trigonometria basica- 2011

Manual de curso

M en C Martin Cortes Perez

Tecnologico de la construccion-campus Cd.Mexico

Manual de curso

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA .

OBJETIVO: que el estudiante desarrolle sus habilidades del pensamiento, como son: razonamiento, analisis y reflexión a traves de una relación de los conocimientos de aritmética, algebra, geometría y trigonometría para resolver problemas de situaciones cotidianas y técnicas

CONTENIDO: I. II. III. IV. V. VI. VII.

LOGARITMOS ECUACION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA ANGULOS TRIANGULOS. CIRCUNFERENCIA. CUADRILATEROS. TRIGONOMETRIA.

PROLOGO. Con el objetivo de facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje de la asignatura de “geometría y trigonometría” en el nivel medio superior y en base a la experiencia adquirida en los cursos impartidos, este material didáctico, pretende ayudar y facilitar la comprensión de la asignatura. Cabe mencionar que para su elaboración nos apoyamos en diferentes textos y trabajos relacionados con l a materia. que en la bibliografía se señalan. Si las críticas de este material son transmitidas por alumnos y profesores que lo utilicen o revisen, esto permitirá mejorar el presente trabajo con el objetivo de elevar el aprovechamiento escolar de alumnos y futuras generaciones.

Todo aprender no es más que vencer un obstáculo…. Todo aprendizaje no M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso es más que el resultado del esfuerzo de superarse a sí mismo venciendo Obstáculos.

LOGARITMOS Y ECUACIONES. LOGARITMO. Introducción. Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. Ahora queremos proceder en forma inversa. Partiendo de y, ¿cómo podemos determinar a x? Por ejemplo: si

8 = 2x, ¿cuál es el valor de x?

si 100 = 10x, ¿Cuál es el valor de x? Pero la mayoría de las ecuaciones exponenciales (función exponencial) soluciones tan evidentes.

no tienen

Definición: Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a es diferente de uno, entonces logay = x si y sólo si y = ax. Nota: La ecuación logay = x , se lee "el logaritmo de y en la base a es x". Ejemplos: 1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25 ?. Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que "el logaritmo de 25 en la base 5 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que. log5 25 = 2 es equivalente a 52 =25. 2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3. 2) ¿A qué exponente hay que elevar la base 7 para obtener 49 ?. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Al exponente 2, ya que 72 = 49. Decimos que "el logaritmo de 49 en la base 7 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log7 49 = 2. De manera que. Log7 49 = 2 es equivalente a 72 =49.

3) ¿A qué exponente hay que elevar la base 9 para obtener 81?. Al exponente 2, ya que 92 = 81. Decimos que "el logaritmo de 81 en la base 9 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que. Log9 81 = 2 es equivalente a 92 =81.

4) ¿A qué exponente hay que elevar la base 3 para obtener 81 ?. Al exponente 4, ya que 34 = 81. Decimos que "el logaritmo de 81 en la base 3 es 4". Simbólicamente lo expresamos de la forma log3 81 = 4. De manera que. Log3 81 = 4 es equivalente a 43 = 81. De los ultimos ejemplos nos damos cuenta que un numero puede tener diferentes logaritmos, según la base que se tenga, por la definición de este concepto. Para nuestro curso, logaritmos:

únicamente

utilizaremos

los

siguientes

tipos

de

a) Los logaritmos de base 10 los cuales reciben cualquier de los siguientes nombres: Decimales, Vulgares, Ordinarios o de Bringgs b) los logaritmos de base “e” los cuales reciben cualquiera de los siguientes nombres: M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Neperianos , Naturales ,de base “e “ (e=2.718) A las expresiones de la forma N= a

x

Log

N =2 Se les llama expresiones logarítmicas.

x

…..Se les llama expresiones exponenciales.

Ejemplos: Expresiones logarítmicas. 1.-log3 9=2 2.-log6 36=2 Expresiones exponenciales 9=32 8=23

Ejercicios-1: Transformar las siguientes expresiones logarítmicas a exponenciales: Log3 27=3 ________________ Log4 32= 5/2 _________________ Log1/4 1/8=3/2 __________________ Transformar las siguientes expresiones exponenciales a logarítmica 27273=9 __________________ 72=49 ____________________ 53=125 ____________________ LOGARITMOS DECIMALES. Los logaritmos decimales constan de una parte entera llamada característica, la cual puede ser positiva o negativa, y una parte decimal llamada mantisa la cual es siempre positiva Calculo de la característica: 1.- La característica de los números comprendidos entre 1 y 10 es cero. Por Ejemplo: Características del logaritmo de 9=0 “ “ “ “2.32=0 “ “ “ “8.98=0 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso “

“

“

“4.88=0

2.-Las características de un número igual o mayor de diez es positivo o igual al número de cifras enteras menos uno. Por ejemplo: Características del logaritmo 25.88=1 “ “ “ 4832.3=3 “ “ “ 525.9=2 “ “ “ 10.0=1. 3.- La características del logaritmo de un numero menor que uno expresado en forma de fracción decimal siempre será negativa y su valor absoluto será el lugar que ocupe la primera cifra significativa va a la derecha del punto decimal. a) Característica del logaritmo 0.2582 es 1 b) “ “ “ 0.088es 2 c) “ “ “ 0.000035es 5 En el inciso a) la característica es, 1, ya que la primera cifra significativa (2) ocupa el primer lugar a la derecha del punto. En el inciso b) la característica es 2, ya que la primera cifra significativa (8) ocupa el segundo lugar a la derecha del punto. En el inciso c) la característica es 5, ya que la primera cifra significativa (3) ocupa el tercero lugar a la derecha del punto decimal. Ejercicio-2: Determinar la característica del (comprueba con la calculadora) 885.2 25.45 0.00842 523 5223 945.2 0.0000025

logaritmo

de

los

siguientes

números

________ ________ ________ ________ ________ ________

Determinación de la mantisa. Habíamos dicho anteriormente que la mantisa es la parte decimal del logaritmo, para determinarla, nos valemos de las tablas de los logaritmos. Procedimiento para obtener la mantisa. (utilizando la calculadora o tablas de logaritmos de Arquímedes Caballero - anexoA) Ejemplo: hallar el logaritmote 82.51 La característica es 1. Para hallar la mantisa prescindimos del punto decimal, por lo tanto, buscamos la mantisa de 8251. En la primera columna de la izquierda encabezada por N, localizamos el número 82y, en el cruce en este renglón con la columna 5 se M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso halla la mantisa .9165 por el mismo renglón se continua hasta llegar a las partes proporcionales encabezadas por 1, que es la cuarta cifra del numero al cual se le va a extraer logaritmo y en el cruce encontramos el numero 1. Este último número la lo sumamos al numero 9165 Así .9165 ____1_ _ .9166 De donde: Log 82.51=1. 9165 Ejemplo: Hallar el logaritmo de 8.825 Log 8.825= 0.9457 Hallar el logaritmo de 432.1 Log 432.1= 2.6356 Ejercicio-3 hallar el logaritmo de los siguientes números, utiliza las tablas (comprueba con la calculadora tus resultados). 845.2 6.3514 0.0032 0.2584 25.84 499.2 258.4 0.000238 0.0002584

________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________

ANTILOGARITMOS. Si a un número se le extrae logaritmo ese número será el antilogaritmo del segundo. Ejemplo: Log 25.82= 1.4159 Antilogaritmo de 1.4119= 25.82 Para extraer el antilogaritmo de un número (se utiliza tablas de antilogaritmos.) El antilogaritmo se determina únicamente con la parte decimal del número, ya que la parte entera nos servirá únicamente para localizar el punto decimal. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Ejemplo: Antilogaritmo de 2.4489 Nota: Utilizando las tablas de Arquímedes caballero. En la primera columna de la izquierda encabezada por m localizamos el numero .44 y, en el cruce de este renglón con la columna 8 (tercera cifra de la característica) se halla el numero “2805” por el mismo renglón se continua hasta llegar a las partes proporcionales encabezadas por 9 que es la cuarta cifra del número al cual se le va a extraer antilogaritmo y en el cruce encontramos el numero 6 este último número se lo sumamos a 280, así: 2805 + 6 ______ 2811 Para determinar el número de cifras enteras (o sea, la característica del numero al cual se le va a extraer antilogaritmo) le sumamos uno.asi tenemos. Antilogaritmo de 2.4489=281.1 Ejercicio- 4 determine los antilogaritmos. (utiliza la calculadora) Antilogaritmo de 1.2484=_____________ Antilogaritmo de 6.1912=_____________ Antilogaritmo de 3.1700=_____________ Antilogaritmo de 2.513= ______________ Antilogaritmo de 1.1320=______________ Antilogaritmo de 4.9329=______________

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS. 1.- el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores Log A.B =Log de A + Log B Ejemplo: Por medio de logaritmos efectuar la siguiente operación (3)(4) Log (3) (4) =Log 3 +Log4 = (0.4771)+ (0.6021)= 1.0792 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Antilogaritmo de 1.0792 =12.0000 (para comprobar nuestra operación) Ejemplo: Utilizamos logaritmo resolver la siguiente operación (2.845) (-0.002311) (845.2) Nota; Como no hay logaritmos de de números negativos sacamos el logaritmo de 0.002311 como si fuera un numero positivo y al final colocamos el signo aplicando la regla de los signos Log (2.845) (0.002311) (845.2)= Log 2.845 + Log 0.002311 + Log 845.2= _ 0.4541 + 3.3638 + 2.9270 = 0.7449 Antilogaritmo 0. 7449=5.558 Ejercicio-5 Efectuar las siguientes operaciones utilizando los siguientes logaritmos. (0.0238) (345) = (2385) (32.25) = (6.285)(0.02382) = (2.32) (0.023) (842) = (4.8520) (0.1211) (238)

_____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ = ___________________________________________

El logaritmo de un coeficiente es igual al logaritmo del dividendo manos el logaritmo del divisor. Log A/B= Log A – Log B Ejemplos: Por medio e logaritmos efectuar la siguiente división 35/5 Log 35/5 =Log 35- Log 5 Log 35/5 = (1.5441) – (0.6990) Log 35/5 =. (451 Antilogaritmo .8451 =7.0000 Ejemplo: Por medio de logaritmos efectuar la siguiente división 2.68/33.2 Log 2.68/33.2 =Log 2.68- Log 33.2 “ “ = 0.4281-1.5211 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso La diferencia anterior se puede efectuar pero obtenemos un resultado negativo (ya que el minuendo es menor que el sustraendo) Como no es posible obtener antilogaritmo de mantisas negativas , evitando este problema sumando 10 -10ª .4281 10.4281- 10 10.4281-10 1.5211 __________ 8.9070-10 =2.9070 Antilog: 2.9070= 0.08072 Ejercicio-6 Efectuar las siguientes operaciones utilizando logaritmos decimales: 0.4200/2.2120 = ________________________________________________ 34500/88.32

= ________________________________________________

0.032/0.2132

= ________________________________________________

1.223/17.32

= _________________________________________________

25.32/2.940

= _________________________________________________

0.0238/ 0.112 = ________________________________________________ c) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Log Ax= x Log A Ejemplo: Calcular por medio de logaritmo la siguiente operación Log52=2Log 5 =2(0.6990) Log52=1.3980Antilog 1.3980=25.0000

Ejemplo: utilizando logaritmos resolver. (00015)2 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Log (0.0015)2=2Log 0.0015=2 (3.1761) Para efectuar esta multiplicación se separara la característica de la mantisa. _ _ 2(3. + .1761) =6 + .3522 Juntándolos nuevamente tenemos: 6.3522 _ Antilogaritmo de 6.3522=0.00000225 Ejercicio-7 utilizando logaritmos resolver las siguientes operaciones.(utiliza la calculadora) (2325)2 ____________________________________________ (4.25)5.2 ____________________________________________ (432.8)12 ____________________________________________ (0.0025)3 ____________________________________________ (0.02388)2.5 __________________________________________ (0.2532)4.85 ___________________________________________ c)El logaritmo de una raíz enésima es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida entre el índice de la raíz. Log n√A = Log A /n Ejemplo: Utilizando logaritmos efectuar la siguiente operación Log

3

√8 = log 8

3√8

/3 = 0.9031/3 =0.3010

Antilogaritmo de 0.3010 = 2.0000 Ejemplo: Efectuar la siguiente operación utilizando logaritmos 5 √0.025 Log 5√0.025 = Log 0.025 / 5 = 2.3979 /5 Para efectuar ésta división se separa la característica de la mantisa. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso 2

+

.3979 / 5

Ahora tratamos de que la característica de (2) sea exactamente divisible entre el divisor (5). Esto se logra sumando al dividendo -3 +3 _ 2 – 3 + 3.3979 / 5 _ 5 + 3.3979 / 5 Separando los numeradores tenemos: _ 5 / 5 + 3.3979 / 5 _ _ 1 + 0.6795 = 1.6795 _ Antilogaritmo de 1.6795 = 0.4780 Ejercicico-8 Efectuar las siguientes operaciones utilizando logaritmos.(utiliza la calculadora) 3

√0.02312 ____________________

4

√2382=

____________________

√4.220=______________________

√82240 =________________________

6

5

√1976=________________________ √7586=________________________

12

Obtención de logaritmos de cualquier base a partir de logaritmos decimales. Sea:

N = ax ________________(1)

Transformando la expresión (1) a forma logarítmica: Loga N = x _____________(2) Determinando el logaritmo de la expresión (1) con base (b) Obtenemos: Log ∙ b N = Log ∙ b ax Log ∙

b

N = x Log ∙ b a ________(3)

Despejando a (x) de la expresión (3) tenemos: x = log∙

b

N / log∙ b a


________(4)


Manual de curso Sustituyendo (4) en (2) Log∙

b

N = log∙

b

N / log∙ b a

Podemos considerar que : N = A cualquier número a = a cualquier base b = base diez Así: Log∙ a N = log ∙10 N / log ∙10 a Ejemplo: Calcular el logaritmo de 215 con base 3 a partir de logaritmos con base 10 Log ∙ 3 215 = log ∙

10

215 / log ∙

10

3

log ∙ 3 215 = 2.3324 / 0.4771 log ∙ 3 215 = 4.888 Calcular el logaritmo de 236 con base siete a partir de logaritmos decimales. Log ∙

7

236 = log ∙

10

236 / log ∙

log ∙

7

236 = 2.3729 / 0.8451

log ∙

7

236 = 2.808

10

7

Ejercicios-9 Obtener los logaritmos de los siguientes números utilizando logaritmos decimales. log ∙

3

84.25

log ∙

9

2.150

log ∙

5

445.2

log ∙

8

7724

log ∙

2

365.9



Manual de curso log ∙

6

.0079

Determinación de los logaritmos naturales (Base “e “ ) a partir de logaritmos decimales Log ∙

e

N = log ∙10 N / log ∙10 e

Pero sabemos que: Log ∙

e

N = Log

10

e = 2.718 N / Log ∙10 2.718

Log. 10 2.718 = 0.4343 Log 10N/0.4343 Log

N= 2.30 Log

. e

N

. 10

La formula anterior nos sirve para determinar logaritmos naturales a partir de logaritmos decimales. Ejemplo: calcular el logaritmo natural de 28.45 a partir de logaritmos decimales. Log.e 28.45= 2.30 Log Log

28.45

10

28.45 =1.4145

10

Log.e 28.45 = (2.30) (1.451) Log.e 28.45 = 3.3214 Nota: El logaritmo natural o neperiano se puede representar así: (Log .e): (In) o (Log.2.718) Ejemplo: Calcular el logaritmo natural de 825 a partir de logaritmos. Log

. e

825= 2.30 Log10825

Log.10 825 = 2.9165 Loge 825 = (2.30) (2.9165) Log.e 825 = 6.7080



Manual de curso Ejemplo: Calcular los logaritmos naturales de los siguientes números a partir de logaritmos decimales. Log.e 23.67 Log.e 4.567 Log.e 0.00345 Log.e 67.45 Log.e 7.865 Log.e 48.62

1.- Resolución de operaciones combinadas (multiplicaciones, divisiones, raices, y potencias) utilizando logaritmos.Resolver las siguientes ecuaciones utilizando logaritmos. 457/ (3√228) (√16.5) Sacando logaritmos 457/ (3√228) (√16.5) = Log∙457 - Log (3√228) (√16.5) =Log∙457- Log (3√228)+ (√16.5) =Log∙457- Log (Log 228/3) +(Log16.5/2) =Log∙457= 2.6599 =Log∙288=2.3579 =Log∙16.5=2.2175 Substituyendo os valores tenemos; (2.6599)-(2.3579/3+2.2175/2) (2.6599)-(0.7859+0.6087) = (2.6599)-(1.3946) = 1.2653 Sacando el Antilogaritmo de 1.2653 = 18.42 (comprobación) 2.-Resolver la siguiente operación utilizando logaritmos: (21.71) (28.65)/ (396.4)(1.401) Determinando logaritmos Log (21.71) (28.65)/ (396.4)(1.401) M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Log (21.71) (28.65)- Log (396.4)(1.401) Log (21.75+28.65)-(Log396.4+Log 1.401) Log21.75= 1.3367 Log 28.65= 1.4576 Log 396.4= 2.5981 Log 1.4010= 0.1464 Substituyendo tenemos los valores (1.3367+1.4576)-(2.5981+0.146) (2.7943)-(2.7445)=0.0498 Antilogaritmo.- 0.0498= 1.121 4.- Efectuar la siguiente operación utilizando logaritmos: [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)]1/2 Determinando los logaritmos Log [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)]1/2 ½ Log [(8264) (.311)/ (2.351) (28.6)] ½ Log [(8264) (.311)- (2.351) (28.6)] ½ Log [(8264)+ (.311)- (2.351)+ (28.6)] Log8264=3.9172 Log0-311= 1.4928 Log2.351=0.3713 Log28.6= 1.4564 5.- ½[(3.9172+1.4928)-(0.3713+1.4564)= = ½[(3.4100)-(1.8277)] ½[1.5823]= 1.5823/2= 0.7911 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Antilogaritmo 0.7911= 6.182

6.- Resolver las siguientes operaciones utilizando logaritmos: 1.-

(√325) (225)3/ (445)(0.0048)=

2.-

(278)4(5√3.04) =

3.-

278/ (3√o.2875) (372)5=

4.-

(842)3 (5√2.25)=

ECUACIONES EXPONENCIALES Se le llaman ecuaciones exponenciales aquellas en que la incógnita aparece como exponente. Son ejemplos: 2x+1 = 8 3x = 7 3x+1 = 5x-2 Generalmente las ecuaciones exponenciales se resuelven mediante el uso de las propiedades fundamentales de los logaritmos. Resolver la siguiente ecuación. 16x+1

= 15

x+3

Sacamos logaritmos al primero y segundo miembro de la igualdad. Log 16x+1 = 15

x+3

(x+1) Log 16 = (x+3) Log 15 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Pasamos al primer miembro de la igualdad cada uno de los términos que contenga la incógnita y al segundo al que no la contenga: x Log16-x Log 15 = 3 Log 15-Log 16 Sacamos a (x) como factor en el primer miembro de la igualdad. X(Log 16 Log 15) = 3 Log 15 – Log 16 Despejando a (x) tenemos : x+ 3 Log 15 – Log 16 / Log 16 – Log 15 determinamos los logaritmos de : Log 15 = 1.1761 Log 16 = 1.2041 Substituyendo tanemos : X=3 ( 1.1761) – (1.2041) / ( 1.2041) – ( 1.1761) X= 1.1761 – 1.2041 / 1.2041 – 1.1761 X = 2.3242 / 0.028 X = 85 Resolver la siguiente ecuación : 5x2- 3 =5x2 Sacamos logaritmo al primero y segundo mimbro de la igualdad: Log 5x2 – 3 = Log5x2 (x2-3) Log 5 = (2x) Log 5 Pasamos al segundo miembro Log 5: x2-3 = (2x) Log 5 / Log 5 x2 – 3 = 2x x2-2x-3=0 Llegamos a una ecuación de la forma ax2+b+∙ c= 0 La cual se puede resolver por: a) Factorizando M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso b) Utilizando la fórmula general: X= -b +- √b2 - (4) (a) (c) / 2a c) completando el trinomio cuadrado perfecto. Resolución de la ecuación utilizando la fórmula general: X= -b+- √b2 - (4) (a) (c) / 2ª X2-2x -3 = 0 Obtenemos. A=1, B= -2 , C=-3 Sustituyendo tenemos los valores: X=-(-2)+-√ (-2)2 – (4) (1) (-3) / 2 (1) X= 2 +- √4 12 / 2 X= 2+-√16 / 2 x= 2 +-4 / 2 X1= 2+-4 / 2 X1= 2+-4 / 2 = 6 / 2 = 3 X1= 3 X2= 2- 4 / 2 = -2 /2 =-1 X2 = -1 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2x-y = 5---------------1 X + 2y = 3------------2

Para la ecuación (1) tenemos: 2x-y = 5 Log 5= 0.6990 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Log 2= 0.3010 x-y = 0.6990/ 0.3010 x-y = 2.322-----3 Resolviendo las ecuaciones (2) (3) X+ 2y 0 3 -------------- (2) x-y= 2.322--------------- (3) Ecuaciones de este tipo ya sabemos que las podemos resolver por: a) suma o resta b) por igualación d) por sustitución Resolviendo por suma o resta multiplicamos la ecuación (3)por (-1) -1 (x-y) = -1 (2.322) -x+y = -2.322 Resolviendo las ecuaciones tenemos: x+2y=3 -x+y = -2.322 ____________ 3y= 0.678 Y=0.678/3 Y=0.226 Substituyendo y= 0.226 en la ecuación (2) tenemos: x+2y= 3 x+2(0.226) = 3 x+0.452= 3 x= 3 – 0.452 x= 2.548 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 5x-2y = 100 ---------------- (1) M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso 32x-y = 10 ----------------- (2) ________________________ Transformando la ecuación (1) a la forma lineal tenemos: 5x-2y = 100 Log5x-2y = Log100 (x-2y) Log 5 = Log 100 x-2y = Log 100 ________ Log 5

Si, tenemos que. Log 100 = 2.0000 ______ Log 5= 0.6990 sustituyendo x-2y = 2.8614------------- (3) Transformando la ecuación (2) a la forma lineal tenemos : 32x-y = 10 Log32x-y = Log 10 (2x-y) Log3 = Log 10 2x-y = Log 10/ Log 3 Log 10 = 1.0000 Log3 = 0.4771 2x-y 1.0000/0.4771 2x –y = 2.093----------- (4) Resolviendo las ecuaciones (3) y(4) x-2y= 2.8614 ----------- (3) 2x –y = 2.093------------ (4) M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Multiplicando por (-2) la ecuación (3): -2 (x-2y) =-2(2.8614) -2x +4y = -5.7228 Sumando con la Ec-4, tenemos: -2x+4y = -5.728 + 2x -y = 2.0930 _______ 3y= -3.6298 y = -3.6298 / 3 y= -1.2099 Sustituyendo y =1.2099 en la ecuación (4) 2x – y = 2.0930 2x- (.1.2099) = 2. 0930 2x+ 1.2099= 2.0930 2x = 2.0930 – 1.2099 x = 0-8831 / 2 x=0.4415 Resolver las siguientes ecuaciones: 2x+2 = 4x-1 2x-1 =16 5x2+x = 25 7x = 22x+1 8x-y = 3x 6x-y = 63 4x+2y= 64 2x+5y = 5 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso

ECUACIONES LOGARITMICAS Una ecuación que contiene una o más funciones logarítmicas de una o más incógnitas, se le llama la ecuación logarítmica. Son ejemplos: Log 6 (x+3) + Log (x -2) Log x+ Log y = 4 Log (x-2) + Log ( x-3)+ Log 2 Para resolver las ecuaciones logarítmicas se hace uso de las propiedades fundamentales de los logaritmos. Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: Log6 (x+3) + Log6(x-2) = 1 Nota.- Sabemos que Log (A) (B) = Log A + Log B Log6(x+3) (x-2)= 1 Transformando la ecuación logarítmicas anterior a exponencial (x+3) (x-2)= 61 Efectuando la multiplicación indicada tenemos: x+2 x-2 ______ x2 + 3x -2x-6 _______ x2+x-6 x2+x-6=6 tenemos. x2+x-12=0 Resolviendo esta ecuación utilizando la fórmula general de segundo grado tenemos: x2+x-12=0 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso a= 1, b= 1 , c= -12 X= -b+- √b2 - (4) (a) (c) / 2a

Sustituyendo valores tenemos: x=-(1)+-√ (1) 2-4(1) (-12) / 2(1) x= -1+-√1+48 / 2 x= -1+-√49 / 2 x= -1+-7 /2 x1=-1+7 / 2 = 6/2 =3 x2=-1-7 / 2 = -8 /2 =-4 Resolver la siguiente ecuación: Log3 (x+2) – Log (x-6) = 2 Nota: Sabemos que Log a/b = Log a – Log b Log (x+2) / (x-6) =2 (x+2) / (x-6) = 9 (x+2) = 9 (x-6) x +2 =9 x- 54 x-9x =-54-2 -8x =-56 x= -56 /-8 x=7 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: Log

10

x + Log

10

y= 4 -------------- (1)



Manual de curso Log

10

2x – Log

5y =1 ------------- (2)

10

De la ecuación (1) tenemos: Log

10

x + Log

Log

10

(x) (y) = 4

10

y= 4

Transformándola a una expresión exponencial tenemos (x) (y) =104 104 = 10 000 --------- (3) De la ecuación tenemos: Log

10

Log

10

2x – Log

10

5y = 1

2x /5y = 1

Transformándola a una expresión exponencial tenemos: 2x /5y = 101 ---------------- (4) Resolviendo la siguiente ecuaciones (3) y (4) tenemos: (x) (y) =10000 ------------ (3) 2x/5y = 10 ---------------- (4) Despejando a (x) de (4) x= (10) (5y) / 2 x= 50y / 2 x=25y Substituyendo tenemos x=25y en la ecuación (3): (x) (y) =10000 (25y) (y) =10000 25 y2= 10000 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso y2 = 10000 / 25 y2 = 400 y= 400 y= 20 Sustituyendo y= 20 en la ecuación (3) (x) (y) = 10000 (x) (20) = 10000 x = 10000 / 20 x= 500 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones (se combinan exponenciales con logarítmicas) 10x-3y = 3 ------------------- (1) Log 102x – Log 10y = 1 ---- (2) ________________________ De la ecuación tenemos (1) tenemos: 10x-3y = 3 Sacando logarítmicos al primero y segundo miembro de la igualdad: Log

10 x- 3y = Log

10

3 10

(x-3y) Log10 10 = Log

3 10

Pasamos Log 10 al segundo miembro: x-3y = Log 103 / Log 1010 Log 3 = 0.4771 Log 10 = 1 x-3y = 0.4771 / 1 De la ecuación (2) : Log 102x- Log y = 1 Nota.- sabemos que Log A/ B = Log A – Log B M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Log 10 2x / y = 1 Transformando a una expresión exponencial tenemos: 2x / y = 101 2x / y = 10 ----------- (4) Resolviendo las ecuaciones (3) y (4) x-3y = 0.4771 ---------- (3) 2x / y = 10 ----------- (4) Despejando x de la ecuación (4) 2x / y = 10 x= Log / 2 x= 5y Substituyendo x =5 y en la ecuación (3) tenemos: x-3y = 0.4771 (5y) -3y = 0.4771 2y= 0.4771 y= 0.4771/ 2 y= 0.2385 Sustituyendo y= 0.238 en x= 5y x=5 (0.2385) x= 1.1925



Manual de curso

METODO DEDUCTIVO.



Manual de curso El conocimiento del metodo deductivo en el area de fisico-matematicas , es importante para la formación del estudiante, ya que le proporcina las bases para el analisis y deducción de los principios en matematicas. Para iniciar las bases de esta tecnica se presentan las definiciones que se emplean en este metodo. DEMOSTRACION. Es el arte de argumentar desde las premisas hasta la conclusión, de tal modo que no exista ningun error en el trnascurso de los argumentos. ARGUMENTAR. Pasar de una nocion logicas.

a otra, por una serie de consideraciones puramente

PREMISA. Es el principio de un razonamiento.( representa a cada una de las proposiciones de un silogismo) PROPOSICION. Accion y efecto de proponer. PROPONER. Exponer un plan, enunciar un problema. SILOGISMO. Argumento que esta compuesto por tres proposiciones llamadas. MAYOR, MENOR Y CONCLUSION. Las caracteristicas de las tres proposiciones son: MAYOR..- Define a un grupo en su enunciado. MENOR.- Define o indica ( caracteriza) al menos a un elemento del grupo que define la premisa mayor. CONCLUSION.- Es una proposicion que se construye poniendo como sujeto ,añ sujeto de la premisa menor y como predicado a la premisa mayor. Ejemplo. En la proposicion que se enuncia identifica las premisa mayor, menor y la conclusión ademas escribe el silogismo en ese orden. -a-las abejas tiene tres pares de patas y un par de antenas -b-todos lo insectos artropodos tiene tres pares de patas y un par de antenas. -c- la abeja es un insecto artopodo. Entonces aplicaremos el metodo deductivo. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso

GEOMETRÍA . La geometría es el estudio de las propiedades y caracteristicas de ciertos elementos como rectas, angulos, triangulos y circulos, la geometría se desarrolla , estudia loicamente por medio de lo que se conoce como metodo deductivo, todo sistema que se depende del razonamiento deductivo se conoce como sistema logico. El ESPACIO se define como el conjunto de todo los puntos. Por esta definición si un objeto esta en el espacio entonces es un punto. En geometría las suposiciones se denominan postulados. GEOMETRIA EUCLIDIANA Se denomina geometría matemático griego clásico

euclidiana

la geometría recopilada por el

Euclides, en su libro "Los elementos", escrito alrededor de 300 años antes de J.C.



Manual de curso La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con euclidiana es sinónimo de

frecuencia, la geometría

geometría plana. Antecedentes historicos. La geometría fue creada y desarrollada por los caldeoas ( mesopotamia y sus alrededores) antes de cristo,los conocimientos de los caldeos fueron asentados en tablas conocidad como cuneiformes,tales como triangulos, cuadrilateros, y circunferencia, entre las aplicaciones tenemos, el uso del triangulo en las construcciones y astronomia, ademas dividieron en 360° la circunferencia. Posteriormente estos conocimientos se concentraron en babilonia, después se transportaron a Egipto extendiendo estos conocimientos a mesopotamia, asia menor y norte de África, después de varios siglos el imperio griego domino el mediterraneo. Thales de Mileto. Entre los primeros griegos en asimilar algunas expresiones matematicas escritas por persas, semitas,y egipcios, duchas expresiones fueron el inicio de la geometría euclidiana.

Axiomática La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se asumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema: 1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. 2. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso 5. Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela. Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras han intentado en vano deducirlo. Al construirse la geometría hiperbólica se demostró que esto no era posible ya que en este tipo de espacios, se demuestra que el quinto postulado es falso mientras el resto se sostiene. También se notó que el conjunto de axiomas escogido por Euclides es incompleto.

Limitaciones Euclides utiliza hechos no demostrados ni postulados en sus teoremas desde el primero, aunque son cosas tan sutiles que pasaron inadvertidas durante mucho tiempo. Para que el sistema de euclides fuera completo habría que añadir al menos dos postulados más: • •

Dos circunferencias separadas menos de 2R se cortan en dos puntos (Euclides lo utiliza en su primera construcción) Dos triángulos con dos lados iguales y su ángulo igual son iguales (equivale al concepto de movimiento, que Euclides usa para su teorema cuarto sin definir explícitamente)

Pitágoras. Uno de los mejores alumnos, de thales d Mileto fue Pitágoras, fundo su escuela de matematicas en cretona (Italia) una de las aportaciones mas importante que realizo esta escuela fue la interpretación matematica de la correlacion que tiene los catetos de un triangulo rectangulo con su hipotenusa. Platon: exalumno de Sócrates, este griego, fundo su escuela con la finalidad de poder argumentar adecuadamente los conocimientos matematicos existentes , fundamntando los conceptos elementales de ella, llamandoles premisas y en una forma logica o razonada encontrar conclusiones.



Manual de curso

ELEMENTOS DE GEOMETRIA. Una línea recta es una sucesión de puntos que llevan una misma dirección pero que van en dos sentidos opuestos; si se desplazan en un solo sentido se tratan de una semi-recta. Segmento de la recta: es aquella que está comprendida entre dos puntos. Líneas paralelas: son dos rectas en los cada uno de sus puntos equidistan uno con otro. Nota: equidistar, significa a igual distancia. Líneas perpendiculares: son dos rectas que en su punto de intersección forman por lo menos ángulos de 900. Líneas concurrentes: son dos o más rectas que tienen un punto en común.



Manual de curso

Línea recta

Semi recta

Segmento de recta.

Líneas paralelas

Líneas perpendiculares

Líneas concurrentes.



Manual de curso

ANGULOS. Definición: Angulo es la abertura comprendida entre dos líneas que tienen un punto en común llamado vértice. Formas de denominar un angulo. a) Una mayúscula vértice.

en

letra b) Una letra griega c) Tres el o un símbolo en la mayúscula. abertura.

letras

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Sistema sexagesimal Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo.

Sistema ciclico. (mediada de angulos en radianes).



Manual de curso Un radian es un angulo tal que si su vértice se coloca en el cento de un circulo,intercepta un arco cuya longitud es igual al radio del circulo.

TIPOS DE ÁNGULOS Tipo de ángulo

Rango

Cóncavo Águdo Recto

0° <

< 180°

= 90°

Obtuso

= 90° 90° <

< 180°

Convexo Extendido

180° <

< 360°

= 180° = 360° Completo



Manual de curso Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores. 0tra forma de expresar los tipos de angulos es. Angulo Agudo: es el que mide menos 900 Angulo Recto: es el que mide 900 Angulo Obtuso: es el que mide más de 900y menos de 1800 Angulo llano: es el que mide 3600 Angulo de una vuelta: es el que mide 3600 Angulo Convexo: es menor que un llano.

Angulo cóncavo: mide más de 1800 y menos de 3600 Ejercicio- 12 , escribe el nombre alos siguientes angulos M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso

PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos adyacentes

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.
Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. - Son Ángulos ángulos no adyacentes. opuestos por <1, <2, <3 y <4 el vértice - Son ángulos congruentes: <1 = <2 y <3 = <4

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman

Ángulos complementa 90°. rios El
- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman

Ángulos suplementari 180°. os El


Manual de curso Ángulos formados transversal.

por

rectas

paralelas

cortadas

por

una

Tipos de ángulos formados 1=5 2=6 Ángulos correspondientes entre paralelas. 3=7 4=8 1=7 2=8 Ángulos alternos entre paralelas. 3=5 4=6 Son suplement arios

Ángulos conjugados.

contrarios

Ángulos colaterales.


o

1

6

2

5

3

8

4

7

1

8

2

7


Manual de curso


3

6

4

5


Manual de curso Angulo cóncavo: mide más de 1800 y menos de 3600 Ejercicio- 12 , escribe el nombre alos siguientes angulos.

Encontrar el valor de “A” en la figura:

Encontrar el valor de “A” en la figura: A+B =1800 A=180-B A= 180-135 = 450



Manual de curso

Encontrar el valor de “B” en la figura:

A+B=1800 B= 180- A B= 180 – 80 451 B=990 151 Encontrar el valor de “E” un la figura:

E+F= 1800 E=180 –F E= 1800 1150351 2311 E= 6402413711 Ejercicio: Hallar el suplemento de 780 231 6911 Hallar el suplementote 1670 561 4311 Hallar el suplemento de 340 561 8911 Ángulos complementarios: son aquellos que sumados nos dan 900 Ejemplo: hallar el ángulo”A” de la siguiente figura: A+B= 900 A=900 A=90-30= 600



Manual de curso

Encontrar el valor de “B” en la siguiente figura:

A+B= 900 B= 900 –A B=90-670 451 B=220151 Ejercicios: 34° 56‘90’’ 45 °28’16’’ 81°17’ 50’’ 54° 76’ 31° 78’ 54’’ 26 °23’ 13’’ 2.3 paralelismo perpendicularidad Rectas perpendiculares silas rectas AB yAC forman un angulo recto se dice que AB y AC son perpendiculares esto simboliza poe AB AC fig.1 si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dicen que son oblicuos

Carácter reciprocos de la perpendicular si una recta es perpendicular a otra es L ala primera postulado por un punto fuera de una recta en un plano perpendicular a dicha recta y solo una Rectas paralelas dos rectas son paralela si estan contenidas en el mismo plano y no se intersecta cuando las rectas r y s sean paralelas se usare el símbolo ll asi, rlls se dice que son segmentos son parelelos si las rectas que los contienen son <------------------- ---------------



Manual de curso Postulado de euclides por un punto exterior a una recta pasa una sola parela a dicha recta a-------------x----------b c-------------------------D corolario dos rectas son parelelos a una tercera si A----------------B C---------------D si AB ll CD y CD ll EF AB =EF E-------------- f Angulos formados por dos parelelos y una secante si dos paralelos son cortados por una secante transversal se distinguen ocho angulos y llamados internos y 4 llamados externos por estar situadosrespectivamentedentrodeyafueradelasparelas (<4y<5)(<3y<5) son alternos e internos (<1y<7) (<2y<3) son alternos y externos (<2y<6)(<3y<7) (3


Manual de curso 40Toda

secante

forma

2

paralelas

angulos

alternos

iguales

Si AB ll CD ≤1=≤7 ≤2=≤2 Dos angulos colaterales internos entre paralelas son suplementarias Si AB ll CD,SS ≤3 + < 6 = 180º < 4 + < 5= 180º Los angulos colaterales externos, entre paralelas, son suplementarios. < 1 + < 8 = 180º < 2 + < 7 = 180º --  __ Dadas las rectas AB ll CD Cortadas po la secante ss” determina P y Q

P = sx – 8º Por ser internos iguales Q = 3x + 6º Por ser internos iguales 3x + 6º + sx – 8 =180º Por formar angulo llano 8X – 2º = 180 :. X = 22.75º

P = s”( 22.75º)- 8º

Q = 3(22.75º) + 6

P+Q =180º P = 105,75º

Q = 74,25º

105.75º+74.25º=180º 180º =180º



Manual de curso ___ __ Dadas las rectas IJ ll KL cortadas por las secantes ss” determina la medida de los angulos A,B,C,D.E,F y G X/2 +3º = 20X Por ser alternos externos iguales

3º = 19.5x X= 3 / 19.5 x = 0.1538º 20x = 20 ( 0.1538) = 3.077º =6

x / 2 + 3 =

0.1538/2+3=3.077º=B Por ser opuestos por el vértice por ser suplementario A + X / 2 + 3 = 180º F + 20X =180º A = 180º - 3.077 F + 3.077=180º A = 176.93 = c F = 176.93 = E



Manual de curso

Ángulos formados por un sistema de paralelas cortadas por una tranversal.

A

B

C

D

E G

F H

Pares de ángulos correspondientes (B) y (F) (D) y (H) (A) y (E) (C) y (G) Pares de ángulos opuestos por el vértice. (A) (D), (C) (B), (E) (H), (F) (G) Pares de ángulos alternos internos: (B) (F), (E) (D), Pares de ángulos alternos externos. (A) (H) (B) (G) “Los ángulos opuestos por el vértice son iguales”



Manual de curso

A

B

C

D

E

F

G

H

A+B= 180_______ (1) D+B ____________ (2) Despejando B tenemos B= 1800 – D_________ (3) Substituyendo (3) en (1) tenemos: A+ (1800 –D)= 1800 A= 1800- 1800 + D A=D Los ángulos alternos internos son iguales x A

M

C

p

B

D

Q

Por (o) punto medio de PQ trácese la recta MN perpendicular a CD MN

AB



Manual de curso Si dos o más rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras. El ángulo POM = QON

Por ser opuestos al vértice

OP = OQ (por construcción) PMB = QNO Dos triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa y uno de sus ángulos adyacentes a ella. APQ = DQP Que es lo que quería demostrar Nota:

Los ángulos correspondientes son iguales.

A

B

C

D

E G

F H



Manual de curso C = B (por ser opuestos por el vértice) C = F (por ser alternos internos) B = F (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si)

Los ángulos alternos externos son iguales entre si. A

B

C

D

E

F

G

H

D=A (ángulos opuestos por el vértice) D=H (por ser correspondientes) A=H (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si)

Hallar el valor de los ángulos de la siguiente figura si el ángulo F=600 A

B

C

D

E G

F H

F=600 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso E+F=180(por ser suplementarios) E= 1800-F E= 180-60 E=1200 E=H (por ser ángulos opuestos por el vértice) G= 600 E=A (por ser ángulos correspondientes) A=1200 F=B (por ser ángulos correspondientes) B=600 H=D (por ser correspondiente) D=1200 C=B (por ser opuestos por el vértice) C=600 Ejercicio: Hallar el valor de los ángulos de la siguiente figura, si el ángulo C= 4502015011 Los ángulos cuyos lados paralelos son iguales entre si. A.- Ángulos cuyos lados son directamente paralelos (los dos lados están orientados en el mismo sentido) son iguales:

a

b

c A = B (por ser correspondientes) B = C (por ser correspondientes) A = C (dos cantidades que son iguales a una tercera son iguales a una tercera son iguales entre si) B.- Ángulos cuyos lados son inversamente paralelos (los dos lados están orientados en sentido contrario) son iguales:



Manual de curso

B A

A= C (por ser correspondiente) B = C (por ser alternos internos) A = B (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si) Ángulos que guardan paralelismo mixto (un lado es directamente paralelo y el otro inversamente paralelo) son suplementarios.

A

B

C

D

A=B (ángulos correspondientes) D=B (por ser correspondientes) A=D (dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si) C+D= 1800 (por ser suplementarios) C=A=1800

Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si (dos ángulos agudos) son iguales.



Manual de curso

C B A

A+B= 900 (por ser ángulos complementarios) B+C= 900 (por ser ángulos complementarios) Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si. A+B= B+C A= B-C A=C Que es lo que se quería demostrar. Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si (un ángulo agudo y uno obtuso) son suplementarios.

A

B

C= B (dos ángulos agudos con lados perpendiculares entre si son iguales, ya se demostró) A+C= 1800 (por ser suplementarios) A+ B = 1800 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso

Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si obtusos) son iguales.

(dos ángulos

B

C A

C+A = 1800 (dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares entre si, un angulo agudo y un obtuso, son suplementarios.) B+C= 1800 (son suplementarios) Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre si. C+A = B+C A= B+ C A=B Notas:



Manual de curso

Hallar el valor de los ángulos desconocidos en las siguientes figuras (demostrar que ese valor es correcto.)

250 X 400

220201

7504013011 X X

Clasificación de los triángulos atendiendo a la magnitud de sus lados. Triangulo isósceles.- Es el que tiene dos lados iguales. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Triangulo equilátero.- Es el que tiene sus tres lados iguales. Triángulos escaleno.- Es el que tiene sus tres lados diferentes.

Triangulo isósceles Triangulo equilátero

Triángulos escaleno

Clasificación de los triángulos atendiendo a la magnitud de sus ángulos. Triangulo octangulo.- Es el que tiene sus tres ángulos agudos (menor de 90. Triangulo obtusángulo.- Es el que tiene un Angulo obtuso. Triangulo rectángulo.- Es el que tiene un ángulo recto. Triangulo oblicuángulo.- Es el que no tiene ningún ángulo recto.



Manual de curso RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIANGULO. A.- Mediana.- Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las tres medianas se llama baricentro.

B.- Altura.- Es la perpendicular de uno de los lados al vértice opuesto. El punto de intersección de las tres alturas se llama ortocentro.

Bisectriz: Es la recta que divide un ángulo en dos iguales y que se une al lado opuesto. El punto de intersección de las tres bisectrices se llama incentro.

TRIANGULOS CONGRUENTES. Dos triángulos son congruentes cuando al trasladar uno sobre otro se puede hacer coincidir respectivamente cada uno de los vértices y cada uno de sus lados. En la práctica se ha comprobado que conociendo algunos elementos del triangulo se determina la congruencia de triángulos. El símbolo de congruencia es: = A.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente es congruente.



Manual de curso

B.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes un lado y sus ángulos adyacentes.

C.- Dos triángulos son congruentes cuando tienen respectivamente congruentes uno a uno sus tres lados.

La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es igual a 180 °. Demostración:



Manual de curso Ejercicio: Hallar el valor del ángulo desconocido de la siguiente figura:

Hallar el valor del ángulo (A) de la siguiente figura.

POLIGONOS. Línea poligonal, quebrada o mixta.- Está formada por trazos rectos.

Si la línea poligonal se cierra, obtenemos un polígono.

Polígono convexo.- Tiene todos sus ángulos interiores convexos ( menores de 180 °)



Manual de curso Polígono cóncavo.- Es que tiene por lo menos un ángulo cóncavo (ángulo mayor de 180 ° y menor de 360 °)

Polígono rectangular.- Es el tiene sus ángulos y lados iguales.

La suma de los ángulos internos de cualquier polígono se obtiene mediante la siguiente formula general: 180 ° (N – 2) De donde: N = Número de lados del polígono.

Ejercicio: La suma de los ángulos internos del siguiente polígono es : Por tener 5 lados (N =5) 180 ° (N – 2) 180 ° (5 – 2) 180 ° (3) 540° M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso La suma de los ángulos internos del polígono es de 540 °. Ejercicios : Contesta las siguientes preguntas. 1.-La suma de los ángulos es:____________________ 2.-La suma de los ángulos es:____________________ 3.-La suma de los ángulos es:____________________ 4.-La suma de los ángulos es:____________________

internos

de

un

hexágono

internos

de

un

octágono

internos

de

un

decágono

internos

de

un

heptágono

En todo triángulo de un ángulo externo es igual a la suma de los ángulos interiores que no le son adyacentes. El ángulo externo de un triangulo triángulo y la prolongación del otro.

está formado por un lado del

Se llaman ángulos adyacentes a los que tienen un lado en común. Demostración:

Ejercicio : Hallar el valor del ángulo desconocido en la siguiente figura.



Manual de curso

Ejercicio: Hallar el valor del ángulo desconocido en la siguiente figura.

TRIANGULOS SEMEJANTES. Dos triángulos son semejantes cuando tienen respectivamente iguales sus ángulos y sus lados proporcionales. El signo de semejanza es : Lados homólogos : Son los que se oponen a ángulos iguales. Razón.- Es la división entre dos cantidades. Proporción .- Es la igualdad entre dos razones. Manera de establecer la proporción de los lados entre dos triángulos semejantes. 1.-Determinar la igualdad de los ángulos.

2.- Preparamos las igualdades.



Manual de curso _____________ = ______________ = ______________ 3.- En la parte superior escribamos los ángulos de uno de los triángulos en un orden cualquiera. A

=

B

=

C

4.- En la parte inferior escribimos los ángulos correspondientes iguales a los de la parte superior. =

=

5.- A cada ángulo le asociamos su lado opuesto. A

=

B

=

C

6.- Suprimimos los ángulos y tenemos la proporción. A

=

B

=

C

Casos de semejanza de triángulos. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso 1.- Dos triángulos son respectivamente iguales.

semejantes

si

tienen

dos

ángulos

A = A’ B = B’ Entonces: ABC

A’B’C’

2.- Dos triángulos proporcionales.

son

semejantes:

Si

tiene

sus

tres

lados

3.- Dos triángulos son semejantes: Si tiene dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido.

Ejercicio:



Manual de curso Demostrar que los triángulos proporcionalidad de sus lados.

son

semejantes

y

efectuar

la

Dos triángulos que tienen sus tres ángulos iguales son semejantes.

Determinación de la proporcionalidad entre los lados de los triángulos.

Sustituyendo lados opuestos:

Anulando los ángulos:

Explicar porque los triángulos AEB es semejante al triángulo ACD.



Manual de curso

C = B (Por ser ángulos correspondientes). D = E (Por ser ángulos correspondientes). A = A (Por ser ángulos comunes a los dos triángulos). Por tener los dos triángulos sus ángulos iguales son semejantes. Determinación de la proporcionalidad de los lados.

NOTA: En la parte sup. Anotamos los ángulos del triángulo 1.

La proporción nos queda:

Ejercicio: Hallar el valor de AE de la siguiente figura.



Manual de curso

Solucion: B’ = B’ (Por ser ángulos opuestos por el vértice). D = E (Por ser ángulos alternos internos). A = C (Por ser ángulos alternos internos).

Asociando sus tres lados:

La proporción nos queda:

Tomamos la proporción en la cual aparecen los datos y la incógnita.



Manual de curso Despejando la incógnita tenemos:

Sustituyendo valores, tenemos:

Ejercicio: Hallar el valor de BC de la siguiente figura:

A = A (Por ser ángulos comunes a los dos triángulos). B’ = C (Por ser los dos ángulos de 90 °!). E=D Son semejantes por tener dos ángulos respectivamente iguales.

Asociando sus lados opuestos tenemos:

Eliminando los ángulos: M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso

Tomando la proporción:

Despejando ( AC ) tenemos:

Semejanza de triángulos. Triangulo rectángulo dividido por una altura.

Semejanza entre los triángulos AHC y ABC A = A (Por ser ángulos comunes a los dos triángulos). C = a (Por ser los dos ángulos de 90 °!). b=B

Semejanza entre los triángulos ABC y HBC M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso B = B (ángulos común a los dos triángulos). a’ = C (ángulos de 90 °!). b=A

Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. Dos cantidades semejantes a una tercera son semejantes entre sí.


• • •

a = a’ A = b’ b=B

Eliminando los ángulos tenemos:


A =A C=a B=b



Manual de curso



B = B (ángulos común a los dos triángulos). a’ = C (ángulos de 90 °!). b’ = A Eliminando los ángulos tenemos:

De las tres proporcionalidades obtenidas anteriormente tenemos.

Las tres igualdades obtenidas anteriormente demostrar el teorema de Pitágoras.

nos

servirán

para

Hallar el valor de (CH) de la siguiente figura:



Manual de curso

Determinación de la proporcionalidad entre los lados de los triángulos:


Tomando la proporción:

Despejando ( CH ) tenemos:

De acuerdo a los datos tenemos:



Manual de curso

Ejercicio: Calcular la longitud de DE en la figura en que

Ejercicio: Calcular la longitud AD en la siguiente figura.

En el siguiente triangulo rectángulo tenemos.



Manual de curso En el triangulo rectángulo el lado opuesto al ángulo de 90 ° se le llama hipotenusa, y a los lados adyacentes al ángulo de 90 ° se les llama catetos.

Anota el nombre de cada lado del siguiente triangulo:

Anota el segmento que le corresponde a cada lado del siguiente triángulo:

TEOREMA DE PITÁGORAS. “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.” M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Demostración: NOTA : En el tema de triángulos semejantes, llegamos a la siguiente igualdades:

Sumando (2) y (3) tenemos:

Sacando como factor AB en el segundo miembro:

Sabemos que AB =AH+HB de donde:

TEOREMA DE PITÁGORAS. Ejercicio: Resolver el siguiente triángulo rectángulo.



Manual de curso

Datos : M = 3 , N = 5 , T = ? Por el Teorema de Pitágoras tenemos : + T2 = M2 Substituyendo valores tenemos :

N2

T2 = 32 + Efectuando operaciones tenemos :

52

T2

=

9

25

T2

=

34

+

Elevando ambos miembros de la igualdad a una raíz cuadrada : T

=

34

Por lo tanto :

T

=

5.83

Ejercicio : Resolver el siguiente triángulo rectángulo.

M=4 M en C Martin Cortes Perez

T=

10 Tecnologico de la construccion-campus Cd.Mexico

Manual de curso

N=? Datos : T=10 , M=4 , N=? Por el teorema de Pitágoras : T2

M2

+

N2

Despejando la incógnita tenemos : N2 = 102 Efectuando operaciones :

42

N2 N2

16

= =

1002 84

Sacando raíz cuadrada a cada uno de los miembros : N = 84 Por lo tanto

N

=

9.165

Ejercicio : Un rayo partió un poste, la distancia del pie al extremo caido es de 4 metros y el pedazo que queda de pie es de 2 metros, cual era la altura del poste?

2 m.

4 m. Por el teorema de Pitágoras tenemos : M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso A2 = B2 Substituyendo valores : A2 = 22

+

C2

+

42

Efectuando operaciones tenemos : A2 A2

= =

4 20

+

16

Sacando raíz cuadrada a cada uno de los miembros de la igualdad tenemos : A = 20 Por lo tanto : poste tirado. Altura del poste

A

=

4.47

=

2 metros +

que es la longitud de la parte del 4.47

=

6.47

metos

Ejercicio : Hallar la longitud DF

de la siguiente figura

E

F

B A C

D

En que : AB

=

4 mts.

AB

=

AC

BC

=

CD

BD

=

BE



Manual de curso ED

=

EF

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS :

1.-

Dos aviones salen de un aeropuerto a la misma hora, uno se dirige hacia el este a 250 km/hr. Hallar la distancia que los separa a las cuatro horas de su despegue.

2.-

Un bote va hacia el norte con una velocidad de 10 m/seg. En un río, pero es arrastrado por la corriente con una velocidad de 8 m/seg. ¿Cuál será la aceleración del bote para no ser arrastrado por la corriente en un tiempo de 10 seg.?

3.-

Un cazador corre a caballo y lanza una flecha con velocidad de 75 km/hr. Y el cazador va con una velocidad de 50 km/hr. Perpendicular a la flecha. ¿Cuál será la velocidad de la flecha?

4.-

Si una pirámide refleja una sombra de 400 mts. Y sabemos que distancia entre el extremo superior de la altura y el extremo de pirámide es de 350 mts. Y además que la sombra excede con respecto extremo de la base de la pirámide 100 mts. Calcular la altura de pirámide.

5.-

Calcular la longitud de una escalera que está recargada sobre un muro de 12.5 metros si con el piso dicha escalera tiene una distancia de 15 mts.


la la al la


Manual de curso

CUADRILATEROS Se llama cuadrilátero una figura cerrada, cuyos límites son cuatro rectas. Los cuadriláteros se clasifican en : A)

Trapecio.-

El que tiene dos lados paralelos

B)

Trapezoide.- Es el cuadrilátero que no tiene ningún lado paralelo.

C

Paralelogramo.-

Es el que tiene los lados opuestos paralelos.

Los paralelogramos se clasifican en. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso A ) Rectángulos.-Tienen cuatro ángulos rectos y cada par de lados son iguales entre sí.

B)

Rombo.-

Sus cuatro lados son iguales.

C)

Cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos rectos y sus Cuatro lados iguales. Ejercicio : Anota el nombre que le corresponda a cada una de las siguientes figuras :

____________________

____________________



Manual de curso

____________________

____________________

En todo paralelogramo un lado es igual a su lado apuesto. D

C

b a a b A

B

Demostrar que : AB

BC

=

AD

= DC

Nota: Diagonal es toda recta que une dos vértices no consecutivos de una figura rectilínea cerrada. Trazamos la diagonal A

B

C

y

A C = A C M en C Martin Cortes Perez

AC A

y tenemos los triángulos: D

C

( lado común de los dos triángulos ) Tecnologico de la construccion-campus Cd.Mexico

Manual de curso a

=

a’

(.por ser ángulos alternos internos )

b

=

b’

( ángulos alternos internos )

D

= B iguales )

( ángulos opuestos en un paralelogramo son

Por lo tanto: A

B

C

=

A

D

C

Dos triángulos son iguales si tienen untado igual y sus ángulos adyacentes iguales también. Por lo tanto : _____________________ B C = A D

____________________ y

AB

_____________________

=

DC

____________________

Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales. D b

D a

b a B A

B

a

= a´

( por ser alternos internos )

b

= b’

( por ser alternos internos )

AD

= BC

( definición de paralelogramos )



Manual de curso

Si dos triángulos tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a ese lado los triángulos son congruentes. A O D

=

OBC

Por lo tanto : OB

=

DO

AO

=

OC

Es un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales sea el paralelogramo: D

C

A

B

Demostrar que:

x

=

w

Prolongado los lados del paralegramo tenemos: E

G

A w X C

F M en C Martin Cortes Perez

B Z D

H Tecnologico de la construccion-campus Cd.Mexico

Manual de curso Tomando : CD

EF GH como transversal

X

Z

=

y

(por ser correspondiente)

TomandoAB CD como transversal: W

=

Z

y

GH

(por ser alternos internos)

Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí X

=

W

C I R C U N F E R E N C I A Circunferencia.- Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidista (se encuentra a igual distancia) de otro llamado centro. Radio.-Se llama así al segmento de recta que une uno de los puntos de la circunferencia con el centro. Todos los radios son iguales en una misma circunferencia.

RADIO

Los puntos cuya distancia al centro de una circunferencia son mayores que el radio, se les llama puntos exteriores de una circunferencia. Los puntos cuya distancia al centro de una circunferencia son menores que el radio se llaman puntos interiores de la circunferencia.



Manual de curso

PUNTO EXTERIOR

PUNTO INTERIOR.

Se llama círculo al conjunto de todos los puntos que forman la circunferencia y los puntos interiores de la misma.

CIRCULO

A una porción de la circunferencia se le llama arco de la circunferencia. A AB

ARCO

B

Cuerda.Es el segmento de recta que une a dos puntos cuales quiera de la circunferencia. La cuerda que pasa por el centro de la circunferencia se llama diámetro.



Manual de curso CUERDA

DIAMETRO

Secante.- Es el segmento de recta que corta a la circunferencia pasando por dos puntos de ésta. SECANTE

Tangente.puntos de la

Es el segmento de recta, que toca uno y solo uno de los circunferencia.

TANGENTE

TANGENTE

Flecha.- Es el segmento de recta que une uno de los puntos de una cuerda y un punto de la circunferencia.

FLECHA

En la siguiente figura anota el nombre correspondiente a cada parte. 1 _______________ 2

_______________

5 4 6 _______________ 7


3

_______________

_______________ _______________ _______________


Manual de curso Angulo central.-

Es el que tiene su vértice en el centro del círculo.

A

ANGULO CENTRAL ( A )

El arco correspondiente al ángulo central, es el comprendido entre los lados de ángulo central. A AB es el arco comprendido. A el ángulo central B Angulo inscrito.- Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y cuyos lados son cuerdas.

Angulo Semi inscrito.-

Es un mismo círculo o en círculos iguales, ángulos centrales iguales interceptan arcos iguales; y el mayor de dos ángulos desiguales intercepta mayor arco. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso

Esta comprobación se puede hacer por superposición de figuras.

Al superponer esta dos figuras se comprueba lo anterior. Un ángulo semi-inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados.

A

B

C Sea CAB el ángulo semi-inscrito el arco AB es el igual a 180° el ángulo CAB es igual a 90°, por lo tanto: “El ángulo semi-inscrito es la mitad del arco comprendido entre sus lados”. En toda circunferencia, un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central opuesto que abraza el mismo arco. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso A

B O A = circunferencia)

O C

(Son radios de una misma

El trrángulo A C O ( Es isósceles ) A = C ( a lados iguales se oponen ángulos iguales ) W = A + Cr ( un ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos que no le son adyacentes ) W

W

=

=

W ______ 2 W A 2

2 =

=

A

+

A

A

A

______________

Lo que se quería demostrar Ejercicio: Hallar valor del ángulo ( w ) si el ángulo ( A ) es de 30° A



Manual de curso W Sabemos que : w A 2

= ____________

Despejando a ( w ) tenemos : W

=

2 A

Substituyendo valores W

=

2 ( 30° )

w

=

60°

=

45°

Ejercicio.: Hallar el valor del ángulo ( A ) si el ángulo ( W ) es de 90°

A W

Sabemos que : w A 2

=

________

Substituyendo valores tenemos que : 90 A 2

=

_


_______ =

45°

A


Manual de curso

.



Manual de curso

Calcula el área sombreada de las figuras siguientes

++ 15cm

A1 –+

60cm

A1

A1 = b · h = (15cm)(30cm) = 450cm2 A2 = π · r2 = π (15cm) 2 = 700.85cm2 A3 = b · h = (15cm)(60cm) = 950cm2 AT = 450cm2 –700.85cm2 +950cm2

12

12

12

12

Área del cuadrado = L · L = 24 x 24 = 576u2 Área del círculo = π · r2= π (12cm) 2 = 452.39u2 AT = A1– A2 = 123.61 u2

12

12 12

12



Manual de curso

Área del círculo = π · r2= π (10cm) 2 = 314.16u2 Área del pentágono =

10 x

P ⋅ a nla 6(10 )( 8) = = = 240 u 2 2 2 2

AT = A1– A2 = 314.16u2 – 240u2

12 cm

Área del rectángulo = b · h = (12cm)(6cm) = 72cm2 Área del semicírculo =

π ⋅r2 π ( 6) 2 = = 18 cm2 2 2

AT = AR– Asc = 72cm2 – 18 cm2 = 15.4512cm2

2

Área del triángulo equilátero = 0.433(a)2=0.433(4)2 = 6.928u2

2

2

Área del semicírculo =

2

π ⋅r2 π ( 2) 2 = = 2 π u2 2 2

AT = AR– Asc = 6.928u2 – 2 π u2=0.6.444u2 2

2 A1

A1 = A2

8

M en C Martin Cortes Perez 4

π ⋅r2 π ( 8) 2 = = 32 π u2 2 2

A2 4Tecnologico

A3

de la construccion-campus Cd.Mexico

Manual de curso π ⋅r2 π ( 2) 2 = = 2 π x 2 = 4 π u2 2 2 π ⋅r2 π ( 4) 2 A3 = = = 8 π u2 2 2

A2 x 2=

AT = (32 π – 4 π +8 π )u2 = 36 π u2 = 113.09u2 Área del círculo = π · r2= π (100) = 400 π u

2

12 16

C2 = r2 = (16)2 + (12)2 = 400 Área del triangulo =

b ⋅ h 16 x12 = = 96 u 2 2 2

Vc= π · r2 ·h = π(6.5)2(15.3)=2030.903 4 2 4 π 6.53 1150 .350 π VS-L= 2 =3 = = 575 .17 2 2 2 15.3

VT=(2030.8+575.17)u3 VT=2605.97u3

6.5

5.2


VT = V1 + V2 Tecnologico de la construccion-campus Cd.Mexico

Manual de curso V1 = π · r2 ·h= π(2.25)2(1.8)=28.6278cm3 V2= π · r2 ·h = π(1.35)2(3.4)=19.4669cm3 VT=V1+V2= 28.6278cm3 VT = 48.095cm3

2.7 3.4 11.5 Unidades cm

2.68m

VT =VRG – VRCH

4.38

VRG = b h A = 10.3 x 4 x 4.38 = 180.456cm3

.8m 4m

VRCH = b h A = 2.68 x 0.8 x 4.38 = 9.39072cm3 VT = 180.456cm3– 171.065cm3

9.39072cm3 =

10.3m

2m

Para el cono π4m r 2h V=

3m 1.5m

3

V=

V=

Para la esfera

π ( 2 m) ( 4 m ) 2

3

16 πm 3

V= Para el cilindro

3

V= 16.75m3 M en C Martin Cortes Perez

V = πr 2 h V =π(1.5m) 2 (3m)

4 3 πr 3 3m

4 V= π(3m) 3 3

V= 36π = 113 .69 m 3

Tecnologico de la construccion-campus Cd.Mexico 3 V= 21.2058m V =151.04m3 T

Manual de curso



Manual de curso

.

TRIGONOMETRIA. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Estudia las relaciones que ligan los lados y los ángulos de un triángulo y aplica dichas Relaciones al cálculo de los elementos desconocidos del triángulo.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Son razones ( divisiones indicadas ) entre las longitudes de los lados de un triángulo ligadas a un ángulo. Definición de variables, variable dependiente, independiente y función. Variable.número

Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar un ilimitado de valores.

Constante.fino se

Una cantidad que durante el curso de proceso tiene un valor llama constante.

Funciones.- Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es una función de la segunda. Por ejemplo: El peso que un hombre puede levantar depende, independientemente de otras causas, de su fuerza. En igual forma, se puede considerar que la distancia que una persona recorre depende del tiempo. Variables dependientes e independientes.- La variable, a la cual se le puede asignar valores a voluntad dentro de limites que dependen del problema particular, se llama la variable independiente o argumento. La variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable independiente, se llama la variable dependiente o función. NOTACIONES A) Se llama seno (sen) la razón que resulta de dividir el cateto opuesto sobre la hipotenusa. sen =

catetoopue sto hipotenusa



Manual de curso B)Se llama coseno (cos) la razón que resulta de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa cos =

catetoadya cente hipotenusa

A) Se llama tangente (tg) la razón que resulta de dividir el cateto opuesto sobre el cateto adyacente tg =

catetoopue sto catetoadya cente

B) Se llama cotangente la razón que resulta de dividir el cateto adyacente sobre el cateto opuesto. Se abrevia (ctg) ctg 0

catetoadya cente catetoopue sto

C) Se llama secante (sec) la razón que resulta de dividir la hipotenusa entre el cateto adyacente sec =

hipotenusa catetoadya cente

D) Se llama cosecante la razón que resulta de dividir la hipotenusa entre el cateto opuesto. csc =

hipotenusa catetoadya cente

En un triangulo rectángulo el lado opuesto al ángulo de 90° se llama hipotenusa y los otros dos lados catetos. Si consideramos el ángulo (A) del siguiente triangulo, tenemos:

El lado (a) se llama cateto opuesto (opuesto al ángulo “A”) El lado (b) se llama cateto adyacente (adyacente al ángulo “A”) El lado (c) se llama hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90°) Las funciones trigonometricas para el triangulo rectángulo anterior tenemos:



Manual de curso catetoopue sto a = hipotenusa c catetoadya cente b cos = = hipotenusa c catetoopue sto a tg = = catetoadya cente b catetoadya cente b ctg = = catetoopue sto a hipotenusa c sec = = catetoadya cente b hipotenusa c csc = = catetoopue sto a senA =

En el siguiente triangulo tenemos:

El lado (a) se llama cateto adyacente (adyacente al ángulo “W”) El lado (b) se llama cateto opuesto (opuesto al ángulo “W”) El lado (c) se llama hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90°) Las funciones trigonometricas del anterior triangulo rectángulo con respecto al ángulo “W” son: catetoopue sto b = hipotenusa c catetoadya cente a cos W = = hipotenusa c catetoopue sto b tgW = = catetoadya cente a senW =

catetoadya cente a = catetoopue sto b hipotenusa c sec W = = catetoadya cente a hipotenusa c csc W = = catetoopue sto b ctgW =



Manual de curso Ejercicios: Determinar las funciones trigonometricas del siguiente triangulo con respecto al ángulo (X)

catetoopue sto b = hipotenusa c catetoadya cente a cos W = = hipotenusa c catetoopue sto b tgW = = catetoadya cente a senW =


Determinar las funciones trigonometricas del siguiente triangulo con respecto al ángulo (Z)



FUNCIONES TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS Se dice que dos cantidades son reciprocas cuando al multiplicar estas obtenemos como producto la unidad. Por ejemplo: M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso 1 * 2 =1 2 4 3 * =1 3 4 8 5 * =1 5 8

Ejercicio: Hallar los recíprocos de las siguientes cantidades:

1 4 2 3 8 9 De lo anterior podemos decir que dos funciones trigonometricas son reciprocas cuando su producto es a unidad. Si tenemos, las fincines siguiente a b c cos A = b a tgA = c c ctgA = a b sec A = c b csc A = a senA =

a b * =1 b a c b (cos A)(sec A) = * = 1 b c a c (tgA )( ctgA ) = * = 1 c a ( senA )(csc A) =

Podemos decir de lo anterior que: El seno y la cosecante son funciones trigonometricas reciprocas El coseno y la secante son funciones trigonometricas reciprocas La tangente y la cotangente son funciones trigonometricas reciprocas. Ejercicio:



Manual de curso Demostrar la reciprocidad de las funciones trigonometricas del siguiente triangulo para el ángulo (W)

Forma de calcular las funciones trigonometricas de un triangulo conociendo una función. Ejemplo: Calcular las funciones trigonometricas sabiendo: tan =

8 6

A) Sabemos que: tan gente =

catetoopue sto catetoadya cente

Por lo tanto: Cateto opuesto= 8 Cateto adyacente= 6 El triangulo será:

Para calcular la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras



Manual de curso b 2 = 82 +6 2 b 2 = 64 + 36 b = 64 + 36 b =100 =100



Hallar las funciones trigonometricas sabiendo: senA =

4 5

Sabemos que: sen =

catetoopue sto hipotenusa

Por lo tanto: Cateto opuesto= 4 Hipotenusa= 5

A) El triangulo será:

B) Podemos calcular el cateto adyacente (c) aplicando el teorema de Pitágoras 52 = 42 + c 2 25 = 16 + c 2

Despejando a c 2 tenemos:



Manual de curso c 2 = 25 −16 c2 =9 c =9 c =3


Ejercicios Determinar las funciones trigonometricas si: cos A =

16 65

Determinar las funciones trigonometricas si: sec B =

25 7

COORDENADAS RECTANGULARES Se llaman coordenadas rectangulares a dos líneas perpendiculares (forman cuatro ángulos de 90°) y nos sirven para localizar un punto en el plano.



Manual de curso Las coordenadas rectangulares forman cuatro cuadrantes los cuales se numeran en sentido contrario a las manecillas del reloj. COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES Para fijar la posición de un punto en el plano se usa un par ordenado de números llamados coordenadas, que son distancias dirigidas desde un punto a dos rectas fijas, una de ellas horizontal llamada eje “x” o eje x – x’ y la otra vertical llamada eje “y” o eje y – y’. Estos ejes que son perpendiculares se cortan en un punto llamado “0”, origen. y’ P (x,y)

x

x’

La notación P (x,y) que “x” es la abscisa del punto y que “y” es su ordenada a la pareja (x,y) se le llama coordenadas rectangulares del Punto P o simplemente coordenadas de P.

y

Los ejes rectangulares dividen el plano en cuatro cuadrantes que se enumeran en sentido contrario al de las manecillas de un reloj, como se muestra en la figura: y’

x

II

I

III

IV y

Todo punto situado en el primer plano tiene sus coordenadas positivas, todo punto situado en el tercer cuadrante tiene sus coordenadas negativas. En x’ el segundo cuadrante la abscisa es x negativa y la ordenada positiva; mientras que en el cuarto cuadrante la abscisa es positiva y la ordenada

y’ (-,+)

(+,+) x’

(-,-)

(+,-) y

negativa. Un ángulo está en posición normal respecto a un sistema de coordenadas rectangulares, si su lado inicial es la parte positiva del eje “x” y su vértice es el origen de las coordenadas. Si P es un punto situado en un sistema de coordenadas rectangulares, la distancia de P o el radio vector de P es la longitud del segmento que tiene por extremos a P y el origen de coordenadas, la distancia de un punto se denota M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso por “d” o “r”. Las definiciones analíticas de las funciones trigonométricas de un ángulo θ serán de acuerdo a la figura: ordenada y = dis tan cia d

Sen θ =

y

x Tg θ =

ordenada abscisa

abscisa x = dis tan cia d dis tan cia = d abscisa x

Cos θ =

y

θ

θ

=

Sec

θ

=

d dis tan cia = y ordenada

P (x,y)

x

Csc

=

y x

Ctg θ =

abscisa ordenada

x

= y El punto P puede encontrarse en cualquier cuadrante

En la figura anterior como “x”, “y” son positivas “P” está en el primer cuadrante pero en caso de que el ángulo o argumento θ cambie, “P” varía también. Si “P” está en el 2º cuadrante se tiene: y =− d −x x Cos θ = =− d d

d

y

Csc θ =

Sen θ =

P(–x , y) θ

Tg θ =

–x

y −y = −x x

Sec θ =

d y

d d =− −x x

Cotg θ =

−x x = −y y

Si P está en el tercer cuadrante θ

–x

-y

Sen θ =

−y y =− d d

Csc θ =

d d =− −y y

Cos θ =

−x x =− d d

Sec θ =

d d =− −x x

d Tg θ =

P(–x , –y)

−y y =− −x x

Cotg θ =

−x x = −d d

Si P está en el cuarto cuadrante θ

Sen θ =

x

-y Perez M en C Martin Cortes d P(x , –y)

−y y =− d d

Csc θ =

d d =− −y y


Manual de curso Cos θ =

Tg θ =

x d

Csc θ =

−y y =− x x

x d

Cotg θ =

x x =− −d d

Los signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes se resumen en la siguiente tabla Cuadrante

III

III

I I (y+) III IV (x+) (y+) (x–) I Función Sen y Csc todas Seno + – – son positivas son+positivas Coseno + – – + Tangente + – + – (x–) (y–) (x+) (y–) Cotangente + – + – Tg y Cotg Cos y Sec Secante – – + son positivas son+positivas Cosecante + + – – III III

Dado el valor de una función trigonométrica, calcular el valor de las demás si se Sen θ = −

3 y θ pertenece al tercer cuadrante, calcular el valor 5

de las demás funciones trigonométricas

y –x

θ

−x =

( 5 ) 2 − ( − 3) 2

Cotg θ

−4 4 = −3 3

Sen θ = −

x -3 -y

5

Sec θ =


Cos θ =

− x = 25 −9

3 5

−4 5

5 5 =− −4 4


Manual de curso Tg θ =

−x = 16

−3 3 = −4 4

Csc θ =

5 5 =− −3 3

−x =4 x = −4

Ejemplo 2 tg θ = y

−7 θ en el cuatro cuadrante 5 d =

θ

5

x

Cotg θ =

( 5) 2 + (−7) 2

Sen θ =

−7 74

5 −7

–7

d

Cos θ =

d = 25 + 49

Sec θ =

Tg θ =

d = 74

5 74

− 74 5

−7 5

Csc θ =

74 −7

Calcula las demás funciones en el 1er cuadrante

y

y=

7 (x,y)

( 7 ) 2 − ( 5) 2

sen θ =

5

Sec θ =

24 5

24 7

7 24

y = 24

tg θ =

5 24

7 5

y 5

Cotg θ =

Cos θ

y = 49 −25

x

Csc θ =

5 7

Calcula las demás funciones si Cos θ = −

4 6

(en el

segundo cuadrante)

x M en C Martin Cortes Perez –4 (x,y)


Manual de curso y=

( 5) 2 − ( − 4 ) 2

sen θ =

Cos θ = −

y = 25 −16

y= 9

3 5

tg θ =

3 −4

Cotg θ =

4 5

−4 3

Sec θ =

Csc θ =

−5 −4

−4 3

El punto de intersección de las coordenadas rectangulares se llama origen. El eje horizontal eje de las “equis” llamado también eje de las abscisas y el eje vertical eje de las “ies” o eje de las ordenadas. A) Eje de las abscisas. Del origen a la derecha del origen a la izquierda los B) Eje de las ordenadas. Del origen hacia arriba los los negativos. M en C Martin Cortes Perez

tenemos los valores positivos de “equis” y valores negativos. valores positivos de las “ies” y hacia abajo


Manual de curso (-)

(+)

El origen se llama también punto de referencia y dentro de las escalas tendrá un valor cero. Abscisa.- Es la distancia que hay del origen a un lugar determinado sobre el eje de las “x” “equis”. Ordenada.- Es la distancia que hay del origen a un punto determinado sobre el eje de Las “Y” “ies”. A la abscisa y a la ordenada se les llama coordenadas de un punto y sus valores Generalmente , se anotan con su signo dentro de un paréntesis anotando primero el valor de la abscisa y enseguida el valor de la ordenada (también con su signo) se parando los valores por medio de una “coma” Por ejemplo: Son coordenadas de un punto: ( -2 , 4 ) Abscisa ordenada Definición de las funciones trigonometricas en

el

circulo trigonométrico.

Circunferencia trigonométrica: Para un punto cualquiera (x,y) se verifica, cualquiera que sea el radio r de la circunferencia, que son constantes las razones x/r, y/r, en virtud del Teorema de Thales. Por lo cual, y por simplicidad, podemos utilizar, en el estudio de las M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso funciones circulares, la circunferencia en la que r = 1, es decir, la que llamaremos circunferencia trigonométrica, de radio unidad.

Definición de las funciones trigonometricas en

el

circulo trigonométrico.

Seno.- Es la razón entre la ordenada y el radio vector senB 0

AE OA

Coseno.- Es la razón entre la abscisa y el radio vector cos B =

OE OA

Tangente.- Es la razón entre la ordenada y la abscisa tgB =

AE OE



Manual de curso

Cotangente.- Es la razón entre la abscisa y la ordenada ctgB =

OE AE

Secante.- Es la razón entre el radio vector y la abscisa sec B =

AO OE

Cosecante.- Es la razón entre el radio vector y la ordenada csc B =

OA AE

ANGULOS. Angulo.- Es la cobertura comprendida entre la posición inicial y final de una recta que va girando en uno de sus puntos, permaneciendo siempre en el mismo plano. Posición final

Posición inicial Si el lado móvil se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj el ángulo es positivo.



Manual de curso Posición final Posición inicial Si el lado móvil se mueve en el sentido a las manecillas del reloj el ángulo es negativo. Posición final Posición inicial El Angulo en posición normal.- Es aquel que tiene su lado inicial sobre el eje positivo de las “equis” y su vértice en el origen y el lado móvil en cualquier cuadrante de las coordenadas rectangulares. EJEMPLOS DE ANGULOS EN POSICION NORMAL.

Angulo en posición normal normal En el segundo cuadrante

Angulo en posición normal normal En el tercer cuadrante cuadrante

Angulo en posición en el primer cuadrante

Angulo en posición en el cuarto

ANGULOS SIMETRICOS M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Se llaman ángulos simétricos a dos angulos de igual magnitud pero de signo contrario. Son ejemplos de ángulos simétricos

Ejercicio: Anotar el nombre que le corresponda a cada uno de los siguientes angulos



Manual de curso



Manual de curso



Manual de curso



Manual de curso

Calcular las funciones trigonometricas del primer cuadrante tomando en cuenta el signo

NOTA: Se debe tomar en cuenta que en el primer cuadrante la abscisa y la ordenada son positivas. AE OA OE cos B = OA AE tgB = DE senB =

OE AE AO sec B = AE OA csc B = AE ctgB =

NOTA: Como se puede observar en el primer cuadrante todas las funciones trigonometricas son positivas.



Manual de curso

Calcular las funciones trigonometricas en el segundo cuadrante tomando el signo en cuenta. NOTA: Se debe tomar en cuenta que en el segundo cuadrante la ordenada es positiva y la abscisa es negativa. senB = +

BF OB

ctgB = −

OF BF OF OB BF tgB = − OF cos B = −

OB OF OB csc B = + BF

sec B = −

NOTA: Como se puede observar en el segundo cuadrante unicamente el seno y la cosecante son positivas, las demás funciones son negativas. Calcular las funciones trigonometricas del tercer cuadrante tomando en cuenta el signo Y

E

X

A

Se debe tomar en cuenta que en el tercer cuadrante la abscisa y la ordenada son negativas, unicamente el radio vector es positivo.



Manual de curso − EA OA − OE cos B = OA − EA tgB = − OE senB =

EA OA OE cos B = − OA EA tgB = + OE senB = −

NOTA: Como se puede observar en el tercer cuadrante la tangente y cotangente son positivas. Calcular las funciones trigonometricas del cuarto cuadrante, tomando en cuenta los signos:

x

NOTA: Se debe tomar en cuenta que en cuarto cuadrante la ordenada es negativa y la abscisa es positiva. − EA OA EA cos B = OA − EA tgB = OE OE ctgB = − EA OA sec B = OE OA csc B = − EA senB =


EA OA OE cos B = + OA EA tgB = − OE OE ctgB = − EA OA sec B = + OE OA csc B = − EA senB = −


Manual de curso NOTA: Como se puede observar en el cuarto cuadrante únicamente el coseno y la secante son positivas. SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN CADA UNO DE LOS CUADRANTES ( DE ACUERDO A LOS EJERCICIOS ANTERIORES) FUNCION SENO COSENO TANGENTE COTENGENTE SECANTE COSECANTE

PRIMER + + + + + +

SEGUN DO

TERCER CUARTO

+ +

+ + -

+ + -

Angulo primario. A cualquier angulo cuya magnitud estecomprendida entre 0° y 360° se le llama primario. Angulos coterminales. Todo angulo mayor a 360° se le llama coterminales si el final de dicho angulo esta sobrepuesto al lado Terminal de un angilo primario.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS DE 0° M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Y

X

Si giramos el lado movil del angulo “B” en sentido de las manecillas del reloj, llegara el momento (0°) en que las ordenadas AE tenga un valor de cero y la abscisa OE sea igual al radio vector, en este caso: AE=0 OE=OA AE ( peroAE = 0) OA OE ( OE = OA ) cos 0° = OA AE tg 0° = ( AE = 0) OE OE ( peroOE = 0) ctg 0° = AE OA sec 0° = ( peroOA = OE ) OE OA ( peroAE = 0) csc 0° = AE sen 0° =


0 =0 AO OA cos 0° = =1 OA O tg 0° = =0 OE OE ctg 0° = =∞ O OA sec 0° = =1 OA OA csc 0° = =∞ O sen 0° =


Manual de curso

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS DE 90° Y

X

Si ahora el radio vector (OA ) se desplaza hacia el eje de la “ies” llega el momento (90°) en que las ordenadas (EA) es igual al radio vector (OE) y un valor de cero y la abscisa (OE) sea igual al cero. EA=OA OE=O AE ( peroAE = OA ) OA OE ( OE = 0) cos 90 ° = OA AE tg 90 ° = ( AE = 0) OE OE ( peroOE = 0) ctg 90 ° = AE OA ( peroOE = 0) sec 90 ° = OE OA csc 0° = ( peroAE = OA ) AE sen 90 ° =


0 =1 AO OA cos 90 ° = =0 OA O tg 90 ° = =∞ OE OE ctg 90 ° = =0 O OA sec 90 ° = =∞ OA OA csc 0° = =1 O sen 90 ° =


Manual de curso


x

Si ahora el radio vector (OA ) se desplaza hacia el eje de la “equis” llega el momento (180°) en que la abscisa s (EO) es igual al radio vector (AO) y la ordenada (EO) sea igual al cero. EO=AO AE=0



Manual de curso AE ( peroAE = 0) EO − OE cos 180 ° = ( EO = AO ) AO AE tg180 ° = ( AE = 0) − OE − OE ( peroAE = 0 ) ctg 180 ° = AE OA sec 180 ° = ( peroOE = OA ) − OE OA ( peroAE = 0) csc 180 ° = OE sen180 ° =

0 =0 EO − OE cos 180 ° = = −1 OE O tg180 ° = =0 OE − OE ctg 180 ° = = −∞ O OA sec 180 ° = = −1 − OA OA csc 0° = =∞ O sen 180 ° =


x



Manual de curso Si ahora el radio vector se desplaza hacia el eje de la “IES” llega el momento (270°) en que la ordenada (EA) es igual al radio vector (0°) y la abscisaordenada (OE) sea igual al cero. EA=OA OE=0 − AE ( peroAE = OA ) OA − OE ( OE = 0) cos 270 ° = OA − AE tg 270 ° = ( OE = 0) − OE − OE ( peroOE = 0) ctg 270 ° = − AE OA sec 270 ° = ( peroOE = 0) − OE OA ( peroAE = OA ) csc 270 ° = − AE sen 270 ° =

− OA = −1 OA 0 cos 270 ° = =0 OA AE tg 270 ° = =∞ 0 − OE ctg 270 ° = = −∞ − AE OA sec 270 ° = = −∞ − OE OA csc 270 ° = = −1 − OA sen 270 ° =


x



Manual de curso Si ahora el radio vector (OA) se desplaza hacia el eje de la “EQUIS” llega el momento (360°) en que la la abscisa ( OE) es igual al radio vector (OA) y la ordenada (EA) sea igual al cero. OE=OA EA=0 −0 =0 OA OA cos 360 ° = =1 OA −0 tg 360 ° = =0 OE OE ctg 360 ° = = −∞ −0 OA sec 360 ° = =1 OA OA csc 360 ° = = −∞ −0

− EA ( peroEA = 0) OA OE ( OE = OA ) cos 360 ° = OA − EA tg 360 ° = ( EA = 0) OE OE ( peroEA = 0) ctg 360 ° = − EA OA sec 360 ° = ( peroOE = OA ) OE OA ( peroEA = 0) csc 360 ° = − EA

sen 360 ° =

sen 360 ° =

RESUMEN DE LOS VALORES DE LAS FUNCIONES S TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS ( DE ACUERDO A LOS EJERCICIOS ANTERIORES) 18 FUNCION 0° 90° 180 270° 360° SENO 0 1 0 COSENO 1 -0 -1 TANGENTE 0 0 COTENGENTE -0 + SECANTE 1 -1 COSECANTE 1 VALORES LIMITE DE LAS FUNCIONES.

-1 -0 + 0 -1

0 +1 0 1

SE LLAMAN VALORES LIMITE DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS A LOS VALORES MINIMOS Y MAXIMOS QUE PUEDEN ALCANZAR, DE ACUERDO A LOS DATOS OBTENIDOS EN LOS EJERCICIOS REALIZADOS TENEMOS.



Manual de curso

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS. De 0° a 90° ( primer cuadrante) CASO 1. HALLAR LA FUNCION SI CONOCEMOS EL ANGULO. EJEMPLO. Determinar la funcion si conocemos el angulo de sen 45° 30’ Utilizando la calculadora. Obtenemos sen 45°30´ = _____________. Ejercicios determinar las siguientes funciones . Sen 80°45´ = ________________ Sen 67°34´ = ________________ Cos 54°32´ =

________________

Tan 80°20´= ________________ CASO II. SI TENEMOS LA FUNCION TRIGONOMETRICA HALLAR EL ANGULO. EJEMPLO Si tenemos que Sen A = 0.4950 , Hallar el valor del angulo. Utilizando la calculadora tenemos. A = ___________.

Ejercicios.



Manual de curso

Con los ejercicios anteriores se verifica que para los angulos comprendidos en el segundo cuadrante (90°≤ Q≤180°) unicamene la funcion seno y su reciproco son ___________________________ FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 90° A 180° (segundo cuadrante) Sean los dos triangulos de la figura congruentes por lo tanto tenemos.

De lo anterior podemos concluir que: Las funciones trigonometricas de angulos que diferen entre si 90° son iguales pero de sentido contrario a sus cofunciones, exepto el seno y cosecante que tiene el mismo signo. De acuerdo a lo anterior para determinar las funciones trigonometicas de angulos del segundo cuadrante es decir de angulos entre 90° y 180° Ejemplo calcular las funciones trigonometricas de 145° Planteamos

w + 90° = 145° W = 145° - 90° = 55°

Entonces Sen 145° = cos 55° = 0.5735 M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Entonces para determinar las funciones trigonometricas de los angulos en el segundo cuadrante se expresan en funcion del del angulo agudo Q del primer cuadrante y se considera el signo que tiene la funcion trigonometrica en el segundo cuadrante.entonces para el segundo cuadrante tenemos: sen (180 ° −θ) = sen θ cos( 180 ° −θ) = −cos θ tg (180 ° −θ) = − − tan θ ctg (180 ° −θ) = −cot θ sec( 180 ° −θ) = −sec θ csc( 180 ° −θ) = csc θ

Ejemplo verificar que las igualdades anteriores con los angulos Q=135° y Q=170° Para verificar que son validas las igualdades ,primero las obtenemos directamente. E inmediatamente la sobtenemos por las igualdades.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 180° a 270° (tercer cuadrante.) Sean los dos triangulos de la figura congruentes por lo tanto tenemos.

De lo anterior podemos concluir que: Las funciones trigonometricas de angulos que diferen entre si 180° son iguales a las funciones M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso trigonometricas de otro angulo que difiere de el 180° pero con diferente signo, exepto la tangente y cotangente que tienen el mismo signo. De acuerdo a lo anterior para determinar las funciones trigonometicas de angulos del tercer cuadrante es decir de angulos entre 180° y 270°.

Ejemplo calcular las funciones trigonometricas de 200° Planteamos

180° + w = 200° W = 200° - 180° = 20°

Entonces Sen 200° = -sen 20° = -0.3420 Entonces para determinar las funciones trigonometricas de los angulos en el tercer cuadrante se expresan en funcion del del angulo agudo Q y se satisfacen las siguientes igualdades. sen (180 ° +θ) = −sen θ cos( 180 ° +θ) = −cos θ tg (180 ° +θ) = tan θ ctg (180 ° +θ) = cot θ sec( 180 ° +θ) = −sec θ csc( 180 ° +θ) = −csc θ

Las igualdades anteriores se cumplen se Q< 90°

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE 270° a 360° (cuarto cuadrante) Sean los dos triangulos de la figura congruentes por lo tanto tenemos.



Manual de curso

De lo anterior podemos concluir que: Las funciones trigonometricas de angulos que diferen entre si 270° son iguales y de signo contrario a las funciones trigonometricas de otro angulo que difiere de el 270° , exepto el coseno y la secante que tienen el mismo signo. De acuerdo a lo anterior para determinar las funciones trigonometicas del angulo del cuarto cuadrante es decir de angulos entre 270° y 360°. Ejemplo calcular las funciones trigonometricas de 280° Planteamos

270° + w = 280° W = 280° - 270° = 20°

Entonces Sen 280° = -cos 10° = - 0.9848 Entonces para determinar las funciones trigonometricas de los angulos en el cuarto cuadrante se expresan en funcion del del angulo agudo Q y se satisfacen las siguientes igualdades. sen (360 ° −θ) = −sen θ cos( 360 ° −θ) = cos θ tg (360 ° −θ) = −tan θ ctg (360 ° −θ) = −cot θ sec( 360 ° −θ) = sec θ csc( 360 ° −θ) = −csc θ



Manual de curso

Podemos resumir lo anterior en la siguiente tabla. FUNCION SENO W COSENO W TANGENTE W COTENGENTE W SECANTE W COSECANTE W M en C Martin Cortes Perez

0°-90°

90°-180°

180°-270°

SENW -W + + + +

-SEN(WCOS(W-90°) 180°) -SEN(+ + + -

270°-360° -COS(W270°) + + -


Manual de curso

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MAYORES DE 360° Si se tiene un angulo mayor aa 360| se comienza por restar de ese angulo las circunferencias que contiene, si el angulo resultante no esta dentro del primer cuadrante se aplica las reglas. Hallar las funciones trigonometricas de 785° 735°- 360° = primera circunferencia 425°-360° = 65° Resultando un angulo del primer cuadrante,por lo que las funciones son:

Cos 152º el ángulo de referencia m = 180º-152º= 28º y sabiendo que el coseno es negativo en el 2º cuadrante ∴ Cos 152º = - Cos 28º = –0.8829 signo del cuadrante correspondiente Sen 1685º cuadrante

Sen 245º= - [(sen 245º-180º)] formula para reducción al primer = - sen 65º = - 0.9065

Tg6103º

Para encontrar la cscθ y sec θ

Tg 343º = -tg17º = 0-3057

Cotg 11560º = Cot 40º = 1.1917 Sen (1000000º) = Sen 280º= -Sen 80º = -0.9063

Sec x =

1 cos x

Csc x =

1 senx

Cotg 284º28´= -0.2580



Manual de curso

ÁNGULO NEGATIVO En la naturaleza no solo se registran miviemientos en el sentido contrario a las manecillas del reloj,existen una gran cantidad de fenómenos que giran en el mismo sentido de las manecillas del reloj, es decir describen un angulo negativo,las para determinar las Funciones trigonométricas de ángulos negativos, se busca el ángulo de referencia y se aplica el mismo criterio que se siguió para ángulos positivos Sen -1320º

Cos -1230º

Sen (-240º)

Cos (-150º)

Sen 60º

-Cos 30º

0.866

- 0.866

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS. Demostración de identidades trigonométricas Las identidades trigonometricas son expresiones algebraicas que relacionan a las funciones trigonometricas por medio de una igualdad . Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. M en C Martin Cortes Perez


Manual de curso Las identidades trigonometricas pitagoricas son las que resultan del teorema de Pitágoras Si consideramos el circulo trigonometrico donde se tiene que los catetos de un triangulo rectanguloson representados por el seno de un angulo Q y por el coseno del mismo angulo considerando la hipotenusa unitaria. Si se aplica el teorema de Pitágoras a este triangulo se tiene.

12 = sen 2θ + cos 2 θ

Lo cual manifiesta que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, esta es la primera identidad trigonometrica ,expresada de otra forma tenemos. sen2(x) + cos2(x) = 1 Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones

permite Encontrar, identidades más, muy útiles para resolver problemas . Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene: tan2(x) + 1 = sec2(x) …(2) Calculando la recíproca de la expresión anterior: cot2(x) + 1 = csc2(x) …(3) las identidades (1),(2) y (3) so la llamadas identidades pitagoricas.



Manual de curso A continuación se indican las identidades que se deben tener presente. Identidades reciprocas. sen θ =

1 csc θ

cos θ =

1 sec θ

tg θ =

1 sen θ

ctg θ =

1 tan θ

sec θ) =

csc θ =

1 cos θ

1 sen θ

Identidades por cociente. tan θ =

sen θ cos θ

cot θ =

cos θ sen θ

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes.



Manual de curso Se han visto ya varias identidades trigonométricas como las identidades fundamentales las cuales son básicas y deben ser memorizadas. Existen otras identidades que no es necesario memorizar, pero son muy útiles para aplicar las expresiones trigonométricas. Se emplearán las identidades fundamentales junto con procedimientos algebraicos para verificar identidades trigonométricas. El método más adecuado para verificar que una igualdad es una identidad consiste en transformar un miembro de la igualdad en la forma que tiene el otro. No existe un método general para realizar estas transformaciones, pero se pueden utilizar las siguientes indicaciones. 1) Generalmente, es preferible elegir el miembro de apariencia mas complicada. 2) Sustituir, de ser necesario algunas identidades fundamentales 3) Si no es posible aplicar las condiciones anteriores, el miembro mas complicado se transforma a seno y coseno 4) Se recomienda también no perder de vista al efectuar las operaciones, la función de la expresión a demostrar, transformando el miembro mas sencillo,valiendose de las identidades Ya conocidas.

Ejemplo. Dmostrar la siguiente identidad. sec 2 θ cot 2 θ = csc 2 θ …..(1)

Sabemos que .

cot 2 θ =

cos 2 θ sen 2θ

Sustituyendo la (2) en (1) ,tenemos cos 2 θ sec θ = csc 2 θ …..(3) 2 sen θ 2

Tambien sabemos que

sec 2 θ =

1 cos 2 θ

… (4)

Sustituyendo la ecuación 4 en la (3), tenemos. 1 cos 2 θ = csc 2 θ simplificando, resulta cos 2 θ sen 2θ



Manual de curso 1 = csc 2 θ 2 sen θ

, pero se tiene que

csc 2 θ =

1 sen 2θ

Finalmente se demuestra que csc 2 θ = csc 2 θ

Ejemplo 2. Demostrar la siguiente identidad. 1 + ctg 2θ = cot 2θ 2 1 + tan θ

Sabemos que cot2(x) + 1 = csc2(x) …(3)

y

tan2(x) + 1 = sec2(x) …(2) sustituyendo las identidades (2) y (3) tenemos csc 2 θ = cot 2θ sec 2 θ

sec 2 θ =

1 cos 2 θ

csc 2 θ =

1 sen 2θ

ademas se sabe que

Sustituyendo y simplificando tenemos. cos 2 θ = cot 2θ sen 2θ

cot 2 θ =

cos 2 θ sen 2θ

pero tambien considerando que

sustituyendo , se demuestra que



Manual de curso cot 2 θ = cot 2 θ

Demostrar la siguiente identidad. cos θ 1 − sen θ = 1 + sen θ cos θ

Para resolver este ejrcicio se ientifica que lo ma sencillo es multiplicar el numerador y denominador por cos Q En el miembro izquierdo de la igualdad. cos θ (cos θ ) 1 − sen θ = 1 + sen θ (cos θ ) cos θ

cos 2 θ 1 − sen θ = (1 + sen θ)(cos θ ) cos θ

Pero sabemos que sen2 Q+ cos2Q = 1 y que cos2Q = 1-cos2 Q entonces ,se tiene cos θ 1 − sen 2θ = (1 + sen θ ) cos θ (1 + sen θ )

Como el numerador del miembro derecho es una diferencia de cuadrados tenemos cos θ (1 − sen θ )(1 + sen θ ) = (1 + sen θ ) cos θ (1 + sen θ ) cos θ (1 − sen θ ) = (1 + sen θ ) cos θ

y al simplificar, la ultima expresión resulta

lo cual se queria demostrar.



Manual de curso sen θ (1) + ctg θ = sec θ + ctg θ sen θ cos θ

Tgx 1 + tg 2 x

Tgx =

= senx

senx = 1 + tg 2 x = sec 2 x cos x

senx cos x = senx sec 2 x

sec 2 x =

1 cos 2 x

1 + ctg θ = sec + ctg θ cos θ sec θ +ctg θ = sec θyctg θ

cos x 1 + senx = 1 − senx cos x

Multipliquemos el 1° miembro senx cos x = senx 1 cos x

por:

1 + senx 1 + senx

 cos x  1 + senx  1 + senx   = cos x  1 − senx  1 + senx 

senx cos x = senx cos x

cos x(1 + senx ) 1 + senx = 2 cos x 1 + senx + sen − sen x

senx= senx

cos x(1 + senx ) ) 1 + senx = cos x 1 − sen 2 x

tg + cos θ = sec θ + ctg θ sen θ tg θ cos θ + = sec θ + ctg θ sen θ sen θ

tg θ =

sen θ cos θ = ctg θ = cos θ sen θ

sen θ cos θ + cos θ = csc θ + ctg θ sen θ sen θ 1


1 + senx 1 + senx = cos x cos x

senx ( csc x − sec x ) =1 − tgx

csc x =

1 senx

sec x =

1 cos x

1   1 senx  −  = 1 − tgx  senx cos x  senx senx − = 1 − tgx senx cos x


Manual de curso 1 −tgx =1 −tgx

senA cos A( tgA + ctgA ) ) =1

1 − 2 sen 2 x = 2 cos 2 x − 1 2 1 − cos x 1 − 2(1 − cos 2 x) = 2 cos 2 x −1

1 − 2 + 2 cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 − 1 + 2 cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 2 cos 2 x − 1 = 2 cos 2 x − 1

tgx + ctgx =

1 senx cos x

sen 2 x + cos x 1 = senx cos x senx cos x senx cos x tgx = cos 2 x − sen 2 x 1 − tgx

Dividiendo al 1° miembro entre cos 2 x

senx cos x tgx cos 2 x = 2 2 cos x − sen x 1 − tg 2 x cos 2 x 1−

sen x tgx = cos x 1 − tg 2 x

 sen 2 A cos 2 A  senA cos A  cos A + senA   =1   1   senA cos A  =1 cos AsenA  

senA cos A = 1 ∴ 1=1 senA cos A

( tg θ + ctg θ )tg θ = sec 2 θ

senx cos x 1 + = cos x senx senx cos x

2

 senA cos A  senA cos A +  =1  cos A senA 

tg 2θ + ctg θtg θ = sec θ ctg θ ⋅ tg θ =1

tg 2θ +1 = csc 2

sec 2 θ = sec 2 θ

sen 2 x + csc x = 1

cos x = 1 − sen 2 x

sen 2 − cos 2 x (1) = 2 sen 2 x −1

sen 2 x − (1 − sen 2 x ) = 2 sen 2 x −1

sen 2 x −1 + sen 2 x = 2 sen 2 x −1 senx = tgx cos x

tgx tgx = 1 − tg 2 x 1 − tg 2 x


Factorizando 2 sen 2 x −1 = 2 sen 2 x −1 csc θ = sec θ + tg θ 1 − sen θ


Manual de curso 1 + senA + 1 − senA = 2 sec 2 A 2 1 − senA + senA − sen A

1 sen θ sec θ = + cos θ cos θ

2 = 2 csc 2 A 2 1 − sen A

cos θ 1 + sen θ = 1 − sen θ cos θ

 1  2 2  = 2 csc A 2  cos A 

Despejando términos semejantes cos θ ⋅ cos θ = (1 + sen θ )(1 − sen θ )

2 csc 2 A = 2 csc 2 A cos 2 A + 9 = 10 − sen 2 A

cos 2 θ = 1 − sen 2θ

cos 2 A = 1 − sen 2 A

cos 2 θ = cos 2 θ

(1 − sen A) + 9 = 10 − sen 2

2

A

1 − sen 2 A + 9 = 10 − sen 2 A

(1 − sen A)(1 + tg A) = 1 2

2

10 − sen 2 A = 10 − sen 2 A

cos 2 A = 1 − sen 2 A sec

2

A =1 + tg 2 A

(cos )(sec A) = 1

cos 2 t − sen 2 t = 2 cos 2 t −1

(cos A)(sec A) = 1

sen 2 t = 1− cos 2 t

2

2

2

2

(

cos 2 A =1 cos 2 A

cos 2 t + 1 + cos 2 t = 2 cos 2 t −1

∴ 1=1


cos 2 t + 1 + cos 2 t = 2 cos 2 t −1 cos 2 x( sec x −1) = sen 2 x

1 1 + = 2 sec 2 a 1 − senA 1 + senA

(1 + senA ) + (1 − senA ) (1 − senA ) (1 + senA )

)

cos 2 t − −1 − cos 2 t = 2 cos 2 t −1

 1  cos A  =1 2  cos A  2

= 2 sec 2 A

 1  cos 2 x −1 = sen 2 x cos x   cos 2 x − cos 2 x = sen 2 x cos x

cos x − cos 2 x = sen 2 x


Manual de curso senx = csc =

1 sen 2 x

senx =

1 sen

csc x =

1 csc 2 x 1 csc x

senx= senx

Csc=csc cos x =

1 1 + tg 2 x

sec 2 x =1 + tg 2 x

cos x =

cos x =

1 sen 2 x 1 csc x

cos x = cosx

csc x =

1 + tg 2 x tgx

csc x =

csc 2 x tgx

1 csc x = cos x sen cos csc x =

cos x(1) 1 = cos xsenx senx

csc x = cscx senx =

1 1 + ctg 2 x 1 + ctg 2 x − csc 2 x



csc 2 x =

1 1 − cos 2 x

1 − cos 2 x = sen 2 x

csc 2 x =

1 sen 2 x

csc 2 x = csc 2 x

Ejercicios. Demostrar las siguientes identidades.

1.-

sen θ sec θ = sen θ + cos θ sec θ + csc θ

2.- sen θ =

1 1 + cot 2 θ

3.- cos θ = 1 − sen 2θ

2 4.- cos θ = csc θ −1

csc θ

2 5.- tan θ = 1 − cos θ

cos θ

2 6.- sen θ = sec θ − 1

sec θ

7.- cos θ = 1 − sen 2θ 8.- cos θ =

1 1 + tan 2 θ

RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS. Para resolver triangulos oblicuangulos es necesario conocer por lo menos tres elementos del mismo. Por lo tanto, se nos presentan cuatro casos, en donde nos den como datos: I.- un lado y los angulos adyacentes. II.- Los lados y el angulo comprendido. III.- Los tres lados. IV.- Dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos. Nota: para el caso IV hay que tomar en cuenta lo siguiente. 1.- si el angulo dado es obtuso (mayor de 90°) tenemos: A) si el lado opuesto al angulo dado es menor o igual a lado dado no hay solucion. B) si el lado opuesto al angulo dado es mayor al lado dado hay una solucion 2.- cuando el angulo dado es agudo tenemos. A).- si el lado opuesto al angulo dado es igual o mayor que el otro lado dado exite una solucion B) no hay solucion o exite dos soluciones si el lado opuesto al angulo dado es menor que el otro lado dado. Para la resolucion de triangulos oblicuangulos podemos utilizar. a).- ley de los senos. b).- ley de los cosenos. c).- let de las tangentes.

LEY DE LOS SENOS. Sea el triangulo

sen θ =

Y b

Despejando (y)

y = bsen θ

sen α =

y a

y = asenα Igualando (1) y (2) bsen θ = asenα a b = sen α sen θ

locuaz podemos expresar como. realizando el mismo procedimiento se obtiene finalmente.

a b c = = sen α sen θ sen β

que se conoce como.

la ley de los senos. La ley o teorema de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. Especialmente los triángulos oblicuángulos, es decir, aquellos que carecen de un ángulo recto o de 90°. La ley de los Senos dice así: “En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”. Los lados de un triangulo cualquiera es proporcional a los senos de los angulos opuestos.

Esta ley se emplea para 1.-.definir las magnitudes de los lados y los angulos interiores cuando, a).- se proporcionen como datos a dos Angulos y un lado. b).- se nos proporcionan dos lados y un angulo opuesto a cualquier lado ejemplo. Un triangulo tiene como angulo interior A= 62° y B=70° definir el poligono si sabemos que uno e su lados mide 7 cm.

Planteamos la siguiente figura para , auxiliarnos en la solucion del problema,se necesita conocer los tres Angulos y los lados . el angulo C se obtiene utilizando la propiedad de los angulos interiores de un triangulo 62°+70°+c= 180°

132°+c=180° C= 180°-132°=48°

Para determinar el lado “C” se empleara la ley de los senos. b c = sen θ sen β

⇒c =

bsen β sen θ

Sustituyendo los valores que nos proporciona se obtiene. c=

(7cm ) sen 62 ° = sen 70 °

El lado “a” sera calculado de manera similar, expresando la ley de los senos como. a b = sen α sen θ

donde

a=

bsen α sustituyendo los valores se tiiene. sen θ

a=

(7cm ) sen 62 ° = sen 70 °

Para comprobar los resultados obtenidos, se emplea la formula de mollweide. La cual se expresa como:

a +b = c

a −b = c

cos( A − B) 2 C sen 2

y

( A − B9 2 C cos 2

sen

Comprobando los resultados del ejercicio se tiene:

a +b = c

a −b = c

cos( A − B) 2 C sen 2 ( A − B9 2 C cos 2

sen

Ejemplo. Llamemos “b” al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; “a” al ángulo de 43° y A al lado de 5. Lo que se tiene entonces es lo siguiente: A=5B=? a = 43° C = ? b = 27° c = ? El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. Es decir: c = 180° - a - b. Se sustituye en esta expresión los ángulos: c = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110° c= 110° Con esto, se cuenta ya con los tres ángulos a, b y c. Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos: A. = B = C sen(a) sen(b) sen(c) Sustituyendo queda: Se fija la atención en los dos primeros términos: En este momento se ignorará el tercer término. De la igualdad que se encuentra en el recuadro se puede despejar B, (como el sen 27°) y, debido a que está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba: Entonces se calcula la siguiente expresión:

Solamente queda por calcular C. Para ello, se volverá a usar la ley de los Senos, pero ahora si tomaremos en cuenta la igualdad que contenga a la C:

Se sustituye el valor de la B en la igualdad. Se despeja la C, por lo tanto, como sen 110° está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba: Se realiza la operación correspondiente y resulta:

Con este última dato queda resuelto todo el triángulo.

Ejercicicos. Resolver el triángulos oblicuángulos por la ley de senos. 1.-Datos A = 80° 25', A + B + C = 180°; B = 35° 43', a = b = c . c = 60. no. 2 a = 41 B = 27 ° 50´ C = 51° A = 27 ° 50´+ 51°- 180° = A = 101° 10´

ley del Coseno La ley de los Coseno es un término que permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para resolverlo pide que conozcas los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. La ley de los Cosenos ayuda a resolver ciertos tipos de problemas de triángulos, como los triángulos oblicuángulos, los cuales carecen de un ángulo de 90°. La ley del Coseno dice así: “En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman” Pero si tienes los lados, y quieres saber el ángulo que hacen los lados B y C, entonces realizaras la siguiente formula: A, B y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo: Las letras minúsculas y mayúsculas del mismo tipo no se encuentran juntas, es decir, la a está en el ángulo opuesto de A, la b está en el ángulo opuesto de B y la c está en el ángulo opuesto de C. Esto siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá erróneo. Observa que la ley del coseno sólo será cuando tienes los dos lados y el ángulo que hacen los lados, porque si no te dan el ángulo que hacen los lados, tendrás que usar la ley de senos. Arriba se muestran las características que tiene que tener el triángulo para resolverlo por la ley de cosenos, es decir, los tres datos necesarios. Recuerda que para sacar el ángulo interno la suma de los tres ángulos internos dará 180° y te quedara la formulita de la manera siguiente: c = 180° - a - b Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos. Primer caso: Conocidos los tres lados. Ejemplo. Resolver el triángulo cuyos datos son: a = 34, b = 40, c = 28. Se aplica la ley de coseno. Cálculo de A. a2 = b2 + c² - 2bc cos A. Despejando cos A: cos A = b² + c² - a² 2bc Cos A = 40² + 28² - 40² = 1600 + 784 - 1156 = 307 = 0.54821. 2 x 40 x 28 2240 560 . . . A = 56° 45'. Cálculo de B.

Análogamente: a² + c² - b² cos B = 2ac . . . Cos B = 34² + 28² 40² = 1156 + 784 1600 = 340 = 0.17857. (2) (34) (28) 1904 1904 . . . B = 79° 43'. Cálculo de C. Análogamente: Cos C = a² + b² - c² . 2ab ´ Cos C = 34² + 40² 28² = 1156 + 1600 784 = 1972 = 0.72500 (2) (34) (40) 2720 2720 . . . C = 43° 32´ Es decir: A = 56° 45" B = 79° 43' C = 43° 32' A + B + C = 178° 120' = 180°. Segundo caso. Se resolverá un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido. Resolver el triangulo cuyos datos son: A = 68° 18'; b = 6; c = 10. Datos Fórmulas A = 68° 18', a = "b² + c² 2bc cos A. b = 6, cos B = a² + c² - b² 2ac ´ c = 10, cos C = a² + b² - c² 2ab Cálculo de a. a = "b² + c² 2bc cos A = "6² + 10² (2) (6) (10) (cos 68° 18',) a = "36 + 100 - (120) (0.36975) = "136 - 44.37 = "91.63 a = 9.57 Cálculo de B. Cos B = a² + c² b² = 9.57² + 10² 6² = 91.63 + 100 36. 2ac 2 x 9.57 x 10 191.4 ' Cos B = 191.63 - 36 = 155.63 = 0.81311.  191.4 . . . B = 35° 36. Cálculo de C. Cos C = a² + b² - c² = 9.57 + 6² - 10² = 91.63 + 36 - 100 . 2ab (2) (9.57) (6) (12) (9. 57) ` Cos C = 127.63 - 100 = 27.63 = 0.24059.  114.84 . . . C = 76° 6. Ejemplo no. 3 a = 41 b = 19.5 c = 32.48 Cálculo de A

CosA = b2 + c2 - a2 2a CosA = (19.52) +(32.482) - (412) = 380.25 + 1054.9504 - 1681 2(19.5) (32.48) 1266.72 CosA = -0.194044145 A = Cos-1 -0.194044145 A = 101. 188° Cálculo de B CosB = a2 + c2 - b2 2ac CosB = (412) + (32.482) - (19.52) = 1681 + 1054.9504 - 380.25 2(19.5) (32.48) 2663.36 CosB = 2355.7004 = 0.88448 B = Cos-1 0.88448 B = 27.8118° 2663.36 Cálculo de C Cos C = a2 + c2 - b2 2ac Cos C = (412) + (19.52) - (32.482) 2(41) (19.5) Cos C = 1681+380.25 - 1054.9504 = 1006.2996 = 0.62933 1599 1599 Cos-10.62933 C = 50.9992°

Ley de cosenos. Dado dos lados y en ángulo entre estos dos lados tendremos la siguiente relación A2 + B 2 − 2 AB cos θ = C 2

Nota. Desde luego que si el ángulo es precisamente el de un ángulo recto correspondiente al del triángulo  rectángulo tenemos el teorema de Pitágoras ya que cos 90 = 0 .

Ejercicios resueltos de ley de cosenos.  1.- Determine cual es el valor del otro lado dado que A = 20 m; B = 8 m; θ = 60

Considerando la ley de cosenos, ya que tenemos el valor de dos lados y un ángulo, tenemos:

C=

A2 + B 2 − 2 AB cosθ = 202 + 82 − 2( 20 )( 8) cos 60 ≈ 17.44 m

2.- Considerando la misma figura pero ahora los siguiente datos A = 20 m; B = 10 m; C = 17.32 m determine el valor del ángulo. Utilizando la expresión de la ley de cosenos tenemos:

(

)

C 2 = A2 + B 2 − 2 AB cosθ ⇒ −2 AB cosθ = C 2 − A2 + B 2 ⇒

(

)

(

)

C − A +B A + B −C ⇒ cosθ = ⇒ − 2 AB 2 AB  A2 + B 2 − C 2   θ = arccos 2 AB   cosθ =

2

(

2

2

2

2

2

)

Sustituyendo los valores dados tenemos:

 ( A2 + B 2 ) − C 2   ( 20 2 + 102 ) − 17.32 2   = arccos  ≈ 60 θ = arccos 2 AB 2( 20 )(10 )     1.- Utilizando la ley de cosenos determine el valor deseado.

a ). − A = 90; B = 40; γ = 50 ; C = ? b). − A = 80; C = 120; β = 25 ; B = ? c). − B = 90; C = 120; α = 35 ; A = ?

2.- ¿Se puede determinar el valor de el lado C, si se conoce el valor de B, A y β ? ¿Cuál ley deberíamos utilizar?

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos Pueden demostrarse mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

Considerando la circunferencia goniométrica (R=1)

En la siguiente figura los dos angulos (A) son iguales por tener perpendiculares sus lados.(es otra figura en la que se puede apoyar para la deduccion de los conceptos y formulas )

a) Seno de la suma. sen(α + β ) =− cos[α +( β + 90)]=−[cosα cos(β +90)−senα sen(β +90)]=−[cosα (-senβ )− senα cosβ ] = = senα cosβ + cosα senβ si a= A y b=B

Podemos expresar la formula como.

Sen (A+B)= senA cos B + sen B cosA Ejemplo. Calcular el seno de 70° Podemos escribir: 70°= 40°+30° A= 40°

Y

B=30°

Sen (A+B)= senA cos B + sen B cosA sen (40°+30°)= sen 40° cos30°+ sen 30°cos40° Sen70°= (0.6427)(0.8660)+(0.5)(0.7660)= 0.9396 ejemplo Calcular el seno de 40° Podemos escribir: 40°= 30°+10° A= 30°

Y

B=10°

Sen (A+B)= senA cos B + sen B cosA sen (30°+10°)= sen 30° cos10°+ sen 10°cos30° Sen40°= (0.5)(0.9848)+(0.1736)(0.8660)= 0.6427 Ejercicios: 1.- Calcular sen 90° considerando 90°= 70° y 20°

A=

Y

B=

Sen (A+B)= senA cos B + sen B cosA sen ( Sen

)= sen =(

cos

)(

+ sen )+(

cos )(

)=

2.- Calcular sen 120° considerando 120°= 80° y 40° A=

Y

B=


)= sen =(

cos

)(

+ sen )+(

cos )(

)=

3.- Calcular sen 150° considerando 150°= 90° y 60° A=

Y

B=


)= sen =(

cos

)(

+ sen )+(

cos )(

)=

b) Seno de la diferencia. sen(α− β ) = senα cos(-β )+ cosα sen(-β ) = senα cosβ− cosα senβ si a= A y b=B


Sen (A-B)= senA cos B - sen B cosA ejemplo 1.- Calcular el seno de 20° Podemos escribir: 20°= 70°-50° A= 70°

Y

B=50°

Sen (A-B)= senA cos B - sen B cosA sen (70° - 50°)= sen 70° cos50° - sen 50°cos70° Sen20°= (0.9396)(0.6427) - (0.7660)(0.3420)= 0.3419 2.- Calcular el seno de 50° Podemos escribir: 50°= 60°-10° A= 60°

Y

B= 10°

Sen (A-B)= senA cos B - sen B cosA sen (60° - 10°)= sen 60° cos10° - sen 10°cos60° Sen50°= (0.8660)(0.9848) - (0.1736)(0.5)= 0.7660 ejercicios Ejercicios: 1.- Calcular sen 80° considerando 80°= 90° y 10° A=

Y

B=

Sen (A-B)= senA cos B - sen B cosA sen ( Sen

)= sen =(

)(

cos

-

sen

)-(

cos )(

)=

2.- Calcular sen 75° considerando 100° y 25° A=

Y

B=

Sen (A-B)= senA cos B - sen B cosA sen ( Sen

)= sen =(

)(

cos )-(

- sen

cos )(

3.- Calcular sen 28° considerando 28°= 38°-10° A=

Y

B=

)=


)= sen =(

cos

)(

+ sen )+(

cos )(

)=

c).-Coseno de la suma. cos(α + β ) = OC/OB=OC=OD-CD=OD-BE=OAcosα−Α Β senα = =OBcosβ cosα−Ο Β senβ senα = cosα cosβ− senα senβ . si a= A y b=B


cos (A+B)= cosA cos B - sen A senB Ejemplo. Calcular el coseno de 50° Podemos escribir: 50°= 15°+35° A= 15°

Y

B=35°

cos (A+B)= cosA cos B - sen A senB cos (15°+35°)= cos15 cos30° - sen 15°sen35° cos50°= (0.9659)(0.8191) - (0.2588)(0.5735)= 0.642

ejemplo Calcular el coseno de 130° Podemos escribir: 130°= 80°+ 50° A= 80°

Y

B=50°

cos (A+B)= cosA cos B - sen A senB cos (80°+50°)= cos 80° cos50° - sen 80°sen50°

Sen130°= (0.1736)(0.6427)-(0.9848)(0.77600)= -0.6428 Porque el resultado es negativo __________________________________

Ejercicios: 1.- Calcular cos 88° considerando 88°= 60° y 28° A=

Y

B=

cos (A+B)= cosA cos B - sen A senB cos ( cos

) = cos =(

)(

cos

- sen

)+(

sen )(

)=

2.- Calcular cos 65° considerando 65°= 30° y 35° A=

Y

B=


) = cos =(

)(

cos

- sen

)+(

sen )(

)=

3.- Calcular cos 210° considerando 210°= 90° y 120° A=

Y

B=


) = cos = (

)(

cos

- sen

)- (

sen )(

)=

d) Coseno de la diferencia. En la expresión del coseno de la suma sustituímos β por -β cos(α− β ) = cos[α +(− β )] = cosα cos(-β )− senα sen(β ) = cosα cosβ− senα (−senβ ) = cosα cosβ + senα senβ si a= A y b=B


cos (A-B)= cosA cos B + sen A senB Ejemplo.

Calcular el coseno de 30° Podemos escribir: 30°= 70°-40° A= 70°

Y

B=40°

cos (A-B)= cosA cos B + sen A senB cos ( 70°- 40° ) = cos70 cos40° + sen 70°sen40° cos30°= (0.3420)(0.7660) + (0.9396)(0.6427)= 0.8657 ejemplo Calcular el coseno de 18° Podemos escribir: 18°= 22°- 4° A= 22°

Y

B=4°

cos (A-B)= cosA cos B + sen A senB cos (22°-4°)= cos 22° cos4° + sen 22°sen4° Sen18°= (0.9271)(0.9975) + (0.3746)(0.697)= 0.9518 Ejercicios: 1.- Calcular cos 90° considerando 90°= 180° - 90° A=

Y

B=

cos (A-B)= cosA cos B + sen A senB cos ( cos

) = cos =(

)(

cos

+ sen

)+(

sen )(

)=

2.- Calcular cos 120° considerando 120°= 140° -20° A=

Y

B=


) = cos =(

)(

cos )+(

+ sen

sen )(

)=

3.- Calcular cos 210° considerando 140°= 180° - 40° A=

Y

B=


) = cos = (

cos

)(

+ sen

)+ (

sen )(

)=

e) Tangente de la suma. tg(α+ β ) = sen(α + β ) / cos(α + β ) = ( senα cosβ + cosα senβ )/( cosα cosβ− senα senβ ) = ( tgα+ tgβ )/(1−tgα tgβ ) si a= A y b=B tan (A + B)=


tan A + tan B 1 − tan A tan B

Ejemplo. Calcular la tangente de 58° Podemos escribir: 58°= 25° + 33° A= 25°

Y

B= 33°

tan (A+B)=


tan ( 25°+ 33° ) = tan58°=

tan 25 ° + tan 33 ° 1 − tan 25 ° tan 33 °

0.4663 + 0.6494 1.1157 = =1.6002 1 − (0.4663 )( 0.6494 ) 0.6972

ejemplo Calcular la tangente de 100° Podemos escribir: 100°= 40°+ 60° A= 40°

Y

tan (A+B)=

B=60°


tan (40°+60°)= tan 100°=

tan 40 ° + tan 60 ° 1 − tan 40 ° tan 60 °

0.8390 +1.7320 2.578 = = −5.671 1 − (0.8390 )(1.7320 ) 0.4533

porque el resultado es negativo_____________________________________________ Ejercicios: 1.- Calcular tan15° considerando 15°= 10° + 5° A=

Y

B=


tan (A+B)=

tan (

) =

tan

=

2.- Calcular tan 90° considerando 90°= 45° + 45° A=

Y

tan (A+B) = tan (

tan

B=


) =

=

3.- Calcular tan 45° considerando 45°= 25° + 20° A= tan (A-B)=

tan (

Y

B=


)=

tan

=

f) Tangente de la diferencia. tg(α− β ) = sen(α− β )/ cos(α− β ) = ( senα cosβ− cosα senβ )/( cosα cosβ + senα senβ ) = ( tgα− tgβ ) /(1+ t gα tgβ ) si a= A y b=B


tan A − tan B 1 + tan A tan B

tan (A - B)= Ejemplo.

Calcular la tangente de 50° Podemos escribir: 50°= 70° - 20° A= 70°

Y

tan (A-B)=

B= 20° tan A − tan B 1 + tan A tan B

tan ( 70° - 20° ) = tan58°=

tan 70 ° − tan 20 ° 1 + tan 70 ° tan 20 °

2.7474 − 0.3639 2.3835 = =1.1919 1 + (2.7474 )( 0.3639 ) 1.9997

ejemplo Calcular la tangente de 220° Podemos escribir: 220°= 260°- 40° A= 260°

Y

tan (A-B)=

B=40°


tan (260°- 40°)= tan 100°=

tan 260 ° − tan 40 ° 1 − tan 260 ° tan 40 °

5.6712 − 0.8390 4.8322 = = 0.8391 1 − (5.6712 )( 0.8390 ) 5.7587

Ejercicios:

1.- Calcular tan300° considerando 300°= 330-30° A=

Y

tan (A-B)=

tan (

B=


) =

tan

=

2.- Calcular tan 57° considerando 57°= 60° - 3° A=

Y

tan (A-B) =

tan (

tan

B=


) =

=

3.- Calcular tan 87° considerando 87°= 120° - 33° A=

tan (A-B)=

Y

B=


Teoremas de la angulo doble y ángulo mitad Seno del ángulo doble. Hacemos β = α

en la expresión del coseno de la suma

sen(α + β ) = senα cosβ + cosα senβ = senα cosα + cosα senα = 2 senα cosα Luego: sen(2α ) = 2 senα cosα si a= A y b=B


Sen (2A)= 2senA cos A Ejemplo. Calcular el seno de 20° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 20°/ 2 = 10°

entonces A= 10°

Sen 2(10° )= 2sen10° cos 10° sen (20°)= 2(0.1736)(0.9846)=0.3419 ejemplo Calcular el seno de 50° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 50°/ 2 = 25°

entonces A= 25°

Sen (2A)= 2senA cos A Sen 2(25° )= 2sen25° cos 25° sen (25°)= 2(1.4226)(0.9063)= 0.7660 Ejercicios: 1.- Calcular sen 1000° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos /2=

entonces A=

Sen (2A)= 2senA cos A Sen 2(

° ) = 2sen

° cos

°

sen (

°) = 2(

)(

)=

2.- Calcular sen 1500° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos /2=

entonces A=


° ) = 2sen

sen (

°) = 2(

° cos )(

° )=

3.- Calcular sen 220° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos /2=

entonces A=


° ) = 2sen

sen (

°) = 2(

° cos )(

° )=

Coseno del ángulo doble. Hacemos β = α

en la expresión del coseno de la suma

cos(α + β ) = cosα cosβ− senα senβ = cos2α− sen2α Es decir: cos(2α ) = cos2α− sen2α si a= A


cos (2A)= cos 2 A − sen 2 A Ejemplo. Calcular el coseno de 80° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 80°/ 2 = 40°

entonces A= 40°

cos (2A)= cos 2 A − sen 2 A cos 2(40° )= cos 2 40 ° − sen 2 40 °

cos 2 (40°) = (0.7660 ) 2 − (0.6447 ) 2 = 0.4195

Ejemplo. Calcular el coseno de 120° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 120°/ 2 = 60°

entonces A= 60°

cos (2A)= cos 2 A − sen 2 A cos 2(60° )= cos 2 60 ° − sen 2 60 ° cos 2 (40°) = (0.5) 2 − (0.8660 ) 2 = −0.5

Ejercicio. Calcular el coseno de 48° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 48°/ 2 =

°

entonces A=

°

cos (2A)= cos 2 A − sen 2 A cos 2(

° )=

cos 2 (

°) =

Ejercicio. Calcular el coseno de 220° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 220°/ 2 =

°

entonces A=


° )=

cos 2 (

°) =

Ejercicio. Calcular el coseno de 90°

°

Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 90°/ 2 =

°

entonces A=

°


° )=

cos 2 (

°) =

Tangente del ángulo doble. tg(α+ β ) = ( tgα + tgα )/(1−tgα tgα ) = 2 tgα/(1−tg2α ) si a= A tan 2(A)=

Podemos expresar la formula como. 2 tan A 1 − tan 2 A

ejemplo. Hallar la tan 150° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 150°/ 2 =75° tan 2(A)=

; entonces A= 75 °

2 tan A 1 − tan 2 A

tan 2(75°) =

2 tan 75 ° 2(3.7320 ) = = o.5773 2 1 − tan 75 ° 1 − (3.7320 ) 2

ejemplo. Hallar la tan 350° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 350°/ 2 =175° tan 2(A)=

; entonces A= 175 °


tan 2(75°) =

2 tan 75 ° 2(3.7320 ) = = o.5773 2 1 − tan 75 ° 1 − (3.7320 ) 2

eejercicios 1.- Hallar la tan 210° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 210°/ 2 =

°

tan 2(A)= tan 2(

; entonces A=

°


°) =

2.- Hallar la tan 120° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 120°/ 2 =

°

tan 2(A)= tan 2(

; entonces A=

°


°) =

3.- Hallar la tan 190° Para hallar el valor de A se divide el angulo entre dos 190°/ 2 = tan 2(A)= tan 2(

°

; entonces A=


°) =

Coseno y seno del ángulo mitad.

°

cos(2α ) = cos2α− sen2α Si hacemos α = α / 2 tenemos: cosα = cos2(α/2)−sen2(α/2). y como según Pitágoras: 1=cos2(α/2)+ sen2(α/2) sumando ambas expresiones: 1+cosα = 2 cos2(α/2) de donde: cos(α/2) =[( 1+cosα )/2 ]½ restándolas: 1-cosα = 2 sen2(α/2) si a= A sen

de donde:


A 1 − cos A = 2 2

Ejemplo. Calcular el sen 70° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (70°) 2 = 140° sen

entonces A=140°

140 1 − cos 140 ° = 2 2

sen 70 ° =

1 − (−0.7660 ) = 0.9396 2

Ejemplo. Calcular el sen 35° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (35°) 2 = 70° sen

entonces A=70°

70 1 − cos 70 ° = 2 2

sen 70 ° =

sen(α/2) =[( 1-cosα )/2 ]½

1 − (0.3420 ) = 0.5735 2

Ejercicio. Calcular el sen 120° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (120°) 2 = 240°

entonces A=240°

sen

240 1 − cos 240 ° = 2 2

sen 240 ° =

Ejercicio. Calcular el sen 68° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (68°) 2 = sen

°

entonces A=

°

A 1 − cos A = 2 2

Sustituyendo se tiene. sen

70 1 − cos 70 ° = 2 2

sen Ejercicio. Calcular el sen 22° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (

°) 2 =

sen

°

entonces A=

°

A 1 − cos A = 2 2

Sustituyendo se tiene. sen

2

=

1 − cos 2

sen Si en la formula que se determino se tiene cos(α/2) =[( 1+cosα )/2 ]½ si a= A cos


A 1 + cos A = 2 2

Ejemplo. Calcular el cos 20° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (20°) 2 = 40° cos

entonces A=40°

40 1 + cos 40 ° = 2 2

cos 20 ° =

1 + (0.7660 ) = 0.9396 2

Ejemplo. Calcular el sen 180° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (180°) 2 = 360° cos

entonces A=360°

360 1 + cos 360 ° = 2 2

cos 180 ° =

1 +1 =1 2

Ejercicio. Calcular el cos 190° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (190°) 2 = 380° cos

entonces A=380°

380 1 − cos 380 ° = 2 2

cos 190 ° =

Ejercicio. Calcular el cos 330° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (330°) 2 = cos

°

A 1 − cos A = 2 2

entonces A=

°

Sustituyendo se tiene. cos

330 1 − cos 330 ° = 2 2

cos

Ejercicio. Calcular el cos 228° Para hallar el valor de A se mulltiplica el angulo por dos (

°) 2 =

cos

°

entonces A=

°

A 1 − cos A = 2 2

Sustituyendo se tiene. cos

2

=

1 − cos 2

Cos=

Tangente del ángulo mitad. tg(α/2) = sen(α/2)/ cos(α/2) =[( 1-cosα )/2 ]½ / [(1+cosα )/2 ]½=[(1-cosα )/( 1+cosα ) ]½ si a= A tan


A 1 − cos A = 2 1 + cos A

Ejemplo. Calcular el tan 18° Para hallar el valor de A se multiplica el angulo por dos, el angulo dado. (18°) 2 = 36°

entonces A=36°

A 1 − cos A = 2 1 + cos A

tan

Tenemos. tan

36 1 − cos 36 ° = 2 1 + cos 36

tan 18 ° =

1 − (0.8090 ) = 0.3249 1 + (0.8090 )

Ejemplo. Calcular el valor de tan65° Para hallar el valor de A se multiplica el angulo,dado por dos (65°) 2 = 110° tan

entonces A=110°

110 1 − cos 110 ° = 2 1 + cos 110

tan 55 ° =

1 − ( −0.3420 ) = 1.4281 1 + ( −0.3420 )

Porque los angulos de cos 110° son negativos ___________________________________

Ejercicio. Calcular el valor de tan138° Para hallar el valor de A se multiplica el angulo,dado por dos (138°) 2 = tan

A 1 − cos A = 2 1 + cos A

Tenemos.

°

entonces A=

°

tan

2

1 − cos 1 + cos

=

tan

2

=

Ejercicio. Calcular el valor de tan198° Para hallar el valor de A se multiplica el angulo,dado por dos (

°) 2 = tan

°

entonces A=

°

A 1 − cos A = 2 1 + cos A

Tenemos. tan

2

1 − cos 1 + cos

=

tan

2

=

Ejercicio. Calcular el valor de tan280° Para hallar el valor de A se multiplica el angulo,dado por dos (

°) 2 = tan

°

entonces A=

°

A 1 − cos A = 2 1 + cos A

Tenemos. tan

2

1 − cos 1 + cos

=

tan

2

=

ADICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. Suma de senos. sen(p+q)=sen p·cos q+cos p·sen q

sen(p-q)=sen p·cos q-cos p·sen q sen(p+q)+sen(p-q)=2·sen p·cos q sen A + sen B = 2·sen[ (A+B) / 2]·cos [(A-B) / 2] Diferencia de senos. sen(p+q)-sen(p-q)=2·cos p·sen q sen A - sen B = 2·cos[(A+B) / 2]·sen[ (A- B) / 2]

Suma de cosenos. cos(p+q)=cos p · cos q-sen p·sen q cos(p-q)=cos p·cos q+sen p·sen q Sumando: cos(p+q)+cos(p-q)=2·cos p·cos q Si llamamos: p+q=A y p-q=B tenemos que: p=A-q A-2q=B q=(A-B)/2 p=A-(A-B)/2=(A+B)/2 sustituyendo:

cos A + cos B = 2·cos[(A + B) / 2] ·[cos (A-B) / 2]

Diferencia de cosenos: cos(p+q)-cos(p-q) = -2·sen p· sen q cos A - cos B = - 2·sen[ (A+B) /2 ]·sen[ (A-B) / 2]

sen A - sen B = 2·cos[(A+B) / 2]·sen[ (A- B) / 2]

ECUACION TRIGONOMETRICA. Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. La ecuación trigonométrica es una igualdad que se cumple para ciertos valores del argumento. Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del ángulo que satisface dicha ecuación. (A veces es más de un valor).

Resolver una ecuación trigonometrica significa encontrar todas las soluciones positivas (o cero) menores de 360° esto es toda

Q en el intervalo 0°≤

Q<360° o tambien 0°≤

Q<2 p.

No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. El proceso para encontrar las soluciones de una ecuacion trigonometrica incluye metodos tanto algebraicos como trigonometricos. las siguientes sugerencias serviran para la solucion de la mayoria de las ecuaciones trigonometricas.

A) si solamente se incluye una funcion de un angulo simple,resuelvase algebraicamente para los valores de la funcion,después determine el angulo correspondiente. B) Si un miembro de la ecuación es cero y el otro es factorizable,hagase cada factor igual a cero y resuelvase la ecuación resultante. C) Si se incluyen varias funciones de angulos simples,utilicese las relaciones fundamentales para expresar todo en terminos de una sola funcion simple. Después procedase como en A D) Si se incluyen varios angulos utilicese las identidades fundamentales para expresar todo en terminos de un angulo simple des pues procedase como en C Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original. Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica . Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero. A)si solamente se incluye una funcion de un angulo simple,resuelvase algebraicamente para los valores de la Funcion,después determine el angulo correspondiente EJEMPLO. Resolver la ecuacon Solucion:

cos 2

4 cos 2 θ = 3 , resolver para

Q

3 4

Por lo que tenemos cos θ =

3 2

cos θ = −

3 2

Q= 30°, 330° Q=150°,210°

Ordenando las soluciones por magnitud ,tenemos Q=30°,150°, 210°, 330° NOTA.Resolver una de estas ecuaciones, significa encontrar el valor del ángulo que satisface dicha ecuación. (A veces es más de un valor). Ejemplo: Resolvamos la ecuación trigonométrica para 0º < x < 90º

Aquí determinamos, sin problema, el ángulo x, acordándonos de los valores anteriormente aprendidos. En otra situaciones tendremos que recurrir a la calculadora. Resolvamos ahora la ecuación

Si un miembro de la ecuación es cero y el otro es factorizable,hagase cada factor igual a cero y resuelvase la ecuación resultante Ejemplo.

Ejemplo.

senx − 2 senx cos x = 0 Sacando como factor a sen x tenemos.

senx (1 − 2 cos x) = 0 Se iguala cada uno de los factores a cero. Sen x = 0 Cuando se tiene que senx vale cero, entonces el angulo sera. X1= 0°

Y

X2=180°

Igualando el otro factor a cero , tenemos. 1- 2 cos x = 0 Despejando a cos x

cos x = −

1 2

Para el coseno de

X1=60°

Y

1 los angulos seran. 2

X2= 300°

E) Si se incluyen varias funciones de angulos simples,utilicese las

relaciones fundamentales para expresar todo en terminos de una sola funcion simple. Después procedase como en A

Ejemplo.

2 tan 2 x + sec 2 x = 2 Sabemos que sec 2 x = 1 + tan 2 x Sustituyendo se tiene.

2 tan 2 x + 1 + tan 2 x = 2 1 + 3 tan 2 x = 2 3 tan 2 x = 2 − 1 tan x = ±

1 3

Para este valor de la tangente ,se tiene que el angulo es X1=30° , X2=210° y X3= 150°.

ejemplo

Si se incluyen varios angulos utilicese las identidades fundamentales para expresar todo en terminos de un angulo simple des pues procedase como en C.

Ejemplo.

cos 2θ = 3sen θ + 2

Resolver para Q

Esta ecuación incluye dos angulos como, la ecuación anterior, no es conveniente remplazr senQ Por una funcion de 2Q, porque esto nos llevaria al radical.

±

1 − cos 2θ 2

comprobar porque?

Es mejor remplazar cos2Q por una de sus tres formas. (indica cuales son?) 1.2.3.Dado que el segundo miembro incluye solamente senQ, se escoge la forma 2Q=1-2sen2Q Para reducir inmediatamente a la misma funcion del angulo simple. Se tiene entonces

1 − 2 sen 2θ = 3sen θ + 2 2 sen 2θ + 3sen θ + 1 = 0 Factorizando, se tiene.

(2 sen θ +1)( sen θ +1) = 0 Resolviendo se tiene.

sen θ = −

1 2

senQ=210°,330°

sen θ = −1 senQ=270°

Ejercicios. 1.- 2 sen 2 x − 5senx − 3 = 0

7.- 2 sen 2 x − 5senx − 3 = 0

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: FUNCIÓN SENO, FUNCIÓN COSENO Y FUNCIÓN TANGENTE.

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0.INTRODUCCIÓN Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.

Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con
Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades: Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87). Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.). Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación). Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64). A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64. (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos). 1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa. Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa. Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo. sen(B) = AC/BC cos(B) = BA/BC tan(B) = AC/BA Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.

Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.

Funciones trigonométricas Autora: Silvia Sokolovsky

Desde Thales a las funciones Trigonométricas Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)

La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa.

Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado

con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica. Funciones Trigonométricas

Si dividimos

llamaremos a esta función seno.

Si dividimos

llamaremos a esta función Coseno

Si dividimos

llamaremos a esta función Tangente.

Si dividimos

llamaremos a esta función Cosecante.

Si dividimos

llamaremos a esta función Secante.

Si dividimos

llamaremos a esta función Cotangente.

La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y tangente con cotangente.

Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado. Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5 Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º: Función Seno: α 0 45 90 135 180 225

sen α 0 0,71 1 0,71 0 - 0,71

270 -1 315 - 0,71

Función Coseno:

360

0

α 0 45 90 135 180 225 270 315

cos α 1 0,71 0 -0,71 -1 0,71 0 0,71

360

1

Función Tangente: α tg α 0 0 45 1 90 //// 135 - 1 180 0 225 1 270 //// 315 - 1 360

0

//// significa que no se puede calcular el valor de la función, el resultado no existe (asíntota).

Función Secante

0 45 90 135 180 225 270 315

sec α 1 1,41 //// -1,41 -1 1,41 //// 1,41

360

1

α

Función Cosecante:

0 45 90 135 180 225 270 315

Cosec α //// 1,41 1 1,41 //// - 1,41 -1 - 1,41

360

////

α

Función Cotangente:

α 0 45 90 135 180 225 270 315

Cotg α //// -1 0 1 //// -1 0 ////

360

-1

Sistema Circular de Medición de Ángulos: El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "π "). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2π . 180º = π

ó 360º = 2π π

En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º ( /2) cada una, que va desde 0º hasta 360º (2π ), a las que se denomina cuadrantes: 1er cuadrante: 0º a 90º 2do cuadrante: 90º a 180º 3 er cuadrante: 180º a 270º 4to cuadrante: 270 a 360º Funciones Trigonométricas de ángulos complementarios Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son complementarios entre si: α + β = 9 0 º ⇒ β = 9 0 º − α

tg (90 − α ) = cotg α cotg (90 − α ) = tg α sec (90 − α ) = cosec α cosec (90 − α ) = sec α Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios son opuestas. En caso de los ángulos de (90º − α ) los ángulos caen en el primer cuadrante y los signos son todos positivos.

Funciones trigonométricas de ángulos suplementarios Los ángulos suplementarios suman entre si 180º : α + β

= 180º ⇒ β =

180º − α

En este caso las funciones quedan iguales sólo cambia el signo según el cuadrante que caiga: sen (180º − α ) = sen α Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante: En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos "x"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos "y". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos "r".

Ya que "x", "y", "r", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas. sen cosec tg cotg cos + + + + +

sec +

En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos. sen cosec tg + + −

cotg cos sec − − −

En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (− : − = +) sen cosec tg − − +

cotg cos sec + − −

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante. sen cosec tg cotg cos − − − − +

sec +

Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:

cuadrantes sen - cosec II I + + III IV − −

. Funciones trigonométricas

cos - sec + − + −

tg - cotg − + + −

En el caso de éstas funciones, es conveniente utilizar la medida de radianes; es importante mencionar que cada función tiene una gráfica específica. En el caso específico del seno y coseno, su dominio es (-∞,∞) y su imagen [-1, 1]. Veamos en las gráficas.

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS.

trigonometria basica- 2011

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