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SÍNTESIS HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRÍA A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.
La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable, pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo.
ORIGEN Desde el punto de vista etimológico la trigonometría trató de la “Resolución de Triángulos”, lo cual quiere decir que dados ciertos elementos convenientes de un triángulo se deben hallar sus elementos restantes.
En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía. Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso progreso fue rápido y que pudo pudo llegar tan lejos.
2
SISTEMAS DE MEDICION ANGULAR son ESCALAS TOMADAS EN FORMA ARBITRARIA PARA MEDIR ANGULOS
estos son SISTEMA SEXAGESIMAL
cu a UNIDAD DE MEDIDA LLAMADA GRADO(º)UE SE OBTIENE DIVIDIENDO AL ANGULO DE UNA VUELTA EN 360 PARTES IGUALES
SISTEMA CENTESIMAL
SISTEMA RADIAL
cu a UNIDAD DE MEDIDA LLAMADA GRADO(g)UE SE OBTIENE DIVIDIENDO AL ANGULO DE UNA VUELTA EN 400 PARTES IGUALES
cu a TIENE COMO UNIDAD DE MEDIDA AL RADIAN, QUE ES LA MEDIDA DE UN ANGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE UN ARCO DE IGUAL MEDIDA QUE EL RADIO
La trigonometría es aplicada a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo llegar tan lejos.
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(1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas de la trigonometría esférica. Nicolás Copérnico fue un médico y astrónomo que cambió la idea del lugar que ocupaba la Tierra en el Universo. En su famosa obra De Revolutionibus Orbium
Coelestium
revoluciones
de
las
(“De
las
esferas
celestes”), proponía que la Tierra
giraba diariamente sobre su propio eje y que, a la vez da una vuelta completa alrededor del Sol, en una órbita que tardaba un año en recorrer. Esto se oponía a la antigua idea de que el Universo giraba alrededor de la Tierra. También fijó métodos para calcular el tamaño del Sistema Solar y los movimientos de los planetas. De todas maneras, los científicos todavía tardaron un siglo en probar sus ideas y aceptarlas plenamente.
+ ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO ¿Qué es un ángulo trigonométrico? EJEMPLO: En las siguientes figuras observarás un ángulo positivo - Fig.(1) y dos ángulos negativos- Fig.(2) y Fig.(3)
DEFINICIÓN: Es la figura formada por la rotación de un rayo alrededor de su origen, llamado vértice; desde una posición inicial llamado hasta una posición final llamado SENTIDO ANTIHORARIO
- 680º
120º
SENTIDO HORARIO
B -110º O
A O
A
RECUERDA! de un ángulo trigonométrico es ilimitada y puede expresarse por cualquier número real (R).
B
Estas figuras representan ángulos trigonométricos donde: El rayo OA = Lado inicial El rayo OB = Lado final O = Vértice.
Un rayo puede rotar en (contrario al movimiento de las manecillas del reloj) o (igual al movimiento de las manecillas del reloj).
ÁNGULOS COTERMINALES Dos o más ángulos trigonométricos serán COTERMINALES si:
ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Tienen el mismo lado inicial. Tienen el mismo lado final. Tienen el mismo origen.
“Sin tener en cuenta su SENTIDO ni su 1. UN ÁNGULO POSITIVO: MEDIDA”. Es el que se forma cuando el rayo gira en . Asi la medida del ángulo trigonométrico EJEMPLO: será de .
2. UN ÁNGULO NEGATIVO: Es el que se forma cuando el rayo gira en . Asi la medida del ángulo trigonométrico será de
40º
40º -330º
30º
Los gráficos que se ilustran representan ángulos coterminales. 4
RECUERDA! D)
C
La diferencia de dos ángulos coterminales siempre es un número entero de vueltas. Si y son ángulos coterminales, siendo se cumple:
B X A
O
Rpta:....................
= nº de vueltas
360º
E)
B
X C
A
O
Rpta:.................... 2. Determine la relación correcta que se cumple entre los ángulos mostrados en cada caso: 1. En cada caso, determine “X” en función de los otros ángulos mostrados: A)
A)
C
C
B B
X O
A
Rpta:.................... Rpta:....................
B)
A
O
O
B)
B
A
X
C
B
A
O
Rpta:.................... C) B
C
Rpta:....................
C)
C
D
A B X O
A
C
Rpta:....................
Rpta:.................... 5
D)
E)
C B
D
A
O
(12X )°
A
O
(18 – 7X)°
Rpta:.................... E)
D
C B
C
Rpta:....................
4. Del gráfico mostrado. Hallar la mCOB.
A
O
B ( 20 - )° ( + 40)°
Rpta:....................
C
3. Halle el valor de “X” en cada caso: A)
A) –30° D) –36°
C
B) –60° E) –18°
C) –45°
5. Del gráfico mostrado, señale lo correcto: C A) + = 90°
B (7 - X)° X -3 °
A
O
B) + = 270°
A
O
B
C) - = 180° D) + = 180°
Rpta:....................
O
A
E) N.A.
B)
B D 9 – 2X ° C
X +3 °
O
6. Calcular “x” del gráfico:
A A) 1 vuelta -- B) 1 vuelta + - C) 1 vuelta - + D) 1 vuelta - - 2 E)N.A.
Rpta:.................... C)
B
C
A
-20°
(10 –
A) +=1 vuelta 2 B) -=1 vuelta 2 C) -=1 vuelta 2 D) += 0º E) --=1 vuelta 2
O Rpta:....................
C
D)
B D
9 – 7 2X ° O
7. Del gráfico, se cumple:
5X D
E
(1,8X + 9)° A Rpta:.................... 6
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Grados
× 60
Minutos
× 60
60
Segundos
60 3600
Los sistemas de medidas angulares más usados son tres:
2. SISTEMA CENTESIMAL(Sistema Francés) 1. SISTEMA SEXAGESIMAL (Sistema Inglés)
Este sistema considera al ángulo de una vuelta dividida en 400 partes iguales y cada parte se le (1g), denomina un
Este sistema considera al ángulo de una vuelta dividida en 360 partes iguales, denominándose a cada parte: 1º
Cada grado se divide en 100 partes iguales y a cada parte se denomina (1m ),
Cada grado se divide en 60 partes iguales y a cada parte se denomina (1´).
A su vez a cada minuto se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se denomina (1S ).
A su vez a cada minuto se le divide en 60 partes iguales y cada parte se denomina (1´´). 1 360
1 400
De la circunferencia
De la circunferencia
O
O
en este sistema es el (1º) y las subunidades son el minuto y el segundo sexagesimal.
en este sistema es el y las subunidades son el minuto y el segundo centesimal. (1g)
EQUIVALENCIAS
EQUIVALENCIAS
Medida del ángulo de una vuelta = 360º
Medida del ángulo de 1 vuelta = 400g 1g = 100 m 1m = 100 s 1g = 10 000g
1º = 60’ 1’ = 60’’ 1º = 3600’’
CONVERSIONES:
CONVERSIONES:
Para convertir de grados a minutos o segundos sexagesimales o viceversa utiliza el siguiente diagrama.
Para convertir de grados a minutos o segundos sexagesimales o viceversa utiliza el siguiente diagrama. 7
Ahora, si tenemos un ángulo “ ” cuya medida puede
expresarse en los tres sistemas:
Grados
Minutos
×100
×100
100
Segundos
S
100
C
R
10000
3. SISTEMA RADIAL (Sistema circular). La unidad de medida de este sistema es el Se define como la medida del ángulo central en una circunferencia, que determina un arco de igual longitud al radio de dicha circunferencia.
Donde S: Nº de grados sexagesimales de “ ”. C: Nº de grados centesimales de “ ”. R: Nº de radianes de “ ”. Se establece la siguiente relación: S C R
360
400
2
¡Apréndete estas fórmulas!
FORMULAS DE CONVERSIÓN
S
r O
180
A r
1rad
C
200
R
r B
S
9
Donde AB: es el arco generado por el ángulo central AOB En este sistema la medida del ángulo de una vuelta es de
C
10
También tenemos para minutos y segundos:
p
RELACI N DE CONVERSI N EN LOS TRES SISTEMAS
27
m 50
p : Nº de minutos sexagesimales. m : Nº de minutos centesimales
q 81
n 250
q : Nº de segundos sexagesimales. n : Nº de segundos centesimales.
La medida de un ángulo de una vuelta es: 360º = 400g = 2 rad. 8
c) d) e) f) g) h) i) 1. Convertir a grados centesimales a) 153° b) 72° c) 108° d) 324° e) 163°
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
2. Convertir a grados sexagesimales g
a) 140 b) 220 g c) 80 g d) 170 g e) 320 g
( ( ( (
) ) ) ) ) ) )
48°15´40” (
7°20´ 35´
( (
m
f) 120 15 g) 50 g30m h) 100 g 20m I) 120 g 15m25s j) 200 g 30m40s
270g ( g 36 ( g 80 ( 171g ( g 108 ( g 720 ( 4g12m ( 15g7m50s( 60m (
) ) ) ) ) ) ) ) )
e) 108° i) 315° g g f) 240 j) 280 g) 225° k) 450° g h) 320 l) 640 g
4. Convertir a grados sexagesimales a) b) c)
2 5 3
rad
d) 108°
rad
4 5
e)
rad
6
f)
a) 90°
( )
b) 120´
( )
c) 210°
( )
d) 30°
( )
e) 450°
( )
f)
( )
15 5 12
g) 315°
rad
150°
h) 0,8 rad
rad
g) 45°
( )
h) 75°
( )
i)
300°
( )
j)
60°
( )
i) 0,54 rad
5. Convertir a grados centesimales a) b) c)
rad
4 5 8 3 5
d)
rad
e)
rad
f)
5 4 7 2 3 20
rad rad rad
6. Parear la respuesta correcta sexagesimales a centesimales a) 36° b) 85°
( (
) )
de
grados
648° 97° 12´ 3°´42´28” 32´24”
243° 13°34´3”
32° 24´ 153°34´ 72°
8. Parear la respuesta correcta, expresando los siguientes ángulos en radianes
3. Convertir a radianes: a) 72° b) 40 g c) 96° d) 80 g
250g 333g 33m 33s 8g 14m 81s 64m 81s 40g 94g 44m 44s 850g
7. Parear la respuesta correcta centesimales a sexagesimales
f) 22°30’ g) 24°18’ h) 12°36’ i) 15°18’36” j) 54°24’36”
g
300° 81° 225° 765°
g)
40
rad
h) 0,6 rad i) 0,75rad de
5 3 6 3 2 3 5 6 7 6 5 2 2 5 12 4
9. Parear la respuesta correcta. Expresando los siguientes ángulos en radianes
grados
90g 53g 62m 42s 9
a) 45g
( )
b) 120g
( )
27
rad . 200 rad. 20
c) 60g
( )
d) 27g
( )
e) 240g
( )
f)
135g
( )
g)
10g
( )
h) 800g
( )
i)
( )
64g
6 5 3
rad.
g)
rad. 5 27 rad. 40 4 rad. 9 rad. 40 8 rad. 25 3 rad. 10
h) i)
7 3 11
rad.
10 15
18
( )
135°
rad.
(
108°
rad.
( )
)
15°
12. Halle el equivalente en grado y minutos sexagesimales, de las siguientes medidas angulares: a) 18,45° c) 72,8° e) 289,6°
b) 26,75° d) 108,9°
13. Halle el equivalente de las siguientes medidas angulares, en forma compleja: 10. Parear la respuesta correcta, expresando los siguientes ángulos en radianes a) 7,2025° b) 15,715° c) 48,9075° d) 87,9625° a) /2 rad. ( ) 80g e) 125,805° b) 2/5 rad. ( ) 25g 14. Convierta a grados sexagesimales las siguientes c) rad. ( ) 175g medidas angulares: 2 9 d) rad. ( ) 79g 61m 78s a) 12°27’ b) 72°45’ 4 c) 5°42’54’’ d) 19°57’45’’ e) 98°18’36’’ e) rad. ( ) 50g 8 15. Exprese las siguientes medidas angulares en 21 grados y minutos centesimales: f) rad. ( ) 450g 20 a) 5,23g b) 34,53g 7 c) 78,65g d) 89,78g g) rad. ( ) 152g 86m 62s g 8 e) 125,49 h) 1,25 rad. ( ) 210g i) 2,4 rad. ( ) 20g 16. Exprese en forma compleja, las siguientes medidas g j) 0,31416 rad. ( ) 100 angulares: a) 18,7248g c) 78,4384 g e) 124,3028 g
11. Parear la respuesta correcta, expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes a) b) c) d) e) f)
7 36 12 3 4
4 3
( )
10°
rad.
( )
225°
rad.
( )
420°
(
150°
rad.
8 5
5
rad.
)
b) 49,9775 g d) 99,986 g
17. Halle el equivalente de las siguientes medidas angulares en grados centesimales: a) 4g25m c) 54g18m72s e) 97g78m40s
b) 27g68m d) 68g08m49s
18. Si: 6,0525° = a°b’c’’. Halle el valor de : F = a + b - c 19. Determine el valor de: K = a – b + c, si: 7,122g = agcmbs
rad.
( )
35°
rad.
( )
198°
20. Si: 27,5884g = Ug + Pm + Cs. Determine el valor de: U P C 10
8) En la figura halla “” a) 40º b) 24º c) 34º d) 52º e) 63º
1) Sabiendo que: a+b+c= 63, además
Calcula: J = z 1 a) 1
y
c) 3
d) 4
3)
b) 2
9 16
b) 3 rad/7 ; rad/ 14
c) 3
d)4
c) rad/5 ; 3 rad/10
e)0
d) rad/6 ; rad/3 e) 7 rad/6 ; 2 rad/5
rad <> AgBm, calcular : A – 2B
a) 10
b) 11
130º
a) 2 rad/5 ; rad/10
e) 6
2) Si 42g50m <> AºB', calcular 2A - 5B a) 1
rad
9) Se tiene dos ángulos complementarios y el mayor ángulo excede al menor en 60g. Halla los ángulos en radianes.
x
b) 2
7 18
xºy’z” = aºb’c” + bºc’a” + cºa’b”
83º
130g
c) 12
d) 9
e)8 º
4) Un ángulo se expresa como abb y también
10) En la figura ABC es un triangulo equilátero. Si AD y AE son trisectrices del ángulo A, hallar x-y expresado en radianes. A
º
como a(b 2)0 , señala el equivalente en radianes de a0(2b) a)
5 2
b)
º
6 5
Y c)
3 5
d) 3
e) NA
X
5) Señala el valor de: 2º 3 ' 5 '30 " 2 g 40m L 41' 11" 10m a) 37 6) Si
24
b) 57
d) 47
e) 67
b) rad/4 e) rad/12
a) 319 c) 6
7) Calcula “x” a partir del grafico
d) 3
e) 5
b) 309
a) 30º (17-5x)º 2(x-1)g
c) rad/5
c)303
d) 296
e) 285
12) Determinar la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal, si se cumple: 2S 9 C 4 3
a) 36 b) 16 c) 20 d) 24 e) 12
C
E
11) Reducir la expresión 2 (2C S )(2C S ) P= 400 R 2
b 3a
b)4
D
a) rad/3 d) rad/6
= aºb’
Determinar: E= a) 2
c) 77
B
b) 36º
2
c) 45º
d) 48º
13) Reducir la expresión: 10 S 9C
E= 2 R a)0 11
b)1
c) π
d) 9
e)10
e)54º
14) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes tal que se cumpla:
6) Siendo: a = 3b Determine : E =
S = 2(n+1) ; C = 3n – 4 a) πrad/5 d) πrad/10
9aº 1 0a g
b) πrad/6 e) πrad/16
a) 1b) 2
c) πrad/8
c) 3
9b º 1 0b g
d) 4
e) 5
7) A partir del gráfico, halle β en radianes
15) Hallar la medida de un ángulo en el sistema radial, si se cumple la siguiente condición:
20g
S = 3x2 + x – 8 ; C = 2x2 + 5x + 5 a) d)
b)
5π rad/2 3π rad/4 º
c) 2πrad/5
4π rad/3 e) π rad/5
1000 3
g
16) Si a0b <> a (2a)0 Calcular (a+b)º en radianes a)
m
b)
π/10
a) -πrad/60 d) 109πrad/30
c)π/15
π/12
d) π/18 e)
π/20
b) πrad/60 e) 8πrad/3
c) -113πrad/60
8) Del grafico mostrado:
2 º
(25 a )
25a 3
g
1) Expresar “α” en radianes: 10a
α = 1º + 2º + 3º + 4º + … + 360º
a)
b)
359π
360π
c)361π
d)
e) 720π
362π
2) Calcular U + N + I
9 b) 10
Determine: a) 10/3
c) 90
d) 9
e) 20/3
9) Simplifique:
Si: 22,22º <> UºN’I’’
a) 17
b) 37
c) 47
d) 57
e) 67
M
3) Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son aº y 10ag. Determine la diferencia de ellos en radianes. a) d)
b) e)
2π rad/3 π rad/3
2π rad/15 2π rad/5
c) 3π rad/5
4) Dada la condición π rad/6 + 25g = aºb’ Determine: a b
b) 1
c) 2
a) π/10 d) 3
e) 4
b) 8’
c) 10’ d) 15’
a ' b '
2 g 2m 2m
3º 3' 1º1'40"
3'
1' 40"
b) 200 c) 300 d) 250 e) 263
10) Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo, halle C S n R Si
5) Sabiendo que: aº + bº = 30º, determine: a) 5’
1m
a) 100
E = 11 a) 0
1 g1m
C (2C 10) (2C 10) 2C 10)... b) 10/π c)20/π
d) π/5 e) 5/π
11) Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo. Halle R, si S y C son raíces de ecuación 3x2 – 19x + 30 = 0
3
a) π/3
e)20’ 12
b) π/6
c) π/20
d) π/30
e) π/60
12) Para un cierto ángulo se cumple que la media aritmética del número de grados sexagesimales y centesimales es igual a 19 veces el cuadrado de la medida geométrica del número de radianes y números sexagesimales. Halle la medida de dicho ángulo en el sistema radial. a) 1rad/9 d) 9rad
b) 1rad/18 e) N.A.
c) 3πrad/8
13) Sea S, C y R la medida de un mismo ángulo en los sistemas convencionales, tal que se cumple: 4 R 300S ( S C )
( 19.C ) 2
1. En el gráfico, señale lo que es correcto respecto a "” y “" :
Halle la medida del ángulo en radianes a) 27π/8 d) 9π/4
b) 27π/4 e) 9π/2
c)27π/2
14) Si S y C son los números de grados sexagesimales y centesimales respectivamente para un mismo ángulo, los cuales cumplen : 40 S + C 120 2. En el gráfico señale lo que es correcto respecto a los Calcule el mayor ángulo entero en grados ángulos mostrados: centesimales. a) 60g
b) 30g c) 100g d) 150g e) 400g
17) En un triangulo rectángulo uno de los ángulos mide 3/10 rad. Hallar el otro ángulo en el sistema sexagesimal a) 37° d) 30°
b) 53° e) NA
c) 45°
4. Exprese "x" en función de " " y ""; a partir del gráfico mostrado:
18) Calcular el valor de “x” que verifica la siguiente igualdad: xºx’ = 61º
a) 59 d) 119
b) 61 e) NA
c) 121
19) Siendo S,C y R los números convencionales, calcular R que satisface la igualdad: 3S + 2C = 94 rad rad rad a) b) c) 10 20 40 d) rad e) NA 5
5. A que es igual 320'' a) 3º40' c) 3º20'' e) 5'20''
6. A que es igual: 1º 20' a) 1500'' c) 4000'' e) 6000''
20) Un ángulo mide “a” minutos sexagesimales pero en segundos centesimales mide “b”. Calcular el valor de: 3
E= a) 1 d) 4
5a
b) 3'40'' d) 5º 40'
b) 3620'' d) 4800''
7. A que es igual:
b
E
23' 3'
b) 3 e) NA
c) 2
a) 2º d) 41 13
b) 12 e) 52
c) 40
8. Ubique dentro del paréntesis la letra que corresponda, luego de convertir a radianes las 2. Convierta al sistema centesimal siguientes medidas angulares: rad 125
a) 210°
(
)
b) 10g
(
)
c) 450°
(
)
d) 60g
(
e) 75°
(
5 2 7
6 5
rad
a) c) e)
rad rad
1g30m 1g60m 1g70m
b) d)
1g50m 1g40m
3 Si:
12 ) rad 3 ) rad 20
rad a bc'
48
Calcular: E = (b + c)a-1 a) 1 d) 1/3
b) 2 e) 1/2
c) 3
9. Ubique dentro del paréntesis la letra que 4. La suma de dos ángulos es 40° y su diferencia es corresponda, luego de convertir cada medida 30g. ¿Cuánto mide el mayor? angular al sistema sexagesimal: a)
5
rad 4 b) 36g 7 c) rad 3 d) 171g 3 e) rad 4
(
) 32°24’
(
) 420°
(
) 225°
(
) 153°54’
(
) 135°
(
) 108°
a) 27° c) 27°50' e) 18°30'
5. La suma y diferencia de dos ángulos son 1° y 1 g. ¿Cuánto mide el menor? a) 1' d) 4'
rad
8 b) 108° 7 c) rad 8 d) 342° e) 756°
(
) 175g
(
) 380g
(
) 25g
( ( (
) 120g ) 840g ) 328g
160 x g
rad 7
a) 25º 42' 51'' c) 5º 37' 20'' e) N.A
c) 3'
x
rad
y 3 ¿Cuál es el valor de "x"? 9
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
7. Señale la medida de un ángulo en radianes sabiendo que la diferencia de sus números de grados centesimales y sexagesimales es 5. a) /2rad d) /5
b) /3 e) /6
c) /4
8. Sabiendo que el doble del número de grados sexagesimales que contiene un ángulo disminuido en su número de grados centesimales es igual a 8. ¿Cuánto mide el ángulo en radianes? a) /4rad d) /20
1. Convierta al sistema sexagesimal:
b) 2' e) 5'
6. En un triángulo sus ángulos internos miden 14x°;
10. Convierta al sistema centesimal las siguientes medidas angulares, y luego ubique dentro del paréntesis la letra que corresponda: a)
b) 28° d) 28°30'
b) /5 e) /40
c) /10
9. Sabiendo que (S + C)x = 4nR donde S, C y R son lo conocido para un mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"? a) 85 d) 98
b) 6º 37' 30'' d) 5º 32' 30'' 14
b) 78 e) 100
c) 95
NÚMERO DE VUELTAS QUE DA UNA Cuando una rueda gira o va rodando sobre una superficie plana desde una posicion A, Hasta una posicion B(como se muestra en la figura).podemos afirmar lo siguiente:
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
n
La longitud de una circunferencia esta determinado por la relación entre su ángulo de giro de una vuelta (2 rad) y su radio(r).
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
es la porción de círculo limitado por dos radios y un arco.
2cm O
Sea el área de sector circular: S : ángulo en radianes.
Lc 2 r
2 R
n: Numero de vueltas que da larueda al ir de A hasta B. e: Longitud que recorre la rueda.
Lc 2 r
EJEMPLO: Si queremos hallar la longitud de la siguiente circunferencia: Recordemos que la longitud de una circunfererencia esta determinada por:
e
0
≤2
Por lo tanto la longitud será: Lc = (2)(2) cm. Lc = 4 cm.
LONGITUD DE ARCO
ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR La región limitada por los arcos concéntricos y , se denomina trapecio circular y su superficie se calcula de la siguiente manera:
es la medida de un arco en unidades lineales.
L = .r A
r O
L
r
Donde: S: área del trapecio circular a: Longitud del arco mayor b: Longitud del arco menor
B
Donde: L = longitud del arco AB. r = radio de la circunferencia. = Numero de radianes del angulo. 15
10. En el gráfico, obtener el área del trapecio circular ABCD.
1. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 40° en una circunferencia de radio 9m. a) m d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
a) 10° d) 40°
b) 20° e) 60°
c) 30°
a) 5 d) 20
b) 10 e) 25
c) 15
11. En un sector circular de perímetro 16, el radio y arco son enteros consecutivos. ¿Cuál es la medida del ángulo central? 2. En un sector circular de radio 10m y ángulo central de 20g. ¿Cuánto mide el arco? a) 1,1rad b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4 e) 1,5 a) m b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Del gráfico, calcular "x" 3. En un sector circular el arco mide 3m y el radio mide 9m. ¿Cuánto mide el ángulo central?
4. En un sector circular el arco mide 4m y el ángulo central mide 45°. ¿Cuánto mide el radio? a) 10m d) 20
b) 12 e) 24
a) 5 d) 20
b) 5 e) 18
c) 15
13. Del gráfico, obtener "x"
c) 16
5. En un sector circular el ángulo central mide 10° y el radio mide 18m. ¿Cuál es el área del sector? a) m2 d) 12
b) 10 e) 25
a) 3 d) 12
c) 9
b) 6 e) 1,5
c) 9
14. Se tiene un sector circular de arco igual a 100m. Si el radio se duplica y el ángulo central se reduce a su mitad, ¿cuál es la longitud del arco del nuevo sector? 6. En un sector circular el radio y arco miden 4m y 8m respectivamente. Calcular el área del sector circular. a) 50m b) 70 c) 100 d) 25 e) 200 a) 32m2 b) 16m2 c) 8m2 15. En el gráfico, determine la longitud del arco . d) 64m2 e) N.A. 7. En un sector circular el arco mide 2m y el ángulo central mide 45°. Calcular el área del sector. a) 8m2 d) m2
b) 4m2 e) 16m2
c) 2m2
8. En un sector circular de área 2m2; el ángulo central mide 30°. ¿Cuánto mide el radio? a) 6m d) 4
b) 2 e) N.A.
a) d) 6
b) 2 e) 2
c) 3
16. Del gráfico, determine "S2 / S1"
c) 3
9. En un sector circular de área 4m2 y radio 8m. ¿Cuánto mide el arco? a) m d) /2m
b) 2m e) /4m
a) 1 d) 6
c) 4m 16
b) 2 e) 1,5
c) 3
17. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada
5.
En un sector circular la longitud de su arco es 1m. Si su ángulo central se aumenta en 10% y su radio se disminuye en 10%, se determina un nuevo sector circular cuya longitud de arco, en cm, es:
6.
Un péndulo oscila describiendo un ángulo cuya medida es 28º y un arco de longitud de 66cm. Encontrar la longitud del péndulo, en m. (considerar =22/7)
18. En un sector circular de área 100m 2, el arco aumenta en 7. 20% y el radio disminuye en 20%. Calcular el área del nuevo sector.
En un sector circular, el quíntuplo de la longitud de su radio es igual al cuádruplo de su longitud del arco respectivo; luego la medida de su ángulo central es:
a) - 3 d) 8 -
b) - 2 e) 6 -
a) 100m2 d) 120
b) 96 e) 48
c) 4 -
c) 240
8.
Se tiene un sector circular de 6cm de radio y 12cm de longitud de arco. Si el radio aumenta 2cm sin que el ángulo varíe ¿Cuál será la nueva longitud de arco?
9.
En un sector circular se conoce que su radio mide (x + 1)cm, su longitud de arco 9(x – 1)cm, y la medida de su ángulo central correspondiente (x 2 – 1)rad. Hallar e l valor de “x”
1. Del gráfico, calcular "S2" si: S1
3 4
10. Determinar la longitud de una circunferencia, sabiendo que en ella un ángulo central que mide 20 g determina una longitud de arco igual a u.
2.
11. Las medidas de dos ángulos en el centro de una circunferencia son complementarias y las longitudes de los Del gráfico; calcular el perímetro de la región sombreada arcos que subtienden suman 4 m, luego la longitud de radio si: BC OB 12 de la circunferencia es:
12. Calcular el perímetro de la región sombreada.
3. Del gráfico, calcular "S"
13. En la figura, el perímetro del sector circular A0B es igual al del trapecio circular ABCD. Encontrar “
4. Calcular el área máxima de un sector circular de perímetro igual a 8cm.
17
2. De la figura, calcular «x»
14. Hallar a partir del gráfico W=
A
2
x 0,5
11
x
O
5 2a
a B
a) 9 d) 9,5 15. Calcular el área del círculo sombreado
b) 9,5 e) 7
c) 8
3. De la figura S=Área. Calcular a/b A
S
O
b
a
3S
B
a) 1 d) 3
b) 4 e) NA
c) 2
16. El área de un sector circular de radio “R” es 4 u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la 4. Del gráfico: S =S . Calcular . 1 2 mitad del anterior? C
17. Hallar de la figura:
M
S1
S1 S2 S 3 S2 S 3
A
b a
S2
O
a) 2/5 d) 7/5
18. Del gráfico, demuestre que:
B
b) /5 e) 4/5
c) 3/5
5. Dos ángulo centrales suplementarios, además subtienden suma 7m. circunferencia. a) 3m b) 5m d) 10m e) 14m
en una circunferencia son las longitudes de los arcos que Calcular la longitud de la c) 7m
c
6. Se tiene un sector circular, si duplicamos su ángulo central y prolongamos su radio 5m, el nuevo arco resulta ser el triple del original. Calcular el radio del nuevo sector. a) 10m b) 13m c) 15m d) 17m e) 20m 7. De la figura: A R
1. Del gráfico, calcular x+y
O
A
S
L
R x
O
B
9
5
Si se cumple:
3
2 y
a) 13 d) 7
b) 11 e) 5
L 6 R
B
4 L
S 38 0
donde: S=Área, Calcular el área de dicha región: a) 20u2 b) 25u2 c) 30u2 d) 35u2 e) 40u2
c) 9
18
14. De la figura si: S=40m 2 8. De la figura calcular «x» ; x>1
A
A
S
O
x
O
9
12
11 x
4
B
x
calcular x:
B
a) 2 d) 7
b) 4 e) 8
c) 5
10
a)
3 19
13
m
b)
3 20
m
9. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 64º, si d) e) 3 dicha medida se reduce a 25% y además el radio aumenta, determinar en qué relación se encuentran el 15. Siendo A y B (Área) radio inicial y el radio final. 3
R
a) 1/2 d) 3/4
b) 1/3 e) 2/3
d) 64u2
c)
3
m
m
6m
Calcular: A-B
c) 1/4
B A
10. Hallar el área de un sector circular de 18cm de radio, si ésta es igual al área de un cuadrado cuyo lado es igual a la longitud del arco del sector circular. a) 324u2
16
m
b) 144u2 e) 49u2
30 º R
a)
c) 81u2
m
3
d)
2
2
R
b)
2m 2 5
m2
e)
2
m
c)
3 m 2
2
11. A partir del gráfico calcular la longitud de la cuerda que 16. Del gráfico, A; B y C son áreas. Calcular: envuelve el sistema: A A C B O
R
B
A
C
R
B
R
a) R(3+) d) R(3+2)
a) 1 d) 4
b) 2R(3+) c) 3R(3+) e) 2R(3+2)
b) 2 e) 5
c) 3
17. Calcular el área de la región sombreada. B
12. Calcular el área de la región sombreada: A
O
6 2 4 1 B
11
a)
2 17
d)
2
u
13
2
u
b)
2 19
2
e)
2
u2
u
15
c)
2
45º
A
u2
2
13. En un sector circular la longitud de arco aumenta 20% y el radio disminuye 20%. Indicar la variación porcentual del área. a) No varía b) Disminuye 2% c) Aumenta 2% c) Aumenta 4% e) Disminuye 4%
2+
2
C
a)
u
2
b)
2 u 2
d)
4 u 2
e)
2 2 u 2
c)
3 u 2
18. Del gráfico calcular «» (>0)
19
a
ra d
2a
a
a) 1/2 rad
b) 3/2 rad
c) 3 rad
d) 2 rad
e) 1 rad
7.
El ángulo central de un sector circular mide 20g y su radio es “R”, si se disminuye en 15g el ángulo central. ¿Cuánto hay que aumentar el radio para que el área no varíe? A) R D) 4R
8. 1.
En un sector circular la longitud de su arco es 1m. Si su ángulo Jcentral se aumenta en 20% y su radio se disminuye en 30%, se determina un nuevo sector circular cuya longitud de arco, en cm, es: A) 0,2 B) 83 C) 0,16 D) 1,82 E) 84
2.
Un péndulo oscila describiendo un ángulo cuya medida es 36º yJ un arco de longitud de 88cm. Encontrar la longitud del péndulo, en m. (considerar =22/7) A) 0,14 B) 0,4 C) 1,4 D) 1,41 E) 14
3.
4.
S1 S2 S 3 S3 S 2
A) 3/4 D) 4/3 Hallar
B) 1/3 E) 4
C) 1/4
S3 S 2 S 1
Se tiene uJn sector circular de 7 cm de radio y 21 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta 3 cm sin que el ángulo varíe, ¿Cuál será la nueva longitud de arco? A) D)
5.
C) 3R
Hallar de la figura:
M
En un secJtor circular, el héptuplo de la longitud de su radio es igual al doble de su longitud de arco respectivo; luego la medida de su ángulo central es: 9. A) 3rad B) 3,5rad C) 1,5rad D) 0,3rad E) 2,5rad
B) R/5 E) R/2
30cm B) 40cm C) 50cm 20cm E) 10cm
A) 1 D) 9
Calcular el área del círculo sombreado
B) E)
6 10
C) 8
10. Si A0B y C0D son Sectores Circulares. Hallar: L1 + L2 + L3
A) D) 6.
1m2 4m2
B) E)
2m2 5m2
C) 3m2
El área de un sector circular de radio “R” es 4u2. ¿Cuál será el área de otro sector circular cuyo radio es “2R” y cuyo ángulo central es la mitad del anterior? 2
B) 20u2
D) 10u2
E) 12u2
A)
3
u
C) 5u2
20
RAZ N TRIGONOM TRICA
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Es el cociente entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo respecto de uno de sus ángulos agudos.
¿Qué es una razón trigonométrica?
¿Qué es un triángulo rectángulo?
Un triángulo se llamará rectángulo si uno de sus ángulos es recto.
cualquier ángulo agudo de un triángulo rectángulo donde a,b,y c son los números de las longitudes de sus lados. Sea
a: Hipotenusa
b: Cateto
a: b:
Cateto adyacente
c: Cateto
c:
Hipotenusa
Cateto opuesto
PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
:
En todo triángulo rectángulo se cumple:
El teorema de Pitágoras. a2 = b2 + c2
La longitud de la hipotenusa siempre será mayor que la longitud de los catetos. a b 0
a c 0
Sus angulos agudos son complementarios, suman 90º.
EJEMPLO: Calcular las 6 R.T. con respecto al ángulo “”
+ = 90º a 5
12 21
RESOLUCIÓN:
9cm. Calcular el valor de tangente del mayor ángulo agudo. a) 1,03 b) 1,04 c) 1,05 d) 1,5 e) 1,2
Para hallar las 6 R.T. primero tenemos que determinar la longitud de la hipotenusa
06. En un triángulo rectángulo ABC; recto en “A”, se sabe que: CosB.CosC= 73 . Hallar el valor de: TanB+TanC a) 3/5
Hallando el valor de “a” con el teorema de
Pitágoras:
Determinando las R.T.con respecto al al ángulo :
Sen = 5/13 Cos = 12/13 Tg = 12/5
c) 4/3
d) 1/2
e) 3/7
07. En un triángulo rectángulo BCA; recto en “C”. 8 Calcular el lado “b” si: SecA.SecB-TanA ab
a2 = 52 + 122 a2 = 25 + 144 a2 = 169 a = 13
b) 7/3
a) 2 2
b)
2
d) 2 3
e)
5
c)
3
08. Del gráfico mostrado hallar el seno del mayor ángulo agudo.
ctg = 5/12 sec = 13/5 csc = 13/12
4x+1
4x-1 2x
a) 4/5 d)15/17
01. Si: Csc = 1,666.... , (“ ” es agudo). Calcular el 2 2 Cos Sen valor de: D Sen Cos
a) 7/5 d) 3/7
b) 7/3 e) 5/4
c) 5/7
a) 6 d) 15
2 Sen 3Cos 4 Sen 9Cos
a) 0 d) 5
b) 2 e) 3
a) 3/4
4( SenATanA ) 3CosB
a) – 8/15 d) 15/8
b) 8/15 e) 3
b) 8 e) 12
c) 9
10. En un triángulo rectángulo se tiene que uno de sus catetos es el doble de la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto. Hallar la tangente del mayor ángulo agudo.
c) 4
03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “C”, se sabe que: 7SenB=5. Hallar el valor de:
R
c) 12/13
09. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se cumple que: CosA=0,6 ; si el perímetro del triángulo es de 36cm. ¿Cuál es el cateto menor?
02. Si: 13Cos=5, Hallar el valor de:
R
b) 24/5 e) 3/5
b) 1/2
c) 1/3
d) 4/3
e)
3
11. En un triángulo rectángulo ABC recto en C se tiene que: 23 SenA.CotB SenB SecA de acuerdo a esto se pide calcular: Q cot 2 B sec2 A
c) – 15/8
04. En un triángulo ABC; recto en “A”, se sabe que: 3CosC=1. Hallar el valor de: 2 2 B B F Cot Tan
a) 18
b) 17
c) 16
d) 12
e) 42
4 SenC .CscC
a) 65/32 d) 32/15
b) 32/65 e) 19/17
12. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338cm. Si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?
c) 23/19
05. En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos es 8cm. y con el otro es
a) 13cm d) 50cm
22
b) 56,33cm e) 55cm
c) 13cm
13. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), reducir: F=TanA.SenC-CosC a) 1 d) 0
b) 0,5 e) 2
8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, reduce: CosA SenA W TanA TanC sec Co C SecC
c) 3
14. Del gráfico; calcular: P
Cot Cot
9. En un triángulo rectángulo ABC, se cumple que: SenA SenC , “” es agudo. Cos CosA CosC Calcule el valor de: P TanA TanC SenA SenC Sen
Cot Cot C
A
a) 2
b) 4
B
E
c) 6
d) 8
10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B” ; reduce: L = TanATanC
e) 0
15. En la figura, hallar el valor de: F Tan Tan2 Tan3
11. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”; reduce: SenA TanC T CosC CotA
C
A
55 u
a) 25/3
D
25 u
b) 29/3
E 8u
c)3/22
12. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”; simplifique: Sec2 A Cot 2 C R Co sec2 A Tan2C
B
d) 3/25
e) 22/3
1. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se cumple que: b 3a . Calcule el valor de:
Q 2TanA SenA
13. En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el triple de un cateto, calcular la cotangente del menor ángulo agudo. 14. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es de 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?.
2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B” simplifique: F = TanASenC - CosC 15. Hallar “Tan ”; si AM MB 3. En un triángulo rectángulo un cateto y su hipotenusa se encuentran en la relación de 15 es a 17. Determine el seno del menor ángulo agudo.
A M
4. En un triángulo rectángulo ABC, se cumple que: 2TanA = CosecC. Calcule la “CosecA”
B
5. En un triángulo rectángulo ABC, calcule el valor de “ TanA + TanC ”; si se cu mple que: b 3 ac
C
16. Si M y N son puntos medios de “OA” y “OB”
6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, se cumple que: TanA = 4TanC. Calcule el valor de “ cscC ”
respectivamente, además: “o” es centro, obtener Cot . A M
7. En un triángulo ABC (mB = 90°), se cumple que: SenA = 2SenC. Halle el mayor de los catetos si la hipotenusa mide 5 m
o 23
N
B
d) 25º
R.T. REC PROCAS
3. Hallar "x" si: cos3x = sen(x + 10º)
Propiedad: El producto entre dos razones trigonométricas recíprocas será igual a la unidad siempre y cuando los ángulos agudos son iguales.
Sen . Csc = 1 = Cos . Sec = 1 = Tg . Ctg = 1 =
EJEMPLO:
e) 30º
Sen40º.Csc40º = 1 Tg37º.Ctg37º = 1 Sec23º.Cos23º =1
a) 10º d) 25º
b) 15º e) 30º
c) 20º
4. Hallar "x" si: tg(x + 10º) = cot(x - 10º) a) 10º d) 45º
b) 25º e) 50º
c) 30º
5. Calcule: E = Sen47° - Cos43° - Sec17° + Csc 73° 1 a) 0 b) 1 c) –1 d) e) N.A. 2 6. Calcule “x” e “y” conociendo que: Tg (3x - 35°) = Ctg (90° - y) 2y – x = 15° a) 11°; 10° d) 30°; 25°
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b) 17°; 16° e) 24°; 13°
c) 15°; 13°
Si y son ángulos agudos de 7. Halle el suplemento de (58x) si: un triángulo rectángulo entonces Tg (45x – y + z) = Ctg (15x + y – z) son complementarios y se cumplirá que las razones de 3 serán iguales a las co-razones de a) 82° b) 83° c) ( )° d) 27° e) 93° 4 o viceversa. 8. Halle el valor de la variable en: 3 x 20 5 x 10 Si: Sec ( 5°) = Csc ( + 40°) Sen = Cos + = 90° 6 5 Tg = Ctg + = 90° Sec = Csc + = 90° a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
EJEMPLO: Sen30º = Cos60º Tg37º = Cos53º Sec32º = Csc58º Cos 45º = Sen45º Ctgx = tg(90º - x)
9. Dados:
Csc (x + y) = Sec Tg(x - y) = Ctg 45°
6
Calcule: Tg (2x – 75°) a)
2
b)
3
c)
2 2
d)
5
e)
3 3
10. Halle “x” si: Tgx. Tg70° = 1
1. Hallar "2x-y" si: senx csc2y = 1 tgy . ctg20º = 1 a) 10º d) 60º
b) 20º e) 80º
a) 10° c) 40º
2. Hallar "x" si: tg2x = cot40º a) 10º
b) 15º
b) 20°
c) 30°
d) 70°
e) 90°
11. Halle “x” en la siguiente expresión 1 Sen (6x + 19) = 0 Sec(7 x 6) a) 5
c) 20º 24
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
12. Halle “x” si:
a) 1 d) 4
Tg (7x – 30°). Tg (70° - 2x) = 1 a) 8°
b) 9°
c) 10°
d) 15°
e) 20°
b) 2 e) F.D.
c) 3
22.Calcular: E = tg10º.tg20º.tg30º......tg80º
13. Determine los valores de “x” e “y” si se verifican las siguientes relaciones. a) 1 b) 2 c) 3 1 sen (90° - x) = d) 2 3 e) NA. Sec3 y x + y = 60° 23.Calcular: E = (tg40º + 3cot50º) cot40º a) 40°; 20° b) 50°; 10° c) 30°; 30° d) 45°; 15° e) 55°; 5° a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) F.D. 14. Si: Sen (x + 5°). Sec (2x + 10°) – 1 = 0 Entonces el valor de x es: 24.Hallar: E = sec(3x - 1º) + cot(2x + 1º) a) –12,5° b) 25° c) 30° d) 40° e) 95° si: sen(2x - y) = cos(3x + y) 15. En el triángulo ABC se cumple que: Cos(A + B) = CosC a) 1 b) 2 c) 3 Entonces el valor de A + B es: d) 4 e) 6 a)
b)
4
3
c)
5
d)
6
e)
2
25.Si: sen(x + 10º)cosy = cos(80º - x) sen2y calcular: E = cot2y + tg22y
16. Simplifique: Sen2° + Sen4° + Sen6° + … + Sen88° Cos88° + Cos86° + Cos84° + … + Cos2°
17. Hallar "x" si: sen(x - y) = cos(2x + y) a) 10º d) 15º
b) 20º e) 45º
b) 30º e) 55º
a) 1 d) 2,5
b) 2 e) 3
b) 2 e) 5
c) 9
b) 2 e) 5
c) 3
27.Si: sen(3x + 2y) = cos(x+y) Calcular: E = tg(2x+y) . tg(2x+2y) a) 1 d) 4
b) 2 e) N.A.
c) 3
28.Si: sen4x sec2y = 1; calcular: P = tg(2x+y) + 1 a) 1 d) 4
c) 1,5
20.Calcular: E = (sen40º + 2cos50º) csc40º a) 1 d) 4
a) 1 d) 4
c) 50º
19.Siendo: sen(x + y) = cos20º tg2x cot40º = 1 Calcular: y/x
b) 6 e) 15
26.Si: sen(2x - 10º) sec(x + 10º) = 1 tg (x - y) coty = 1 Calcular: E = sec2(x + y) + cscx
c) 30º
18.Hallar "x" si: sen(x - 10º) sec(x + 10º) = 1 a) 10º d) 45º
a) 3 d) 12
b) 2 e) 5
c) 3
29. Calcular: E = tg1º tg2º tg3º .......... tg89º a) 1 d) 3
c) 3
21.Calcular: E = tg10º tg80º
25
b) 2 e) 3 / 3
c) 3
15. Halle el valor de “ ” en radianes, si se cumple la
siguiente condición: Tan(8 - 45°)Cot( - 3°) = 1
16. Determine el valor de “ ” y “” sabiendo que : 1.
Sen(2 + 14° - 5)Cosec(62° - 3 - ) = 1 Cos(7 - 18° - 8)Sec(12° + 3 - 9) = 1
Si: sen(3 - 30°)csc(2 - 10°) = 1, determine el valor de “”.
2.
17. Determine el valor de “ ” en radianes, si se cumple
Determine el valor de “ ” en:
la siguiente condición:
Cos(5 + 20°).Sec(60° + ) = 1 3.
Cos(2 - 10°) = Sen(5 - 40°)
Si: Tan(45° + 2)Cot(5 - 15°) = 1, determine el valor de “”
4.
18. Calcule el valor de “ - ” en radianes, si se cumple
que.
Determine el valor de:
Sec(5 - 9 - 48°) = Cosec(3 + 48° - 2) Sen(12 + 13° - 7) = Cos(9 - 8 - 13°)
F= (3Sen23°csc23°+2)(2Tan14°Cot14°-1) 5.
Calcule el valor de: Z
6.
8 cos16Sec26 3 sen10cs c10 1
19. Reduce: T
2tan30Cot 30
Halle el valor de: G
5cs c 45sen45 2 3 tan37cot37
6cos16sec16 2
cos74sec74 1
Q
Determine el valor de “ ” en: Sen(3 - 10°) = Cos(5 + 20°)
8.
Si: Tan(8 - 18°) = Cot(3 - 2°), determine el valor Calcule el valor de “ ” en: Sec(2 + 40°) = Cosec(150° - 7)
cot 53
sec(90° - ) – csc(3 - 18°) = 0 23. Halle el valor de: K
3 2 6
, si se cumple la
siguiente relación:
12. Calcule el valor de:
3sec20cos 20
sen(6)sec(4) = 1
13. Determine el valor de:
Cos10Sec10
tan37
se cumple la siguiente igualdad:
Q = (3Cos18° + 2Sen72°)Sec18°
5Tan20Tan70
16
22. Determine el valor de “ ” en grados centesimales, si
11. Calcule el valor de:
Q
sen30cs c30 3
2
F = 2Sen25°Sec65° - 1
cot 80
cs c 42
sen41 W cos16cs c 74 4 cos49
10. Determine el valor de:
2tan10
3sec 48
21. Calcule el valor de:
de “”.
R
cot 67
20. Determine el valor de:
7.
9.
tan23
24. Determine el valor de “” en:
3Sen30
cos(18° + )csc(20° + ) = 1
Cos 60
14. Determine el valor de “ ” en radianes, si se cumple
25. Halle el valor de “” en la siguiente expresión:
que:
tan(3 + 43°)tan(8 - 30°) = 1
Sen(2 - 10°)Cosec(35° - ) = 1 26
RAZONES TRIGONOM TRICAS DE NGULOS NOTABLES
10. Triángulo Rectángulo de 28º y 62º 62º
8a
1. Triángulo Rectángulo de 45º
28º
15a
45º
45º
a 2
2a
a 2
a
11. Triángulo Rectángulo de 31º y 59º
45º
45º
59º
a
a 2
3a
2. Triángulo Rectángulo de 30º y 60º
31º
5a
60º
12. Triángulo Rectángulo de 18º y 72º
2a a
30º
a 3
3. Triángulo Rectángulo de 37º y 53º 53º
72º
5 1 a
18º
a 10 2 5
a
3a
4a
13. Triángulo Rectángulo de 54º y 36º
37º
4a
4. Triángulo Rectángulo de 53º/ 2 = 26,5º = 26º30’
72º
5 1 a
54º
a 5
a
4a
a 10 2 5
26º30’
2a
14. Triángulo Rectángulo de 29º/ 2 = 14,5º = 14º30’
5. Triángulo Rectángulo de 37º/ 2 = 18,5º= 18º30’ 4a
a
a 10
a
14,5º
18º30’
3a
6. Triángulo Rectángulo de 16º y 74º 74º
7a
15. Triángulo Rectángulo de 21º/ 2=10,5º 2a
25a
10,5º
16º
11a
24a
7. Triángulo Rectángulo de 14º y 76º 76º
16. Triángulo Rectángulo de 67º/ 2= 33,5º
a 17
a
2a
14º
33,5º
4a
8. Triángulo Rectángulo de 8º y 82º
3a
17. Triángulo Rectángulo de 23º y 67º 23º
82º
5
a
2a
67º
8º
12a
7a
9. Triángulo Rectángulo de 3º y 87º
13a
5a
18. Triángulo Rectángulo de 23º/ 2 = 11,5º
87º
a
a 3º
11,5º
19a
5a
27
19. Triángulo Rectángulo de 75º y 15º Si:
3. Halle el valor numérico de:
75º
a
Csc300 Sen30o
H
Sen2 30o Cos2 60o
15º
a (2 3 )
Si: ( 2 3 )a
4. Simplificar: Sec60o 2Csc30o M 2 3Tan30o
75º
15º
a
5. Si: = 12°, halle el valor numérico de:
Si:
6 2 a
75º
E
2Sen(3 6o ) Tan(4 3o ) 5Cos(2 13 ) o
15º
a ( 6 2 )
6. Halle el valor de:
20. Triángulo Rectángulo de 45º/ 2 = 22,5º Si:
L
Sen 2 45o Cos 60o Sec37o
a
7. Halle el valor de: Cot 2 4 Sen 2 3 F Cos2 Para: = 15°
22,5º
a ( 1 2 )
Si:
2 1 a
8. Calcule el valor de:
22,5º
a
Si:
M ( 2 2 )a
2 2 Cos 2 .Co sec3 Sen3 .Cot 2
Sen3 .Tan4
Para = 15° 22,5º
a ( 2 2 )
9. Calcule el valor de:
9 x .Tan3x 2
F=Sen(5X+10°)Cos(4x+5°)+Sen3x.Sec Para: x = 10° 1. Halle el valor numérico de: 2
P
Sen 60 2
o
2Tan 30
Cos o
2
Sec
Q
o
o
45
2
E
o
45
2. Simplificar: 2
10. Reduce: Sen45 Cos
4
Tan
3 Tan45o Cscs60o Sec 6
11. Calcule el valor de: 3Tan300
E
2Csc30o Sec600
28
Sen74o 9Cos37o
3Tan16o 7Cos53o
12. Si: = 10°, halle el valor de: 9 Sen3 Cos6 Csc 2 M 9 Tan3 Sec6 Cot 2
Cos(70° - ) = 0,5 23. Calcule el valor de “ ”, si: Csc(80o ) Sec60o
13. Calcule el valor de: “P”, si: = 35° y = 10° P
Cos(2 ) Tan(8 ) Cos Tan(2 ) 2
14. Halle el valor de “x” en: (x + 2) Cos60° = 6
24. Si: Tan
3Cos ( x 1) 3,5 6
F 3Sen2 4Cos2 25. Calcule el valor de:
Q
3Sec2 45 4Sec37 3Tan2 45 2Cos 2 45 3Tan53
26. Determine el valor de. 2
,
Calcular:
Q 2 Sec 17. Si: 4Sec37° = x 2 Sen
3
“ ” es un ángulo agudo.
15. Resolver: Sec 2 45o ( x 2) Tan5 45o
16. Reducir:
3
45
(Sec53 Tan53)Tan 2 60
6
27. Halle la suma de valores de “x” que cumplen la siguiente igualdad:
Halle el valor de “x”
X2 – 2XCos60°Tan2 60° + 2Tan45°= 0 18. Si: Sen75° . Cosec (15° + x) = Cot
4
Halle el valor de “x”
28. Siendo: Sen
19. Halle el valor de “x” en: 4Sen
6
2Csc
6
7 x 3Tan 2
1 2
Cos60
“” es agudo. Calcule el valor de: Cot 2
3
29. Siendo: Cos Tan2 30 “” es agudo. Determine el valor de:
20. Siendo “” y “” ángulos agudos, además: H 2Tan Sec
Tan2 = Cot20° y Cot3 = Tan60° Halle el valor de: Sec( + )
30. Siendo: Tan Sec2 45 “” es agudo. Calcule el valor de:
21. Si: Tan(3 + 45°) = Cot(2 + 20°) Calcule el valor de:
M 5Sen2 Sec2
M = Sen6 . Cos9 . Tan12 22. Calcule el valor de “ ” en radianes, si: 29
