EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En una empresa, el jefe de Recursos Humanos está interesado en analizar el impacto en los empleados al suprimir las horas extras de trabajo pagadas. Con este fin se extrae una muestra aleatoria de 60 empleados tomando los datos de un día al azar. A continuación se muestran las horas de trabajo por día de cada empleado. Horas diarias trabajadas
7.6
7.7
8.0
8.0
8.0
8.1
8.1
8.2
8.2
8.2
8.2
8.2
8.2
8.3
8.3
8.3
8.4
8.4
8.4
8.4
8.5
8.5
8.5
8.6
8.6
8.7
8.7
8.7
8.8
8.8
8.9
8.9
8.9
9.0
9.1
9.1
9.3
9.4
9.6
9.7
9.7
9.8
9.9
9.9
10.0
10.0
10.3
10.5
10.5
10.6
10.8
11.0
11.2
11.6
11.7
12.2
12.5
12.9
13.3
14.5
a) Construya el diagrama de tallos y hojas, considere como unidad de hoja 0.10 b) Calcule e interprete la media, mediana y moda c) Calcule el número mínimo de horas trabajadas para que un empleado se encuentre en el 17% de los empleados que más horas trabajan.
SOLUCIÓN: a) Stem And Leaf of estatura n=60 UNIDAD DE HOJA = 0.10 2
7
67
23
8
000112222223334444555
33
8
6677788999
38
9
01134
44
9
677899
49
10
00355
11
10
68
9
11
02
7
11
67
5
12
25
3
12
9
2
13
3
2
14
5
SOLUCIÓN: a) Stem And Leaf of estatura n=60 UNIDAD DE HOJA = 0.10 2
7
67
23
8
000112222223334444555
33
8
6677788999
38
9
01134
44
9
677899
49
10
00355
11
10
68
9
11
02
7
11
67
5
12
25
3
12
9
2
13
3
2
14
5
b)
MEDIA K 1 2 3 4 5 6
. [7.[8.688.9.89>> [9.[11.9111. 1 > 12. 2 > [12.[13.2413. 4 > 14.5 Ic
30
8.2
246
14
9.4
131.6
8
10.5
84
4
11.7
46.8
3
12.8
38.4
1
14
14
]
60
MEDIA AGRUPADA:
∑ . / ∑ . 0.5 8.9 0.59.4 8.098.9 ú ℎ ú ú = 560.8 / 60 = 9.346 horas.
560,8
MEDIANA
MODA
2
7
31
8
11
9
7
10
4
11
3
12
1
13
1
14
Entonces la moda es
8
Interpretación: 8 horas por empleado es lo mas frecuente. c) El número mínimo de hora trabajadas es de 7 horas solo por 2 personas 2. El banco "Nuevo Continente" cuenta con sucursales en La Molina y Los Olivos. El gerente de crédito selecciona al azar algunas solicitudes de préstamo que han sido aceptadas en cada una de las sucursales y resume de manera independiente la información correspondiente al monto de préstamo otorgado (en miles de nuevos soles) en los siguientes diagramas de tallos y hojas: Stem-and-leaf of La Molina N = 13 Stem-and-leaf of Los Olivos N = 14 Leaf Unit = 0.10
Leaf Unit = 0.10
1 4
3
1 2
6
4
678
3 3
01
2244
3 4
4
(4) 5 5
5 5
5 5
4
6 4
5 6
3
6 99
7 7
14
7 8
5
6 9
069
1 7 4
08
3 10 1 2 11 45
a) b) Calcule e interprete las medidas de tendencia central para la sucursal de La Molina.
X((n+1)*50)/100 = X(13+1)/2 = X7 = 5.2
c) ¿Entre qué valores se encuentra el 60% central de las observaciones correspondientes a la sucursal de Los Olivos?
X((n+1)*60)/100 = X((14+1)*60)/100 = X9 = 9 d) El Interés que cobra el banco corresponde al 5% del monto otorgado como préstamos más 20 nuevos soles por gastos administrativos. Halle el interés medio que percibirá el banco debido a los préstamos otorgados
̅ = (4.3+4.6+4.7+4.8+5.2+5.2+5.4+5.4+5.5+6.4+6.9+6.9+7.4+2.6+3+3 X .1+5+5.8+7.1+ 7.4+8.5+9.0+9.6+9.9+10.1+11.4+11.5)/27
̅ = 176.7/27 X ̅ = 6.544 X ̅ = 6.5 X
Y = (X + 0.2X) + 0.02 Y = 1.2X + 0.02 ̅ = 1.2X ̅ + 0.02 Y ̅ = 1.2 (6.5)+ 0.02 Y ̅ = 7.8 + 0.02 Y ̅ =7.82 Y 3. Una empresa exportadora mando hacer envases para la entrega de su producción a cuatro empresas (A, B, C y D) de 400 unidades cada una. La empresa A cobró 120 nuevos soles por cada unidad; la empresa B cobró 160 nuevos soles por cada unidad; la empresa C cobró 105 nuevos soles por cada unidad y la empresa D cobró 150 nuevos soles por cada unidad.
Por otro lado, el encargo se hizo a la siguiente velocidad: la empresa A elaboró a una razón de 1.5 unidades por hora, la empresa B elaboró a razón de 2.4 unidades por hora, la empresa C elaboró a razón de 2.1 unidades por hora y en la empresa D a razón de 0.4 unidades por hora. Halle los valores de: a)
El cobro promedio por cada artículo producido
Fabrica
Cobro por cada unidad
A
120
1.5
B
160
2.4
C
105
2.1
D
150
0.4
TOTAL
535 535
b)
Unidad por hora
÷4 133.75 =
La velocidad promedio de producción
1. 6 4. Si 80 artículos tienen un peso promedio de 2.54 Kg y se sabe que el instrumento de medición utilizado no estaba calibrado ocasionando que el peso de los artículos tengan un 25% más de su peso verdadero. Halle el verdadero peso promedio, (aplique propiedades en la solución) Solución:
2.54
Excede: 25%
0.25 2.540.252.54
Utilizando la Propiedad 9
1.905 1.905
, peso promedio de los 80 artículos.
5. Una fábrica tiene una máquina que trabaja las 24 horas del día en tres turnos de 8 horas (mañana, tarde y noche). Los costos de producción (por consumo de energía eléctrica) y los tiempos de producción por artículo (en función a la efectividad de los trabajadores), dependen del turno. Los datos se presentan a continuación:
Turno
Costo por hora (S/.)
Horas por artículo
Mañana
40
0.50
Tarde
50
0.40
Noche
20
0.32
a) Calcule el costo promedio de producción por hora. b) Calcule el tiempo promedio de producción por artículo al día Solución: a) b)
. ∑∑ .+..+.+. +. . 38.23 +. . 0.47 ∑∑ .+.++
6. Del ejercicio anterior. Suponga que un trabajador que labora con la máquina en la mañana cobra 36 soles, un trabajador que labora en la t arde cobra 40 soles, y un trabajador que labora en la noche cobra 50 soles diarios. ¿Cuál es el costo promedio por hora que tiene la fábrica considerando la labor del trabajador y el costo de producción de energía eléctrica?
Solución: Costo promedio de producción de energía eléctrica:
∑ +. = .= . . = ∑ = .+.++ Turno
pago del trabajador Horas de trabajo (xi) (w j)
Mañana
36
8
Tarde
40
8
Noche
50
8
Solución: Costo promedio por la labor del trabajador:
∑ = ∑ = ++ = = . Por lo tanto el costo promedio por hora que tiene la fábrica es
42.4218
0.421842
7. Suponga que el gerente de la empresa WX, importador mayorista recibe la siguiente información correspondiente a la primera semana del mes de abril del presente año: a) Se realizaron cuatro operaciones de venta del artículo "A" b) En la operación 1 se vendió el 30% de la cantidad de unidades vendidas durante la semana; en la operación 2 el 20%, en la operación 3 el 40% y en la operación 4 el 10%. c) El precio promedio por unidad para la operación 1 fue de 5 soles, para la operación 2 de 5.5 soles, para la operación 3 de 4.5 soles y para la operación 4 de 5.6 soles.
Sobre la segunda semana del mes de abril, la empresa, recibe la información que se realizaron también 4 operaciones de ventas, en cada una de las cuales se tuvo el mismo monto de ventas. Los precios por unidad para las cuatro operaciones fueron respectivamente: 4.5 soles, 5 soles 5.2 soles y 4.8 soles. Determine el precio promedio por unidad para la primera semana y el precio promedio por unidad para la segunda semana. Solución:
Primera semana. Número de
Precio promedio
Porcentaje
operaciones
(primera semana)
vendido
O1
5
30%
O2
5.5
20%
O3
4.5
40%
04
5.6
10%
1.5 + 1.1 + 1.8 + 0.56 = 4.96 precio promedio por unidad de la primera semana.
Segunda semana. Número de
Precio promedio
Porcentaje
operaciones
(primera semana)
Vendido
O1
4.5
30%
O2
5
20%
O3
5.2
40%
04
4.8
10%
1.35 + 1 + 2.08 + 0,48 = 4.91 precio promedio por unidad de la segunda semana.
8. En una fábrica de camisas se estudió la variable definida como el número de camisas defectuosas que se produce cada hora. Fue seleccionada una muestra de 80 horas, encontrándose la siguiente información: X
0
1
2
3
4
fi
50
12
8
7
3
Si la producción por hora es de 40 camisas y cada camisa buena genera una utilidad de 120 soles además cada camisa defectuosa da lugar a una pérdida de 40 soles. Calcule la utilidad neta promedio por día (Considere 6 horas de trabajo efectivo por día).
Solución:
+×40 . 0. 2 × 10. 2 × 11 1 40. =
=
Sean las variables: X = Número de artículos defectuosos por hora (40 - X) = Número de artículos buenos por hora G = Ganancia neta por día
9. Una cartera de acciones se inició con un valor de $ 1000 y tuvo retornos anuales de 13%, 22%, 12%, -5%, y -13%. ¿Cuál es la tasa promedio de crecimiento anual de la cartera de acciones? De mantenerse la tasa promedio calculada en el siguiente año, ¿Cuál sería el valor de la cartera de acciones en el sexto año? K PORCENTAJE
Cartera de
Tasa de
Acciones
Cambio
1
13%
1130
---
2
22%
1350
1.194
3
12%
1470
1.088
4
-5%
1420
0.965
5
-13%
1290
0.908
1342
1.040
6
…. . √ 1.1941.0880.9650.908 0.987 ñ
10.
La tasa promedio de crecimiento es de 105,2%-100%= 5.2% por año.
La Cartera de acciones del sexto año es $1342.
Si el número medio de anticuerpos por unidad de sangre en las truchas al
primer mes de recibir el contaminante es de 325, al segundo mes de 488 y el tercer mes de 830. Halle el incremento mensual de anticuerpos durante este período. Solución: 488-325=163 830-488=342 11.
Una empresa agropecuaria tiene tres parcelas, cuyos rendimientos por
hectárea (ha) son respectivamente (en toneladas métricas por hectárea): 5 Tm/ha, 3 Tm/ha y 2 Tm/ha. a) ¿Cuál es el rendimiento promedio de las tres parcelas si la producción anual de cada parcela es de 100 Tm? b) ¿Cuál sería el rendimiento promedio si todas las parcelas tuvieran 10 hectáreas?
Solución: a) b)
∑ / 3.33/ℎ ∑ / 33.33/ℎ
12. En cuatro meses consecutivos los precios, en dólares, de un artículo fueron: 480, 520, 490 y 500 respectivamente. Calcule la tasa de variación promedio. Mes
Precio del artículo.
1º
480
2º
520
3º
490
4º
500
Solución: Mes
Precio del articulo
Tasa de cambio (Año base: 1996)
1º
480
--
2º
520
1.083
3º
490
0.942
4º
500
1.020
= √ 1.083×0.942×1.020 1.014 520 × 490 × 500 500 1.014 480 520 490 480 La tasa promedio de crecimiento es 101.4% - 100% = 1.4%
13. El servicio de salud pública de cierta ciudad calculó que los costos de servicio de salud, en soles, han aumentado desde 46.4 a 47.9 a 50.3 a 53.9 por paciente durante los últimos 4 años; sin embargo, el presupuesto para el servicio se ha mantenido constante durante cada uno de estos años. Calcule el costo promedio por paciente en ese periodo de 4 años.
Costo de servicio de salud por paciente
Tasa de cambio
1°
46.4
------
2°
47.9
1.032
3°
50.3
1.050
4°
53.9
1.072
AÑO
47.46.94 × 50.47.39 × 53.50.93
= 1.051 El costo promedio por paciente es 105.1% - 100% = 5.1% 14. Considere un aeroplano que vuela alrededor de un cuadrado que tiene 100 millas de lado, recorriendo el primero de estos a 100 m.p.h, el segundo a 200 m.p.h, el tercero a 300 m.p.h y el cuarto lado a 400 m.p.h ¿Cuál es la velocidad media del aeroplano en su vuelo alrededor del cuadrado?
1000 100200300400 4 4 250 ℎ 15. El crecimiento de la población estudiantil, con respecto al semestre anterior fue como sigue: aumentó 15% en el segundo, aumentó 12% en el tercero, y bajó 28% en el cuarto. Halle la tasa promedio de crecimiento en los tres semestres. 16. Suponga que la empresa EMPSA obtuvo un volumen de ventas de un millón novecientos cincuenta y cuatro mil nuevos soles en el 2001, en el 2000 obtuvo una venta de un millón cuatrocientos mil nuevos soles, en 1999 sus ventas fueron inferiores en un 15% respecto al año siguiente y en 1998 obtuvo una venta de
medio millón de nuevos soles. ¿Cuál es la tasa promedio de crecimiento anual de las ventas para el período 1998-2001? Solución: AÑO 1998 1999 2000 2001
GANANCIAS 500000 210000 1400000 1954000
TASA DE CAMBIO 0.42 6.67 1.40
1954000 1.406 ñ. 10000 × 1400000 1954000 2500000 × 210000 1400000 500000
La tasa promedio de crecimiento anual es 140.6% - 100% = 40.6%
17. La población de aves guaneras en el país en el año 1990 fue de 6 millones, lo cual era 80% del año anterior, en 1992 era el doble de 1990, en 1991 fue 2/3 del primer año de este periodo. Calcular la tasa promedio poblacional para este periodo. Año
Población
Tasa de cambio (Año base: 1996)
1989
80000000
--
1990
6000000
13.3333333
1991
53333333
0.11250000
1992
12000000
4.44444444
18. Se tiene las siguientes muestras representativas provenientes de empleados que utilizaron el programa A y el programa B de seguridad industrial. La información es referente al gasto diario solicitado por los empleados que hacen labores riesgosas: Programa A Empleado
gasto (soles/día)
Programa B Empleado
gasto (soles/día)
1
90
1
120
2
120
2
125
3
130
4
140
3
150
a. ¿Cuál sería el gasto promedio, para el conjunto de todos los empleados, de los dos programas, si el programa A tiene 100 empleados y el programa B 150 empleados? b. Si se sabe que el programa B planea gastar por empleado que hace labores riesgosas una cantidad fija de 2000 soles, ¿cuál sería el gasto diario promedio que solicitan los empleados, del programa B, en labores riesgosas?
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En el mes de Julio el sueldo promedio de los trabajadores del Sector Educación fue de $200 dólares. Para el mes de Agosto se considera un aumento del 37% con respecto al sueldo del mes anterior más un adicional de $35 dólares. Si se obtuvo una desviación estándar igual a $ 3.15 y un coeficiente de variación de 1.44% del mes de Julio. ¿Se puede afirmar que la distribución de sueldos en Julio fue más homogénea?
2. En una industria el jornal diario de sus obreros tiene una media de $10 y una desviación estándar de $2. Si se hace un incremento del 20% en cada jornal y una bonificación adicional de $3. ¿En que porcentaje cambio el coeficiente de variación de los jornales? Solución:
|̅ | ×100
Usamos la formula A: B:
×100%20% ×120%24%
Por lo tanto el coeficiente de variación vario de A - B = 4% 3. Los sueldos de 100 empleados de una empresa tienen una media de $300 y una desviación estándar de $50. Se proponen dos alternativas de aumento i) $75 a cada uno ii) 15% del sueldo más $20 a cada uno ¿Cuál alternativa es la más conveniente? a) Si la empresa dispone solo de $37000 para pagar sueldos. b) S la empresa quiere homogeneizar los sueldos
Solución:
a)
al aumentarles $75 la suma de los sueldos de todo los trabajadores seria 37500 y por eso no se los aumentaría con esa cantidad disponible de la empresa -sueldo actual promedio de los trabajadores
3000 =
-Cantidad de aumento 75x100= 7500
b)
Le conviene porque por que se aproxima (37500) al monto disponible de la empresa. -sueldo actual promedio de los trabajadore
3000 =
-Cantidad de aumento
15%=45, 45+20=67 65x100=6500
4. Si 80 artículos tienen un variancia de 4.2 Kg2 y un P40 = 43.4 Kg y se sabe que el instrumento de medición utilizado no estaba calibrado y pesó a los artículos con un 25 % más de su peso. Halle la verdadera variancia y el verdadero P40.
5. Si una muestra de 15 coleópteros tiene las siguientes longitudes: 1.12, 1.12, 1.12, 1.13, 1.13, 1.14, 1.14, 1.14, 1.15, 1.15, 1.15, 1.15, 1.17, 1.17, 1.18. Determine el valor de la variancia y del P 75.
1 = − 10 19.904 + ×75 ×75 1.15 (20,6360-(4.9 x
(20,6360-(0.735 )
1.39328
) 15)
6. En un estudio sobre garbanzo se consideró la variable altura de planta y en una muestra de 14 plantas se tiene: 55.7, 57.6, 58.5, 58.7, 58.8, 59.3, 59.4, 59.6, 60.0, 59.8, 60.1, 60.2, 60.3, 63.1. Calcule e interprete la variancia muestral y P 75. Si a cada observación se le multiplica por 1.8 y a cada resultado se le resta 3 halle la nueva variancia muestral y el nuevo P 75.
( =
)
− 10 56,637.963 + ×75 ×75 60.1 ) ( = − 10 1453.91314 + ×75 ×75 60.1
(56,637.97-(4.9 x
) 14)
(20,6360-(0.00686 )
3,964.6574
Nueva varianza
(1,453.92-(4.9 x
) 14)
(1453.92-(0.00689 )
101.7739198
7. Se tiene una muestra aleatoria de tamaño 20 con media 5 y variancia igual a 0.36, si a cada observación se le incrementa un 20% de su valor más una cantidad de 4 unidades: a. Calcule el coeficiente de variación de los datos transformados. b. De la pregunta anterior, ¿qué conjunto de datos presenta mayor variabilidad, los datos transformados o los datos iniciales? Solución: n=20
̅ 5 20% →̅5 1 ̅ ̅ 64 10 0,36 100 , 1006% 5+1 =6
Los datos transformados tienen mayor variabilidad porque el promedio aumenta.
8. En una distribución simétrica la mediana es 4 y el coeficiente de variabilidad es 20%, Calcular la desviación estándar. μ = Me = 4
cv = 20% x 100 = 0.8
0.2
9. El sueldo promedio de los empleados de una empresa para el mes de Julio fue de S/. 1500 y un coeficiente de variabilidad de 30%. Si la gerencia decide dar un aumento del 8% mas un monto por viáticos de S/. 200 cada mes. Calcular el coeficiente de variabilidad para el nuevo sueldo.
̅ 30% = ×100 CV =
s = 4.5
Y= (X + 0.08X) + 200 Y= 1.08X + 200 ̅ = 1.08X ̅ + 200 Y ̅ = 1.8 (1500) + 200 Y ̅ = 2700 + 200 Y ̅ = 2900 Y
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El siguiente gráfico (Boxplot) muestra la información sobre el nivel de ventas durante el último mes (en cientos de dólares) del detergente "Blanquito" en 18 tiendas seleccionadas al azar. Las tiendas fueron clasificadas de acuerdo a los niveles socioeconómicos medio-alto y medio-bajo a la cual pertenece.
7000 6000 5000 4000
*
3000 2000 1000 0 MedioAlto
MedioBajo
a) Señale en cuál de los dos estratos socioeconómicos se presenta una mayor variabilidad.
La caja medio-bajo presenta mayor variabilidad porque una caja más grande presenta más varia vialidad
b) Señale el tipo de asimetría que presentan las tiendas de cada uno de los estratos socioeconómicos.
Presenta la distribución asimétrica a la derecha y distribución asimétrica negativa a la isquierda
2. A continuación se presentan los datos, las estadísticas descriptivas y diagramas de caja correspondientes al tiempo de atención (en minutos), de dos cajas rápidas (A y B) en un supermercado.
Datos: A 1,6 0,7 1,3 0,7 1,2 0,3 1,1 2,3 2,1 0,8 1,2 1,9 0,9 0,2 1,2 B 4,0 1,8 2,8 1,8 0,9 0,2 0,6 0,4 1,8 1,7 0,4 1,9 1,3
CAJA
Variable A TIEMPO B
0
0,5 1,6
StDev Minimum
Máximum
Q1
Q3
15 1,167 1,200
0,611 0,200
2,300
0,70
1,60
15 1,447 1,600
1,025 0,200
4,000
0,50
1,80
N
Mean
A
Median
B
Caja a) Identifique el dato extremo ("outlier"), diga por qué dicho valor es denominado de esa forma
Intervalo de Seguridad Inferior (ISI) : Q1-1.5(Q3-Q1)=0.7-1.5(1.6-0.7)=0.7-1.35= -0.65
Intervalo de Seguridad Superior (ISS): Q3+1.5(Q3-Q1)=1.6+1.5(1.6-0.7)=1.6+1.35= 2.95
Respuesta: Hay 2 outlier 0.2 y 0.3 ya que estos dos tiempos registrados son menores que el límite inferior. b) Compare la dispersión del 50% central de los datos en los dos grupos
GRUPO A:
X((n+1)x50)/100 =X16/2=X8=1.2
GRUPO B:
X((n+1)x50)/100 =X16/2=X8=1.6 c) Compare las distribuciones de ambos grupos utilizando el coeficiente de asimetría
GRUPO A:
X − =..−. . = .=1.62
as=
d) Compare la dispersión de los grupos utilizando al coeficiente de variabilidad
X .. ×100=0.319 x 100=31.9%
CV= =
3. Una empresa que posee tres fábricas, ha observado el número de piezas diarias producidas por cada una de ellas durante diez días elegidos al azar, obteniéndose los siguientes resultados: variables Fabrica A
103 106 105 102 108 109 101 110 105 107
111590
Fabrica B
115 112
99
98
107 113 108 114
96
94
112100
Fabrica C
92
103
89
106 108 116
128 130
113610
97
87
a) Calcule e interprete la media y la mediana para el número de piezas diarias producidas por las fábricas A y C. Fabrica a b)
± ×50 5. 5 0.5 1080,5109108 108,5 2 213
1056 1 105, 6 10 = Fabrica c c)
± ×50 5. 5 0.5 1080,5109108 108,5 2 213 1056 1 10 105,6 =
b) La empresa recibe un pedido de 2111 piezas que debe ser entregado en un plazo de 20 días. ¿A cuál de las tres fábricas es más aconsejable encargarle el pedido? La más aconsejable seria la fábrica b C ¿Qué se puede afirmar acerca de la simetría de las piezas diarias producidas por la fábrica B? Que son casi similares pero con distintos limites superiores e inferiores d) Elabore e interprete el diagrama de cajas para el número de piezas diarias producidas por las fábricas. 110 107 106 105
104 103
*
102 101
4. En la granja de la UNALM, se realizó un estudio con la finalidad de comparar el peso en Kg. (a los dos meses de nacido), de dos razas de cuyes: Inti y Andina. Para llevarlo a cabo, se seleccionaron al azar muestras de cada una de las razas, obteniéndose los siguientes resultados:
ANDINA Stem-and-Leaf Display: Andina Leaf Unit - 0.010 1 8 3 3 8 58 7 9 1234 (5) 9 56679 3 10 1 2 10 5 1 11 1 11 5
INTI 0.68
0.94 0.95
0.89 0.99 0.89 0.99 0.89 1.04 0.89 1.09 0.89 1.11 0.89 1.11 0.90
a) Halle e interprete la media y la moda para la raza Andina Media:
12.1524 0.816 Moda: 0.83 - 0.85 – 0.88 – 0.91 – 0.92 – 0.93 – 0.94 – 0.95 – 0.96 – 0.96 – 0.97 – 0.99 – 0.1 – 0.5 – 0.55
Mo = 0.96
b) Construya el Diagrama de Cajas para la raza Andina, calcule sus componentes e indíquelo en el gráfico. Diagramas de Cajas del Peso 1.2 1.1 1 g k n e o s e P
0.9
0.8
* 0.7 0
Andina
Inti
0.83 - 0.85 – 0.88 – 0.91 – 0.92 – 0.93 – 0.94 – 0.95 – 0.96 – 0.96 – 0.97 – 0.99 – 0.1 – 0.5 – 0.55
DATOS:
25 151100 ×254 50 151100 ×508 75 151100 ×7512
25 4 50 8 75 12
1.5 0.911.5 0.08 0.79 1.5 0.991.5 0.08 1.11
25 0.91 50 0.95 25 0.99
Me = 16/2 = x8 = 0.95
* 1.1 1 0.9 9 0.95
0.9 1
0.7 1
c) Utilice el gráfico anterior para comparar la variabilidad y asimetría de las dos razas en estudio.
n x s
andina 15 0.816 0.247
inti 16 0.946 0.1095
Raza andina:
0.0.284716 ×100 %30.2696 %
Raza inti:
0.0.1909546 ×100 %1.575 %
Variabilidad de la raza andina – raza inti = 28.695 Raza andina:
9 5 30.80.160. 247 1.6275 Raza inti:
9 2 30.90.460. 1095 0.712
5. Para determinar la efectividad de un programa de seguridad industrial se recogieron los siguientes datos (horas hombres - perdidas por mes) empleando dos programas distintos (A y B) durante 12 meses tomados al azar.
Stem-and-Leaf Display: PROGRAMA A Stem-and-leaf of Prog A N=12 Leaf Unit = 1.0 2 0 68 (6) 1 022223 4 1 569 1 2 1 2 6 N
Mean
StDev
Mínimum
Q1
Median
Q3
Variable TIEMPO
Máxim um
12
7,750
2,491
2,000
6,000 9,000
9,750 10,000
a) ¿Cuál es la perdida mínima de horas - hombres que debe tener el programa A para estar incluido en el 15% de lo que más horas - hombre pierden? b) Encontrar el rango intercuartílico del programa A.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1 . en marzo del 2009 la empresa de investigacion de mercados “CONTHEOS” , fue contratada por el banco “NUEVO HORIZONTE “ para que realice un estudio sobre la aceptacion de los
creditos anuales que ofrecen a sus clientes en sus sucursales de los distritos de la MOLINA y SURCO .La empresa¨CONTHEOS¨despues de hacer un estudio de las caracteristicas de los clientes activos del banco , selecciono una muestra de 36 clientes de la sucursal de la MOLINA , y recolecto de ellas informacion para un conjunto de variables seleccionadas para tal fin. Los resultados se muestran a continuacion:
Nº de cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Tipo de crédito 1 2 3 1 2 4 5 3 5 4 3 4 2 5 4 2 3 4 4 5 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 1 1 2
Nº de solicitudes 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 3 1 3 3 1 4 4 1 3 7 1 5 6 1 2 4 1 2 4 1 3 2 1 3 1 2
Monto de crédito.(miles de soles) 30.0 35.3 48.4 50.1 55.3 57.2 58.1 60.4 65.3 66.0 68.0 69.1 70.2 72.5 73.1 75.3 77.2 791 82.7 84.3 86.0 90.3 95.2 100.1 101.2 102.2 102.2 104.3 110.1 115.3 118.4 119.1 125.1 128.0 130.2 140.0
Tipo de cliente 2 3 2 2 3 2 1 3 3 2 2 2 3 2 3 3 3 3 2 3 1 1 2 3 3 1 3 2 2 3 2 1 3 2 2 3
a) Elabore una gráfica adecuada para la variable cualitativa.
Tipo de crédito. R= 5-1 = 4
K= 1 + 3.3 log36 =6.135= 6 TIC=
0,67
Tipo
de
crédito 1
[1-1.67>
2
[1.67-2.34>
3
[2.34-3.01>
4
[3.01-3.68>
5
[3.68-4.35>
6
[4.85-5.02]
Tipo de cliente. R= 3-1 = 2
K= 1 + 3.3 log36 =6.135= 6 TIC=
0,34
Tipo
de
cliente 1
[1-1.34>
2
[1.34-1.68>
3
[1.68-2.02>
4
[2.02-2.36>
5
[2.36-2.70>
6
[2.70-3.04]
b) Haciendo uso de la regla de Sturges construya un cuadro de distribución de frecuencias para
la variable Monto de crédito anual (miles de soles) R= 140.0- 30.0= 110.0 K= 1 + 3.3 log36 =6.135= 6
TIC=
110.6 0 18.4
Intervalo de Monto de crédito. (miles de soles) 1
[30.0-48.4>
2
[48.4-66.8>
3
[66.8-85.2>
4
[85.2-103.6>
5
[103.6-122.0>
6
[122.0-140.4]
c) Interprete según enunciado los valores de f 2, P3, F4, P5 y (P5+P6)
Tipo de crédito. R= 5-1 = 4
K= 1 + 3.3 log36 = 6.135= 6 TIC= Tipo de
0,67
crédito
Marca
Frec.
Frec.
Frec..
Frec.
Frec.
Frec.
de
Absoluta
Relativa
porc
Acomulada
Acomulada
Acomulada
clase
f i
fri
pi
absoluta
Relativa
Porcentual
Fi
Fri
Pi
xi
1
[1-1.67>
1.335
8
0.2222
22.22
8
0.2222
22.22
2
[1.67-2.34>
2.005
5
0.1389
13.89
13
0.3611
36.11
3
[2.34-3.01>
2.675
9
0.2500
25.00
22
0.6111
61.11
4
[3.01-3.68>
3.345
0
0.0000
00.00
22
0.6111
61.11
5
[3.68-4.35>
4.015
10
0.2778
27.78
32
0.8889
88.89
6
[4.85-5.02]
4.935
4
0.1111
11.11
36
1.0000
100
36
1.0000
100
- f 2= 5 -P3 = 61.11 -F4= 22 -P5= 88.89 -(P5+P6) = (88.89+100)= 188.89
d) Construya la ojiva de frecuencias relativas para la variable Monto de crédito.
R= 140.0- 30.0= 110.0 K= 1 + 3.3 log36 =6.135= 6
TIC=
110.6 0 18.4
Intervalo de
Frecuencia
Frecuencia
Monto de crédito.
absoluta
relativa
(miles de soles)
f i
fri
1
[30.0-48.4>
2
0.0555
2
[48.4-66.8>
8
0.2222
3
[66.8-85.2>
10
0.2777
4
[85.2-103.6>
7
0.1944
5
[103.6-122.0>
5
0.1388
6
[122.0-140.4]
4
o.1111
36
e) Construya un cuadro de distribución de frecuencias para la variable cuantitativa
discreta. R= 7-1 = 6 K= 1 + 3.3 log36 =6.135= 6
TIC=
66 1
1
Nº de solicitudes [1-2>
2
[2-3>
3
[3-4>
4
[4-5>
5
[5-6>
6
[6-7]
f) Construya un cuadro que permita construir un gráfico adecuado para representar la variable
"Tipo de Crédito" según el "Tipo de Cliente"
Tipo de
Tipo de
cliente
crédito
2 3 2 2 3 2 1 3 3 2 2 2 3 2 3 3 3 3 2 3 1 1 2 3 3 1 3 2 2 3 2 1 3 2 2 3
1 2 3 1 2 4 5 3 5 4 3 4 2 5 4 2 3 4 4 5 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 1 3 1 1 2
g) En el distrito de Surco utilizando una muestra aleatoria de 50 clientes, la empresa
"CONTHEOS" con los datos correspondientes a la variable "Monto de Crédito Anual", formó el siguiente cuadro de frecuencias: Monto de Crédito (en miles de soles)
Porcentaje acumulado
De 50 a menos de 70
6
De 70 a menos de 90
12
De 90 a menos de 110
28
De 110 a menos de 130
48
De 130 a menos de 150
90
De 150 hasta 170
100
h) Construya un cuadro de frecuencias comparativo entre las dos sucursales (Surco y La Molina). Luego, establezca tres conclusiones importantes. 2. La siguiente información se tomó de los registros del Hospital Centro de Salud Materno Infantil Sa n Bartolomé. Sección Maternidad entre el 18 y el 22 de Mayo del 2012. Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Madre
Hijo
Edad
Estado Civil
Nº de partos
Peso
Sexo
25 22 32 22 18 21 20 19 23 26 36 30 23 29 22 23 27 28 19 32 17 21 18
Conv. Conv. Conv. Conv. casada casada soltera casada casada casada casada Conv. soltera Conv. Conv. casada Conv. Conv. Conv. casada Conv. Conv. casada
2
2.90
F
2
2.90
F
4
4.04
M
1
4.35
F
1
3.60
M
3
3.50
M
2
3.20
M
1
3.00
F
3
3.60
M
2
2.80
M
5
3.00
M
5
3.30
F
3
3.10
F
4
3.30
F
2
3.30
F
1
3.50
F
2
3.62
M
3
3.30
F
1
2.65
F
2
2.86
F
1
2.62
M
2
3.56
F
2
3.10
M
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
27 21 19 19 31 32 21 23 19 19 26 18 24 30 26 19 34 28 24 26 22 34
Conv. casada casada Conv. casada casada Conv. casada casada Conv. Conv. casada casada casada casada casada casada casada casada casada casada casada
3
3.62
F
1
3.18
M
1
2.95
M
2
3.90
M
3
3.00
F
4
4.00
F
2
3.85
M
2
2.75
F
1
3.18
F
1
3.14
F
3
3.08
F
1
2.80
F
2
3.40
M
3
3.00
F
3
3.05
F
1
2.90
F
3
3.10
F
3
3.40
M
2
2.97
F
2
2.94
F
2
3.80
M
5
4.65
F
a) Elabore una tabla y gráfica adecuada para la variable ESTADO CIVIL
Solución:
Estado civil
N ° de personas
Soltera
2
conviviente
17
casado
26
N° de personas
Soltera
conviviente
casado
b) Haciendo uso de la regla de Sturges construya un cuadro de distribución de frecuencias para
la variable PESO DEL RECIEN NACIDO.
Rango: 4.65- 2.62= 2.03 K= 1+ 3.3log(45)= 6.5=7 TIC= r/k = 2.3/7= 0.29
N° de clases
Peso del recién nacido [LI-LS>
Xi’
f¡
fr¡
pi
Fi
Fr¡
Pi
1
[2.62 – 2.91>
2.795
9
0.2
2
9
0.2
20
2
[2.91 – 3.2>
3.055
15
0.3333
33.33
24
0.5333
53.33
3
[3.2 - 3.49>
3.345
7
0.1556
15.56
31
0.6889
68.89
4
[3.49 – 3.78>
3.635
7
0.1556
15.56
38
0.8445
84.45
5
[3.78 – 4.07>
7.85
5
0.1111
11.11
43
0.9556
95.56
6
[4.07 – 4.36>
4.215
1
0.0222
2.22
44
0.9778
97.78
7
[4.36 – 4.65]
4.505
1
0.0222
2.22
45
1
1000
1
100
c) Interprete según enunciado los valores de f 2, fr4, p5, F3, P3 y (P5-P2) del cuadro de distribución de frecuencias anterior. f 2 = 15, indica que 15 bebes tienen un preso entre 2.91 – 3.2 fr4 = 0.1556, indica la proporción de bebes que pesan entre 3.49 – 3.78 p5= 11.11, indica que el 11.11% de bebes pesan entre 3.78 – 4.07 F3 = 24, indica la cantidad acumula de de 24 bebes entre 3.2 – 3.49 P3 = 68.89, indica que el porciento acumulado es de68.89 de los bebes que pesan entre 3.2 – 3.49
d) Construya el polígono de frecuencias para la variable PESO DEL RECIEN NACIDO.
f¡ peso de los bebes 16 14 12 10 8 6 4 2 0 [2.62 – 2.91>
[2.91 – 3.2>
[3.2 - 3.49>
[3.49 – 3.78> [3.78 – 4.07> [4.07 – 4.36> [4.36 – 4.65]
e) Construya un cuadro de distribución de frecuencias para la variable N° DE PARTOS.
N° DE PARTO
Frecuencia absoluta (f i)
Frecuencia relativa (fri)
Par1 Part2 Part3 Part4 Part5
12 16 11 3 3 45
0.2667 0.3556 0.2444 0.0667 0.0667 1.0000
Nº de clase 1 2 3 4 5 total
Frecuencia porcentual (pi) 26.67 35.56 24.44 6.67 6.67 100.00
3. Se ha recolectado información de 20 sacos de papa tomados al azar, cosechados luego del trabajo experimental de un alumno por conseguir su grado de ingeniero dentro de una casa de estudio. Se muestra a continuación el número de papas que están comenzando a descomponerse por el fuerte calor así mismo las variedades de papas cosechadas.
a) Indique: la unidad elemental, variables y de qué tipo son.
Calcule el rango R = XMAX - XMIN
R = 18 – 8 = 10 Utilice la regla de sturges K = 1 + 3.3 log n = 1 + 3.3 log 20 = 5.29 K=5
HALLE EL TAMAÑO DE LOS INTERVALOS DE CLASE (TIC)
105 2
Nº CLAS E 1 2 3 4 5
Interval o de papas [LI-LS> [8-10> [1012> [1214> [1416> [16-18
N de papas en descomposi ción Xi 10 12
FREC . ABS. f i 6 0
14
FREC. RELATIVA
FREC . PORC
0.3 0
FREC. ACUMULA DA RELATIVA Fri 0.3 0.3
FREC. ACUM. PORC. Pi
pi 30 0
FREC. ACUMULAD A ABSOLUTA Fi 6 6
7
0.35
35
7
0.35
35
16
0
0
0
7
0.35
35
18
7 48
0.35 1.0000
35 1
7
0.35
fri
b) Elabore una tabla de frecuencias para la variable cuantitativa. Nº de papas descomponiéndose 10 12 14 16 18 total
Frecuencia absoluta (f i) 6 0 7 0 7 20
Frecuencia relativa (fri) 0.3 0 0.35 0 0.35 1
Frecuencia porcentual (pi) 30 0 35 0 35 100%
c) Del cuadro elaborado anteriormente interprete f 5 y fr 2.
f 5 = 7 y fr 2 = 0 d) Elabore un cuadro que resuma la información de la variable cualitativa.
Variedad de papa 1 2 3 4 5 total
N de papas descomponiéndose
Frecuencia absoluta (f i)
Frecuencia relativa (fri)
10 12 14 16 18
6 0 7 0 7 20
0.3 0 0.35 0 0.35 1
Frecuencia porcentual (pi) 30 0 35 0 35 100%
30 30
35
e) Del cuadro elaborado elaborado para la variable variable cualitativa interprete f 3, fr 2, p4 f 3= 7, fr 2= 0, p4= 0
4. Con el objeto de determinar el número de horas diarias que los alumnos de la facultad de ciencias se dedican a estudiar en la biblioteca de la UNALM, se llevó a cabo una encuesta a 49 de ellos, obteniéndose los siguientes resultados expresados en horas:
1.2
1.8
2.3
2.6
3.0
3.1
3.6
1.2
1.8
2.3
2.7
3.0
3.1
3.6
1.3
2.3
2.3
2.7
3.0
3.1
3.6
1.3
2.3
2.4
2.8
3.0
3.4
4.0
1.5
2.3
2.4
2.8
3.1
3.4
4.1
1.8
2.3
2.6
2.8
3.1
3.4
4.5
1.8
2.3
2.6
2.9
3.1
3.4
4.5
a) Construya una tabla de frecuencia completa, usando la regla de Sturges. b) Interpretar la marca de clase del tercer intervalo de clase. c) Interpretar la frecuencia absoluta del quinto intervalo. d) Interpretar la frecuencia relativa del tercer intervalo de clase. e) Interpretar la frecuencia acumulativa relativa del cuarto intervalo de clase.
Solución: Rango:
Sturges:
4.5 1.23.3 1 3.3 49497 3.73 0.471 428428
= 6.577647074
TIC:
REDONDEO POR EXCESO: TIC =
0.5
MARCA DE CLASE x 3 FREC. RELATIVA fr3 [LI-LS> [1.2 – 1.7> [1.7 – 2.2> [2.2 – 2.7> [2.7 – 3.2> [3.2 – 3.7> [3.7 – 4.2> [4.2 – 4.7] f)
Xi 1.45 1.95 2.45 2.95 3.45 3.95 4.45
f i 5 4 13 16 7 2 2
FREC. ABS. F5
fri 0.1020 0.0816 0.2653 0.3265 0.1429 0.0408 0.0408
pi 10.2 8.16 26.53 32.65 14.29 4.08 4.08
Fi
Fri 0.1020 0.1836 0.4489 0.7754 0.9183 0.9591 1
5 9 22 38 45 47 49
Pi 10.2 18.36 44.89 77.54 91.83 95.91 100
FREC. RELATIVA ACUMILATIVA Fr4
5. Tomando como base la información tomada en la pregunta 4, se encuesto también a 35 alumnos de la facultad de agronomía obteniéndose los siguientes resultados en horas:
2
2
2.1
2.1
2.2
2.5
2.6
2.6
2.7
2.7
3
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.4
3.5
3.6
3.6
3.6
3.8
4
4
4
4.1
4.3
4.3
4.4
4.5
4.5
4.6
4.7
4.7
4.7
Construya la tabla de frecuencias comparativa entre las dos facultades. Mencionar tres conclusiones importantes en términos del enunciado. Solución: Rango: Sturges:
TIC
REDONDEO POR EXCESO:
0.5
4. 7 22. 7 13. 3log356. 0 95 6 2.67 0.45
[LI-LS [2 – 2.5> [2.5 – 3> [3 – 3.5> [3.5 – 4> [4 – 4.5> [4.5 – 5]
Xi 2.25
f i 5
fri 0.14
pi 14
Fi 5
Fri 0.14
Pi 14
2.75
5
0.14
14
10
0.28
28
3.25
7
0.2
20
17
0.48
48
3.75
5
0.14
14
22
0.62
62
4.25
7
0.2
20
29
0.82
82
4.75
6
0.17
17
35
1
100
7 57×4. 2 56×4. 7 5 2. 2 5×52. 7 5×53. 2 5×75×3. 3.564 35
Tabla de frecuencia 4: [LI-LS> [1.2 – 1.7> [1.7 – 2.2> [2.2 – 2.7> [2.7 – 3.2> [3.2 – 3.7> [3.7 – 4.2> [4.2 – 4.7]
Xi 1.45 1.95 2.45 2.95 3.45 3.95 4.45
f i 5 4 13 16 7 2 2
fri 0.1020 0.0816 0.2653 0.3265 0.1429 0.0408 0.0408
pi 10.2 8.16 26.53 32.65 14.29 4.08 4.08
Fi 5 9 22 38 45 47 49
Fri 0.1020 0.1836 0.4489 0.7754 0.9183 0.9591 1
Pi 10.2 18.36 44.89 77.54 91.83 95.91 100
9 513×2. 4 516×2.49 9 57×3. 4 52×3. 9 52×4. 4 5 5×1. 4 54×1. 2.756 6. La presente tabla de datos muestra las características de un número de 40 muestras de suelo recogidas de la localidad de Chao-Virú. Muestra
pH
1 2 3 4 5 6
7.85 7.65 7.60 8.00 8.20 7.80
Humedad equivalente (%) 2.10 3.30 4.80 3.00 1.80 16.90
Porcentaje de arcilla 1 2 4 2 1 14
Clase textural Arena Arena Arena franca Arena Arena Franco limoso
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.70 7.25 8.40 8.20 7.50 7.70 8.00 8.40 8.10 7.95
2.40 2.90 2.20 3.00 2.96 4.60 4.00 3.90 5.50 5.90
1 1 1 1 1 2 2 1 4 4
Arena Arena Arena Arena Arena Arena Arena Arena Arena Arena
17
7.75
15.60
4
Franco arenoso
18
8.00
2.90
1
Arena
19
7.50
3.10
1
Arena
20
7.20
19.60
12
Franco arenoso
21
8.00
18.50
16
Franco
22
7.80
16.80
26
Franco
23
8.10
12.60
12
Franco arenoso
24
8.00
10.10
8
Franco arenoso
25
8.20
10.50
11
Franco arenoso
26
8.30
12.10
8
Franco arenoso
27
8.30
9.10
6
Franco arenoso
28
9.25
12.90
14
Franco arenoso
29
9.15
13.60
8
Franco arenoso
30
8.10
16.50
8
Franco arenoso
31
8.30
5.50
4
Franco arenoso
32
8.20
15.50
12
Franco arenoso
33
8.35
12.90
12
Franco arenoso
34
8.75
5.90
5
Arena franca
35
8.80
3.40
2
Arena
36
8.85
2.70
2
Arena
37
7.85
12.90
8
Franco arenoso
38
8.05
10.20
8
Franco arenoso
39
8.20
4.30
4
Arena
40
8.40
3.60
2
Arena
Para cada variable en estudio, presente la tabla de distribución de frecuencias y el gráfico correspondiente.
*pH Rango: R=9.25-7.20=2.05 Numero de intervalos de clase: K=1+3.3log n=1+3.3log40=6.287=6
TIC:
=.=0.35
N° DE CLASES
[LI-LS>
Xi´
Fi
fri
pi
Fi
Fri
Pi
1
[7.20-7.55>
7.375
4
0.1
10.00
4
0.1
10.00
2
[7.55-7.9>
7.725
9
0.225
22.50
13
0.325
32.50
3
[7.9-8.25>
8.075
15
0.375
37.50
28
0.7
70.00
4
[8.25-8.6>
8.425
7
0.175
17.50
35
0.875
87.50
5
[8.6-8.95>
8.775
3
0.075
7.50
38
0.95
95.00
6
[8.95-9.3>
9.125
2
0.05
5.00
40
1
100
40
1
100
*Humedad equivalente Rango: R=19.60-1.80=17.8
Numero de intervalos de clase: K=1+3.3log n=1+3.3log40=6.287=6
TIC:
=.=2.97
N° DE CLASES
[LI-LS>
Xi´
Fi
fri
pi
Fi
Fri
Pi
1
[1.80-4.77>
3.285
18
0.45
45
18
0.45
45
2
[4.77-7.74>
6.255
5
0.125
12.5
23
0.575
57.5
3
[7.74-10.71>
9.225
4
0.1
10
27
0.675
67.5
4
[10.71-13.68>
12.195
6
0.15
15
33
0.825
82.5
5
[13.68-16.65>
15.165
3
0.075
7.5
36
0.9
90
6
[16.65-19.62>
18.135
4
0.1
10
40
1
100
40
1
100
*Porcentaje de arcilla Rango: R=26-1=25
Numero de intervalos de clase: K=1+3.3log n=1+3.3log40=6.287=6
TIC:
==4.17
N° DE CLASES
[LI-LS>
Xi´
fi
fri
pi
Fi
Fri
Pi
1
[ 1 - 5.17 >
3.085
24
0.6
60
24
0.6
60
2
[5.17-9.34>
7.255
7
0.175
17.5
31
0.775
77.5
3
[9.34-13.51>
11.425
5
0.125
12.5
36
0.9
90
4
[13.51-17.68>
15.685
3
0.075
7.5
39
0.975
97.5
5
[17.68-21.85>
19.765
0
0
0
39
0.975
97.5
6
[21.85-26.02>
23.935
1
0.025
2.5
40
0.1
100
40
1
100
7. Los siguientes datos corresponden a la longitud de la cabeza del feto a los 45 días de gestación de un total de 60 ovejas que produjeron un solo feto y de las cuales el día de apareamiento es conocido. Las medidas están en mm y fueron obtenidas con imágenes de ultrasonido:
19.4
20.4
21.0
21.6
21.9
21.9
22.0
22.1
22.1
22.2
22.3
22.3
22.6
22.7
22.7
22.7
22.8
22.9
23.0
23.1
23.2
23.2
23.4
23.6
23.6
23.6
23.7
24.0
24.0
24.0
24.0
24.0
24.1
24.1
24.3
24.4
24.5
24.6
24.7
24.7
24.8
24.8
25.0
25.0
25.0
25.2
25.3
25.3
25.5
25.5
25.5
25.6
25.6
25.6
25.8
25.9
26.0
26.4
26.9
27.5
a) Defina variable y unidad elemental. Variable.- longitud de los fetos de la cabeza de los fetos de ovejas de 45 dias de gestación Unidad elemntal.- X 24 =23.6 b) Construya la tabla de frecuencias. Utilice la regla de Sturges para determinar el número de intervalos. Presente 3 decimales para sus frecuencias relativas. Rango: 27.5 – 19.4 = 8.1 K= 1+3.3log60= 6.86=7 TIC = r/K = 8.1/7= 1.16 c) N° de clases
Loguitud de la cabeza de los fetos [LI-LS>
Xi’
f¡
fr¡
pi
Fi
Fr¡
Pi
1
[19.4 – 20.56>
19.98
2
0.033
3.3
2
0.033
3.3
2
[20.56 – 21.72>
21.14
2
0.033
3.3
4
0.066
6.6
3
[21.72 – 22.88>
23.3
13
0.217
21.1
17
0.283
28.3
4
[22.88 – 24.04>
23.64
15
0.25
25
32
0.53
53
5
[24.04 – 25.2>
24.62
13
0.217
21.1
45
0.75
75
6
[25.2 – 26.36>
25.78
3
0.05
5
48
0.08
80
7
[26.36 – 27.5]
26.93
12
0.2
20
60
1
100
60
1
100
d) Interprete fr 3 , Fr 5 ,l F 5 - F 2.
fr3=0.217, indica que la que la cabeza de los fetos de ovejas tiene un proporción de 0.217 entre la longitud 21.72 – 22.88 fr5 = 0.25, indica que la que la cabeza de los fetos de ovejas tiene un proporción de 0. 25 entre la longitud 24.04 – 25.2 F5 – F2= 41, indica que la cantidad acumula es de 41
d) Grafique el histograma de frecuencias y el polígono de frecuencias.
f¡ de la cabeza de los fetos 20 15 10 5 0 [19.4 – 20.56> [20.56 – 21.72> [21.72 – 22.88> [22.88 – 24.04> [24.04 – 25.2>
[25.2 – 26.36>
[26.36 – 27.5]
f¡ 20 15 10 5 0 [19.4 – 20.56>
[20.56 – 21.72>
[21.72 – 22.88>
[22.88 – 24.04>
[24.04 – 25.2> [25.2 – 26.36> [26.36 – 27.5]
8. Una compañía manufacturera tiene a prueba a 48 nuevos trabajadores. Para evaluar su rendimiento, se les asignó una tarea rutinaria y se midió el tiempo que tardaron en realizarla. Los tiempos en minutos son los siguientes:
105
105
107
108
108
108
109
109
110
111
111
111
113
114
114
117
118
119
121
121
123
125
126
126
126
126
128
129
130
131
134
134
137
145
145
150
150
152
153
154
157
157
158
164
170
171
179
183
a) Construya la tabla de frecuencias. Use la regla de Sturges para determinar el número de intervalos. Presente 3 decimales para sus frecuencias relativas. Calcule el rango R = XMAX - XMIN
R = 183 – 105= 78
Utilice la regla de sturges K = 1 + 3.3 log n = 1 + 3.3 log 48 = 6.55 K=6
HALLE EL TAMAÑO DE LOS INTERVALOS DE CLASE (TIC)
786 13
N° de clases
Ingreso mensual [LI-LS>
Xi’
f¡
fr¡
pi
Fi
Fr
Pi
1
[105 -111
111
9
0.188
18.8
9
0.188
18.8
2
[111- 117>
117
6
0.125
12.5
15
0.313
31.3
3
[117 - 123>
123
0.104
10.4
11
0.229
22.9
4
[123 - 129>
129
7
0.146
14.6
12
0.25
25
5
[129 - 135>
135
5
0.104
10.4
12
0.305
25
6
[135 - 141
141
1
0.201
20.1
6
0.243
30.5
7
141- 147
147
2
0.042
4.2
3
0.105
24.3
8
1477-153
153
3
0.063
6.3
5
0.167
10.5
9
153-159
159
5
0.104
10.4
8
0.167
16.7
10
159-165
165
1
0.021
2.1
6
0.125
12.5
11
165-171
171
1
0.021
2.1
2
0.042
4.2
12
171-177
177
1
0.021
2.1
2
0.042
4.2
13
177-183
183
2
0.042
4.2
3
0.063
6.3
48
1.000
100
total
5
b) InterpreteF 5 - F 2 , 1 – Fr 4 , fr 5 + fr 6. F 5 - F 2 ,1 – Fr 4 , fr 5 + fr 6.
12 – 15, 1- 0.25 , -3
, 0.75
0.104+0.201 ,
0.305
9. Se ha llevado a cabo un estudio para evaluar los volúmenes de venta (miles de soles por día) de los establecimientos comerciales de un distrito de Lima. Para ello se eligieron al azar 36 establecimientos encontrándose los siguientes resultados:
1.5
2.1
2.5
3.2
3.7
4.4
4.5
4.6
4.6
4.6
4.7
5.2
5.3
5.4
5.7
5.7
5.8
6.4
6.7
6.7
7.2
7.4
7.4
7.7
7.8
8.4
8.4
8.5
8.7
9.1
9.8
10.1 11.7 12.1 15.4
a) Construya la tabla de frecuencias. Use la regla de Sturges para determinar el número de
intervalos. Regla de Sturges: K= 1+3.3 log 36= 6.135 K=6 SEGÚN la regla de Sturges habrá 6 intervalos. b) Interprete f 4, F3, p5
Solución: Rango:
Sturges:
15.41.513.9 13.3 36 6 13.69 2.316
= 6.135
TIC:
REDONDEO POR EXCESO: TIC =
2.3
Intervalo [LILS>
Xi
f i
fri
pi
Fi
Fri
Pi
[1.5 - 3.8>
2.65 4.95 7.25 9.56 11.9 14.25
5 12 9 7 2 1
0.14 0.33 0.25 0.19 0.06 0.03
14 33 25 19 6 3
5 17 26 33 35 36
0.14 0.47 0.72 0.91 0.97 1
14 47 72 91 97 100
[3.8 - 6.1> [6.1 - 8.4> [8.4 - 10.7> [10.7 - 13.1> [13.1 - 15.4]
6.1
c) Graficar el histograma.
Volumenes de Venta 35 30 25 20 %
15 10 5 0 1.5 - 3.8
3.8 - 6.1
6.1 - 8.4
8.4 - 10.7
10.7 - 13.1
13.1 - 15.4
ESTABLECIMIENTO
d) Graficar el polígono de frecuencias.
Volumenes de venta 14 12 12 9
10
7
8 5
6 4
2 1
2 0
0
0 0
2.65
4.95
7.25
9.56
11.9
14.25
0
10. En una fábrica de pernos se desea estimar el número de pernos defectuosos por caja para verificar si estos valores están dentro de los límites permisibles. Se selecciona una muestra de 40 cajas y se obtienen los siguientes resultados: 1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
6
7
7
Solución: Rango: R=7-1=6
Numero de intervalos de clase: K=1+3.3log n=1+3.3log40=6.287=6
TIC:
==1
N° DE CLASES
[LI-LS>
Xi´
fi
fri
pi
Fi
Fri
Pi
1
[1-2>
1.5
2
0.05
5
2
0.05
5
2
[ 2 – 3 >
2.5
5
0.125
12.5
7
0.175
17.5
3
[3-4>
3.5
9
0.225
22.5
16
0.4
40
4
[ 4 – 5 >
4.5
13
0.325
32.5
29
0.725
72.5
5
[5-6>
5.5
7
0.175
17.5
36
0.9
90
6
[ 6 – 7 ]
6.5
4
0.1
10
40
1
100
40
1
100
B ) Interprete f 4, p4
f 4= 13 cajas tienen 4 pernos defectuosos p4= 32.5% de las cajas tiene en su interior 4 pernos defectuosos. 11. Estudios realizados sobre la contaminación ambiental coinciden en que los principales causantes de la contaminación del aire son la combustión en los vehículos con motores diesel y la falta de un mantenimiento técnico. Para tener alguna información cuantitativa de lo mencionado anteriormente, se ha tomado una encuesta a una muestra de 30 choferes de la ruta Portada del Sol-Santa Anita (Línea P) encontrándose los siguientes resultados con respecto al número
de horas de trabajo al día y al número de horas de trabajo al día y al número veces al año que hacen revisiones técnicas a sus vehículos. Nº de horas de trabajo al día 14
16
12
14
14
10
14
14
16
16
14
10
12
14
14
16
10
14
16
14
14
16
12
14
16
16
14
14
14
16
Nº de veces al año que hacen revisión técnica 1
1
2
0
3
1
1
1
1
2
3
0
3
2
3
1
2
1
1
1
0
1
2
2
1
1
1
1
1
1
Para cada variable en estudio, presente la tabla de distribución de frecuencias y el gráfico correspondiente.
Solución: Rango: R=16-10=6
Numero de intervalos de clase: K=1+3.3log n=1+3.3log30=5.875=6
TIC:
==1
N° DE CLASES
[LI-LS>
Xi´
fi
fri
pi
Fi
Fri
Pi
1
[ 10 - 11 >
10.5
3
0.1
10
3
0.1
10
2
[ 11 – 12 >
11.5
0
0
0
3
0.1
10
3
[ 12 - 13 >
12.5
3
0.1
10
6
0.2
20
4
[ 13 – 14 >
13.5
0
0
0
6
0.2
20
5
[ 14 - 15 >
14.5
15
0.5
50
21
0.7
70
6
[ 15 – 16 ]
15.5
9
0.3
30
30
1
100
30
1
100
Solución Rango: R=3-0=3
Numero de intervalos de clase: K=1+3.3log n=1+3.3log30=5.875=6
TIC:
==0.5
N° DE CLASES
[LI-LS>
Xi´
fi
fri
pi
Fi
Fri
Pi
1
[ 0 – 0.5 >
0.25
3
0.1
10
3
0.1
10
2
[ 0.5 – 1 >
0.75
0
0
0
3
0.1
10
3
[ 1 – 1.5 >
1.25
17
0.57
57
20
0.67
67
4
[ 1.5 – 2 >
1.75
0
0
0
20
0.67
67
5
[2 – 2.5 >
2.25
6
0.2
20
26
0.87
87
6
[ 2.5 – 3]
2.75
4
0.13
13
30
1
100
30
1
100
12. Un profesor decide registrar el mes de nacimiento de cada uno de los 40 estudiantes de su clase. Junio
julio
noviembre
abril
enero
febrero
septiembre
Julio
agosto
septiembre
diciembre
julio
junio
noviembre
Mayo
abril
febrero
agosto
junio
mayo
octubre
Agosto
noviembre
enero
junio
abril
septiembre
diciembre
Agosto
junio
julio
marzo
diciembre
marzo
junio
noviembre
septiembre
junio
marzo
noviembre
Construya la tabla de frecuencias, elabore e interprete el diagrama de barras. ¿Cuál es el mes que presenta la mayor y cuál la menor frecuencia de nacimientos?
Solución: ORDENANDO:
Enero
1
Febrero
2
Marzo
3
Abril
4
Mayo
5
Junio
6
Julio
7
Agosto
8
Septiembre
9
Octubre
10
Noviembre
11
Diciembre
12
Rango
R=
R= 12-1 R= 11
N° de Intervalo
13, 3 l o g 13, 3 l o g12 4, 5 6 → 5
TAMAÑO DE INTERVALOS
TIC= Rango/K
2,2
TABLA DE FRECUENCIAS
N°de
Intervalo
Frecuencia
Frecuencia
Frecuencia
Clase
de Clase
Absoluta
Relativa
Porcentual
1
[1-3.2>
7
2
[3.2-5.4>
3
0,175
17.5%
5
0,125
12.5%
[5.4-7.6>
11
0,275
27.5%
4
[7.6-9.8>
8
0,2
2%
5
[9.8-12]
9
0,225
22.5%
40
1.000
100%
La mayor frecuencia de nacimientos está en el tercer intervalo en el mes de Junio y Julio.
La menor frecuencia de nacimientos está en el segundo intervalo en el mes de Abril y Mayo.
13. Un Ing. Pesquero está realizando un estudio sobre el salmón plateado con la finalidad de introducirlo al país. Una de las variables de interés es la longitud (en centímetros). El resultado luego de la evaluación a 45 peces elegidos al azar de esta especie se presenta a continuación:
93.30
93.36
94.48
94.68
95.76
95.95
96.31
96.37
96.43
96.53
96.58
96.60
96.61
96.80
96.86
96.93
97.29
97.40
97.41
97.45
97.58
97.66
97.66
97.88
97.92
98.22
98.40
98.47
98.49
98.53
98.56
98.63
98.76
98.79
99.21
99.29
99.32
99.44
99.68
100.08
100.22
100.82
101.24
101.31
102.79
a)
Construya la tabla de frecuencias usando la regla de Sturges. Rango: 102.79 – 93.30 = 9.49 K= 1+3.3log45= 6.5=7 TIC = r/K = 9.49/7= 1.36
N° de clases
Loguitud de la cabeza de los fetos [LI-LS>
Xi’
f¡
fr¡
pi
Fi
Fr¡
Pi
1
[93.30 – 94.66>
93.98
3
0.0667
6.67
3
0.667
6.67
2
[94.66 – 96.02>
95.34
3
0.0667
6.67
6
0.1334
13.34
3
[96.02 – 97.38>
96.70
11
0.2444
24.44
17
0.3778
37.78
4
[97.38 - 98.74>
98.04
15
0.3333
33.33
32
0.7111
71.11
5
[98.74 – 100.1>
99.42
5
0.1111
11.11
37
0.8222
82.22
6
[100.1 – 101.46>
100.78
4
0.0889
8.89
41
0.9111
91.11
[101.46 – 102.79> 101.945
4
0.0889
8.89
45
45
1
100
7
1
100
b) Presente el polígono de frecuencias.
f¡ 20 15 10 5 0 [93.30 – 94.66>
[94.66 – 96.02>
[96.02 – 97.38>
[97.38 98.74>
[98.74 – 100.1>
[100.1 – 101.46>
[101.46 – 102.79>
14. Se hizo un estudio para analizar el volumen de ventas (en miles de soles) de dos locales A y B de una empresa del distrito de Surquillo, se tomaron ciertos días por cada local y se determinó el volumen de ventas, tenemos los siguientes datos registrados:
día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Volumen de (miles de soles) A 1.1 1.6 1.3 1.0 1.6 1.4 1.9 2.1 2.5 2.2 2.2 2.4 3 2.1 1.5 2 1.7 1.8 1.9
ventas B 2 2.5 2.6 2.1 2 2.7 3 3.1 3.2 2.5 2.7 3 2.4 2.4 2.1 3 3.5 3.6 3
Construya la tabla de frecuencias comparativa entre los dos locales (A y B). Mencionar tres conclusiones importantes.
SOLUCIÓN:
A. Rango “A”
R=
R= 3 – 1 R= 2
N° de Intervalo
13, 3 log 13, 3 l o g19 5, 2 2 → 5 TAMAÑO DE INTERVALOS
TIC= Rango/K
0.4
TABLA FRECUENCIA
N° de
Intervalo
Clase
de Clase
1
[1-1.4>
3
2
[1.4-1.8>
3
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Relativa
Frecuencia Porcentual
0.158
15.8%
5
0.263
26.3%
[1.8-2.2>
6
0.316
31.6%
4
[2.2-2-6>
4
0.210
21%
5
[2.6-3]
1
0.053
5.3%
19
1.000
100
B. Rango “B”
3,6 2
R= R=
R= 1,6
N° de Intervalo
13, 3 log 13, 3 l o g19 5, 2 2 → 5
TAMAÑO DE INTERVALOS
TIC= Rango/K
, 0,32 TABLA DE FRECUENCIAS
N° de
Intervalo de
Clase
Clase
1
[2-2.32>
4
2
[2.32-2.64>
3
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Relativa
Frecuencia Porcentual
0.158
15.8%
5
0.263
26.3%
[2.64-2.96>
2
0.316
31.6%
4
[2.96-3.28>
6
0.210
21%
5
[3.28-3.6]
2
0.053
5.3%
19
1.000
100
RESPUESTA:
Hay diferentes Rangos.
Hay diferentes Tamaño de Intervalos.
En el grupo B sube el volumen de ventas.
15. En una empresa maderera se lleva a cabo un estudio de control de calidad con respecto a la longitud de las maderas que están siendo entregadas por sus dos proveedores. Sabiendo estos que la longitud aceptable según contrato es de 4.5 ± 0.5. Las maderas que no cumplan con esta especificación serán regresadas a su proveedor Se dan a continuación 40 longitudes para cada proveedor que los visita ese día.
Proveedor A. 4.50
4.59
4.65
4.67
4.69
4.70
4.74
4.76
4.80
4.84
4.55
4.60
4.66
4.68
4.69
4.72
4.75
4.77
4.80
4.84
4.58
4.60
4.66
4.68
4.70
4.73
4.76
4.77
4.81
4.87
4.58
4.62
4.67
4.69
4.70
4.73
4.76
4.77
4.81
4.90
Proveedor B
4.43
4.60
4.66
4.68
4.70
4.74
4.77
4.79
4.82
4.84
4.44
4.60
4.67
4.68
4.70
4.74
4.77
4.80
4.83
4.84
4.50
4.65
4.67
4.70
4.73
4.75
4.79
4.81
4.83
4.85
4.58
4.66
4.68
4.70
4.73
4.77
4.79
4.82
4.83
4.85
Construya la tabla de frecuencias, usando la regla de Sturges para la variable en estudio de ambos proveedores. Analice y compare la tabla de frecuencias. SOLUCIÓN:
A. Rango “A”
R=
R= 4.90 - 4.50 R= 0.4
N° de Intervalo
13, 3 log 13, 3 l o g40 6. 2 8 → 6 TAMAÑO DE INTERVALOS
TIC= Rango/K
. 0.07 TABLA DE FRECUENCIA
N° de
Intervalo de
Clase
Clase
1
[4.50-4.57>
2
2
[4.57-4.64>
3
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Relativa
Frecuencia Porcentual
0.05
5%
6
0.15
15%
[4.64-4.71>
13
0.325
32.5%
4
[4.71-4.78>
11
0.275
27.5%
5
[4.78-4.85>
6
0.15
15%
6
[4.85-4.92]
2
0.05
5%
40
1,000
100%
B. Rango “B”
4.854.43
R= R=
R= 0.42
N° de Intervalo
13, 3 log 13, 3 l o g40 6. 2 8 → 6 TAMAÑO DE INTERVALOS
TIC= Rango/K
. 0,07
TABLA DE FRECUENCIAS
N° de
Intervalo de
Clase
Clase
1
[4.43-4.5>
2
2
[4.5-4.57>
3
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Relativa
Frecuencia Porcentual
0.05
5%
1
0.025
2.5%
[4.57-4.64>
3
0.075
7.5%
4
[4.64-4-71>
12
0.3
30%
5
[4.71-4.78>
8
0.2
20%
6
[4.78-4.95]
14
0.35
35%
40
1.000
100%
RESPUESTA: Las maderas si cumplen con los requisitos de longitud. 16. La empresa Nicronics S.A. se dedica a la venta de placas circulares plásticas de policarbonato, que importa de Alemania, Holanda y Japón. Las cantidades porcentuales que importa de cada país son 16%, 64% y 20% respectivamente. Las longitudes de los diámetros de dichas placas se expresan en pulgadas y los pesos de los mismos varían de 480 a 920 gramos. En los últimos tres meses, los clientes nacionales, le han devuelto sus productos debido a la baja resistencia encontrada, por ello, el área de control de calidad ha seleccionado al azar 500 placas circulares (en cantidades proporcionales a lo que importa de cada país) y analizado en un laboratorio, la resistencia a las ralladuras y a los impactos (en ambos casos
la resistencia puede ser alta, media o baja). Si la empresa encuentra que efectivamente las placas no satisfacen las condiciones del cliente, se verán obligados a cambiar de proveedores.
En base ala variable país de importación elabore un cuadro de frecuencias de la muestra seleccionada y su respectivo gráfico. 70 60 50 40
Columna1 Serie 1
30 20 10 0 Alemania
Holanda
Japon
17. La empresa Movitel S.A. realizó un estudio sobre el funcionamiento de su servicio de Internet Móvil, cuyos resultados se muestran a continuación: Indiferente
Muy Satisfecho
Indiferente
Muy Satisfecho
Indiferente
Muy Satisfecho
Muy Satisfecho Muy Satisfecho
Insatisfecho
Satisfecho
Indiferente
Satisfecho
Muy Satisfecho
Indiferente
Indiferente
Indiferente
Satisfecho
Indiferente
Indiferente
Insatisfecho
Satisfecho
Indiferente
Insatisfecho
Satisfecho
Indiferente
Indiferente
Satisfecho
Satisfecho
Indiferente
Muy Satisfecho
Satisfecho
Satisfecho
Satisfecho
Insatisfecho
Indiferente
Insatisfecho
Indiferente
Satisfecho
Muy Satisfecho
Indiferente
Indiferente
Indiferente
Insatisfecho
Indiferente
Indiferente
Satisfecho
Indiferente
Satisfecho
Satisfecho
Satisfecho
Muy Satisfecho
Muy Satisfecho
Indiferente
Muy Satisfecho
Satisfecho
Indiferente
Satisfecho
Indiferente
Satisfecho
a) Sobre la variable en estudio, satisfacción con el servicio de Internet Móvil, responda que tipo de variable es.
Indiferente Muy Satisfecho Muy Satisfecho
