República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Pariaguán – Edo. Edo. Anzoátegui
Profesora: Roismar Medina Integrantes: Guaramata, Alba
Ostos, Rosanni Noviembre, 2014
ÍNDICE
Pág. Introducción
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Método De Runge – Kutta
3 – 4
Método De Runge-Kutta De Segundo Orden
4 – 5
Métodos De Runge-Kutta De Cuarto Orden
6 – 7
Métodos de Adaptación
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Resultados
7 – 9
Conclusión
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Bibliografía
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Introducción
Las ecuaciones diferenciales que modelan una realidad específica, aumentan su complejidad cuanto más se aproximen al comportamiento real del objeto o fenómeno que se estudia, esta es la razón por la cual en la mayoría de los casos hallar su solución por métodos analíticos es imposible, lo que nos lleva a utilizar los métodos numéricos. Este trabajo de investigación tiene como objetivo desarrollar una idea de cómo se plantea la teoría general y su respectiva aplicación en las ecuaciones diferenciales
con
el
método
de
Runge-Kutta,
realizando
cuadros
comparativos entre los valores reales y los aproximados en determinados casos. Las aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales dentro de la ingeniería en general son muchas. Estas, de igual manera pueden ser utilizadas para explicar los fenómenos físicos que se presentan en las diversas situaciones y problemas que se dan frecuentemente en aquellas ramas de estudio. Debido a que la mayoría de estas no tienen una solución numérica, se ha visto la necesidad de implementar métodos que nos permitan determinar una cantidad real para un problema dado. El método de Rugen-Kutta es un método iterativo, explícito e implícito
de
resolución
numérica
para
ecuaciones
diferenciales.
Probablemente uno de los procedimientos numéricos más populares, así como más preciso, usado para obtener soluciones aproximadas para un problema con valores iniciales y' = f(x, y), y(x0) = y0 es el método de RungeKutta de cuarto orden. Como el nombre lo indica, existen métodos de Runge-Kutta de diferentes órdenes. En esencia, los métodos de RungeKutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler.
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Método de Runge-Kutta
Para poder demostrar la precisión del método de Runge-Kutta, lo mejor es hacer un análisis comparativo entre este y el método de Euler, de acuerdo a su aplicación. Probablemente uno de los procedimientos numéricos más populares, así como más preciso, usado para obtener soluciones aproximadas para un problema con valores iniciales y' = f(x, y), y(x0)= y0es el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Como el nombre lo indica, existen métodos de Runge-Kutta de diferentes órdenes.
En esencia, los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euleren que la función pendiente f se reemplaza por un
promedio ponderado de pendientes en el intervalo xn ≤ x≤xn+1. Es decir, (1) Aquí los pesos wi, i = 1, 2,. . ., m, son constantes que generalmente satisfacen w1 + w2 +. . . + wm = 1, y cada ki, i = 1,2,..., m, es
la función f evaluada en un punto seleccionado (x, y) para el que xn ≤ x≤xn+1. Notamos que las ki se definen recursivamente. El número m se llama el orden del método. Observe que al tomar m = 1, w1 = 1 y k1 = f(xn, yn), se obtiene la conocida fórmula de Euleryn+1 = yn + hf(xn, yn). Por esta razón, se dice que el método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden.
En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales.
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Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.
Método de Runge-Kutta de Segundo Orden Los métodos de Runge-Kutta (RK) es un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial. Sea y ′(t )= f (t ,y (t ))
⊂
una ecuación diferencial ordinaria, con f :Ω R×Rn →Rn donde
Ω es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea
∈Ω.
(t 0,y 0)
Entonces el método RK (de orden s ) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:
yn +1=yn +h ∑i =1sbiki , donde h es
el
paso
por
iteración,
o
lo
que
es
lo
mismo,
el
incremento Δtn entre los sucesivos puntos tn y tn +1. Los coeficientes ki son
términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local
⎛⎝tn +hci ,yn +h ∑ j =1saijkj ⎞⎠i =1,...,s .
ki = f
con aij ,bi ,ci coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas RungeKutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij =0 para j =i ,...,s , los esquemas son explícitos.
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Ejemplo Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t =tn y otra en t =tn +Δtn . ƒ(t ,y (t )) en la primera etapa es: fn =k 1= f (tn ,yn )
Para estimar ƒ(t ,y ) en t =tn +Δtn se usa un esquema Euler fn +1=k 2= f (tn +Δtn ,yn +Δtnk 1). Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación yn +1=yn +∫tn +1tnf (t ,y (t ))dt ,
de manera que se obtiene la expresión: yn +1=yn +Δtn 2(k 1+k 2).
Los coeficientes propios de este esquema son: b 1=b 2=1/2;a 21=1;c 2=1.
Variantes Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos RungeKutta-Fehlberg). Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso. El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
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Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta». Definiendo un problema de valor inicial como: y ′= f (x ,y ),y (x 0)=y 0
Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación: yi +1=yi +16h (k 1+2k 2+2k 3+k 4)
Donde
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ k 1k 2k 3k 4= f (xi ,yi )= f (xi +12h ,yi +12k 1h )= f (xi +12h ,yi + 12k 2h )= f (xi +h ,yi +k 3h )
Así, el siguiente valor (y n+ 1) es determinado por el presente valor (y n) más el producto del tamaño del intervalo (h ) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, donde k 1 es la pendiente al principio del intervalo, k 2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k 1 para determinar el valor de y en el punto xn +h 2 usando elmétodo de Euler. k 3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k 2 para determinar el valor de y ; k 4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k 3. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
pendiente=k 1+2k 2+2k 3+k 46.
Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O (h 5), mientras que el error total acumulado tiene el orden O (h 4). 7
Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de O (h 4), razón por la cual es usado en los métodos computacionales.
Métodos de Adaptación Se ha visto que la precisión de un método numérico para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales mejora al reducir el tamaño de paso h. Por supuesto, esta mayor precisión tiene usualmente un costo, en particular, incremento en el tiempo de cálculo y mayor posibilidad de error de redondeo. En general, en el intervalo de aproximación podría haber subintervalos donde un tamaño de paso relativamente grande es suficiente y otros subintervalos donde se requiere un tamaño de paso más pequeño para mantener el error de truncamiento dentro del límite deseado. Los métodos numéricos en los que se usa un tamaño de paso variable se llaman métodos de adaptación. Una de las rutinas más populares de adaptación es el método de Runge-Kutta-Fehlberg. Debido a que Fehlberg empleó dos métodos de Runge-Kutta de órdenes distintos, uno de cuarto y otro de quinto, este algoritmo suele denotarse como método RKF45.1
Resultados En este artículo se menciona al método de Euler dado como una de las técnicas más simples para aproximar soluciones de una ecuación diferencial. Podemos observar que el método se encarga de aproximar la solución real por medio de una serie de segmentos de recta, ya que la aproximación de una curva no sería exacta lo que conlleva a que se dé un error derivado de este método. A este error se le conoce como error de truncamiento.
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Este error se puede disminuir reduciendo el valor del tamaño de paso, pero, consecuentemente se obtendrá un mayor número de cálculos y, por consiguiente, un error de redondeo mucho más alto. Al desarrollar el método de Runge-Kutta, notamos que no es sólo un método, sino un conjunto de métodos iterativos que permiten aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, logrando al exactitud del procedimiento de un serie de Taylor. No requiere la evaluación de ninguna derivada, sino únicamente valores de la función f(x,y).todo esto hace que el método de Runge-Kutta sea más fácil de implementar que los otros.
En ingeniería hay diferentes procesos que son modelados por ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, y en muchos casos, determinar su solución mediante métodos analíticos es imposible, pero utilizando una técnica numérica y un software adecuado es fácil conseguir una solución aproximada a la solución real.
Comparándolo con los métodos de Euler y Taylor, el método de Runge-Kutta de Euler es de fácil implementación, ya que tiene una buena aproximación a la solución real, y ya que se reduce el tamaño de paso, lo que
da
lugar
a
que
incremente
el
número
de
iteraciones
y
consecuentemente el error por redondeo se menor en cuanto al valor real.
Los diferentes métodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de una serie de Taylor, ya que en sus fórmulas no aparecen derivadas, lo cual facilita su implementación enun programa de Matlab.
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Por esta razón, el método de Runge-Kutta de cuarto orden es el más usado, ya que requiere realizar cuatro evaluaciones y por ende, tiene respuestas más exactas que el resto de los métodos presentados.
En el caso de la aplicación de modelos matemáticos, el método de Runge-Kutta de cuarto orden es el más idóneo ya que nos permite hacer simulaciones realistas para los procesos sin tener que realizarlos físicamente.
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Conclusión
Los métodos numéricos desarrollados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, dan una aproximación a la solución real y se pueden mejorar reduciendo el tamaño de paso h.
El
método
de
Runge-Kutta
de
cuarto
orden,
gracias
a
las
evaluaciones sucesivas que se dan anteriormente, da respuestas más exactas que el resto de métodos analizados.
Se concluye también, que el método de Runge-Kutta de cuarto orden da respuestas más exactas que el resto de los métodos mencionados en este texto.
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Bibliografía
Zill D.G y Cullen M.R- 2009. Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera. Huanto, A.C. (2011). Métodos Numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias con Matlab. http://www.unac.edu.pe/documentos/organizacion/vri/cdcitra/Informes_ Finales_Investigacion/Junio_2011/IF_COLLANTE_HUANTO_FIME.pdf. http://www.buenastareas.com/ensayos/Runge-Kutta http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta
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