9.9 TRENES DE ENGRANES EPICICLICOS O PLANETARIOS
Los trenes de engranes convencionales descritos son dispositivos de un grado de libertad, el tren epicíclico o planetario es un dispositivo de dos grados de libertad es decir se requieren dos entradas para obtener una salida predecible (fgura 1), ejemplo como el dierencial automotriz, que proporciona una entrada (el eje motriz) y se obtienen dos salidas riccionalmente acopladas (las dos ruedas impulsoras).
Figura 1. Los engranajes convencionales son casos especiales de engranajes epicíclicos epicíclicos o planetarios.
n este ejemplo simple de tren epicíclico, el !nico engrane que queda, del que se puede tomar una salida despu"s de aplicar las entradas al solar y al brazo, es el planetario. s un poco diícil obtener una salida utilizable de este engrane al orbitar ya que su pivote est# en movimiento. Engranaje anular
ste engrane anular engrana con el planetario y pivotea en $%, de modo que puede &abilitarse con acilidad como elemento de salida. La mayoría de los trenes planetarios ser#n dispuestos con engranes anulares para devolver devolv er el movimiento planetario a un pivote fjo. $bs"rvese como el engrane solar, el engrane anular y el brazo uncionan como ejes &uecos coa'iales, de modo que cada uno puede ser accesado para &abilitar su velocidad angular y par de torsin como una entrada o una salida.
anular utilizado como salida Figura 2. Engranajes planetarios con un engrane anular
Los trenes epicíclicos vienen en muc&as variedades, Levai catalogo 1% tipos posibles de trenes epicíclicos b#sicos, como se muestra en la fgura %. stos trenes b#sicos pueden conectarse entre sí para crear un gran n!mero de trenes con m#s grados de libertad. Calculo
omo los engranes giran con respecto al brazo y este tiene movimiento, se tiene un problema de dierencia de velocidad que requiere aplicar la ecuacin* V PA =V P + V A V P =V A + V PA
La velocidad est# siempre en una direccin perpendicular al radio de rotacin y tangente a la trayectoria del movimiento, como se muestra en la fgura %.
Figura 3. Un eslabón en rotación pura.
+i se reescribe la ecuacin de dierencia de velocidad en uncin de velocidades angulares propias de este sistema, se obtiene* W engranaje =W brazo + W engranaje/ brazo
+e requieren las siguientes ecuaciones para encontrar las velocidades en un tren epicíclico, siempre que se conozcan los n!meros de dientes y las dos condiciones de entrada. W engranaje =W brazo + W engranaje/ brazo mv =±
d ent d sal
=±
N ent N sal
( relacionde velocidad )
Figura 4. Doce posibles trenes epicíclicos de Levai.
Método tabular
na orma de analizar las velocidades en un tren epicíclico es crear una tabla que represente la ecuacin -.1% por cada engrane en el tren. Paradoja de ergu!on
Los trenes epicíclicos tienen varias ventajas sobre los convencionales, entre las cuales est#n* relaciones de tren m#s altas en paquetes m#s pequeos, reversin por omisin y salidas bidireccionales, simultaneas, conc"ntricas con una entrada unidireccional !nica. stas características &acen que los trenes planetarios sean de uso com!n como en transmisiones autom#ticas en automviles y camiones, etc. Método de la "or#ula
/o es necesario tabular la solucin de un tren epicíclico. La rmula de dierencia de velocidad puede resolverse de manera directa para la relacin del tren. s posible reacomodar la ecuacin -.1% para resolverla para el t"rmino de dierencia de velocidad. ntonces, W F
representa la velocidad
angular del primer engrane en el tren (elegido en uno u otro e'tremo) y W L la velocidad angular del ultimo engrane del tren (en el otro e'tremo).
0ara el primer engrane del sistema W F /brazo =W F −W brazo
0ara el !ltimo engrane en el sistema W L /brazo =W L−W brazo
+i se divide la !ltima entre la primera* W L /brazo W F / brazo
=
W L −W brazo W F −W brazo
= R
sta ecuacin puede resolverse para cualquiera de las variables del segundo miembro siempre que los otros dos &ayan sido defnidos como las dos entradas a este tren de dos grados de libertad. +e debe conocer o las velocidades del brazo m#s la de un engrane o las velocidades de dos engranes, el primero y el ultimo, si así se designaron. $tra limitacin de este m"todo es que tanto el primero como el ultimo engrane elegido deben estar pivotados en la bancada (sin orbitar) y debe &aber una trayectoria de engranados que los conecte, los cuales pueden incluir engranes planetarios orbitando. R=±
W L −W brazo producto del numero de dientesde engranes motrices = producto delnumero de dientes de engranesimpulsados W F −W brazo
Eje#$lo
n#lisis de un tren epicíclico mediante el m"todo tabular. 0roblema* onsid"rese el tren mostrado en la fgura, el cual tiene los siguientes n!meros de dientes y condiciones iniciales* • • • • •
ngrane sol /% 2 engrane e'terno de 34 dientes ngrane planetario /5 2 engrane e'terno de %4 dientes orona dentada /3 2 engrane interno de 64 dientes ntrada al brazo %44 rpm en el sentido de las manecillas del reloj ntrada al solar 144 rpm en el sentido de las manecillas del reloj
ncuentre la velocidad angular absoluta de la corona dentada. Soluc%&n' () La tabla de solucin se dispone con una columna por cada termino en
la ecuacin -.1% y una fla por cada engrane en el tren. +era conveniente poder acomodar la tabla de modo que los engranes conectados ocupen flas adyacentes. n la f gura se muestra la tabla para este m"todo, antes del ingreso de datos.
*) $bs"rvese que las relaciones de engranes se muestran sobre las f las de
engranes a las cuales se aplican.
La columna de relacin de engranes se coloca junto a la columna que contiene las dierencias de velocidad W engranaje / brazo porque las relaciones de engranes se aplican solo a la dierencia de velocidad. La relaciones de engranes no se pueden aplicar directamente a velocidades absolutas en la columna W engranaje . +) La estrategia de solucin es simple, pero con ella se pueden cometer
errores si no se tiene cuidado. $bs"rvese que se resolver# una ecuacin vectorial con algebra escalar y que los signos de los t"rminos denotan el sentido de los vectores, los cuales est#n dirigidos a lo largo del eje 7. +e debe tener cuidado de introducir los signos correctos de las velocidades de entrada y de las relaciones de engranes en la tabla o el resultado ser# incorrecto. lgunas relaciones de engranes pueden ser negativas si implican conjuntos de engranes e'ternos y algunas ser#n positivas si implican un engrane interno. n este ejemplo se presentan ambos tipos. ,) l primer paso es introducir los datos conocidos en la fgura, que en este
caso son la velocidad del brazo (en todas las flas) y la velocidad absoluta del engrane % en la columna 1. 8ambi"n se pueden calcular y colocar las relaciones de engranes en sus ubicaciones respectivas. $bs"rvese que estas relaciones deber#n calcularse para cada conjunto de engranes de una manera consistente, al seguir el 9ujo de potencia a trav"s del tren. s decir, si se inicia en el engrane % como impulsor, impulsa el engrane 5 directamente. sto &ace que su relacin :/%;/5, o entrada sobre salida, no sea el reciproco. sta relacin es negativa porque el conjunto de engranes es e'terno. l engrane 5 a su vez impulsa el engrane 3 de modo que su relacin es
-) na vez que cualquier fla tiene dos entradas, se puede calcular el valor
de su columna restante con la ecuacin -.1%. na vez que se encuentra cualquier valor en la columna de dierencia de velocidad (columna 5) se pueden aplicar relaciones de engranes para calcular los dem#s valores en esa columna. >inalmente, se pueden calcular las flas restantes con la ecuacin -.1% para obtener las velocidades absolutas de todos los engranes en la columna 1. stos c#lculos se muestran en la fgura, los cuales completan la solucin.
() +e puede calcular el valor del tren completo en este ejemplo con la tabla
y es, del brazo a la corona dentada, <1.%?*1@ y del engrane sol a la corona dentada <%.?*1. 9./EICIENCIA DE LOS TRENES DE ENGRANES
La defnicin general de efciencia es potencia de salida;potencia de entrada. +e e'presa como una raccin (A decimal) o como porcentaje. La efciencia total del tren ser# el producto de las efciencias de todas sus etapas. 0or ejemplo, un tren de dos etapas ambas con efciencias de 4 2 4.-6 tendr# una efciencia total de &2 4.-6% 2 4.-B. 0ara calcular la efciencia total μ
de un tren epicíclico se debe defnir
una relacin b#sica ρ que est# relacionada con el valor undamental del tren C defnido en la ecuacin* W L /brazo W F / brazo
=
W L −W brazo W F −W brazo
= R
+i C D 1, entonces ρ 2 C si no ρ=1 / R stas restricciones de ρ representan un aumento de la velocidad en lugar de un decremento sin considerar la manera en que se pretende operar el tren. 0ara calcular el par de torsin y la potencia en un tren de engranes epicíclico, puede considerarse que es una Ecaja negraF con tres ejes conc"ntricos como se muestra en la f gura.
•
•
•
stos ejes se rotulan con 1, %, y brazo, y la cone'in a cualquiera de los Ee'tremosF del tren de engranes y a su brazo, respectivamente. Gos de estos ejes pueden servir como entradas y el tercero como salida en cualquier combinacin. /o se requieren los detalles de la confguracin interna del tren si se conoce su relacin b#sica
•
•
•
•
ρ
y la efciencia b#sica Eo de sus
engranajes. 8odo el an#lisis se realiza con respecto al brazo del tren puesto que el 9ujo de potencia interno y las perdidas solo son aectados por la rotacin de los ejes 1 y % con respecto al brazo, no por la rotacin de toda la unidad. 8ambi"n se modela como con un solo engrane planetario con el objeto de determinar Eo con base en la suposicin de que la potencia y las perdidas en realidad se dividen por igual entre todos los engranes del tren. Los pares de torsin y las velocidades angulares en el sentido contrario al de las manecillas del reloj se consideran positivos. La potencia es el producto del par de torsin por la velocidad angular, así que una potencia positiva es una entrada (par de torsin y velocidad en la misma direccin) y una potencia negativa una salida.
+i el tren unciona a 0eloc%dad con!tante , puede suponer equilibrio est#tico y los pares de torsin sumaran cero. 1 + 2+ brazo =0
La suma de las potencias de entrada y salida tambi"n debe ser cero, pero la direccin del 9ujo de potencia aecta el c#lculo. •
+i la potencia 9uye del eje 1 al %, entonces*
E! 1 ( " 1−" brazo ) + 2 ( "2− "brazo ) =0 brazo 1 = ρ E 0 −1 2 =
− ρ E brazo ρ E −1 0
0
•
+i la potencia 9uye de eje % al 1, entonces
1 ( " 1−" brazo ) + E ! 2 ( "2− "brazo ) =0 E 0 brazo 1 = ρ − E0
2 =
− ρ brazo ρ− E 0
na vez que se encuentran los pares de torsin, se puede calcular la potencia de entrada y salida con las velocidades de entrada y salida conocidas (con un an#lisis cinem#tico, como se describi antes) y luego se determina la efciencia con la potencia de salida;potencia de entrada. 'isten oc&os casos posibles dependiendo de que eje es fjo, que eje es el de entrada y si la relacin b#sica ρ , es positiva o negativa. stos casos se muestran en la fgura.
Eje#$lo
Geterminacin de la efciencia de un tren de engranes epicíclico.H 0roblema* ncuentre la efciencia total del tren epicíclico mostrado en la fgura. La efciencia b#sica en E0 es 4.--%6 y el n!mero de dientes de los engranes son* / 2 6% dientes, /I 2 63 dientes, / 2 6B dientes, /G 2 6% dientes, / 2 6% dientes y /> 2 63 dientes. l engrane (eje %) esta fjo en la estructura y proporciona una entrada de velocidad cero. l brazo se impulsa como la segunda entrada. Soluc%&n'
1) ncuentre la relacin b#sica ρ para el tren de engranes con las ecuaciones -.13 y -.1? $bs"rvese que los engranes I y tienen la misma velocidad que los engranes G y , así que sus relaciones son 1 y por tanto se omiten. ρ=
N F N # N $ N E N % N A
=
84∗82∗84 82∗86∗82
=1.000567
%) La combinacin de ρ J 1 con el eje % fjo y el brazo de entrada corresponde al caso % en la tabla -K1% y da una efciencia de* E ! ( ρ − 1) ρ− E !
=
(
0.9928 1.000567 1.000567
−1)
−0.9928
=0.073 =7.3
5) sta es una efciencia muy baja, por lo que esta caja de engranes no es util apro'imadamente -5A de la potencia de entrada circula por el tren de engranes y se disipa como calor.
