Resolver con el procedimiento la siguiente ecuació n diferencial por Transformadas de Laplace:
2´ ´ 3´ 3´ 2 = − = 0 ; ´ = 0 ; ´ = 1 ℒ{2´ ´ 3´ 3´ 2}2} = ℒ− 2ℒ{2ℒ{´ ´} 3ℒ{3ℒ{´ } 3ℒ{3ℒ{´} 2ℒ = ℒ−
Se ejecuta la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación diferencial:
Se separan las constantes, para que la transformada se aplique solo a las funciones de (y).
Se reemplazan las transformadas de acuerdo a la propiedad de la derivada de orden: n. al mismo tiempo que
1 11 2[ ´ ´ ] 3[ ´ ] 3[ ] 2[2[] = 1 2[ 0 0 1]1] 3[ 0 0 00] 3[ 0] 2[] = 1 2 2 3 3 2 = 11 1 2 3 3 = 1 1 2 = 121 3 3 2 32 3 = 1122 31 3 22 1 1 = 1122 31 3 = 112 2 32 3 = 122 33 3 = 122 33 3 2 3 3 2 1 2 2 1 1 1 1 22 Reemplazamos los valores de las condiciones dadas.
Para destruir los corchetes se efectúa la propiedad distributiva. Quedando así:
Se factoriza
Se despeja
. El -2 pasa al otro lado como +2.
. Lo que le multiplica pasa a ambos denominadores del otro miembro.
Efectuando la propiedad distributiva en
, y las operaciones queda:
Por el método de Ruffini se factoriza el denominador
2
-1 -1 1 2 +1 2 +1 0
2 3 -3 -2 -2 -4 2 2 2 -1 -1 0
se puede seguir factorizando, quedando: que dando:
++− = ++−+ + = + 1 1 = 12 213 1 2 = 21 2 Volviendo a
Aplicando el método de fracciones parciales se tiene:
Se pasa el denominador del primer miembro de la ecuación al segundo miembro a multiplicar a cada una de las letras A,B,C y D obteniendo así:
1 2 12 1 1 2 12 1 1 2 1211 1 2 2 3 = 122 1 1 2 1
Al simplificar queda:
2 3 = 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 = 1 2 2 1 1 2 1 3 2 2 1 2 2 3 = 2 2 2 2 1 2 7 7 2 2 3 3 2
Se efectúa la multiplicación de los términos como sigue:
Luego:
Por propiedad distributiva se multiplican cada letra A,B,C y D para eliminar los parentesis quedando así:
2 3 = 2 2 2 2 2 7 7 2 2 3 3 2 2 3 = 2 2 2 2 7 3 2 7 3 2 2 2
Se agrupan los términos semejantes respecto a (s3,s2,s) y (términos independientes) así pues:
De acuerdo a lo anterior se forma un sistema de ecuaciones de 4x4, igualando así:
2 2 2 2 = 0 .1 7 3 = 0 .2 2 7 3 = 2 . 3 2 2 2 = 3 .4
Por la resolución de un sistema de ecuaciones de 4x4 se procede:
Combinando la (1) y (2). Multiplicando la Ec . (1) por 2 para eliminar A, se resta la Ec. (2). Con está combinación se obtiene la Ec. (5). Luego se combina (1) y (3). Multiplicando la Ec. (1) por (-1) para eliminar A, se resta la Ec. (3). Con esta se obtiene la Ec. (6). Combinamos (1) y (4) para eliminar A la Ec. (1) por (-2) y se resta la Ec. (4). Respectivamente: 2A +4B +4C +4D =0 -2A -B -7C -3D =0 3B -3C +D =0
-A -2B -2C -2D =0 A +2B -7C 3D =-2 -9C +D =-2
-2A -4B -4D -4D 0 2A +B -2C +2D -3 -3B -6C -2D -3
3 3 = 0 . 5 9 = 2 . 6 3 6 2 = 3 . 7
Se obtiene un sistema de 3x3, para ser solucionado por el método de Kramer.
393 = 2=.0 .65 3 6 2 = 3 .7
30 93 11 = =20 3 6 2 = 3
Por medio de la calculadora se meten los datos en los siguientes pasos: Se enciende (ON), luego presionar (MODE), aparecen opcio nes con números, presionamos 5 para elegir (EQN), después 2 para seleccionar la matriz 3x3, se escriben los coeficientes del sistema presionando (=), una vez escrito todo volvemos a presionar la tecla (=) para obtener los valores de B, C y D, los valores vendrán dados en (x, y, z) respectivamente. x=B=1/9, y=C=5/18, z=D=1/2 Con los valores anteriores en la Ec. (1) se reemplaza para obtener A:
1 2 52 21 = 0 .1 = 29 218 22 = 29 59 1 = 169 A=-1/9
Por el método de gauss jordan y ayuda del software Microsoft mathematics se obtiene:
A= -16/9; B=1/9; C=5/18; D=1/2
Ahora volvemos a la ecuación y reemplazamos los valores de A= -16/9; B=1/9; C=5/18; D=1/2
1 1 = 12 213 1 2 = 21 2 2 31 2 = 169 2 11 19 21 185 11 12 1 1 = 12 1
Aquí se aplica la antitransformada:
Se divide 2s entre 2 en el numerador y denominador para obtener solo s.
16 922 92 = 89 12 = 89 12 ℒ−{} = ℒ− 89 12 19 ( 12) 185 11 12 ( 11) ℒ−{} = 89 ℒ− 1 12 19 ℒ− 12 185 ℒ− 1 1 12 ℒ− 11 = ℒ−{} () = − = 89 − 91 − 185 12 − Sacando los coeficientes de las antitransformadas:
Por tablas se efectúa llevando a solución.
, utilizando
. Llegando a la
