Transmisión de calor por conducción estado transitorio

CONDUCCION DE CALOR EN REGIMEN TRANSITORIO

1.

OBJETIVOS _______________________________________________________________________ Este trabajo pretende: o o

2.

Evaluar cuando es posible aplicar el análisis de sistemas concentrados. Usar el métod métodoo de separación de variables, variables, para obtener soluciones soluciones analít analíticas icas a problemas de conducción unidimensional transitoria.

INTRODUCCION

_________________________________________________________________ Algunos cuerpos, en cada punto de este, están variando su temperatura, tanto con el tiempo con la posición. posición. Se estudia este caso caso para sistemas unidimensionales. En régimen transitorio la conducción de calor implica un almacenamiento de energía térmica. Por ejemplo, en el calentamiento de un hogar hay que suministrar el calor sufici suf icient entee para para ele elevar var la tem temper peratu atura ra de las paredes paredes has hasta ta sus nuevos nuevos val valore oress de operación operación y aportar aportar el calor que compense las pérdidas en régimen régimen permanente permanente para el funcionamiento normal. En las cal calder deras as de gran pot potenc encia ia que ope operan ran con contin tinuam uament entee durant durantee prolon prolongad gados os períodos de tiempo, el calor almacenado en las paredes y en el metal de la caldera es una fracción insignificante del aporte total de calor. En las calderas pequeñas, con cerramientos de refractario y que funcionan a tiempo parcial o, incluso, en aquellas calderas con hogares que frecuentemente se calientan y enfrían en operación discontinua, la energía almacenada en las paredes durante la puesta en servicio, puede ser una fracción considerable del aporte total de calor. La con conduc ducció ciónn en régime régimenn transi transitor torio io tiene tiene muc mucha ha imp import ortanc ancia ia en la igu iguala alació ciónn de temperaturas en el calderín de vapor de la caldera, durante los períodos de aumento o disminución de presión de la unidad. En aquella parte del calderín calderín que se encue encuentra ntra por debajo del nivel de la superficie superficie libre del agua, la superficie interior del mismo está calentada por su contacto con el agua de la caldera, mientras que la superficie interior del calderín de vapor que se encuentra por encima encima de dicha superficie superficie libre del agua, está calentada calentada por la conden condensaci sación ón del vapor situado sobre el citado nivel. Durante un período transitorio de calentamiento, las temperaturas interior y exterior de la superficie del calderín de vapor aumentan por conducción, de forma que la diferencia de temperaturas a través de la pared del calderín, son mayores que las correspondientes a los períodos en régimen permanente, lo que implica solicitaciones mayores, por lo que hay que controlar el incremento de temperatura y presión, con el fin de mantener siempre las solicitaciones térmicas dentro de unos límites aceptables, a efectos de proteger el calderín de vapor. 1


Durante los períodos de reducción de presión, la superficie interior del calderín que se encuentra bajo el nivel de agua, está refrigerada por el agua de la caldera; la parte alta del calderín por encima del nivel de agua, se refrigera por radiación por el flujo de vapor hacia las conexiones de salida y por la conducción a través de la propia pared del mismo. La conducción transitoria se presenta en todos los procesos de calentamiento, en los que la temperatura varía con el tiempo, por lo que el análisis de la conducción se complica; para un flujo transitorio, la ecuación de energía térmica unidimensional, es:

3.

3.1

FUNDAMENTO TEORICO

_________________________________________________________________ ANALISIS DE SISTEMAS CONCENTRADOS La transferencia de calor ocurre en RÉGIMEN VARIABLE o TRANSITORIO cuando la temperatura de al menos uno de los sistemas entre los que se produce la transferencia varía con el tiempo. Un sistema se dice CONCENTRADO cuanto la temperatura varía con el tiempo pero no con la posición espacial, es decir, en un instante dado todo el sistema se encuentra a la misma temperatura.

3.2

NUMERO DE BIOT

Se define el número de BIOT ( Bi ) como: Bi = ( h*Lc ) / k ; donde Lc = V / As ; V : volumen del sistema ; As : superficie de transferencia del sistema. Para una placa plana grande de espesor E, bañada por el mismo fluido por las dos caras Lc = E / 2 . Para Para

un una

cilindro esfera

de de

radio radio

R, R,

Lc Lc

= =

R. R.

Cuando se produce transferencia de calor desde un fluido a un sistema sólido rodeado por dicho fluido, primero se transfiere el calor desde el fluido al sólido mediante convección y después el calor se transfiere desde el exterior al interior del sólido mediante conducción. 2


El número de Biot se puede expresar también como:

O también:

El análisis utlizando el modelo de sistema concentrado es exacto cuando Bi = 0 , pues en este caso la resistencia a la conducción dentro del sistema es nula y su temperatura uniforme. En los casos reales es imposible que Bi = 0 pues todos los sistemas presentarán alguna resistencia a la conducción en mayor o menor medida, siendo Bi > 0, y el análisis será aproximado. Cuanto más pequeño sea el número de Biot menos inexacto será el análisis. Se considera aplicable el modelo de sistema concentrado cuando Bi < 0,1. El modelo de sistema concentrado es aplicable a los cuerpos relativamente pequeños constituidos por materiales buenos conductores del calor.Se considera un cuerpo sólido de masa m, volumen V, área superficial As, densidad r y calor específico Cp, inicialmente a una temperatura Ti. En el instante t = 0, la temperatura del fluido que rodea al cuerpo es Tf y el coeficiente de película h. Se supone que Tf > Ti aunque el análisis también sería válido para Tf < Ti. Considerar el sistema como concentrado supone que la temperatura dentro del cuerpo es uniforme en cada instante y sólo cambia con el tiempo T = T ( t ). Durante un intervalo dt la temperatura del cuerpo se eleva una cantidad dT. El balance de energía del sistema en el intervalo de tiempo dt se puede expresar como:

Transferencia de calor hacia el cuerpo durante dt cuya expresión

=

matemática es:

Incremento de la energía del cuerpo durante dt h As

( Tf -

Ti ) dt

= m Cp dT

m = DV Tf = cte, entonces dT = d ( T - Tf ) La ecuación del balance de energía se puede transformar en:

3


Integrando:

Transformando:

La velocidad de transferencia de calor por en función del tiempo queda:

Q-punto ( t ) = h As [ T ( t ) - Tf ) ] La cantidad total de calor transferida en un tiempo t será igual al incremento de del cuerpo en ese tiempo :

Q

=

m

Cp

[

T

(

t

)

energía

-

Ti

]

La cantidad total de calor transferida será máxima cuando el cuerpo alcance la temperatura del fluido o del ambiente:

Q max = m Cp ( Tf - Ti ) Cuando el análisis de sistemas concentrados no es aplicable se puede determinar mediante los diagramas de Heisler-Grober.

PROBLEMA: A las 5 PM se encuentra una persona muerta en un cuarto cuya temperatura es 20 ºC. Se mide la temperatura del cuerpo y resulta ser de 25 ºC, se estima que el coeficiente de transferencia de calor es h = 8 W/m2.ºC. Considerando el cuerpo como un cilindro de 30 cm de diámetro y 1,70 m de largo, estime el momento de la muerte de esta persona. Hipótesis: El cuerpo se considera como un cilindro de 30 diámetro x1.70 cm. De largo. Se desprecia efectos de la radiación y se consideran constantes las propiedades térmicas del cuerpo y h. Se asume una temperatura corporal de 37°C. La masa del cuerpo humano promedio es 72% de agua, así que se consideran: T prom= (37+25)/2= 31°C, k=0.617 W/m°C, densidad=996 Kg/m3, Cp=4.178J/Kg°C. Lc=V/Ai =

pir 2 L

= 3.14 *

0.15 2 *

1.7

= 0.0689 m 4


2pirL + 2pir 2

2*3.14*0.15*1.7 + 2*3.14*0.15 2

Entonces bi = hL = 8* 0.0689 = 0.89 > 0.1 k 0.617

Por lo tanto no es aplicable el análisis de sistemas concentrados. Sin embargo aún se puede utilizar el procedimiento para estimar aproximadamente el momento de la muerte. En este caso calculamos el exponente b: Lc=V/Ai = pir 2 L 2pirL + 2pir 2

= 3.14 * 0.15 2 * 1.7 = 0.0689 m 2*3.14*0.15*1.7 + 2*3.14*0.15 2

b = __h__ = _______8_ _______= 2.79 * 10 -3 s-1 DCLc 996*4.178*0.0689 Ahora se sustituyen valores:

T (t) – T amb = e –bi T i - T amb

Lo cual da:

= 25 – 20 = e –(2.79*10-3) t 37 – 20

t= 43860 s

=

12.2 h

El modelo de sistema concentrado es aplicable a cuerpos relativamente pequeños constituidos por materiales buenos conductores del calor, sin embargo no es aplicable a cuerpos relativamente grandes y/o malos conductores del calor. El caso más general es el de un cuerpo relativamente grande rodeado por un fluido cuya temperatura permanece constante ( la variación de la temperatura del fluido es muy pequeña y se puede considerar constante ). A continuación se analiza la transferencia de calor entre un cuerpo relativamente grande ( pared plana, cilindro o esfera ) rodeado por un fluido cuya temperatura permanece constante a lo largo del tiempo y del espacio. El mecanismo de transferencia de calor es convección y el coeficiente de película, h , es constante y uniforme. Se considera una pared plana de espesor 2L, un cilindro de radio r y una esfera de radio r inicialmente a una temperatura uniforme Ti. La temperatura del fluido es Tf = cte. Una pared plana se considera grande cuando su espesor es mucho menor en relación a las otras dos dimensiones. Un cilindro se considera largo cuando su diámetro es mucho menor que su longitud. Una esfera se considera grande cuando no se puede aplicar el modelo de sistema concentrado. 5


La variación de la temperatura con el tiempo en una pared plana se ilustra en la figura siguiente:

Se supone Ti > Tf y que la transferencia de calor es unidimensional en la direccion x ( radial en el caso de cilindro o esfera ). Inicialmente toda la pared está a la temperatura Ti. Al entrar en contacto con el fluido que está a una temperatura inferior Tf , la superficie exterior se enfría, por lo que aparece un gradiente de temperatura que provoca una transferencia de calor desde el interior al exterior. La temperatura en el plano central de la pared se mantendrá en Ti hasta el instante t2. A partir de ese momento irá disminuyendo con el paso del tiempo hasta que toda la pared se encuentre a la temperatura del fluido, entonces la transferencia de calor cesará al no existir diferencia de temperatura entre la pared y el fluido. El proceso descrito anteriormente también es válido para un cilindro y una esfera grandes. El modelo matemático de este proceso da lugar a una ecuación diferencial en derivadas parciales poco práctica desde el punto de vista ingenieril. Se prefiere la solución en forma de tabla o gráfico. La solución comprende parámetros x, L, t, k, a ( difusividad térmica ), h, Ti y Tf. Para disminuir el número de parámetros se reducen dimensiones al problema mediante la definición de cantidades adimensionales cuyas expresiones, para una pared plana grande, se muestran a continuación:

TEMPERATURA ADIMENSIONAL:

6


DISTANCIA ADIMENSIONAL DESDE EL CENTRO:

3.3

NUMERO DE FOURIER ( Tiempo adimensional ):

Las expresiones para un cilindro largo y una esfera son las mismas reemplazando la variable x por r y L por el radio exterior ro. El problema de transferencia de calor en una sola dirección espacial en régimen variable descrito anteriormente tiene una solucíón que incluye una serie infinita lo que la hacen poco práctica desde el punto de vista ingenieril. Para t> 0,2 el error que se produce al considerar el primer término de la serie y despreciar todos los demás es inferior al 2%, margen de sobra válido para la realización de cálculos. Las expresiones de la temperatura en función del tiempo y la distancia al centro, considerando sólo el primer término de la serie, quedan de la siguiente forma:

Las constantes A1 y l1 son funciones, exclusivamente, del número de Biot. Sus valores respecto a Bi están tabulados en tablas. Jo es la función de Bessel de primer orden. Sus valores están tabulados en tablas también. 7


Las expresiones anteriores son válidas suponiendo un cambio brusco en la temperatura del fluido en contacto con el sólido o , considerándolo desde otro punto de vista, cuando h es finito. En el caso de que se suponga un cambio brusco en la temperatura del fluido, es decir, si la temperatura del la superficie del sólido ( Ts ) alcanza rápidamente la temperatura del fluido ( Tf ) se considera que h es infinito. En el caso de temperatura específica de la superficie del sólido, en la expresión de la temperatura adimensional se cambia el valor de la temperatura del fluido ( Tf ) por el valor de la temperatura de la superficie del sólido ( Ts ). El caso de temperatura superficial específica se tiene muy aproximadamente en la práctica cuando sobre la superficie del sólido existe condensación o ebullición. Particularizando para el centro:

CENTRO DE UNA PARED PLANA ( x = 0 ) :

CENTRO DE UN CILINDRO ( r = 0 ) :

CENTRO DE UNA ESFERA ( r = 0 ) :

Se supone que cuando el tiempo tiende a infinito ( el periodo de tiempo es lo suficientemente largo ) la temperatura del cuerpo es la misma que la del fluido que lo rodea. 8


Por lo tanto el máximo calor transferido entre el cuerpo y el fluido será igual al incremento de energía del cuerpo:

Qmax = m Cp ( Tf - Ti ) = r V Cp ( Tf - Ti ) La cantidad de calor transferido Q en un tiempo finito t será menor que la cantidad de calor máxima Qmax. La fracción de calor transferido en un tiempo t con relación a la cantidad calor máxima vienen dadas por las expresiones siguientes:

PARED PLANA:

CILINDRO:

ESFERA:

Un valor pequeño del número de Biot ( Bi ) indica que la resistencia interior del cuerpo a la conducción de calor es pequeña con relación a la resistencia a la convección entre la superficie y el fluido. Entonces, la temperatura dentro del cuerpo es bastante uniforme y es aplicable el modelo de sistema concentrado. El número de Fourier es una medida del calor conducido a través de un cuerpo con relación al calor almacenado en él. Por tanto, un valor grande del número de Fourier indica una propagación más rápida de calor a través del cuerpo. Un sólido semiinfinito es aquel que su distribución de temperatura sólo depende de una superficie, es el caso del estudio del campo de temperaturas en un muro grueso en la zona cercana a la superficie. Mientras que el campo de temperatura de una pared plana depende de las dos superficies que están en contacto con el fluido, en el caso de un sólido semiinfinito el campo de temperatura sólo depende de una superficie. 9


Un valor pequeño del número de Biot ( Bi ) indica que la resistencia interior del cuerpo a la conducción de calor es pequeña con relación a la resistencia a la convección entre la superficie y el fluido. La temperatura adimensional, en el caso de cambio brusco de la temperatura del fluido, se define como:

Las soluciones obtenidas para la temperatura adimensional se presentan gráficamente. En el caso de temperatura superficial ( Ts ) específica:

3.4

TIPS PARA EL DESARROLLO DE PROBLEMA BÁSICO

El problema básico es de tres tipos:

a ) Se conoce la temperatura inicial del cuerpo objeto de estudio y se pretende predecir la temperatura que alcanza un determinado punto en un período de tiempo dado. El método para resolver este problema, mediante los diagramas de Heisler-Gröber, es el siguiente: 1) Se calculan los números de Fourier ( Fo ) y Biot ( Bi ). 2) Con Fo y 1/Bi se entra en el primer ábaco de Heisler y se calcula la temperatura en el centro. Si el punto del cual se pretende predecir su temperatura es el centro el problema está resuelto. 3) Si el punto objeto de estudio no es el centro se entra en el segundo ábado de Heisler con 1/Bi y x/L ( ó r/ro en el caso de cilindro o esfera ) y se calcula la temperatura en el punto en cuestión.

b ) Se conoce la temperatura inicial del cuerpo objeto de estudio y el objetivo es predecir el tiempo necesario para que un determinado punto alcance una temperatura dada. El método de resolución, mediante los diagramas de Heisler-Gröber, es el siguiente: 1) Se entra en el segundo ábaco de Heisler con 1/Bi y x/L ( ó r/ro ) y se determina la temperatura en el centro. 2) Se entra en el primer ábaco de Heisler con 1/Bi y la temperatura en el centro y se obtiene el valor de Fo. 3) Fo = ( a t ) / L2 => t = ( Fo L 2 ) / a 10


c ) Se quiere predecir el calor transferido en un determinado período de tiempo: 1) Se calcula la fracción Q/Qmax = Rc mediante el ábaco de Gröber correspondiente. 2) Qmax = m Cp ( Ti - Tf ) => Q = Rc Qmax Para el caso de sólido casi ilimitado o semiinfinito el procedimiento es el mismo. Cambian los diagramas y los parámetros de entrada. En este caso sólo existen dos diagramas, uno para calcular la distribución de temperatura en el sólido y otro para calcular la fracción de calor transferido en un período de tiempo determinado.

3.5

DIAGRAMAS DE HEISLER

11


En estos gráficos Q es la pérdida de calor real del cuerpo en el tiempo. Evidentemente, existen otros muchos problemas de calentamiento y enfriamiento de interés. Las soluciones de un gran número de casos han sido presentadas en forma gráfica por Schneider y los lectores interesados en esos cálculos encontrarán de gran utilidad esta referencia. La Figura 4.13 proporciona las temperaturas centrales de los tres tipos de sólidos para valores pequeños de h, o para condiciones en que los sólidos se comportan como una capacidad global. En esta figura la dimensión característica es para la placa y para el cilindro y la esfera. En la Referencia están disponibles diagramas simplificados.

12


4.

BIBLIOGRAFIA ÇENGEL, Yunus, Transferencia de calor y de masa, un enfoque práctico, Tercera edición, Editorial McGraw-Hill, México, 2007. Capítulo 4, págs. 217 a 268.

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Transmisión de calor por conducción estado transitorio

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