Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Profesional Ticomán
Ing. en Aeronáutica
Alumnos. Mario Daniel Bautista Vargas André Ballesteros Arguello Mauricio Juárez Pérez Roberto Sinuhe Montoya Ramos Alberto Adrian Sánchez López
Asignatura: Dinámica de vuelo
Grupo: 7AM2
Titulo del trabajo: Derivadas de estabilidad
Fecha de entrega: 29 de Mayo del 2012
2
Introducción En general el estudio de la estabilidad y el control de aviones requieren un estudio de la dinámica de vuelo. Mucha información útil puede ser obtenida, sin embargo, desde una vista más limitada, en en que no no consideramos las señales del del avión, solamente lo que que su equilibrio dice. Este enfoque es comúnmente comúnmente conocido como la estabilidad estática y análisis de control. Los movimientos inestables de un avión pueden ser separados para la conveniencia conveniencia frecuentemente frecuentemente en dos partes. Uno de éstos consta de los movimientos longitudinales longitudinales o simétricos; es decir, aquellos en que las alas se s e quedan horizontales, y en que el centro de gravedad cambia de posición vertical. El otro tipo se refiere a los movimientos laterales o asimétricos; es decir el alabeo, guiñando, y cabeceo mientras que el ángulo de ataque, la velocidad, y el ángulo del ascenso en el eje x se quedan constantes. Las fórmulas son dadas en relación con los parámetros más elementales elementales usados en la estabilidad estática y el rendimiento. Donde esto no es viable, es mostrado en una manera cualitativa en que la fuerza particular o el momento son relacionados a la cantidad de la perturbación. Esta separación puede ser hecha para los análisis tanto dinámicos como estáticos. Sin embargo, los resultados de gran importancia para la estabilidad estática son ésos relacionado con el análisis longitudinal. En principio hay dos aspectos que considerar en el estado de equilibrio. El cabeceo de la estabilidad que consideramos que actúa en el momento momento de lanzamiento actúa en el avión cuando su ángulo de ataque es cambiado del valor de equilibrio, cerca del valor de la vertical vertical de rafa. rafa. El control de cabeceo que usamos para el control longitudinal (elevador) (elevador) que cambia el valor de equilibrio equilibrio del ángulo ángulo de ataque. ataque. En tanto, podemos adelantar que el cambio del ángulo de ataque es un factor clave para poder definir la estabilidad en la aeronave ya que de este valor habrá mas de una ramificación como se vera mas adelante.
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Derivadas de estabilidad. Cómo se ha expresado, las acciones aerodinámicas del avión pueden ser representadas aproximadamente aproximadamente por derivadas de estabilidad (o más exacto por las funciones de transferencia transferencia aerodinámicas). aerodinámicas). Cada uno de las derivadas de estabilidad están expresadas en relación a las ecuaciones de movimiento del avión, por ello las formulas están dadas en parámetros propios de la estabilidad estática y del rendimiento.
Ecuaciones del movimiento. Las ecuaciones del movimiento de una aeronave se obtienen de aplicar la segunda ley de Newton, la cual relaciona el sumatorio de fuerzas externas y momentos con las aceleraciones aceleraciones lineales y angulares del sistema. Para ello hay que definir unos sistemas de ejes y considerar ciertos criterios. 1. 2. 3. 4.
La masa de la aeronave es constante durante la condición de vuelo estudiada. La aeronave es un solido rígido. La Tierra es un sistema de referencia inercial. Las variaciones respecto del equilibrio son pequeñas, pequeñas, el producto de las variaciones será pequeño en comparación con las variaciones y podrán despreciarse, y la hipótesis de los ángulos pequeños podrá aplicarse a los ángulos entre los ejes de equilibrio y los de variaciones.
Ejes de la aeronave
Una vez definidas las hipótesis que vamos a tener en cuenta para el desarrollo de las ecuaciones del movimiento movimiento aplicamos las leyes de Newton que relacionan el sumatorio de fuerzas externas con la derivada del momento y el sumatorio de momentos externos con la derivada del momento angular. y
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Donde ] indica que la derivada del vector es respecto a un sistema inercial. Las fuerzas y momentos externos consisten consisten en fuerzas y momentos de equilibrio y sus cambios los cuales provocan perturbaciones de esta condición de equilibrio. Entonces
Donde 0 y 0 son los sumatorios de las fuerzas y momentos de equilibrio. En el análisis dinámico que vamos a realizar, el aeronave esta siempre en equilibrio equilibrio antes de que se introduzca una perturbación (por ejemplo, por una superficie de control). Entonces, 0 y 0 son cero. Entonces podemos reescribir.
Asumiendo la segunda segunda y cuarta hipótesis del movimiento movimiento de la aeronave con respecto a la Tierra tenemos que.
Al considerar una expresión para la derivada del vector velocidad con respecto a la tierra y separando ), obtenemos las ecuaciones de fuerzas lineales 0 en sus componentes ( x , y, z ), del movimiento.
Para obtener las ecuaciones del movimiento angular, es necesario tendremos que obtener una expresión para el valor H de la primera ecuación. Por definición, H es el momento angular de un cuerpo que gira. Para ello vamos a considerar un diferencial diferencial de masa dm del cual su momento debido a la velocidad angular angular w es igual a la velocidad tangencial tangencial de dm con respecto al centro instantáneo de retacón. La velocidad tangencial puede expresarse como un producto vectorial hasta llegar ha:
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Expresión de Cx y Cz y Cz Por conveniencia queremos encontrar encontrar las derivadas de Cx y y Cz expresadas en relación con el levantamiento, levantamiento, arrastre y coeficiente coeficiente de empuje. empuje. Podemos entonces entonces considerar que las fuerzas que actúan serian las siguientes.
Fuerzas en vuelo simétrico. simétrico.
Como se puede notar, la línea de empuje no necesariamente necesariamente se encuentra en el eje de x. Sin embargo, el ángulo entre ellos es en general pequeño por lo que se supondrán que es cero. Con esta suposición, y para un x pequeño, nosotros tenemos que:
Donde CT es el coeficiente de empuje,
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1
2
2
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La derivada
(
, , )
La derivada describa los cambios que tienen lugar en la fuerza y los momentos cuando el ángulo del ataque del avión es incrementado. Es normal que incremente el levantamiento, incremente el arrastre y tenga un momento negativo.
La derivada
es el cambio en la fuerza en el eje X provocado por un cambio en
(causado, a su vez, por un cambio en w). Debido a que los ejes de la aeronave están fijos a esta, una perturbación de la velocidad vertical produce sendos vectores de sustentación y drag que no son perpendiculares ni paralelos al eje X respectivamente
Vectores de sustentación y drag después de una perturbación
Por definición, Cx α = (Cx/ )0, donde el subíndice cero indica que la derivada es evaluada cuando las cantidades de perturbación son cero. De
Podemos asumir que el coeficiente coeficient e de empuje es independiente de x, así que CT/ =0, y por lo tanto partimos que por definición, definición, Cx α = (Cx/)0 además de que para encontrar la aportación de la sustentación y el drag de las fuerzas en el eje X será necesario encontrar sus componentes en dicho eje atreves del ángulo´ Entonces
Si derivamos con respecto a ´
Las derivadas parciales deben ser evaluadas en la condición de equilibrio, o lo que es lo mismo, cuando´= 0 y multiplicamos por la unidad = 1 Tenemos
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Multiplicando por
1
para obtener el coeficiente adimensional
Cuando el subíndices es otra vez cero indica la referencia referencia de condición de vuelo con los ejes de estabilidad, x=0. Cuando es dado el arrastre por una polar polar parabólica en la forma forma C D = CDmin+
C 2L
πAe
, entonces
La derivada
es el cambio de la fuerza en el eje Z con el ángulo de ataque.Por definición = ( C / z
)0
de la ecuación
Donde consideramos consideramos al eje z en lugar del eje x. Por lo tanto
Este término es muy parecido a
. Con la diferencia que la nueva fuerza en el eje Z será
Si derivamos con respecto a ´
Evaluando la ecuación sobre su condición de equilibrio (´= 0) y multiplicando por para obtener el coeficiente adimensional obtenemos
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1
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O bien
Donde el valor de CD 0 es frecuentemente insignificante comparado con Cl α , y por lo
= − La derivada es el cambio en el momento de cabeceo provocado por un cambio en el ángulo de
consiguiente
ataque. Este termino determina determina la estabilidad estática longitudinal de la aeronave y debe ser negativa para que la aeronave sea estáticamente estable (es decir, la aeronave tiende a retomar su condición de equilibrio después de una perturbación).
Un negativo significa que a medida que el anglo de ataque incrementa positivamente, positivamente, el momento de cabeceo se hace más negativo, tendiendo a disminuir el ángulo de ataque.
Por lo tanto para aviones con la rigidez lanzamiento segura, h
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negativo
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Las Derivadas de u (
, , )
Las derivadas de u dan el efecto sobre las fuerzas y momentos de un aumento en la velocidad de avance, mientras que el ángulo de ataque, el ángulo de ascenso, y la posición de la aceleración permanecen fijos. Si los coeficientes de sustentación y la resistencia al avance no cambian, entonces esto implicaría un aumento de estas fuerzas de acuerdo con la ley de velocidad al cuadrado, es decir,
= + Δ
2
0
0
2
Desde que el momento de cabeceo es inicialmente cero, entonces, siempre y cuando no cambie con u, seguirá siendo cero. La situación es realmente más complicada que esto, para el coeficientes adimensionales son en general funciones de número de Mach y numero de Reynolds, de los cuales ambos se incrementan con el aumento u. La variación con el número de Reynolds normalmente se olvidan, pero el efecto del número de Mach deben ser incluidos. El efecto de empuje se muestra en dos formas diferentes. Una deriva simplemente a partir de la derivada del empuje con la velocidad, que depende del tipo de propulsión sistema de turbina de gas, hélice, y así sucesivamente. El otro, relacionado sobre todo con las configuraciones configuracion es de la hélice, se deriva a partir de la interacción de propulsión / estructura, por ejemplo, la estela de la hélice que incide en el ala. Este es un efecto importante, y para algunos aviones STOL puede, ser dominante a bajas velocidades. Finalmente, el aumento de la carga sobre la estructura del avión debido al aumento de la velocidad puede inducir una significante distorsión estructural. Este es un efecto aeroelástico estático. Por ejemplo, el coeficiente de sustentación de cola puede estar influenciada notablemente por la carga. Una variable apropiado a utilizar para efectos aeroelásticos es la presión dinámica,
= 1
2
2
Con el fin de incluir formalmente a cada uno de estos tres efectos principales, la compresibilidad, aeroelasticidad, y propulsión, aunque sería raro que todos estén presentes al mismo tiempo, cada uno de los coeficientes , , se asumen que estén en función de , , , así como el ángulo de ataque.
Tenemos entonces
+ + = = Y similarmente similarmente para y 0
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0
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0
0
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Calculo de
El número de Mach es M = V / a, donde a es la velocidad del sonido, de modo
+ + = = = = = 0
0
0
0
0
0
= + + = 1 = 2
Pero Entonces
2
2
2
0
Y Calculo de
0
0
0
= 12
1
+ + 2 = = =
Entonces y
2
0
0
=
2
2
0
0
2
2
La derivada del empuje se define en una forma compatible con
=
De ello se deduce que
está dada por + = + 0
La derivada
0
0
2
0
0
Ya que
Entonces
=
2
= / − 2 1/2 1/2 0
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1/2
2
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= = 1, por lo que / − 2 = = = 1/2
En la condición de vuelo de referencia
0
0
0
0
0
0
0
Para planeo sin motor, T = 0
= 0
Y
Para La propulsión empuje-constante, que es una aproximación de los aviones jet en vuelo crucero, = 0,y
= −2
0
Para potencia de propulsión. constante, que es una aproximación para hélices de velocidad constante en vuelo de crucero, TV es constante, por lo que
= − / = −3 0
Y
0
0
0
Los valores de 0 , en las expresiones anteriores pueden estar relacionados con los coeficientes de levantamiento y resistencia. Nótese que T, V, X se supone que son colineales, es decir
= + 0
La derivada
0
0
0
Tenemos que
= − = − = 1 − 0
0
0
0
0
0
0
0
Dado que el efecto aeroelástico directo sobre el empuje es probable que sea insignificante, omitimos , y, a continuación da
+ = + + 1 − = − + 0
0
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0
0
2
0
0
0
0
2
0
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La derivada
Tenemos que
= − = − = − 0
0
0
0
0
0
De modo que
+ + = − 0
0
0
2
0
0
La derivada de 0 ( 0 ), tiende a ser pequeña, excepto a velocidades transónicas. Teóricamente los valores se calculan fácilmente para las alas de alta relación de aspecto de flechado. A velocidades subsónicas, la regla de Prandtl-Glauert combinada con la teoría de barrido simple (Kuethe y Chow,1976) da el coeficiente de sustentación para flujo bidimensionall como bidimensiona
= 1 − Λ Λ < 1 2
Donde
2
y Λ es es el es la pendiente de la curva de levantamiento en el flujo incompresible y Λ
ángulo de flechado de
1
4
de la línea de la cuerda . Después diferenciar con respecto a M,
obtenemos
= Λ 1 − Λ 2
2
2
2
Y por lo tanto tanto
Λ = 1 − Λ En el nivel de vuelo con el levantamiento igual al peso, es constante, y por lo tanto ..A velocidades supersónicas, los dos es proporcional a 1 − Λ ..A 0
0
0
2
0
2
2
0
2
0
0
0
0
2
2
0
2
levantamientos levantamien tos dimensionales está dada por Kuethe y Chow (1976)
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Λ = 4 Λ − 1 2
2
Después de la diferenciación con respecto a M, tenemos exactamente el mismo resultado que para velocidades subsónicas subsónicas.. Esto es que
M0
∂∂ CL
M 0
=
M 0 2 cos 2 Λ
C 1 M 0 2 cos 2 Λ L0
−
se
aplica sobre la totalidad de rangos de los números de Mach la serie de números, a excepción de los cercanos a M =1 donde las teorías aerodinámicas citadas no se aplican.. Alas con baja relación aplican relación de aspecto son poco sensibles a los cambios en M La derivada
= + + = −
De
0
0
0
2
0
/
Y
0
2
0 1/2
2
1/2
3
Esta dado como
= + + 0
Valores de
0
2
0
0
se pueden encontrar a partir de pruebas de túnel de viento en un modelo
rígido. Ellos son grandes a velocidades transónicas y dependen en gran medida la forma en planta del ala. El principal factor que contribuye a esta derivada es el desplazamiento hacia atrás del centro de presión que se produce en el intervalo transónico. Para encontrar a
,
, requiere o bien un análisis aeroelástico o
pruebas en un modelo flexible Como ejemplo de este fenómeno, consideremos un avión con cola y fuselaje flexible. E l coeficiente de sustentación cola está dada por
= 1 + ( − − ) El momento de cabeceo que contribuye la cola es
= − Entonces
= − Cuando = ( − − ) se diferencia con respecto a y simplificado simplificado,, y expresión resultante es sustituida en = − , se obtiene el resultado 1+
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la
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= − 1 + La correspondi correspondiente ente contribución de es = − 12+ 0
0
Todos los factores en esta expresión son positivos, excepto para que puede ser de cualquier signo. signo. La contribución de la cola para puede ser positivo o negativo. El momento de cabeceo de la cola es usualmente positivo a grandes velocidades velocidades y negativo en bajas velocidades. Por lo tanto su contribución a usualmente son negativas a altas velocidades y velocidades y positivos a bajas velocidades. Puesto que la presión dinámica se produce como un factor de multiplicación en la ultima ecuación, entonces el efecto aeroelástico en incrementa ta con la la velocidad velocidad y y disminuye con la altitud incremen
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Las derivadas de q(Czq, Cmq ) Estas derivadas representan los efectos aerodinámicos que acompañan la rotación del aeroplano alrededor del eje de la envergadura envergadura través del centro de gravedad cuando αx tiende a cero. Un ejemplo de esto es el ascenso estable. La figura 5.2 b muestra el caso general en el cual la trayectoria de vuelo es arbitrario. Esto debe ser contrarrestado con la situación ilustrada en la figura 5.2 a, donde q = 0 cuando αx esta cambiando.
El ala y la cola son afectadas por la rotación, a pesar de que cuando el avión tiene una cola , la contribución del ala para C zq y Cmqes casi despreciableen comparación con la de la cola. En estos casos es una practica común el incrementar el efecto de la cola en una cantidad arbitraria, alrededor del 10%, para permitír la contribución del ala y al cuerpo del avión. CONTRIBUCION DE LA COLA DEL AVION Como esta ilustrado en la figura 5.3, el efecto principal de q en la cola es el incrementar el angulo de ataque en (ql (qlt/uo) radianes, donde u oes la velocidad de vuelo. Es este cambio en αtlo queexplica el cambio en las fuerzas de la cola. La suposición es implícita en las siguientes derivadas, derivadas, que las fuerzas instantáneas de la cola corresponden a los angulos de ataque instantáneos, es decir que no se toma en cuenta que toma un tiempo finito para el levantamiento levantamiento de la cola para llevarlo a su valor de estado estable seguido por un repentino cambio en q. (Un método para incluir este fenómeno fue obtenido por Tobak en 1954.) Por lo tanto las derivadas obtenidas obtenidas son cuasi-estaticas. CzqDE LA COLA Por definición, definición,
y de la ecuación (5.1,1), El cambio en el coeficiente de levantamiento causado por la rotación q es:
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Y el cambio correspondie correspondiente nte al coeficiente coeficiente de levantamiento levantamiento del aeroplano es: es:
Por lo tanto:
Y
Cmqde la cola de la aeronave El incremento en el momento de cabeceo que corresponde a ΔCLtes (ver 2.2,9):
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Por lo tanto:
Y
CONTRIBUCION DEL ALA. Como se señalo anteriormente, anteriormente, en aeroplanos con cola, la contribución del ala en las derivadas de q son despreciables. Sin embargo, si el ala tiene un alto barrido o una relación de aspecto bajo, este deberá tener valores significativos para C zq yCmq, y por supuesto, en aeroplanos sin cola, el ala significa s ignifica la mayor contribución a estos coeficiente. Asi es como las derivadas de q en alas son de gran importancia ingenieril. ingenieril. Desafortunadamente, Desafortunadamente, no se pueden obtener las formulas de manera directa, debido a la complicada dependencia dependencia de la forma de planta del ala y del numero de Mach. Sin embargo la siguiente discusión de los aspectos físicos del fluido indica como la teoría linealizada del ala puede ser aplicada al problema. Considere una superficie plana de sustentación como cero αx, con una velocidad de avance u ouna velocidad angular q alrededor del eje de la envergadura envergadura (vea la figura 5.4). Cada punto del ala tiene una componente de velocida, relativa a la atmosfera en reposos, de qx normal a la superficie. Esta distribución de velocidades es es mostrada en la figura para la cuerda media y la cuerda de punta de ala. Ahora hay un ala combada equivalente equivalente que podría mostrar una una distribución de velocidades velocidades normales idéntica en la superficie cuando esta en una translación rectilínea a una velocidad uo. Esto esta ilustrado en la figura 5.5ª. La sección transversal de una superficie curva S curva S es es mostrada en (b).La distribución normal de velocidad debe ser la misma que en la figura 5.4 si:
Por lo tanto:
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FIG. 5.4 DISTRIBUCION DE VELOCIDAD EN EL ALA DEBIDO AL CABECEO Y la sección transversal S transversal S es es una parábola. En la teoría linealizada de ala, ambos subsónico s ubsónico y supersónico, la condición de frontera frontera es la misma que que para el ala ala plana original con rotación en q y el ala curvada equivalente en vuelo rectilíneo. El problema para encontrar las derivadas de q entonces es encontrar la distribución de presiones sobre el ala combada equivalente. equivalente. Debido a la forma de (5.4,5), las presiones son proporcionales a q/u o. De la distribución de presiones pueden ser calculadas C xq y Cmq. Las derivadas en principio también pueden ser encontradas por medio de un experimento, experimento, probando el modelo del ala equivalente. equivalente. Los valores obtenidos por estas aproximaciones son cuasiestaticas. Es decir hay valores de estado estable correspondientes a αx = 0 y un pequeño valor constante de q. Esto implica que la trayectoria de vuelo es circular (como en la figura 3.1), y y por lo tantoquela tantoquela estelade vórticenoess rectilínea. vórticenoe Ahora ambos, la teoría linealizada linealizada y la medición en túnel de viento aplican aplican para una estela recta, y para esta medicion son aproximados. Como los valores obtenidos de las derivadas al final están aplicadas en trayectorias de vuelo arbitrarias, arbitrarias, como en la figura 5.2 b, no tiene caso corregirlas para la curvatura curvatura de la estela. El error involucrado en el uso de las derivadas cuasiestaticas para vuelo inestable no es tan grande como podría esperarse. Ha sido demostrado que , cuando la trayectoria de vuelo es una onda senoidal , las derivadas cuasiestaticas se aplican siempre y cuando la frecuencia reducidasea pequeña, es decir
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Donde Donde es la la frecuenc frecuencia ia de la oscilación oscilación circular circular de cabeceo. cabeceo. Si de la trayectoria de vuelo entonces:
es la longitud longitud de onda
Entonces la condición de que k < 1 implica que la longitud de onda debe ser s er comparada longitudi longitudinalm nalmente ente con la cuerda, cuerda, por por ejemplo ejemplo,, 1> 60 60
para k< 0.05 0.05
FIGURA 5.5 EL ALA COMBADA EQUIVALENTE DEPENDENCIA CON h. Como el eje de rotación en la figura 5.5 pasa a través del centro de gravedad, el resultado obtenido depende depende de h. La naturaleza de esta variación se encuentra como sigue. Colocar el eje de rotación en A en la fig. 5.6 y dejar que el momento asociado y el momento sea:
Ahora permita permita que el eje eje de rotación se desplace hacia hacia B, con el cambio de la distribución distribución de la velocidad normal mostrada en la figura. Como las 2 distribuciones de velocidad
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normal difieren por una constante, ( la translación ascendente ) la diferencia entre las dos distribuciones de presiones esta asociada con la placa plana en el angulo de ataque.
Este angulo de ataque induce un incremento en el levantamiento que actua en el ala mientras que el centro aerodinámico aumenta.
FIGURE 5.6 EFECTO DE LA POSICION DE CG EN C zq, Cmq. Esto es:
Y
Ahora vemos vemos que CLq es lineal en h, entonces puede ser expresada como:
Donde hoes la posición del Centro de Gravedad donde C zqes cero. De la ecuación (5.1,1) obtenemos que:
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El momento de cabeceo alrededor del centro de gravedad es:
Para que
La ecuación (5.4,14) muestra que Cmqes cuadrática en h. Entonces podemos escribirla sin perder generalidad como:
Donde
es el máximo (menos negativo) valor de Cmq y h la posición del del centro de
gravedad donde esto ocurre (vea la figura 5.6b). El valor de diferenciación diferenciación (5.4,14).
es encontrado por
La teoría linealizada de ala delgada de 2 dimensiones dada para flujo supersónico es:
Y para flujo subsónico: subsónico:
AMORTIGUAMINETO AMORTIGUAMINETO DEL CABECEO CABECEO DE MOTORES PROPULSIVOS PROPULSIVOS Cuando el flujo de los gases a alta velocidad dentro de un jet o un motor de gases reaccionan contra las paredes de los ductos con una fuerza perpendicular al vector de velocidad (fuerza (fuerza de Coriolis). Coriolis). Esta reaccion puede resultar resultar en un momento momento de cabeceo cabeceo proporcional a q, que es, en una contribución a C mq(Y similar a Cnϒ). Un análisis de este efecto se encuentra en la sec. 7.9 del Etkin (1972). En aviones jet en vuelo crucero esta contribución de C mqes generalmente despreciable. Solo para altos valores de CT y cuando Cmqdel resto del aeroplano es pequeño, podría ser significativo este valor. De otro lado, un motor de propulsión en despegue, cuando la velocidad es baja, baja, tiene prácticamente prácticamente una una amortiguación aerodinámica aerodinámica externa externa prácticamente igual a cero y la amortiguación del jet s e vuelve muy importante. Dinámica de Vuelo
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Las derivadas de
Las derivadas de deben su existencia al hecho de que la distribución de presión en un ala o la cola no se ajusta instantáneamente a su valor de equilibrio cuando el Angulo de ataque se cambie de repente. El cálculo de este efecto, o su medición, implica un flujo inconstante. En este aspecto las derivadas de son muy diferentes de las discutidos anteriormente, las cuales pueden determinarse en base del estado estacionario aerodinámico. aerodinámico.
CONTRIBUCIONES DE UN ALA. Considere la posibilidad de un ala en vuelo horizontal en cero. Que se somete a un impulso hacia abajo, de modo que pronto adquiere una componente de velocidad constante descendente. descendente. Entonces, como se muestra en la fig. 5.7., su angulo de ataque se somete a un aumento de paso. La elevación a continuación, responde de manera transitoria ( la respuesta inicial ) la forma de las cuales depende de si M es mayor o menor que 1. En vuelo subsónico, los vórtices que el ala deja atrás que pueden influir mas adelante, de modo que el estado estacionario es abordado solo asintotamente. En el vuelo supersónico, las perturbaciones que viejan rio arriba se mueven mas lentamente que el ala, de modo que supera el campo de perturbación del impulso inicial en un tiempo finito 1 . desde ese momento en el levantamiento se mantiene constante.
Con el fin de encontrar el levantamiento asociado con él, vamos a considerar el movimiento de una superficie de sustentación con una pequeña constante , pero que q=0. El movimiento y el angulo de ataque se
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Muestran en la figura 5.8. En el método que se sigue utilizando, introducido por Tobak (1954). Asumimos que la ecuación diferencial que relaciona ( ) con α es lineal. Por lo tanto el método de superposición (integral de convolucion) puede ser utilizada para derivar la respuesta a lineal ( ). Dejar que la respuesta a un paso por la unidad ( ). Entonces el coeficiente de sustentación en el momento es (véase el apéndice A.3).
= − Desde = , = − =0
=0
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E ultimo responde a una unidad de paso de una entrada levantamiento que es
entonces el defecto de
= − ( )
Entonces (5.5.1) se convierte
= − − = − =0
Donde
(5.5.2)
= − . el termino se muestra en la figura 5.8. ahora bien, si la =0
idea de representar el levantamiento por medio de derivadas aerodinámicas es valida, debemos ser capaces de escribir, para el movimiento en cuestión,
= + Dinámica de Vuelo
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(5.5.3)
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Y son constantes. Comparando (5.5.2) y (5.5.3), encontramos que = −( ) una función del tiempo. Por lo tanto, durante la parte inical del movimiento, el concepto de la derivada es valido. Sin embargo, para todas las alas finitas, el area ( ) converge a un valor finito como aumenta indefinidamente. De echo, para alas supersónicas, S alcanza su limite en un tiempo finito, como es evidente de la figura 5.7. por lo tanto (5.5.3) es valida, con constante para valores de mayor que un cierto minimo.
Donde
Este minimo no es grande, siendo el tiempo requerido para el ala de variar unas pocas longitudes de cuerda. cuerda. En el intervalo intervalo de tiempo tiempo donde S es constante, constante, o solo difiere infinitesimalmente infinitesimalmente de su valor asintótico, el ( ) de la curva de la figura 5.8c es paralelo a . Una situación similar existe con respecto a .
Vemos de la figura 5.8 que que es de lim→ negativo para valores mas grandes de M.
∞
− −
Hay una segunda aproximación útil a las derivas de oscilación del ala.
puede ser positivo para M=0 y
y es atraves de la consideración de
Vamos a representa representa el periodo, ángulo de ataque y coeficiente de levantamiento levantamiento por números complejos.
= Y = Donde es la amplitud real de y es un número complejo de tal t al manera que sea la amplitud de la respuesta de y arc es el ángulo de fase, la relación entre y apropiada para frecuencias frecuencias bajas característica de estabilidad dinámica, derivando derivando el valor de , el vector es = 0
0
0
0
0
0
0
0
0
Así
podría ser expresada como
Dinámica de Vuelo
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= + = + 0
0
0
0
0
0
= = O si la amplitud es unitaria = donde k es la frecuencia reducida 0
Por lo tanto
/2 /2 0
0
0
0
2 0
El levantamiento instantáneo instantáneo en un perfil esta dado en dos partes fig.5.10
= + = 2 + = 2 1
Donde
1
2
2 0
2
0
() fig.5.11. El
Y ( ) y ( ) son la real e imaginaria parte de la función e Theodorsen levantamiento que actúa en la cuerda media es proporcional a
=
0
donde z es la
traslación (vertical descendente) descendente) del perfil. Esta fuerza es exactamente la que requiere para impartir una aceleración a la masa de aire contenida en un cilindro, donde el diámetro es igual al la cuerda c conocida como “masa aparente adicional”, excepto en caso de muy baja
esta masa adicional adicional es pequeña comparada con la masa del del = aeronave sola y por lo tanto relativamente despreciable.
densidad relativa
2
2
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La otra componente 1 la cual actúa a un cuarto de la cuerda, es asociada con la circulación alrededor alrededor del perfil, y es una consecuencia de la imposición de la condición de kutta-Joukowsky kutta-Joukowsky en el borde de salida. Es visto que contiene un término proporcional a momento de cabeceo sobe C.G se obtiene como
fig.5.10 el coeficiente coeficiente de y otro a de fig.5.10
= ℎ − 14 + (ℎ − 1/2) = 2() = + 2 () = 2 (ℎ − 1/2) = ℎ − 1/2 + 2 (ℎ − 1/2) 1
2
En situación no ideal es evidente de fig.5.5.8 que las derivadas son frecuencias frecuencias dependientes. dependientes. Eso es que en oscilación libre libre un no conoce del del valor de la derivada hasta la solución del movimiento es conocida, en el caso de vibración forzada este problema no se presenta.
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Cuando lidiamos con movimiento de cuerpo rígido de vehículos e vuelo, las frecuencias k a dimensionales dimensionales características son usualmente usualmente pequeñas pequeñas k 1.
≪ Así es razonable usar F (k) y G (k) correspondiente correspondiente a K → 0. Para el caso bidimensional incompresible descrito anteriormente anteriormente lim→ () = 1, done = 2 y = 2(ℎ − 1/4), en conclusión y son valores quasi-estáticos. El resultado para y no es muy claro sin embargo embargo desde lim ( )/ dado anteriormente anteriormente es finito. ∞
Contribución de la cola.
Hay un método aproximado para evaluar la contribución de la superficie de la cola. Este está basado en el concepto de retraso descendente, el cual rechaza completamente las características no estacionarias de la respuesta de levantamiento de la cola, para cambiar el ángulo de ataque en la cola El descenso se asume ser dependiente principalmente en la fuerza de los vórtices finales cerca de la cola.
Es por lo tanto asumido que el descenso instantáneo en la cola , , corresponde corresponde a del ala en un tiempo . La corrección al descenso quasi-estático y al ángulo de ataque es por lo tanto.
−∆ −∆
∆ = − = −∆ ∆ = − 0
De una cola La corrección al coeficiente de levantamiento levantamiento de la cola para el retraso de descenso es.
∆ = ∆ = 0
La corrección para la aeronave es por lo tanto
∆ = 0
Por lo tanto
= − = − 0
Y
) = = −2 2
(
0
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De una cola
∆ = − ∆ = − 0
Por lo tanto
= −
0
Y (
) = = −2 2 0
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LA DERIVADA LA DERIVADA β (C yβ, Clβ, Cnβ) Estas derivadas son obtenidas en pruebas de modelos para túnel de viento. Generalmente se refieren a métodos estimativos que no ofrecen resultados del todo confiables y por eso es necesario hacer pruebas.
Derivada C yβ Esta derivada es para la fuerza, dando la fuerza que actúa en dirección (derecha) (derecha) cuando el avión tiene un β o v. C yβ normalmente es negativa y frecuentemente de valor pequeño como para ser olvidada del todo. La principal contribución es la del fuselaje y el estabilizador vertical, aunque el ala y la sección en donde esta se une al fuselaje también interfieren, probablemente de manera significativa. De esta manera, solamente los efectos de la cola son completamente estimados. Tal vez expresado en términos de la curva de levantamiento del estabilizador vertical (En esta y la siguiente sección la relación de velocidades V F/V se asumirá asumirá como valor unitario). (
) = − ( − ) o
) = − 1 −
(
El elemento más problemático en estas ecuaciones es la derivada sidewash difícil de estimar ya que depende de la geometría del fuselaje y del ala.
/ que es ,
Derivada C lβ Clβ el efecto causado por el diedro.
Derivada Cnβ Cnβ es la derivada de estabilidad de del weathercock.
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LAS DERIVADAS P (C YP, CLP, CNp) Cuando un avión hace el movimiento de roll con la velocidad angular ρ alrededor de su eje x (la dirección de vuelo),Su movimiento es instantáneamente como la de un tornillo. Este movimiento afecta el flujo de aire (ángulo de ataque local) en todas las estaciones de las superficies de las alas y la cola. Esto se ilustra en la Fig. 5,12 por dos puntos: la punta del ala y la punta de la aleta. Cabe señalar que la tasa adimencional de roll, ^p = pb/2u0 es, para p pequeño, el ángulo (en radianes) de la héliceTrazada por la punta del ala. Estos cambios de ángulo de ataque producen alteraciones en laDistribución de la carga aerodinámica sobre las superficies, y con ello introducen perturbacionesEn las fuerzas y momentos. El cambio en la distribución de la carga ala también causa unamodificación a la hoja posterior del vórtice. La distribución de vorticidad en la que ya no essimétrica alrededor del eje x, y un sidewash (positivo, es decir, a la derecha) es inducido a una cola vertical convencional colocada. Esto modifica todavía más la distribución de ángulo del ataque de distribución sobre la superficie vertical de cola. Este sidewash debido alroll se caracteriza por el derivado de ϭρ / ϭϒ. Se ha estudiado teórica y experimentalmente experimentalmente por Michael (1952), que ha demostrado su importancia en relación a corregir la estimación de la cola las contribuciones a los derivados de rotacion. Finalmente, Finalmente, el movimiento helicoidal del ala produce un vórtice por detrás de hoja de que no es plana, pero helicoidal. Para los tipos de pequeñas de roll admisible es una teoría lineal, en este efecto se puede despreciar al ala y la cola con respecto a las fuerzas. LA DERIVADA C yp La fuerza lateral debida alroll es a menudo insignificante. Cuando no lo es, las contribuciones contribuciones que Es necesario considerar son los de la ala y de la cola vertical. La vertical con efecto de cola puede ser estimada en función de su ángulo de ataque de cambio (ver fig.5,12). Que el cambio medio en αF, (ver fig. 3,12) debido a la velocidad de laminación Del mismo es:
donde ZF, es una altura apropiada media de la El ritmo de rotación, podemos escribir esto como
aleta. Al
presentar
el adimensional
El incremento de la fuerza lateral coeficiente en la aleta se obtiene a partir de ΔαF
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Donde αF, es la pendiente de la curva de lateralincremental lateralincremental enelavión está dada por
elevación de la cola
vertical. La fuerza
Asi
LA DERIVADA CLP CLP es conocido como el derivado de amortiguación en roll. Se expresa la resistencia del aire avión con destino a la rodadura. Excepto en circunstancias excepcionales, excepcionales, sólo el alacontribuye de manera significativa a este derivado. Como puede verse en la figura. 5,12, el ángulo de ataque debido alapvaría linealmente linealmente a través del ciclo, desde el pb/2u0 valor, en la punta del ala derechapara -pb/2uoen la punta izquierda. Este anti simétrico produce una distribución que produce un incremento incremento asimétrico en la distribución de levantamiento, como se muestra en la fig. 5,13. En el rangolineal se trata de superponerlo superponerlo plantearlo en la distribución simétrica de levantamiento levantamiento asociadocon el ángulo de ataquedel ala envuelo sin ser perturbados. El gran momento de balanceoL producido por esta distribución de levantamiento levantamiento es proporcional proporcional al ángulo de la punta de ataque p^ (ver fig. 5,12), y CLP es una constantenegativa, constantenegativa, siempre y cuando el ángulo de ataque local, permanece por debajo del ángulo local de estancamiento.Si estancamiento.Si el ángulo de ataque del ala en la línea central, una, (S), es grande, entonces elincremento del valor debido a la p puede tomar algunas secciones del ala más allá del ángulo deestancamiento, deestancamiento, comose muestra en la fig. 5.14. [En realidad, para las áreas finitas de las alas , hay un Angulo inducido adicional de distribución de ataque, (y) debido a la estela del vórtice que modifica la red en secciónvaldrán aún más. No descuidemos esta corrección aquí, en el punto principal del objetivo.] Cuando esto sucede |CLPP^| se reduce en magnitud a partir del valor lineal y siuna, (O) es suficientemente suficientemente
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grande, incluso se cambia de signo. Cuando estosucede, el ala se autor rota, la principal característica del vuelo en barrena.
LA DERIVADA CNP El momento guiñada producido por el movimiento de balanceo es llamada cruz derivativa. Es la existencia de estos derivados transversales que provoca los movimientos de roll yguiñada tan estrechamente estrechamente unidos. El ala y tanto la cola contribuyen al CnP.La contribución del ala está en dos partes. La primera proviene de la variación en el perfil de arrastre asociado con el cambio en el ángulo de ataque del ala. El α del ala se incrementa en el lado derecho y se disminuye en en el lado izquierdo. Estos Estos cambios normalmente deben ir acompañados por un incremento incremento en la resistencia del perfil en el lado derecho, y unadisminución en el lado contrario, se combinan para producir un momento de guiñada positivo (la nariz a la derecha). Elsegundo efecto está asociado con la inclinación delantera y trasera del vector de sustentacióncausada por el giro en vuelo subsónico y en vuelo supersónico cuando el borde delantero es subsónico.Depende subsónico.Depende de la aspiración de vanguardia. La situación física se ilustra en laFig. 5,15. Las direcciones direcciones de movimiento de dos elementos del ala típicos se muestraninclinadospor los ángulos±θ= ángulos±θ= py/u, desde la dirección del vector u,. Dado que la elevación local esperpendicular esperpendicular al viento relativo local, entonces el el vector de ascenso en la mitad derechadel ala se inclina hacia adelante, y que en la mitad izquierda hacia atrás. El resultado es un Par de guiñadanegativo, guiñadanegativo, proporcional proporcional al producto C, B. Si los bordes de las alasprincipales son supersónicos, entonces la aspiración de vanguardia no no está presente, y la fuerza local sigue siendo normal a la superficie. Elángulo de ataque mayor en el lado derecho provoca unaumento unaumento de fuerzanormal fuerzanormal allí, mientras que lo contrario sucede en el lado izquierdo. El resultado es un Parde guiñada positivo proporcional proporcional a ^p. La contribución de la cola del CnP se encuentra fácilmente desde que el lado de la cola dala fuerza previamente previamente (5.7,2). El incremento incremento de C, está dado por
Donde IF es la distancia se muestra en la fig. 3,12. por lo tanto
Y
Donde V v es la relación de volumen del empenaje vertical.
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LAS DERIVADAS DE r (C Yr, CLr, Cnr) Cuando un avión tiene una velocidad de guiñada r superpone superpone a la de movimiento u, su velocidad de campo se altera significativamente. significativamente. Esto se ilustra por el empenaje vertical enFig. enFig. 5,16. La situación en el ala está claramente muy complicada cuando cuando se tiene muchosweepback. muchosweepback. La característica principal, sin embargo, es que la velocidad de la normal de línea de la cuerda a sí misma se incrementa incrementa por la guiñada en el lado izquierdo, y la disminución de la derecha lado. Las fuerzas aerodinámicas aerodinámicas en cada sección (sustentación, resistencia, momento), por lo tanto enarrugado en el lado izquierdo, y la disminución en el lado derecho. Como en el caso deel ala en barrena, la distribución asimétrica de elevación asimétrica conduce a un vórtice de la hoja posterior, y por lo tanto un sidewash sidewash en la cola. El ángulo de colaincremental de ataque es entonces
O
LA DERIVADA C Yr La única contribución a C yr que normalmente es importante important e es el de la cola. Desde el ángulo de ataque cambio nos encontramos con el incremento C, para ser
Así
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LA DERIVADA Clr Este es otro derivado de la cruz importante, el momento en roll debido a la guiñada. El aumento en el levantamiento en el ala izquierda, y el descenso en el ala derecha se combinan para producir un momento positivo de roll proporcional proporcional al original deelevación con el coeficiente C,. Por lo tanto este derivado derivado es mayor a baja velocidad. La relación de aspecto, la relación de forma cónica, y el sweepback son todos los parámetros importantes. Cuando la cola vertical es grande, su contribución puede ser significativa. Una fórmula para que se pueden derivar de la misma manera como paralas contribuciones contribuciones de la cola anteriores, con el resultado
LA DERIVADA Cnr Es la derivada de amortiguación en orientación, y es siempre es negativa. El cuerpo le suma una cantidad insignificante a C nr, excepto cuando es muy grande. Las importantes contribuciones contribuciones son las del ala y la cola. Los aumentos tanto en el perfil y la resistencia inducida en elala izquierda y las disminuciones en el ala derecha dan un momento de guiñada negativo y por lo tanto una resistencia al movimiento. La magnitud del efecto depende del aspectorelación, aspectorelación, la relación de forma cónica, y un sweepback. sweepback. Para un sweepback extremadamente extremadamente grande, del orden de 60 °,el momento guiñada asociado con la resistencia inducida puede ser positivo; es decir,producir decir,producir una reducción en la amortiguación. La fuerza lateral sobre la cola también proporciona un momento de guiñada negativo. El cálculo es similar a la de las contribuciones contribuciones de la cola precedentes, con el resultado:
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