I 1.
Griterios preliminares Es
el resultado de comparar dos cantidades, esta comparación se expresa mediante el cociente de ellas.
Ejemplo: Hallar la razón entre los lados menor y mayor del triángulo ABC. Resolución: Lado menor: 2m Lado mayor: 5m
Razóntr)
2m
=#
0,4
Son aquellos símbolos matemáticos que se aplican a los ángulos. En este capítulo estudiaremos seis de ellos.
Seno -) Coseno -+ Tangente
Sen
Cos
Es
el resultado de aplicar un operador trigonomé-
trico a un ángulo.
rg -g:
N
t_
Número
-+ Cotangente -+
Tan o Tg
Angulo
Cot o Cotg
Operador
Secante
Sec
trigonométrico
.l
/
__-l
LOSeCante '
Csc o Cosec
2.
Razones trigonométricas en el triángulo rectáng¡¡lo Es el valor que se obtiene al comparar por cociente las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Observa cton .-.-. -vt¿
C^.
.
A
Cateto Opuesto
a
b
C
Respecto al
<
b
a
C
al{A C
Cateto Adyacente
al{
A
Cotg A =
SecA= (-^.^-
.-
al{ A Adyacente al{ A
Cateto Adyacente
al{
A
Cateto Opuestoal{ A Hipotenusa Cateto Adyacente
Cateto Opuesto
b
CosB=
a
TgB=
b b
Cotg B =
a C
al{
A
Hipotenusa
A
m{A+m{B=90o
Cateto Opuesto
SecB=
b C
al{
Cosec B =
A
al{
B
Hipotenusa
C
Cateto Adyacente
al{
B
a
Hipotenusa
C
Cateto Opuesto Cateto
B
SenB=
Hipotenusa
Hipotenusa
ANCUTOS AGUDOS:
Hipotenusa
TgA=
Cateto adyacente
Respecto al
TEOREMA DE PITÁCORAS:
SenA=
Cateto opuesto
C
Cateto Opuesto al {
b
B
{B Adyacente al{ B
Cateto Adyacenteal
a
Cateto
a
Cateto Opuestoal{
b
B
Hipotenusa
C
Cateto Adyacente al
{
a
B
Hipotenusa
C
Cateto Opuestoal{
B
Ejemplo práctico: R.r. (p) )A 5enCf = -
LOS
CX,
=
-25 7
Cosec
cx
=
B
=+ =#
rsP=+
Cots
p=+
sec B
cosec
=#
g=+
PropiedaGfuirdamentalesdelasrazones trigpnorÉfuücas Trlil,i Los valores de las razones trigono-
métricas son cantidades numéricas, es decir, adimensionales (sin dimensiones), por tratarse de un cociente de magnitudes de Ia misma especie.
208
senB
cos
-25
24 lscx-_ u7
3,
Cotg cr =
Quinto año de secundaria
En la figura:
=Y 5m5
coseco=13t Cosec 0 = 2,6
Los valores de las razones trigonométricas dependen únicamente de la magnitud del ángulo y no de las dimensiones del triángulo reitángulo que contiene a dicho ángulo, es decir, que su valor no cambia si Ia
ffi
medida del ángulo permanece constante.
En
el N roc'
En el
^3 5encr=-
B
^93 Senü=-=-
15
5
Coscr=l
15 93 Igü=-=-
5
Ejercicio
O
Determinar las 6 razones trigonomé-
tricas del mayor ángulo agudo de un triángulo rectángulo
ABC, recto en C, siendo:
a:
15; b
:
B.
s
12.4 Loscx,=-=-
A
lg0"=
N Rsc'
3
5
o124
4
En un triángulo rectángulo se sabe que Ejercicio A el doble del cateto menor. Calcular es m.yor el cateto del menor ángulo de ditrigonométricas razones las 6
cho triángu lo rectángu lo.
Resolución:
", Craficamos: A
Resolución:
*
Del enunciado: (0 <
cr)
b:B C
a:
15
Teorema de Pitágoras: c2
a, Por el teorema de Pitágoras: pR2 = (2u),
= 152 + 82
pR =
c = J2Bg
c=17
,r, Como "F"
a>b -+ m{A>m
z,
Notamos:
,
Calculamos las R.T.
SenA=
Hipotenusa
B
Adyacente
B
17
Hipotenusa Cateto Adyacente
Hipotenusa Cateto
CotgB
=y15
B
TeB= ur
u 2a
Ejercicio
f=
Cosecg=u'u=6
-12
@ o"l
=4=2 a
secB=*=+
? =Z='6 ' = Jsa r/s 5
, Cateto Adyacente _ B Cots.{= -- (r Cateto Opuesto 15
Cosec A =
es el menor ángulo, nos piden:
CosB
17
Cateto Adyacente
SecA=
pR = ^6a
=L=+-Jg 'V5aJs5
Cateto Opuesto _ 15
Cateto
J;* -)
senB
({A):
=- Hipotenusa_ 17 -r-^ A ^ Cateto Opuesto _ 15 o _
Cos A
*(u),
a
gráfico,calcular
*= Tt"l::f P fuc cr'Cotg B
D
C 3 B
Opuesto
Quinto año de secundaria
209
Resolución: o¿, En el
a
N
Ejercicio O En un triángulo rectángulo ABC, en C, se cumple que: Cos A: 0,96. Calcular:
RgC:
?or el teorema de Pitágoras:
Cotg
AC2 = 42 +32
AC
t AC
fs"no =
-)J
',
]
,,
5
lr".o=I lq
En el
Del dato: Cos A = o,96
252
A
cl-/
725 _+_
AD = JTag
'
Fp=d
n2424
'
Nos piden:
.
D1--
-+ fto'"tP=T l.o,s
p=+
1*
4 3
24 25- 497 _+_ 77 7 4:
Ejercicio
Del gráfico, calcular: K
O
:
Tg
a + Tg p
1i 16 ,,i'*,j6 ,:-,
M=* =+45
en B, se cumple que: Tg R
=
I
A
. Calcular:
elN ngo: BD2:AD2-AB2
41 (Sen A + Cos A)
BD2 -_ 52 _ 42
BD:3
Cotg A+Cosec A z+
Resolución:
n, D"lenunciado: TgA
9a 40c
4Jl
Resolución: oo, En
',
32
24
. .t,.t,,.:1,.2'll
En un triángulo rectángulo ABC, recto
E*
lc=25
=a2 +242
AD2 = 52 +122
@
-+J
a2 =49
Por el teorema de Pitágoras:
Ejercicio
lb=24
96
= 100='4 25=bc B
También:
N nco'
an Reernplazando:
A+Ccec A
Resolución:
= J25
=Jl
Tg A+Sec A
P_
\
f
Etr
el N RBC:
u=n
Ic=40
BC:B r,
También:
BC2:AC2_AB2 . _.) _ BC2 : (+Js )- o,
En el gráfico:
B
b2 =g2 +402
b=ú681 b=41
B
c:40 ¡)
',
Nos piden:
40 41 _+_ 99
* 210
Quinto año de secundaria
,"E'!'4
,.,J
¡i)
:F
:i'::'l
Ejercicio
O
A partir del gráfico, indicar
razones triglnométricas de los ángulos
las
"uy 0"
:ir.
li:,]':
::',li
i r:
i
'
',r
En un triángulo rectánguloABC. Ejercicio g : 90') Se tiene que: b : 3a.
(B
Calcular
C
:i
las 6 razones
trigonométricas del ángulo
A.
Resolución
c:60 Sencx:
lSen0: lCos0:
Cosg: Tga: Cotga: Secs: Cosecg: Ejercicio
g
lTg0: lCotg0: lSec0: lCosec0: De la figura, calcular el valor de: B
K:-
Tg0
-
Tga
Ejercicio
!l
En un triángulo rectángulo ABC, se tiene que: recto en "C" ,
J6
CosecA: ¿^.
Sen0
Calcular el valor de: E
18
D-{
Rpta: Ejercicio
ftl
R
:
Rpta:
1
recto en B, se cumple que:
Ejercicio @
6
Cosec'A:1,666... Calcular elvalor de:
N:
-
CosB ' Cos A
Resolución
En un triángulo rectángulo ABC
BTgA
:
t: JilZ
Del gráfico, calcular el valor de:
:
^,frgg:CosB
B
5CosC
3l3c-ssenA
Resolución
Resolución
Rpta: N :
3
Rpta: C Quinto año de secundaria
:
615
211
Ejercicio
A
Ejercicio O En un triángulo rectángulo (recto en B) señmple que:
Deltriángulo rectángulo mostra-
do, calcular el valor de:
E:Seccr+Tgu
ru
SecA'SecC
:
2,5
Calcular el valor de:
Y-(SenA+SenC)2 Resolución (2x+2)
Resolución
Rpta:Ff3Zl
4"
M:l^el
Rpta:
Razones trigonométricas recíprocas Calculemos las R.T. (cr) en el triángulo rectángulo mostrado:
Seng= Cos
=
Tgo
13 5
=
Cotga =
13
12 5 5
a=9.8=l
Sencr.Cosec
13 12
coscr.secu=+.p=r 13 s Tgcr'Cotga
LOS€CC[
12
E Sen
[*no -
s.Cosec
cr ='1
Sen x'Cosecy =
Coscr.Seccr =
Cosx'SecY=1 =
1
Quinto año de secundaria
x:y
Cosec
a
la*".cr=Sena
1
11 =I 5ec o¿
I
(Tga.Cotgcr =
1
J
1
1
producto de 2 razones trigonométricas recíprocas es igual a la unidad si y sólo si están aplicadas a un mismo ángulo.
212
-12
I [.*o I Seccx
El
"'CotgY
13
=
1
=+'!=t
De donde concluimos que: Sen cx y Cosec cx; Cos cx y Sec a; Tan cx y Cot ü son razones trigonométricas recíprocas y cumplen la siguiente propiedad:
Tg
^13cr =5
Sec
Nota
Observ ación
;.ffi
cx
12
1
J
Cosa 1
'to=corgs
l-n"=+
'
' Ejercicio
O
Sobte
razms trigonométricre recípocas
l,i-,.i,:t.l:,.':.:
"
lirr:r'.r,:L ' lr''i,i
ll
Resolución:
Sabiendo que: Sen(2x + 1 5")' Cosec 65" =
o
1
De las RT. recíprocas:
Tg (2x+ 3y
Calcular el valor de "x". Resolución:
.
ii,.l-.,:,,,
- 20")'Cotg (sx + 3y - 50') = 2x +3f - 20" = 5x +.XY 1
Aplicando la propiedad de las R.T. recíprocas: Sen (2x +
1
30" = 3x
5')'Cosec 65o = 1
x
2x+ 15o = 65o
+2y-30')'Cosec(*-y+10")=1 Tg(5x+y+20')'Cotg(x+2y+30')=1
Si se cumPle que:
- 3)"
"*"
calcular
' Sec (2sx + 9)"
-'l
= 0,
xe
Z+
¡ De1:
Resolución:
Sen(3x
-:)''Sec(ZSx
+
"y"
+ 2y- 30")' Cosec(x-y + 10') :
De
Tg(Sx+y+20')'Cotg (x+2Y +30")=
De3
(zx+ ¡)(* - 4) = o
I
ii) x-4=O
7l
Tg(2x + 3y
1
2x+3Y =
4Oo
(x3) , 12x-3y=30"
t M.A.M. 14x -- 7Oo
-) F ="] r
ReemPlazando
en z
3
(s")
:
+ 3y
40"
3y
30"
v
10'
Si
- 20")'Cotg(Sx
+ 3y
-50')
= 1, hallar el
valor de "x".
Razona
Razona
.
4:
4x-y = 10o
4
Ejercicio 0
y
2x+3y -- 40" iNo !
3
5x+y+2Oo=X*2Y+30' 4x-Y = 10o"' 4
7v,+3 v/-\-4
10"
2:
7x2 -25x-12 = o
[-3 lx=--l
1
3xt2Y-30':x-Yf 2x * 3Y :40' "'
-3 = 25x+9
i) 7x+3=0
2
.
9)" = 1
De acuerdo a la propiedad de las R.T. recíprocas: 7x2
"
1
Resolución:
hallar el valor de "x".
De la condición: Cos (r"'
10o
Sen(3x
x=25o
cos(zx2
:
Si se cumPle que:
Ejercicio @
2x = 50o
Ejercicio A
50o
Hallar "x" en:
. B
3
6
7
6
X
6
9
3
por cada aula, sobran 4 asientos. si se distribuyeran 20
9
1B 15
En un colegio se distribuyen 1B alumnos por_cada aula, quedando 6 alumnos de pie; si se distribuyen ]9 alumnos
ulr*nor
Rpta.
x:
12
por cada aula, 2cuántos asientos quedarán vacíos? RPta' 14
Q¡,¡into año de secundaria
213
5'
Razones trigonométricas de ángulos corurplementarños Calculemos las R.T.
(cx)
y
mostrado:
R.T. (9) en el triángulo rectángulo
)4
7
Sencr=-'
25
Coscx =
7
-25
cx
SenB
^25 5ecCx--
Cos B
Losec ü
-
)A
=l'25
Cotga=-
CotgP=?
)A
SecB=4 '24
'25
7
24 lsü-_ u7
+ F = 90o
25
T89 =
-24
7
,7=4
Cosec B
24
Observación . | .::::_,: : l:
.
O también:
)4
Sena=CosB=1 '25
', ,. , .,¡;,,,,':iiif,
Tgcx = U
Cotgg L:II
SenB=Cos
)A
=:-
o-;
TgF = Cotgu=
7
!-7
7
-n25 )eCp=LOSeCü=:-l
'24
Seccr=fs5g6B=4
"7
De donde concluimos que: Sen cr y Cos 0; Tg cr y Cotg p; Sec o y Cosec p son razones trigonométricas complementarias (O co-razones trigonométricas) y cumplen la siguiente propiedad: Toda razón trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la co-razón trigonométrica del complemento de dicho ángulo. Seng = Cos
I
Tgo=Cotg0
En
cr+B=90"
general:
R.T.
R.T. (0)
:
Co-R.T. (90'- q¡
: razón trigonométrica.
Co-R.T. : co-razón trigonométrica.
Seccr = Cosec0
0
: ángulo agudo.
. Sobre razones trigonométricas de ángulos complementarios Ejercicio
O
Si Sen (3x
+ 10')
:
Cos (2x
+
35"),
calcular el valor de "x".
Ejercicio 8
Siendo
Resolución:
'"
Aplicando la propiedad de las R.T. complementarias: Sen(3x + 1 0") = Cos (Zx + 35")
(3x + 10") + (2x +35o) = 9go
valor de
x:9o
Cotg (6x + 11)'
"x". (xe z-)
,'
De la condición tenemos: TB
,,'
(*'
+ 5x
- t)'
= cotg (6x + 1 1)'
Por la propiedad de las R.T. complementarias:
(*' * sx - r)' + (6x + 1 1)o = 9oo
214
Quinto año de secundaria
= 1, hallarel
Resolución:
5x+45o=90o 5x = 45"
rs(*'+sx-1)'
x2
x
. De 3 y 4:
+11x-80 = 0
\ n+16
*A
-5 (x+16)("-5)=o x+16=o
. ---)
(x4)
X+Y =22o
4x+4y=BBo 3x+ 4y =7Bo
3x+ 4Y =78"
4x
o
3:
Reemplazandoen
Y
Ejercicio
Si se cumPle que:
: Sec (2x + 3y - Bo) : Bo)
+ 16") 1 Cosec (x + Y + 20") ... 2
@
Si Tg
+y
(2x+1s")'Tg
Tg(2x+ 15") = Cotg
Sen(2x+y+B')=Cos(x+2y+16")
+
2x-24
x+y --22"...
x =12" 3
g
Nota
o De 2 : Sec(2x+3y-B')=Cosec (**y+20") S")+ (x + Y + 20') = 90o 3x+ 4y
ffi
=78"
51o
2x+15o+51o=90o
3x+3Y =66"
-
1
'- Tgt.''
De la condición: Tg(2x + 15o\
+ B') + (x + 2Y + 16') = 90o
(Zx + 3y
s1o -- 1,
Resolución:
r
Resolución:
(Zx
=12"
hallar el valor de "x".
Cos(x + 2Y
calcular "x" e "Y"
. De 1 :
I
10o*y=22"
x=5
B Sen (2x +y+
10
-E=g
+p1q]iNot
Ii) {iir x-5=o -f=sl
E.iercicio
- 3x:
Tg
0'Cotg 0 = Cotg 0 =
4
Ejercicio G Si: Cos(3x-10') 'Sec 50' Hallar el valor de "x".
:
1
Eiercicio
Q|
1
1
Tgo
Hallar los valores de
verifican la @raldad: Sen (Bx
Resolución
- 3)" ' Cose c(2x2 *
3)"
"x"
:
que
'l
Resolución
Rpta:
x:20o
Rpta:
x:3y1
Quinto año de secundaria
215
Ejercicio
ffi
Tg(3x
-
Calcularx e y si:
I
+ 3y + 10)' :
y)" 'Cotg(2x
x + 2Y
:
1 ... (l)
Ejercicio f;! Si: Sen (5x *40') : Cos (2x -10o), hallar el valor de ,rxrr.
70o... (ll)
Resolución
Resolución
Rpta: 20" Ejercicio
O
Tg{2a -B
+
Sec(cx
+ 15')
Se
10")
:
:
Corg(a
Cosec(2p
Calcular el valor de
Ejercicio
cumple que:
cx
y
+
29
-
5') ... (l)
e
(2x-y)''
Tg(x + y)' :
Cosec(xx
"x",
- 10)"- 1 :
si:
0
B.
Resolución
Rpta:
Tg
+ 19)'.
Calcular el valor de
+ 30') ...(ll)
Resolución
tjercicio
Cos(2xx
0
u.: 25" Y F:
10'
Sabiendo que:
Cotg7O"
:
1 ...(l)
Cotg40" ...(ll)
Calcular el valor de x e
Rpta: x Ejercicio
@
Cos40o'Cotg(2x
:
3
Si se cumple que:
+ 10')
Calcular el valor de
'Cosec50o
:
Tg3x
"x".
y.
Resolución Resolución
Rpta:
216
Quinto año de secundaria
x:4oo ,y:10"
Rpta: x
:
'16o
6.
Gasos que se Presentan con mucha frecuenc¡a en la resolución de triángulos rectángulos Primer caso Datos: Hipotenusa"c" Y un ángulo "u," lncógnita: Expresar los catetos en términos t'c" y " u." En el N gCR'
l)
Sen cr =
99
CB
BC = c.Sen
ll)
En
elN
l)
Co sec
BCA:
ll)
C
AC = c.Cos
AB a
AB = a .Co sec
cr
AC
Cos cr
Datos: Un ángulo agudo "a" y su cateto opuesto "a ' lncógnita: Expresar el otro cateto y la hipotenusa en términos de "a" y "a".
i:
de
Corgo=49 AC = a'Cotg
cr
ü,
cr
Tercer caso Datos: Un ángulo "a" y su cateto adyacente "b"' tncógnita: Expresar el otro cateto y la hipotenusa en términos de "a" y "b".
\
En
eI
t)
secg =
Ejercicio
O
BCA:
ll) Tgu=
+
BC
t
De la figura, hallar "AD" en términos de "a", "g," y "F"
Ejercicio
Delgráfi-
co, hallar "AH" en términos
de "a" y "a".
a
Resolución:
,¡,
Enel
N BAC: Seno =
BHC +N RHe' AH Losü,=-
AB -+
a
a
-------*
AB = a'Sen
c[,
Resolución:
a,
E(rel
N goc:
Sen
o=
BD -+ a
BD = aSencr
-----------.1-
En el
AB
A
AH =19.Coscr AH = a Seno'Coscr
En el
P
= NRos: rsF'BD
-+
AD=BD.TgB
AD-aSenu Quinto año de secundaria
Tgp
217
Ejercicio A En el gráfico, hallar tt\Dtt en términos de "a" ; "cr" y "e"
,N.
Ejercicio
@
En la
'AB" en términos de
"
figura, hallar , " a" y "9" .
a"
B¡.-
Resolucién:
.' ^/'"\ Resolución: En el
\
,,
lgcr=-AB -+ AB=aTga
ABC:
Enel
Enel
N
ACD:Cotg a =
^c --) 1'a
-+
N BCD:Tgg=E!' a
a
AC = a.Cotg u BC = u Tg0
A1 A
B
,/
ls T aCotgo
"4.'fl1-Enel
Nnog:Coso=AD AB
-+
AD = AB .Cos
AB=AC-BC AB=aCotgcx-aTgB
En la figura: 0
AD=aTgcr.Cos0
AB = a
(cotg cr -
TS 0)
f.'...i...'.....'l'l.l.]
Ejercicio S nosdeayü.
En la
figura, hallar BH, en térmi-
Ejercicio nos de a,
Q!
Delgráfico, hallar BC, en térmi-
ay0
B
Resolución
Rpta: BH
218
Quinto año de secundaria
:
aTg2u
Rpta: BC
:
aCoseccx .Cotg0
Ejercicio O nos de ay a
Ejercicio g
De la figura, hallar AB en térmi-
En el
gráfico, hallar AE en térmi-
nosdea;a;$y0
ru Resolución
Rpta: AB
:
aCos3
Rpta: AE : aTg0 ' Seccr'
cx
SenB
Observación
al
se puede realizar En trigonometría, los operadores no tienen significado por sí solo, ni tampoco operaciones' las considerar operaciones algebraicas con ellos, de manera que, es absurdo, C.on A JLrrv
e
b1
'
= Sen -+ (Absurdo)
Sen (a) + Sen (9) + Sen (cx + P)
ellos se puede operar así: Se ha demostradc ) que las razones trigonométricas son números, luego con
f)
5 SecB-3 Sec
ll)
(:
Cotg
a+2
B+2
Sec
9=4
Cosec
o)
Sen cr = 3 Cotg cx'Sen
Sec
P
a+2
Cosec cx'Sencx
= 3(cosu) r"n a+2(
[SenuJ
:-l''"n
ü = 3 cos cr+2
lsenüJ
pero la Tenga cuidado con la equivalencia. Senn ¡ : (señ x)n; la primera se utiliza continuamente, seg,Jndu no, porque se corre el riesgo de concluir que: (Sen x)n = Sen xn
-+
y esto es incorrecto'
Quinto afro de secundaria
219
lBrk Ejercicio ple
que:
O
En
Cos A =
16-z D) ..6+z
nl
ü,b+cbc Cr+Cosec "2 = a =_* a a =Cotg cots * = Cosec cr + Cotg u "2
untriánguloABC, rectoenC,secum-
tt: t 5
. Calcular
sl
J5-l
E)
..5*s
P:
SecA - Cotg
Cote:
B.
c) 16+1
o
Resolución:
r
También: fS En
Del enunciado:
cos A --
Cosec
el problema:
BC2
C
q= c5
o
BC
r
.5b=.
.
-
5b2
4b2
a=2b
valor
A)
de: r =]
.6
-+
E
3
- Cosec a]
=
J7
En un triángulo
Rpta.
Si Cosec
rectángulo ABC
P'+ :'i''i Rptu. A o
:
A) 0,25 m2 D) 1m2
B) 0,5 m2 E) 1,5 m2
C) O,75 m2
Resolución:
.
Delenunciado:
B; (cr : agudo), calcular el
[c"ts]-c** ")
B) J7
c)
2J7
.ür'ü'br" D) 3J7
E)
J7 - J5
.
AbC
Del dato:
a2 +b2
+c2 -20
,2
+c2 =20
Tenemos que:
c2 =10
c=úo .
Además:
CotgA=9CotgB
!=nle)
a
b2
-
(.bl
9a2
b=3a
220
B
ABC.
Resolución:
o
cr
90"), sé cumple que: a2 + b2 + c2 : 2O m2; y Cotg A : 9 ' Cotg B. Hallar el área de la región triangular
a
bb p=6b -'b bb A
o]
t:,fr-co,".
I1_.ZJl
Ejercicio O
P=SecA-CotgB
Ejercicio
=
(f :
Nos piden:
o-c
=l 1
E
a2
[j",it. BzJTc
= 3J7
E=jCotga
a2 +b2 = c2
=
t\
l[,,N
=82 -12
r = ] fcoseco + Cotg
Por el teorema de Pitágoras:
a2 +b2
A
BC = J63
b
5b2 =c2
A
ü
i2 = Cosec cr-Cotg cr
B
5
B
Cl¿
Quinto año de secundaria
.
Reemplazandoen: a2 +b2 = c2
Obtenemos:
bb a.a b b --q alr-g) t c) ( c)
a2 +ga2 = 10
lr-s)
- 1o a=1 rll} b=3
1oa2
Nos
piden:
Ejercicio ,,a,,
,,
y a,, .
S
NABC =
=
u2 b2 Jb- = 7+aa a'
1'3
22 'sNABC = 1;5 m2 En la figura, hallar
@
ub
Rpta.
E
.
a
C) a Cos 2o Sec
o
a=b...
b4
I
De la expresión incógnita: "Tg A
"BD" en términos de
+ Tg B"; obtenemos:
TgA+TgB=l*9 crba
A) a Sen a Sec 2cr B) a Sen 2cr Sec
=
.
Reemplazamos
I en ll
ll
:
rgA+TgB=f ubb *f ='' +1=2 rs Íjif+$i$i li Rpta. B
D) a Coscr Sec 2cr E) a Cos cr Cosec 2cr
E.iercicio "u" y "0"
Resolución:
@
En
el gráfico, hallar "x" en términos de
a .cos 2cr E
a
Delgráfico:
o
Se prolonga CD hasta un punto "E" tal que
además:
0+cx:90o.
+
EB
a
En el
' Sec 20
Resolución:
= a Cos2ü
N gro:
Sec cr
=
BD
-,
EB
BD = EB.Sec BD = a Cos2tx
Ejercicio
O
cr
Secs,
tleneque:
En un triángulo ABC, recto en "C" se
1-sen -Hallar "Tg A + Tg B"
A)1
B)2
B TgB'Cotg A A =-:-cos B c) 3
D)
-1
E) -2
Tg A.Cotg B _ TgB'Cotg A De la condición:
A
A
o
Enel
NOgC: Teg=P=BD
')BCa
a'Tg
Resolución:
1-Sen
/
Rpta. C
Tg A'Cotg
o
D)
B
En elN BEC: Cos 2cr = Eq
o
B) a
C) a Sen0 ' Cos 0 E)a Cos 0
CEIBE,
Tg0' Sec 20 aSen0'Sen20
A)aTg0'Sen20
1-Cos
En el
NnHO'
0=BD
Sec
u.fg o.Sei
-->
DH=a'Tg0
2e-DA=
DH a'Tg 0 20; i Rpta. B
B
Quinto año de secundaria
221
Ejercicio O
Del gráfico, obtene r "Tg
*
Q"
3 yA:
Resolviendo
x-3y
= 10o------f
3x + Y =
x-3Y = 10o
I* 90'gqg":-il-:ZO' I 10x = 280"
^=?8" C
^)
J7
a
H
J7
B)
tz
En el
N
,
/N
N CBA:
A)
=
i*l -;.r Ejercicio O Sen (x
C)
calcular x -
26"
*
1s
B
s
*" En el gráfico:
Rpta. C
Por Pitágoras:
+ 20') :
'Tgx:1
...2
1
...
1
BC2 =3g2
BC = JT2%
24"
C)
22"
D)
20"
E) 1 B"
Resolución:
* : Sen(x + 10").Cosec (¡y
*
2o')
-
Por la propiedad de la bisectriz:
BP PC
1
x-3y=10o...
De
2:
Tg
(zx+y)=+ r8 x
Tg (2x + Y) = Cotg x
2x+y*x=90o 3x+Y=90o...4
222
Quinto año de secundaria
BP
\
1s 39
x+10o =3y +20"
*
15
-1s2
y.
B)
q De 1
3
Resolución:
'
10") ' Cosec (3y
Tg(2x+Y)
A
D)4
Si se cumple que:
+
1
B)2
E)
=;:
Sen 0
Siendo AP bisectriz.
Pitágoras: BC2 = 82 -12
Tg0
Delgráfico, calcular:
E=2 Cotg e-ú3
BC = 3J7
el
x
Ejercicio
BC = J63
En
=6"
-y -2Bo -6o x-y =22" RPta. C
Nos piden:
CBD:
Por elteorema de
A)
3(28') *y=90o 84"+Y=90o Y
H
r
4:
D)J7t4 E)J7ls
c) J7 13
Resolución:
r
Reemplazandoen
s
13BP=180-5BP
3
- [,8.' il w
En
el N
ABP:
AP2
=
152
+ 1o2
Jns AP = s ú3 AP =
36-BP 13
G
L
[
)
E=3-2 -) E=1 Ejercicio P
*
E-2f]I)-r'l-gl (.rJ "'- t {-)
L-
Nos piden:
@ Si Sen 9 x -
Cos
Además:
(t + Sen AX1+ Sen C) =
;
=
;
Rpta.A
4x
:
[,.;) ['.;)
0, calcular
(b+a)(b+c)=962
T87*
- Cotg 6x
A)-1
c)1
B)0
D)2
E)
b2+ab+ac+b.=9b2
'',/,
B
Resolución:
u
Del
dato:
-t
= -bB
-!W.
Sen 9x = Cos 4x
9x+ 4x =
90o
b,
e
13x = 90o
w
9.
32
Ejercicio
De la figura, hallar
@
=
19
RPta' D
r,:ii-*'
R:
Tg20
- 2 rg0.
7x+6x = 13x
Pero:
7x+6x = 90o R.T(7x) = Co
-
R.T. (6x)
TgTx = Cotg 6x
TgTx _1 Cotgi* - '
P: 'l
Rpta.
A) C
112
B)
E) 314
1
Resolución:
Ejercicio
@
En un triángulo rectángulo ABC,.lecto
en B, se sabEque el perímetro es igual a Bm. Hallar
la
hipotenusa, sabiendo que se cumPle:
(t + sen A) (1+ Sen C),B =:
9169169 u) n A)o
c)
G
D)
T
Resolución:
Observamos: A ADP:
* Craficando: Teorema de a2
*
+ cz =
También:
b2 B
Del dato:
a+b*c=B a2 +b2 +12
2b2
lsósceles
(
Pitágoras
,--b2t_ _L
E)t
(a+b+.)2
=(B)2
<
BDE
:20 ({
exterior)
Enel
N DBE: Te2o-a+b t)a
Enel
NRec' Tsou2a
b
Nos piden:
+2ab+2ac+2bc-64
R-a+b-rlg) a
+2ab+2ac+2bc-64
*-a+b-b -+ ft+1
b2+ab+ac+bc=32
\2a) Rpta.B
a
Quinto año de secundaria
223
I ,':: , :r ', : t,',,, ', t-,. t'. t, 't,.., .' . a' ,
Ejercicio En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple: Tg B 2 Sec A. Calcular
O
E
:
:
Cosec2
A-2
cular
Sec B
Resolución
Ejercicio
O
Ejercicio 3
TS
ffl
Si
Tg 0
:
2,4 (0 : 4 agudo), cal-
e
:I
Resolución
Del gráfico, calcular "Tga,"
Ejercicio
O
:
En un triángulo ABC (C 90o) Cosec A)
que: Tg B : Cos A (4 Calcular R: TgA * Cosec B. se verifica
Resolución Resolución
Rpta:
Ejercicio
E
Si Sen
(3x
+ 1 0") :
J'
7
Cos (x * 12"),
calcular el valor de:
Rpta:
Ejercicio
fi!
ls. S¡
aü
/x 10x
rE
= 1, calcular
w_ Cos (3x - 2)".Tg (3x - 1)" Sen x .Tg2x .Cotg 46o Resolución
Rpta: Tan 68"
224
Quinto año de secundaria
Rpta: 0
Ejercicio
O
tjercicio
De la figura, calcular elvalor de:
Del gráfico, calcular
@
P:TgB'TgC
"f 90"
B
B
Resolución:
Resolucién:
razones trig;nométricas Nivel Ejercicio
O
C
n
De la figura, calcular:
t
E=Tgcx*Seco A)2
@
Ejercicio
I
Cosec0-fSF Cotg P-Sec a
--
A)
1,8
Gl
E) 6
Sen
B) s/13
Delgráfico, calcular:
Tgo
@
c)4
D)
E)
0,6
E)
15'
0,5
+ 12'):
Cos (3x
c) 10"
9"
+
B')
12"
B)
Ejercicio
@
Calcular "x" sabiendo que:
Tg (2x
+ 17')' Cotg (x + 34') :
D)
A)12" B)13" c)15'
Li :) 6€
a,4
B"
B
E
c\
Calcular "x", siendo:
Sen (4x
A) C
0,3
Ejercicio
Ejercicio
B) 3
2,8
g+Cos0
B)
c) 7113
II
Tgcr
F--
A) z
E)
D
De Ia figura, calcular:
O,2
A)
E) 11113
g
2,5
B
A24B
X=a
CalcularM:SenA-SenC
Eiercicio
D)
6-l-
En un triángulo rectángulo ABC, recto
en B, se cumple que: Cotg
A) 3/13 D) el13
c) 2,4
B) 2,2
Ejercicio
D) s
g
B
A+-- e ---F
c)4
Ejercicio
I
rJI
B
B) 3
-
De la figura, calcular:
que: @ (x Sabiendo : 40' Cotg f Tg Y) Sen (x
-
Y) ' Cosec 30o
1
D)17" ...
E)18'
1
: 1 ...2
Calcular x/y A)
1
B)2
c)3
D)4
Suinto año de secundaria
E) s
225
Ejercicio s} tt
Del gráfico, hallar "x" en términos de
tt
a't y a't
A) a Sen
a'Tg
c
a
,/17
aSencx'Secc¿ /r/
B)
C) a Cos cx ' Cosec
ll
AI
aCosa'Cotga aCos*.",r** A E) aSeccr'Coseccr Ejercicio
@
Calcular
@
J,
B)
Ejercicio
@
^)
a
cx
D)
Ejercicio En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide el triple del cateto menor. Calcular la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo.
B
"x" entérminos de"a" y "O"
B)1
D) Sec 20'
E)
Ejercicio
a(Sec0-Tg0)
0) a¡--*
3.A 4. D
A
2.C
s.E 6. C
agudos
7. D B.D
O
ABC (C
90o), se cumple: Sen A .Sen B =
Calcular:
E
=
A) 0,25
B)
Ejercicio
6
A)
0,5
10.
A)
E
A) o
I
D)
413
B)
84'
26
C)
2
"Tga"
39
Sen 3x
-Cos Tg(x+o)
'P
1
g
D)
1
E)
O
D)
sz
- 0) ' Cosec (x *
E)
6s
30)
:
20
C)2
D)112
n 314
M=Cotgcr-Tg0
A) 112
B
B) 314
c) 1 D)2
ilJ' Ejercicio A)
E) 112
Delgráfico, hallar W = T8 20.Cotg 0
1
E
B)2
Ejercicio "Cotg0" A)
B
En la figura, CM es mediana. Calcular
c) 2,5 D) 3
1
B)2
E)4
c)112
c)
.6
Clave de respuestas
1.
G D) '2 226
1,
A partir del gráfico, calcular:
E)2
C)
Si Cos (2x
!}
B)
Ejercicio
B) 312 314
13
4
213
c)
25o+Tg 35'+Sec 24o
. Hallar la longitud de la hipotenusa de
dicho triángulo.
B
En el gráfico, calcul ar
B) Cotg
"r 13
calcular
c) 1,25 D) 1,5
Sen
9.D
En un triángulo rectángulo
JCoGÁ+Corg
C)Tg20'
Cotg 40'
Reducir la expresión:
12
Ejercicio
Ejercicio
70o
Ejercicio A En un triángulo rectángulo, el perímetro es igual a 90 cm y el coseno de uno de sus ángulos
B
Nivel ll
-
84'
A) Tg
Clave de respuestas
1.
E)4
2
Cos 65o + Cotg 55o + Cosec 66o
lt
-1e
fil K_
a
D) a(Cosec0-Sec0)
E) a (Cotg 0 - Tg
D)
Simplificar la expresión:
A)O
:[::;;:'¿L,, ,41
C)
3J1
c)
W = Sen 20'.Tg 40o.Tg 50"'Sec
C
;l
2J1
D
2.D Quinto año de secundaria
3.C 4. B
s.B 6. D
7. C B.A
9.C 10. D
Nivel preuniversitario Ejercicio ABC (B :
A)
90o), se cumple
que: Sen O =
3=,:18j
C)
A)
1
Ejercicio
B)
-
3
A
Tg A
c)
+ Tg C E) 1,s0
4
A) 1
B)2
Ejercicio
g
Hallar "AB"
-gTg20-^,F C)
3
En la figura: Cos 0 =
;AD
13
:
1E
A) 2ls
c) 1s
E) 317
D) 16
18
2
^)
gulo de dicho triángulo.
Ejercicio
$| M : CotB cr f
413
3
A
g
Del gráfico, calcular el valor de:
"Cotg e" (O y
A
B)
C
Ejercicio
A
En un triángulo rectángulo, el cuadraes al producto de los catetos como hipotenusa la do de de la tangente del menor ánvalor el Hallar 6. 13 es a
C)
213
En la figura,
2
D) Jl,
Tg 0 =
3
7
.
€ B),2
J1
U 2J'
4 E) 314
Calcular:
E)
t
c) 213
B) 11
c)
13 C¡sec
--
O
Del gráfico mostrado, hallar:
S:OA+OB+OC+OD+.....
u-12Cotg
C¡tg
P
o
lL '
E) 14
p
[$
Il\'-=' '¡l \/
12
D) 13
E) sl3
l,/\
De la figura, hallar el valor de:
n A) 10
centros)
OB
Ejercicio
B) 3/s
Ol:
T------.-
4J'
Cosec cr
D) sl4
A
J'
A) 415
Ejercicio
C
B) 314
.
D) 2le
114
En la figura, calcular el valor de:
"Cotg a" 52 m.
B) 13
A)
+-4
Ejercicio
5
i
ADB
2JI
c) 4ls
Ejercicio
1
E) s
A) 12
E)
T
D) J6 E)
4
2+Tg0.
1
C) \6
Cosec 0
D)
A partir del gráfico,
&
B) \6
r-Sec0 42 =2s"ce;(o: {agudo) E
1- Cos 0
1+ Cos 0
hallar E :
A)
Sabiendo que:
Calcular el valor de:
1+Cos 0 D)
1-Sen 0
Ejercicio
D)4
s
1- Cos 0
1- Cos 0
Cosec C E)
Hallar el valor de: U
B)
0
1+Sen 0
En un triángulo rectángulo
O
1-Sen
A+-
5
t
-----t
C
Clave de respuestas
1.
B
2.c
3.E 4.C
s.E
6.8
7. c 9.4 B. E 10.C
Quinto año de secundaria
227
7.
Estudio del triángulo pitag orico Todo triángulo pitagórico tiene sus lados expresados por números enteros positivos. Dichos lados tienen la siguiente forma: Siendo
"^"
2mn
y "n" números enteros positivos.
Además: m >
n
(n?
-
n2)
Observación {
*
n) resulte un Si elegimos valores de "m" y "n" (números primos enteros entre sí) tal que (m número impar, se obtienen triángulos pitagóricos cuyas medidas de sus lados también son números primos entre sí.
Ejemplo: Cuando: m
:
5yn
:
Ejemplo: Cuando: m
2
O
oO
N
=t
lt
ro
a X I
N
N
:
B
yn
:
3
lt
N
X
82- 32: 5s
*-22:zl
Observacion 2 ,WCuandolosvaloreSde,,m,,Y,,n,,(nosonprimosentresí)ocuyaSumade,,m,,y,,n,,SeaUnnúmero
M pur, se obtienen triángulos pitagóricos cuyas medidas de sus lados están expresadas por números w¿w¿ffi' que tienen un divisor común. Ejemplo: Cuando: m : 4y n :
Ejemplo: C uando:
2
N $
r
m:7yn:3
>? \X
lt
il
N
G X
X
v
5
N
N
t1
42-
22:
72-
,1 :2
12
32: 40
Cuando se tiene dos números enteros (m y n), pero consecutivos; entonces se cumplirá:
m--k2+1 22 Luego:
n=-jk2-l
y
,
Ejemplo: Cuando: k
: il
-l
@2-
228
. r
;siendok:#impar.
rl
)
Quinto año de secundaria
-'Lnll^
:
Ejemplo:
52 +1 2
Cuando:k:11
5
k2 +1 13
r I
e'l -)¿
_u,
g.
Razones trigonométricas de ángulos especiales
o notables Sean los catetos del
N ABC: r+-B.G "l-
Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45'.
Por el teorema de Pitágoras:
cosec
=AB2 +BC2
sen45o
AC2
-É +É -2É
sec cos 45o -,LJ1-O\-\'JTJ = /= - + --J-? ->'vvv
AC =
2
Jrt --lrJÉ
N BHC, calculamos
y
45o
-+ cotg
rg 45' =f=1=.
para hallar las razones trigonométricas de 30" En el
=h=+=+-+
AC2
45o
=
45o
=i={=O
+ J1 -* 2 =1
=
O
-I
60", construimos un triángulo equilátero, veamos:
BH, por el teorema de Pitágoras:
BC2 -BH2 +HC:
B
ú =BH2*lI'l' L -Lrr' 'IrJ ú
=BH2
*L444 -C -L= BH2 -t=
BH2
A--H
Luego, calculamos las razones trigonométricas de
30'y 60'en
c
el ABHC'
J-tv
L Sen 30o
Sen 60o
-ZL
v
J-tv cos 3oo
2, - '6 = L2
=+=
Cos 60o
;1 - =-t/)= LL
s rg 3o' =h=+= L
JTv
Tg6o'=+=",5
t
3
2
cteuJ¡3 3oo Sec 30o
a=
-+=
Csc 30'=
3 1
3S
=
ctsU360o -
lar
1'/
Sec 60o = 2
csc 6oo =2Jt 3
Quinto año de secundaria
229
Fl-'. -r5t _
Sen 37"
Cos 37o Tg 37"
Cos '553o =
-td
\.,'
Te u353o
./
Cote U453o =
3
53o -
5
-
t-l
,/\ -l;v lJt
_t-5]
Cosec 37o
Sen 1 6o
f4l ,/'-^ B{
=ff'.-
Sec 37o
53"
=vt -i3-i'
Cotg 37"
\,/
A
Sen
_tri.. -l25l
\,/
5
Sec
3
Tg 16"
l/ñ =124li
Cotg 16'
-Er,/\
Cotp <)74o
Sec 16o
_ lzsJ.
Sec
Cos
74o
r*=-l
Ts o774"
I 4
)A
Sen74"
_w/\\ _W \,t
A
Cosec 53' =
Cos 1 6o
E^-l
3
25
-
7
25
)A
-l-24
74o --25 -W w,/\ cosec 74" =U24 =Er 7
Co sec 1 6o
Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos
de 15' y 75'tomamos como referencia el N notable de 30'y 60", luego prolongamos AB (como se muestra en la figura) hasta obtener un triángulo isósceles EBC, siendo: EB : BC: 2.
N fAC,
En el
E
-I -l
calculamos el valor de "x" por medio
del teorema de Pitágoras.
^'
=
(2*
Jt)' * (1)' -+ x2 :
x2=B++Jj '
t
i---
-+ ,¡=' .i
230
B lca
4+
+Jj +Jj2 +t i
*, =JB ++Jj
2
A
i
i'
Quinto año de secundaria
EC2 =EA2 +AC2
Luego, calculamos las razones trigonométricas de
1
5" Y 75"'
I
_
lJa - Jzl l_i_____-_____i_t--i
sen
Cos
(z..,6)
15o = 1
1
'!-6
¡
=
"l-2
.Jo +
_
Cotg 15'
-: _z+^11
lL* Cos 75o
=
I + lll L-lt
Ji i -i-'-
Tg 15'
=
J-o + 4
.-.-------..-.--._tl
znJ3 _lJo+J, i -
5o
75o
Sen
J6
Jj
-J, 4
fg75" =2+$
1
- z+Jl _
Cotg
75' -2-Ji
1
Sec
1
5'
Cosec 15o =
4
sec
750
=J-a
* J1
Jo +.Jz 4
J6
Cosec
-J,
75o
= J6 - J1
Para hallar las razones trigonométricas de los
ángulos de 22'30' y 67'30' tomamos como refÉrencia el Nnotable de 45', luego procedemos de igual manera que en el caso anterior'
el N f SR; calculamos el valor de "x" por medio del teorema de Pitágoras.
En
EA2 =EB2 +BA2
t;
-+ I
C
c.l
r)2 + (r)2 ^' = (Jr+ x2 - 2 + zJl+ 1 + 1 = 4 + zJl = z(z+ Ji)
z(z + J2) -
1
B
r._-..-:
J,
,lz + "lz
Luego, calculamos las razones trigonométricas de 22"30', y 67"30', tr-
1
,
Sen 22o30'
Jz (Jz
Sen
. Jr)
-\ Cos 22o30'
J
Tg 22"30'
cotg 22o30' Sec 22o30'
Cosec 22o3O'=
67o30' =
tlz+ 42 1
r-'--"--'--:
"12+1
Jr(.re)
Cos
Tg
J1 +1
67o30' = ^lz -
67"30' = Jl+l
J2 +t Cotg 67"30'
r1(Jr:T' r, (Jt.T4
sec
Jz
- Jl-l _lr-.---:\
67030' = Jzlíz+Jz I t \:
Cosec 6T%a'
=.8(.8:iE)
Quinto año de secundaria
231
Observación Para calcular las razones trigonométricas de la mitad de un ángulo agudo vamos a tener en cuenta lo siguiente:
Ejemplo: De la figura, hallar: " Tg
2
A
\
cr 12 '61- 13*5 ü2 Tg -=23
t\,,
Tg
CX,
"L
A
-=2 c+b
Bsc
Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 26"30'y 63"30'tomamos como re-
Sen
ferencia el Nnotable de 37" y 53" procediendo como en el ejemplo anterior. Tg
153'
\ I
I
2Js
Ir]
Tg 26"30' - 1
Tg 63'30'
1
Tg 26o30'
2
Cotg 26'3 0'
A partir de este resultado construimos el
I
vs 'e t-t
.6 lI S".63"30,-^/f,=^.6
2
Cosec 26"30 =
/ ¡-o
\
)
=
Jto= 10
s++
l
Tg
1B'30'
Cots1Bo30' U1
3
A partir de este resulel
Sec
triángulo rectángulo:
=
Sen 71 "30' i
{cos71"30' Tg71o3A'
;
Cotg 71o30'
jSen
1
60
/4"
!
232
-
7)4
4'
25
25
;Cos 1 60 -
18o30' = fi
)47 ' ;Cos74" - -25
25
; Ts74"
Q¡"*into año de secundaria
7
=_;cotg v 24' )4 7
16o
,s"r16o = I, =4724'7
, s". 74o =I, ': cotsu 74o =Z 24' 7'
3
úo 1
Jm
3úo 10
.úo 10
1 Ja
1
t;
sec
3
;T9.16o
+
3
./10 71o30, _ = Jt 1
m = JJ o j cor". qá^^^'i Jm 71"30'= t= 1
Sen
1
1
=3=3
Cosec 'lBo30' =
]
S; aoru. 63.30,= I
-
r
Tg 18o30'=
tado construimos
l"--""
1 -jú0. -+ ./10= 10 3fi0 cos 1go3o' = j
t.-{r/ l= ' 2
+
a.,rn 63o3o, =
Icotg63o30'=I
FI
sen 1Bo3o'
=1=,
=2 7=t
triángulo rectángulo:
Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 1B'30' y 71"30' tomamos como referencia el N notable de 37" y 53" aplicando el mecanismo anterior:
+= vssf
=4
Sec26o30'-
1
1B
,"r 63.30,=+=+ Cos 63.30 , =
..6
t
12
t^
.6 =;f,=T
26'30
c[
cor"c 16o -25
cor"
c74o
=25
24
o
_1.J1= --
Sen B" =
---= sJ2 10
7
Cos Bo = -----: =
t"lz
sJ2 -
-
Sen B2o
7
- --= = sJ2
-_= 5.12
Sen
74" 80
67"30',
26"30',
63030'
18030'
71o30'
Cosec B" =
= 7
82" =1=7
Tg
Cote v7B2o =
Sec
]
1
2
3
.6
1
2
t
3
T
I
Jo *
*Q
Ju
"11
4
J6
-J,
4 24
4 25 24
25
25
25
J1
7"lt
10
10
7.12
"t,
7
,tt-J2 +
J1
2.,11
4
;
1
:
J
4
3
2- J5
2+J5
J6
-J2
Jo+JI
z+Jj
2-
Jj
Jo
+Jj
J6
7
24 7 7
'7
24 7
_l
5
?J5
"6
2
.,re
10
10
-JT
u 24 25
25
7
24
7
5Jl
JT+t
"11(Jr:E)
7
2 1
J
1
J
.6 2
,6
2
1
t
3
s^11
sJ2 7
Jrur.Tr)
rr(J;E)
-t
Jj
1
5
3Ji o
4
25
7
1
7
5
10
3
t
5"1,
1
:
^ñ
t
4
24 24
t
10
3
¡
4
2"ll
3.,m"
2
t
Jl +t
^rc
2
3
4
t= a/5
5
2Jt
.6 3
Jl
2
2
,lz
,lz *
J1
^6
10
10
Cosec
Sec
J'
1
I
5
4
s,l|
^6
2
5
=
-5J' 7
I
5
5
82"
Cotg
Tg
Cos
=+
B2o
cosec
.6
-Jj
¡e = sJÍ 1
^.6
J6
7
1
1
82" 22"30',
Bo
2
7 160
Cotg
SJt
=
Bo
-7
J1
53"
75"
-10
Sec
1
2
37"
15"
10
1
=
:11
300
600
7"t1
1 = -",1,
Cos B2o =
45"
10
TgB'
Jio 3
úo
.6 .6 2
Jlb .Ro 3
Quinto año de secundaria
233
Ejercicio
P-
O
Calcular el valor de:
Resolución:
60''Cotg
Sec230o.Tg 45'+Cos
'n
37o
Trabajando en el gráfico:
Cosec45o.Cosec 30o
Nngr'
Resolución: Recordemos:
sec 3oo
En
-'Jj3
60'=
@ Cotg
(1) +
3
t;)ti)
(rr)Q)
calcular:
E
42
2 1 ,_t*5_ o_J, ' 2J, 2J1 2 J, '" Ejercicio
g
Si
calcular el valor
-4u a
2
Ejercicio
2J'
Sen (3x
de: u -
4a
Tg0=4
f
Reemplazando:
P_
elNrco' Tg 0
T945" -1 Cos
Norable (37' ;53')
+ 17') :
sen (2x +
Cos (x
*
-
Si se cumple que:
x) .Cotg
(eo'-
Tg 5x
[]
* t'ro = '' , )
- Cotg 2x
Sec2 3x
Resolución:
¡
De la condición:
23"),
12')+ Cotg (4x - 5") Ig (ax + 3')
rs
*
Cotg
Resolución:
rz
De la condición: Sen (3x
+17') = Cos (x + 23")
+ 3x+17"+x+23o=90o
Reeffiplazando:
+12")+ Cotg (so'- s') Tg (so'+ 3') Sen 37o + Cotg 45' E_ Tg 53' Sen (25"
E_
6-)
3B -''r'l - )4 .. r=9 - 4- zo "' 4 -)-5
x=
IX +7o30'
X
aolt
2
¡ü'
-:z 2
4x = 50o 2x * 25"
'r'
t
[i. fro )=
x:
r
Reemplazando:
E
-
Tg
15o
75'- Cotg 30' sec2 45o
-
t5
Eiercicio g
Del
Eiercicio
[|
De la figura, hallar "ED" D
gráfico,
B
calcular el valor de "Tg 0".
A.]_-
234
Quinto año de secundaria
B
-----t
B
@ En la figura, calcular: "f ga" siendo ABC equilátero
Rcsolución:
[jercicio
.
triángulo
Rer isando el gráfico:
B
Resolución: A
En
+_-
el N ngc, Sec
B --------+ 3
7o
=
'
B
En el
gráfico:
AC a)
o
+AC=Bll) \4
AC: En
el
NcRr'
el
NcDE:
10
Sec45o =
*
-+
10(Jt)
EC = EC
En
)
Cos 3oo
=
-
Trazamos NH
-L nc.
N Nuc, Notable (30"
10.,11
l%
Enel N
10,12
AHN:
;
Tg u
60')
_J5 4
-r€) 1-?
ED=10J2
\')
I
ED=5J6 ,it
rr,'i,r','::'i .',ir',i:'rl i
Ejercicio tD Calcular el valor de: A : Cos 53' . Cotg3O'' Sec37''Cotg60''Tg45'
hlerctclo
a E-
Resolución
Hallar el valor de:
Cotg 75" + Cotg
30o
Sec 60o
Resolución
I
.)
Rpta:
d- -4
RPta:
Quinto año de secundaria
E:1
235
g
Ejercicio
5í Cos 1 calcular el valor de:
(4x-17")-
Cotg (+x + 1)'-
K_
Cos (6x
Sec(x
Sen (3x +
* 16') :
4)"
- 6)" Resolución
Resolución
Ejercicio
Ejercicio a+b
Del gráfico, hallar "Cotga".
f|
ftl
De la figura, hallar el valor de
b (a-b)
(a+ b) Resolución Resolución
)A Rota:
'
Ejercicio
A
De
Ia
Rpta:
17
figura, hallar el valor de PQ.
Ejercicio
O
Del gráfico, hallar "Tg0".
A
It
961
rl B
Resolución
Resolución
Rpta: 28
236
Quinto año de secundaria
Rpta:
1
t
B
