TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO DESARROLLO DEL TEMA I.
ÁNGU ÁNGULO LO TRIG TRIGON ONOM OMÉT ÉTRI RICO CO Un ángulo trigonométrico se determina por la rotación de un rayo OA que gira alrededor de su origen (O), hasta una posición final , tal como se puede apreciar en la figura, donde L.I. es el lado inicial, y L.F. es el lado final. Ahora has una pausa pausa y observa con atención atención el sentido sentido del giro que he utilizado en este ejemplo ..., . .., efectivamente es un sentido antihorario, es decir en contra del movimiento de las manecillas del reloj. Te pido que no olvides que este sentido de rotación es arbitrario, es decir que lo elige quien va a operar con el ángulo. B O
A
O
A
L.I.
O
ÁNGULO ÁNGULO
1. Orige Origen n ..... .......... ........ ...... ... O
a)
b) Ángulo Ángu lo de 1 vuelta vuelta
c)
Ángulo Ángu lo nulo nulo (0) (0) d)
Ángulo Ángu lo de 3 vueltas vueltas
B
Ángulo Ángu lo recto: recto: 1/4 1/4 vuelta vuelta
0
Sentido horario
Medida ( ) De acuerdo con la definición de ángulo trigonométrico, se puede inferir que esta es una magnitud, dado que ella acepta las comparaciones de igual, mayor o menor que ; así pues, a todo ángulo trigonométrico le corresponde una medida la cual puede expresarse por cualquier número real, real, tal como se indica en la figura.
L.F.
2. Lado Lado inicial inicial .......... .......... OA
Sentido antihorario
L.I.
Utilizando el ángulo trigonométrico que se presenta en la figura, diremos que sus elementos son:
3. Lado Lado final final ...... ......... ...... ... OB
(+)
L.F.
A
II. ELEMEN ELEMENTOS TOS DE UN TRIGONOMÉTRICO
(–)
e)
L.I.
f)
A +
– < m trigon trigonomé ométrico trico < –
–
4 . Se nt nt id id o La flecha flecha curva curva ( ) indica indica el senti sentido do de rotación rotación del rayo. El sentido puede ser antihorario (opuesto al movimiento de las agujas del reloj), que genera ángulos positivos y el otro sentido puede ser horario que es el que genera ángulos negativos, tal como se ilustra en la figura.
LIBRO UNI
1
III. PROPIEDAD FUNDAMENT FUNDAMENTAL DE LOS LOS ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOS Dos o más ángulos trigonométricos serán coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo mismo lado final sin tener en cuenta su sentido ni su medida.
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Exigimos más! En la figura y son coterminales puesto que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final.
B
A
Para medir ángulos se han empleado desde tiempos antiguos dos sistemas angulares: El sexagesimal y el centesimal . En trigonometría se ha ideado el sistema radial o circular que permitemedir ángulos evitando involucrar sus unidades, de modo que solo se señala su valor numérico (su fórmula dimensional es es la unidad). Así tenemos: A. Sistema Sistema sexagesima sexagesimall (Inglés) (Inglés)
Número Número entero entero de vueltas vueltas
Unidad 1° - Un grado grado sexagesimal sexagesimal Definición: Se le define como la trescienta sesentaava parte de la medida del ángulo de una vuelta.
Número Número entero entero de vuelta vueltass
Finalmente
V. SISTEMA SISTEMAS S DE MEDIDAS MEDIDAS ANGULAR ANGULAR
Ejemplo:
1
En la figura
y
son coterminales
m de 1v 360
Equivalencias: mde 1v 360
1° = 60°: Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos sexagesimales.
B
1' = 60°: Un minuto sexagesimal equivale a 60 segundos sexagesimales
A
= 1 vuelta +
B. Sistema Sistema centesim centesimal al (Francés (Francés))
= 1 vuelta
IV. SISTEMA SISTEMA DE REFERENCIA REFERENCIA ANGULAR ANGULAR Dado un ángulo AOB, existe un ángulo central congruente con el él cuyo vér tice se ubica en el origen de coordenadas rectangulares, tal como se muestra en la figura.
a) B
P
A
O
1g = 100min: Un grado centesimal equivale a c en minutos centesimales.
X
1min = 100 seg: Un minuto centesimal equivale a cien segundos centesimales.
Circunferencia:: e Circunferencia
Queda así establecida una correspondencia entre ángulo, ángulos centrales, arcos de la circunferencia C, y puntos de la misma esquematicamente se puede establecer que: AOB
Ángulos
AOP
ángulos centrales
AP
arcos de
P C
puntos
C
Si la circunferencia tiene radio 1 el sistema se llama
C. Sistema Sistema radial radial (Inter (Internacio nacional) nal)
Unidad: 1rad - Un radián Definición: Se define como la medida del ángulo central de un círculo que subtiende un arco en la circunferencia igual a la longitud de su radio. mAOB rad AB OA r
trigonométrico.
LIBRO UNI
mde 1v 400
mde 1v 400 g
O
1g
Equivalencias:
Y
b)
Unidad 1g - Un grado centesimal Definición: Se define como la cuatrocientaava parte de la medida del ángulo de una vuelta.
2
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO TRIGONOMÉTRICO
Exigimos más!
A
Así:
r O rad r r B
Finalmente el ángulo mide 9° Ejemplo (2)
Equivalencias:
Convertir 72° al sistema centesimal. Como: S = 72 y se quiere calcular "C", utilizaremos la relación ...(1).
m 1v 2 rad
S C 72 C C 7210 80 9 10 9 10 10 9 g Finalmente el ángulo mide 80
Ejemplo: 1 grado sexagesimal 20 minutos sexagesimales 30 segundos sexagesimales <> 1° 20'30''
Así:
Nota: Existe un método prácitco para poder convertir fácilmente la medida de un ángulo de un sistema a otro denominado "método del factor de conversión"
2 grados centesimales 40 minutos centesimales 60 segundos centesimales <> 2 g40 min60seg 5 radianes < > 5rad; radianes < > rad
VI. CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Sean S, C y R los números de grados sexagesimales, centesimales y radianes que tiene un ángulo , los cuales verifical la siguiente realción.
1 Se sabe que: m v 180 200g rad 2 Luego, a partir de estas igualdades buscamos la unidad así: 180 rad 180 1 rad 1 180 rad g 200g rad 200 1 rad 1 rad 200 g
S C R 360 400 2 Proporcionalidad equivalente a tres reglas de tres simples. Luego, de simplificar dicha relación tendremos:
g 200g 180 10 1 9 1 9 10g
Utilizamos la relación más apropiada encontraremos la conversión requerida. Para mejor ilustración resolveremos los últimos ejercicios, con este nuevo método.
S C R ...(1) 180 200 De donde deducimos que:
9 S 180R 180 180R 20 20
S C ...(2) 9 10
Ejemplo (1)
Asimismo de (1) deducimos: S 180R ...(3) C 200R ...(4) Con estos resultados podemos afirmar que, conocida la medida de un ángulo en uno de estos sistemas, se podrá encontrar su medida en los otros dos sistemas por medio de las fórmulas deducidas aquí.
Convertir
rad al sistema sexagesimal 20
180 180 rad 1 rad 9 20 20 20 rad
Ejemplo (2)
Ejemplo (1) Convertir
Convertir 72° al sistema centesimal.
rad al sistema sexagesimal 20
g
LIBRO UNI
g
72 1 72 200 72 10 80g 180 9
y se quiere calcular "S" utilizamos la 20 relación ...(3)
Como: R
3
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
APLICACIONES DEL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN DE LONGITUD DE ARCO
a) La figura 1 nos muestra el caso e n que dos ruedas tienen un punto en común (tangentes), o, están unidas por una correa de transmisión.
De acuerdo con la definición de radián podemos deducir una relación más amplia que vincule a tres magnitudes: La longitud de un arco, el ángulo central que lo subtiene y el radio de a circunferencia que lo contiene.
b)
AB = L...Longitud de arco r...Radio de la circunferencia ...Número de radianes del ángulo central AOB. Es fácil comprobar que a mayor arco corresponde un mayor ángulo central, luego se podrán establecer las siguientes relaciones. Arco Ángulo central r 1rad (definición) L rad
1 a) 1
En ambos casos se cumple que: L1 = L2 Donde: L1 es la longitud conducida por (1) y L2 es la longitud conducida por (2)
r rad
r
L
2
Fig. 1
B
O
2
Fig.1
A
b) Cuando tienen un eje común en este caso Donde: Es un ángulo barrido por (1) Es el ángulo barrido por (2)
Y dado que estas relaciones correspondientes a una proporcionalidad directa, podemos plantear la siguiente proporción. L rad r Lrad L(1rad) = rad(r) L = r Nota: La fórmula será válida si y solo si el ángulo central está expresado en radianes.
1
2
II. APLICACIONES DE LA LONGITUD DE ARCO A. Posición relativa entre dos circunferencias (Poleas, Engranajes)
LIBRO UNI
Fig. 2
4
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Exigimos más!
B. NÚMEROS DE VUELTAS (n)
n e ... * 2r Donde el centro de la rueda recorre el arco e tal que: e = (R + r)
a) Cuando un disco rueda sobre una superficie plana Al observar el desplazamiento del centro O del disco de radio r, comprobamos que éste se desplaza la distancia 2 r, cuando el disco ha dado una vuelta completa, es decir cunado el punto A de contacto inicial con el piso se ha trasladado hasta el punto B. Podemos imaginarnos una cuerda enrollada al disco e modo que sus extremos se unan inicialmente en A y que el extenderle sobre el piso, lo hace desde A hasta B. Esta longitud es sin lugar a dudas igual a la longitud de la circunferencia es decir 2 r.. De acuerdo con estas observaciones podemos establecer las siguientes relaciones:
Siendo: n ... ... r ... R ...
III. ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR A partir de la figura 5, podemos visualizar un sector circular AOB, cuya superficie está limitada por los radios OA y OB, así como por el arco AB. Asimismo o podemos observar que la extensión del sector depende t ambién de la abertura existente entre los radios OA y OE lo que viene definido por el ángulo central AOB, cuya medida está expresada por . Por tal razón puede establecerse a siguiente relación.
r O A
B
2r
Si la rueda da una vuelta, su centro recorre Cuando da n vueltas su centro recorre :
2 r e
número de vueltas ángulo girando en radianes radio del disco móvil radio de la superficie curva
1v 2r nv e
B r O
r
Luego deducimos que : n e 2r Donde: n es el número de vueltas, e es el espacio recorrido por el centro de la rueda y r es su correspondiente radio.
A
Ángulo en radianes 2
b) Cuando la rueda gira sobre una superficie curva Según la figura 4, podemos reconocer a un disco de radio rodando sin deslizar sobre una superficie curva de radio R. Si ahora utilizamos la relación (2, 12), tendremos que:
r 2
s
2 S L 2
Problema 1: Un arco con radio de 8m mide 3m. ¿ Qué diferencia en metros existe entre la longitud de este arco y la de otro del mismo valor angular de 6m de radio? A) 0,30 B) 0,35 C) 0,55 D) 0,75 E) 0,85
rueda móvil
Resolución. Graficando en el sector circular el enunciado del problema, reconocemos que: Incógnita L1 - L2 =? Por la relación 4.9 se sabe que:
O
LIBRO UNI
2 S r (2.1) 2 Siendo: S de área del sector circula finalmente, con ayuda de (2) y (2, 1) se puede deducir que:
e
R
Área
De donde:
S Lr 2 O
L
5
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Exigimos más! B
a b
L2
a.b a 2 b
m 6
3m
8 m
3x a b 3 a 1 3 x b b
Rpta. E Problema 3: Siendo el ángulo central de un sector circular, cuyaa longitud de arco su radio, en metros. si:
A
L R
3 7 10
de donde: 3 L 2 L 2 2, 25 8 6 Finalmente: L1 - L2 = 3m - 2,25m L1 - L2 = 0,75m
A) 1 D) 4 Rpta. D
3 7 10 3x 7 10 x 2 2 3x 7 10x 3x 10x 7 0 3x 7 1 x x 7 x 1 3
A C
b
D
3x
De la 1ra solución tendremos: a B
x 7 49 49 17,1 3 9 9 Luego " " es imposible, dado que supera el valor permisible de: 6,28 Y la 2 da solución:
Asumiendo que AOB , tendremos: A continuación aplicaremos la realción (2,9) en el sector COD: x = a.b ... (1) 3x = a.(a + b) ... (2) Haciendo lo mismo en el sector AOB: Luego dividendo las relaciones (2) y (1) tendremos;
UNI 2014 - III
C) 3
variable: x , tendremos:
Resolución.
x
B) 2 E) 2,5
Resolución. Resolviendo la ecuación y haciendo un cambio de
Problema 2: En la figura: AOB y DOC son sectores concéntricas. Hallar A) 1 B) 2 C) 1/3 D) 1/2 E) 2
O
x 1 1
Finalmente, si L R , entonces: 2 R R=2m
6
TRIGONOMETRÍA
Rpta. B
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS DESARROLLO DEL TEMA I. CONCEPTOS PREVIOS
III. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Triángulo ABC (recto en B)
II. DEFINICIÓN
Aplicando definiciones:
La razón trigonométrica de un ángulo agudo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de sus lados del triángulo rectángulo que lo contiene con respecto a este ángulo agudo. De esta manera, con respecto a un mismo ángulo agudo, podemos obtener seis distintos cocientes para los cuales se define:
De las definiciones anteriores obtenemos las siguientes propiedades:
Cateto Opuesto a Hipotenusa b Cateto adyacente c Cos A Hipotenusa b Cateto opuesto a Tan A Cateto adyacente c
SenA
A. Razones recíprocas
Sen A Csc A 1 Sen A 1 / CscA Csc A 1 / SenA Cos A Sec A 1 Cos A 1 / SecA Sec A 1 /CosA Tan A Cot A 1 Tan A 1 / CotA Cot A 1 / TanA
Cateto adyacente c Cateto opuesto a Hipotenusa b Sec A Catetoadyacente c Hipotenusa b Csc A Cateto o puesto a Cot A
LIBRO UNI
Comprobación: Sen A Csc A 1 a b 1 1 1 b a 7
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
Exigimos más!
V. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
B. Razones complementarias (Co–razones)
De las definiciones; se observa: A. Exactos
Sen A Cos C Tan A Cot C Sec A Csc C
m A mC 90
Ejemplo: Sen 70°
= Cos20°
Cot 10°
Sec (30°+x) = Csc(60°-x)
= Tan80° Tan (50°+x) = Cot(40°-x)
Cos (90°– )= Sen
Csc (x–y)
= Sec(90°-x)
En general: RT() CO RT(90 )
IV. TANGENTE Y COTANGENTE DEL ÁNGULO MITAD
B. Aproximados
C b
A
c
a
B
Tan A Csc A Cot A 2 Cot
A Csc A Cot A 2
Demostración:
VI. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 30°
45°
37°
53°
1/2
3 /2
2 /2
3/5
4/5
Cos
3 /2
1/2
2 /2
4/5
3/5
Tan
3 /3
3
1
3/4
4/3
Cot
3
3 /3
1
4/3
¾
Sen
• Se prolonga la base BA hasta el punto (D) de manera que AD = AC.
60°
• Unimos el punto D y el punto C. • El triángulo DAC es isósceles: Cot A b c b c 2 a a a • En el triángulo ABC: Cot A Csc A Cot A 2 LIBRO UNI
8
Sec
2 3 /3
2
2
5/4
5/3
Csc
2
2 3 /3
2
5/3
5/4
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1
Problema 2
Problema 3
El valor numérico aproximado de:
En la figura: PS L1;PQ L2; ST L2
La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es el punto medio del lado AB. Determine Csc . Nivel intermedio UNI 04 - I
E
2 tg 5 Sen 4 12 12
Nivel fácil
Si: QT 5 3 , hallar PS. Nivel intermedio UNI 01-II
UNI 01-II
A) 1,0 6
B) 1,56
D) 2,19
E) 2,56
C) 2,11
Resolución:
Triángulo notable de 15° y 75°
B) 5 3
A) 5 D) 10 3
C) 10
E) 15 3
A) 2
B) 5/4
D) 4
E) 2 5
C) 3
Resolución:
Resolución:
E
2 (2 3) 4
6 2 4
E 2 2 6 6 2 4 4 E 3 2 1, 06 4
Vemos: 53 53 53 2 2 5 Luego: Csc Csc53 4
PS 2 5 PS 10
Respuesta: A) 1,06
LIBRO UNI
Respuesta: C) 10
9
Respuesta: B) 5/4
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DESARROLLO DEL TEMA
I. CASOS PARA RESOLVER
S
B. Segundo caso
Si se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente. Datos : a, Incóg : x, y
II. OBJETIVO Calcular la longitud de los otros dos lados.
III. RELACIÓN FUNDAMENTAL
x a
Tan x
y a
Sec y aSec
a Tan
C. Tercer caso
Si se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto.
Lo que quiero R.T. Lo que tengo
Dato : a, Incóg : x, y
IV. PROBLEMAS GENERALES A. Primer caso
Si se conoce la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo.
x a
Cot x a Ctg y a
Csc y
En general: Datos : a, Incog: x,y
x a
Sen x a Sen
y a
Cos y
LIBRO UNI
a Cos 10
TRIGONOMETRÍA
aCsc
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Exigimos más!
V. ÁREA DE REGIÓN TRIANGULAR
• Asignamos vértices al triángulo AC = b (altura).
Si en un triángulo se conoce la longitud de 2 lados y la medida del ángulo que forman dichos lados, se puede calcular el área (fórmula trigonométrica).
• Desde el vértice (B), trazamos una perpendicular al lado AC. • Por resolución de triángulos rectángulos:
S : Área
BH a Sen
S ab Sen 2
Sabemos: Demostración:
Área 1 base altura 2 Reemplazando: S 1 (b)(aSen) ab Sen 2 2
problemas
resueltos
Problema 1
En un triángulo isósceles, las medianas trazadas de sus vértices de ángulos iguales se intersecan perpendicularmente. Entonces el coseno de uno de los ángulos iguales es: Nivel fácil UNI 01-I
1 A) 3 D)
1 B) 2 1 10
E)
C) 1
2 3
Resolución:
3 2
Cos
a a 10
1 10
Respuesta: D)
1 10
Conocemos que: d = vt d 60 x 1 d 10 km 6 Respuesta: D) 10 Problema 3
Problema 2
Una persona localizada en A observa diUn automovilista viaja en una carretera rectamente al este y ve un ovni con un plana, en dirección a una montaña, a ángulo de elevación de 45°. En el mis60 km/h. En un instante observa la cima mo instante otra persona localizada en de la montaña con un ángulo de eleva- B a 1 km directamente al oeste de A ve ción de 30° y 10 minutos más tarde el mismo ovni con un ángulo de elevavuelve a observar la cima con un ángulo ción de 30°. Determine la distancia en de elevación de 60°. Determine la dis- km de la persona localizada en B al ovni. tancia, en km, a la cima de la montaña, Nivel difícil cuando se encuentra en el segundo UNI 01-I instante. A) 1,89 B) 2,22 C) 2,73 Nivel intermedio D) 2,91 E) 3,01 5 A) 3 D) 10
UNI 06-II
B) 6
C) 5 3
Resolución:
E) 6 3
Resolución:
Ctg30 1 x x
mACB Cos a BC En el
1x
2x
BHC: BC2 = (3a)2 + a2
3 1
3 1 2 3 1 2, 73km
3x
x
Respuesta: C) 2,73
BC a 10 LIBRO UNI
11
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES DESARROLLO DEL TEMA PLANO CARTESIANO
Longitud del radio vector (r)
Sistema formado por dos rectas numéricas que se intersectan en un punto de coordenadas (o;o), llamado origen de coordenadas y forman un ángulo recto. Al plano que lo determina se le llama “Plano Cartesiano” en honor a René Descartes y está dividido en 4 regiones llamadas cuadrantes (C).
La distancia del origen de coordenadas a cualquier punto P(x; y) es la longitud del radio vector y está expresado por:
r x2 y2 Donde:
x ' x : Eje de los abscisas
III. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO POR UN PUNTO EN UNA RAZÓN DADA
y ' y : Eje de las ordenadas
O
: Origen de coordenadas
I.
UBICACIÓN DE UN PUNTO
Si P1 (x1; y1) y P2 (x2 ; y2) son los extremos del P1P2 , las coordenadas del punto P 0 (x 0;y 0) que divide a éste
A cada punto del plano cartesiano le corresponde un par ordenado (x ; y) llamados “Coordenadas cartesianas”.
segmento en la razón dada r
P1P a PP2 b
Y
Y
X
X
II. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean las coordenadas de dos puntos cualesquiera P1 (x1; y1) y P2 (x2; y2) del plano cartesiano la distancia “d” comprendida entre ellos se determinan por:
bx1 ax 2 ab by ay2 y0 1 ab
x0
NOTA:
d (x1 x2 )2 (y1 y 2 )2
LIBRO UNI
x1 rx 2 r 1 y ry 2 y0 1 r 1 x0
Si la razón es negativa, se considera al punto P exter na al segmento P 1P2. 12
TRIGONOMETRÍA
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Exigimos más!
IV. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
VI. PROPIEDAD DEL PARALELOGRAMO
Si M(x0;y 0) es el punto medio del segmento que tiene por extremos: P 1 ( x1; y1) y P2 (x2 ; y2). Entonces las coordenadas del punto M se determina así: x0
x1 x 2 2
y0
y1 y 2 2
x1 x 3 x 2 x 4
y1 y 3 y 2 y 4
VII.ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR Sean P1(x1; y1) P2 (x 2; y2) y P3 (x3; y3) los vértices de un
V. COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
triángulo. Entonces el área S de una región triangular en función de las coordenadas de los vértices esta dado por. Y
Sean P1 (x1; y1) , P2 (x2 ; y2) y P3 (x3; y3) los vértices de un triángulo. El punto G (x 0; y0) es el baricentro de dicho triángulo. X Y
X N
x0
x1 x 2 x3 3
problemas
y0
y1 y2 y3 3
S 1 M N 2
resueltos
Problema 1
Después de una rotación de ejes, la ecuación: 5x 2 – 8xy + 5y2 – 9 = 0 representa una elipse cuyos focos tienen como coordenadas F 1(a, b), F 2(c, d). Calcule ac + bd. UNI 2010-I Nivel fácil A) –2 B) –3 C) –4 D) –6 E) –8 Resolución: Focos: F 1(a; b) y F 2(c; d) 5x 2 – 8xy + 5y 2 – 9 = 0 1° Primero, calcularemos (ángulo re rotación). 2° Luego transformamos las coordenadas (x; y). LIBRO UNI
Luego:
Tan2 8 2 90 45 5 5 • x x ' Cos y ' Sen
•
Sabemos las coordenadas de los focos: F1 ( 8;0) F1(a;b)
x x 'Cos45 y 'Sen45
F2 ( 8;0) F2(c; d)
x 1 (x ' y ') 2
ac bd ( 8)( 8) (0)(0) =–8
y x ' Sen y ' Cos y x 'Sen45 y 'Cos45 1 (x ' y ') y 2
Reemplazamos en la ecuación: 5x 2 – 8xy + 5y 2 – 9 = 0 1 1 1 5. (x' y')2 8. (x'2 y'2) 5 (x ' y')2 9 0 2 2 2
Reduciendo, resulta: a 3 b 1 2 2 x' y' 1 9 1 c 8 13
Respuesta: E) –8 Problema 2
Si un diámetro de la circunferencia: (x – h) 2 + (y – k) 2 = r2 tiene como extremos a los puntos (2,2)
2
y (6,5), entonces h k r es igual a: 2 UNI 2009-II A) 7 C) 9 E) 11
Nivel intermedio B) 8 D) 10
TRIGONOMETRÍA
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Exigimos más! Resolución: r, h y k
Problema 3
Un avión realiza una maniobra a velocidad supersónica, según la trayectoria: 2y2 – x2 = 48. Hallar la menor distancia de la trayectoria al punto (6;0). UNI 2002-II Nivel intermedio A) 9 B) 8 C) 7
Centro: (h; k) =
2 2 6 ; 2 2 5
(h; k) = (4; 7/2)
D) 6
2 d x 2 12x 36 48 x 2
d
Resolución:
3(x 4)2 72 2
Para que d sea mínimo (x – 4) 2 debe ser mínimo.
r = 5/2 Nos piden:
(x 4)2 0
k r2 4 1 7 1 25 2 2 4 2 24 7 25 8 8
d
2
h k4 r2 8
48 x 2 Dato: y 2 2
E) 5
2 2 Diámetro: 2r 2 – 6 2 – 5 5
h
d (x 6)2 y 2
72 6 2
Distancia d: Respuesta: B) 8
LIBRO UNI
d (x 6)2 (y 0)2
14
Respuesta: D) 6
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN Diremos que un ángulo estará en posición normal, estándar o canónica si su lado inicial pertenece al semieje positivo X (abscisas) y su vértice coincida con el origen de coordenadas.
–40 IV C
0 II C Además dependiendo de la ubicación del lado final se dirá que dicho ángulo pertenece a un determinado cuadrante. Por ejemplo:
II. ÁNGULOS CUADRANTALES Son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final pertenecen a alguno de los semiejes del sistema de coordenadas rectangulares. Por ejemplo:
0 III C
135º II C
LIBRO UNI
15
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA
Exigimos más! A.
Definición de razones trigonométricas Sea " " la medida de un ángulo en posición normal y P(x;y) un punto de su lado final. Las R.T. de definen así:
P(x; y)
B.
y Sen Ordenada de P Radio vector r
Cos Abscisa de P x Radio vector r
y T an Ordenada de P Abscisa de P x
Cot Abscisa de P x Ordenada de P y
Sec Radio vector r Abscisa de P x
Csc Radio vector r Ordenada de P y
" " se
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantates Las R. T. de los ángulos cuadrantales se calculan de la misma forma como se calculan las R. T. de un ángulo en posición normal. Para los principales ángulos cuadrantales, podemos resumir sus R. T. en la siguiente tabla:
0º 90º 180º 270º 360º
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
0 1 0 –1 0
1 0 –1 0 1
0 ND 0 ND 0
ND 0 ND 0 ND
1 ND –1 ND 1
ND 1 ND –1 ND Resolución
Y
Como Tg 1 , si calculásemos dicha tangente 7 con el punto A o el punto B debemos obtener el mismo resultado, es decir 1/7.
(0; 1) 1 1
1 (1; 0)
X
1
Luego:
(0; –1)
1 –14 y –2 con B: tg 7 y
1 –3 x –21 con A: tg 7 x
Observación:
x + y = (–21) + (–2) = –23
Nótese que se puede tomar cualquier punto del lado final; y aún así siempre obtendremos el mismo resultado para una misma razón trigonométrica.
Signos de las razones trigonométricas Podemos observar a partir de la definición que según sea el cuadrante al cual pertenece el ángulo, las R. T. de éste pueden ser tanto negativas como positivas. Esto último lo podemos resumir en el siguiente gráfico:
Aplicación De la figura, si Tg 1 . 7 Calcular “x + y”
LIBRO UNI
16
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA
Exigimos más! Por ejemplo:
Se cumple: – 360º k
a) Si IIIQ tg 0 (positivo)
k
• La R. T. de dos ángulos coterminales son siempre las mismas. Así si y son ángulos coterminales, se cumple: R.T. R.T.
b) Si IIQ cos 0 (negativo)
III. ÁNGULOS COTERMINALES Dos o más ángulos son coterminales si estos poseen
IV. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS CON ÁNGULOS POSITIVOS
los mismos elementos (vértices, lado, inicial, lado final) Por ejemplo:
y son coterminales
o
(x; y)
r
r
–
(x; –y)
Sen (–) = –Sen Cos (–) = Cos Tan (–) = –Tan Cot (–) = –Cot Sec (–) = Sec Csc (–) = –Csc
Propiedades de los ángulos coterminales • La diferencia de dos ángulos coterminales es un número entero de vueltas. Es decir, si y son ángulos coterminales; tal que .
problemas
IMPAR PAR IMPAR IMPAR PAR IMPAR
resueltos
Problema 1
b) Verdadero, porque si IIIC , en-
Analice la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. a) Si Sen es negativo, entonces
III C ó IV C. b) Si IIIC, entonces el producto Tan Sec es de signo negativo.
tonces tan es positivo y sec es
Resolución:
Para identificar el signo de cada razón trigonométrica, es necesario conocer el cuadrante del ángulo, así como se muestra en la figura.
negativo. Por lo tanto: tan sec 0
Respuesta: A) FV
A) FV B) FF C) VF
Problema 2
D) V V
Halle el signo de P si: 5 7 P Sen Cos Tan Cos 4 9 3 A) (+)
E) N.A. Resolución:
a) Falso, porque si 270, en el sen es negativo (–1), pero 270° por ser cuadrantal no pertenece a ningún cuadrante. LIBRO UNI
B) (+/–) C) (–) D) (+) (–) E) N.A. 17
TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA
Exigimos más! Determine el valor de A + B + C.
B 270 0;360
A) 240º B) 810º
Reemplazado CscB = – 1 en (2)
C) 120º
1 2 | Tan C || Tan C 1| 1
D) 360º Recordando el teorema: | a | b;b 0 a b ó a b
E) 180º Además cos 1 Reemplazando signos en P tenemos: P ()( ) ( )( )
P () ()
Resolución: Recordando el teorema: a 0a0
Luego: Tan C – 1 = 1 ó Tan C – 1 = –1 Tan C = 2 ó Tan C = 0
Respuesta: C) (–)
Problema 3 Siendo A, B y C ángulos cuadrantales diferentes, positivos y menores o iguales a 360°, además se cumple:
1-CosA + CosA-1 1 SenB...(1) CscB+ 2=|TanC-1|....(2)
LIBRO UNI
Luego analizamos en la condición (1) 1 Cos A 0 y Cos A 1 0 Cos A 1 y Cos A 1
Como A, B y C son diferentes y cua-
Cos A 1 A 360 0; 360
Finalmente:
drantales entonces C = 180°.
A + B + C = 360° + 270° + 180° = 810° Reemplazando Cos A = 1, en (1)
1 1 1 1 SenB SenB 1
18
Respuesta: B) 810°
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DESARROLLO DEL TEMA I. ÁNGULO DE REFERENCIA El ángulo de referencia denotado por r , de un ángulo en posición normal es el ángulo agudo formado por el lado final de dicho ángulo y el eje "X". Los siguientes gráficos muestran ángulos en posición normal con sus respectivos ángulos de referencia.
Propiedad
Si es un ángulo en posición normal no cuadrantal t al que es menor que una vuelta entonces se cumple que: Si IC
R Si IIC R 180 Si IIIC R 180 Si IVC R 360
Ejemplos: Calcula los ángulos de referencia (r ) de los siguientes ángulos en posición normal (). 1. 40
40 40 IC r 40 2. 100
100 100 IIC r 180 100 80 3. 230
230 230 IIIC r 230 180 50 LIBRO UNI
19
TRIGONOMETRÍA
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Exigimos más! 4. 290
3. Tan110 Tan110 Tan 70
290 290 IVC
IIC
r
r 360 290 70
4. Sen(140) Sen( 140) Sen 40
II. CÁLCULO DE ÁNGULOS DE REFERENCIA PARAÁNGULOSMAYORESAUNAVUELTA Si 1 vuelta entonces dividimos a entre 360° y calculamos el r del ángulo residuo. Ejemplos:
IIIC
r
5. Cos2000 Cos 2000 Cos 20
IIIC
r
6. Tan(3400) Tan(3400) Tan 20
1. 2000
2000
360
IIIC
200 5
IV. CASOS ESPECIALES DE REDUCCIÓN
Residuo = 200 III r 200 180 20 1000
2. 1000
280
A. Para ángulo negativos Si 0 ; entonces se cumple:
360 2
Sen() Sen Cos() Cos Tan() Tan Cot() Cot Sec() Sec Csc() Csc
Residuo = 280 IV r 360 280 80 3. 3400 3400 3400 3400 160
r
360 9
B. Para ángulos complementarios Si 90; entonces se cumple:
Residuo = 160 II r 180 160 20
III. REDUCCIÓN DE UNA R.T. AL PRIMER CUADRANTE Es el proceso mediante el cual se determina el valor de una razón trigonométrica utilizando su correspondiente ángulo de referencia. Propiedad Sea cualquier ángulo en posición normal y R su ángulo de referencia, entonces se verifica que las razones trigonométricas de y R tienen igual valor absoluto.
R.T.() R.T.(R ) R.T.() R.T.(R ) El signo del segundo miembro dependerá en que cuadrante se encuentra y de que R.T. se trate.
Sen Cos Tan Cot Sec Csc C. Para ángulos suplementarios
Si 180 ; entonces se cumple: Sen Sen Cos Cos Tan Tan Cot Cot Sec Sec Csc Csc D. Para ángulos revolucionarios
Si 360 se cumple: Ejemplos: Reduce al primer cuadrante:
Sen Sen Cos Cos Tan Tan Cot Cot Sec Sec Csc Csc
1. Sen200 Sen 200 Sen 20
IIIC
r
2. Cos310 Sen 310 Sen 50
I VC LIBRO UNI
r 20
TRIGONOMETRÍA
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Exigimos más! E. Para ángulos de la forma
F. Para ángulos de la forma
(90° ± ) y (270° ± )
(180° ± ) y (360° ± )
Para cualquier no cuadrantal se cumple:
Para cualquier no cuadrantal se cumple: R.T.(90 ) CO R.T.() R.T.(270 ) CO R.T.()
R.T.(180 ) R.T.() R.T.(360 ) R.T.()
El signo del segundo miembro dependerá en que cuadrante se encuentran (90 ) y (270 ) asumiendo agudo; además de que R.T. se trate.
El signo del segundo miembro dependerá en que cuadrante se encuentran (180 ) y (360 ) asumiendo agudo; y de que R.T. se trate.
Ejemplos:
Ejemplos:
•
•
•
•
problemas
resueltos
Problema 1
Operación del problema
Si: tan
5 1 , cot 3 y 4 4 3x 5 2
UNI 2012-II
C)
3 5
E)
8 3
3
Calcule x + y.
4 A) 5
Tan 5 Tan Tan 1 4 4 4 1 3x 541 3x 5 x
B)
3
D)
5 3
Cot 3 0 y 4 y 4 2
Calculamos: xy
4 4 8 3 3
Conclusiones y respuesta
x y 83
Cot 3 y 4 Tan 5 1 4 3x 5 2
Resumen El problema consistia en reducir al primer cuadrante Tan 5 4 y calcular la Cot 3 2 , luego reemplazando los
Análisis de los datos o gráfic os Observamos que 3 4 es cuadrantal y
5 4 pertenece al tercer cuadrante. Reducción al primer cuadrante Tan 5 4 y calculamos la Cot 3 2 . LIBRO UNI
se obtiene: A) B) C) D) E)
–tan 17° cot 17° tan 34° tan 51° cot 34°
Resolución: Ubicación de incógnita K=?
Análisis de los datos o gráfic os
Ubicación de incógnita Dados dos relaciones nos piden "x + y".
tan 343 tan 107 tan163 K tan197 tan 73 UNI 2010-I
4
Resolución:
Problema 2 Simplificando la expresión siguiente:
valores en las ecuaciones dadas se calcula finalmente: xy
8 3
8 Respuesta: E) 3 21
K Tan343 Tan107 Tan163 Tan197 Tan73 Operación del problema Reducimos al primer cuadrante:
( Tan17) (Tan73) (Tan17) Tan17 Tan73
K
Tan17 Tan73 Tan17 Tan73
K
(Tan17)
K = –Tan17° Respuesta: A) –Tan17° TRIGONOMETRÍA
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Exigimos más! Resolución:
Problema 3
Sen k x SenkCosx CoskSenx
Reducir:
Cos(k)Senx Sen k x ;K
A) Cosx (–1) C) Senx k
(1)k Senx
B) (1) k Cosx D) (–1)k Senx
k Respuesta: D) (1) Senx
E) Cosk
LIBRO UNI
22
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: SENO - COSENO - TANGENTE DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN Es aquella circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas, su centro se ubica en el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad del sistema, razón por la cual también se le suele llamar cincunferencia unitaria (C.T. ó C.U.) La ecuación de todo punto que esté en la circunferencia trigonométrica es: x2 + y2 = 1 y el círculo determinado por esta circunferencia es el denominado círculo trigonométrico.
Un arco está en posición normal, estandar o canónica cuando su extremo inicial este ubicado en el origen de arcos de la C.T.; el extremo final de estos arcos determinan el cuadrante al cual pertenecen. A. Ubicación de ángulos en la C.T.
II. ELEMENTOS DE LA C.T. Y
X
B. Ubicación de arcos en la C.T.
A(1; 0) Origen de arcos B(0; 1) Origen de complementos A'(-1; 0) Origen de suplementos B'(0; 1) Sin nombre particular O(0; 0) Centro de la C.T.. P(x; y) Punto cualquiera de la C.T.. Ecuación:
x2 + y 2 = 1
radio: r = 1
Ejemplo: Ubicar los arcos cuyas medidas son 1, 2,
3, 4, 5, 6 en la C.T.
III. ARCO EN POSICIÓN NORMAL
Resolución: Para ubicar estos arcos en la C.T. reemplazaremos el valor de como 3,14 en los arcos
cuadrantales; obteniendo el esquema siguiente:
LIBRO UNI
23
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: SENO - COSENO - TANGENTE
Exigimos más!
IV. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS EN POSICIÓN NORMAL Las razones trigonométricas de todo arco en posición normal son numéricamente iguales a las razones trigonométricas de su respectivo ángulo central en la C.T.
Se denomina así a aquellos segmentos de recta orientados, cuya medida nos representa en la C.T. el valor numérico de una razón trigonométrica; como son seis las razones trigonométricas, tendremos seis líneas trigonométricas. A. Línea seno
Y
RT ARCO CENTRAL RT rad X No tiene unidades
• Ejemplo
VI. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
El seno de un arco se representa en la C.T. mediante la ordenada trazada por su extremo. Y
Si tiene unidades
sen sen rad 1 6 2 6
ARCO
ÁNGULO
Sabemos por teoría que: sen sen, pero: sen : y y r 1
tan tan rad 1 4 4
ARCO
ÁNGULO
sen 30 sen 30rad
sen y
• Ejemplo
ARCO
ÁNGULO
cos 45 cos 4srad
• En cada cuadrante
ARCO
ÁNGULO
V. CÁLCULO DE LAS RAZONES Ubicamos un arco en posición normal de cualquier cuadrante y aplicamos la definición anteriormente estudiada tendremos: Y
• Variación analítica
X
Sabemos que: rt() = rt() sen sen y y r 1 cos cos x x r 1 tan tan y x x cot cot y sec sec r 1 1 x x r 1 1 csc csc y y LIBRO UNI
• Rango de valores del seno Y
24
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: SENO - COSENO - TANGENTE
Exigimos más!
C. Línea tangente
1 sen 1
máx(sen) = 1 mín(sen) = –1 B. Línea coseno
El coseno de un arco se representa en la C.T. mediante la abscisa trazada por su extremo.
Para representar la tangente de un arco en la C.T. trazamos primero el eje de tangentes (recta tangente a la C.T. trazada por el origen de arcos), luego se prolonga el radio que pasa p or el extremo del arco hasta que corte el eje en un punto: la ordenada de este punto de intersección nos representará la tangente de arco. Y
X
Sabemos por teoría que: tan = tan pero: tan y y r 1
Sabemos por teoría que: cos = cos pero: cos x x r 1
tan y
cos x
• En cada cuadrante
• En cada cuadrante
• Variación analítica • Variación analítica
• Rango de valores de la tangente
• Rango de valores del coseno Y
X
LIBRO UNI
1 cos 1 máx(cos ) 1 min(cos ) 1
t n lo cual implica que: tan 25
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: SENO - COSENO - TANGENTE
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1
UNI 2005 - II
En la figura mostrada, halle el área de la región triangular OQP.
Nivel intermedio
UNI 2004 - I A) 1 (Sen Cos Tan) 2 Nivel fácil
B) 1 (Sen Cos Tan) 2 C) 1 (Sen Cos Tan) 2 D) 1 (Sen Cos Cot) 2 E) 1 (Sen Cos Cot) 2 Sen Cos A)
4 Sen Cos C) 16 E) Sen Cos
Sen Cos B)
8 Sen Cos D) 2
C) 2 ; 2 2 5
D) 2 , 2 2 5
E) 2, 2 5 Resolución:
Datos: 5 5 6 4
Resolución:
f sen – 2 – 2 5 2
..............(1)
De la C.U. Resolución:
el gráfico: h Cos Sen Luego: 2 Cos Sen A 1 4 2 Sen Cos
A
S (1)(Cos) ( Tan)(1 Cos) 2 2 Reduciendo, obtenemos: S 1 (Sen Cos Tan) 2 1 2
– 2 sen 1 2 2
Respuesta: A) - (Sen Cos Tan)
– 2 – 2 sen – 2 1 2 5 5 10
4
Problema 3 Respuesta: A)
Sen Cos 4
Problema 2
En la figura, halle el área de la región sombreada.
Consideremos la siguiente expresión: f( ) sen( ) 2 sen 5 4
0 sen – 2 2 2 5 2 5
donde: 5 ; 5 entonces el rango 6 4 de f se encuentra en el intervalo.
– 2 sen – 2 – 2 2 2 5 2 5
UNI 2007- I Nivel difícil
A)
B) LIBRO UNI
2;2
2
Ranf – 2 , 2 2 5
5
2 , 2
Respuesta: D) -
2 ; 2 2 5 26
TRIGONOMETRÍA
2 5
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: cotangente - secante - cosecante
DESARROLLO DEL TEMA
I.
LÍNEA COTANGENTE
B. Variación analítica
Para representar la cotangente de un arco en la C.T. trazamos primero el eje de cotagentes (recta tangente a la C.T. trazada por el origen de c omplementos), luego se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco hasta que corte al eje en un punto: la abscisa de este punto de intersección será la cotangente del arco.
C. Rango de valores de la cotangente
cot
Sabemos por teoría que: cot = cot pero: cot
x x r 1 lo cual implica que cot .
cot x
II. LÍNEA SECANTE A. En cada cuadrante
La secante de un arco se representa en la C.T. mediante la abscisa del punto que se determina al intersectar la recta tangente trazada a la C.T. por el extremo del arco y el eje de abscisas.
LIBRO UNI
27
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: COTANGENTE - SECANTE - COSECANTE
Exigimos más!
III. LÍNEA COSECANTE
Sabemos por teoría que: sec = sec
La cosecante de un arco se representa en la C.T. mediante la ordenada del punto al que se determina al intersecar la recta tangente a la C.T. trazada por el extremo del arco y el eje de ordenadas.
x pero: sec x 1
sec x
A. En cada cuadrante
Sabemos por teoría que: csc = csc y pero: csc y csc y 1 A. En cada cuadrante
B. Variación analítica
B. Variación analítica
C. Rango de valores de la secante
C. Rango de valores de la cosecante
sec 1 sec 1
máx(sec ) =1 mín(sec ) = –1 LIBRO UNI
relativos
28
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: COTANGENTE - SECANTE - COSECANTE
Exigimos más!
Y
csc 1 csc 1
máx(sec ) =–1 mín(sec ) = 1
relativos
X
Observación Las coordenadas para el extremo de un arco en la C.T. independientemente del cuadrante en el cual está ubicado este arco, son coseno y seno de dicho arco respectivamente; tal como se observa en la figura:
Ver() 1 cos B. Cosenoverso o coverso (Cov) Es el segmento de recta orientado desde el pie de la perpendicular que nos representa el coseno hasta el origen de complementos de la C.T. Por definición: Cov() = RB Pero en la figura: RB 1 Sen sen
Y
•
Como muestra determinaremos las coordenadas de los extremos de los arcos cuadrantes. X
Cov() 1 sen
IV. LÍNEASTRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
C. Exsecante o external (exsec) Es el segmento de recta orientado desde el origen de arcos de la C.T. hasta el extremo final de la secante. Por definición: exsec( ) = 4S Pero en la figura: AS = Sec – 1 Y
A. Senoverso o verso (Vers)
Es el segmento de recta orientado desde el pie de la perpendicular que nos representa el seno hasta X
el origen de arcos de la O.T. Por definición: Ver () = QA Pero en la figura:
QA 1 cos
Ex sec() sec 1
cos
LIBRO UNI
29
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: COTANGENTE - SECANTE - COSECANTE
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1 Ordenar de menor a mayor:
UNI 2010 - II
1 1 1 M Sen ,N Cot ,P Cos 2 3 4 UNI
A) 1 tan sen 2 B)
1 tan sen
C)
1 tan sen 2
Nivel fácil
A) M, N, P C) P, N, M
A ' –1;0 ; T 1; Tan
Nivel fácil
B) M, P, N D) N, P, M
E) P, M, N
2
D) 1 tan sen 2
Resolución:
1 1 1 Los argumentos , , están en ra2 3 4 dianes, los cuales se grafican y se traza las líneas trigonométricas respectivas:
E)
Formamos la matriz.
1 cot cos 2
Como tomamos los puntos en sentido antihorario omitimos las barras, entonces: S 1 –Tan – Sen – 0 2
Resolución:
Ubicación de incógnita: La circunferencia es trigonométrica, nos piden el área de la región tr iangular A'MT.
Conclusión y respuesta Finalmente obtenemos: S – 1 Tan Sen 2
Análisis de los datos o gráficos: Respuesta: B) –
1 Tan + Sen 2
Problema 3 Hallar Fmax Fmin , si:
Se observa que: 1 1 1 Sen Cos Cot 2 4 3
F 2Sen 3Vers 4 cov UNI
luego: M < P < N
Respuesta: B) M, P, N
Un método eficaz para determinar el área es aplicando el determinante de la matriz formada por las coordenadas de los puntos A', M y T.
Nivel intermedio
A) 18 C) 15
B) 16 D) 14
E) 12 Problema 2 Resolución:
En la circunferencia trigonométrica mostrada mAB'P , determine el área de la región triangular A'MT.
Se sabe que: 1 Sen 1 0 vers 2 0 cov 2
luego: Fmax 2(1) 3(0) 4(2) 10 Del gráfico obtenemos:
Fmin 2(1) 3(2) 4(0) 8
P Cos;Sen
M –Cos; – Sen LIBRO UNI
30
Respuesta: A) 18 TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: VARIACIONES DESARROLLO DEL TEMA En esta sección, comprobaremos que toda vez que cambia un arco en posición normal también cambian las razones trigonométricas correspondientes. A continuación presentamos las variaciones de cada R.T. A.
Variación del seno
B.
Variación del coseno
C.
Variación de la tangente
LIBRO UNI
31
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: VARIACIONES
Exigimos más! D.
Variación de la cotangente
E.
Variación de la secante
F.
Variación de la cosecante
LIBRO UNI
32
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: VARIACIONES
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1
Determine el área de la región triangular A'MT.
Ordenar de menor a mayor:
Un método eficaz para determinar el área es aplicando el determinante de la matriz formada por las coordenadas
1 1 1 M Sen ,N Cot ,P Cos 2 3 4
de los puntos A', M y T.
UNI Nivel fácil
A) M, N, P B) M, P, N C) P, N, M D) N, P, M
UNI 2010 - II
E) P, M, N
Nivel fácil
Resolución:
Los argumentos: 1, 1, 1 2 3 4 están en radianes, los cuales se grafican y se traza las líneas trigonométricas respectivas:
1 A) tan sen 2 B)
1 tan sen
C)
1 tan sen 2
P Cos;Sen
2
D) 1 tan sen 2 E)
Del gráfico obtenemos:
M –Cos; – Sen A ' –1;0 ; T 1; Tan
Formamos la matriz.
1 cot cos 2
Resolución:
Ubicación de incógnita: La circunferencia es trigonométrica, nos piden el área de la región tr iangular A'MT.
do antihorario omitimos las barras, en-
Se observa que: 1 1 1 Sen Cos Cot 2 4 3
Como tomamos los puntos en sentitonces:
Análisis de los datos o gráficos:
S 1 –Tan – Sen – 0 2 Conclusión y respuesta
luego: M < P < N
Finalmente obtenemos: Respuesta: B) M, P, N
S – 1 Tan Sen 2
Problema 2 En la circunferencia trigonométrica mos-
Respuesta: B) –
trada mAB'P .
1 Tan + Sen 2
LIBRO UNI
33
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA: VARIACIONES
Exigimos más! Problema 3
C) 1 5
Hallar Fmax Fmin , si:
D) 1 4
0 vers 2 0 cov 2
E) 1 2
F 2Sen 3Vers 4 cov
luego: Fmax 2(1) 3(0) 4(2) 10
UNI Nivel intermedio
Resolución:
Fmin 2(1) 1) 3(2) 4(0) 8
Se sabe que:
A) A ) 18 B) 1 6
1 Sen 1
LIBRO UNI
34
Respuesta: A) 18
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO SIMPLE DESARROLLO DEL TEMA
I. IGU IGUALDA ALDAD D Dos expresiones serán iguales en los reales si para cualquier valor real asignado a sus variables; los valores numéricos de estas expresiones son también iguales; dentro de estas igualdades encontramos las ecuaciones y las identidades; es decir:
E x
IV. VALOR ADMISIBLE (VA) Para una expresión, se llama valor admisible de su variable a aquel valor asignado a ésta, para el cual la expresión está definida en los reales ( ).
VN E
cual no se le puede asignar un valor real cualquiera ya que podría dejar de existir la expresión, surgiendo así el concepto de valor admisible o permitido para una variable.
P x x
Ejemplo: E x x 1 , para x = 1; E 1 x
VN P
x
II. ECUACIÓN ECUACIÓN Es una igualdad que se verifica para cierto número de valores asignados a la variable; valores que reciben el nombre de soluciones de la ecuación. 2x Ecuaciones
3
5 ; se cumple para
2x2 – 1 x –1 –1
x
2
x
3
Ejemplo: E(X)
1 senx , para x cosx
Es una igualdad que se verifica para to do valor real ( ) asignado a la variable.
x3 –1 –1
x 2 x – 2 ; se cumple x x2
4x 4 , se cumple x
x – 1 x 2 x 1 , se cumple x
Observación Hay expresiones como las trigonométricas en las cuales las variables no se encuentran libres sino que se encuentran en el ángulo, es decir, que las variables se encuentran afectadas de algún operador, razón por la 35
2
; E
2 0
2
2
; NO ES "VA" PARA E(x).
V. CAMPO DE VALORES VALORES ADMISIBLES (CVA) (CVA) Para una expresión, el campo de valores admisibles de una variable (CVA), es el conjunto formado por todos los valores admisibles de dicha variable; es decir: CVA para E x
LIBRO UNI
7 (No existe) 0
(No existe) x
2
2x 3 , para x 2 ; E 2 x –2
III. IDENTIDAD IDENTIDAD
x 2
; E 1 4
2 ; No es "VA" para E(x).
la ecuación
Identidades
4
x es un "VA" para E(x). 4 Ejemplo: E X
Solución de
x2 – 4
1 es un "VA" para E (x).
tan x , para x
1
7 ; se cumple para x 5 ; se cumple para
Ejemplo: E x
2
es un VA VA pa para E( E(x) VALORES D E " X " / " x " es
Ejemplo: E(x) 2x 1 x –1 CV A
E x x/x
– 1
TRIGONOMETRÍA
x
1
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE
Exigimos más!
VII.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENT FUNDAMENTALES ALES
Ejemplo: E(x) x – 2 E x x 2 CVA
x /x
2;
Se denomina a las igualdades obtenidas al relacionar las líneas trigonométricas de un mismo arco en la circunferencia trigonométrica (C.T.)
Ejemplo: E(x)
4 Senx
Ex
C VA
x /x
Senx 0
x k ; k
– k
Ejemplo: E(x)
3 Cosx osx –1
E X C VA
Cosx 1
x /x
x
2k ; k
– 2 2kk
– En la figura figura se observa:
VI. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
OBM
Es una igualdad establecida entre expresiones que involucran razones trigonométricas de una o más variables, las cuales se verifican para tod o valor admisible de dichas variables.
OAN
Se n 2 x
Co s 2 x
1 es una identidad
Ejemplo: La Ejemplo: La igualdad: Tanx
k
luego
2k 1
2
AN
tan
x 2 y2 1 Sen2 C os 2 1
utilizando: x Cos ; y Sen y r = 1. Csc
r y
Tan
y x
;
2
1 Sen Se n Cos
OP 2 PS 2 OS 2
Sec
r x
1 Cos
Cot
x y
Cos Se n
OPS (teorema de Pitágoras)
es una iden-
. 2k 1 tidad x – 2k
PS
x Cos y Sen
Senx Cos x
OPS
y
que le asignemos a la la variable x, tal que: x (2k 1) ; 2 Tan x
co t
Reemplazamos:
la igualdad se verifica para cualquier valor
. Por consiguiente: k
BM
P Cos ; Sen Lf Las "rt " se obtienen
Senx , no está definida Cos Cos x
para: x ... , 3 , 5 , ... es decir para x 2 2 2
x
PT
P cos ; sen C.T. Debe cumplir la ecuación: x
Ejemplo: La Ejemplo: La igualdad: S en2 x C os 2 x 1 , se verifica para cualquier valor real que le asignemos a la variable x; por consiguiente:
OPT
1 Tan2 Sec 2
OPT (teorema de Pitágoras) Ejemplo: Ejemplo: La igualdad Cscx
1 , no está definida Senx
para: x .., 0, , 2, .. es decir para x k ; k , luego la igualdad se verifica para cualquier valor que le asignemos a la variable x, tal que x k ; k ; por consiguiente:
Csc x
1 es una identidad x – k Senx
LIBRO UNI
36
OP
2
PT
2
OT
2
1 C ot 2 Csc 2
A. Clasi Clasificac ficación ión de las identi identida dades des fundam fundament entale ales s
1. Identidades Identidades pitagóricas pitagóricas Sen2 x
Cos 2 x
1
x
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE
Exigimos más! 1
Tan2 x
1 Cot 2 x
Sec 2 x
x
Csc2 x
x
– 2k 1
– k
; k
2
;k
2. Identidades recíprocas Sen x Csc x
1
Cos x .Sec x
x x
1
Tan x.Cot x
x
1
– k –
;k
2k 1
– k
2
;k
2
;k
•
Sen 4 x
Cos 4 x
1 – 2Sen2 x Cos 2 x
•
Sen6 x
Cos 6 x
1 – 3Sen 2 x .Cos 2x
•
Tan x
Cot x
•
Sec 2 x
Csc 2 x
•
Sen 4 x – Cos 4 x
Sen2 x – Cos2 x
•
Sec 4 x – Tan4 x
Sec2 x
•
Csc 4 x – Cot 4 x
•
Sen x Cos x 2 1 2 Sen xCos x
•
1 Sen x Cos x 2 2 1 Sen x 1 Cos x
•
De: Sen2 x 1–Cos2 x 1 Cos x 1–Cos x
3. Identidades de división Tanx
Cot x
x
–
Cosx Senx
x
– k
2k
1
;k
;k
2
3 –1 Si: Senx – Cosx entonces el va2
lor de M = Senx + Cosx es: UNI 2008 - II
E)
3
Sen x 1 Cos x
1 – Cos x Sen x
k; k
De: Cos 2x =1 – Sen2 x =1 +Senx 1 – Senx Cos x 1 – Sen x
1 Sen x Cos x x
•
Si: aSenx
2k 1
a2
b Cosx
a
Sen x
a2
Resolución: Nos piden M = senx + cosx
Y como sen x cos x 3 1 2 Por las identidades de Legendré: (a b)2 (a b)2 2(a2 b 2)
Nivel fácil
C)
Cot 2x
b2
Cos x 1 Sen x
2
1 – Sen x Cos x
;k
b2
Cos x
b a2
b2
resueltos
Problema 1
3 2
Tan2 x
1 Cos x Sen x x
•
Aparte de las identidades t rigonométricas fundamentales, hay aquellas igualdades que aparecen frecuentemente en la resolución de problemas y su conocimiento sería de mucha utilidad para facilitar la resolución de estos problemas; estas igualdades son de simple verificación y en muchos casos son consecuencia directa de operaciones algebraicas elementales; dentro de estas tenemos:
A)
Csc2 x
VIII.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
3 2 2
Sec 2 x.Csc 2 x
Sen x 1 – Cos x
Senx Cos x
problemas
Sec x.Csc x
B)
D)
3 2
2 3
2
LIBRO UNI
Nivel intermedio
A)
4
B)
M 2 3 2 2
M
2
3 1 2 2
C)
3
2 D)
2 3 2
E) 37
2
UNI 2006 - II
2
M2
2 3
Problema 2 Halle la suma de las soluciones positivas menores de 2 de la siguiente ecuación: 2Tan2x Sec x 1 0
2 (sen x cos x) (sen x cos x) 2 2
3 2 3
Respuesta: D)
2 TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE
Exigimos más! Resolución:
E
2
2Tg x Sec x 1 0
Sen Sec4 Cos3 Cos3
Tanx Tany
Conocemos: Tg2 x Sec 2x 1
Sen(x y) Cosx.Cosy
b) Solución del problema
Reemplazando:
Como: 5BC = 9AD
2(Sec 2 x 1) Sec(x 1) 0 2Sec 2 x Sec x 1 0 UNI 2008 - II Nivel difícil
A)
12 9
B)
13 9
D)
15 9
E)
16 9
(2Sec x 1)(Sec x 1) 0
Sec x 1 Secx 1 2
C)
14 9
9
Resolución:
Secx 1
Nos piden:
x
Respuesta: D)
Problema 3 En la figura mostrada 5BC = 9AD, calcule:
LIBRO UNI
Del gráfico: 9Tan4 5 9Tan3 9(Tan4 Tan3) 5
E Sen.Sec4 Cos3 Sen 1 ...(i) Cos3 Cos4.Cos3 Debemos recordar: a) Aplicación de fórmula o teorema:
38
Sen 5 Sen 5 ...(ii) Cos4.Cos3 Cos4.Cos3 9
(ii) en (i): E 5 1 14 9 9
Respuesta: C)
TRIGONOMETRÍA
14 9
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLES DESARROLLO DEL TEMA I. ÁNGULO COMPUESTO Es aquel que se puede expresar mediante una combinación lineal de otros ángulos; así por ejemplo: •
x y : es un ángulo compuesto por dos ángulos.
Ejemplo:
•
2x 3y : es un ángulo compuesto por dos ángulo s.
Calcule el valor de Sen75°.
•
x y z : es un ángulo compuesto por tres ángulos.
•
2x 3y 4z : es un ángulo compuesto por tres ángulos.
II. RAZONES TRIGONÓMETRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS Cuando los operadores trigonométricos afectan a ángulos compuestos, se definen operaciones matemáticas que no se efectúan como multiplicaciones algebraicas, así por ejemplo: •
Sen(x y) Senx Seny
•
Cos(x y) Cosx Cosy
•
Tan(x y) Tanx Tany
•
Cot(x y) Cotx Coty
Resolución:
Expresamos nuestro ángulo que es "75°" en función de ángulos conocidos por ejemplo "45° + 30°", para luego aplicar las identidades de la suma de ángulos. Sen75° = Sen(45° + 30°) = Sen45°Cos30° + Cos45° . Sen30° Sen75
2 3 2 1 . . 2 2 2 2
Sen75
6 2 4
IV. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
III. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
LIBRO UNI
39
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLES
Exigimos más! Ejemplo:
•
Calcule el valor de Tan8°
reemplazamos los datos del gráfico y tenemos:
Resolución:
SenxSeny Cos CosxCosy ;
Expresaremos nuestros ángulos 8° en función de ángulos conocidos, por ejemplo "45° – 37°". •
pero: Cos Cos(x y) SenxSeny = –Cos(x + y) + CosxCosy
Tan8 Tan(45 37 ) Tan45 Tan37 1 Tan45.Tan37 1 1 3 4 4 Tan8 3 7 1 4 4
En el rectángulo PQRS se tiene que: QR = PS, pero PS = PO + OS QR = PO + OS; luego
Tan8 1 7
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
VI. DEMOSTRACIÓN DEL SENO Y COSENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
V. DEMOSTRACIÓN DEL SENO Y COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
Con la ayuda de la C.T. demostraremos las siguientes identidades:
Con la ayuda de la C.T. demostraremos las siguientes identidades:
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
•
En la figura se observa que x son suplementarios Sen Senx
•
En la figura se observa que (x y) son suplementarios:
Sen(x y) SenCosy SenyCos ; pero:
En el rectángulo PQRS se tiene que: PQ = SR, pero SR = SM + MR PQ = SM + MR; luego reemplazamos los datos del gráfico y tenemos:
CosxSeny
Sen(x – y) = (Senx)Cosy + Seny(–Cosx) Sen(x y) SenxCosy CosxSeny
VII.IDENTIDADES AUXILIARES
Sen Sen(x y)
Sen(x y) Tanx Tany CosxCosy
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny
LIBRO UNI
Sen Senx Cos Cosx
; pero: Sen SenxCosy SenyCosx
En el rectángulo PQRS se tiene que: RS = PQ, pero PQ = PM + MQ RS = PM + MQ; luego reemplazamos los datos del gráfico y tenemos:
Sen Sen(x y) Cos Cos(x y)
•
•
Cos Cosx
40
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLES
Exigimos más! Sen(x y)Sen(x y) Sen2 x Sen2 y
Cos(x y)Cos(x y) Cos 2x Sen2y
Sen(x y)Sen(x y) Cos2 y Cos2 x
y) Tanx
Tan(x
Tany
Tanx Tany Tan(x
y)
Importante: f(x) aSenx bCosx
a,b,x
a, b x
problemas
a Se nx bCos x
a 2 b 2 S e n( x ) s i T a n b a
resueltos
Problema 1 Si:
Tan
a2 b2 f(x) a2 b2
tan 4x a y tan 3x b 7 7 entonces al simplificar:
E (1 a2b2 ) tan(x) tan x 7
se obtiene:
x 4x 3x Tan 7 7 7 4x Tan Tan 3x 7 7 4x 3x 1 Tan Tan 7 7
*
Solución del problema
UNI 2011-II
E (1 a2b2)
A) a – b B) a2 – b2
(1 a2b2) (a2 b2)
C) a + b
(a b) (a b) (1 ab) (1 ab)
2 2
(a2 b2)
(1 a b )
D) ab
E
cos(A – B) cos(B – C) cos(A – C) senA senB senB senC senA senC
Análisis de los datos o gráfic os Si A + B + C = 180°
cot A cot B cot B cot C cot A cot C 1 Operación del problema Aplicamos la propiedad: cos( – ) cot cot 1 sen sen E cot A cot B 1cot B cot C 1 cot A cot C 1 cotB+cotB cotC+cotA cotC E 3 cotA
E) a/b Conclusiones y respuesta: Resolución:
2
1
E=4
2
E a b
Ubicación de incógnita
Respuesta: B) 4
Simplificar:
Respuesta: B) a 2 – b 2
E (1 a2b 2) Tanx Tan x 7
Análisis de los datos o gráfic os
Tan 4x a; Tan 3x b 7 7
Problema 3 De la figura, calcular Tan .
Problema 2 En un triángulo acutángulo ABC. Cal-
E
Aplicación de la fórmula, teorema o propiedad
4x7 3x7 4x 3x Tan Tan 7 7 4x 1 Tan Tan 3x 7 7
UNI 2011-I
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
10
A) Resolución:
C)
Ubicación de incógnita Nos piden simplificar la expresión E: 41
UNI
Nivel intermedio
E) 8
Tan(x) Tan
LIBRO UNI
4 2
cos(A – B) cos(B – C) cos(A – C) senA senB senB senC senA senC
Operación del problema *
45°
cule el valor de:
E)
3 7 7 4 8 4
B) D)
4 7 9 4
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA DOS VARIABLES
Exigimos más! Resolución: 6
Tan
4
2 1 6 3
Tan Tan( )
2
4
Tan Tan 1 Tan Tan
11 Tan 3 5 8 4 1 1 1 17 7 3 5
Tan 2 1 10 5
2
10
LIBRO UNI
Respuesta: B) 4 7
42
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA TRES VARIABLES
DESARROLLO DEL TEMA I.
SENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS
Cos( ) Cos Cos Cos Cos Sen Sen Cos SenSen Cos Sen Sen
Sen( ) SenCos Cos Sen Cos Cos Sen CosCos SenSen Sen
Ejemplo 1: Cos12x = Cos(2x + 4x + 6x) Cos12x = Cos2xCos4xCos6x – Cos2xSen4xSen6x – Cos4xSen2xSen6x – Cos6xSen2xSen4x
Demostración: Sen( ) Sen[ ( )] Sen( ) SenCos( ) Cos Sen( ) Sen( ) Sen (Cos Cos Sen Sen) Cos(Sen Cos Cos Sen)
Ejemplo 2: Cos15° = Cos(3° + 5° + 7°) Cos15 = Cos3°Cos5°Cos7° – Cos3°Sen5°Sen7° – Cos5°Sen3°Sen7° – Cos7°Sen3°Sen5°
Sen( ) Sen Cos Cos Sen Sen Sen SenCos Cos Sen Cos Cos Sen( ) Sen Cos Cos Sen Cos Cos SenCosCos Sen Sen Sen
IV. TANGENTE DE LASUMA DETRES ARCOS
Ejemplo 1: Sen6x = Sen(x + 2x + 3x) Sen6x = SenxCos2xCos3x + Sen2xCosxCos3x + Sen3xCosxCos2x – SenxSen2xSen3x Ejemplo 2: Sen20° = Sen(2° + 8° + 10°) Sen20° = Sen2°Cos8°Cos10° + Sen8°Cos2°Cos10° + Sen10°Cos2°Cos8° – Sen2°Sen8°Sen10°
Tan( )
Tan Tan Tan TanTanTan 1 TanTan TanTan TanTan
Demostración: Tan( ) Tan [ ( )] Tan( )
Tan Tan( ) 1 Tan Tan( )
Tan Tan 1 Tan Tan Tan( ) Tan Tan 1 Tan 1 Tan Tan Tan
III. COSENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS
Tan Tan Tan Tan Tan Tan 1 TanTan Tan( ) 1 TanTan TanTan Tan Tan 1 TanTan
cos( ) cos cos cos cos sen sen cos sen sen cos sen sen
Demostración: Cos( ) Cos[ ( )]
Tan( )
Cos( ) Cos Cos( ) SenSen( ) Cos( ) Cos (Cos Cos Sen Sen) Sen(Sen Cos Cos Sen )
Tan Tan Tan Tan Tan Tan 1 TanTan TanTan TanTan
Ejemplo 1: Tan10x = Tan(2x + 3x + 5x)
Cos( ) Cos Cos Cos Cos Sen Sen CosSenSen Cos Sen Sen LIBRO UNI
Tan10x Tan2x Tan3x Tan5x Tan2xTan3xTan5x 1 Tan2xTan3x Tan3xTan5x Tan2xTan5x 43
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO PARA TRES VARIABLES
Exigimos más! Ejemplo 2: Tan12° = Tan(2° + 4° + 6°)
Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1
Tan12 Tan2 Tan4 Tan6 Tan2 Tan4 Tan6 1 Tan2Tan4 Tan4Tan6 Tan2Tan6
Siendo:
IV. PROPIEDADES PARA TRES ÁNGULOS
x y z ó (2K 1) ; K Z 2 2
Estas propiedades se cumplen siempre que los tres ángulos estén relacionados bajo una condición:
Cotx Coty Cotz CotxCotyCotz
Siendo: x y z ó K, K Z
problemas
TanxTany TanxTanz TanyTanz 1
resueltos
Problema 1
A) –1/4
Simplificar:
B) 1 cot( ) 1 tan cot( )
tan p
UNI 1981 Nivel fácil
A) tan tan B)
tan tan
C)
cot
Problema 3
0
Sean ; ; los ángulos internos de un
C) 1/4 D)
triángulo, tal que:
1/3
(tan )(tan )(tan ) 2006
E) 1/2 Entonces podemos afirmar que el valor
Resolución:
de 1 tan tan tan es:
Se sabe que:
Nivel difícil
Cos ( ) Cos ( ) Cos2 Sen2
A) 200 6 B) 2007
D) tan E)
UNI 2008 - I
Sen ( ) Sen ( ) Sen2 Sen2
C) 2008
En el problema:
cot
Sen (x 45) Sen (x 45) p
D) 2009
Resolución:
E) 2010
2
1 cot( ) tan tan( ) p tan tan( ) tan 1 1 cot( ) tan
Sen2 x 1 p .... (I) 2
Resolución:
Cos (x 60) Cos(x 60) q
Condición: 180
2
p tan( ( )) tan Respuesta: D) tan
Cos2 x 3 q .... (II) 2
Dadas las ecuaciones: Sen(x – 45°) Sen(x + 45°) = p Cos(x – 60°) Cos(x + 60°) = q
Nivel intermedio
LIBRO UNI
Por dato:
Entonces: tan tan tan 2006
p q 1 5 p q 1 4 4 1 tan tan tan 2007
Calcule el valor de (p + q). UNI 2006 - II
tan tan tan 2006
(I) + (II): Sen2 x Cos 2x 1 3 p q 2 4
Problema 2
tan tan tan tan tan tan
1 Respuesta: A) – 4
44
Respuesta: B) 2007
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO DOBLE DESARROLLO DEL TEMA El objetivo es expresar las razones trigonométricas del arco doble (2x; 2y; 2x; ...) en términos de las razones del arco simple (x; y; z; ...) para lo cual partiremos de la s identidades del arco compuesto.
III. TANGENTE DEL ARCO DOBLE Tan2x
2Tanx 1 Tan2x
Demostración:
I. SENO DEL ARCO DOBLE
Tan2x
= Tan(x + x)
Sen2x 2Senx.Cosx
Tanx Tanx 2Tanx 1 Tanx.Tanx 1 Tan2x
Demostración:
Ejemplos:
Sen2x
= Sen(x + x)
Sen14° = 2Sen7°.Cos7°
= Senx.Cosx + Cosx.Senx
Sen6 = 2Sen3 .Sen3
= 2Senx.Cosx
2Sen17° . Cos17° = Sen34° Cos10° = Cos25° – Sen25°
II. COSENO DEL ARCO DOBLE
Cos 23 – Sen23 = Cos6
Cos2x Cos 2x Sen2x
Tan6
Demostración:
Cos2x
2Tan3 1 3Tan23
2Tan5 Tan10 1 Tan25
= Cos(x + x) = Cosx.Cosx – Senx.Senx = Cos2x – Sen2x
IV. SENO DEL ARCO DOBLE EN FUNCIÓN DE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE
Reemplazando Sen 2x = 1 – Cos2x Sen2x
Cos2x = Cos 2x – (1 – Cos2x) Demostración:
Cos2x 2Cos 2 x 1
Sen2x
= 2Senx.Cosx 2
Sec x = (2Senx.Cosx) Sec2 x
Demostración:
Reemplazando Cos 2x = 1 – Sen2x Cos2x
2Tanx 1 Tan2x
= 2(1 – Sen 2x) – 1
=
2 – 2Sen2x – 1
2Senx 2Tanx Cosx = = 2 1 Tan2x 1 Tan x
Cos2x 1 2Sen2x
LIBRO UNI
2Senx.Secx Sec 2x
45
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO DOBLE
Exigimos más!
V. COSENO DEL ARCO DOBLE EN FUNCIÓN DE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE
= 2(1 – 2Cos2x + Cos 22x) = 2 – 4Cos2x + 2Cos 22x = 2 – 4Cos2x + 1 + Cos4x
2 Cos2x 1 Tan2x 1 Tan x
= 3 – 4Cos2x + Cos4x
Demostración:
Cos2x
= Cos2x – Sen2x
Ejemplos: 8Sen410° = 3 – 4Cos20° + Cos40°
2 = (Cos2 x Sen2 x) Sec x Sec 2 x
8Cos43x = 3 + 4Cos6x + Cos12x
Sen2 x.Sec2 x = 1 Sec 2 x
VIII.IDENTIDADES AUXILIARES
1 Sen2x 1 Tan2x 2 = Cos x = 1 Tan2x 1 Tan2x
VI. FORMAS CUADRÁTICAS DEL SENO Y COSENO
Demostración:
Cotx + Tanx
= Cosx Senx Senx Cosx
2Sen2x 1 Cos2x
= 2Cos2x 1 Cos2x
Cos2 x Sen2 x Senx Cosx
1 = Senx Cosx
Demostración:
2 = 2Senx Cosx
De Cos2x = 1 – 2Sen 2x 2Sen2x = 1 – Cos2x
=
De Cos2x = 2Cos2x – 1 2Cos2x = 1 + Cos2x
2 Sen2x
= 2
1 Sen2x
= 2Csc 2x Ejemplos: 2Sen210° = 1 – Cos20°
Sec2x 1 Tan2x Tanx
2Cos2217° = 1 + Cos34° 1 – Cos6 = 2Sen23
Sec2x 1 Tan2x Tanx
1 + Cos8 = 2Cos24
VII. EXPRESIONES LINEALES DE:
Demostración:
8sen4x 8cos4x
Sec2x 1
1 1 Cos2x
=
1 Cos2x Cos2x
=
2Cos2 x Sen2x Cos2x Sen2x
8Sen4 x 3 4Cos2x Cos4x 8Cos 4 x 3 4Cos2x Cos4x Demostración:
8Sen4 x = 2(2Sen2x)2
Sen2x 2 Cos 2 x = Cos2x 2 Senx Cosx
= 2(1 – Cos2x) LIBRO UNI
46
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO DOBLE
Exigimos más! = Tan2x
=
1 Senx Cosx
Sen4 x Cos 4x 3 Cos4x 4 Sen6x Cos 6x 5 3Cos4x 8
Tan2x Tanx
Demostración:
Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen2x • Cos 2x
1 Sen2x Senx Cosx
= 1 1 Sen2x Senx Cosx =
11 Sen22x 2 2
=
11 (2Sen22x) 2 4
=
1 1 (1 Cos4x) 2 4
=
3 Cos4x 4
Demostración:
=
1 Sen2x
=
Sen2 x Cos 2x 2Senx Cosx (Senx Cosx) 2
= Senx Cosx
problemas
resueltos
Problema 1
Para el círculo trigonométrico que se muestra en la figura, calcule: y Sen2. Nivel fácil
Sen2
Sen2
2005 - I
f(x) 4(Sen2 x 2)(Sen2 x 1)
2Tg 1 Tg2
f(x) 4(Sen4 x 3Sen2 x 2)
2(2) 4 2 5 1 (2)
2 f(x) 4 Sen2 x 3 1 2 4
Respuesta: A) -
Calcule el rango de la función: f(x) 2(Cos2x 3)( 2 Sen2 x) , x IR
2005 - II
2
A) 7,23
B) 8, 23 D) 8, 25
A) 4 5
B) 3 5
C) 8,24
C) 2 5
D) 1 5
E) 7, 25
Finalmente el rango es: 8;24 Respuesta: C)
Si: sen8a + cos8a es igual a la expresión: A + Bcos4a + Ccos8a
f(x) 2(Cos2x 3)( 2 Sen2 x)
para cualquier valor real de a. Halle A + B + C.
2007 - I
1 2Sen2 x
Tg 2 LIBRO UNI
Problema 3
Resolución:
Del gráfico:
2 8 4 Sen2 x 3 1 24 2 4
Nivel intermedio
2
Resolución:
x 0 S en2 x 1
Construyendo f(x), obtenemos:
Problema 2
E) 0
1 2 (2Senx Cosx) 2
47
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO DOBLE
Exigimos más! A)
1 32
B)
1 16
C)
1 8
D)
1 4
E) 1 Resolución:
Como: 2
2sen a = –csc2a + 1, Elevando al cuadrado: 3
Analo gamente: 27.cos8a = cos8a + 8cos6a + 28cos4a + 56cos2a + 35 .. (ii)
Observación:
Una forma práctica de comprobar que la suma de coeficientes es igual a la
Sumando (i), (ii), se tiene: 27. (sen8a + cos8a) = 2cos8a + 56cos4a + 70
unidad, es asignar la variable un valor
Luego:
sen
sen8a cos8 a
arbitrario en la identidad planteada. 8
1 28 35 .cos 8a cos 4a 64 64 64
Por dato:
a + cos8a = A + Bcos4a + c + cos8a
Para a = 0 8 8 sen 0 cos 0 A B cos 0 C. cos 0 0
sen8a + cos8a = A + Bcos4a + C.cos8a
1
1
1
A B C 1
4
2 . sen a = cos4a – 4cos2a + 3 27sen8a = cos8a – 8cos6a + 28cos4a – 56cos2a+35 ...... (i)
LIBRO UNI
A B C 1 28 35 1 64 64 64
48
Respuesta: E) 1
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO MITAD DESARROLLO DEL TEMA DEFINICIÓN
II. IDENTIDADES AUXILIARES
El objeto de estas igualdades es expresar las razones x trigonométricas del ángulo mitad ; ;....; en términos 2 2 2 de las razones trigonométricas del ángulo simple (; ;....; x); estas igualdades son válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
I.
1 Cosx x 2
1 Cosx x 2
Cos x 2
Cot x Cscx Cotx 1 Cosx 2 Senx
III. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES
IDENTIDADES FUNDAMENTALES Sen x 2
Tan x Cscx Cotx 1 Cosx 2 Senx
* Demostración de: Sen x 1 Cosx 2 2 Sabemos que: 2Sen2 1 Cos2; haciendo: x 2 Tendremos:
1 Cosx x {(2n 1));n 1 Cosx
1 Cosx x {2n);n 1 Cosx
Tan x 2 Cot x 2
2Sen2 x 1 Cosx 2
Sen x 1 Cosx 2 2
Observación
* Demostración de: Cos x 1 Cosx 2 2
La eliminación del valor absoluto depende del
Sabemos que: 2Cos2 1 Cos2; haciendo: x 2
x cuadrante en el cual se ubique el arco mitad ; 2
Tendremos:
sí por ejemplo:
x Si: IIC 2
Sen2 x 1 Cosx 2 2
2Cos2 x 1 Cosx 2
Sen x será () 2
Si: x IIIC 2
x Cos será () 2
x Si: IVC 2
Tan x será () 2
LIBRO UNI
Cos 2 x 1 Cosx 2 2
Cos x 1 Cosx 2 2
* Demostración de: Tan x 1 Cosx 1 Cosx 2 49
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MITAD
Exigimos más! 2Sen x (Numerador y denominador), tendremos: 2
Sabemos que: Tan x 2
x Sen 2 Cos x 2
x x x 2Sen 2Sen2 1– Cosx x 2. 2 2 Tan x x x x 2 Senx Cos 2Sen 2Sen Cos 2 2 2 2 Sen
Reemplazando:
Senx
Tan x 1 – Cosx 2 Senx Senx
Sen x y Cos x 2 2 Tendremos:
Tan x Cscx – Cotx 2
1 Cosx x 2 Tan 2 1 Cosx
B. Cot
2
Tan x 1 Cosx Cosx 2 1
x Cscx Cotx 2
Demostración de: Cot x Cscx Cotx 2
* Demostración de: Cot x 1 Cosx 1 Cosx 2
x 2 ; multiplicando por: x Sen 2 Cos
x Sabemos que: Cot 2
Sabemos que:
2Cos Cos x x 2 Cot 2 Sen x 2
x (numerador y denominador), tendremos: 2 x
x
2
2
2
2 2 Senx
Reemplazando: Cot
Sen x y Cos x 2 2 Tendremos:
Cosx Senx
Sabemos:
Cot x 1 Cosx 1 Cosx 2
IV. IDENTIDAD RACIONALIZA DA DEL ARCO MITAD x Cscx – Cotx 2
Demostración de: Tan x Cscx – Cotx 2
•
Cscx Cotx Cot x ..... I 2
•
Cscx – Cotx Tan x ..... II 2
I II
2Cscx Cot x T an x 2 2
I – II
2Cotx Cot x – T an x 2 2
Ejercicios de aplicación: Csc40 Cot40 Cot20
Sen x
Csc6 – Cot6 Tan3 Cot20 Tan20 2Csc40
2
Cot12 – Tan12 2Cot24
x 2 ; multiplicando por: Sabemos que: Tan 2 Cos x LIBRO UNI
1 Senx
V. IDENTIDADES AUXILIARES
2
Tan
x 2
Cot x Cscx Cotx 2
1 Cosx x 2 Cot 2 1 Cosx
A.
x
Cos 2Cos 2Cos 2 2 2 1 Cosx Cot x Senx 2 Sen x 2Cos x 2Sen x Cos x
50
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MITAD
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1
Simplificando y operando:
De la siguiente igualdad:
3
1 Sen10 6 ATan20 B 1 Cos20 6
pero Sen3x Sen( 3x) por reducción al primer cuadrante.
Sen(30 20) ATan20 B Cos20
(Sen30Cos20Cos30Sen20) ATan20B Cos20
B)
1 2
C)
3 2
D)
4 2
E)
4 3
2
1 1 Sen3x 3 4 3 3
1 usando Sen x 3 3 Identificando A y B A
Resolución:
Transformando el primer miembro:
3 1 B 2 2
1 (3Sen104Sen310) Sen10 3 ATan20B 3 1 3 (4Cos 203Cos20) Cos20 3
Respuesta: A)
3 -1 2
4 Sen10 Sen310Sen10 3 ATan20B 4 3 Cos 20Cos20Cos20 3
23 27
2 3
C)
23 27
E)
23 3
A)
23 27
Problema 3 Sabemos que Cosx = 0,125; entonces calcule:
2 Si: 3Cosx Senx , calcule Sen3x. 3
Utilizando la relación trigonométrica de triple:
4 operando 27
Respuesta: C)
Problema 2
1 1 Sen30 Cos60 2 2
Sen3x 1
Sen3x
3 1 A B 2
1 Sen30 Sen10 3 ATan20 B 1 Cos60 Cos20 3
Utilizando:
3
Transformando:
3 1 2
3
Sen3x 3Sen x 4Sen3 x 3 3
Halle (A + B). A)
Sen3x Sen 3 x 3
k 3
B)
1 2
A)
5 8
D)
4 27
C)
3
E)
Sen3x(1 Cos3x) Sen2x Senx
5 8
B)
7
D)
5 37 8
5 3
Resolución:
Resolución:
De la condición dividimos a ambos miembros entre dos.
4 3 ATan20 B 4 3 Cos 20 3
Por identidades del arco triple y doble k 3
Senx(2Cos2x 1)(1 Cos3x) 2SenxCosx Senx
k 3
Senx 2(2Cos2 x 1) 1 (1 Cos3x) Senx(2Cosx 1)
Sen310 3
Simpificando:
Utilizando Cos2x = 2Cos 2x-1
Sen10 ATan20 B Cos20 LIBRO UNI
k 3 51
(4Cos 2x 1)(1 Cos3x) 2Cosx 1
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO MITAD
Exigimos más! Simplificando y operando: k 3
(2Cosx 1)(2Cosx 1)(1 Cos3x) 2Cosx 1
Pero:
Reemplazando en (1) los valores del
1 Cosx Cos3x 4Cos 3x 3Cosx 8
Cosx y Cos3x tenemos:
3
Por diferencia de cuadrados:
1 1 Cos3x 4 3 8 8
k 3 (2Cosx 1)(1 Cos3x)
47 Cos3x 128
...(1)
LIBRO UNI
52
1 47 5 175 3 53x7 K3 2x 1 1 3 x 8 128 4 128 23x43 K
53 7 8 Respuesta: D)
TRIGONOMETRÍA
5 37 8
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO TRIPLE DESARROLLO DEL TEMA
I.
Sen3x 3Senx– 4Sen3 x
III. Tan3x
3Tanx – Tan3x 1– 3Tan2 x
Demostración:
Sen3x = Sen (2x + x) Sen3x = Sen2xCosx + Cos2xSenx
Demostración
Sabemos por arco doble:
Tan A B C
Sabemos:
Sen2x 2SenxCosx ; Cos2x 1– 2Sen2 x
TanA TanB TanC – TanATanBTanC 1 – TanATanB TanATanC TanBTanC
Sea:
Tan3x Tan x x x
Reemplazando:
Tan3x
2
Sen3x = (2Senx Cosx)Cosx + (1 – 2Sen x) Senx
Sen3x 2SenxCos 2 x Senx – 2Sen 3 x
Tanx Tanx Tanx – TanxTanxTanx 1– TanxTanx TanxTanx TanxTanx
Efectuando operaciones:
Sabemos: Cos 2 x 1– Sen2 x Tan3x
Reemplazando:
3Tanx – Tan3x 1– 3Tan2 x
Sen3x = 2Senx (1 – 2Sen2x)+ Senx – 2Sen3 x
En general: Sen3x 2Senx – 2Sen3 x Senx –2Sen3 x
Sen3x 3Senx – 4Sen3 x
Sen3x 3Senx – 4Sen3x
Sen3x Senx 2Cos2x 1 Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60
Análogamente: Cos3x 4Cos 3 x –3Cosx II.
x
Cos3x 4 Cos 3x – 3Cosx
Cos3x Cosx 2Cos2x –1
Cos3x Cosx 2Cos2x– 1 Demostración:
Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60
Sabemos: Cos3x 4Cos 3 x –3Cosx Cos3x Cosx 2 x2Cos 2x –3
Tan3x
x
3Tanx – Tan3 x 1– 3Tan2 x
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60
2 Recordando: 1 Cos2x 2Cos x Doble
x
Nota:
Cos3x Cosx 2 1 Cos2x – 3 Cot3x CotxCot 60 – x Cot 60
Cos3x Cosx 2Cos2x –1 LIBRO UNI
53
x
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO TRIPLE
Exigimos más!
problemas
resueltos
Problema 1
Problema 2
3 3 Simplifique: K Sen x Cos x 1 Sen3x Cos3x 2 Nivel fácil 2005 - I
Calcule E Tan2 x en términos 4 2
A) 3Sen2x Cosec6x B) –3Sen2x Cosec6x 3 Sen2x Cosec 6x 2 D) 3 Sen2x Cosec6x 2 C)
E) –Sen2x Cosec6x Resolución: 3 3 K 4Sen 4Cos 1 4Sen3x 4Cos3x 2
Nivel difícil
de "a", si Secx = a + Tanx. Nivel intermedio 2005 - I 1 a3 4 E) a
1 a4 1 D) a
A)
B)
C)
1 a2
3 SenxCos3x CosxSen3x 2 x 2Sen3x Cos3x
3Sen x 3x K 2Sen6x
K 3 Sen2x Cosec6x 2 3 Respuesta: D) - Sen2x Cosec 6x 2
LIBRO UNI
A)
1 2
B)
1 3
D)
1 5
E)
1 6
1 4
Cot x 4 tan x 2 csc x 2 4
Resolución:
Tan x Cot x 2 csc x 2 2
1 Cos x x 2 2 E Tg 4 2 1 Cos x 2 1 Senx 1 Senx Cosx Cosx 1 Senx 1 Senx Cosx Cosx
Reemplazando:
Problema 3
Al resolver la ecuación:
4Tan x Tan x 4 2 Tan x 2 4 Tan x 4
Respuesta: C)
Cot x 4Tan x Tan x Cot x 2 4 2 2
1 a 1 a a2
C)
Resolución:
3Senx Sen3x 3Cosx Cos3x 1 4Sen3x 4Cos3x 2 3Senx 1 3Cosx 1 1 4Sen3x 4 4Cos3x 4 2
2007 - II
1 a2
;
Tan2 Sec2 1 Tan
4 Sec x 1 Sec x 3 2 2
2
Cos x 1
3
cot x 4 tan x 2 csc x 2 4
Determine cos x 2
54
Respuesta: B)
TRIGONOMETRÍA
1 3
TRIGONOMETRÍA
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS: DE ADICIÓN A MULTIPLICACIÓN DESARROLLO DEL TEMA I.
DE ADICIÓN A MULTIPLICACIÓN Se le suele llamar también factorización trigonométrica y consiste en expresar mediante un producto una determinada suma o diferencia. Para transformar a producto una expresión, esta deberá estar compuesta por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con ángulos ordenados de mayor a menor. Los ángulos resultantes en los factores del producto serán la semisuma y la semidiferencia de los ángulos iniciales.
Se obtiene: x A B 2
y A B 2
A B A B Sen(A) Sen(B) 2Sen 2 Cos 2
Restando tendremos: Sen(x y) Sen(x y) 2Cosx Seny
A. Adición de senos a multiplicación Considerando:
A
B
x y A Haciendo: x y B
A B A B A B SenA SenB 2Sen 2 Cos 2 A B A B SenA SenB 2Cos 2 Sen 2
Se obtiene: x
B. Adición de cosenos a multiplicación
Considerando:
x y A Haciendo: x y B
A B
A B A B CosA CosB 2Cos 2 Cos 2 A B A B CosA CosB 2Sen 2 Sen 2
II. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES
y
A B 2
A B Sen A B Sen(A) Sen(B) 2Cos 2 2
B. Demostración de la transformación de cosenos Para efectuar estas demostraciones partiremos del coseno de la suma y diferencia de dos arcos (identidades de ángulos compuestos). Sabemos que: Cos(x y) CosxCosy SenxSeny Cos(x y) CosxCosy SenxSeny Sumando tendremos:
Cos(x y) Cos(x y) 2CosxCosy
A
A. Demostración de la transformación de senos Para efectuar estas demostraciones partiremos del seno de la suma y diferencia de dos arcos (identidades de ángulos compuestos).
A B 2
B
x y A Haciendo: x y B
Se obtiene: x
A B 2
y
A B 2
Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny Sabemos que: Sen(x y) SenxCosy Cosx Seny
Sumando tendremos:
Restando tendremos:
Sen(x y) Sen(x y) 2SenxCosy
Cos(x y) Cos(x y) 2SenxSeny
A
LIBRO UNI
A B A B Cos(A) Cos(B) 2Cos 2 Cos 2
B
A
55
B
TRIGONOMETRÍA
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS: DE ADICIÓN A MULTIPLICACIÓN
Exigimos más! x y A x y B
Sen3x Senx 2Sen 3x x Cos 3x x 2Sen2x.Cosx 2 2
Haciendo:
Se obtiene: x
A B 2
y
Sen5x Senx 2Cos 5x x .Sen 5x x 2Cos3x.Sen2x 2 2
A B 2
A B A B Cos(A) Cos(B) 2Sen 2 Sen 2
Cos6x Cos2x 2Cos 6x 2x Cos 6x 2x 2Cos4x.Cos2x 2 2 Cos7x Cosx 2Sen 7x x Sen 7x x 2Sen4x.Sen3x 2 2
Ejemplos de aplicación y casos que se presentan
problemas
resueltos
Problema 1 Calcular: A Sen11x Senx Cos11x Cosx A) Tan5x B) Tan6x C) Cot6x D) Cot5x E) Tan7x
Resolución: Es conveniente agrupar los 2 primeros términos y luego reducimos al primer cuadrante el tercer término. K=(Cos115°+cos5°)+Cos(180°+55°)
SenA SenB 2Sen A B Cos A – B 2 2 CosA CosB 2Cos A B Cos A – B 2 2 Reemplazando: A
2Sen6x Cos5x 2Cos6x Cos5x
A = Tan6x
K 2 1 Cos55 – Cos55 2
LIBRO UNI
En la segunda expresión y agrupamos los extremos. Sabemos: A B Cos A – B CosA CosB 2Cos 2 2
K=0 Respuesta: C) 0
Problema 3 Calcular la suma de 3 cosenos cuyos arcos están en progresión aritmética
de razón 2 . 3 Respuesta: B) Tan6x A) 2 C) 0 E) –2
Problema 2 Simplificar: K = Cos5° + Cos115° + Cos235° A) 1 B) –1 C) 0 D) 2 E) –2
S Cos x – 2 Cosx Cos x 2 3 3
K 2Cos60 Cos55 (Cos55)
Reemplazando los valores notables: Resolución: Sabemos:
S Cosx Cos x 2 Cos x 4 3 3
B) 1 D) –1
S 2Cosx Cos 2 Cosx 3 (–1/2)
S Cos x 2 Cos x – 2 Cosx 3 3
Reemplazando los valores notables. S 2Cos – 1 Cosx 2
Resolución: En base a los datos del enunciado se puede expresar la suma de la siguiente manera:
56
S=0 Respuesta: C) 0
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS: DE MULTIPLICACIÓN A ADICIÓN DESARROLLO DEL TEMA I.
TRANSFORMACIÓN DE MULTIPLICACIÓN A ADICIÓN Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar mediante una suma o diferencia un determinado producto. Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos. Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales. Considerando: A B
2Cos3xCos2x = Cos(3x + 2x) + Cos(3x – 2x) = Cos5x + Cosx
2Cos50°Cos20° = Cos(50° + 20°) + Cos(50° – 20°) = Cos70° + Cos30° 2Sen70°Sen10° = Cos(70° – 10°) – Cos(70° + 10°) = Cos60° – Cos80°
resueltos
Problema 1 Si en un triángulo acutángulo ABC, se cumple: Sen2A + Sen2B + Sen2C = 2SenASenB Calcular la medida del ángulo C.
4SenASenBSenC = 2SenASenB Reduciendo: 1 2SenC = 1 SenC 2
UNI Nivel fácil
B) 50° D) 40°
por dato: C = 30° Respuesta: A) 30°
Problema 2 Siendo: Cos2a.Tan(b + c) – Cos2b.Tan(a + c) = Sen2a – Sen2b Donde: a b k
Resolución:
Como A + B + C = 180° Aplicando la propiedad antes mencionada: LIBRO UNI
2SenxCos2x = Sen(2x + x) – Sen(2x – x) = Sen3x – Senx
2Sen10°Cos40° = Sen(40° + 10°) – Sen(40° – 10°) = Sen50° – Sen30°
Observación "Cuando se desdobla el doble producto de seno por coseno se tiene que si el primer ángulo es el mayor entonces se
A) 30° C) 60° E) 80°
Ejemplos: 2Sen3xCosx = Sen(3x + x) + Sen(3x– x) = Sen4x + Sen2x
2Sen5xSenx = Cos(5x – x) – Cos(5x + x) = Cos4x – Cos6x 2Sen40°Cos20°= Sen(40° + 20°) + Sen(40° – 20°) = Sen60° + Sen20°
2SenACosB Sen(A B) Sen(A B) 2SenBCosA Sen(A B) Sen(A B) 2CosACosB Cos(A B) Cos(A B) 2SenASenB Cos(A B) Cos(A B) 2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)
problemas
obtiene una suma de senos y si el primer ángulo es menor se obtiene una diferencia de senos".
57
TRIGONOMETRÍA
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS: DE MULTIPLICACIÓN A ADICIÓN
Exigimos más! Calcular:
Resolución:
E = Cos2a + Cos2b + Cos2c
Trabajando por partes, tendremos:
UNI Nivel intermedio
A) 10 C) 2 E) 15
B) 20 D) 0
3Cos A Cos B Cos C 3 x 2Cos A Cos B Cos C 2 2 2 2 2 2 2
Resolución: De la condición del problema, escribiendo así: Cos2a.Tan(b + c) – Sen2a = Cos2b.Tan(a + c) – Sen2b
Efectuando tendremos:
Seguídamente efectuamos, obteniendo:
3 2Sen C Cos C 2Cos A B Sen A B 2 2 4 2 2
Cos2aSen(b c)- Sen2aCos(b+c) Cos2bSen(a c)- Sen2bCos(a+c) Cos(b c) Cos(a c)
SenA SenB
SenC
Luego:
Los numeradores son iguales a:
3Cos A Cos B Cos C 3 (SenA SenB SenC) 2 2 2 4
Sen(b c 2a) Sen(a c 2b) Cos(b c) Cos(a c)
... (I)
Ahora:
Luego:
Cos 3A Cos 3B Cos 3C 1 x 2Cos 3A Cos 3B Cos 3C 2 2 2 2 2 2 2
2Sen(b Cos(a c) 2Sen(a 2b)Cos(b c) c2a) c Sen(b 2c a) Sen(b 3a) Sen(a 2c b) Sen(a 3b)
Ahora:
Sen(b Sen(a b) Sen(a 2c a) 2c 3b) Sen(b 3a) Seguidamente:
Efectuando, tendremos:
2Cos2c.Sen(b - a) = 2Cos(a + b)Sen2(a - b)
2 Cos2c. Sen (b a) 2Cos(a b) 2 Sen (b a)Cos(b a) 2Cos(a Cos2c b)Cos(b a)
Cos2aCos2b
1 2Sen 3C Cos 3C 2Cos 3 (A B)Sen 3 (A B) 4 2 2 2 2 Sen3C Sen3A Sen3B
Luego:
Finalmente:
3A 3C 1 Cos3BCos (Sen3A Sen3B Sen3C) ... (II) 2 2 4 (I) y (II) en "V", obtendremos: Cos
Cos2c = -Cos2a – Cos2b Cos2a + Cos2b + Cos2c = 0 E = 0
V 3 (SenA SenB SenC) 1 (Sen3A Sen3B Sen3C) 4 4 Respuesta: D) 0
Seguidamente, tendremos:
V 3Cos
A B C 3A 3B 3C Cos Cos Cos Cos Cos 2 2 2 2 2 2 Nivel difícil
A) SenA + SenB + SenC 3
(*) 3Sen Sen 4Sen3 Reemplazando dicha propiedad en el problema: 3 3 3 V 4Sen A 4Sen B 4Sen C 4 V = Sen3 A + Sen 3B + Sen3C
3
B) Sen A + Sen B + Sen C C) Sen2 A + SenB + Sen 2C D) Sen3 A + SenB + SenC
Respuesta: B) Sen 3 A + Sen 3 B + Sen 3 C
E) N.A. LIBRO UNI
Recordando, por teoría del triple, sabemos que: UNI
3
3SenA SenA 3SenB Sen3B 3SenC Sen3C V 4
Problema 3 Si: A B C , a que es igual:
58
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRIGONOMÉTRICAS DESARROLLO DEL TEMA I.
SUMA DE SENOS DE ÁNGULOS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Senx Sen(x r) Sen(x 2r) ... Sen(x (n 1)r) Sen nr 2 Sen (P U) 2 Sen r 2
2Sen(x 2r) Sen r Cos x 3r Cos x 5r 2 2 2
2Sen(x (n 1)r).Sen r Cos x n 3 2 2
r Cosx n 12 r
Sumando todos los términos en columnas, obtenemos:
Denominándose a: 2Sen r S Cos x r Cos x n 1 2 2 2
P = primer ángulo
r
U = último ángulo x n 1 r x r x n 1 r x r 2 2 2 2 r 2Sen .S 2Sen .Sen 2 2 2
r = razón de la progresión
n = número de términos
Demostración
2Sen r .S 2Sen (x) (x (n 1)r) Sen nr 2 2 2
Llamemos "S" a la suma de la serie de senos:
Hacemos los siguientes cambios:
S = Senx + Sen(x + r) + Sen(x + 2r) + ... + Sen[x + (n – 1)r]
2Sen r S 2Sen r [Senx Sen(x r) Sen(x 2r) ... 2 2 Sen(x (n 1)r)]
Cada término del segundo miembro vamos a transformarlo en una diferencia de cosenos, así: 2Senx Sen r Cos x r Cos x r 2 2 2
LIBRO UNI
Sen nr 2 Sen (P U) S 2 Sen r 2
Ejemplos:
1. Calcular la suma de la siguiente serie: S = Senx + Sen2x + Sen3x + ... + Sen nx
2Sen(x r) Sen r Cos x r Cos x 3r 2 2 2
Reemplazando: 2Sen r .S 2Sen P U Sen nr 2 2 2
Multiplicamos a ambos miembros por 2Sen r 2
P = x; U = x + (n – 1)r
Resolución:
Aplicamos la propieda d: 59
TRIGONOMETRÍA
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRIGONOMÉTRICAS
Exigimos más! Ejemplos:
Sen nr 2 Sen (P U) S 2 Sen r 2
1. Calcular la suma de la siguiente serie: S = Cos2x + Cos4x + Cos6x + ... + Cos2nx
Identificamos: P = x; U = nx; r = x
Resolución:
Reemplazamos:
Identificamos:
Sen nx 2 Sen x nx S 2 Sen x 2 Sen nx 2 Sen (n 1) x S 2 Sen x 2
P = 2x; U = 2nx; r = 2x
Sen nr 2 Cos (P U) S 2 Sen r 2
Sen n.2x 2 Cos 2x 2nx S 2 Sen 2x 2
2. Calcular la suma de la siguiente serie: S = Sen1 + Sen3 + Sen5 + ... + Sen45
S Sen(nx) Cos(n 1)x Senx
Resolución:
Sen nr 2 Sen P U S 2 Sen r 2
Sen23 2 2 Sen 1 45 S 2 Sen 1 2
2. Calcular la suma de la siguiente serie: S = Cos1 + Cos3 + Cos5 + ... + Cos31 Resolución:
Sen nr 2 Cos (P U) S 2 Sen r 2
Sen23 S Sen 1 Sen23 2 2 S Sen 23 Sen 1 2
Sen 16.2 2 Cos (1 31) S 2 Sen 2 2
II. SUMA DE COSENOS DE ÁNGULOS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Cosx Cos(x r) Cos(x 2r) ... Cos(x (n 1)r) Sen nr 2 Cos (P U) 2 Sen r 2
S Sen16 Cos16 Sen1 S 2Sen16 Cos16 2Sen1 S 2Sen32 2Sen1
Denominándose: P = Primer ángulo
III. PROPIEDADES
U = Último ángulo
1. Si A + B + C = 180°;
r = Razón de la progresión
se cumple:
n = Número de términos LIBRO UNI
60
TRIGONOMETRÍA
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRIGONOMÉTRICAS
Exigimos más!
Cos 4 x Cos 4 (60 x) Cos 4(60 x) 9 8
SenA SenB SenC 4Cos A .Cos B .Cos C 2 2 2 CosA CosB CosC 4Sen A .Sen B .Sen C 1 2 2 2
Cos 2 Cos 4 Cos 6 1 7 7 7 2
5.
Cos Cos 3 Cos 5 1 7 7 7 2
2. Si A + B + C = 360°; se cumple: SenA SenB SenC 4Sen A .Sen B .Sen C 2 2 2
Cos 2 .Cos 4 Cos 2 .Cos 6 Cos 4 .Cos 6 1 7 7 7 7 7 7 2
6.
CosA CosB CosC 4Cos A .Cos B .Cos C 1 2 2 2 3.
Cos .Cos 3 Cos .Cos 5 Cos 3 .Cos 5 1 7 7 7 7 7 7 2
Sen(x 120) Senx Sen(x 120) 0
Sen .Sen 2 .Sen 3 7 7 7 7 8
7. Cos(x 120) Cosx Cos(x 120) 0
Cos .Cos 2 .Cos 3 1 7 7 7 8
Tan(x 120) Tanx Tan(x 120) 3Tan3x 4.
Tan .Tan 2 .Tan 3 7 7 7 7
Sen2 x Sen2 (60 x) Sen2 (60 x) 3 2 Cos2x Cos 2(60 x) Cos 2(60 x) 3 2
16Sen5 x 10Senx 5Sen3x Sen5x
8.
Sen4 x Sen4 (60 x) Sen4 (60 x) 9 8
problemas
resueltos
Aplicando la fórmula, se tiene:
Problema 1
Calcular la suma de la serie: S = Sen1º + Sen2º + Sen3º + ... + Sen180º o A) cot 1 2
B) C) D) E)
16Cos5x 10Cosx 5Cos3x Cos5x
o sen 1 2 sen 1° cos 2° cot 180°
Resolución:
Identificamos: P = 1º ; U = 180º. r = 1°; n 180 1 1 180 1 LIBRO UNI
Problema 2
Determinar la suma de la serie: S = cos2° + cos4° + cos6° + ... + cos180° A) 1 B) –1 C) 90 D) cos1 E) cos90
sen180 1 2 sen (180 1) S 1 2 sen 2 S
S
S
sen90 sen 90 1 2 sen 1 2
Resolución:
Identificamos que: P = 2°, U = 180°
1 cos 1 2 sen 1 2
r = 2; n 180 2 1 90 2
o cot 1 2
Aplicamos la fórmula:
Respuesta: A) cot 1
2
61
o
sen90 2 2 cos 180 2 S 2 2 sen 2
TRIGONOMETRÍA
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRIGONOMÉTRICAS
Exigimos más! S sen90 cos(90 1) sen1
1 sen(1) sen1 S 1 S
Respuesta: B) –1
Problema 3
E = cos2 1° + cos2 2° + cos2 3° + ... + cos2 90°
LIBRO UNI
A) 89 C) 44,5 E) 44,3
B) 90 D) 50
2E = 90 +
cos 2 cos 4 cos 6 ... cos180 (1)problema anterior
2E = 90 – 1 E 89 2
Resolución:
Multiplicamos por 2 ambos miembros: 2E = 2cos 21° + 2cos 22° + 2 cos 23° + ... + 2cos290° 2E = 1 + cos2° + 1 + cos4° + 1 + cos6° + ... + 1 + cos180°
62
E
44, 5
Respuesta: C) 44,5
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: CÁLCULO DE LADOS Y ÁNGULOS
DESARROLLO DEL TEMA I. CONCEPTOS PREVIOS • •
•
Todo triángulo que no es rectángulo, es denominado triángulo oblicuángulo. Resolver un triángulo oblicuángulo consiste en determinar los elementos principales de esta figura (lados y ángulos), partiendo de algunos de ellos que deben ser conocidos (uno de ellos debe ser un lado). Dependiendo de los datos que se tenga en el triángulo, se pueden aplicar diferentes teoremas para poder resolver esta figura; siendo los teore mas fundamentales los siguientes: - Teorema del Seno - Teorema del Coseno - Teorema de las Tangentes - Teorema de las Proyecciones
II. TEOREMAS FUNDAMENTALES
De donde:
•
•
a 2RSenA b 2RSenB c 2RSenC
El teorema del seno se aplica cuando se conoce la medida de dos ángulos y la longitud del lado opuesto a uno de estos ángulos. El teorema del seno se aplica cuando se conoce la longitud de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de estos lados.
B. Teorema del coseno En todo triángulo oblicuángulo se cumple que el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados menos el doble producto de estos multiplicado por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
B A. Teorema del Seno En todo triángulo oblicuángulo se cumple que las medidas de sus lados son directamente proporcionales a los senos de sus respectivos ángulos opuestos, siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
B
O
A
a
A b C
=
b SenB
b
=
a2 b2 c 2 – 2bc CosA
b2 a2 c 2 – 2ac CosB
c 2 a2 b2 – 2ab CosC
De donde se tendrá:
c = 2R SenC
CosA R : Circunradio LIBRO UNI
a
R
c
a SenA
c
63
b2
c 2 – a2 2bc
TRIGONOMETRÍA
C
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: CÁLCULO DE LADOS Y ÁNGULOS
Exigimos más! 2 2 2 CosB a c – b 2ac
CosC
•
•
a2
B
b2 – c 2 2ab
c
El teorema del coseno se aplica cuando se conoce la medida de dos lados y la medida del ángulo comprendido entre ellos.
a
A
El teorema del coseno se aplica cuando se conoce la medida de los tres lados del t riángulo.
C. Teorema de las tangentes
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la diferencia de las medidas de dos de sus lados es a la suma de estas medidas, como la tangente de la semidiferencia es a la tangente de la semisuma de los respectivos ángulos opuestos a los lados considerados. B
C
b
a b CosC c CosB
b a CosC c CosA
c a CosB b CosA
III. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO C
c a
b
A
R
a
O
b
A
C
B A D
Tan A – B a–b 2 ab A B Tan 2
• •
Tan B – C b–c 2 bc B C Tan 2
•
a–c ac
Trazamos el diámetro CD, entonces: CD = 2R. Al unir el punto D con los vértices A y B se obtienen los triángulos rectángulos CAD y CBD donde se observa: m CDB = m A m CDA = m B CBD: a SenA a 2R 2R SenA
Tan A – C 2 A C Tan 2
•
64
•
CAD: b SenB b 2R 2R SenB
D. Teorema de las proyecciones En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la medida de un lado es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados multiplicados cada uno de ellos por el coseno del ángulo opuesto al otro. LIBRO UNI
B
R
En forma análoga se deduce que
c 2R ; finalSenC
mente se puede establecer que: a b c 2R SenA SenB SenC TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: CÁLCULO DE LADOS Y ÁNGULOS
Exigimos más!
IV. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO
•
Aplicando proporciones: a b SenA SenB a b SenA SenB ab ab
2Sen A B Cos A B 2 2 A B Cos A B 2Sen 2 2
a b Tan A B Cot A B } ab 2 2
•
Trazamos la altura CH, determinándose los triángulos rectángulos CHA y CHB.
• AH
ab ab
Tan A B 2 A B Tan 2
VI. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LAS PROYECCIONES
CHA: (Resolución de tr iángulo s) CH = bSenA
= bCosA
•
CHB: (Teorema de Pitágoras)
a2 (bSenA)2 (c bCosA)2 a2 b2Sen2A c2 b2Cos2 A 2bcCosA 2 a2 b2 (Sen A Cos2 A) c2 2bc.CosA 1
a2 b2 c 2 2bcCosA
• •
Para calcular el lado a, trazamos la altura AH. Se determinan los triángulos rectángulos AHC y AHB, en los cuales los lados b y c son sus hipotenusas. • Aplicando resolución de triángulos rectángulos en los triángulos determinados se tendrá: CH = bCosC HB = cCosB • En el triángulo ABC, se observa que: BC = CH + HB
V. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LAS TANGENTES • •
Sabemos por el teorema del seno que: a = 2RSenA b = 2RSenB Dividiendo se tendrá:
a 2RSenA a SenA b 2RSenB b SenB
problemas
resueltos
Resolución: 2Cos2x – 3 = 0
Problema 1
Resolver: 2Cos2x – 3 = 0 Indicar las 3 primeras soluciones.
A) C) E)
a bCosC cCosB
12 ; 1112 ; 1312 5 ; 6 ; 12 114 ; 2 ; 3
B) D)
LIBRO UNI
Cos2x = 3 2
IC IVC y
6 ; 2 ; 37 0; 12 ; 1312
0 x 2
2 -
2
x +y = 1
65
De la C.T. x= 2x = 6 12 11 11 x= 2x = 2 – = 6 6 12 13 13 x= 2x = 2 – = 6 6 12 11 13 ; C.S. = ; 12 12 12 Respuesta: A)
11 13 ; ; 12 12 12
TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: CÁLCULO DE LADOS Y ÁNGULOS
Exigimos más! Problema 2
Problema 3
Resolver:
De la figura, calcular "x"
Tan3x + 3 = 0, indicar la suma de las 2 primeras soluciones positivas. A) 100º B) 120º C) 140º D) 1 60 º E) 80º
Tan3x = 3
Resolución:
De la C.T.
Tan3x = – 3
IIC IVC
Para resolver se ubica en la C.T. el arco para el cual la tangente es igual a 3 y se toma como referencia este valor para encontrar los arcos donde la tangente es ( – 3) .
LIBRO UNI
Tan60°
=
3
3x = 180° – 60° x = 40°
3x = 360° – 60 x = 100°
19
B)
21
D)
17
E)
13
+ 100° = 140°
Respuesta: C) 140º
66
C)
15
Resolución: Por ley de cosenos: x2 = 32 + 52 – 2(3)(5)Cos60 x 2 = 34 – 2(15)
Incógnita 40°
A)
x2 = 19
1 2
x = 19 Respuesta: A)
TRIGONOMETRÍA
19
TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: CÁLCULO DE ELEMENTOS INTERIORES Y ÁREAS
DESARROLLO DEL TEMA I.
ÁNGULO MITAD EN EL TRIÁNGULO En esta parte expresaremos las razones trigonométricas del ángulo mitad de un triángulo en función su semiperímetro y sus lados. Sabemos que en todo ABC : O° < A, B, C < 180° Entonces se reduce que: O A , B , C 90 2 2 2 Como: 2 2 2 Sen A 1 cos A Cos A b c a 2 2 2bc 2 2 2 2 2 Sen A 1 1 b c a Sen A a (b c) 2 2 2bc 2 4bc
Sen A (a b c) (a c b) 2 4bc Como: a + b + c = 2p
Sen A (2p 2c) (2p 2b) Sen A (p b) (p c) 2 4bc 2 bc
II. SEMIPERÍMETRO EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO Y LOS ÁNGULOS DEL TRIÁNGULO
Se deduce en forma análoga el " os A " 2 Como:
En todo triángulo ABC se sabe que: a = 2R SenA, b = 2R SenB y c = 2R SenC; además: 2p = a + b + c.
2 2 2 Cos A 1 cos A Cos A b c a 2 2 2bc
Reemplazando los lados a, b y c en "2p" se tendrá: 2p = 2R SenA + 2R SenB + 2R SenC 2 p 2 R (SenA SenB SenC)
Cos A p(p a) 2 bc
4 Cos A Cos B Cos C 2 2 2
Observación
En base a estos cálculos se puede establecer un triángulo rectángulo en el cuál se determinarán las razones trigonométricas de c ada ángulo mitad del triángulo. LIBRO UNI
67
p 4R Cos A Cos B Cos C
2
2
2
TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: CÁLCULO DE ELEMENTOS INTERIORES Y ÁREAS
Exigimos más!
III. INRADIO EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO Y LOS ÁNGULOS DEL TRIÁNGULO
V. LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO A. Alturas (hK)
ha 2S hb 2S hc 2S a b c S : Área de la región triangular ABC.
En el ABC , se observa: r Cot B Cot C a 2 2 A C r Cot Cot b () 2 2 r Cot A Cot B c 2 2 b c 2r Cot A Cot B Cot C a 2 2 2 2p
B. Medianas (mK)
Cot A Cot B Cot C B 2 2
2 rCot A Cot B Cot C 2 p 2 2 2
2 m2a a bc .Cos A 4
Pero:
2 m2c c ab .Cos C 4
p 4R Cos A Cos B Cos C r Cot A Cot B Cot C 2 2 2 2 2 2
Otra forma para la mediana:
A B C 4RCos Cos Cos 2 2 2
4 m2a b2 c 2 2bc . CosA 4 m2b a2 c2 2ac .CosB
A B C r 4R Sen Sen Sen 2
2
2 mb2 b ac . Cos B 4
2
4 m2c a2 b2 2ab. CosC
IV. FORMAS TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
C. Bisectriz interior (V K)
SABC bc SenA ac SenB ab SenC 2 2 2 SABC 2R 2 SenA SenB SenC
SABC r 2 Cot A Cot B Cot C 2 2 2 SABC p2 Tan A Tan B Tan C 2 2 2 V A 2bc . Cos A 2 bc
SABC 4Rr Cos A Cos B Cos C 2 2 2 SABC 4pR Sen A Sen B Sen C 2 2 2 LIBRO UNI
VB 2ac .Cos B 2 ac
VC 2ab . Cos C 2 ab 68
TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: CÁLCULO DE ELEMENTOS INTERIORES Y ÁREAS
D. Bisectriz exterior (
Exigimos más!
)
S bc SenA ac SenB ab SenC
2
2
2
Demostración:
V A' 2bc bc
A .Sen 2
VB' 2ac ac
B . Sen 2
VC' 2ab .Sen C 2 a b
• Trazamos la altura BH, determinándose los triángulos rectángulos BHA y BHC. •
VI.ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR El área de la región triangular es igual al semiproducto de las medidas de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo comprendido entre dichos lados.
BHA: (Resolución de Triángulos) BH c.SenA
•
ABC: (Por Geometría) S (AC)(BH) (b)(c.SenA) 2 2
problemas
S bc SenA 2
resueltos
Problema 1
La figura representa un prisma exagonal regular de arista a y altura 8 a. Entonces el ángulo de la figura mide: UNI 2008 - II Nivel fácil
A) arc Cos 8 11a
a a
B
a 3
A
B)
arc Cos 19 22a
C) arc Cos 3 8
a 8
D) arcCos 19 22
D
a 3 C
E) arc Cos 8 11
Se pide "" •
Resolución:
El triángulo ABC es isósceles. (AC = BC)
• AB es diagonal del hexágono regular
AB a 3 . LIBRO UNI
69
TRIGONOMETRÍA
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: CÁLCULO DE ELEMENTOS INTERIORES Y ÁREAS
Exigimos más!
•
En el
ADC:
AC
2
2
a 8 a 3
2
En el 2
a 3
ABC: (Ley de Cosenos) 2
2
a 11
2
a 11
S = S ABD + SBCD
4kCot2 4Cot 7
2
.Cos
Entonces: Cos 19 arccos 19 22 22 19 Respuesta: D) arccos 22
Luego: S ad bc SenA .. (1) 2
6Cot2 7Cot 2 0
Aplicando ley de cosenos en el ABD y BCD con el objetivo de calcular las diagonales:
BD2 = a2 + d2 - 2adCosA
.. . (2)
BD2 = a2 + d2 - 2a dCosA
BD2 b2 c 2 2bcCosA
... (3)
BD2 b2 c 2 2bc CosC
donde AH es la altura relativa al lado BC (H BC); calcule la cotangente del ángulo C. UNI 2004 - II Nivel intermedio
97 7 12
E)
97 7
... (2)
CosA
BD2 b2 c 2 2bcCosA
m B 2m C y 7(AH) = 4(BC),
97 7
Cot 7 49 48 Cot 7 97 12 12
Respuesta: B)
En un triángulo ABC se tiene:
C)
pero A + C = 180° SenA = SenC
6Cot 2Tan 7
Problema 2
A)
S ad SenA bc SenC 2 2
4 Cot Tan 4Cot 7 2
entonces: AC a 11 •
Para el cuadrilátero ABCD:
4 kCot 2 4 kCot 7 k
B) D)
97+7 12
De las ecuaciones (2) y (3): a2 + d2 – 2adCosA = b 2 + c2 + 2bcCosA
Problema 3
En un cuadrilátero inscriptible ABCD de área S, con circunradio R.
Simplifique la siguiente expresión: k (ab cd)(ac bd)(ad bc)
2 2 2 2 CosA a d b c 2(ad bc)
Evaluando en (2) UNI
97 7 12 97 7 4
... (3)
Nivel difícil
A) 4 RS C) 10 RS E) 12 RS
B) 2 RS D) 3 RS
2 2 2 2 BD2 a2 d2 2 ad a d b c 2 (ad bc)
Reduciendo: BD2 (ab cd)(ac bd) ad bc
Resolución: Resolución:
para: BD = 2RSenA BD 2R 2S ad bc Luego: k = 4RS
Respuesta: A) 4 RS
LIBRO UNI
70
TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS : DOMINIO Y RANGO DESARROLLO DEL TEMA DEFINICIÓN
C.
Las funciones trigonométricas son el conjunto no vacío de pares ordenados (x; y) tal que la primera componente es un valor angular expresado en radianes (número real) y la segunda componente es el valor obtenido mediante una dependencia funcional. A.
Función tangente
f (x; y) 2 / y Tanx; x (2n 1) ;n 2
Función seno
f
(x; y)
2
/y
Senx; x
Luego:
omf (2n 1) / n Z 2
Ranf Periodo de f es . Luego:
D.
Domf Ranf
[ 1;1] es decir 1
Senx
Función cotangente
f (x; y) 2 / y Cotx, x {n };n
1
Periodo de f es 2. B.
Función coseno
f (x; y) 2 / y Cosx; x
Luego: omf {n / n }
Ranf Periodo de f es . Luego: E.
Domf Ranf [–1;1] es decir 1 Cosx 1
f (x; y) 2 / y Secx; x (2n 1) ;n 2
Periodo de f es 2. LIBRO UNI
Función secante
71
TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS : DOMINIO Y RANGO
Exigimos más! F.
Función cosecante
f (x; y) 2 / y Cscx; x {n };n
Luego:
Domf (2n 1) / n 2
Luego: Domf n / n Ranf 1;1 Periodo de f: 2.
anf 1;1
Periodo de f: 2.
problemas
resueltos
Problema 1
Si f(x) = aSenkx, g(x) = a Cos kx son funciones cuyas gráficas se muestran en la figura adjunta. Calcular las coordenadas en el punto P.
Luego: 3x 0 ó 3x 0 5 4 4 No olvidar que y 0 es negativo.
Problema 3
Si: 3x 0 y 0 2sen y 0 2 4 4 (No se acepta esta solución)
Si: 3x0 5 y0 2sen 5 y0 2 4 4 (Si)
5 ; 2 Las coordenadas de P : 12
Respuesta: B) 5 ; 2 12 UNI 1989 Nivel fácil
A) ; 2 3 C)
2 ; 2 3
E)
5 ; 2 3
B)
5 ; 2 12
D) 5 ; 2 2 12
Resolución: • P está debajo del eje "x" ordenada negativa. • Las funciones tienen como periodo 2 y su máximo valor es 2. 3 a 2 f (x) a senkx 2 2 f (x) 2sen3x k 3 K 3 g(x) 2 cos 3x
ComoP f(x) y0 2sen3x0 2Sen3x0 2Cos3x0 ComoP g(x) y0 2cos 3x0 tg3x 0 1
LIBRO UNI
Si f(x) Cos(Cosx) es de periodo T 1 y g(x) = sen 4x es de periodo T 2, entonces el valor de T 1 + T 2 será: UNI 1991 Nivel difícil A)
2
B)
C)
3 2
D) 2
E)
5 2
Resolución: Problema 2
¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la función f(x) = sen(x – 90°) en el intervalo [0; 72°]? UNI 1986 Nivel intermedio
A) Sen (–20°) C) –1/2 E) – Se n18°
B) –1 D) –0,55
Dada una función H(x) se denomina periodo al menor número, T (T > 0) tal que: H(x + T) = H(x) x que pertenece al dominio de la función. Entonces: f(x) cos ( cos x) f(x T1 ) cos ( cos (x T1 ))
Igualando, se deduce que: T1
Resolución: Como: 0 x 72 90 x 90 18 sen(90) sen (x 90) sen ( 18) 1 sen (x 90) sen18 1 f(x) sen18
Respuesta: E) –Sen18° 72
g(x) sen 4x 4 g(x T2 ) Sen (x T2)
Igualando, se deduce que: T2 Luego: T1 T2 2 Respuesta: D) 2 TRIGONOMETRÍA
TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: PERIODOS DESARROLLO DEL TEMA I. FUNCIÓN PERIÓDICA
III. PROPIEDAD PARA CALCULAR PERIODOS
F es periódica si existe un número T se cumple: F(x T)
F(x)
0 para el cual
x (x T) DF
A . Para calcular el periodo mínimo de funciones de la forma: F(x) A B rtn (x ), solo se toma en cuenta la naturaleza del exponente (n {0}) y del coeficiente angular ( ). Presentándose los siguientes casos:
Al menor valor positivo de T de se llama periodo mínimo de F o simplemente periodo de F y todo múltiplo entero de este valor (nT) será también periodo de F; es decir:
•
Si: rt es seno, coseno, secante o cosecante. Exponent e impar
Si: F(x T) F(x)
F(x nT)
F(x)
T: periodo
nT: periodo
mínimo de F
general de F
n {0}
TF
•
II. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL PERIODO Una función es periódica si su gráfica se repite completamente cada cierto intervalo de valores de su variable independiente (x); siendo la amplitud de este intervalo el periodo mínimo de la función.
2 | |
TF
TF
Exponente par o impar
| |
| |
Aplicaciones
1. F(x)
Sen(4x)
2x
3. F(x)
Tan3
4. F(x)
Sec3 3x 4
5. F(x)
Cot 4
TF
TF
TF
2 4
TF
2x
TF
2 3
1 2
2 3 4
2 3 2
2
8 3 2
2
En la figura se observa que F es periódica ya que su gráfica es repetitiva, su periodo mínimo es T y además se cumple:
LIBRO UNI
Si: rt es tangente o cotangente
2x 2. F(x) Cos 4 3
F(x) F(x T) F(x 2T)
Exponent e par
IV. DETERMINACIÓN DE PERIODOS Se aplica la definición.
... F(x nT)
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TRIGONOMETRÍA
