TRIGONOMETRIA CIRCULAR Son las funciones funciones trigonométric trigonométricas as que utilizamos utilizamos en la vida corriente corriente,, las que son imprescindibles en cualquier mínimo cálculo. En España, los escolares de Educación Secundaria han de dominarlas en breve plazo. Sin Sin emba embarg rgo, o, siem siempr pre e es nece necesa sari rio o prec precis isar ar el luga lugarr que que ocup ocupan an en el desarrollo actual de la atemática. !eamos algunas características básicas, necesarias para quienes deseen ampliar un estudio sobre las mismas.
Las funciones trigonométricas circulares "enominamos funciones trigonométricas circulares a aquellas funciones trigonométricas referenciadas en la circunferencia. #as funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola se denominan funciones hiperbólicas.
$or simplicidad, % puesto que lo permite el &eorema de &hales, usamos la circunferencia trigonométrica 'de radio unidad( para el estudio de las funciones circulares, lo mismo que podríamos usar la hipérbola equilátera de parámetro unidad para el estudio de las funciones hiperbólicas.
Circunferencia trigonométrica: $ara un punto cualquiera '),%( se veri*ca, cualquiera que sea el radio r de la circunferencia, que son constantes las razones )+r, %+r, en virtud del &eorema de &hales. $or lo cual, % por simplicidad, podemos utilizar, en el estudio de las func funcio ione nes s circ circul ular ares es,, la circ circunf unfer erenc encia ia en la que que r -, es deci decir, r, la que que llamaremos circunferencia trigonométrica, de radio unidad.
La denicin de las funciones circulares !enicin:
ue llamaremos/ sen a / 0seno circular del ángulo a1, o, simplemente, 0seno de a1 2unción seno/ f')( sen)
cos a / 0coseno circular del ángulo a1, o, simplemente, 0coseno de a1 2unción coseno/ f')( cos) tg a / 0tangente circular del ángulo a1, o, simplemente, 0tangente de a1 2unción tangente/ f')( tg) ctg a / 0cotangente circular del ángulo a1, o, simplemente, 0cotangente de a1
2unción cotangente/ f')( ctg) 'inversa de la tangente(
sec a / 0secante circular del ángulo a1, o, simplemente, 0secante de a1 2unción secante/ f')( sec) 'inversa del coseno( cosec a / 0cosecante circular del ángulo a1, o, simplemente, 0cosecante de a1 2unción cosecante/ f')( cosec) 'inversa del seno( Relaciones elementales: "el &eorema de $itágoras en la anterior *gura, tenemos/
% de la de*nición de las restantes razones/
de la anterior relación pitagórica/
&ambién pueden e)presarse la tangente % la cotangente en función de la secante % cosecante/
por tanto/
!ominios " gr#cas: El seno " su in$ersa: 3aracterísticas de % sen )/ 2unción seno/ función real de variable real "ominio/ "om'sen')((4 4ango/ 56-,-7 $aridad/ sen ) 6 sen'6)( 5función impar7 #a cosecante/
% cosec ) -+sen ) 2unción cosecante/ 2unción real de variable real/ "ominio/ "om'cosec')(( 46 4ango/ 4 6 '6-, -( $aridad/ cosec ) 6cosec'6)( 5función impar7 8rá*cas/
El coseno " su in$ersa: 3aracterísticas de % cos )/ 2unción coseno/ función real de variable real "ominio/ "om'cos')((4 4ango/ 56-,-7 $aridad/ cos ) cos'6)( 5función par7 -.9.:.b. #a secante/ % sec ) -+cos ) 2unción secante/ 2unción real de variable real/
"ominio/ "om'sec')((46 4ango/ 4 6 '6-, -( $aridad/ sec ) sec'6)( 5función par7 -.9.:. c. 8rá*cas/
%&'&'& La tangente " su in$ersa: -.9.9.a. 3aracterísticas de % tg )/ 2unción tangente/ función real de variable real
"ominio/ "om'tg')((46 4ango/ 4 $aridad/ tg ) 6 tg'6)( 5función impar7 -.9.9.b. #a cotangente/ % ctg ) -+tg ) 2unción cotangente/ 2unción real de variable real/ "ominio/ "om'ctg')(( 4ango/ 4 $aridad/ ctg ) 6 ctg'6)( 5función impar7 -.9.9.c. 8rá*cas/
(rmulas de la suma " diferencia de argumentos Es fácil obtener las razones trigonométricas circulares del ángulo suma % diferencia de otros dos ángulos a + b % a - b.
Si, en la *gura, consideramos los vectores perpendiculares
$odemos e)presar con respecto a ellos el vector
5-.-7 ; sea/
5-.:7
$or tanto/
%
/
&ambién, sustitu%endo la b por 6b en las relaciones obtenidas/
$ara las restantes razones de los ángulos suma % diferencia pueden obtenerse a partir de las anteriores diferentes e)presiones, en función de las tangentes, cotangentes, secantes o cosecantes de ambos ángulos. !eamos algunos e=emplos/
(actori)aciones > partir de las razones de los ángulos suma % diferencia pueden obtenerse fórmulas que conviertan sumas % diferencia de senos o cosenos en productos, es decir, que nos permitan factorizar sumas % diferencias. #lamando a ? b > % a 6 b @, se tiene/
entonces/
en de*nitiva se tiene para la factorización de suma % diferencia de senos o de cosenos/
3on las restantes razones circulares se actAa de forma análoga. En el caso de la tangente, por e=emplo, se tiene/
!eri$adas: $odemos obtener, con las relaciones de factorización de su mas % diferencias, de forma sencilla, las funciones derivadas de las funciones circulares desde la de*nición de derivada/ "erivada del seno/
"erivada del coseno/
Se tienen, en de*nitiva, las derivadas
#as derivadas de las restantes funciones circulares se obtienen usando las reglas elementales de derivación. !eamos el caso de la derivada de la tangente/
E*+resiones e*+onenciales: Si consideramos los desarrollos en serie de &a%lor del seno % del coseno, así como el desarrollo de la e)ponencial ei), se tiene/ "esarrollo en serie de &a%lor de las funciones seno % coseno, en un entorno del origen/
$or otra parte el desarrollo en serie, también en un entorno del origen, de la e)ponencial e ) es/
$or lo que la e)ponencial e i) es/
$or lo cual se puede escribir/ '2órmula de Euler(
&ambién se tiene, cambiando el signo a )/
"e lo cual se obtiene una e)presión e)ponencial para el seno % el coseno/
Relaciones entre las funciones circulares " las ,i+er-licas: "e ser/
Se tiene/
"el mismo modo se obtienen también relaciones del tipo/
