CAMILA DA SILVA RIBEIRO DANIEL MARTINO ISRAEL GUILHERME ALVES DOS SANTOS LEANDRO PEREIRA ALBUQUERQUE RICARDO TAVARES VAZ
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
SÃO PAULO 2013
CAMILA DA SILVA RIBEIRO – RA 20315089 DANIEL MARTINO – RA 20000636 ISRAEL GUILHERME ALVES DOS SANTOS – RA 20415844 LEANDRO PEREIRA ALBUQUERQUE – RA 20320713 RICARDO TAVARES VAZ – RA 20501438 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
Trabalho apresentado como exigência parcial para a disciplina Cálculo Diferencial, do curso de Engenharia Civil da Universidade Anhembi Morumbi, sob a orientação do professor Marcos Rogério Cândido.
SÃO PAULO 2013
SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 4 2 JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER .............................................................................5 2.1 História............................................................................................................................5 2.2 Séries Fourier .................................................................................................................5 3. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FORIER - (FFT) ........................................................7 3.1 Algoritimo de Cooley-Tukey .......................................................................................10 3.2 Apliacações da Transformada Rápida de Fourier ....................................................11
3 CONCLUSÃO .....................................................................................................................13
4 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................14
1. INTRODUÇÃO Este trabalho foi realizado para cumprir as exigências da disciplina Cálculo Diferencial, que tem como foco o aprendizado e entendimento sobre as Transformada Rápida de Fourier e sua aplicação prática.
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2 JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER 2.1 História Jean Baptistes Joseph Fourier nasceu em 1768, na França, durante seus anos escolares ele desenvolveu trabalhos matemáticos como a teoria para calcular raízes irracionais algébricas, que um dia foi iniciado por Newton. Em 1798 participou das tropas de Napoleão para um estudo arqueológico no Egito. Anos depois Joseph Fourier iniciou seus estudos sobre a propagação do calor, onde conseguiu desenvolver métodos para resolvê-las aplicando em variedades de casos conseguindo provar com evidências experimentais. Então em 1822, Fourier publicou a sua obra mais conhecida, a Teoria Analítica do Calor, Fourier também é responsável por vairas séries e transformadas, a qual nosso tema aborda a Transformada Rápida de Fourier. Jean Fourier morreu em 1830 por uma possível doença crônica em sua própria casa, na França, aos 63 anos de idade.
2.2 Séries Fourier Segundo O que... ([2013]) Fourier analisou como as funções trigonométricas de senos e cossenos poderiam representar funções periódicas de qualquer complexidade, sendo estas determinadas por amplitudes (valor máximo da função), fases e períodos (forma a ser repetir a cada período).
Figura 1: Gráfico das funções seno, cosseno e seno + cosseno. Fonte: Site Seara UFC
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Assim, O que... (2013) ressalta que qualquer função F(x) pode ser escrita matematicamente (Figura 2) pela soma de uma série de funções cossenos e senos a que a decompõe.
Figura 2: Forma geral da soma de funções senos e cossenos. Fonte: Site Seara UFC
No entanto, ao observamos a figura 2, verificamos que na função a presença de coeficientes representados por letras (a 0, a1, a2), estes por vez são as amplitudes de cada onda que compõe a onda original. Enfim, Fourier tornou mais fácil a análise de funções periódicas complexas, aplicando transformadas que envolvem essas funções trigonométricas.
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3 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FORIER - (FFT) Para entendimento sobre a transformada rápida de Fourier, faz-se necessário o entendimento sobre Transformada de Fourier e Transformada Discreta de Fourier (DFT), uma vez que o Transformada Rápida de Fourier é um método computacional mais otimizado de calcular-se este ultimo. Assim, quanto a definição do a transformada de Fourier, Akira ([2013]) explica:
A Transformada de Fourier, baptizada em homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier, é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal, i.e., como soma ou integral de funções sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existem diversas variações diretamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A Transformada de Fourier pode ser vista como um caso particular da Transformada Z.
Neste contexto, Morais ([2013]) explica que está ferramenta matemática sendo uma função de f(x) integrável, denotada por F(w) na condição de W E R, é representada pela seguinte maneira:
Figura 3: Representação da função f(x) integrada em W E R. Fonte: Site Ebah – Transformada Fourier.
Entretanto, o mesmo ressalta que para a existência desta Função f(x) (Figura 3) é necessário que f(x) e sua derivada - f ’(x), sejam continuas em um intervalo finito, ou seja, se houver valores descontínuos o f(x) deve ser substituído pela média das somas das funções de sinais opostos
(Figura 4), consecutivamente alterando o teorema Integral de Fourier
representado na figura 5.
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Figura 4: equação a substituir f(x) no teorema Integral de Fourier caso de valores desconitnuos. Fonte: Site Ebah – Transformada de Fourier
Figura 5: Teorema Integral de Fourier. Fonte: Site Ebah – Transformada de Fourier
Em continuidade com o tratamento sobre as transformadas de Fourier, há a Transformada Discreta de Fourier, essa por vez segundo Akira ([2013]) é empregada no uso de computadores, pois para reconhecimento e aplicação computacional é necessário a utilização de valores discretos (inteiros) sendo representado pelas seguintes funções:
Figura 6: Funções – Transformada Discreta de Fourier. Fonte: Site Ebah – Transformada de Fourier
Moraes ([2013]) ainda explica que: Podemos definir a essa transformada, da seguinte maneira: Considerandose N amostras do sinal no domínio do tempo, denotadas por f(k), k=0,1,2,3,..., N -1, ela transforma esse sinal do domínio do tempo para o domínio da freqüência, sendo denotadas por F(n), n=0,1,2,3,...,N-1.
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Assim, após breve explicação sobre as transformadas continuas e discretas de Fourier, torna-se mais claro o entendimento sobre a FFT, que nada mais é um método utilizado para o cálculo computacional da DFT, que por vez foi desenvolvida devido a necessidade de emprego algoritimos que limitem os valores infinitos em valores que permita o processamento e execução da transformada, já que o banco de dados de um computador é limitado. Deste modo, Benedito ([2013]) esclarece que ―A FFT é implementada com o
objetivo
de diminuir a complexidade (em relação ao tempo) necessária para calcular uma DFT, buscando sempre aplicações em tempo real. ‖. O autor ainda explica que: Aplicar a FFT é reduzir o número de operações necessárias no cálculo da DFT, já que alguns termos podem ser calculados uma única vez e armazenados para manipulações futuras. Portando, as multiplicações de x(n) que antes eram levadas em consideração, agora são desconsideradas baixando a ordem de complexidade do cálculo à N.LogN.
Neste contexto, a FFT apresenta vantagens quanto a DFT, as quais podem ser observadas na tabela a seguir: Tabela 1: Comparação entre o cálculo da DFT pela definição e utilizando a FFT
Fonte: Site Ebah – Transformada de Fourier
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2.1 Algoritmo de Cooley-Tukey Segundo Benedito ([2013]) é comum o uso do algoritmo Cooley-Tukey na aplicação da Transformada Rápida de Fourier, o que muitas vezes é chamado pela própria abreviação da transformada - FFT. Complementando Guedes (2008, pág 7) explica que ― A origem desse algoritimo é baseada no trabalho proposto por Cal Friedrich Gauss por volta de 1805, o qual , baseia-se na idéia de divisão e conquista ‖. Neste contexto Mónica P. D. (2011) explica que o desenvolvimento do algoritmo Cooley Tukey se deu ao enorme custo computacional na execução da Transformada Discreta de Fourier, no qual este calculo realizado através N 2 multiplicações, sendo N o número de amostras na sequência de dados, tornava o uso do método inviável na época. Assim, O cientista John Tukey desenvolveu uma aproximação engenhosa ao cáculo dessa transformada, sendo necessário apenas de
N
log2( N ) 2 multiplicações. Sendo está diferencia entre os
métodos razoavelmente substancial. Enfim, a implementação do algoritmo Cooley – Tukey ( Figura 7) na FFT consiste na divisão da sequência x[n] em duas sequências, sendo uma com coeficientes pares e outras com o coeficientes impares. Sendo chamada essa decomposição por sequências menores de dizimação em tempo.
Figura 7: Fluxograma de implementação do algoritmo Cooley – Tukey Fonte: Livro Métodos Numéricos para Engenheiros.
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2.2 Apliacações da Transformada Rápida de Fourier Segundo Akira ([2013]): A Transformada de Fourier têm muitas aplicações em disciplinas científicas — em Física, Física e Química Quântica, Teoria dos números, Análise combinatória, Processamento de sinal, Processamento de imagem, Teoria das probabilidades, Estatística, Criptografia, Acústica, Oceanografia,Sísmica,Óptica, Geometria e outras áreas. Nos campos relacionados com o processamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor um sinal nas suas componentes em frequência e suas amplitudes.
Vale ressalta que o afirmação de Akira destinada a expressão Transformada de Fourier e não Transformada de Fourier Rápida, uma vez que a ultima trata-se apenas de uma técnica mais simples para o cálculo da transformada em si.
Sabe-se que através da aplicação da Transforma de Fourier é possível converter um gráfico em domínio de tempo pra um gráfico de frequência. Neste contexto, um exemplo prático do emprego da transformada pode ser dado pela análise de demonstrações de propriedades das ondas de uma corda de violão. Segundo Alexio (2008, pág. 15): O espectro sonoro é uma forma de mostrar a estrutura de uma onda complexa. Ele é capaz de mostrar quais são as freqüências principais que constituem um determinado som. Então, ao invés de um gráfico onde temos a amplitude em função do tempo, teremos um gráfico de amplitude x freqüência. Essa mudança é conhecida como transformada de Fourier e será usada na análise das notas musicais nas seções abaixo.
O mesmo responsável por tal afimarção chegou nessa conclusão, após um estudo da propagação das ondas em uma corda de violão, o resultado foi obtido através da aplicação da FFT no programa ― Cool
Edit ‖,
no qual através da captação do sinal sonoro produzido pelo
instrumento (Figura 8), ele obteve o espectro frequência em cada intervalo da nota musical Sol (Figura 9).
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Figura 8: Gráfico correspondente ao sinal obtido para a nota musical Sol. Fonte: Relatório final de f809 – Site Unicamp
Figura 9: Espectro de frequência nota musical Sol Fonte: Relatório final de f809 – Site Unicamp
Por fim, Alexio (2008, pág. 22) conclui que: Utilizando basicamente duas ferramentas bem simples: o violão e o programa ―Cool Edit‖, conseguimos verificar vários aspectos das propriedades das ondas numa co rda
de extremidades fixas e explicar alguns conceitos da teoria musical.
Desmostrando assim a importância da FFT.
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3 CONCLUSÃO
Concluimos através do trabalho que a Transformada Rápida de Fourier - FFT é um método mais simplificado para o cálculo da Transformada Discreta de Fourier - DFT, que por vez foi desenvolvida para realizar a Transformada de Fourier no computador, sendo está a representação de uma função periódica complexa através da soma de séries de senos e cossenos. Através das Transformadas de Fourier é possível converter um gráfico no domínio de tempo para uma frequência no domínio de frequência, assim o uso da FFT reduz o número de operações necessárias no cálculo da DFT. A FFT dispõe de um conjunto de algoritmos para execução computacional desse método, no qual, discorremos sobre o mais conhecido entre eles o Algoritmo de Cooley-Tukey. E por fim, foi visto sobre as aplicações desse tipo de transformada, no qual verificamos que a mesma é utilizada em diversas disciplinas científicas, entre elas na Física, Química Quântica, Teoria dos números, Processamento de sinal, entre outras.
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4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AKIRA, Edson. Transformada de Fourier , ([2013]). Disponível em: < http://www.ebah.com.br/content/ABAAAA_fsAF/transformada-fourier >. Acesso em: 06 de nov. de 2013. ALEXIO, Giorgia Taiacol. Um banquinho, um violão e uma onda em propagação (propriedades das ondas numa corda), 2008. 23 f. Relatório Final. Disponível em: < http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_ 2003/991828Giorgia-MansanaresF809_RF09_0.pdf >. Acesso em: 06 de nov. de 2013 BENEDITO, Luís Felipe. Relatório: FFT, ([2013]). Disponível em: < http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfdf4AL/relatorio-fft>. Acesso em: 06 de nov. de 2013. Breve (...). Breve história de Fourier , ([2013]). Disponível em: http://www.ime.unicamp.br/~samuel/Ensino/ma311/Recursos/FourierBio.pdf >. Acesso em: 06 de nov. de 2013.
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GUEDES, Elloá B. Fast Fourier Transform. 2008. 11 f. Notas de aula. MÓNICA, P.D., Edson. Momento e oportunidade: uma nota na história da 2011. Disponível em: < transformada rápida de fourier , http://revistas.rcaap.pt/boletimspm/article/view/1206>. Acesso em: 06 de nov. de 2013. MORAIS, Bruno. Transformada de Fourier , ([2013]). Disponível em:< http://www.ebah.com.br/content/ABAAABuX0AG/transformada-fourier >. Acesso em: 06 de nov. de 2013. O que é (...). O que é uma série de Fourier , ([2013]). Disponível em: < http://www.seara.ufc.br/tintim/matematica/fourier/fourier2.htm>. Acesso em: 06 de nov. de 2013.
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