INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE SAN ANDRES TUXTLA ÁLGEBRA LINEAL
TRANSFORMACIONES LINEALES INGENIERÍA MECATRÓNICA
ENSAYO UNIDAD 5
ING. HUMBERTO VEGA MULATO
PRESENTA: PÉREZ HERNÁNDEZ CARLOS
211 “A”
VERACRUZ, MEXICO.
MAYO 2018
INTRODUCCIÓN
Es muy común encontrar definiciones erróneas o muy complejas por lo que en este ensayo se hablara en un lenguaje algebraico entendible para que este a la altura de cualquier lector que quiera conocer más sobre este tema En esta ocasión se estudiará la parte correspondiente a las transformaciones lineales las cuales por su alto contenido geométrico permiten determinar las propiedades básicas de los espacios vectoriales. Además, por su íntima conexión con las matrices, se tendrá la oportunidad de dar una justificación a las operaciones entre las mismas, empleando las operaciones correspondientes entre transformaciones lineales. Para este tema se tendrá en cuenta el conocimiento adquirido de las unidades pasada por lo que se tomaran temas de matrices y las definiciones de espacio y subespacio vectorial llevando así una combinación de los temas antes vistos.
DESARROLLO
Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura, es decir, con la operación y estos espacios. Aquí se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preser van las cualidades de los espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicación por escalares. Nosotros usaremos el concepto de la función para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La restricción que haremos será sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente, las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos cómo se aplican estos resultados a sistemas de ecuaciones. Se puede decir que cuando hay una función de R2 se define una función T mediante la fórmula T (x; y) = (x; -y). Geométricamente, T toma un vector en R2 y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se verá que T es una transformación lineal de R2 en R2. De igual modo como en las transformaciones existe lo que es el núcleo y la imagen de una transformación por lo que se define en que sea f: v → w una transformación lineal. Llamamos núcleo de f al conjunto de vectores del dominio cuya imagen por f es el 0. es decir, el núcleo de una transformación lineal es un subespacio de v. Sea T: e f una aplicación o transformación lineal, entonces la imagen de T es un subespacio de f y el núcleo de t es un subespacio de “e”. Para ser más entendible el concepto de Núcleo y de Imagen podemos concluir que el núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio sean V, W espacios vectoriales sobre un campo f y sea T ∈ L (V, W). Entonces es un subespacio de V. De igual manera se puede decir que la imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio sean V, W espacios vectoriales sobre un c ampo F y sea T ∈ L (V, W). Entonces T es un subespacio de W. Así como se puede representar la transformación por medio de R2 y R3 …Rn (Operadores lineales) también se puede representar por medio de una matriz, a lo que a continuación mencionaré. Sea T: Rn Rm una transformación de acuerdo con los teoremas de representación matricial, solo existe una matriz única de m x n, la matriz de transformación A T, donde toda x pertenece a Rn y donde w representa la x transformada, de modo que la trasformación de x es igual a x multiplicada por la matriz de transformación.
La matriz de transformación, representada por A T, es la representación matricial de T, la operación que convierte o transforma el vector original al vector resultado. La matriz de trasformación esta definida usando las bases de R n y Rm por lo que, si se utilizan bases distintas, la matriz de trasformación es diferente. Dentro de las matrices podemos encontrarnos con transformaciones matriciales de proyección y para representarla se tomará un vector se proyectará sobre otro plano, es decir, se toma el vector original y se multiplicara por una matriz de identidad, de acuerdo con el plano que se quiera proyectar. Para poder entender este concepto mas claro de tomará un vector R 3 sobre un plano x; y. Si el vector es (x, y, z), y se quiere proyectar sobre un plano x; y, entonces la trasformación la representaríamos como A T = Matriz diagonal; de manera que solo quedarían los vectores correspondientes a x y y . Otro punto que debemos tomar en cuenta son las representaciones matriciales R 3 en R4, por lo que a continuación se mencionara. Si se tiene una transformación de T: R3 R4. La T representaría la trasformación que será representada por A T, mientras que la matriz a su lado representa el vector original. El resultado de esta es la transformación realizada. Para poder representarla de forma matricial lo que se debe obtener es la matriz de transformación. Ya una vez que se obtiene, se puede determinar otros datos como el núcleo y la imagen de la trasformación que ya había explicado con anterioridad. Un punto de igual manera son las representaciones matriciales de una transformación R3 en R3 por lo que si se tiene una transformación T: R 3 R 3 dada por T (x, y, z). De la misma manera que se había resuelto la representación de R 3 a R4, a partir del resultado se obtiene la matriz de transformación, solo que en este caso no se aumenta el numero de vectores, solo se transforman los tres originales a tres nuevos. Las representaciones matriciales de una transformación cero no son tan comunes verlas, pero es igual de importante saber como resolverla en caso de que nos la pidan. Si T es la transformación cero de R n Rm, entonces AT es la matriz cero de (m)(n). Una transformación siempre nos va a dar como resultado cero, es una operación que convierte el calor original a cero. La manera de rep resentarlo de forma matricial es con una matriz cero seria T(x) = x * AT = (matriz rectangular) * (matriz nula) dando como resultado una misma Matriz Nula. Por último, tenemos la representación matricial a espacios arbitrarios de dimensión finita. Para poder representar de forma matricial cualquier espacio arbitrario de dimensión finita, se utiliza un teorema. Sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de dimensión m, y T: V W una transformación lineal.
Sea B1 = {V 1, V 2, …V n} Una base para V y sea B 2 = {W 1, W 2, …W n} una base para W. Entonces para resumirlo todo diríamos que tenemos una matriz única A T de m x n tal que (Tx)B2 = AT(x) B1. Como último punto en este ensayo se hablará sobre las aplicaciones que tienen las transformaciones lineales en la vida cotidiana, como parte de este último tema se verá lo que es reflexión, expansión, contradicción. Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal. Existen ciertas propiedades básicas de estas, las cuáles si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo a un problema simple. Para esto la notación general utilizada para una transformación lineal es T: R n.
CONCLUSION
Como aprendizaje a las Introducción de las Transformaciones pude distinguir las transformaciones lineales de las no lineales de un espacio vectorial en otro, además de caracterizar las transformaciones lineales por las imágenes de los vectores de una base. Parte de este ensayo me ayudó a reforzar mi aprendizaje sobre ciertos temas anteriores, como el uso de vectores y el uso de matrices. Esto es tema que recopila temas pasados para poderlos juntar. De igual manera pude comprender las representaciones matriciales de una transformación lineal de una transformación de proyección, las representaciones matriciales de R3 a R4, de R3 a R3 e incluso pudimos aprender y como funcionan las representaciones matriciales de una transformación cero. De igual manera conocimos que existe una forma de representar una transformación matricial en cualquier espacio arbitrario de dimensión finita. Y por último observé y comprendí como estas transformaciones nos ayudan a comprender nuestro entorno y que se encuentran en nuestro día a día.
BIBLIOGRAFIA
Del Valle, Juan Carlos. Álgebra Lineal para estudiantes de Ingeniería y Ciencias. Ciudad de México: McGraw Hill, 2012. Grossman, Stanley I. y Flores Godoy, José Job. Álgebra Lineal, Séptima Edición. Ciudad de México: McGraw Hill, 2012. Kaufmann, Jerome E. y Schwitters, Karen L. Álgebra, Octava Edición, Ciudad de México: Cengage Learning, 2010.
