Señales y Sist Sistemas emas 1. DESCRIPCIÓN MATEMÁ MATEMÁTICA TICA DE SEÑALES 2. ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 3. ANÁLISIS ANÁLISIS DE DE SISTEMAS SISTEMAS LINEA LINEALES LES EST ESTACIONARI ACIONARIOS OS MEDIAN MEDIANTE TE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 4. ANÁL ANÁLISIS ISIS DE SISTEMAS SISTEMAS LINEALE LINEALESS ESTACIO ESTACIONARI NARIOS OS MEDIANTE MEDIANTE LA TRANSFOR TRANSFORMAD MADA A DE LAPLACE 5. CO CORR RRELA ELACIÓ CIÓN N Y ESP ESPEC ECTR TRO O DE DE SEÑAL SEÑALES ES 6. AN ANAL ALIS ISIS IS DE SIS SISTE TEMA MASS NO LINEALES Y VARIANTES
Señales y Sist Sistemas emas CAPITULO 3 Análisis de sistemas lineales estacionarios mediante LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando (Recordando las Series de Fourier). 3.2. Pares de Transformadas y sus propiedades 3.3. Análisis de Sistemas LTI mediante la Trasformada de Fourier. Fourier. 3.4. Respuesta en Frecuencia de Filtros. 3.5. Energía y densidad espectral.
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.1 El dominio de la frecuencia El viaje en el dominio de la frecuencia comienza con las series de Fourier, las cuales describen cualquier señal periódica mediante combinaciones de señales ARMÓNICAS o senoidales. La representación del contenido de frecuencia de las señales periódicas se llama ESPECTRO de la señal Existen tres formas de las series de Fourier:
a) Forma Trigonométrica
cos 2 sin 2 =
Nivel de continua (dc) Donde los coeficientes espectrales son:
2 න 2 න cos 2 2 න sin 2
b) Forma Polar
cos 2 =
Nivel de continua (dc)
Donde los coeficientes polares son:
∠
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.1 El dominio de la frecuencia Existen tres formas de las series de Fourier: c) Forma Exponencial
∠
=−
Partiendo de la primera forma y usando las formulas de Euler determinamos los coeficientes exponenciales:
0 ( ) ∠
1 න −
Fórmulas de Euler:
± ± ∠ ± ± + ; − ∞ a ∞,
Nótese que la sumatoria va de demostrar ¿por qué?
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.1 El dominio de la frecuencia ¿Qué necesitamos para reconstruir una señal armónica o sinusoidal PURA? Veamos otras representaciones: http://www.intmath.com/fourier-series/fourier- graph-applet.php Veamos la representación en series de Fourier de una señal diente de sierra
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.1 El dominio de la frecuencia MAPEO
d u t i l p m A
=−
X[1]
X[2]
X[3]
X[4]
X[5]
X[6]
1f 0
2f 0
3f 0
4f 0
5f 0
6f 0
ESPECTRO DE FRECUENCIA
1 න −
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.1 El dominio de la frecuencia ¿Qué tiene que ver estas representaciones en Series de Fourier con el análisis de sistemas?
x(t)
y(t)
El principio de Linealidad y Superposición garantiza que será “la misma respuesta” para los
tres casos
+ ¿Esperamos alguna similitud en la forma de la salida, como respuesta a cada entrada armónica? ¿Podríamos analizar su respuesta desde su ESPECTRO?
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.1 El dominio de la frecuencia ¿Qué implica analizar el sistema en el plano de la frecuencia?
X[1] X[2] 1f 0
2f 0
X[3] X[4] 3f 0
4f 0
X[5] X[6] 5f 0
X (f)
6f 0
Y (f)
H (f)
ESPECTRO DE FRECUENCIA
Y ( ) ) H (
X ( )
¿Podremos generalizar el proceso?
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.2 Conexión entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier La Transformada de Fourier (FT) puede considerase una extensión de la Serie de Fourier (FS) aplicada a señales No Periódicas. La Transformada de Fourier proporciona una descripción en el dominio de la frecuencia de una señal en el dominio del tiempo (Mapeo)
El análisis parte de estudio de las señales periódicas , pero luego puede abordarse las no-periódicas haciendo un alargamiento sin limites de su período T.
Recordemos que la relación entre la señal periódica con período T y los coeficientes de la serie exponencial de Fourier están dados por la expresión:
=−
1 න− −
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.2 Conexión entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier
se alarga sin limites, entonces la señal deja de .
Si el período T de una señal periódica ser periódica y se convierte en un pulso
T
Onda rectangular o tren de pulsos Señal de Potencia
La transición de una a una también convierte una señal de potencia en una señal de energía.
T
∞
Τ
Si T→ , el espaciamiento armónico tiende a cero, y el espectro de la serie de Fourier se hace continuo.
∞
T→
Pulso rectangular Señal de Energía
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.2 Conexión entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier Análisis
=−
∞
Si T→ , el espaciamiento armónico hace continuo.
1 න− −
Τ tiende a cero, y el espectro de la serie de Fourier se
Podemos reemplazar por una cantidad infinitesimal pequeña discreta puede sustituirse por la frecuencia continua
El factor Τ en la integral hace que los coeficientes de
→, entonces la frecuencia
tiendan a cero. Eliminamos la dependencia de T pasando al primer miembro, con lo cual la integral puede converger a algún valor independientemente del valor de T.
න− −
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.2 Conexión entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier Si definimos
(), tenemos la definición de la TRANSFORMADA DE FOURIER: () lim → T
න− −
También la podemos describir en términos de la frecuencia angular
() lim → T
2
න− −
En consecuencia, la Transformada de Fourier proporciona una representación en el dominio de la frecuencia de una señal NO PERIÓDICA, .
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.2 Conexión entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.2 Conexión entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier RESUMIENDO
espaciamiento armónico
Τ
T
Señal Periódica Señal de Potencia
ESPECTRO DE FRECUENCIA DISCRETO
()
()
1() F
∞
T→
Señal No Periódica Señal de Energía
ESPECTRO DE FRECUENCIA CONTINUO
()
()
2() F
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.2 Conexión entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier Ejemplo 9.1 a) página 250, Ambardar, segunda edición
Los coeficientes de de un tren de pulsos rectangulares es: . Encontrar la Transformada de Fourier de una señal que corresponde a un solo período de la señal dada.
…
…
2 2
=
→∞
Envolvente
ESPECTRO DISCRETO
2 2
ESPECTRO CONTINUO
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.2 Conexión entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier Ejemplo 9.1 b) página 251, Ambardar, segunda edición Suponga que los coeficientes de la transformada de Fourier de una
es: Calcular los coeficientes de su correspondiente extensión periódica con periodo T. . 1 1
1
→∞
2
ESPECTRO CONTINUO
0 2 0
…
1
…
1
1
ESPECTRO DISCRETO
¿Que pasaría si T<2 ?
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.2 Conexión entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier Ejemplo 9.1 b) página 251, Ambardar, segunda edición
1
Para con T=2: Una onda triangular con
1 1 2 2
2
3
Para con T=1.5: Una forma de onda triangular con
Para con T=1: Una forma de onda constante con
2 2 3 2
3 2 Ver ejecución en MatLab
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.3 La Transformada Inversa de Fourier
Una señal periódica mediante la relación:
puede reconstruirse a partir de sus coeficientes espectrales
,
=−
∞
Para una señal no periódica consideramos que T→ , lo que describe su espectro , por lo que modificamos la expresión anterior como sigue:
=−
=−
→ ∞, y → , la sumatoria se convierte en una integral desde (∞, ∞). → →
Conforme Con
න− ()
() es
න− ()
Forma
, donde = 2
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.1. Introducción (Recordando las Series de Fourier) 3.1.4 Espectro de magnitud y fase En general la transformada de Fourier siguientes formas:
() es compleja y puede representarse de las
Re () Im () () ∠ () En señales No Periódicas Reales: el espectro de magnitud tienen simetría par , el espectro de fase tiene simetría impar .
,
El espectro de fase puede restringirse a valores dentro del intervalo principal ( ), y luego desenvolver la fase (sumando o restando 2 ) y graficarla como una función monótona.
RESUMIENDO: Simetría par en : La transformada de Fourier es real y de simetría par. Simetría impar en : La transformada de Fourier es imaginaria y de simetría impar. Ningún tipo de simetría en : tiene simetría par, e tiene simetría impar.
Re ()
Im ()
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.2. Pares de Transformadas de Fourier y sus propiedades 3.2.1 Pares útiles de transformadas de Fourier
() a () es directa con = 2. Estas no contienen
Para señales de energía, la conversión de impulsos.
Para señales de potencia o señales que no son absolutamente integrables (como la constante y la senoide) casi siempre incluye impulsos, y por lo tanto hay que tener presente la propiedad de escalamiento de un impulso:
2 2 Es necesario recordar que no existen transformadas de señales que crecen de manera exponencial. (Convergencia de la Transformada de Fourier).
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.2. Pares de Transformadas de Fourier y sus propiedades 3.2.1 Pares útiles de transformadas de Fourier Entrada 1 2 3 4 5 6 7 8 9
() 2 2 − () − () −
() 1
2 () 0.5 0.5 1 2 1 2 2 2 2 4 2 2
() 1
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.2. Pares de Transformadas de Fourier y sus propiedades 3.2.1 Pares útiles de transformadas de Fourier Entrada 10 11 12 13 14
−
() − (2)() − (2)()
15
=− 16
−
()
1 1 0.5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 =−
0 =−
=−
−Τ
()
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =−
2 0
=−
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.2. Pares de Transformadas de Fourier y sus propiedades 3.2.2 Propiedades Operacionales de la transformadas de Fourier Propiedad
() Escalamiento en el tiempo Reflexión Desplazamiento en el tiempo Desplazamiento () en frecuencia Convolución ∗ ℎ Multiplicación ℎ Modulación 2 Semejanza
()
1 () − () () ∗ ()
0.5
2
()
1 () () 2 () 1 ∗ () 2
0.5 2 2
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.2. Pares de Transformadas de Fourier y sus propiedades 3.2.2 Propiedades Operacionales de la transformadas de Fourier Propiedad
()
()
′ 2 Multiplicación 2 2 () ′ por t 1 0.5(0)() 1 (0)() Integración න− 2 () ∗ Conjugación () Correlación ∗∗ () ∗ ∗ Autocorrelación ∗∗() ∗ ∗ Teorema de 1 Ordenada න න න 2 − − − Central 1 Teorema de න−2() න− 2 න− Parsival Derivación
CAPITULO 3: LA TRANSFORMADA DE FOURIER 3.2. Pares de Transformadas de Fourier y sus propiedades 3.2.2 Propiedades Operacionales de la transformadas de Fourier
