02.Dados o comprimento C do arco AB e o raio da circunferência, calcule a medida do arco em radianos. a) C = 0,5m e r = 0,25m b) C = 2cm e r = 0,04m c) C = 6cm e r = 2cm
Ciclo Trigonométrico Circunferência centrada na origem do plano cartesiano de raio unitário. Por convenção o ponto A(1,0) é a origem dos arcos orientados dessa circunferência, ou seja, para percorrer estes arcos A será sempre o ponto de partida e o sentido antihorário é considerado como positivo do percurso. Os eixos cartesianos (x e y) determinam na circunferência quatro arcos congruentes chamados quadrantes . s
s B
Q2 (2º quadrante)
+
Q1 (1º quadrante)
1 A
A’ -1
1 A O
Q3 (3º quadrante)
O -
-1
Q4 (4º quadrante)
B’
Medida Algébrica de Arcos Orientados Sendo AP um arco trigonométrico de medida x em graus ou radianos a medida algébrica de AP é um número real dado por + x ou – x , respectivamente quando o sentido de for anti-horário ou horário.
P
y
AP =
y
A
A 60° = 300° x
P
APPereira =- x Alex 3
y P 60° A
x
Observe que, com extremidades no mesmo ponto P, existem dois arcos AP , com medidas e sentidos diferentes. Por exemplo, os arcos 60º e – 300º têm as mesmas origem e extremidade Quando P coincide com A, temos três casos distintos:
P
Arco nulo (0°)
A
P
A
Arco de uma volta positiva(360° ou 2 )
P
A
Arco de uma volta negativa(-360° ou 2 )
Arcos com mais de uma volta Em trigonometria, existem arcos com medidas maiores que 360º (ou menores que – 360º) para representar mais de uma volta no sentido positivo (ou negativo). Esta notação é comum ao nosso cotidiano, por exemplo quando um móvel dá duas voltas em uma pista circular o mesmo percorre um arco de 720º, pois cada volta corresponde a um arco de 360º. Observe as seqüências de arcos abaixo: 60°
420°
780°
Alex Pereira 4
60º + 360º . 0 60º + 360º . 2
Um ponto P da ciclo trigonométrico é extremidade de uma coleção de arcos cuja expressão geral é:x + 360º k ou x + 2k (k∈Z) ;onde x é chamado primeira determinação positiva se 60º – 360º0 .< 2x ≤ 2π
660°
- 300°
60º + 360º . 1
60º – 360º . 1
Arcos Côngruos Arcos que diferem de um número inteiro de voltas, ou seja têm a mesma extremidade. 1ª determinação positiva 20º, 380º, 740º, 110º, -340º (ARCOS CÔNGRUOS) 1ª determinação negativa Expressão geral: s P
x
= x 0 + 2kπ x0
O
A
r
∈
π
Alex Pereira 5
Exercícios de Revisão 01.Determine a MDP (menor ou 1a determinação positiva) e a MDN (maior ou 1a determinação negativa) para cada arco a seguir: a)1400º b)– 1200º c) 17 π 3
d) e)
83π 4
23 π 4
02. Indique a expressão geral dos arcos cujas extremidades são os pontos indicados nas figuras abaixo: a)
b)
c)
150°
45°
45°
d)
e) A D 45°
B C
Os pontos destacados representam os vértices de um hexágono regular
Razões Trigonométricas no Ciclo Trigonométrico Seno e Cosseno No plano cartesiano cada ponto P corresponde a um par de números reais denominados abscissa e ordenada.
Alex Pereira 6
P(sen , cos }
1
sen( )
o seno do arco é a ordenada de P cos( )
o cosseno do arco é a abscissa de P
Preencha os espaços em branco do quadro ao lado com os valores do seno e cosseno dos seguintes arcos trigonométricos indicados no círculo se co arco (0,1) n s 90º ou 0 180º ou
1
(1,0)
(1,0)
1
360º ou 2 (0,1)
0
270º ou
Sinal do Seno e do Cosseno Como sen x e cos x são as coordenadas de um ponto do plano cartesiano então os sinais do seno e do cosseno dependem do quadrante do ponto. O valor máximo assumido pelo seno ou cosseno é 1 e o mínimo é -1, ou seja, SINAIS DO SENO
SINAIS DO COSSENO
-1
senx, cosx
1
Exercícios de Revisão Alex Pereira 7
01. Se a medida x de um arco é tal que
π
2
< x < π , então
a) sen (x + π ) > 0 b) cos (x + π ) < 0 c) tg (x + π ) > 0 d) cos (x + 2π ) > 0 e) sen (x + 2π ) > 0
02.. Se x é a medida de um ângulo em radianos e
π
2
3π 2
, então
a) cos x > 0. b) cos 2x < 0. c) tgx > 0. d) sen x < 0. e) sen 2x > 0. 2 03.Para que valores reais de m existe a relação senx =
a) -1 ≤ b) -2 ≤ c) -1 ≤ d) -2 ≤ e) -3 ≤
m≤ m≤ m≤ m≤ m≤
m −1 3
?
1 2 2 1 1
Tangente O eixo das tangentes é a reta paralela ao eixo dos cossenos pela origem dos arcos. Para se obter a tangente de um arco basta prolongar radialmente a reta que passa pela origem do plano cartesiano e pela extremidade do arco até interceptar o eixo das tangentes. Eixo das tangentes 90º (não existe tg)
tgx
tg 60º
tg 220º 155º
tg 30º
x 1 tg 155º
220º
180º (não existe tg)
tg 310º
Alex Pereira 8
Note que a tangente não está definida para os arcos 90º, 270º, bem como todos os seus côngruos, ou seja:
a tangente de x só existe se : x ≠
π
2
+ k .π
Sinal da Tangente Usando que tg(x) = sen(x)/cos(x) e a regra de sinais para a divisão, podemos obter o sinal da tangente através dos sinais do seno e do cosseno.
Sinal do seno
Sinal do cosseno
Sinal do tangente
Cotangente O eixo das cotangentes é a reta paralela ao eixo dos senos pela extremidade do arco de 90º. Para se obter a cotangente de um arco basta prolongar radialmente a reta que passa pela origem do plano cartesiano e pela extremidade do arco até interceptar o eixo das cotangentes.
cotg x
x
Cotg 160° 160º
cotg 50°
90 º
50 º
180º (cotg não existe)
0 (cotg não existe)
Alex Pereira 9
Note que a cotangente não está definida para os arcos 0º, 180º, bem como todos os seus côngruos, ou seja cotg x
eixo cotangente
x
a cotangente de x existe se :
x
≠ k .π
Sinal da Cotangente A cotangente possui o mesmo sinal da tangente, pois é a sua razão inversa, sendo positiva nos quadrantes ímpares (1o Q e 3o Q) e negativa nos pares (2o Q e 4o Q).
Cossecante e Secante Representam, respectivamente, as razões inversas do seno e do cosseno. Para obtê-las basta prolongar a reta tangente ao ciclo trigonométrico que passa pela extremidade do arco até encontrar os eixos coordenados.
cossec x existe se sec x existe se x ≠
x
π
2
≠ k .π
+ k .π
O sinal da cossecante coincide com o sinal do seno da mesma forma que o da secante coincide com o do cosseno.
Alex Pereira 10
Interpretação Geométrica de todas as Razões Trigonométricas
cotg 1 cossec sen cos
tg
sec
RELAÇÕES IMPORTANTES:
TRIGONOMÉTRICAS
Do triângulo retângulo acima tiramos que:
sen2 + cos2 = 1 (Dividindo esta ralação por cos2 respectivamente temos as seguintes
relações derivadas tg2
+ 1 = sec2
e
tg2
e por sen2
,
+ 1 = sec2
Exercícios de Revisão 01.Seja x um número real pertencente ao intervalo [0,
π
2
]. Se secx = 3/2, então
tgx é igual a a) √2/3 b) 2/3 c) 1/2 d) √5/2 e) √3/2
Alex Pereira 11
02.Se x é um arco do 3o quadrante e cosx = - 4/5, então cossecx é igual a a) -5/3 b) -3/5 c) 3/5 d) 4/5 e) 5/3 03. Se o cos x = 3/5 e -
π
2
< x < 0, então tg x vale:
a) -4/3. b) -3/4. c) 5/3. d) 7/4. e) -7/4.
04.Sabendo que sec x = 3, calcular o valor da expressão y = sen2 x + 2 tg2 x
05.Sendo x um arco do 2º quadrante e sec x = - 3, então cossec x é:
06.Se senx =
2 2
sec x −1 2
, calcule o valor da expressão
07.Simplifique a expressão E =
2 − sen 2 x 2
cos x
y
=
tg x + 1 2
− tg 2 x
Redução ao 1o Quadrante Dado um arco qualquer do 2oQ, 3oQ ou 4oQ podemos determinar um arco do 1oQ que tem as mesmas razões trigonométricas do arco dado, em valor absoluto (o sinal pode não ser o mesmo).
Alex Pereira 12
É importante lembrar dos valores das razões trigonométricas dos ângulos notáveis do 1oQ e que os sinais destas razões dependem do quadrante do arco a ser substituído.
sen 1
30º
2 2
45º
2
3
60º
2
cos
tg 1oQ
3
3
2
3
2 2
1
1 2
sen e cos e tg e cotg cossec sec + + +
2oQ
+
–
–
3oQ
–
–
+
4oQ
–
+
–
3
Sendo x um arco do 1 oQ ( 0 < x <
π 2
), temos: 180º – x
2oQ
180°
180° +
180º + x
360°
360º – x
180° - x Sen(180°sen(x) x) x
x
tg(x)
4oQ
sen(180º – x) = sen x
cos(180º – x) = – cos x
tg(180º – x) = – tg x
Redução do 2oQ para o 1oQ
cos(180°- x)
3oQ
cossec(180º – x) = cossec x
cos(x) tg(180°- x)
sec(180º – x) = – sec x
cotg(180º Alex Pereira – x) = – cotg x 13
Redução do 3oQ para o 1oQ sen(180º + x) = – sen x cos(180º + x) = – cos x
x
tg(180º + x) = tg x sen(x) x cos(180° + x) cos(x) sen(180° + x) 180° + x
tg(x)
cossec(180º+x) = – cossec x sec(180º + x) = – sec x cotg(180º + x) = cotg x
Redução do 4oQ para o 1oQ senx
tg(x)
x
sen(360° - x)
x
tg(360°- x)
sen(360º – x) = – sen x
cos(360º – x) = cos x
tg(360º – x) = – tg x
cossec(360º – x) = – cossec x
sec(360º – x) = sec x
cotg(360º – x) = – cotg x Alex Pereira
14
Regra Prática 1.
Localize o quadrante do arco a ser reduzido.
2. Encontre o sinal da razão trigonométrica no referido quadrante. 3. Encontre o arco(x) correspondente no 1 oQ.
180° - x
x
x 180° + x x
x x
360° - x
2oQ 3oQ 4oQ
quanto falta para 180º quanto passa de 180º quanto falta para 360º
Exercícios de Revisão 01.Determine o valor de: a) sen 120º
b) tg 240º
c) cos 150º
Alex Pereira 15
d) sen 300º
e) cos 2490º
Simplificação
de razões Trigonométricas arcos da forma k x (k Z)
dos
Supondo, sem perda de generalidade, que x é um arco do 1oQ, conserva-se a razão trigonométrica e o sinal é o mesmo da razão trigonométrica no quadrante em que está k x.
Exemplo : a) sen (π + x) =
b) cos (π + x) =
c) sen (2π + x) =
d) cos (2π + x) =
e) sen (3π + x) =
f) sen (3π + x) =
g) tg (π - x) = i) sen (11π - x) =
h) sec (π - x) = j) cos( 14π + x) =
Simplificação de razões Trigonométricas dos arcos da forma (k /2) x, k inteiro ímpar Supondo, sem perda de generalidade, que x é um arco do 1oQ, troca-se a razão trigonométrica pela co-expressão e o sinal é o mesmo da razão trigonométrica no quadrante em que está (k /2) x,.
expressã o sen
co-função
tg
cos cotg
sec
cossec
Alex Pereira 16
Exemplo : Simplifique as seguintes expressões: a) sen (
π
c) sen (
π
e) tg (
2
- x) =
2
3π 2
+ x) =
+ x) =
b) cos ( d) cos (
π
- x) =
2
π
2
+ x) =
e) cossec (
3π 2
- x) =
Exercícios de Revisão 01.A expressão sen 270º - cos 150º - tg 135º - sec 300º é igual a: a) 5
2
2 3 −
3
1
b)-
2
3
−
2
3 3
c) −
2
3
d)
2
e)2 -
3 2
02.De acordo com as relações de redução ao 1 o quadrante, calcule o valor da expressão. 2 cos x
+ cos( π − x )
− x + cos( 2 − x) 2 π
4 sen
π
a)1/5 b) 2/5 c)3/8 d)5/2 e)6
Alex Pereira 17
+ 7 ⋅ senx π , para todo x real, é equivalente a: sen – x 2
sen( π – x )
03.A expressão a)5 sen x b) 8 tg x c)2 tg x d)7 sec x e)8 cos x
04.Resolva as expressões trigonométricas: sen 840 º +tg 135 º
a)
b)
cos 420 º
sen
13π 9π + tg 6 4 cos( π )
=
=
05.Calcule o valor da expressão : E =
sen 2 x + cos 8 x 2
sen 3 x
para x =
π
2
Alex Pereira 18
Alex Pereira 19
