Análisis Anális is de Elementos Elemen tos de Máquin M áquinas as y Mecanismo Meca nismoss Trenes de Engranes Planetarios (o Epicíclicos)
Para obtener obtene r un a r educción e ducción de engra eng ra nes desea dese a d a, con f r r ecuencia e cuenci a conviene diseñar diseñ ar un t r en e n de eng en g ra n ajes aj es de ma m a nera ne ra que uno de los engra engra nes tenga teng a movimiento planetario. Con este movimiento se log lo g ra que un engra eng ra n aje aj e se mueva muev a de t a l for fo r ma que no sola sol a mente gir gi r e al r ededor e dedor de su pr p r opio o pio centr centr o sino qu e a l mismo tiempo gir gi r e al r ededor e dedor de otr ot r o centr cent r o. L as figura figu rass 3.1 3.19 9 a y b muestra muest ran n dos tr tr enes e nes de eng en g ra n ajes aj es pla pl a net ne tar ios ios , en los que el engra eng ra ne 1 con f r r ecuencia e cuenci a r ecibe e cibe el nombr nomb r e de central o solar so lar y el eng en g ra ne 2 r ecibe e cibe el nombr nomb r e de engra eng ra ne p laneta o saté sa télit lite. e.
Figura 3.19
En l a figura figu ra 3 .19 ra z o 3 mueve al engra eng ra naje aj e 2 a l r ededor e dedor del engra eng ra naje aj e 1 que es un engra eng ra n aj e .1 9. a, el b raz exter exte r no no fi j fi jo o. Como se puede ver, ver, el engra eng ra n aje aj e 2 gira gi ra al r ededor e dedo r de su centr cent r o B en ta t a nto que este centr cent r o gira gi ra al r ededor e dedo r del punto A. A. Confor Confor me m e el engra eng ra ne 2 r ued ue d a al r ededor e dedo r de l eng ra n aje aj e exter exter io io r 1 , un punto de su super supe r ficie f icie genera gene ra una un a epicicloide. epicicloide. La figura figu ra 3 .19 b mu est ra el c a so en que engra eng ra naje aj e 1 es un engra eng ra n aje aj e inter inte r no no . En este ca c a so se .1 9. b aj e 2 . Debido a l a s cur genera genera una un a hipocicloide con un punto en la l a super supe r ficie ficie del engra eng ran n aje cu r v asgenera genera d as , con f r r ecuencia e cuenci a se lla ll a ma t r en e n de engra eng ra n ajes aj es epicíclico o cíclico. cíclico . Mé todo
de la Fórmula:
En l a figura figu ra 3 .19: .1 9: Velocida d a ngular ngular del bra b razz o 3 con r ela el a ción a l engra eng ra ne 1. D atos: [ 31 : Velocida Velocida d a ngular ngular del engra eng ra n aje aj e 2 con r ela el a ción al a eng en g ra naje aj e 1. H allar a llar : [21 : Velocida Debido a que el engra eng ra ne 1 está fi j fi jo o, esto es igua igu al que la l a velocida velocid a d a ngular ngul ar del engra eng ra ne 2 y del bra b razz o 3 con r ela el a ción a tie ti e rra . Consider Conside r e el tr t r en e n de engra eng ra najes aj es de la l a figura figu ra 3 .19 ca mbi mb ia de ma nera ne ra que el b raz o 3 esté .1 9. a que se ca est a cionar cion ar io, io , en lugar lug ar del engra eng ra n aje aj e 1. Entonces el bra b razz o 3 se convier convie r te t e en la l a tie ti e rra y se tiene en consecuencia consecuencia un t r en en o r din di n ar io i o de engra eng ra n ajes aj es.. P o r t a nto, nto , se puede eva ev a lu ar l a r ela el a ción [23 / [13 como ± N 1/N 2. Si a ho ra se devuelve el meca mec a nismo a su arr eglo arr eglo or or igina i gin al , o s ea que el b ra z o 3 está en movimiento y el engra eng ra n aj e 1 está fi j fi jo o, to d a vía ví a se ma ntiene la l a r ela el a ción ±N 1/N 2 par p araa [ 23/ [ 13. L a raz ra z ón de ello es que cuando se invierte un mecanismo, no cambia el movimiento relativo entre los eslabones. / [ 13
Aho Ah o ra se puede obtener obtener una un a solución par p araa [ 21 en función de la l a s c a ntida ntida des conocida conocid as [ 31 y [ 23 esc r ibiendo i biendo una un a ecu a ción par p araa [ 21 y dividiendo entr entr e [ 31 como se muestra muestra a continua continu a ción:
[ 2 1 = [31 + [23
Ing. LEÓN LE SCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ
49
Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos [ 1
!
[ 1
Por lo tanto,
1
[ !
1
[ 1
[ 1 ! [ 1
!
Para la Figura .19.a:
[ [ 1
(1
[
)
... ( .6)
[ 1
N 1 N
1
N [
! [
N [ 3
Para la Figura 3.19. b:
!
[ 13
[
...(3.6.a)
N 1 N
! [
N N
...(3.6. b)
Al comparar las ecuaciones 3.6.a y 3.6. b, se ve por qué es impor t ante sustituir el signo algebraico corr ecto de [ 23 / [ 13 en la ecu ación 3.6. Consider e a continuación el caso en el que todos los engra nes giran así como el braz o. Esto se ilustra en la Figura 3.2 0, en donde se conocen [ 31 y [ 41 , y se r e quier e encontrar [ 21 .Al r e solver este pr o blema, la r elación clave es [ 24 / [ 34 debido a que es la r elación de las velocidades de los dos engra nes con r elación al b ra zo y se puede evalu ar fácilmente.
Figura 3.20
Se pueden escr ibir ecu aciones para [ 24 y [34 y combinar se de manera qu e a par ezca la r elación [24 / [ 34 . Esto se ilustra de la siguiente for ma:
[24 = [21 - [41 [34 = [31 - [41 Dividiendo la pr im era ecu ación entr e l a segunda,
[ 21
!
per o,
¨ [ 24 ¸ ¨ [ ¸ ©© ¹¹[ 31 [ 41 ©©1 24 ¹¹ ª [ 34 º ª [ 34 º [ 24 [ 34
Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ
!
N 3 N 2
50
Análi i
l
nt
áquinas y Mecani smos Por lo ta to,
¨ [ 21 ! ©© ª
N 3 ¸
¨ N ¸ ¹¹[ 31 [ 41 ©©1 3 ¹¹ N 2 º ª N 2 º
..( 3.7)
Al obt r la ecuaciones 3.6 y 3.7, se vio que en ca a caso pr i ero se obtenía la relaci n de las vel ocidades angulares de los engr a nes con relaci n al br azo y luego se escr i bían las ecuaciones de vel ocidad relativa y se combina ban par a contener esta relaci n. Aunque este m étodo es básico, signi ica que se debe desarrollar una nueva ecuaci n par a cada sistema planetar i o que se encuentre. Par a evita r esta repetici n, es posi ble obtener una ecuaci n gener al que pueda a plicarse a cualquier tren de engr a ne s pla netar i os. Considere nuevamente la Figur a 3. 20 y las ecuaciones
y
[ 24
=
[2 1
-
[41
[ 34
=
[3 1
-
[41
[ [
24
34
!
[ [
21 31
[ [
41 41
Si en la Figur a 3 .20 se consider a que el engr a ne 3 es el pr i mer engr a ne y que el engr a ne últi mo engr a ne, la ecuaci n anter i or puede escr i birse como
[ LA [ L ! [ FA [ F
[ A [ A
2
es el
...(3 .8)
en donde:
[ LA = relaci n de las velocidades del último engr ane con respecto al pr imero, ambas con relaci n al br azo. [ FA [ L = Velocidad angular d el último engr a ne en el tren con rela ci n al esla bón f i jo. [ A = Velocidad angular d el br azo con relación al esla bón f i jo. [ F = Velocidad angular d el pr i mer engr a ne en el tren con rela ción al esla bón f i jo. Cuando se usa la ecuación 3.8 se debe enf a tizar que el pr i mer engr a ne y el último engr a ne deben ser engr a nes que se acoplen con el engr a ne o engr a nes que tienen movimi ento planetar i o. Asimismo, el pr i mer engr a ne y el último engr a ne deben estar en f l ech as par alelas debido a que las velocidades angulares no se pueden tr atar algebr aicamente a menos que los vectores que representan estas vel ocidades sean par alelos. Utilizando la ecuación 3 .8 par a escr i bir la ecua ción par a el tren de engr a nes de la Figur a 3 .19.a: Considere que el engr a ne 1 es el pr i mer engr a ne y que el engr a ne 2 es el último engr a ne: [
LA
[
L
[
[
F
[
!
[
FA
[ 23
[ LA
!
[
! [
FA
[L
=
[2 1
[A
=
[31
[F
=
[1
13
=
A A
N 1 N 2
0
Sustituyendo estos valores se obtiene
[ 21
!
¨ N ¸ [ 31 ©©1 1 ¹¹ ª N 2 º
Ing. LEÓ N LES C A N ± Ing. PALAC IOS GUAR N IZ
51
Análi si s de E le ment os de Máquinas y Mecani smos que concuerda con la ecuación 3 .6. a. Resumiendo podemos decir que en un tren de engr a nes planetar i os se cumple la ecuación: [
LA
[
FA
[ A = RV [ [ F A [
!
L
donde RV = relación de tr a ns misión
RV !
RV !
Pr oduct o
de l os d ient es de l os engranes mot r ices Pr oduct o de l os d ient es de l os engranes movidos Pr oduct o de l os d iámet ros de l os engranes mot ri ces Pr oduct o de l os d iámet ros de l os engranes movidos
Ejemplo 3.4: En el tren de engr a nes de la Figur a 3 .2 1, las entr a das son: el engr a ne sol 5 y el engr a ne anular 2 . Par a velocidades angulares dadas de [ 5 = 200 rpm y [ 2 = 500 rpm (ambas antihor ar ias vistas desde la derecha), calcule la velocidad de rotación del br azo 6 .
Fi Sol ción:
[ A = RV [ [ F A [
L
identif i cando términos, se tiene: = [A = [F = [L
[2 [6 [5
[2 [
Ing. LEÓ N LES C A N O ± Ing. PALAC IOS GUAR N IZ
5
[6 =RV [6
52
Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos
[6 = 300 [ 6 500
[6 =
¨ 5 ¸¨ 8 ¸ © ¹© ¹ = R V ª ºª 7 º
r pm antihorar i a vista desde la der echa.
Como se ha visto, lo pr im er o que debemos hacer es identificar los e jes cuyos centr o s se mueven (llevados por bra zos alr e dedor de e jes fi jos). Entonces, los engra nes llevados por la flecha móvil constituyen esa unidad p lanetar i a del tr e n de engra ne. A plicaciones
E
l
5
de los Trenes de Engranajes Planetarios:
E bragu
En el embra gue planetar i o mostra do en la Figura 3.22, el tope 6 puede estar tra bado o destra bado. Cu and o está tra bado, se tiene un tr e n de engra nes planetar io, y cuando está destra bado, el r e sultado es un tr e n de engranes or dinar io, ya que el bra zo 5 per m anecer á estacionar io. Si el engra ne 2 gira en la dir e cción mostra da a 3 00 r pm , deter mine: a). La velocidad del engra ne anu lar 4 cuando el tope está destra bado como se muestra. b). La velocidad del bra zo tra bado con el engra ne anular 4. So lu
5
cuando el tope 6 está
i
[2 = 3 00 r pm a). Cu ando el tope está destra bado, entonces el sistema tra baja como un tr en or din ar io. Lo s engra nes [
R V =
N
S
=
N
[ E
N
!
Fig. 3.22
!
,
N
[4 = 3 00 (-24/5 6)
= -12 ,6 r pm
(contra r i a a [ 2 )
b). Cu ando el tope está tra bado, entonces el sistema tra baja como un tr e n epicíclico: R V =
4
5
2
5
[ !
!
N 2 N 4
,
[
= 9 r pm ,
(misma dir e cción de [ )
[
E aut
l 6 óvil
Dif r ncial d
la trans i sión d
un
Los númer os de dientes del difer encial de un automóvil que se muestra en la Fig.3.23 son N2= 17, N3= bol impulsor gira a 1200 54, N4= 11, N5 = N6= 16. El ár r pm. a) ¿Cuáles son las velocidades de las r uedas si el automóvil se desplaza en línea r ecta sobr e un camino de super ficie unifor me? b) Supóngase que la r ueda der echa está levantada con un
Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ
53
Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos gato y que la izquier da r eposa sobr e un camino. ¿Cuál es la velocidad de la r ueda der echa?
Fig. 3.23
c) Consider e, en el caso de un vehículo con tracción en las r uedas traseras, que el automóvil está estacionado con la r ueda der echa en r eposo sobr e una super ficie cubier ta de hielo, mo jada. ¿Le da la r espuesta a la par te ( b) algún indicio de lo que suceder á si arrancara el automóvil e intentara conducir lo?. So lu
i
El dif r ncial El gir o del motor que puede interr umpir se a voluntad en el embragu e, pasa po r la caj a de cambios y llega al e je t rase r o, en el que tiene que comunicar se a las r uedas colocadas en un e je tra nsver sal.
Fig. 3.23.a
Fig. 3.23.b Fu
Fig. 3.23.
i on amient o en re t a
Fu nc i on amient o en c urva
[2 = 12 00 r pm a). El mecanismo se compor t a como un tr e n de engra ne simpl e y el cálcul o de la velocidad angular del brazo o por t ador tiene la misma velocidad angular que el engra ne anular 3. Se sa be qu e:
Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ
54
Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos !
N N
,
3
= 12 00 (17 / 5 4)
= 377,78 r pm =
A
b). En el funcionamiento del difer e ncial se tiene que el engrane 4 tiene dos movimientos r otato r i os: Alr e dedor del engra ne 5 debido al b ra zo o por t ador unido al engra ne anul ar 3. Alr e dedor de su pr o pio e je debido al ³choque´ de 4 con 5 (acción-r e acción).
Si considera mos a [ 5 como engra ne de entra da del tr en: [5 = 0 (r ueda izquier d a) 3 : b raz o [ motor :
[ [3 [ 5 [3
!
[ 6 [ mot or 0 [ mot or
!
[6 = 2 [motor
c). Se pr o ducir í a un patinaje de la r ueda der echa y la potencia del motor ³esca par í a´ p or est a r ueda (³el agua busca su cauce´).
E
l
7
R duct r d V l cidad
El r e ductor de velocidad que se muestra en la Fig.3.24 tiene fi jo el piñón 2. Los planetas son los engra nes 3 y 4, ambos montados con cuña sobr e el e je planet ar io. El engrane solar 5 está unido al e je de salid a. El e je de entra da a impulsa el b raz o. Deter m ine la r e acción de velocidad general de este r e ductor y el sentido de r otación del e je de salida. So lu c i n:
Se sa be qu e: R V =
[ L [ A [ F [ A
[
[
[
[
[
¨ N ¸¨ N ¸ ¹¹©© ¹¹ ! ©© N N ª ºª º
[ ! [
*
,
Fig. 3.24
[ 5
= 0 ,3 055
[ 6
*
El signo positivo indica que el engra ne de salida po r t ado r 6.
E
l
8
5
gira en el mismo sentido queel brazo o
P l a dif r ncial tri l
La Fi g.3.2 5 muestra un a Pole a difer e ncial tr i ple en una sección ver tical y una vista lateral. S es la flecha (e je) a la cual está anclada la catalina 2 (r ueda dentada) para la cadena de mano. También a S está anclado el engra ne 3 que tra baja en con junto con los dos engra nes 4. Los engra nes 4 giran sobr e espárra gos M, que son transpor t ados por el brazo A, est and o anclado este último al mamelón de la catalin a de la cadena de car ga 5 . Los engra nes 6 for man par t e de los engra nes 4 y engra nan con el anillo
Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ
55
Análi si s de E le ment os de Máquinas y Mecani smos dentado 7, el cual es una par t e de la ca ja estacionar ia. El mecanismo es un tren epicíclico. Par a:
Fi
5
N3 = 1 2, N 4 = 2 5, N6 = 1 2, N 7 = 5 0, P=
4
dte/ pulg.
a) Suponiendo que el oper a dor tir a de la cadena de mano haciendo gir a r 10 vueltas a la catalina Hallar las vueltas que da el br azo A (o la rueda 5). b) Si la velocidad angular d e la catalina
2
es
2
2.
vueltas/seg y esta tiene 15¶¶ de diámetro, calcular :
. La velocidad angular d e la rueda 5. . Si 5 tiene un diámetro de 6¶¶, calcular las velocidades lineales de la cadena de mano y de la cadena de carga. c) Si el oper a dor tir a de la cadena de mano con una fuer za de 500 N, ¿Cuál es el peso de la carga . Calcule la venta ja mecánica. Sol ción: a) [3 =
[2
=
[5
¨ N ¸¨ N 6 ¸ [7 [ ¹¹©© ¹¹ ! ©© [ [ ª N ºª N 7 º 3
A
3
A
4
0 [ A
10 [ A
b)
12 *12
,
[A
= 1,033 vueltas/seg
,
[A
= 0 ,20 7 vueltas/seg = 1,3 r a d/seg
25 * 50
b.1 ) [ [
7 3
[ A [ A
!
¨ N ¸¨ N 6 ¸ ©© ¹¹©© ¹¹ N N ª ºª 7 º 3
4
0 [ A 2 [ A [2
b. 2 )
c)
!
=
2
!
12 * 12 2 5 * 50
vueltas/seg 12 ,57 r a d/seg = 120 rpm.
VL m ano =
[2
*
r = 12 ,57 (15/2 ) = 94 ,2 75 pulg/seg = 2 ,39 m/s
VL c arga =
[5
*
r = 1,3 (3 ) = 3 ,9 pulg/seg = 9,91 cm/s
Potencia = cte. (F * V)mano = (F *V) carga 2
5 00 (2 ,39) = F(9,91*1 0- ) F = 12 06 3 ,3 9 N La Venta ja Mecánica obtenida es: VM = (Fuer za de Salida)/(Fuer za de entr a da) = (1 20 6 3 ,3 9N)/(5 00 N) =
24 .1 3
PROBLEMA S PROPUE ST O S 1. En el mecanismo mostr ado, la velocidad de giro en el e je de entr ada es N1 y el anillo dentado gir a con N2 en sentido opuesto. Hallar la velocidad de giro del e je de salida N3. Rpta. N3= (1/4) (3 N2-N1).
Ing. LEÓ N LES C A N O ± Ing. PALAC IOS GUAR N IZ
56
Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos
Fig.P.1 2.
El engrane Sol B de la figura gira a 100 r pm en sentido horar io visto desde la der echa. Deter minar la velocidad angular y la dir ección de [ G vista desde a bajo.
Fig.P.2 3.
En este mecanismo de elevación, 2 es un engrane anular fi jo, que tiene 100 dientes. Los dos piñon es inter medios 3 son por tados por el brazo del tr en epicíclico, el cual por ta también al tambor, como se muestra. El engrane 4, que esta fi jo a la manivela tiene 70 dientes. El diámetr o del tambor es 127 mm. La longitud de la manivela es 533 mm. Y la fuerza a plicada a la manivela es 34 kg. Hallar los dientes de los piñones 3 y el peso levantado, despr eciando la f r icción. R t a. N3= 15 dtes. W= 692,7 kg.
Fig.P.3
4.
En el tr en de engranes planetar ios mostrado, el radio de los engranes A, B, C y D es de 75 mm y el radio de la cor ona E es 22 5 mm. Sa biendo
Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ
57
Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos que esta tiene una velocidad angular horar ia de 120 r pm y que el engranaje central tiene una velocidad angular horar ia de 150 r pm, hallar : a) La velocidad angular de cada satélite b) La velocidadde la araña que enlaza a los satélites. R t a. [B= --105 r pm , [A= -127,5 r pm.
Fig.P.4 .
a) Deter mine el númer o de dientes del engrane E en el malacate del tr en de engranes de la Fig.P.5, que pr oduce una r educción de velocidad entr e B y A de B/ A=2 5, dados NB=2 0, NC=80 y ND=3 0. b) Deter mine el valor numér ico de la ventaja mecánica de éste mecanismo W/Fent, suponiendo que no hay per didas.
Fig.P. 6.
Un sistema de engranes planetar ios se utiliza para transfer ir sobr es de la tolva ver tical a la f aja transpor tadora hor izontal. El engrane anular exter ior esta fi jo, y la montura de los engranes planetar ios ( brazo cr uzado) es impulsado por un motor y gira en sentido horar io. Cada uno de los cuatr o engranes planetar ios tiene 48 dientes y su paso diametral es de 18. Un brazo con ventosa esta su jeto r ígidamente a cada engrane planetar io, de modo que gira con el engrane planetar io en sentido antihorar io.
a) Si quer emos garantizar que los sobr es se colocar án en posición hor izontal cuando la montura de engranes gir e un cuar to de cír culo, ¿Cuántos dientes debe tener en engrane anular exter ior ? Calcule el diámetr o de paso. b) Suponiendo que la banda transpor tadora tiene una velocidad lineal de 120 pies/min y que la distancia entr e los centr os de dos sobr es adyacentes es de 12 pulg, calcule la velocidad angular del motor impulsor . Calcule la velocidad angular del engrane planetar io. c) Compar e la eficiencia de este sistema con el esla bonamiento típico de 4 barras de r ecoger y colocar con la misma velocidad de entrada del motor .
Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ
58
Análisis de Elementos de Máquinas y Mecanismos
Fig.P.6
Ing. LEÓN LESCANO ± Ing. PALACIOS GUARNIZ
59
