Transformaciones Geométricas Índice 1.−Introducción 2.−Rotaciones 3.−Simetrías 4.−Traslaciones 5.−Homotecias 6.−Búsqueda de estas transformaciones en los trabajos de Escher −Circle limit III −Cielo e Infierno
Introducción Una transformación geométrica, o simplemente una transformación, es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras. Las transformaciones más usuales son las traslaciones, rotaciones, simetrías y las homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el tamaño y cambiar la figura de posición.
1
2
Rotaciones Rotación, de centro O y ángulo á, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto Pð tal que: y .
Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras. CENTRO DE ROTACIÓN DE ORDEN N Se dice que una figura tiene un centro de giro, O, de orden n (número natural mayor que 1) cuando se puede hacer coincidir consigo misma mediante giros de centro O y ángulos á·k / n (k = 1, 2,n). Para k = n la figura da una vuelta completa y, por tanto, vuelve a la posición inicial. Por ejemplo, el centro de un triángulo equilátero es un centro de giro de orden tres
porque se puede hacer coincidir la figura consigo misma haciéndola girar ángulos de 120º, 240º y 360º alrededor de él.
Simetría En geometría conviene distinguir simetría como transformación geométrica y simetría como propiedad de una figura. TIPOS DE SIMETRÍA Una simetría central de centro O es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que O es el punto medio del segmento PP'.
3
Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro y ángulo 180º. Es, por tanto, un movimiento directo. Una simetría axial de eje e es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que la recta e es mediatriz del segmento PP'.
Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara. FIGURAS SIMÉTRICAS Una figura se llama simétrica si existe una recta tal que tomada como eje de simetría transforma a la figura en ella misma.
Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es eje de simetría).
Traslación 4
Traslación, de vector , es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto Pð tal que . Las traslaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales deslizan según el vector .
Homotecia Homotecia: Formación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes están alineados dos a dos con respecto a otro punto fijo. Una homotecia de centro O y de razón a , lleva a toda recta que pasa por O a sí misma, y a una recta L que no pasa por O, a una recta L´, paralela a L. Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además, si a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes son iguales.
Búsqueda de estas transformaciones en los trabajos de Escher
5
Circle Limit III Rotaciones: En los extremos de este grabado pueden captarse claramente la rotación con respecto a un punto centro (donde se unen las aletas de los peces centrales.) Simetría: La simetría aquí presente es la llamada central teniendo como centro un punto 0 o donde se juntan las aletas de los peces. Traslaciones: estas tienen lugar en cada una de las partes que componen la figura, pero hemos de tener en cuenta que van unidas a una rotación en 120º. Esto lo podemos comprobar si miramos Los peces verde, amarillo y rojo en el centro de la figura. Homotecia: Esta se puede observar claramente en los extremos de la figura, donde las figuras se ven notoriamente
6
disminuidas.
Cielo e Infierno Rotaciones: Los Vampiros y los ángeles del centro de la figura se encuentran en una rotación de 120º. Simetría: La simetría aquí existente es la llamada axial, esto significa que si dividimos la figura mediante un eje, tanto los dibujos de la derecha como los de la izquierda se van a encontrar a la misma distancia de dicho eje. Podemos agregar también que esta figura tiene 3 ejes de simetría. 7
Traslaciones: estas no son fáciles de ubicar a simple vista pero si nos detenemos a observar los extremos de la figura se observa que los ángeles se trasladan de un extremo a otro de la misma, al igual que los vampiros. Homotecia: Esta está presente en los ángeles que van disminuyendo de tamaño a medida que se acercan a los extremos de la figura al igual que con los demonios.
8
