UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
Ingeniería Eléctrica Electrónica
Tema: Diseño de un filtro electrónico Butterworth Butterworth de Segundo Orden Curso: Circuitos II
Estudiantes: Mario Samudio 4-781-733 Roger Santamaría 4-780-1209
Profesora: Dra. Victoria Serrano
Segundo Semestre
2016
Introducción En este trabajo se estudian los filtros activos basados en el amplificador operacional. Los filtros son circuitos capaces de controlar las frecuencias permitiendo o no el paso de éstos dependiendo de su valor. Se llaman activos ya que constan de elementos pasivos (células R-C) y elementos activos como el OP-AMP. Las células R-C están compuestas por una resistencia y un condensador (en las estructuras a tratar) y dependiendo del número de estas células usadas se determinará el orden del filtro, así como su respuesta y su calidad. Hay gran variedad de estructuras en filtros. Cada una suele llevar el nombre de su inventor. Existen gran número de fórmulas deducibles por las cuales se logra el correcto funcionamiento del filtro, pero para que no resulte muy complicado de entender nos limitaremos a mencionar las más importantes. Se introducen las especificaciones reales. El tipo y orden de filtro se acompaña de la topología asociada y de sus correspondientes ecuaciones de diseño. En el diseño de un filtro, generalmente en la banda de paso, la banda atenuada y la banda de transición, la respuesta de amplitud y de fase están preestablecidas, tal y como hemos visto anteriormente en las plantillas de un filtro. La primera labor de un diseñador de filtros es entonces obtener una función de transferencia H(s) que satisfaga estas especificaciones. Idealmente debería realizarse de forma que la transmisión en la banda de paso sea perfecta (sin pérdidas), una atenuación infinita en las bandas atenuadas (ganancia cero) y la anchura de las bandas de transición nula como se muestra por ejemplo en la siguiente figura para el caso de un filtro paso bajo.
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1. Objetivos Objetivos Generales 1. Conocer los distintos tipos de filtros y sus características. 2. Calcular la función de transferencia, polos y ceros de nuestro filtro pasa alta. 3. Aprender y ejercitarse en el desarrollo de los diseños de filtros activos de segundo orden
Objetivos Específicos 1. Diseñar filtros conforme a unas especificaciones dadas. 2. Dibujar el diagrama de bode de la función de transferencia de nuestro circuito. 3. Aplicar la materia aprendida en clase y la investigada en los libros para el desarrollo de los diseños de filtros pedidos .
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2. Justificación Los motivos que nos llevaron a investigar los filtros electrónicos, son las alteraciones que tienen distintos dispositivos debido a frecuencias no deseadas. La investigación acerca de los filtros electrónicos nos permitirá determinar los beneficios de los filtros activos en nuestro caso; el filtro Butterworth. El acondicionamiento y transmisión de señales analógicas exige un adecuado filtrado para brindar una respuesta y estabilidad a los circuitos y sistemas electrónicos. El desarrollo de la capacidad para el diseño, simulación y construcción de filtros como experiencia educativa fundamental en la carrera de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. Nuestro estudio se enfoca en los filtros pasa alta de segundo orden, donde el filtro pasa alto atenúan el voltaje de salida de todas las frecuencias que están por debajo de la frecuencia de corte, para frecuencias superiores la magnitud del voltaje de salida es constante. Optimizando la respuesta plana en la banda de paso. El filtro de Butterworth es uno de los filtros electrónicos más básicos, diseñado para producir la respuesta más plana que sea posible hasta la frecuencia de corte. En otras palabras, la salida se mantiene constante casi hasta la frecuencia de corte.
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3. Marco Teórico 3.1
Antecedentes
El estudio de los filtros electrónicos surgió por la necesidad de discriminar cierto rango de frecuencias de una señal de entrada, teniendo así unas características propuestas en nuestra señal de salida para mejorar el funcionamiento del dispositivo al cual se le acoplara dicho filtro. Desde tiempos pasados los filtros han sido de gran utilidad para las diferentes necesidades del ser humano, Por ejemplo: los sistemas de filtrado de agua que tienen como función principal separar los contaminantes y dejar pasar el agua ya purificada. De esta misma manera un filtro electrónico tiene como principal utilidad separar señales de diferentes frecuencias que empleamos para poder sintonizar la estación de radio deseada. Los filtros electrónicos que se fabricaban con resistencias, capacitores e inductores tienen cálculos que son muy complejos y por lo tanto muy laboriosos pero su aproximación teórica es excelente cuando el valor real de cada elemento es diferente al valor ideal. El cambio entre la respuesta esperada del filtro y su respuesta es muy similar, por lo tanto, el filtro se aproxima mucho a la respuesta esperada por el sistema. Estos filtros que se fabricaban con los dispositivos previamente mencionados se denominan filtros pasivos y fueron introducidos en 1915 tanto en Alemania como en E.U.A por Wagner y Campbell. [1] En 1955 los investigadores R. P. Sallen y E. L. Key diseñaron otro tipo de filtros conocidos como Sallen-Key; el cual es un tipo de filtro electrónico activo particularmente valioso por su simplicidad.
El circuito produce un filtro pasa bajo o pasa alto de dos polos usando dos resistencias, dos condensadores y un amplificador. Para obtener un filtro de orden mayor se pueden poner en cascada varias etapas. Los cálculos matemáticos de los filtros Sallen – Key se simplificaron usando resistencias, capacitores y amplificadores operacionales.
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3.2
Bases Teóricas de los Filtros
Un filtro electrónico es un sistema que tiene como función manipular y modificar el espectro de frecuencia de la señal de entrada para obtener en la salida la función que se requiera aplicar a los diferentes sistemas, entre sus diversas aplicaciones podemos mencionar:
Demodular señales. Ecualizar y así obtener una calidad de audio con mejor fidelidad. Eliminar ruidos en los diferentes sistemas de comunicación. Convertir señales muestreadas en señales continuas. Detectar señales, como la de la T.V o la radio.
En resumen, los filtros son sistemas de dos puertos, uno de entrada y otro de salida, que funcionan en el dominio de la frecuencia. El espectro de frecuencia de la señal de salida tiene relación directa con respecto a la señal de entrada.
Filtros Pasivos
Aquellos circuitos que utilizan capacitores, inductores y resistencias se les conoce como filtros pasivos, la ventaja de estos filtros como antes lo mencionamos es la baja sensibilidad y su poca disipación de energía.
Filtros activos
Se les llama filtros activos a los diseños donde se usan amplificadores operacionales. La ventaja de diseñar este tipo de filtro es la eliminación de inductancias, ya que el circuito se reduce tanto en tamaño como en costo.
Tipos de Filtros dependiendo de su frecuencia de trabajo
Filtro paso bajo: pasarán las frecuencias por debajo de la frecuencia de corte Es aquel que permite el paso de frecuencias por debajo de la frecuencia de corte. Filtro paso alto: Es el que permite el paso de frecuencias desde una frecuencia de corte determinada hacia arriba, sin que exista un límite superior especificado.
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Filtro paso banda: Son aquellos que permiten el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior. Filtro elimina banda: Es el que dificulta el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior. Filtro multibanda: Es que presenta varios rangos de frecuencias en los cuales hay un comportamiento diferente. Filtro variable: Es aquel que puede cambiar sus márgenes de frecuencia.
Selección de la técnica de diseño adecuada
Aproximación Butterworth: La aproximación Butterworth se caracteriza por disminuir o aumentar la frecuencia, tiene magnitud plana en f = 0, donde los polos se encuentran alrededor del circulo unitario en el plano imaginario y todos sus ceros están en el infinito. Si se desea una banda pasante máximamente plana, entonces forzamos a que y sus primeras derivadas sean nulas en el origen:
Derivando e igualando a cero en el origen, se deduce que para cumplir la ecuación anterior, todos los ceros de reflexión deben estar en el origen, por tanto:
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Un caso especial que da lugar a los denominados filtros de Butterworth se tiene para , entonces:
|| = 1
Despejando n de la ecuación anterior se obtiene el orden del filtro
Factorizando queda:
y reteniendo sólo los polos del semiplano real negativo
Es decir, los polos están uniformemente espaciados en la circunferencia de radio
ε
− n separados 180°.
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Imagen N°1. Posición de los Polos en un filtro Butterworth.
Aproximación de Chebyshov I y de Chebyshov II: Esta aproximación tiene como función de transferencia una magnitud con máximos y mínimos en la banda de paso, esto produce que el orden del filtro se reduzca en comparación con un filtro Butterworth. En la banda de rechazo ésta función es monótona y en la banda de paso tiene un número de rizos dependientes del orden del filtro. Así mismo los polos Chebyshev están más cerca del eje ω j que los polos de
funciones Butterworth y se encuentran en una elipse. Es más eficiente repartir el error de aproximación de una forma continua a lo largo de la banda pasante, lo que se consigue escogiendo:
Donde es un polinomio que oscila entre -1 y 1 para llamado polinomio Chebyshev.
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0 ≤ || ≤ 1,
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3.3
Consideraciones acerca de los Filtros Activos
En comparación con el filtro ideal, los filtros reales adolecen de los siguientes defectos:
La transición entre la banda que se quiere dejar pasar y la que se quiere eliminar no es abrupta, sino que tiene una determinada pendiente que depende del número de orden del filtro. La respuesta en fase no es linear, esto aumenta la distorsión de la señal significativamente.
La ganancia y la fase de un filtro puede ser optimizada para satisfacer uno de los siguientes tres criterios:
Una respuesta máxima plana en la banda de paso. Una transición rápida entre la banda de la señal deseada y la no deseada. Una respuesta de fase línea
Para conseguir este propósito, la función de transferencia deberá tener polos complejos:
Los filtros que se pueden implementar a partir de este polinomio serán:
Butterworth. Optimiza la respuesta plana en la banda de paso. Tschebyscheff. Tiene una respuesta más abrupta. Optimiza, por tanto, la transición. Bessel. Optimiza la respuesta en fase.
La función de transferencia de un filtro pasivo RC no nos sirve. La única forma de generar polos complejos conjugados, sería utilizar redes LCR; pero a bajas frecuencias el inductor es demasiado grande. Por ello debemos usar Filtros Activos.
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Ventajas e Inconvenientes de los filtros activos frente a los pasivos: Ventajas: Posibilidad de obtener impedancia de entrada elevada e impedancia de salida baja. Posibilidad de conexión en cascada. Eliminación de las bobinas. o Posibilidad de integración. Fabricación barata. Posibilidad de amplificación.
Inconvenientes: Necesidad de una fuente de alimentación, normalmente simétrica. Limitación de la tensión de salida a la tensión de saturación de los operacionales. Limitación de uso a frecuencias por debajo de la de corte del amplificador (Aplicaciones de Audio).
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4. Filtro Butterworth Es el filtro elegido para realizar nuestro proyecto. El filtro de Butterworth es uno de los filtros electrónicos más básicos, diseñado para producir la respuesta más plana que sea posible hasta la frecuencia de corte. En otras palabras, la salida se mantiene constante casi hasta la frecuencia de corte, luego disminuye a razón de 20n dB por década (ó ~6n dB por octava), donde n es el número de polos del filtro. La respuesta en frecuencia de un filtro Butterworth es muy plana (no posee ondulaciones) en la banda pasante, y se aproxima del cero en la banda rechazada. Cuando visto en un gráfico logarítmico, esta respuesta desciende linealmente hasta el infinito negativo. Para un filtro de primera o rden, la respuesta varía en −6 dB por octava (−20 dB por década).
Todos los filtros de primera orden, independientemente de sus nombres, son idénticos y poseen la misma respuesta en frecuencia. Para un filtro Butterworth de segunda orden, la respuesta en frecuencia varía en −12 dB por octava, en un filtro de tercera orden la variación es de −18 dB, y así p or delante. Los filtros Butterworth poseen una caída en su magnitud como una función lineal con ω.
El Butterworth es el único filtro que mantiene el mismo formato par a órdenes más elevadas (sin embargo, con una inclinación más íngrimo en la banda atenuada) mientras otras variedades de filtros (Bessel, Chebyshev, elíptico) poseen formatos diferentes para órdenes más elevadas. Comparado con un filtro Chebyshev del Tipo I/Tipo II o con un filtro filtro Butterworth posee una caída relativamente más lenta, y por lo requerir una orden mayor para implementar uno especificación rechazada
elíptico, el tanto irá a de banda particular.
Sin embargo, el filtro Butterworth presentará una respuesta en fase más lineal en la banda pasante del que los filtros Chebyshev del Tipo I/Tipo II o elípticos. Debido a su respuesta plana, se suele usar en los filtros anti-aliasing y en aplicaciones de conversión de datos; en general, donde sea necesario conseguir una buena precisión de medida en la banda de paso.
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Imagen N°2. Respuesta en frecuencia de un Filtro Butterworth
Orden del Filtro
Imagen N°3. Esquema de un Filtro pasa altas de Primer Orden Los filtros de primer orden o de un polo tienen un solo condensador por ello pueden solo producir una respuesta pasa bajo o pasa alto. Los pasa banda y elimina banda se pueden producir únicamente cuando n es mayor a 1. En nuestro caso, el filtro deseado es una etapa de segundo orden Las etapas de segundo orden o de dos polos son los más frecuentes debido a que son fáciles de construir y analizar.
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Estas etapas tienen su propia frecuencia de resonancia y un factor Q que determinan el número de picos
Imagen N°4. Esquema de un Filtro Pasa altas de Segundo Orden
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4.1
Beneficios y Principales beneficiarios Beneficios
1. Acondicionamiento de Señales Digitales 2. Implementación de filtros en distintos dispositivos electrónicos. 3. Posibilidad de conexión en cascada de distintos filtros activos. 4. Pueden producir ganancia de tensión conforme sea necesario. Beneficiarios
1. Compañías de teléfono, puesto que las frecuencias no deseadas pueden causar interferencia. 2. Usuarios Finales o consumidores; utilizando filtros de frecuencia podemos reducir el ruido y mejorar el funcionamiento de nuestros equipos en el hogar. 3. Computación; las frecuencias no deseadas(interferencia) causan perdida de datos cuando utilizamos un teclado, o cuando emitimos una señal desde o hacia nuestro computador.
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4.2
Productos
Al igual que los objetivos; los productos podremos definirlos como productos generales y productos específicos.
Productos Generales o o
o
Visualización del funcionamiento de un filtro de frecuencia. Comprobar el funcionamiento y la diferencia de los filtros activos y pasivos. Reforzar los conocimientos sobre obtención y manejo de las funciones de transferencia para posteriores asignaturas.
Productos Específicos o
o
o
Haber realizado el diseño, implementación e innovación de nuestro filtro Butterworth pasa alta. Conocimientos acerca del porque los filtros activos y sus variantes son más complejos en contraste con su eficiencia. Impulsar la investigación y desarrollo de proyectos tecnológicos de nuestra área de estudio (Electricidad o electrónica).
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4.3 Procedimiento de Diseño
Imagen N°5. Esquemático de nuestro Proyecto Forma de un Filtro pasa Alta de Segundo Orden
= = + + 1 Función de Transferencia del circuito
= = 2 + + 1 Por la tabla para filtros Butterworth tenemos que los coeficientes son:
+ √ 2 +1
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Pero necesitamos un filtro pasa altas de segundo orden y un circuito no inversor para la etapa de ganancia.
= 2 = √ 22 =1.41
1 = 1 = 1 =0.707
Para el escalamiento utilizamos nuestra frecuencia de corte, que sería de 2000 Hz
=2∗2000=12566.37 = 1/ Utilizaremos capacitores de 0.1 uF
1 = ′ = 0.1∗12566.37 =795.77 = = 795.77 ∗ 0.707 = 562.60 = = 795.77 ∗ 1.41 = 1122 Para la etapa de Ganancia, utilizaremos un circuito amplificador no inversor, y haremos
=1.3
=20log Como conocemos nuestra ganancia en tensión deseada, la reemplazamos y le asignamos valores comerciales a
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y
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Nuestra función de transferencia final:
) = = 2 ( + + 1 Los valores para nuestro filtro activo son:
= 562.60 = 1122 = 0.1
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= 1.33 = 4223
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5. Análisis de Resultados
Imagen N°6. Esquemático del Proyecto en Multisim 13
Imagen N°7. Respuesta en Frecuencia mediante Multisim 13 Podemos observar que como era esperado, las frecuencias inferiores a 2kHz son atenuadas, y a medida que alcanza la frecuencia de corte la respuesta se hace más plana, teniendo una ganancia de 8.2dB a 2.114kHz, esto es debido a la tolerancia de nuestro amplificador operacional. Como podemos observar, la frecuencia máxima en la cual nuestro circuito tiene una ganancia deseada de 10dB es de 6.866kHz, las frecuencias superiores a esta muestran un comportamiento no favorable para las aplicaciones que le
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daremos a nuestro filtro, esto puede corregirse; colocando un amplificador operacional que opere en un rango mayor de frecuencias.
Imagen N°8. Respuesta en frecuencia. Con el programa Matlab 2015, podemos de igual manera visualizar nuestra función de transferencia, mediante la declaración de variables y la utilización de códigos para visualizar gráficos. Este programa nos permite visualizar punto a punto de nuestra gráfica y brinda otras opciones de simulación.
Imagen N°9. Función de Transferencia en Matlab
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En esta grafica podemos observar de mejor forma la ganancia de nue stro filtro a la frecuencia especificada, 8.278dB para una frecuencia de 2kHz. Esto debido a que no utilizamos dispositivos de precisión.
Imagen N°10. Grafica de la función de transferencia de nuestro Filtro Activo.
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Si prestamos mayor atención al eje X de nuestra grafica en Matlab podemos observar que si aumentamos la frecuencia de simulación, la respuesta será la misma para frecuencias superiores, esto debido a que solo graficamos la función de transferencia sin tomar en cuenta la tolerancia de los dispositivos a utilizar.
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6. Conclusiones Al analizar los filtros activos y la configuración de los filtros Butterworth se obtuvo como conclusiones que la determinación del orden de los filtros depende de cuantos capacitores tenga dicha configuración y su funcionamiento se basa básicamente en el tratamiento de la frecuencia para producir distintas configuraciones de filtros como son el filtro pasa bajo, pasa alto y pasa banda. Y además el filtro Butterworth es el único que mantiene su forma para ordenes mayores es decir su configuración y funcionamiento no se altera.
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7. Recomendaciones
Utilizar un amplificador operacional que funcione en un rango de frecuencias más amplio. A la hora de realizar el diseño de cualquier filtro, tratar de escoger componentes fáciles de conseguir comercialmente. Realizar todas las simulaciones y posteriormente las pruebas del circuito en la realidad, para así corroborar el funcionamiento del filtro desde lo ideal hasta lo real.
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8. Referencias Bibliográficas [1] http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/rufino_a_j/capitulo2.pdf [2] Electrónica “filtros activos”
http://fisica.udea.edu.co/~labgicm/Curso%20de%20Electronica/2009_Filtros_int roduccion.pdf
[3] http://filtrosbutterworthw.blogspot.com/ [4] http://www.labc.usb.ve/paginas/mgimenez/Ec1181ele/Material/Circuitos%20RL C/implementacion%20filtros.pdf [5] https://www.ecured.cu/Filtro_electr%C3%B3nico
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Índice Introducción 1. Objetivos 2. Justificación 3. Marco Teórico 3.1 Antecedentes 3.2 Bases teóricas de los filtros 3.3 Consideraciones acerca de los filtros activos 4. Filtro Butterworth 4.1 Beneficios y Principales Beneficiarios 4.2 Productos 4.3 Procedimiento de Diseño 5. Análisis de Resultados 6. Conclusiones 7. Recomendaciones 8. Referencias Bibliográficas 9. Anexos
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Anexos
Imagen N°12. Proyecto ensamblado y colocado en su caja para su manejo.
Imagen N°13. Esquemático del circuito con las terminales de conexión
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Imagen N°14. Visualización de los componentes en la baquelita
Imagen N°15. Pistas del Filtro Butterworth
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