 200 – 200 – C C
g
1º
1'
1
1
9º
m
g
5
1º = 60’ 1g = 100m 9º = 10g
Reemplazando en: E
m
60' 1'
g
100
10
m
1
.E. = 60 + 100 + 2 =
Ejemplo 4: Hallar: a + b, sabiendo que: Resolución: Equivalencia: π 8
rad .
180º
πrad
8
g
5
.162. 162.
rad
a º b'
rad = 180º 180º
8
45º
2
44 º 1º 2
1º
22º
2
22º 30 ' 22 º 3 0' 22
Factor Factor de conversion
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COMPENDIO ACADÉMICO
Luego:
8
rad
TRIGONOMETRÍA
22º30'
Comparando:
K 90º 50 g
a = 22 b = 30
a) 180°
.a + b = 52.
3
N
5
rad ;
a) U; N; H d) H; N; U
H = 11°15’
b) N; H; U e) H; U; N
2. Halle el valor de: N = a) 2
b) 4
3
3. Calcular: a) 2 b) 4
6. Si:
d) 8
e )10
e) 90°
c) 4º; 8º; 3º e) 4º; 5º; 6º
b) N > U > H e) N < H < U
c) H > U > N
2
e) 10
d) 4
B
a) d)
e) 5
g
xrad
b)
rad
20
e)
rad
4
c)
rad
40
rad
80
rad
30
8. Siendo: a: N° de minutos sexagesimales. b: N° de segundos sexagesimales. c: N° de minutos centesimales. d: N° de segundos centesimales de un mismo ángulo.
a) 1/3 b) 1/6 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/12
1 0 0
2
las cuales verifican: x1 x2 = 0,01, donde S y C son lo convencional para un mismo ángulo, calcular la medida radial del ángulo.
5. Dada la figura, calcular “x”:
0 º A 6
d) 80°
7. Si las raíces de la ecuación: x 2 + Sx + C = 0, son x 1 x 2,
d) 8
c) 3
4
rad ...
U º N ' H ' ' ; Se afirma que:
a) U > N > H d) U = N = H
g
b) 2
16
b) 4º; 8º; 1º
80
1 2 3 g x g g 1 2 3 . Hallar: 2x+1. 4. Si:
a) 1
3661º
16
c) 6
c)
7
a) 3º; 8º; 10º d) 6º; 4º; 2º
c) N; U; H
12rad 800 g 360 rad
E
8
36
rad 40g
c) 6
rad
5. Hallar tres ángulos expresados en grados sexagesimales sabiendo que la suma del primero con el segundo es 12º; el segundo más el tercero es 10 g y la suma entre el primero y el tercero es rad . .
¡UN RETO PARA TI! 1. Ordenar en forma creciente. U = 70g;
b)
Calcular: K = a) 1
5bc ad 5bc ad
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
9. En el gráfico mostrado “O” es centro del arco ABC. Hallar la medida del ángulo B en radianes. 1. Si: C+P+U= 51 hallar:
B A
= (P+3)°C´U” + U°(P+8)´C” + C°U´(P+9)”
a) 52°
b) 55°
c) 54°
d) 56°
y
e) 57°
2. Siendo U+N+H = 60 y además:
U°N´H” + N°H´U” + H°U´N” = Calcule:
UN
x º
° + N´
UN
b) 6
c) 7
d) 8
3. De acuerdo a lo indicado en el gráfico. Simplificar:
y
g
Zrad
a) /10 b) - /10 c) -/20 d) -20/ e) -10/
5 / 7 5 / 14 9 / 14
10. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo trigonométrico, tal que se cumple 20 30R 6 3C
S
10x 9y A= 90z
X°
e) 9
9 / 7
e) 2 / 3
C
O
H3
a) 5
a) b) c) d)
g
C 20R 3 26 S 120R
Hallar “R” a) /2
b) /3
c) /9
d) /90
e) /30
11. Del gráfico, calcular “x”
4. Calcular la serie de infinitos términos. Ciclo Regular 2012-II
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189
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TRIGONOMETRÍA
Además en el triángulo rectángulo se cumple: Los ángulos agudos suman 90º . + = 90º
a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9
27xº g
10x
La hipotenusa siempre es mayor que los catetos
. c > a b 12. Calcular la medida circular de un ángulo, si se cumple: 7
7
7
12 40 S 3C 15R
TEOREMA DE PITÁGORAS “En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadradado de la hipotenusa”. Es decir: a2 + b2 = c2
C 197R
S 52R
Donde S, C y R son los conocidos. a) 2/13 b) 2/15 c) 2/17 d) 2/19 e) 2/21
13. Determinar la medida de un ángulo positivo en radianes, sabiendo que es la menor posible, si se cumple la relación: CS
a2
10ab b2 ab
; ab 0
. Donde C y S son los
números que representan al ángulo en los sistemas centesimales y sexagesimales respectivamente. a) /5 b) 2/5 c) 3 /5 d) 4/5 e) 3/10
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto a un ángulo agudo. Hipotenusa
b
a
14. Calcular el número de radianes de un ángulo, sabiendo que mide: o
g
1 2 4 8 ... 6 1 2 3 4 ... "n"tér min os "n"tér min os
1)
( x g
1)( y 1) , encontrar los
ángulos en sexagesimales si su diferencia es: a) 72º y 18º d) 45º y 53º
De la figura con respecto al ángulo “ ” definimos:
o
b) 45º y 37º
yx
o
c) 45º y 27º e) 35º y 27º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS TRIÁNGULO RECTÁNGULO Se llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos es recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos. En la figura mostrada:
c: hipotenusa a b : catetos : son ángulos agudos Ciclo Regular 2012-II
Cateto adyacente al ángulo “ “
Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (b) cateto opuesto (a) cateto adyacente (c). Podemos definir las razones trigonométricas de “” del modo siguiente:
15. La suma de dos ángulos está dado por la relación:
c
.
Donde “n” es un número entero positivo. a) 2/12 b) /10 c) /20 d) 2/19 e) /30
x( y
Cateto opuesto al ángulo “ “
NOMBRE seno de alfa
DEFINICIÓN sen
cateto opuesto al an gulo
a
hipotenusa cateto adyacente al ángulo
coseno de alfa.
cos
tangente de alfa
tan
cotangente de alfa
cot
secante de alfa
sec
cosecante de alfa
csc
c
hipotenusa cateto opuesto al án gulo cateto adyacente al ángulo cateto adyacente al ángulo cateto opuesto al án gulo hipotenusa cateto adyacente al ángulo
hipotenusa cateto opuesto al án gulo
b b a
c c
a b c
b a
Observación: Las razones trigonométricas para un ángulo agudo son positivas. Las razones trigonométricas seno y coseno son menores que la unidad. Las razones trigonométricas secante y cosecante son mayores que la unidad.
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190
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
RECUERDE QUE: Conocido una razón trigonométrica de un ángulo agudo es posible hallar las demás.
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo dependen únicamente de la medida del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo. Por ejemplo, en la figura:
OBSERVACIÓN: Si elegimos valores de “m” y “n” (números primos enteros entre sí) tal que (m + n) resulte un número impar, se obtienen triángulos pitagóricos cuyas medidas de sus lados también son números primos entre sí. Ejemplo: Cuando: m = 5 y n = 2 Ejemplo: Cuando: m = 8 y n = 3
A’’
A’
3 A
2
1
C
B
2
B’
B’’
OBSERVACIÓN: Cuando los valores de “m” y “n” (no son primos entre sí) o cuya suma de m y n sea un número par se obtiene triángulos pitagóricos cuyas medidas de sus lados está expresada por números que tienen un divisor común.
4 6
Luego tenemos: ABC:
tan
A’B’C:
1
2
tan
2 4
A’’B’’C:
tan
3
2
Finalmente concluimos que
tan
2
1
6
1
tan
1
EJEMPLO: CUANDO: M = 4 Y N = 2 EJEMPLO: CUANDO: M = 7 Y N = 3
2 tan 1
1 2
y no depende de la
2
longitud de los lados del triángulo rectángulo. PARA UN ÁNGULO MITAD (0° < < 90°). θ = csc – cot tan 2
cot
θ 2
= csc + cot
CASO PARTICULAR: CUANDO SE TIENE DOS NÚMEROS ENTEROS (M CONSECUTIVOS, ENTONCES SE CUMPLIRÁ:
EXTENSIÓN DE LAS R.T. PARA ÁNGULOS AGUDOS. 0°; 90° se cumple:
0< sen < 1 0 < cos < 1 tan > 0 cot > 0 sec > 1 csc > 1
1 sen cos
0 sen .cos
m 2
k 1
2
Y n
k 1
2
Y N), PERO
; SIENDO: K = # IMPAR.
LUEGO:
1 2
ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO Todo triángulo pitagórico tiene sus lados expresados por números enteros positivos. Dichos lados tiene la siguiente forma: Siendo: “m” y “n” números enteros positivos. Además: .m > n
EJEMPLO: CUANDO: K = 5
EJEMPLO: CUANDO: K = 11
Ejemplo 1: Dado el triángulo ABC (C = 90º), se sabe que la suma de catetos es igual “K” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo. Resolución: Nótese que en el enunciado del problema tenemos: Ciclo Regular 2012-II
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COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Triángulo Rectángulo Particular
.a + b = K.c. Nos piden calcular sen + sen = sen + sen = Luego: .sen + sen. =
k .c c
a c
Triángulo Rectángulo General
b
a
c
b
c
= .K.
Ejemplo 2: Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. Resolución: Nótese que en el enunciado, los lados del triángulo están en progresión aritmética, de razón “r” asumamos entonces: Cateto Menor = x – r Cateto mayor = x Hipotenusa =x+r Teorema de Pitágoras (x – r)2 + x2 = (x + r)2 x2 – 2xr + r 2 + x2 = x2 + 2xr + r 2 x2 – 2xr = 2xr x2 = 4xr x = 4r
El perímetro del triángulo rectángulo es: Según la figura: 5K + 12K + 13K = 30K Según el dato del enunciado: 30K = 330m Luego: K = 11m La pregunta es calcular la longitud del menor cateto, es decir: Menor cateto = 5K Menor cateto = 5(11) Menor cateto = 55m
2
1. Si
4 sen 3
E
6 sec
a) 5
2. Si
tan
1
1
"
"
es agudo, calcular:
tan
b) 5
c)
a
, donde
, donde
d) 3
3
"
"
e) 2
es agudo, calcule:
csc . 2
b a
a)
IMPORTANTE : “A MAYOR CATETO
MAYOR ÁNGULO AGUDO ”, LUEGO REEMPLAZANDO EN LA FIGURA, TENEMOS:
ab
d)
b
b)
ab
ab
e)
b
a b
c)
a
2a
ab
3. Si en el gráfico CM es la mediana relativa al lado AB , calcular: E = 12tan + 1 C
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
25 7
A
Nos piden calcular: tan =
4r 3r
= .
4 3
.
Ejemplo 3: Calcular el menor cateto de un triángulo rectángulo de 330 m de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4 Resolución: Sea “” un ángulo agudo del triángulo que cumple con la condición: Tan = 2,4 = 24 12 10
5
Ubicamos “” en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos guardan relación de 12 a 5. La hipotenusa se calcula por Pitágoras
M
B
4. En un triángulo rectángulo los catetos están representados por la semisuma y semidiferencia del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo. Hallar el valor de E = 38tan + cot, Siendo “” el menor ángulo agudo. a) 19 b) 21 c) 22 d) 24 e) 25 5. Sabiendo que “ ” es agudo, además calcular: C = csc + cot a) 2
b) 2/3
c) 3/2
3
d) 4/3
2
cos
4 5
4
e) 1
6. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), calcular el valor de: E bc 2 (tan A tan B) a) a b) a2 c) 1/a d) 1/a 2 e) 1
7. En un triángulo rectángulo ABC (C = 90º), se cumple que: 9senAsenB = secAsecB + tanA – cotB. Calcular el valor de: E = cotA + cotB a) 1/2 b) 3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 Ciclo Regular 2012-II
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TRIGONOMETRÍA
8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se cumple que: tanA = 4tanC. Calcule el catecto “a” si la hipotenusa es 8 5cm . a) 12cm b) 10cm
c) 16cm d) 13cm
k
k
csc C
. Calcule el valor de:
k 1
b) 4
2
40
10. Si: sen4 =
c)
41 6
a)
41 3
b)
2 41 5
d)
e) 2
0° < < 22°30’. Calcule cot:
y
41
d) 1
3
4
41 3
c)
8
4
41 5
e)
2
5 1 3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES ÁNGULOS NOTABLES: Llamaremos ángulos notables aquellos cuyo valor está relacionado con tipos particulares de triángulos rectángulos que son motivos de atención y estudio.
senA senC 3 cosC 5
M
a)
k 8
e)
3 1
e) 14cm
9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B” se cumple que: senA
d)
5
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Los triángulos rectángulos cuyos ángulos interiores agudos son las parejas: 30º - 60º, 37º - 53º, 45º - 45º, se llaman triángulos rectángulos notables.
11. En un triángulo rectángulo siendo “” un ángulo agudo y sec = a)
61 11
; calcular el valor de “ctg b)
61 6
4
”.
61 6
3
e) 61 3
61 6
d)
61 6
c)
2
5
5
12. En un triángulo ABC, su perímetro es “n” veces su inradio, calcular: K cot A cot B cot C 2
a) n
2
b) 2n
2
c) n/2
d) n/4
e) 4n
De los triángulos anteriores se obtiene:
Si en el gráfico mostrado, es la mediana relativa al lado en 13. el triángulo rectángulo ABC, calcular: E = cot + 3cot C
a) 6 b) 3 c) 8 d) 9 e) 10
17 5
A
M
B
14. De acuerdo al gráfico, calcular: E
B
C
cotangente
C
a) 2 b) 1 c) 2 2 d) 1/2 e) 2
A
D
5
1
b)
2
Ciclo Regular 2012-II
5 1 2
secante cosecante
15. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo sabiendo que los lados están en progresión geométrica.
a)
coseno
30º
37º
1
3
2
5
3
c)
4 5
2
3 3
cot cot
seno
tangente
tan tan
F
ngulo R.T.
3
3 4 4 3
2 3
5
3
4
2
45 º 2
60º
4
3
5
2
2 2
1 1
2
3
1
5
2
4
3
3 3
3
4
3
5 2
5 3
53º
2
2
3 5
2 3
4
3
Razones trigonométricas del ángulo de 45º
3 1 2
Página
193
COMPENDIO ACADÉMICO
Sean los catetos del triángulo rectángulo ABC: AB = BC = L .
TRIGONOMETRÍA
Por el teorema Pitágoras: AC2 = AB2 + BC2 AC2 = L2 + L2 = 2L2 AC = 2L2 =
de
2
2
L
. AC =
2
L
Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º 1
L
sen45º=
L 2
2 2
1
L 2
2
2
1
L
tan45º =
L
1
cot45º =
1
1
Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 15º y 75º tomamos como referencia el triángulo rectángulo notable de 30º y 60º, luego prolongamos AB(como se muestra en la figura) hasta obtener un triángulo isósceles EBC, siendo EB = BC = 2.
2
2 2
Razones trigonométricas de 15º y 75º
2
2
2
2
2
2
L
sec45º=
2
2
2
csc45º=
cos45º=
2
2
1
1
Razones trigonométricas del ángulo de 30º y 60º Para hallar las razones trigonométricas de 30º y 60º, construimos un triángulo equilátero, veamos: En el triángulo rectángulo BHC; calculamos BH, por el teorema de Pitágoras
En el triángulo rectángulo EAC: Calculamos el valor de “x” por medio del teorema de Pitágoras: . EC2 = EA2 + AC2. x
x x
2
2 2
x
BC2 = BH2 + HC2
L L2 = BH2 + 2 2
L2 =
BH2 + L
4
4
44 3
3
2
12 3
2
1
84 3 8 4 3
4
=
2
BH2 3 L 4
Luego, calculamos las razones trigonométricas de 15º y 75º =
BH2
L2
3 4
3 L 2
2
L2 – L
= BH
2
Aplicamos radicales dobles . x 6 2 .
2
2
3 L
BH .
Luego calculamos las razones trigonométricas de 30º y 60º en el triángulo BHC.
Ciclo Regular 2012-II
Página
194
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Ejemplo 3: Calcular el valor numérico de: F
sen30º 3 tan 60º
10 cos 37º 2 sec 45º
Resolución Según la tabla mostrada
F
OBSERVACIÓN: Haciendo uso de triángulos rectángulos, también podemos calcular las razones trigonométricas de la mitad de uno de sus dos ángulos agudos, veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”), donde a = 8 y b = 15. Calcular: “ tan
A
”
23 82
AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 82 + 152 = 64 + 225 AB2 = 289 AB = 289 . AB = 17 .
. F
10
1 2
.
9 Ejemplo 4: Si se tiene: 2 f ( ) 9 tan 3 sec 6 cot 2 sen3 cos 6 csc
Calcular el valor de f (10 º)
Resolución Reemplazando = 10º en f ( ) , tenemos:
2
Resolución: En el triangulo rectángulo BCA: Calculamos AB por medio del teorema de Pitágoras:
5
1 4 ( ) 3( 3) 2 F 4 10 ( ) 2 ( 2 ) 5
f (10 º)
sen30º cos 60º csc 45º
tan 30º sec 60º cot 45º
Reemplazando sus valores notables tenemos 1 f (10 º )
2
. 3 3
1 2
.
2
2
f (10º)
. 2 .1
Racionalizando
. f (10 º)
4 2 3
3 2 8 3
3
6
. 8 Ejemplo 5: Si ABCD es un cuadrado calcular el valor de: “tan”
Luego en el triángulo rectángulo DCB: Calculamos: “ tan
A
”
2
A BC 8 .tg 2 DC 32
1 4
.
Ejemplo 2: Haciendo uso del triángulo notable 16º y 74º. Calcular “tan8º” Resolución: En el triángulo rectángulo BCP
Resolución Cuando “” no está en un triángulo rectángulo: Luego, efectuaremos trazos de modo que “” y 53º estén en un triángulo rectángulo. De la figura: PMD: Notable de 37º y 53º Luego: DP = 5k Como: DP = BC = 5K
tan 8º
7
BC PC
. tan 8º
49
Ciclo Regular 2012-II
1 7
.
Página
195
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Luego el lado del cuadrado mide 5K Sumando: .PH + MD = AD. PH + 3K = 5K PH = 2K
x tan 45º
1. Calcular “x” en:
Sumando: .PM + HB = AB.
a) 1/2
4K + HB = 5K HB = K Finalmente:
tan
PH
HB
k
b) –1/2
sen37º 3 Sen37º 3
c) 1/5
d) –1/5
e) 1/3
2. Calcule el valor numérico de: 2
K
2k
x tan 45º
cos 45º csc 45º cos 60º
2
Ejemplo 6: En la figura mostrada “0” es el centro del cuadrante A0B; hallar el valor de “cot ”
2
tan 60º sec 45º 4 sen30º
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
3. Hallar “x” de la siguiente figura mostrada. a) 12 b) 24 c) 10 d) 16 e) 20
0 1
X
° 3 2
3 7 °
4. Del gráfico mostrado, calcular “tan ”; si: CD = 4AD. C
Resolución Construimos un triángulo rectángulo OPH. Luego aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular el valor de “x”
a) 1/5 b) 2/15 c) 3/8 d) 3/16 e) 3/17
53º
D
A
B
5. Del gráfico mostrado, calcular “tan ”. B
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
M
4
2
2
2
x
2
x
2 3 A
En la figura inicial trazamos QE
45º H
C
PH
6. De la figura mostrada, calcular
cot
A
O P
60º M
a) b) c) d) e)
3 3 2
3 4
3 3 3 6
B PE
QE
2 3
7. De la figura mostrada, calcular
3
tan , si BC = 2PC.
2
cot =
PE 2 =. QE
Ciclo Regular 2012-II
3 2
3
.
Página
196
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
a) 2 a) 5/8 b) 5/16 c) 7/8 d) 7/16 e) 9/8
A O 106º P
C
AC
a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/8
N 18º30'
A
M
C
9. Del gráfico, calcular “tan ”. C
D
a) 1/6 b) 1/3 c) 2/3 d) 2/5 e) 2/9
M
37º
H
O
11. Una escalera se encuentra apoyada en una pared haciendo un ángulo de 45º. Se resbala, la parte inferior se desliza (8 5 2 )m de su posición inicial y el nuevo ángulo que forma con la pared es 53º. ¿Cuantos metros mide la escalera? ) 8m b) 10m c) 12m d) 14m e) 16m 12. Una semicircunferencia de radio ( 3 1)m , se divide en 30 arcos iguales, calcular la proyección del arco comprendido entre la quinta y décima división sobre el diámetro horizontal. c) 3
d)
3
e)
3 1
13. En un triángulo ABC (recto en B) se traza la mediana BD (D en AC), en el triángulo ABD se traza la altura AH (H en BD), en AH se toma el punto medio M tal que m MCB , halle cot sí m BCA 30º .
a) d)
b) 7 3 e) 7/5
4 3 3
7 3 5
4
c) 5
3 7
14. Si y son las medidas de dos ángulos agudos, tal que: 2 cos 2 cos
calcule el valor de:
e) 1
15. En un triángulo ABC recto en B, si BC ( x y) 2 ( x y) 2 y 2 2 AB ( x y) ( x y) . Indicar el mínimo valor de ( x, y
"
"
0)
a) 30º
b) 37º
c) 53º
d) 45º
e) 60º
H
1 2
Ciclo Regular 2012-II
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTICAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS COMPLEMENTARIAS . “Al comparar las seis razones trigonométricas de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que sus ángulos sean complementarios”. Las razones trigonométricas seno y coseno, tangente y cotangente, secante y cosecante reciben el nombre de co – razones una de la otra. OBSERVACIÓN: UNA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE UN ÁNGULO ES IGUAL A LA CO – RAZÓN DEL ÁNGULO COMPLEMENTARIO: RAZÓN SENO TANGENTE SECANTE
B
10. Un árbol quebrado por el viento, forma un triángulo rectángulo con el suelo. ¿Cuál era la altura del árbol, si la parte que ha caído hacia el suelo forma con este un ángulo de 37° y la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 30 m? a) 10m b) 60m c) 80m d) 50m e) 90m
b) 1
d) 5
y BM
B
a) 2
c) 4
B
8. Si en el gráfico “M” y “N” son puntos medios de ; calcular “tan ”.
A
b) 3
2 cot 2 cot 1 0 ,
2 sen( 15º ) 4 tan( 8º )
CO – RAZÓN COSENO COTANGENTE COSECANTE
Dado . + = 90º.entonces se verifica: sen = cos tan = cot sec = csc
Nótese: “ángulos que suman 90º”
Si : sen
cos 90º
Si : tan
cot 90º
Si : sec csc 90º
* Son iguales * Los ángulos suman 90° ó / 2 Los siguientes son pares de razones trigonométricas complementarias: Ejemplo 1: Cuánto vale “x” si: cos3x = sen2x Debe cumplirse: 3x + 2x = 90° 5x = 90° x = 18° Ejemplo 2: Cuánto vale “x” si: tan5x = cot(2x + 20º) Debe cumplirse: 5x + 2x + 20º = 90° x = 10° 7x = 70° Ejemplo 3: Cuánto vale “2x” si: csc(2x - 7°)= sec(2x +29°) Debe cumplirse: 2x - 7°+ 2x + 29° = 90° x = 17° 4x = 68° RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECIPROCAS O INVERSAS “Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres pares de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. Las parejas de razones trigonométricas recíprocas son entonces:
Página
197
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Lados desconocidos: x e y
sen y csc: .sen.csc = 1. cos y sec:.cos.sec = 1. tan y cot : .tan.cot = 1 .
Nótese: “ángulos iguales”
Si: sen csc = 1 = Si: cos sec = 1 = Si: tan cot = 1 =
* Producto es igual a 1 * Los ángulos son iguales Ejemplo 4: Si: tan(4x+ 20º + y) = cot(2x + 80º + y) = 1. ¿Cuánto vale x? Debe cumplirse: 4x + 20° + y = 2x + 80° + y 6x = 60° x = 10° Ejemplo 5: Si: cos(80º - 5x).sec3x = 1.¿Cuánto vale x? Tenemos: 80º - 5x = 3x x = 10° 80º = 8x Ejemplo 6: Si:sen(3x - 10°).csc(x + 40º) = 1. ¿Cuánto vale x? Debe cumplirse: 3x - 10° = x + 40º x = 25° 2x = 50° Ejemplo 7: Si se cumple que “x” e “y” son ángulos complementarios, además:senx = 2t + 3 cosy = 3t + 4,1 Hallar: tanx Resolución Dado: x + y = 90º Senx = Cosy Reemplazando 2t + 3 = 2t + 4,1 –1,1 = t Conocido “t” calculamos senx = 2( –1,1) + 3 senx = 0,8 senx = 4 (I)
: Cateto opuesto (k) Caso 2: Lado conocido Lados desconocidos: x e y
: Cateto adyacente (k) Caso 3: Lado conocido Lados desconocidos: x e y Note que para hallar el lado desconocido, solo hay que dividir: Lo que quieres Lo que tienes
R.T.(ángul o conocido)
y de esta igualdad se despeja el lado desconocido. (Lo que quieres) = (Lo que tienes) R.T.(ángulo conocido) .
Ejemplo: Resolver en cada caso. I.
3 T g 4
3
3 4 0 º
4 0 º 3 S e c 4 0 º
12
12 8Sen18º
II. 18º
18º 8Cos18º
5
Sen
sen
SenCos
III.
OBSERVACIÓN: CONOCIDA UNA
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA, LUEGO HALLAREMOS LAS RESTANTES; GRAFICANDO LA CONDICIÓN (I) EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO, TENEMOS:
Sen
2
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S): El área de una región triangular se calcula multiplicando la longitud de dos de sus lados entre dos y el seno de la medida del ángulo formado por dichos lados. Sea el triángulo ABC. S
S
abSenC
S
tanx = cateto opuesto = . 4 . cateto adyacente
3
2 bc Sen A 2
ac SenB 2
Demostración:
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Es el procedimiento mediante el cual se calculan los lados desconocidos de un triángulo, en función de un lado conocido y de un ángulo agudo, también conocido. Vamos a distinguir tres casos:
Caso 1: Lado conocido Ciclo Regular 2012-II
: Hipotenusa (k) Página
198
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
a)
Por geometría S, se calcula así: S
b .h
2
(h: altura relativa del lado b).
S
2
4 sen α
2
d)
Ejemplo: Calcular el área de la región sombreada de la figura mostrada. Resolución:
5
6
(30 ) 3 . 2 5
d)
2
3
e)
5
2 2
cos θ
ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto de la medida de las diagonales multiplicado por el seno del ángulo que forman.
cot 3
2
sec 2
b) 8 e) 2
2
2
sec
1
y
4
a) 1/2
2
S 9
4
E 2 cos
2
9
2
c)
2
2 3
6. Si y son ángulos complementarios que cumplen: tan
(6)(5 ) Sen37 2 2
S
1
c)
5
tan
b. asen
S
4
csc
E= a) 16
37º
b)
5. Siendo y ángulos complementarios, calcule el valor de:
En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulo que: h = asen Luego:
3
cot
2
1
2sen
b) 3
c) 1/3
d)
senx cos y
7. Si se cumple que: 4 y ángulos agudos, calcule: E 13 senx 3 cot y a) 4
. Calcule el valor de:
sec
b) 3
c) 5
e) 2
2
33 tan x
d) 6
2
siendo x e
e) 7
8. En la figura mostrada, determine “ctgx” en términos de “θ” y “ ”.
S ABCD
1
2
d 1.d 2 . sen
x 2
(S: Área de la región ABCD)
4
1. Siendo “U”, “N” y “H” las medidas de tres ángulos agudos, que verifican el siguiente sistema de ecuaciones. cos(U + N ) = sen20° csc(N – H ) = sec40° cot(U – H ) = tan80°. Calcular “U+N+H”
a) 2cscθ.ctg
b) 2senθ.tan
d) 1 senθ.tan
e) 1 cscθ.tan
A
cos 3 y
a) 2
9. Del grafico adjunto, halle el área del triángulo ADC en términos de “θ ”. B
2
tan 3 x
b) 3
c) 4
b)
15 / 16
d) 5
13 / 2
15 / 2
e) 6
c) e)
rad 1 7 x 6
4. Si se cumple que: cos(x-1)°sec Calcular:
2
2 cot 3 y
3. Si se cumple que: sec ( senx cos x) csc ( senx cos x) Encontrar el valor de “cosx” a) c) –
2
2
a) 75º b) 65º c) 55º d) 45º e) 25º 2. Si tan(40°+x).tan(y+20°) = 2Sen30°. Determine el valor de 3 sen3 x
c) 2secθ.ctg
( x 2)!
E sen
x!
Ciclo Regular 2012-II
15 / 4 15 / 2
A C
D
a) 8senθcos2θ d) 8senθcosθ
b) 8sen2θcosθ e) 8senθcos3θ
c) 8sen3θcosθ
10. Si: L1//L2, hallar “sen” en términos de “a” y “b” si el área sombreada es igual a 36.
0
Página
199
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
L2
a) b) c) d) e)
L1
a
21b/a ab/2 48a/b 24/ab ab
SISTEMA DE COODENADAS RECTANGULARES
b
11. Se tiene un triángulo ABC, cuyos lados son a, b y c opuestos a los ángulos A, B y C respectivamente, tal que su área es equivalente a: 2bc(1-cos A). Determine el valor de la expresión. E = 1 cos A sen A
Esta formato por dos rectas numéricas que se intersectan en el número cero y forman un ángulo recto. Al plano que lo contiene se le llama cartesiano y está dividido en 4 regiones llamadas cuadrantes (C), a todo punto del plano le corresponde un par ordenado (x; y) que se le denomina coordenadas.
Donde:
1 sen A cos A
a) -2/3
b) -5/3
c) -7/3
d) -2
X' X
e) -3
Y' Y : Eje de ordenadas. O : Origen de coordenadas
12. En la figura, ¿Cuál es el área de la región formada al unir P, 01 y 02?
O 2 r P
O 1 r
a) r 2ctg
b) r 2ctg
c) r 2tan
d) r 2tan
2
4
2
e) r 2sen
4
4
: Eje de abscisas.
Además tenemos: OX : Semieje positivo de abscisas OY : Semieje positivo de ordenadas OX’ : Semieje negativo de abscisas. OY’ : Semieje negativo de ordenadas. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS (d) Representamos los puntos en el plano cartesiano podemos calcular la distancia entre ellos de manera sencilla. Veamos la figura y consideremos el triángulo P 1 MP 2 .
13. De la figura mostrada, determine la longitud del segmento BD en términos de m, y , siendo: AC = m B α
D
θ A
a) c) e)
C
msen cot( msen
m
b) d)
)
tan( )
m cos tan( )
(tan cot )
m
P 2 ( x2 ; y2 ) así:
cos cot( )
14. Desde un triángulo isósceles donde el ángulo desigual y la altura son 2 y h respectivamente, determinar la suma de las perpendiculares trazadas desde el baricentro del triángulo a los lados de ésta. a) h(2sen+1) c) h/3(2sen+1) e) 2h/3(2sen+1)
b) h/2(3sen +1) d) h/3(4sen +1)
d)
Bb 2
2
sen
Ciclo Regular 2012-II
2
b 2 cos 2
d (( P 1; P 2 ) ( x2 x1 )2
( y2 y1 ) 2
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Sea P ( x0 ; y0 ) un punto cualquier sobre un segmento de extremos A( x1; y1 ) y B( x2 ; y2 ) tal que:
15. Las bases de un trapecio isósceles son “B” y “b” si los lados no paralelos forman con la base mayor un ángulo “ ”. Hallar el área del trapecio. a) B b tan b) B
Entonces, aplicando aquí el teorema de Pitágoras, llegamos a determinar la distancia entre los puntos P 1 ( x1; y1 ) y
c) B
2
b 2 tan 4
e) B
2
b 2 tan 2
AP PB
a (razón ) b
Página
200
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Ángulo En Posición Normal: También llamados ángulos canónicos, estándar y regulares. Son ángulos trigonométricos inscritos en el plano cartesiano con las siguientes características: I. Vértice en el origen de coordenadas. II. Lado inicial en el eje positivo de las abscisas III. Lado final en cualquier parte del plano. Ejemplos:
Las coordenadas de “P” son: x0
ax2 bx1
y0
a b
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
ay2 by1 ab
AB
En un caso particular de la propiedad anterior: B(x2;y2)
P(x;y)
x
en posición m, n y p no están en posición normal. normal. m IVC IC n IIC β IIC p IIIC IIIC a ningún cuadrante ÁNGULOS CUADRANTALES: Son aquellos ángulos en posición normal cuyos lados finales coinciden con ángulo de los semiejes del sistema de coordenadas rectangulares. Al conjunto de todos los ángulos cuadrantales se les representa así: {90°K; kZ} ; ; y están
A(x1;y 1) x 1 x 2
y
2
y1 y 2 2
COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIANGULO En un triángulo ABC cuyas coordenadas de sus vértices son A( x1; y1 ) ; B( x2 ; y2 ) y C ( x3 ; y3 ) se trazan sus tres medianas denominándose al punto de intersección baricentro representado por G( x0 ; y0 ) .
0º < IC < 90º 90º < IIC < 180º 180º < IIIC < 270º 270º < IVC < 360º
Las coordenadas del baricentro G ( x0 ; y0 ) se calculan así: x0
x1 x 2 3
x3
y0
y1 y 2
y3
3
ÁREA DEL TRIÁNGULO Si A(x1;y1) ; B(x 2;y2) y C(x 3;y3) , son las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC y “ S” el área de su región. Para calcular el área “ S” se colocan las coordenadas de sus vértices en columna tomados en sentido anti horario, repitiéndose las coordenadas del primer vértice, luego se procede como a continuación se indica: Sea S el área del triángulo ABC.
–360º < IC < –270º –270º
0º, 360º 90º 180º 0; 2 /2 R.T. sen 0 1 0 cos 1 0 -1 tan 0 N 0 cot N 0 N sec 1 N -1 csc N 1 N 0 = Cero 1 = Uno N = No Definido R.T. DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Si es un ángulo cualquiera en posición normal, sus trigonométricas se definen como sigue: m∢
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CUALQUIER MAGNITUD
Ciclo Regular 2012-II
DE
ÁNGULOS
DE
Página
270º 3 /2 -1 0 N 0 N -1
razones
201
COMPENDIO ACADÉMICO
OJO:
TRIGONOMETRÍA
r
x
2
y
y radio vector r
cos = Abscisa radio vector
4
r
r 0
X
Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a un punto cualquiera del plano cartesiano. sen = ordenada
Y
P(-2;4)
2
-2
O
Calculamos:
x
r
tan = Ordenada y (x 0)
Abscisa x Abscisa x cot = (y 0) Ordenada y sec = Radio vector r ; ( x 0) Abscisa x Radio vector r csc = ; (y 0) Ordenada y
r
2
r
20
2
4
2
4
16
2 5
Calculamos sen y cos
sen
Ordenada de P
cos
NOTA: El triángulo rectángulo formado por los segmentos dirigidos trazados desde “P” siempre se dibujará en el eje “x”.
Radio Vector
4
2 5
Abscisade de P
2
Radio Vector
5
2
1
2 5
5
Reemplazamos A
3 5
2
1
5
5
3(2
1)
A=9 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE Para calcular el signo de una razón trigonométrica en un cuadrante dado, se aplica la regla son positivas. y
Solamente
Sen Csc
Todas
+
+
x Solamente
Ejemplo1: Calcular las razones trigonométricas de
"
Inversa
cos tan
Inversa 5 / 13 sec
13 / 5
5 / 12
Inversa 12 / 5 cot
Ejemplo2: Siendo P (-2; 4) un punto que pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”. Calcular: A 3 5 Sen Cos Resolución:
Ciclo Regular 2012-II
+
Cos Sec
Solamente
+
"
sen 12 / 13 csc 13 / 12
Tan Cot
I Cuadrante: Todas las razones trigonométricas son positivas II Cuadrante: El seno y su inversa, la cosecante, son positivas, el resto son negativas. III Cuadrante: La tangente y su inversa, la cotangente, son positivas, el resto son negativas. IV Cuadrante: El coseno y su inversa, la secante, son positivas el resto son negativas. Del esquema anterior, tendremos: sen cos tan cot sec csc
IC + + + + + +
IIC + +
IIIC + + -
IVC + + -
Página
202
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Ángulos Coterminales: Son aquellos ángulos trigonométricos que tienen los mismos elementos, es decir un mismo lado inicial, vértice y lado terminal.
4. De la figura, calcular el valor de: T =
61
sen + 6cot
x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
y
Luego si y se ubican como ángulos en posición normal. Se tiene:
(-6;-5)
5. Del gráfico determine: M 8ctg 4 tan *
0; 0
*
360
y
α
¡RECUERDE QUE! : Sean y ángulos coterminales, se cumple: sen = sen cos = cos tan = tan cot = cot sec = sec csc = csc
a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 2
(0;4)
(3;0) x
θ
6. Si: sec = 1,969696… y 0 < < /2. Hallar el valor de: 89
E=
R.T. () = R.T. ()
sen cos
1. Del gráfico mostrado, calcular el valor de “a”.
b) -8
c) 9
7. Si: sec
41
Λ
a) 10
y
csc cot
a) 7
M
d) -7
e) 10
sen <0;
Determine:
4
41sen
4 tan
b) -0
c) -10
d) 5
e) -5
8. Si el punto de intersección de las rectas L1: 2x –y = 7 L2: x+y = 2, pertenece al lado final del ángulo canónico “”. Calcular: K = 10 csc – cot.
(-4;a+1) (1-a;2)
32
x
a) 13
b) -13
c) 7
d) -7
e) -15
9. De la figura, calcular “sen ”. Si BC = 9AB a) 3
b) -3
c) 1
d) -1
e) 0
A Y
2. Si B = ( –2,3); Calcular tan, Siendo ABCD un cuadrado. B
X
C
a) 1/2
b) 1/3
c)
10 20
a) -1/5
b) -2/5
c) –5/2
d) –5/3
e) –3/5
3. Para los siguientes puntos P(-1;-2 2 ) y Q (6;2), pertenecientes al lado terminal de los ángulos y en posición canónica respectivamente, calcule: sec .tan sen.cos. a) 6 2 y -3/10 b) 6 2 y 3/10 c) -6 2 y 3/10 d) -6 2 y -3/5 e) 6 2 y -3/5 Ciclo Regular 2012-II
d)
e)
10 10
10 5
10. Calcule el valor de: E + B. Si se cumple que: E
sen180º 2 cos 360º 3 sen270º
B
5 sec180º 2 csc 90º
2 cos 0º 3 sen270º tan 180º
a) -4/3
3 csc 90º 2 sen90º
b) -5/3
c) 1/3
d) 0
e) 1
Página
203
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA Eje de cotangentes
11. De la figura, hallar el valor de “tan”. Si “0” es centro. a) -5/2 b) -3/2 c) -1/2 d) -1/4 e) -3/4
B
x
o
A’
A B’
12. En la figura AO = BO = 10 y la altura relativa a uno de los lados iguales mide 8. Determinar: J = ctg - ctg . a) –1/4 b) –3/4 c) –5/4 d) 5/4 e) 3/4
13. Del gráfico mostrado, hallar el valor de: E = cos - sen x (-2a;6)
a) -1/2 b) 1/2 c) -1/8 d) 1/8 e) 2
y
0
Eje de tangentes
A (1; 0) B (0; 1) A’ (–1;0) B’ (0; –1)
x2 y2 1 Ecuación de la circunferencia trigonométrica
: Origen de arcos : Origen de complementos : Origen de suplementos. : Sin nombre especial.
ARCO EN POSICIÓN ESTÁNDAR: Es aquel arco cuyo extremo inicial es el origen de arcos de la C. T. y su extremo final cualquier punto sobre la C.T. (es aquel que indica el cuadrante al cual pertenece dicho arco). OJO: El ángulo central correspondiente a un arco en posición estándar tiene una medida en radianes que es igual a la medida del arco en unidades lineales; debido a esta observación se cumple: R.T. ( rad) = R.T. ( ) Sen rad Sen 3 3
(-3 5;-a)
tan2rad = tan2 Es decir, con esta propiedad fundamental es posible calcular las razones trigonométricas de cualquier número real, siempre y cuando esta se encuentre definida.
14. Si AM = MN = NB. Hallar el valor de: E=tan + 2tan y
B(4;21) N
a) 4 b) -14 c) -4 d) 14 e) 6
M
A(-5;3)
x
15. Sean y ángulos en posición normal tales que sus lados finales están en el tercer y segundo cuadrante respectivamente. Si los sumandos de la expresión
tan
2
4 tan 4
números reales, calcule: E a) -5
b) -6
c) -7
sen2
1
sen
4
son
OBSERVACIÓN: En la circunferencia trigonométrica el extremo de un arco “” tiene por coordenadas (cos ; sen).
5 sec 2 3 cos
d) -8
e) -9
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA (C.T.) Es aquella que se encuentra en el plano cartesiano, el centro coincide con el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad (1u).
Ciclo Regular 2012-II
“” y “” son arcos en posición estándar tales que: es (+) IC es ( –) IIIC
UBICACIÓN DE UN NÚMERO CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
REAL
EN
LA
Los números 0; /2; ; 3/2 y 2son bastante útiles para ubicar números reales en la circunferencia trigonométrica.
Página
204
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Y 1,57 2
3,14
-4,71
Y
cos
3 2
1 2
;
1 2
-6,28 X
O
X 2 6,28
-3,14
O
4,71
-1,57
REPRESENTACIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Representación de Seno: El seno de un arco es la ordenada de su extremo. VARIACI N ANAL TICA S e n = 1 e e s c e r x c e Crece e D o S en= 0 n D e o c n r Crece e e c s e
Sen=-1
e t s i x e o S en= 0 n o n e s l E
Representación de la Tangente: La tangente de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco. VARIACIÓN ANALÍTICA La tangente no existe - +
–1 sen 1 R
Crece Crece
Importante: i) El máximo valor de seno es 1 ii) El mínimo valor de seno es -1
tg=0 Crece Crece
+ La tangente no existe
Ejemplo: Hallar la variación del seno, Si: [45º; 60º . sen 45º sen sen 60º 2 2
sen
[
2 2
–< tan< +
3 2
sen ;
tg=0
R (2n 1)
3 2
2
/ nZ
Representación de la Cotangente: La cotangente de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de complementos y la prolongación de radio o diámetro que pasa por el extremo del arco. VARIACIÓN ANALÍTICA e t s x e o n e t n e + g n a t o c a
Representación del Coseno: El coseno de un arco es la abscisa de su extremo. VARIACI N ANAL TICA El coseno no existe cos=0
cos=-1
D c e e c r e r e c e c e D
cos=1
Ctg=0 D c e e c r r e e c c e e D D+ e e c c e r r e c c e e D
–< ctg < + R – n/n Z
Representación de la Secante: La secante de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje “x”. VARIACIÓN ANALÍTICA La secante no existe - +
Crece Crece cos=0 El coseno no existe
Sec=-1 e
Importante: i) El máximo valor del coseno es 1 ii) El mínimo valor del coseno es -1
1 2
cos
Crece Crece
DSec=1 e c e r c r e c c e e D
–1 cos 1 R
Ejemplo: Hallar la variación del Coseno Si: cos120º cos cos60º
Ctg=0
e t s i x e o n e t n e g n a t o c a L
- + La secante no existe
60º; 120º .
sec –1 sec 1 1 2
R (2n 1) / n Z
1 2
Ciclo Regular 2012-II
Página
205
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Representación de la Cosecante: La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección, entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje “y”. VARIACIÓN ANALÍTICA e t s x e o n e t + n a c e s o c a
Csc=1
D e c r e c e D + e c r Crece e c e
Crece
Csc=-1
e t s i x e o n e t n a c e s o c a L
a) sen b) cos c) sen d) cos e) 2sen 7. En la circunferencia trigonométrica mostrada, determine el
valor del segmento PT. a) 0,125 b) 0,25 c) 0,3 d) 0,5 e) 0,75
csc –1 csc 1 R n / n Z
EXTENSIÓN GENERAL Para todo “k” impar positivo 1 sen
k
1 cos
k
8. En el gráfico mostrado, AB es un arco de circunferencia con
1
tan
centro en “D”. Calcule: sen
1 k
a) –1/2 b) – 2 /2 c) 1 – 2 d) 2 –1 e) 2 –2
Para todo “k” par positivo 0 sen
k
0 cos
k
1
k
0 tan
1
9. En la C.T. mostrado, determinar el área de la región
sombreada. a) 0,75tan b) –0,75tan c) 0,5tan d) 0,5cot e) tan
1. Indique los símbolos que deben estar en los espacios en blanco.
sec8.csc9……....0 csc10.sec11…….0 sec.12.Csc13…..0 a) >, >, > b) <, <, <. c) <, <, >. d) <, >, > e) >, <, >. 2. Calcule el intervalo de: y (2senx 1)(2senx 1) a) 2; 3 d) 1; 4
b) 0; 3 e) 1; 2
10. Con ayuda de la figura mostrada, calcular el área del
triángulo PAB. a) (1 – sen)/2 b) (1 + cos)/2 c) (1 – cos)/2 d) (1 + sen)/2 e) (1 – sen – cos)/2
c) 1; 3
3. Hallar la diferencia del valor máximo y mínimo de la función
definida en: f ( x ) a) 10/3 4. Si
b) -4/3
5 cos x 2
11. En la figura adjunta, se muestra una circunferencia
3
c) -1
IIIC y además:
d) 4/3 sen
valores enteros que asume “n”. )1y6 b) 1/2 y 3 )1y3 e) –1 y –2
e) 3
trigonométrica. Si A es el origen del arco , calcule PQ. Y
2n 6 , determine los 5
A
X
c) 1 y 2
5. Si IIC, hallar todos los valores enteros de “k” para que la siguiente igualdad exista: cos 3k 5 . 7
) -2 y 1 b) 2 y 3 c) 1 y 2 ) -3 y -2 e) 4 y –5 6. Del gráfico mostrado, calcule la longitud de la circunferencia de centro “O 1” (P y Q puntos de tangencia)
Q
P
a) d)
4 cosθ 1+ senθ 4 cosθ sen θ - 1
b) e)
4 cosθ 1- senθ
c)
4 sen θ cos θ - 1
4 senθ 1 - cos θ
12. Del gráfico adjunto, halle el valor de la expresión:
1 4r
Ciclo Regular 2012-II
Página
+
r 4
206
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES FUNDAMENTALES: Existen ocho identidades fundamentales, que pueden ordenarse en tres grupos: de recíprocos, de división y pitagóricas.
Y 2
a) tan2 +
½ b) cot2 + ½ c) csc2 + ½ d) sec2 + ½ e) sen
2
x +y =1
X O
Identidades trigonométricas recíprocas: senx . csc x
1 ; x
n , n Z
cos x . sec 1 ; x 2n 1
13. De la figura mostrada, calcule: E = 15sen tan x . cot x
Y
a) b) c) O
6
2 6-
2
6-
d)
X 2
2 2
e)
2
x +y =1
2
2
2
2
tan x
6
14. De la figura, halle el área de la región sombreada en
; x n
2
2
senx
1
,n Z sec x
, nZ
cot x
1
cos x 1
tan x
Identidades trigonométricas por división: senx
; x
cos x
6
1
csc x
cos x
cot x
2n 1
;nZ
2
; x n ;
senx
nZ
Identidades trigonométricas pitagóricas: 2
términos de .
2
sen x cos x
1; x R
(4;a)
2
sen x
1
2
2
cos x
cos x
1
2
sen x
X 2
2
tan x 1 sec x ; x
a) 2 + cos c)
4 - senθ
e)
4 cosθ
2
b)
4 - senθ Cosθ
d)
4 senθ - cos θ
2
2
sec x
2
tan x
2n 1
2
2
1
,n R
2
tan x
sec x
1
2
2
2
cot x 1 csc x ; x
2
15. En la circunferencia trigonométrica mostrada: P=(a ; b) y la medida del arco AQ = . Halle M a 3b .
a) cos – b) cos + c) sen –
sen 3 sen 3 cos
3
d) sen + 3 cos e) cos – sen
2
2
csc x cot x
n , n R
2
1
cot x
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Son las diferentes relaciones que se establecen entre las razones trigonométricas de una cierta variable (número o ángulo); y que se verifican para todo valor admisible de dicha variable. Se entiende que un valor es admisible cuando la razón trigonométrica de dicho valor, está perfectamente definido. Estas identidades trigonométricas se clasifican de la siguiente manera:
2
csc x
1
OBSERVACIÓN: Verso de x: Versx = 1 - cosx Coverso de x: Covx = 1 - senx Exsecante de x: Ex secx = secx - 1 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES ( senx cos x 1)( senx cos x 1) sen
4
sen
6
x
cos
4
x
cos
6
x
1 2 sen
x
1 3 sen
tan x cot x
sec x. csc x
sec
2
x
csc
sec x
2
x
tan x
csc x cot x
2
2
2
. cos
x
2 senx. cos x
x
. cos 2 x
x
sec 2 x. csc 2 x 1
sec x tan x 1 csc x cot x
1 2 senx cos x
(1 senx cos x )
Ciclo Regular 2012-II
2
senx
1 cos x cos x
1 senx
1 cos x senx
1 senx cos x
| senx cos x | 2(1 senx)(1 cos x) Página
207
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
PROPIEDAD: Si: Asenx + Bcosx = C . Se cumple que: sen x =
A C
cosx =
B C
A 2
B
2
C
2
¡NO TE OLVIDES!: Se recomienda, en el proceso de simplificación de expresiones; el colocar a esta en términos de senos y cosenos; para luego operar. Si bien el criterio es bueno, no siempre reduce rápidamente la expresión; pero no dejar de ser por ello, un criterio bastante usado. Observación: Al resolver ejercicios y problemas sobre identidades trigonométricas es recomendable tener en cuenta lo siguiente: a) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que se relacionan directamente, entonces es recomendable trabajar con dichas relaciones. b) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que no se relacionan directamente, entonces se sugiere escribir los términos de la expresión en función Seno y Coseno. sec x senx cot x csc x cos x
Ejemplo1: Simplificar: L =
Resolución: Vamos a colocar todas las expresiones en términos de senos y cósenos; así: 1 senx sec x senx . cos x L = cot x cos x 1 senx csc x cos x cos x senx
Reduciendo: L=
senx cos x
cos x
senx
4
4
Operando: 2
sen x
2
cos
x
1
C
1
C
4
3
3
sen x cos x
Ejemplo5: Siendo:
7
senx cos x
; calcular:
8
C = tanx + cotx Resolución: Recuerde que: a3+ b3= (a+b)(a2 – ab + b 2) En la condición:
(senx cos x )(se n2 x senx. cos x cos2 x ) ( senx cos x )
7 8
Simplificando: 7
1 - senx.cosx = Piden:
senx. cos x
1
8
8 senx
C = tanx + cotx =
cos x
cos x
2
sen x
Operando: C = C =
1
senx
cos x.senx C
cos2 x
1 senx. cos x
8
1 8
1. Simplifique la expresión: L
4
cos x.senx
1 sen. cos x cos x . cos x 1 cos x.senx senx senx
Operando y Ordenando: L =
1 cos x . cos x 1 senx senx
Resolución: De la condición: tanx + cotx = 4; piden: C = senx.cosx Pasando a senos y cosenos:
senx cos x . cosx senx
L 1
Ejemplo2: Siendo: tanx + cotx = 3. Calcular: C = tan 2x + cot2x Resolución: A partir del dato: tanx + cotx = 3 Elevando al cuadrado: (tanx + cotx) 2 = 32 tan2x + 2tanx.cotx + cot 2x = 9 tan2x + cot 2x + 2 = 9 C + 2 = 9 C = 7 Ejemplo3: Reducir: L (sec x + tan x-1)(sec x –tan x + 1) Resolución: Si bien, el pasar a senos y cósenos, es un criterio muy generalizados; no siempre es necesario tales cambios; sino también el manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema, por ejemplo: L = (sec x + tan x-1)(sec x –tan x + 1) Operando: L = sec2x- secx.tanx+ secx+tanx.secx-tan 2x+tan –secx+tanx-1 Reduciendo: L = sec2x – tan2x + 2tanx – 1 L =1 + 2tanx - 1 L = 2tanx Ejemplo4: Sabiendo que: tanx + cotx = 4; calcular: C = senx.cosx
a) 3tanx d) 2cotx
2senxcosx - cosx
1 senx sen
b) 2tanx e) cotx
2
x
cos
2
x
c) tanx
2. Determine el valor de “m” en: 1 sen
1 2
x
cot
1
2
x
a) csc2x d) tan2x
cos
m
2
x
b) sec2x e) 1
3. Si se cumple que:
c) cot2x
sen 3 3
de:
K
cos 4
, calcule el valor
4
sen cos
a) 12/25 b) 25/23 c) 6/13 d) 4/9 e) 3/5 4. Elimine el ángulo “x” de: 1 + cscx + cotx = m y 2 + cscx – cotx = n a) (m-2)(n-1)=1 d) mn-n=m
b) (n-2)(m-1)=1 e) mn-n+m=1
c) (m-1)(n-2)=1
5. Si sen cos , calcule el valor de: 4
M
tan
a) -1
Ciclo Regular 2012-II
M
1
sec csc
b) 1
2
c)
3
d) -
3
e)
Página
3 2
208
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
6. Reducir la expresión: P=
sen θ cos θ - 1 sen θ cos θ - 1 6
2
6
4
2
4
Si “”IC. ) 2/3 b) 3/2
tanθ + cotθ
.
4
2
2 2 sec θ + csc θ
c) 9/4
Q=
2
d) 4/9
e) 1
3
c) 5/7 12
M
sen x
a) senxcos x c) 2 senx cos x e) 3 sen2 x cos2 x 1 sen 1 cos
Hallar: M ) 144/25
cos x
2
α
1 + cot
2
β
m cos nsen 3
B
3
n cos msen 3msen 2n cos
cos x
msen n cos
cos x
4
Halle el valor de: E = A + B a) 1 b) 2 c) 3
d) 4
e) 5
2
4
1+ tan
m cos3 3m cos 2nsen
8
4
sen x
3
b) sen x cos x d) sen x cos x
1 sen
18
8
sen x
6
e) 2/3
2
1
12
cos x
nsen
A
d) 1
6
sen x
8. Simplifique:
9. Si:
2
sen 2 x( 2 sen 4 x) cos 2 x( 2 cos 4 x)
b) 2/5
13/3 13/2 13/6 12/5 6/13
15. Dados las siguientes condiciones:
2
sen x( 1 sen x) cos x( 1 cos x)
) 3/2
7. Simplificar la siguiente expresión: 2
a) b) c) d) e)
1 cos
4
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRÁNTE
25
Consiste en comparar el valor de las razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud con respecto al valor de la razón trigonométrica de un ángulo del primer cuadrante (agudo).
8
. (“” y “” son ángulos agudos)
b) 25/144
c) 103/3 d) 12/5
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA Si es un ángulo agudo se tiene que:
e) 5/12 y
10. Si se cumple que: cscx + cotx = 4, calcule el valor de: P = 3(tanx + secx) )6 b) 7 c) 3 d) 4 e) 4 11. De la figura simplificar: H=
m2 - 2tanθ - ctgθ cosθ senθ
a)-sec b)sec2 c)-2sec d)2sec e)sec
90°
90 360
90 180
x 0°; 360°
180° x'
180 270
360 270
y' 270°
PROPIEDAD I:
Permanece igual 180º .R.T. = R.T. (). 360º
Depende del cuadrante 12. Si se cumple que: sen cos a , calcule el valor de: E (1 sen )(1 cos )
a) d)
a
2
2
(a 1)
2
2
Ejemplo 1: sen330º (330º IVC) Permanece igual
b)
(a - 1)
e)
a 1 2
2
2
c)
a
2
1
2
2
13. Reducir la siguiente expresión: M=(sen2x - cos2x)(sen4x+cos4x) (sen8x+cos8x)+cos16x ) sen16x b) sen32x c) cos32x ) cos16x e) cos8x 14. Del gráfico, calcule: A = sec .csc
sen330º = sen(360º – 30º) = –sen30º = 1
2
(en el IVC seno es –) sen300º = 1 / 2
PROPIEDAD II:
cambia . R.T. 90º = co R.T. ( ) 270º
Depende del cuadrante
Ciclo Regular 2012-II
Página
209
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Luego: csc 855º
Ejemplo 2: cos150º (150º IIC) Cambia por su
csc (-855º) = 3
cos150º = cos(90º + 60º) = -sen60º =
6
2 2
Ejemplo 3: Calcular: E 4 Sen
300º
Cos120º
3
3Tg 135º
Solución: Para este tipo de medidas se sugiere relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego continuar con los pasos del ejemplo anterior. 4 sen(360º 60º )
2
E
121
cos
3
2
OJO: Cuando el ángulo está en radianes puede utilizar el siguiente procedimiento.
2
(en el IIC el cos es -) cos 120º =
= - csc 135º = - csc (180º - 45º) = -csc45º = - 2
Cos (180º
cos 121 = cos
6
6
225
tan
60º )
12
3 tan(180º 45º )
3
E
4
sen60º
3
2
tan 45º
4 cos 60º E
3
3
2
1 2 2 3 3 1
5 tan 225 tg 7 tg 12
tan 225
12
3 1 4 4 2 E 3 1
3 E
1 2
3
E
7
tan
360º K
=
5 12
6
sen( –) = –sen cos( –) = cos tan( –) = –tan cot( –) = –cot sec( –) = sec csc( –) = –csc
FORMA PRACTICA: Nótese que el signo se “anula” para el coseno y secante; y para las otras cuatro, el signo “sale”
360º K +
R.T. () = R.T.( )
Ejemplo 1: cos( –120°) = cos120° cos( –120°) = cos(180° – 60°) = –cos60° = -1/2
Ejemplo1: tan 1628º Residuo
12
PARA ÁNGULOS NEGATIVOS ( –): Para todo ángulo “”, se cumple:
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA Para este caso bastará con dividir a la variable angular por 360º o su equivalente 2rad, para finalmente trabajar con el residuo. Si el residuo no pertenece al primer cuadrante, deberá utilizarse la reducción de ángulos menores que una vuelta.
12
1628º 360º 1440º 4 88º
Ejemplo 2: tan( –274°) = –tan274° tan( –274°) = –tan (270° + 4°) tan( –274°) = – ( –tan4°) = tan4°
Luego: tan 1628º
= tan 188º = tan (180º + 8º) = –tan 8º tan 1628º = –tan 8º = 1/7 P
Ejemplo 2: cos 1500ºº Residuo Luego: cos 1500º
1500º 1440º 60º
360º 4
b) 2
a) 3
cos(90º x)
c) -1
tan(180º x) cot( 270º x)
d) -2
e) 0
sen(180º )
b) 2
cos( 270º ) cos(90º )
c) -1
d) -2
e) 0
3. En un triángulo ABC, simplifique el valor de:
Ejemplo 3: csc ( –855º) csc ( –855º) = - csc 855º
Ciclo Regular 2012-II
a) 1
2. Reduzca:
cos 1500º = 1/2
Residuo
1. Simplifique:
A
= cos 60º
sen(180º x)
855º 720º 135º
M
360º 2
sen( A B
a) 1
2C ) sec( A 2 B C ) sec B sen( A B )
b) 2
c) -1
d) -2
e) 0
Página
210
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
4. Si A y B son ángulos complementarios, simplifique: E
15. Si: x + y + z + w = 2 . Reducir: sen( x y z ) sen( y z w) senx senw E cos(( y z w) cos( x y z ) cos x cos w
sen( A 2 B ) tan( 2 A 3 B )
cos(2 A B ) tan( 4 A 3 B)
b)
a) 1
c)
3
5. Calcule el valor de: P
d) -1
2
sen150º
e) -
2
a) tan(x+y+w) b) –tan(x+y+z) c) tan(y+z+w) d) –tan(y+z+w) e) 0
cot 225º
3 cos 330º
a) -1/2
b) -1/3
c) -1
d) -2
e) -3
6. Calcular el valor de “n” en la siguiente igualdad: nsen170º 2n cos 100º
a) 1
b) 1/2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ARCOS
3 cos 100º sen10º
c) 0
d) 1/3
e) 2
tan 155º tan 115º
Cuando un ángulo está formado por la suma algebraicas de dos o más se le llama “Ángulo Compuesto”, así: “A + B”; “A – B” y “A + B – C” son ángulos compuestos.
tan 155º tan 115º
7. Si tan25º = a, calcule el valor de: W
a)
a
2
a
2 2
a
d)
2
a
2
b)
2
a a
1
2 2
c)
3
a a
2
1
2
1
2a
e)
1
3
a
2
si : A
1
e) -
3
9. Calcule el valor de: M = 2tan1485º + 3sec2220º - 3csc750º b) -6
c) -1
10. Calcule el valor de: P sen a) d)
b)
2 4
d) -2
37 3
. cos
6 4
11. Calcule el valor de: E a) 1/2
b) -3/4
12. Simplifique: a) 2
E
sen
85
. cot
99
(200 )
sen
sen
c) -1
1
3 2
1
2
Se observa que: sen(A + B)
sen (x - y) = senx.cosy – cosx.seny
3 4
. cos
55 6
d) 2
e) 3/4
tan(121 ) tan
d) -2
2. COSENO DE UNA SUMA O DIFERENCI cos (x + y) = cosx.cosy – senx.seny cos (x - y) = cosx.cosy + senx.seny
3. TANGENTE DE UNA SUMA O DIFERENCIA
e) 0
71 89 x 3 tan x 2 2 P cos( 72 x) cot(51 x) 13. Reduzca:
b) 1
c) -1
d) -5
tan( x y)
a)
2
1
4
b)
3 1
2 1 2
2
d)
cos(12n 1)
e)
2
Ciclo Regular 2012-II
2 1
tan( x y )
e) 0
cot( x y )
3
c)
tan x tan y 1 tan x tan y tan x tan y 1 tan x tan y
4. COTANGENTE DE UNA SUMA O DIFERENCIA
14. Si “n” es un número entero, calcular el valor de: E sen(8n 1)
senA + senB
Fórmulas Básicas: 1. SENO DE UNA SUMA O DIFERENCIA
2 sen
a) 5
6 4
4
60º , B 30º A B 90º
sen (x + y) = senx.cosy + cosx.seny
4
63
3
c) 1/4
b) 1
e) 8
c) e)
2 6
Asumiendo: sen(A + B) = senA + senB Sen90º = sen60º + sen30º
8. Calcule el valor de: K = tan1920º.cot36135º a) 3 3 b) 3 3 d) -1 c) 2 a) -4
Es útil prevenir contra el error, de suponer que la razón: sen(A + B) = senA + senB. Asì: sen(A+B) senA+senB y cos(A-B) cosA - cosB Un ejemplo numérico ilustrará esto.
3 1 2
cot( x y )
cot y cot x 1 cot y cot x cot y cot x 1 cot y cot x
3
Página
211
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
ADICIONALES :
2
2
sen A B sen A B sen A sen B
Ejemplo: Reducir : K
2
( sen 38º
2
sen
8º ) csc 46º
tan A tan B
cot A cot B
cot A cot B
Resolución: K sen(38º 8º ) sen(38º 8º ) csc 46º K
sen46º.csc 46º sen30º K 1.( 1 )
2
cos A B cos A B
Ejemplo: Reducir : N
cos
2
2
1/ 2 2
A sen B 2
cos A cos B sen( A B ) senAsenB
sen( A B) senAsenB
OBSERVACIÓN: Debido a su frecuente aplicación es interesante recordar las identidades siguientes:
cos 52,5º sen 7,5º
senx
Resolución: N cos(52,5º7,5º ) cos(52,5º7,5º ) N
sen( A B )
cos 60º cos 45º
N
cos x
2 sen( x 45º )
senx
3 cos x 2 sen( x 60º )
senx
2 sen( x 45º )
3 senx cos x 2 sen( x 30º )
3 senx cos x 2 sen( x 30º )
1 2 2 ( )( ) 2 2 4
cos x
senx
3 cos x 2 sen( x 60º )
Siendo f(x) = aSenx + bCosx ; x R Se cumple:
a2
b
2
f ( x) a 2
b
2
A
Si: A + B+ C = , se cumple: Tg A + tg B + tg C = tg A .tg B . tg C ctg A ctg B + ctg A ctg C + ctg B ctg C = 1 Si:
A B C
2
1.
, se cumple: 2.
¡RECUERDE QUE! Si se cumple: K = A.Senx B.Cosx
A
K min
2
A
2
B
3.
2
E ( mìn)
212
B
21
4.
( 20) 2
( 20)
2
5.
29
3 senx
Resolución:
29
M ( mìx)
3
6.
3
2
6
2
6
2
2
a)
17
7.
Pr oducto
tan x
tan y
Re sta
tan A tan B
Pr oducto
Re spuest a
sen( A B)
cos A cos B
Ciclo Regular 2012-II
tan( x y )
c)
b) 4
15
d)
b) tan e) 0
cot
Si x
e)
11
13
y
30º
c)
cot
, calcule el valor de la expresión:
2 csc( x y )( sen 2 x sen 2 y )
b) 1/4
d)
c) 2
3 2
e) 1
Calcule el valor de la expresión: N
8.
e) 4
15 , calcule el valor de la expresión:
tan
sen57º
Re spuest a
tan x. tan y.tan( x y )
d) 5
(1 tan tan ) tan( ) tan .
cos 37º cos 20º
a) 25/24
c) 6
Reduzca la siguiente expresión:
Suma
c) cotx e) secy
5sen(37º ) 3 cos
M
a) 1/2
3
tan x tan y tan x. tan y.tan( x y ) tan( x y )
b) tany
b) 8
Si tan
Q
3
IDENTIDADAES AUXILIARES
cos( x y) senxseny .
Si sen( ) 9sen cos , calcule el valor de: E tan cot .
a) d)
6 cos x
M ( máx)
c) tany e) 1
sen( x y) seny cos x
Reducir: a) tanx d) coty
M
Ejemplo2: Hallar el valor máximo y mínimo valor de: M
b) coty
a) 7
2
2
cos( x y) cos( x y)
Ejemplo 1: Hallar el máximo y mínimo valor de: E = 21senx – 20cosx Resolución:E = 21senx + (-20)cosx E ( máx)
Reducir: a) tanx d) cotx
M
Ctg A + ctg B + ctg C = ctg A ctg B ctg C Tg A tg B + tg B tg C + tg A tg C = 1
K máx
sen( x y) sen( x y)
b) 12/25
sen33º
.
cos 53º cos 20º
c) 1
d) 25/12
e) 24/25
Siendo: x y 6 , calcule el valor de la expresión:
E
a) 1
3 (tan x tan y ) tan x tan y
b) 3
c) 2
d)
3
e)
Página
2 3
212
COMPENDIO ACADÉMICO
TRIGONOMETRÍA
Calcule el valor de la expresión:
9.
p
tan 40º tan 60º tan 80º
cos 2 x
.
b)
c) 3
2
Calcule el valor de: E
e)
d) -3
3
Qmáx Q . mín , si se cumple:
Q tan 60º ( senx cos x) sec 45º ( senx cos x)
a) 10 11.
b) 8
c) -8
d) -10
Si se cumple que: 3cosx = 5cos(2y + x). Hallar el valor de: “cot(x + y)”.
2
sen x
5 3º
A
7
C
H
a) –1/16 b) –1/8 c) –1/6 d) –1/4 e) –1/2
cot 2 x
M
cot x. cot x 1 cot x cot x
sen
C.T . sen
b
=(cos;sen) y
b) -1/2
c) 3/2
d) -3/2
e) -1
Reducir la expresión: 2
1
1
cos 4
6
cos6 4
x
cot tan 2 cot 2
cos 2
4
8 sen
cot tan 2 csc 2
cos 2
3 4
1
5 8
4 3
8
cos 4 cos 4
3 4 cos 2 x cos 4 x
= (cos ; sen). Tales que: a + b + c = 0. Calcule el valor de: H = cos( – )+cos( – )+cos( –) c
a) 1/2
x
2 cot x
1
2 cos
X
2
OTRAS IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE: 2
2 tan x 1 tan 2 x
2
Dados los vectores: a =(cos ; sen) ;
1 tan x. tan x
cot
2 sen
P
tan x tan x
tan 2 x
cot 2 x
Sabiendo que la distancia entre M y P es 1,5 , calcule: cos( – ) Y
tan 2 x
cot 2 x cot( x x)
a) 7/13 b) 67/31 c) 23/74 d) 1/2 e) 34/41
13
15.
TANGENTE DEL ARCO DOBLE: Utilizamos la identidad de la cotangente de la suma de dos arcos:
B
14.
cos2 x
TANGENTE DEL ARCO DOBLE: Utilizamos la identidad de la tangente de la suma de dos arcos: tan 2 x tan( x x)
e) 6
a) 2tany b) –2tanx c)4tany d) tanx e)tany 12. En el siguiente triángulo, calcular “tanB”
13.
cot 50º cot 10º
a) 1 10.
cos2x = cosx.cosx - senx.senx
tan 2 x tan x
sec 2 x 1
TRIANGULO RECTÁNGULO DEL ÁNGULO DOBLE (2X):
2
K sen x cos y 2 senx cos ysen( x y)
a) sen( x 2 y ) b) cos( x y ) c) sen( x y ) d) cos2 ( x y) e) sen2 ( x y)
2 2
2
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICA DE ARCOS MÚLTIPLES SENO DEL ARCO DOBLE: Utilizamos la identidad del seno de la suma de dos arcos: sen2x = sen(x + x) sen2x = senx.cosx + cosx.senx sen2 x
2 senx cos x
COSENO DEL ARCO DOBLE: Utilizamos la identidad del coseno de la suma de dos arcos: cos2x = cos(x + x) Ciclo Regular 2012-II
2
Del cual obtenemos: 2 tan x sen2 x 1 tan 2 x
cos 2 x
1 tan
2
1 tan
2
x x
SENO DEL ÁNGULO MITAD: Sabemos que:
x x 1 2 sen 2 2
cos 2
2
Página
213
COMPENDIO ACADÉMICO
1 2 sen
cos x
sen
2
x 2
TRIGONOMETRÍA x
tan
x 2
x
2
1 cos x 2
cos
2
x 2 cos 2 1 2
cot
1 cos x
2
x x 2 tan 2 cos x 2
2 1 cos x 2
1 cos x 1 cos x
x
2
Ejemplo 1. sen40°: x 40º x = 80º; además: sen40° es (+). 2
sen40° =
1 cos 80º 2
2
cos100° =
1 cos 200
x
x 2 cos 2. 2 x x 2 cos sen 2 2 cos
x
2 cos 2
x 2
x x 2 sen cos 2 2
1 cos x
senx
2
x x (1 senx) sen cos 2 2 x sen
x sen
cos
x
2 x
cos
2
2
1 senx
1 senx
SENO DEL ÁNGULO TRIPLE: sen3x = sen(2x + x) sen3x = sen2x.cosx + cos2x.senx sen3x = 2senx.cosx.cosx + (1 – 2sen2x).senx sen3x = 2senx(1 – sen2x) + (1 – 2sen2x)senx sen3x = 2senx – 2sen3x + senx – 2sen3x
3 senx
4 sen
2
x
COSENO DEL ÁNGULO TRIPLE: cos3x = cos(2x + x) cos3x = cos2x.cosx - sen2x.senx cos3x = (2cos2x – 1)cosx - 2senx.cosx.senx cos3x = (2cos2x – 1)cosx - 2(1 – cos2x)cosx cos3x = 2cos3x – cosx – 2cosx + 2cos3x
cos3 x 4 cos3 x 3cos x tan 3 x tan( 2 x x)
tan 3 x
tan 2 x tan x 1 tan 2 x tan x 2 tan x
2
tan 3 x
96º x 192º x = 192º; además: tan96° es( –).
tan96°=
senx
2
cot – tan x = 2cotx
1 tan 1
2
cos
2
csc x cot x
Ejemplo 3. tan96°: x
cos x
TANGENTE DEL ÁNGULO TRIPLE:
Ejemplo 2. cos100°: x 100 x=200º; además: cos100° es ( –).
2 sen
2
x
2
sen3 x
¡NO TE OLVIDES! En cualquiera de los tres casos, el signo a emplear () dependerá del cuadrante en el que se ubique el ángulo y de la razón trigonométrica que se va a calcular.
2 sen
x
x
2
1 cos x
1
2
x
tan x + cot x = 2cscx
2
sen
2 x
2
2
TANGENTE DEL ÁNGULO MITAD:
x 2
x
2 sen
csc x cot x
2
tan
x
2
x 1 cos x 2 2
x 2
cos
2 cot x 2 sen 2
x 2 x cos 2 2 cos 1 2 2
cos
cos
x
COSENO DEL ÁNGULO MITAD:
cos x
x
x
2
.
cos
sen
Sabemos que:
2
2
tan
2 sen
sen
2
x
2
x 1 cos x 2 2
2
x
sen
1 cos 192
1 cos 192
tan x
x
2 tan x 1 tan
2
. tan x
x
2 tan x tan x tan tan 3 x
1 tan 1 tan
2
x
1 tan
Otras Identidades del Arco Mitad
2
x
x
2 tan 2
3
2
x
x
2
tan 3 x
Ciclo Regular 2012-II
2
3 tan x tan x 2
1 3 tan x Página
214
