DIBUJO TÉCNICO
BACHILLERATO
TEMA 2. TRANSFORMACIO TRANSFORMACIONES NES GEOMÉTRICAS
Departamento de Artes Plásticas y Dibujo
TEMA 2. TRANSFORMACIONE TRANSFORMACIONES S GEOMÉTRICAS - Homotecia. Proporcionalidad o Pr Prop opor orci cio onal alid idad ad o Teor eorema ema de tale tales. s. Esc Escalas alas gráf gráficas icas y vola volantes ntes.. o Apl Aplicac icacion iones es gráfic gráficas as de las las escalas escalas y la propo proporcio rcional nalida idad. d. - Comparación de formas o Igualdad o Mé Méto todo do de coor coord den enad adas as o Mé Méto todo do de la cu cuad adrí rícu cula la o Ho Homo mote teci cias as y Se Seme meja janz nzas as - Transformaciones Transformaciones geométricas geo métricas o Definición o Si Sime metrí tríaa axi axial, al, cen centra trall y rad radial ial.. o Tra rasla slació ción, n, ro rotac tació ión n y gi giro ros. s.
?
2º BA BACHILLERATO
Semejanza. Homotecias. Escalas. Equivalencia entre polígonos. Relación de áreas. Duplicidad de áreas. Construcción de figuras directa o inversamente semejantes a otra. Construcción y aplicación de escalas. Construcción de triángulos equivalentes. Equivalencia entre polígonos. Hallar diferentes polígonos con superficies y área s iguales o proporcionales a otros dados.
TEMA 2. TRANSFORMACIONE TRANSFORMACIONES S GEOMÉTRICAS - Homotecia. Proporcionalidad o Pr Prop opor orci cio onal alid idad ad o Teor eorema ema de tale tales. s. Esc Escalas alas gráf gráficas icas y vola volantes ntes.. o Apl Aplicac icacion iones es gráfic gráficas as de las las escalas escalas y la propo proporcio rcional nalida idad. d. - Comparación de formas o Igualdad o Mé Méto todo do de coor coord den enad adas as o Mé Méto todo do de la cu cuad adrí rícu cula la o Ho Homo mote teci cias as y Se Seme meja janz nzas as - Transformaciones Transformaciones geométricas geo métricas o Definición o Si Sime metrí tríaa axi axial, al, cen centra trall y rad radial ial.. o Tra rasla slació ción, n, ro rotac tació ión n y gi giro ros. s.
?
2º BA BACHILLERATO
Semejanza. Homotecias. Escalas. Equivalencia entre polígonos. Relación de áreas. Duplicidad de áreas. Construcción de figuras directa o inversamente semejantes a otra. Construcción y aplicación de escalas. Construcción de triángulos equivalentes. Equivalencia entre polígonos. Hallar diferentes polígonos con superficies y área s iguales o proporcionales a otros dados.
EJERCICIOS PROPUESTOS BACH. 1.- Dibujar el segmento n ,2siendo n un segmento dado unidad el centímetro.
n
y considerando como
Dados los segmentos AB y BC, hallar su producto (ABxCD).
Trazar una paralela a s que diste 25 mm de la recta dada.
a
A
B c
C
D
s
Dados los segmentos AB y BC, hallar su división (AB/CD). A
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
B c
D
Obtener el segmento “media proporcional” a otros dos dados: a.b=c 2 a A
B
B
b
C
Obtener el segmento “media proporcional” a otros dos dados: a.b=c 2 A B
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
B
A
a
C
Hallar la raiz cuadrada del segmento dado AB
a
B b
C
Departamento de Artes Plásticas
OPERACIONES CON SEGMENTOS. SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA DIRECTA 1
Curso Nota
Dados los segmentos AB y BC, hallar su producto (ABxCD).
Trazar una paralela a s que diste 25 mm de la recta dada.
a
A
B c
C a d = c b
D
ac = bd b = 1 cm ac = 1d
E
ac = d A B x CD = d d s B a A
Dados los segmentos AB y BC, hallar su división (AB/CD).
c
b 1 cm C
Hallar la raiz cuadrada del segmento dado AB n
a
A
d a = c 1 A B CD
n
A
B
B c
C d a = c b
D
D
a = d c
=d c b 1cm. A
B
B b c c = n
a A
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
c = 1n
c=
Obtener el segmento “media proporcional” a otros dos dados: a.b=c 2 a A
c = bn
D 1 cm b
c
C
c2 = b n
B
b
B
C
n
Obtener el segmento “media proporcional” a otros dos dados: a.b=c 2 A
a
B b
B
C
c a = c b
a+b b-a
ab =cc
ab = c2
c c A
a c a = c b
C
b
B ab =cc
ab = c2
B
a
C b
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de Artes Plásticas
OPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 1
Curso Nota
Obtener el segmento “tercera proporcional” a los segmentos dados a y b. a/b=b/x a
Obtener el segmento “cuarta proporcional” a los segmentos dados a y b. a/b=c/x a b
b
c
Hallar gráficamente el segmento áureo de AB dado A
1+ 3 4
B
Dibujar el rectángulo áureo del cuadrado de lado b i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
Obtener gráficamente la siguiente expresión. Tomar como unidad 10 mm.
b
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Hallar dos segmentos conocida la suma de los mismos y su media proporcional. AB + BC mpA
Departamento de Artes Plásticas
OPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 2
Curso Nota
Obtener el segmento “tercera proporcional” a los segmentos dados a y b. a/b=b/x
Obtener el segmento “cuarta proporcional” a los segmentos dados a y b. a/b=c/x a
b
a
b c
c
b a a b
x b
Hallar gráficamente el segmento áureo de AB dado a
A
x
Obtener gráficamente la siguiente expresión. Tomar como unidad 10 mm.
B
3 c b = = = 1,61803.. b a
3b
a A
b
1+ 3 4
c
B
1+ 3 4
1
1a 1+ 3 4
a+ b c
5
3
b
a c
2
=
c b
c 2 = ab
La parte pequeña (c) es a la grande (b) como la grande lo es al todo (a)
1 Dibujar el rectángulo áureo del cuadrado de lado b i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
b
Hallar dos segmentos conocida la suma de los mismos y su media proporcional. AB + BC mpA
A p m
b
AB
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
AB + BC BC
Departamento de Artes Plásticas
OPERACIONES CON SEGMENTOS. PROPORCIONALIDAD DIRECTA 2
Curso Nota
Entre dos o más figura geométricas puede existir una serie de relaciones geométricas que une de alguna manera a las figuras, bien atendiendo a su forma, a su tamaño o a su disposición en el plano. IGUALDAD. Dos o más figuras geométricas son iguales cuando sus lados y sus ángulos son iguales y además están en el mismo orden (lados y ángulos). MÉTODOS. Existen diferentes métodos para construir figuras iguales a otras o para trasladar de un lugar del plano a otro un figura geométrica. Aquí expondremos algunas de ellas, siendo el alumno el que investigue otras formas o métodos.
A
Por triangulación.
B
Se trata de descomponer en triángulos la figura geométrica, empezando por uno de sus vértices y dibujando diagonales al resto de vértices. Se dibujan los triángulos uno a uno en el mismo orden.
A´ F
4 1 2
C
1
3
2
E
3
C´
D
Por coordenadas.
E´ D´
A
Se trata de dibujar una recta cualquiera r y proyectar todos los vértices sobre ella. Sobre otra recta r´ se toman los puntos 1´, 2´, 3´,... a la mismas distancias que en la recta r y por ellos se trazan perpendiculares llevando las alturas correspondientes. Es igual que en las coordenadas cartesianas: distancias entre x e y y a los dos ejes..
A´ E
y
E´
y´
B
B´ D
D´
C
C´ x´
x
2
31
5
4
2´ 3´1´
A
Por copia de ángulos.. Se empieza por copiar cualquier ángulo del polígono original y se le van sumando ángulos consecutivamente. Este procedimiento ese inexacto puesto que se pueden ir acumulando errores en cada operación..
Por traslación. Se trazan por los vértices rectas paralelas. por unos de sus vértices se traza una paralela a cualquier lado del polígono, por ejemplo AB. Por A´ y por B´ se trazan paralelas B´C´, A´E´, respectivamente a BC y AE, hasta completar el polígono.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
4´
E´
B
B´ D
D´
C
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
5´
A´ E
Por radiación. Se toma un punto P dentro o fuera del polígono y se une el punto P con los vértices del polígono. Así se triangula o se forman triángulos que pueden ser reproducidos en otro lugar. También se puede dibujar una circunferencia cualquiera. Con el mismo radio se dibuja la circunferncia en otro lugar y se reprocuden los ángulos de las misma y las distancias
F´
4
B´
C´
A
A´ E
B
1
B´ P
E´
5
P
2
D
4
C´
E´ B´ P
D´
3
C
C´
OPCIÓN A
D´ OPCIÓN B
E´
E B A
A´
B´ D
C
TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS.
A´
D´
Este procedimiento se aplicará cuando veamos semejanza
C´ Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
IGUALDAD.
1.- Construcción de un polígono IGUAL a otro por COORDENADAS
A E
B
D C
2.- Construcción de un polígono IGUAL a otro por TRIANGULACIÓN.
A E
B
D C
3.- Dada siguiente figura y los puntos O y P, se pide que construya otra figura IGUAL y que utilice el punto O´conocido donde debe estar situada la figura. El punto P es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos C y D.
A B i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
C
D
H
P E F
G O´
O
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS.
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
IGUALDAD.
TRASLACIÓN. La traslación es una transformación geométrica en el plano que cumple que: - La recta que une dos punto homólogos A y A´es paralela a una dirección concreta de Traslación d. - Dos rectas homólogas r y r´son paralelas: todos los puntos de estas rectas son homólogos, tienen la misma dirección de traslación y la misma distancia entre ellos.
C
r
d
D
B
r´
C´
A
D´
B´
A´ A´
E d
E´
A´ GIRO. El giro es una transformación geométrica en el plano en la que a un elemento A le corresponde un elemento A´ de modo que se cumplen la siguientes reglas: - La distancia de ambos puntos A y A´ a un punto fijo llamado centro de giro O, es constante (OA=OA´). - El ángulo que se forma al unir los dos puntos con el centro de
B´
A´
C´
C
giro O y su sentido, es igual a un lado dado, llamado ángulo de giro - El centro de giro O es el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen puntos homólogos AA´, BB´, etc.
B
A
SIMETRÍA. La simetría es una transformación que tiene mucho que ver con la proyectividad: la homotecia y la homología que estudiaremos más adelante, así como de giros en la simetría radial. Cuando tres puntos (O, A y A´) están alineados en una misma dirección se dice que A´ es una proyectividad de A con respecto a O. A´ es el HOMÓLOGO de A. Si A y A´están orientados en la misma dirección, la homología será positiva y si están orientados en distinta posición con respecto a O, la homología será negativa. La SIMETRíA es un homología negativa y con valor - 1.
O
A
A´
A ´
O A
A ´ i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
O
SIMETRÍA CENTRAL es cuando A y A´están alineados con un punto central O y hay la misma distancia de AO y de A´O B´
+
D
-
C´
A
A Simetría
B
SIMETRÍA AXIAL. La simetría axial es respecto a un eje de simetría. Los puntos simétricos están alineados perpendicularmente con respecto al eje. La distancia de A al eje y de su homólogo A´ al eje es la misma. e
D´
A
D´
C
eje de simetría
D
A´
SIMETRÍA RADIAL. Es un caso especial de simetría central. Se dá cuando la misma figura gira alrededor de un punto central O y existe simetría entre ellas. A5 Los rosetones de las A4 catedrales o los radios de la rueda de una bicicleta D mantienen una relación A A3 de simetría radial. O B
B
A´
O
D
B´ C
C´
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS.
A1
Departamento de Artes Plásticas
A2
Curso Nota
IGUALDAD.
SEMEJANZA. Dos figuras son semejantes cuando sus ÁNGULOS son IGUALES y sus LADOS son PROPORCIONALES. El cociente entre las magnitudes homólogas (la proporcionalidad entre sus lados), se denomina razón de semejanza. De forma gráfica se representa la semejanza como una proyectividad con un punto de origen propio o en el plano, unos rayos proyectantes que parten de dicho punto y de puntos homólogos. Si los puntos homólogos están en la misma orientación la homología será positiva. Si es al contrario será negativa. B´ semejanza de una recta n semejanza de un punto A n´ A O homología -
O
A
O
A´
r
A´
A´
A B
n
C´
B
semejanza de una figura F
n
n´
C
B´ semejanza de una recta n homología +
F´
OB O A = =k OB´ O A´ k = razón de semajanza
B´
F
B
O
A A´
Construcción de una figura semejante a otra dada la razón de semejanza k = 2/3. Dado el polígono ABCDE, se toma un punto arbitrario O y se une con todos los vértices del polígono dado. Uno de los segmento hallados, por ejemplo OA, se divide en tantas partes como el denominador de la razón (en este caso 3) y a partir de O se toman tantas partes como indique el el numerador (en este caso 2). De este modo obtenemos el punto A´ que es el homólogo de A. Por el punto A´ se traza la paralela a la recta AB hasta cortar a la recta OB o su prolongación, en el punto B´ y así con todos los puntos de la figura.
O C´ 1
3 A
k = 2/3
Nº de lámina
Título de lámina
k = - 3 = -3/1
A´ 3 2 1
C
C´ O B´
1
B´ A
C´ C
B´ B
O A
Nombre de Alumno
D B
Construcción de una figura proporcional a la dada y cuyo lado A´B´ mida 18 mm.
Fecha
D´
2
La razón de semejanza es negativa por lo tanto los puntos homólogos estarán en sentido contrario con respecto a O. Las Partes para hallar k se realiza como en el caso anterior pero las partes del denominador en sentido contrario.
Se dibuja el lado A´B´ que mida 28 mm. a una distancia arbitraria pero paralelo a AB. Se une A y A´ y B y B´ hasta hallar el centro de semejanza O. Se resuelve como una semejanza positiva.
B
A´
Construcción de una figura semejante a la dada con razón de semejanza k= - 3 (Figura inversamente semejante)
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
C
B´
TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS.
A´
A´B´= 28 mm.
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
SEMEJANZA.
2.- Trasladar el polígono dado 40 mm con la dirección dada.
1.- Trasladar el polígono dado 37 mm., en la dirección dada d. D
D C
C
A
A B
B
d
3.- Dada la recta r con 30º sobre la horizontal, gírala 90º según el centro de giro O dado.
d
4.- Dado siguiente triángulo: a=13, b=28 y c=35, se pide: a. Realizar un giro de 60º CR. según el centro O dado. b. Con el triángulo obtenido, Hallar el simétrico con el eje de simetría paralelo al lado b y a una distancia de 15 mm. 90º.
0 A
B
r
0
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
5.- Dados los cuadrados ABCD y A´B´C´D´, iguales y girados, halla el centro de giro. B´
C´
6.- Dadas dos rectas paralelas r y s, y otra recta t no paralela a las anteriores: se pide que construyas el triángulo de lados AB, BC y AC dados, de manera que tenga un vértice en cada recta respectivamente. A
B
B
C
A D D´
C
C r
A´
t
s B A
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota IGUALDAD, TRASLACIÓN, GIROS
2.- Trasladar el polígono dado 40 mm con la dirección dada. D´
1.- Trasladar el polígono dado 37 mm., en la dirección dada d. D´
D
D
C´ A´
C´
C
C
A´
A
A
B´
B´
B
B
d
3.- Dada la recta r con 30º sobre la horizontal, gírala 90º según el centro de giro O dado. B´
d
4.- Dado siguiente triángulo: c=13, b=28 y a=35, se pide: a. Realizar un giro de 60º CR. según el centro O dado. b. Con el triángulo obtenido, Hallar el simétrico con el eje de simetría paralelo al lado b y a una distancia de 15 mm. 90º.
C r´ A´
B´
a b
C´ 0
A´
15 mm
90º
c A
e j e si me tr í a
r
B
B
C´´
A´´
A
0
B´´
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
5.- Dados los cuadrados ABCD y A´B´C´D´, iguales y girados, halla el centro de giro. B´
C´
6.- Dadas dos rectas paralelas r y s, y otra recta t no paralela a las anteriores: se pide que construyas el triángulo de lados AB, BC y AC dados, de manera que tenga un vértice en cada recta respectivamente. A
B
B
C
A D D´
C
C
C´
C r
A´
A
A´
t
s B A
B
B´
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota IGUALDAD, TRASLACIÓN, GIROS
1.- Trace dos figuras simétricas de la ABCD, sabiendo que EE´ es el eje de simetría de una de ellas y O el centro de simetría de la otra. E
B
O
C A D E´
2.- Trace la figura semétrica de la ABCD, sabiendo que EE´ es el eje de simetría.
A B
E´
D i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
C
E
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota SIMETRIAS
1.- Trace dos figuras simétricas de la ABCD, sabiendo que EE´ es el eje de simetría de una de ellas y O el centro de simetría de la otra. E
D´´
A´´
B
A´
B´
C´´ O B´´
C
C´
D´
A D E´
2.- Trace la figura semétrica de la ABCD, sabiendo que EE´ es el eje de simetría.
A B
E´
C´
D i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
B´
D´
C
E
A´
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota SIMETRIAS
1.-Dado el polígono irregular de 5 lados ABCDE y el punto 0, se pide: Hallar la figura directamente SEMEJANTE con razón R = 5:3 con el punto 0 como origen.
O
A F B
D C
B´
2.- Dado un pentágono regular de lado 27 mm., se pide: Hallar el polígono semejante de razón = 2/3. El punto A es un vértice del pentágono y el origen de semejanza.
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
A
3.-Dibujar el heptágono regular una de cuyas diagonales mide 37 mm.
E
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota SEMEJANZA
1.-Dado el polígono irregular de 5 lados ABCDE y el punto 0, se pide: Hallar la figura directamente SEMEJANTE con razón R = 5:3 con el punto 0 como origen.
O 1
2 A
3
F
R=5:3 ampliación
B A´ 5
F´
D C
B´
D´
C´
2.- Dado un pentágono regular de lado 27 mm., se pide: Hallar el polígono semejante de razón = 2/3. El punto A es un vértice del pentágono y el origen de semejanza.
3.-Dibujar el heptágono regular una de cuyas diagonales mide 37 mm.
A=A´
G G´
C B´ i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
B
C´
D
B B´
F´
d = 37
F
E´
C´
D´
D´
A´= A
C E
E´ K = 2/3 E D
MN = CD
AN = AB + CD Realizar un triángulo con los dos lados d1 y d2 = AC y BD
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota SEMEJANZA
1
1.-Trazar la figura homotética de la dada siendo O el centro de homotecia y el valor de k=2,5 / 3,5.
2.- Dibuja la figura homotética a la dada de razón -2, con centro en O
o o
3.- Dibujar el segmento n 2, siendo n un segmento dado y considerando el centímetro como unidad. Aplica la media proporcional. n
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota SEMEJANZA
1.- Resuelve tú mismo: Tenemos un campo de fútbol de 1.400 mm. en la realidad y se quiere representar en el dibujo en 70 mm. Aplicar la fórmula y decir a qué escala estará representado: escala =
medidas en el dibujo medidas en la realidad
fórmula E =
escala E =
2.- Dibujar la escala gráfica E = 1:40
3.-Dibujar una regla para medir planos a escala E = 1:75.000
0 4.- Dibujar la escala volante E = 7:5
0 5.- Dibujar la escala volante E = 1/175 i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
0 6.- Dibujar la escala volante E = 1/37.500 7.- Dibuja la escala gráfica 8/1
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota ESCALAS.
1.- Resuelve tú mismo: Tenemos un campo de fútbol de 1.400 mm. en la realidad y se quiere representar en el dibujo en 70 mm. Aplicar la fórmula y decir a qué escala estará representado: medidas en el dibujo
escala =
70 mm
medidas en la realidad
1
fórmula E =
=
20
1.400 mm escala E = 1 / 20
2.- Dibujar la escala gráfica E = 1:40
1
0
En este caso conviene utilizar metros para realizar la escala, pues como 1 unidad del dibujo representa 40 unidades reales, 1 metro estará representado por 1/40 metros. 1/40 m = 0.025 m = 2.5 cm. Cada metro estará representado por 2.5 cm.
1m
2m
3m
4m
5m
3.-Dibujar una regla para medir planos a escala E = 1:75.000 En este caso, 1 km real será 1/75.000 en el dibujo, es decir = 0.000013 km = 1.3 cm. Como 1.3 es difícil de representar con exactitud, dibujaremos gráficamente por teorema de tales la expresión 4/3 que es el mismo resultado. 10/7.5 = 20/15 = 4/3
4 cm.
0
1
0
1
1
2
1km
3
2km
4
3km
5
4km
6 1,4 cm
4.- Dibujar la escala volante E = 7:5
7
1
0 1
2 3
4
5
6
7 2
5.- Dibujar la escala volante E = 1/175 = 1 metro/175 = 100 cm / 175 = 4/7 i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
1
4 cm
1
0
1 km
2 km
3 km
4 km
5 km
6.- Dibujar la escala volante E = 1/37.500 = 2.666 = 8/3 7.- Dibuja la escala gráfica 8/1 = 8 unidades del dibujo corresponden a una en la realidad. Si aplicamos mm. sería 8 mm = 1 mm en la realidad.
1
0
1
2
4
3
5
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota ESCALAS.
1.- Calcular la altura señalada en el triángulo ABC si AB = 10 cm. en magnitud real. C
h A
B
2.- Dado el segmento B´C´= 39 mm, representado a escala 7/9, determinar numérica y gráficamente su verdadera magnitud. C´ B´
3.- Determinar a qué escala están dibujadas las siguientes figuras:
70 mm
54 mm
4.- Dada la figura representada a escala 2:3, dibújala a escala E = 5/2
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota ESCALAS.
1.- Calcular la altura señalada en el triángulo ABC si AB = 10 cm. en magnitud real.
Gráficamente
AB = 4 cm en el dibujo y 10 cm en la realidad.
C
medidas en el dibujo
escala =
medidas en la realidad
escala =
4 cm 10 cm
=
2
h real
5
h = 23 mm = 2,3 cm = 2,3X5/2 = 5.75 en la realidad.
h A
B h real h
2 cm
2.- Dado el segmento B´C´= 39 mm, representado a escala 7/9, determinar numérica y gráficamente su verdadera magnitud. C´ B´
3.- Determinar a qué escala están dibujadas las siguientes figuras:
70 mm
54 mm
4.- Dada la figura representada a escala 2:3, dibújala a escala E = 5/2
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
escala 5/2 escala 1/1
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota ESCALAS.
EQUIVALENCIA. Reciben el nombre de figuras equivalentes las que tienen la misma superficie pero diferente forma. La solución de problemas de equivalencia es más bien geométrico que de aplicación en dibujo.
1.- Dado un triángulo, dibujar otro equivalente.
2.- Construcción de un polígono equivalente a otro pero que tenga un lado menos.
A
E
F
A D
C
B C
3.- Construye un triángulo equivalente al polígono dado.
B
4.- Dado un cuadrado, dibujar un triángulo equivalente.
E C
D
A D
B
C
B
5.- Cuadratura del círculo. Dada la circunferencia O, Hallar el cuadrado equivalente. i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
A
6.- Dibujar un cuadrado que tenga por área el doble que otro dado ABCD..
O D
C
A
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
B
Curso 2º BACHILLERATO Nota EQUIVALENCIA
3
EQUIVALENCIA. Reciben el nombre de figuras equivalentes las que tienen la misma superficie pero diferente forma. La solución de problemas de equivalencia es más bien geométrico que de aplicación en dibujo.
2.- Construcción de un polígono equivalente a otro pero que tenga un lado menos.
1.- Dado un triángulo, dibujar otro equivalente. A
D
E
F
A
h D Base C
B C
G
B
El área de un triángulo = base X altura, por lo tanto cualquier triángulo que tenga la misma base y la misma altura tendrá el mismo área.
Se triangula por uno de sus vértices. Se halla el triángulo equivalente. = ABF triángulo de base FB y altura BG, luego FBG misma base y altura
3.- Construye un triángulo equivalente al polígono dado.
4.- Dado un cuadrado, dibujar un triángulo equivalente. El ejercicio podría ser a la inversa
E
E´
I
r C
A L D
C
B
H h/2
h/2
A
G
B´ 2
Igual que ejercicio anterior pero con todos los triángulos del polígono
5.- Cuadratura del círculo. Dada la circunferencia O, Hallar el cuadrado equivalente. i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
l a n o i c r o p o r p a i d e m
B
F
C´
D
Bxh = LxL = L 2
2 = el área del cuadrado (L) es la media proporcional entre la base (FA) y la mitad de la altura del triángulo buscado (AG = AH)
6.- Dibujar un cuadrado que tenga por área el doble que otro dado ABCD.. J
C
D
L r M
B
l a n o i c r o p o r p a i d e m
R
2
O D
A
r r.r = L
Q
r
C
E
N
r
el lado del cuadrado será la media proporcional entre la mitad del área del círculo y el radio del mismo.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
A
B
Curso 2º BACHILLERATO Nota EQUIVALENCIA
3
7.- Dado un cuadrado de lado 60 mm., construir el rectángulo equivalente al cuadrado (uno de los lados del rectángulo mide 40 mm.)
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA
3
7.- Dado un cuadrado de lado 60 mm., construir el rectángulo equivalente al cuadrado (uno de los lados del rectángulo mide 40 mm.) Solución a:
D
C
m m 0 4
A
B B
Solución b:
L = 60 mm media proporcional entre lado menor y lado mayor
l = 40 mm A
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
lado mayor 0
Fecha
Nombre de Alumno
Curso 2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota SEMEJANZA Y EQUIVALENCIA
3
Dibuje dos rectas de forma que una de ellas pase por el punto A y la otra por B y que la recta r sea bisectriz de ambas. Razone la solución.
A
B
Dibuje todos los segmentos de longitud 4 cms. Que se apoyen sumultánamente en las rectas r y s y que formen 45º con la recta r. Indique los pasos utilizados en la solución.
r
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
s
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
PROBLEMAS DE SEGMENTOS Y ANGULOS
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
Dibuje dos rectas de forma que una de ellas pase por el punto A y la otra por B y que la recta r sea bisectriz de ambas. Razone la solución.
A
B´
A´ B
Dibuje todos los segmentos de longitud 4 cms. Que se apoyen sumultánamente en las rectas r y s y que formen 45º con la recta r. Indique los pasos utilizados en la solución.
r 40 mm.
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
45º
45º
s
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
PROBLEMAS DE SEGMENTOS Y ANGULOS. SOLUCIÓN
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
Dadas dos rectas que se cortan fuera de los límites del dibujo y un punto A, trazar la recta concurrente con ellas y que pase por el punto dado.
A
Halla los puntos B y C que están a 2 cm de A y equidistan de los lados del ángulo
A i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
PROBLEMAS DE SEGMENTOS Y ANGULOS
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
Dadas dos rectas que se cortan fuera de los límites del dibujo y un punto A, trazar la recta concurrente con ellas y que pase por el punto dado.
A
Halla los puntos B y C que están a 2 cm de A y equidistan de los lados del ángulo
A i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
C
B
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
OPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIÓN
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
Dadas dos rectas r y r´ y un punto P. se pide: Hallar una recta, que pasando por el punto P equidiste de r y r´.
P
r s Dadas dos rectas r y s, situar un pentágono regular ABCDE de lado la raíz cuadrada de 6 cm, de modo que el lado AB esté en r y el vértice D (opuesto al lado AB) en la recta s. La raiz cuadrada de 6 cm. se deberá obtener gráficamente.
r i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
s
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
OPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIÓN
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
Dadas dos rectas r y r´ y un punto P. se pide: Hallar una recta, que pasando por el punto P equidiste de r y s.
72º
s
P
3 0
2 0
r
Croquis
1
A
P
s A
s
B
1´
1
P F´
F
r
B
1´
r Los triángulos F yF´son iguales. Dadas dos rectas r y s, situar un pentágono regular ABCDE de lado la raíz cuadrada de 6 cm, de modo que el lado AB esté en r y el vértice D (opuesto al lado AB) en la recta s. La raiz cuadrada de 6 cm. se deberá obtener gráficamente.
B C A B
A
D E
r i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
s
6
1 cm.
6 cm.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
OPERACIONES CON SEGMENTOS. SOLUCIÓN
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
HOMOLOGÍA. La homología es una transformación proyectiva en el espacio. Dos secciones planas de una pirámide o de un cono son homólogas entre sí. El centro de transformación será el vértice, por el que pasan todas las generatrices del sólido y el plano de la transformación será un plano que contiene a la recta e intersección de los dos planos sectores. En una homología los puntos homólogos están alineados con el centro de homología y las rectas homológicas se cortan en el plano de transformación ( en la recta e).
o
B´
A´ C´ B C e E j e
A
La Homología en el plano. Al trasladar la homología a un plano tenemos un dibujo en 2D. Existen una serie de leyes o normas en toda homología: - Dos puntos homólogos A y A´ están alineados con un punto fijo O, que es el centro de la transformación. - Dos rectas homólogas se cortan en una recta llamada eje de la homología. Homología de un punto.
Homología de dos puntos.
O
Homología de figuras.
Homología de rectas.
O
O B
O
A
A
A
A
r
B eje
eje
A´
eje
C´ F´
B´
r´
A´
C
A´
eje
B´
A´
F
B
B´
Elementos dobles: El eje de homología, sera una recta donde confluyan rectas y puntos dobles. Por lo tanto, cualquier punto o r ecta que esté situado en el eje de homogía será doble: A y A´, r y r´. Rectas paralelas al eje: Las rectas paralelas al eje tendrán sus homólogas paralelas también, pues las rectas se cortarán en un punto impropio. Rectas límite: Todos los puntos que tengan su homólogo en el infinito (puntos impropios) tendrán su representación en el plano: estarán alineados en una recta paralela al eje. Esta recta se llama recta límite (l) Elementos dobles: B es un punto doble.
Rectas paralelas.
Rectas LÍMITE.
Rectas paralelas.
O
O O
O
T (tg) recta límite L
B
A
A
r
A
D
eje B
eje
T1 (tg) eje
eje
v´ F
E´
B´
r´
e j e p a r á b o l a
B´
A´
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
v
E
D´ A´
B´
A´
B
8
T´
Determinación de una homología. Para poder dibujar una homología nos hacen falta que queden definidos los siguientes datos: - El centro de homología, el eje y dos puntos homólogos. - El centro, el eje y la razón de homología. k= (OA/OA´)/(PA/PA´), donde P es el punto correspondiente al eje de homología. Cuando K = -, la homología se llama INVOLUCIÓN, y las figuras estarán en un mismo lado del eje. - Dos figuras homotéticas. - El centro, un punto y una recta límite. Afinidad B´
AFINIDAD. La afinidad es una homología, con las mismas características que ésta pero con la diferencia que el centro de homología es un punto impropio: está en el infinito. Eso significa que es una proyección cilíndrica, los rayos proyectantes son paralelos. Para que haya una afinidad, nos tienen que dar: la dirección de afinidad. Un par de puntos afines u homólogos. afinidad de un punto.
afinidad de una recta. B
d
r
B´
r´
A´
C´
C F A
eje B´
afinidad de paralelas.
d B
d
eje
C e j E e
A
A
eje A´
C´ B
C F
A
A
A´
afinidad de una figura. B
d
d
A´ A
B´
B´ d
B
eje
P
A´ eje
D
A´
D´
C´
C C´
El punto P es un punto doble igual que los que cortan ABCD en el eje
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
HOMOLOGÍAS. AFINIDAD
o
Homología plana es una transformación homográfica basada en la proyección cónica de puntos que cumple con las siguientes leyes: : - Dos puntos (A y A´) están alineados con un punto fijo (O) que está en el plano y se llama centro de homología. - Dos rectas homólogas (r y r´) se cortan siempre en una recta fija llamada eje de homología. El eje por tanto, es el lugar geométrico de los puntos que son homólogos de sí mismos (puntos dobles C-C´).
r A C-C´
eje A´ r´
Una recta límite (l) es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Las rectas límite son dos (l y l´) y son paralelas al eje. Todas las rectas que se cortan en un mismo punto P de la recta límite tienen sus homólogas paralelas a la dirección OP. La distancia de una de las rectas límite al centro de homología (O) es la misma que hay desde la otra recta límite al eje de homología.
o P
l (recta límite) s
r
eje
s´
r´
l
d
o
l´
Una homología queda determinada cuando se conocen los siguientes elementos: 1. El eje, el centro y un par de puntos homólogos. 2. El centro y dos pares de rectas homólogas. 3. Un punto doble y dos pares de puntos homólogos. 4. El centro, el eje y una recta límite. 5. El centro, una recta límite y dos puntos homólogos 6. El centro y las dos rectas límites. 7. Dos figuras homólogas.
d
eje
o A B C
eje AFINIDAD
C´
La afinidad es una homología de centro O impropio, es decir, que está en el infinito. Por tanto la afinidad es una transformación homográfica que cumple las siguientes leyes:
B´
- La recta que une dos puntos afines es PARALELA a una dirección d de afinidad. -Dos rectas afines se cortan en un punto del eje de afinidad. figura 1 i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L Fecha U J
A´
A
En la afinidad no existen rectas límite.
d
B
Una afinidad queda determinada, si se conocen los siguientes datos: a) El eje y dos puntos afines. b)La dirección de afinidad y el coeficiente. c)Dos figuras afines.
o o
figura 2
N. lámina
C
eje
r B
A
B´
C´ A´
C-C´
figura 2
eje B´
figura 1
A´ r´
Nombre alumno
Nombre lámina
Curso:
HOMOLOGÍA.
Nota:
1.- Dada la siguiente homología, hallar el punto B´, homólogo de B.
2.- Dada la siguiente homología, hallar la recta r´ homóloga de r.
O
O A
B
r
B
A eje
eje
A´
A´
3.- Dada la figura ABC y un punto homólogo A´, construir la figura homóloga. O
4.- Hallar el homólogo A´de punto A, conociendo el centro de homología O, el eje y un par de rectas homólogas
o A r
B
eje C
A
eje
r´
5.- Hallar el homólogo de B conociendo los datos del ejercicio. i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
6.- Halla el homólogo A´ de un punto A conociendo el centro, el eje y la recta límite l.
o o
A
l (recta límite)
B A
eje
eje
A´
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
HOMOLOGÍAS. AFINIDAD
1.- Dada la siguiente homología, hallar el punto B´, homólogo de B.
2.- Dada la siguiente homología, hallar la recta r´ homóloga de r.
O
O A
B B
A eje
eje
B´
A´
A´ B´
3.- Dada la figura ABC y un punto homólogo A´, construir la figura homóloga. O
4.- Hallar el homólogo A´de punto A, conociendo el centro de homología O, el eje y un par de rectas homólogas
o B A r
B
eje
A´
C
A
eje
B´ A´
r´
C´
B´
5.- Hallar el homólogo de B conociendo los datos del ejercicio. i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
6.- Halla el homólogo A´ de un punto A conociendo el centro, el eje y la recta límite l.
o o
A C
l (recta límite)
B A
eje
eje
B´
C´
A´
A´
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
HOMOLOGÍAS. AFINIDAD
Represente la figura homóloga de la dada sabiendo que los puntos homólogos de A y C son respectivamente A´y C´ y el punto homólogo de B está sobre la recta r´. Indique los parámetros que definen la homología.
C
A
B A´
C´
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I L U J
r´
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de Artes Plásticas
Curso Nota
HOMOLOGÍAS. AFINIDAD
Representa la figura homóloga de la dada sabiendo que los puntos homólogos de A y C son respectivamente A´ y C´ y el punto homólogo de B está sobre la recta r´. Indique los parámetros que definen la homología. (PAU sept. 2010)
C
A K
Q r B
P
M
N
C´
A´ K´
P´
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I LFecha U J
N. lámina
N´
Q´
B´
M´
r´ EJE
Nombre alumno
Nombre lámina
Curso:
AFINIDAD
Nota:
1.- Hallar el afín B´del punto B, conociendo la dirección de afinidad, el eje y un par de puntos afines A y A´
A
2.- Hallar el homólogo A´de punto A, conociendo el centro de homología O, el eje y un par de rectas homólogas
d
A
B
r
eje
eje
r´ A´
3.- Construir la figura afín del polígono ABCDE conociendo el eje y un punto afín A´
4.- Determinar la figura afín a la dada, sabiendo que el punto A es doble y los punto B´y C´ son afines. C D
E
A
F
B
E
D C
eje
A C´ C´ B
B´
5.- Trazar la figura afín de la dada con los datos que se indican.
6.- Determine la figura afín al polígono ABCD, conocidos el punto afín A y el eje de afinidad. Indique la dirección de afinidad d C
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I LFecha U J
A
D
D B
A C
eje
B B´
A´
eje
d
N. lámina
Nombre alumno
Nombre lámina
Curso:
AFINIDAD
Nota:
1.- Hallar el afín B´del punto B, conociendo la dirección de afinidad, el eje y un par de puntos afines A y A´
r
A
2.- Hallar el homólogo A´de punto A, conociendo el centro de homología O, el eje y un par de rectas homólogas
d
A
B
r
eje
eje
r´ A´
r´
3.- Construir la figura afín del polígono ABCDE conociendo el eje y un punto afín A´
4.- Determinar la figura afín a la dada, sabiendo que el punto A es doble y los punto B´y C´ son afines. C D D´
E
A
E´ F
B
E
D C
F´ A C´
eje C´ B´
D´ B
A´
E´ B´
5.- Trazar la figura afín de la dada con los datos que se indican.
6.- Determine la figura afín al polígono ABCD, conocidos el punto afín A y el eje de afinidad. Indique la dirección de afinidad d C
i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I LFecha U J
A
D
A´
D
D´ d
B
A C
C
eje
B B´
B´
A´
eje
N. lámina
D´
Nombre alumno
Nombre lámina
C´
Curso:
AFINIDAD
Nota:
Determinar el homólogo del triángulo equilátero dado por el lado AB, con los siguientes datos: centro O, eje E y siendo A´el punto homólogo de A. El vértice C está al otro lado del eje. O
A B E
A´
Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A´, se pide hallar la figura afín de la dada. Decir cuál es la dirección de afinidad.
D
A
C i b I . r o d a m a r r e D u o N S E I o c i n c é T o j u b i D r o s e f o r P . A L O A R I A Í C R A G N Á I LFecha U J
E
N. lámina
B
A´
Nombre alumno
Nombre lámina
Curso:
AFINIDAD
Nota:
