Trabajo de Runge Kuttaa Final

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

CÁTEDRA:

ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELECTRICOS

CATEDRÁTICO:

Ing. Torres Mayta Pedro

ALUMNOS:

Astete Pérez David Armas alzamora Daniel Bonifacio Orihuela Elvis Clemente huamanlaso Jurasi Espinoza Quispe José A. Hinostroza Millán Iván Llacza Carmelo James E. Noa meza Cristian Paccori Pillpa Luther

SEMESTRE:

X 2013 – I

ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA

1


INDICE

Introducción

……………………………….. …………………3

ESTABILIDAD TRANSITORIA MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN...5

1. El problema de estabilidad

…………………………………………………...5

2. Concepto de estabilidad transitoria

…………………………………………………...6

3. Método de Runge Kutta

…………………………………………………...6

3.1 introducción

……………………………………………………6

3.2 método de runge kutta 1 orden

……………………………………………………7

3.4 método de runge kutta 4 orden

……………………………………………………8

3.4.1 cuando el paso h esta fuera de la función

…………………………………….8

3.4.2 cuando el paso h esta fuera de la función

…………………………………...9

Ejemplo 1:

……….………………………………………….10

Ejemplo 2:

…………………………………………………..15


2


INTRODUCCIÓN

A medida que el ser humano y la economía de los países se han desarrollado, la demanda de energía ha aumentado constantemente, y dentro de este marco se ha producido un crecimiento importante de la demanda energía eléctrica, que ha llegado a presentar un porcentaje importante del consumo total de energía en el mundo.

En el Perú para poder satisfacer la creciente demanda, se ha ido fortaleciendo un sistema eléctrico de potencia que se torna complejo. En los últimos años, la tendencia en la producción de energía eléctrica ha sido deficitaria frente a la demanda de la misma, por lo que para poder satisfacer dicha demanda una de las soluciones ha sido la interconexión de sistemas, con sus ventajas y desventajas, asociando generadores que operan en paralelo y cargas dentro de un gran sistema integrado.

Los sistemas eléctricos se han ido tornando cada vez más complejos y presentan una variedad de retos de ingeniería tanto en el planeamiento, y construcción como la operación del mismo.

El diseño total del sistema eléctrico de potencia debe ser afirmado sobre el control automático y no sobre la respuesta lenta del operador humano. Para ser viable predecir el funcionamiento del sistema, las nuevas exigencias han forzado a buscar siempre herramientas más avanzadas de análisis y de síntesis.

En el presente trabajo, busca solucionar los problemas de la estabilidad transitoria utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden.


3


ESTABILIDAD TRANSITORIA METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN

1 EL PROBLEMA DE ESTABILIDAD El problema de estabilidad esta concernido con el comportamiento de las máquinas sincrónicas después de haber sido perturbadas. Si la perturbación no involucra cualquier cambio neto en la potencia, las máquinas deben retornar a su estado original. Si existe un desbalance entre la potencia suplida y la carga, creado por un cambio en la carga, en generación, o en las condiciones de la red, un nuevo estado de operación es necesario. En cualquier caso todas las máquinas sincrónicas interconectadas deben permanecer en sincronismo si el sistema es estable; todas ellas deben permanecer operando en paralelo y a la misma velocidad.

El transitorio que sigue a una perturbación del sistema es oscilatorio por naturaleza; pero si el sistema es estable, estas oscilaciones serán amortiguadas y llevarán al sistema a una nueva condición de operación y de equilibrio.

Estas oscilaciones, sin embargo, son

reflejadas como fluctuaciones en el flujo de potencia sobre las líneas de transmisión. Si una interconexión conecta dos grandes grupos de máquinas y experimenta excesivas fluctuaciones de potencia, esta puede ser disparada por su equipamiento de protecciones, de tal modo, que desconecta los dos grupos de máquinas. Este problema refleja la estabilidad de los dos grupos de máquinas, si la interconexión es disparada, los sistemas interconectados deben operar como áreas independientes ya que tienen independencia operativa.

La estabilidad del sistema eléctrico de potencia es un importante problema en la seguridad de la operación del sistema, la mayoría de los colapsos causados por inestabilidad ilustran la importancia de este fenómeno. Históricamente, la inestabilidad transitoria ha sido un problema de estabilidad dominante en la mayor parte de sistemas, y ha sido la preocupación de la industria referente a la estabilidad del sistema.

La condición necesaria para la satisfactoria operación del sistema es que todas las ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA

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máquinas sincrónicas, empleadas para la generación de energía eléctrica, permanezcan en sincronismo. Este aspecto de estabilidad es influenciado por la dinámica del ángulo del rotor del generador y las relaciones potencia-ángulo.

Las diferentes formas de inestabilidad dependen de la configuración y la operación de

los sistemas eléctricos de potencia por lo que es necesario el entendimiento de la

complejidad de la operación, diseño y el uso de nuevas tecnologías y controles. Así también el uso consistente de la terminología es requerido para desarrollar el criterio de operación y diseño del sistema, de igual manera, las herramientas analíticas y procedimientos de estudio.

Los sistemas de potencia son sometidos a un amplio rango de disturbios, pequeños y grandes. Pequeños disturbios ocurren continuamente en forma de cambios de carga; el sistema puede ser capaz de ajustarse a las condiciones cambiantes y operar satisfactoriamente. Este puede también ser capaz de soportar numerosos disturbios de una naturaleza severa, tal como un corto circuito sobre una línea de transmisión o pérdida de un generador, de una carga grande o de una interconexión entre dos áreas. Un gran disturbio puede conducir a cambios estructurales debido al aislamiento de los elementos fallados.

La repuesta del sistema de potencia ante un disturbio puede involucrar a la mayoría del equipo. Para una instancia, una falla sobre un elemento crítico seguido por el aislamiento de los relés de protecciones, causará variaciones en flujos de potencia, voltajes en las barras de la red y velocidades del rotor de las máquinas; debido a las variaciones de voltaje deberán actuar conjuntamente los reguladores de voltaje de generadores y del sistema de transmisión; para las variaciones los

de

velocidad

del

generador

deben

actuar

gobernadores (reguladores de velocidad); debido al cambio en la cargabilidad del

sistema actuarán los controles de generación; los cambios en voltaje y frecuencia afectarán a las cargas en el sistema en niveles que varían dependiendo de sus características individuales. Adicionalmente, los dispositivos utilizados para proteger a los equipos individualmente podrían responder a variaciones en las variables del sistema y causar el disparo del ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA

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equipamiento, debilitando al sistema y posiblemente conduciendo a la inestabilidad del sistema. En cualquier situación dada, sin embargo, las respuestas solamente de una cantidad limitada de equipo pueden ser significativas. Por lo tanto, muchas consideraciones se hacen generalmente para simplificar el problema y para centrarse en los factores que influencian el tipo específico de problema de estabilidad.

La inestabilidad de un sistema también puede ocurrir sin pérdida de sincronismo, por ejemplo puede llegar a ser inestable por colapso del voltaje, mantener el sincronismo no es el problema en este caso, en su lugar la preocupación radica en la estabilidad y control de voltaje. Esto ha creado la necesidad de revisar la definición y clasificación de estabilidad de sistemas de potencia.

2 CONCEPTO DE ESTABILIDAD TRANSITORIA La estabilidad transitoria es la capacidad del sistema de potencia de mantener el sincronismo cuando es sometido a severas perturbaciones transitorias. • Respuesta no lineal frente a perturbaciones severas • Horizonte de tiempo de varios ciclos

3 METODO DE RUNGE KUTTA 3.1 INTRODUCCION En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta. 3.2 METODO DE RUNGE KUTTA 1 ORDEN


6


Todos los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler, en la que la función pendiente f se remplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo xn  x  xn+1

yn1  yn  h( w1k1  w2 k 2    wm k m ) donde las ponderaciones wi, i = 1, 2, …, m son constantes que satisfacen w1 + w2 + … + wm = 0, y ki es la función evaluada en un punto seleccionado (x, y) para el cual xn  x  xn+1. El número m se llama el orden. Si tomamos m = 1, w1 = 1, k1 = f(x, yn), llegamos al método de Euler. Por consiguiente, se dice que el método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden. 3.3 METODO DE RUNGE KUTTA 2ORDEN Tratamos de hallar unas constantes de modo que la fórmula

yn 1  yn  ak1  bk2 Donde

k2= f(xn+h, yn+hk1)

k1= f(xn, yn),

Concuerdo con un polinomio de Taylor de grado 2 , las constantes deben satisfacer:

Luego

1 1 w1  w2  1, w2  , y w2   2 2 w1  1  w2 ,  

1 1 , y  2w2 2w2

Donde w2  0. Ejemplo: escogemos w2 = ½ , de donde w1 = ½ ,  = 1,  = 1, y (2) se transforma en

yn+1= yn+(k1+ k2)h/2 donde k1= f(xn, yn), k2= f(xn+h, yn+hk1). Puesto que xn + h = xn+1, yn + hk1 = yn + hf(xn, yn), es idéntica al método de Euler mejorado.


7


3.4 METODO DE RUNGE KUTTA 4 ORDEN Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

3.4.1 CUANDO EL PASO H ESTA FUERA DE LA FUNCION Los llamados métodos de Runge-Kutta son una serie de algoritmos para calcular aproximaciones numéricas del valor de la solución de: dy  f ( x, y ) ; y ( x0 )  y0 dx

en puntos de la forma siguiente:

x1  x0  h ; x2  x1  h ; etc con muy buena precisión, sin que, para ello, sea necesario que los h sean muy pequeños. El procedimiento consta de los siguientes pasos: Para calcular un valor aproximado de la solución y1 en el punto x1 = x0 + h, se calculan los siguientes números:

k1  h f ( x0 , y0 )

h k k2  h f ( x0  , y0  1 ) 2 2 h k k3  h f ( x0  , y0  2 ) 2 2

k 4  h f ( x0  h, y0  k3 )


8


1 K 0  (k1  2k2  2k3  k4 ) 6

Entonces se toma: y1  y0  K 0 Procediendo del mismo modo, calcularíamos el valor aproximado de la solución, y2, en el punto x2 = x1 + h:

k1  h f ( x1 , y1 ) h k k2  h f ( x1  , y1  1 ) 2 2 h k k3  h f ( x1  , y1  2 ) 2 2 k 4  h f ( x1  h, y1  k 3 ) 1 K 0  (k1  2k2  2k3  k4 ) 6

y2  y1  K 0 3.4.2 CUANDO EL PASO H ESTA DENTRO DE LA FUNCION Definiendo un problema de valor inicial como: dy  f ( x, y ) ; y ( x0 )  y0 dx

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

1 yi1  y I 1 (k1  2k 2  2k3  k 4 )h 6 Dónde:


9


k1  f ( x1 , y1 ) hk h k 2  f ( x1  , y1  1 ) 2 2 k 3  f ( x1 

hk h , y1  2 ) 2 2

k 4  f ( x1  h, y1  hk 3 ) Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde k 1 es la pendiente al principio del intervalo, k 2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k 1 para determinar el valor de y en el punto xn+h/2 usando el método de Euler. k 3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k 2 para determinar el valor de y; k 4

es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y

determinado por k 3 . Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

pendiente 

1 (k1  2k 2  2k 3  k 4 ) 6

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total acumulado tiene el orden O(h4). Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de O(h4), razón por la cual es usado en los métodos computaciones. EJEMPLO 1: Determine y (0.5) utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de interés [0, 0.5], en 5 intervalos. y’ =4e

0.8x

– 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =?

h =0.5 – 0 / 5

h =0.1

por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5


10


ITERACIÓN I

i =0 ; x0 =0 ; y0 =2 0.8*0)

K1 =f [0, 2] =4e(

– (0.5 * 2)

K1 =3 0.8*0.05)

K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(

– (0.5 * 2.15)

K2 =3.088243

K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412] 0.8*0.05)

K3 =4e(

– (0.5 * 2.154412)

K3 =3.086037

K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603] 0.8*0.1)

K4 =4e(

– (0.5 * 2.308603)

K4 =3.178846

y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]} y1(0.1) =2.308790 ITERACIÓN II

i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790 0.8*0.1)

K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(

– (0.5 * 2.308790)

K1 =3.178753 K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727] 0.8*0.15)

K2 =4e(

– (0.5 * 2.467727)


11


K2 =3.276123

K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596] 0.8*0.15)

K3 =4e(

– (0.5 * 2.472596)

K3 =3.273689

K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158] 0.8*0.2)

K4 =4e(

– (0.5 * 2.636158)

K4 =3.375964

y2(0.2) =2.308790 +{0.1 /6 [3.178753 +(2 *3.276123) +(2 *3.273689) +3.375964]} y2(0.2) =2.636362

ITERACIÓN III

i =2 ; x2 =0.2 ; y2 =2.636362 0.8*0.2)

K1 =f [0.2, 2.636362] =4e(

– (0.5 * 2.636362)

K1 =3.375862

K2 =f [0.2 +0.1/2, 2.6366362 +(0.1 *3.375862) /2] =f [0.25, 2.805155] 0.8*0.25)

K2 =4e(

– (0.5 * 2.805155)

K2 =3.483033


12


K3 =f [0.2 +0.1/2, 2.636362 +(0.1 *3.483033) /2] =f [0.25, 2.810513] 0.8*0.25)

K3 =4e(

– (0.5 * 2.810513)

K3 =3.480354

K4 =f [0.2 +0.1, 2.636362 +(0.1 *3.480354)] =f [0.3, 2.984397] 0.8*0.3)

K4 =4e(

– (0.5 * 2.984397)

K4 =3.592798

y3(0.3) =2.636362 +{0.1 /6 [3.375862 +(2 *3.483033) +(2 *3.480354) +3.592798]} y2(0.3) =2.984619 ITERACIÓN IV

i =3 ; x3 =0.3 ; y3 =2.984619 0.8*0.3)

K1 =f [0.3, 2.984619] =4e(

– (0.5 * 2.984619)

K1 =3.592687

K2 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.592687) /2] =f [0.35, 3.164253] 0.8*0.35)

K2 =4e(

– (0.5 * 3.164253)

K2 =3.710392

K3 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.710392) /2] =f [0.35, 3.170138] 0.8*0.35)

K3 =4e(

– (0.5 * 3.170138)

K3 =3.707450 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA

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K4 =f [0.3 +0.1, 2.984619 +(0.1 *3.707450)] =f [0.4, 3.355364] 0.8*0.4)

K4 =4e(

– (0.5 * 3.355364)

K4 =3.830829

y4(0.4) =2.984619 +{0.1 /6 [3.592687 +(2 *3.710392) +(2 *3.707450) +3.830829]} y2(0.4) =3.355606 ITERACIÓN V

i =4 ; x4 =0.4 ; y4 =3.355606 0.8*0.4)

K1 =f [0.4, 3.355606] =4e(

– (0.5 * 3.355606)

K1 =3.830708

K2 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.830708) /2] =f [0.45, 3.547141] 0.8*0.45)

K2 =4e(

– (0.5 * 3.547141)

K2 =3.959747

K3 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.959747) /2] =f [0.45, 3.553593] 0.8*0.45)

K3 =4e(

– (0.5 * 3.553593)

K3 =3.956521

K4 =f [0.4 +0.1, 3.355606 +(0.1 *3.956521)] =f [0.5, 3.751258] 0.8*0.5)

K4 =4e(

– (0.5 * 3.751258)


14


K4 =4.091669

y5(0.5) =3.355606 +{0.1 /6 [3.830708 +(2 *3.959747) +(2 *3.956521) +4.091669]} La solución requerida es

y5(0.5) =3.751521

EJEMPLO 2: En este ejemplo, se analiza la estabilidad transitoria de una central térmica que consta de cuatro estaciones de 555 MVA, 24KV, 60Hz. Unidades que suministran energía a un Bus infinito a través de dos líneas de trasmisión mostradas en la figura 1 Figura 1

Las reactancias en la red que se muestran en la figura están por unidad con 2220 MVA, 24kV de base. (Referidos en la línea de trasmisión en el lado de alta del transformador). Se asume que las resistencias son insignificantes. La condición inicial del sistema de operación, con cuantificaciones expresadas en por unidad con 2220 MVA, 24kV de base, se muestra de la siguiente manera.

Los generadores son modelados en un circuito equivalente representado por un generador de modelo clásico con los siguientes parámetros expresados en por unidad con 2220 MVA, 24kV de base:

En el circuito dos se muestran una falla trifásica en el punto F, y la falla es eliminada mediante el aislamiento del circuito de falla. DETERMINAR: ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA

15


a) Determine el tiempo de despeje de la falla crítica y el ángulo crítico mediante el cálculo de tiempo de respuesta del ángulo del rotor, mediante la integración numérica. SOLUCION Con el generador representado con el modelo clásico, el circuito equivalente del sistema se muestra en la siguiente figura.

Por la condición inicial de la operación, el voltaje en retraso

es.

En la siguiente figura se muestra el circuito equivalente reducido representado en las tres condiciones del sistema: en la pre falla, durante la falla, y la post falla. También se muestra en la figura también se muestra en la figura son las expresiones correspondientes para la salida de la potencia eléctrica como una función de . 1) En la pre falla


16


2) Durante la falla

3) Post Falla.

a) El tiempo de respuesta usando la integración numérica. La ecuación:







Puede ser escritos de dos ecuaciones de primer orden:

 

……. Ecuación 3

 

…… Ecuación 4

Dónde: ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA

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{

Los valores iniciales de  y

son 41.77° y 0 pu, Respectivamente.

Cualquiera de los métodos de integración numérica se describen pueden ser usados para resolver estas ecuaciones 3 y 4. Para las ilustraciones consideramos el segundo método de Runge-Kutta. La fórmula general está dado por los valores de  , y t para los pasos de integración son los siguientes:

Dónde: [

]

[

]

[ {

] [


]}

18

Trabajo de Runge Kuttaa Final

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