DEFINICIÓN: Es un segmento de recta orientado, que sirve para representar las magnitudes vectoriales.
CARACTERISTICAS DE UN VECTOR:
Nombre
Dirección
Sentido
Modulo
Punto de aplicación
Coordenadas cartesianas. Un vector se puede definir por sus coordenadas, sus coordenadas, si si el vector está en el plano x y, se representa:
Siendo sus coordenadas:
Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:
Coordenadas tridimensionales. tridimensionales. Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:
Siendo sus coordenadas:
Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar diferenciar la recta soporte soporte o dirección, dirección, sobre la que se traza el vector.
El módulo o módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.
El sentido, sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.
El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.
El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.
CLASES DE VECTORES
1.- Fijos o ligados: Llamados también vectores de posición. Son aquellos que tienen un origen fijo .Fijan la posición de un cuerpo o representan una fuer za en el espacio.
2.-Vectores deslizantes: Son aquellos que pueden cambiar de posición a lo largo de su directriz. —Ejemplo.
3.- Vectores libres: Son aquellos vectores que se pueden desplazar libremente a lo largo de sus direcciones o hacia rectas paralelas sin sufrir modificaciones.
4.- Vectores paralelos: Dos vectores son paralelos si las rectas que las contienen son paralelas. Ejemplo.
5.-Vectores coplanares: Cuando las rectas que lo contienen están e n un mismo plano. Ejemplo.
6.-Vectores concurrentes: Cuando sus líneas de acción o directrices se cortan en un punto. Ejemplo.
7.-Vectores Colinéales: Cuando sus líneas de acción se encuentran sobre una misma recta. Ejemplo.
1.- Tipos de magnitudes Una magnitud física :
Es cualquier propiedad física susceptible de ser medida. Ejemplos: el tiempo ( t ), la velocidad ( ), la masa (m), la temperatura ( T ) , el campo eléctrico ( Las magnitudes físicas se pueden clasificar en:
).
Magnitudes escalares Las magnitudes escalares son aquéllas que quedan completamente determinadas mediante el conocimiento de su valor expresado mediante una cantidad (un número real) seguida de una unidad (a excepción de las adimensionales). Así, por
ejemplo, si decimos que la masa de un objeto es 3 kg, hemos aportado toda la información necesaria.
Magnitudes vectoriales: Las magnitudes vectoriales son aquéllas que no quedan completamente determinadas por su valor (cantidad y unidad), sino que requieren además el conocimiento de la dirección y el sentido de su actuación y su punto de aplicación. Así, al decir que sobre un objeto se aplica una fuerza de 3 N, no poseemos toda la información, ya que habrá que indicar hacia dónde se dirige dicha fuerza. Gráficamente, las magnitudes vectoriales se representan por una flecha, siendo la longitud de esta flecha proporcional al módulo de la magnitud, y su dirección y sentido los de la magnitud vectorial.
Vector ligado Cuando el origen del vector está fijado (por ejemplo, una fuerza que se aplica en un punto concreto y no otro) se dice que tenemos un vector ligado.
Vector Libre Si podemos cambiar el origen del vector sin que afecte al significado físico de éste (como ocurre, por ejemplo, con el peso de un objeto) se dice que tenemos un vector libre.
Obsérvese la diferencia en la notación entre magnitudes escalares y
Ejemplos de magnitudes Escalares
Vectoriales
Magnitud
Símbolo
Magnitud
Masa
m
Posición
Tiempo
t
Velocidad
Temperatura
T
Fuerza
Energía
E
Campo eléctrico
Símbolo
vectoriales. Por la condición de la homogeneidad que se comenta más abajo, es muy importante tener claro e indicar qué magnitud es escalar y cuál vectorial. Por ello, adoptaremos el convenio de siempre escribir las magnitudes vectoriales con flecha (también es usual, especialmente en libros, el usar negrita)
Además de las magnitudes escalares y vectoriales, existen otros tipos de magnitudes “de orden superior”, conocidas en general como magnitudes tensoriales. Un ejemplo de magnitud tensorial son los “esfuerzos” en un sólido. Cuando se aplica una fuerza en una dirección resulta una deformación que puede ir en una dirección diferente. Por tanto necesitamos la información de la dirección y sentido de los dos, fuerza y deformación, por lo que no nos basta con una magnitud vectorial.
En este curso las magnitudes tensoriales aparecen muy raramente.
1.1 Principio de homogeneidad Una propiedad importante de las leyes físicas es que son homogéneas. Esto quiere decir que los dos miembros de una igualdad, o cada uno de los sumandos de una suma, deben ser del mismo tipo: Una cantidad escalar será igual a otra cantidad escalar, por ejemplo
Una cantidad vectorial será igual a otra cantidad vectorial
pero nunca una cantidad escalar será igual a una vectorial. Por ejemplo, el momento de una fuerza es una cantidad cuya unidad SI es 1 N·m, y la energía cinética es una magnitud cuya unidad es 1 J = 1 N·m, pero, aunque se midan en las mismas unidades, el momento de una fuerza nunca puede ser igual a la energía cinética, pues la primera es una magnitud vectorial y la segunda es una escalar
La energía cinética sí podrá ser igual al módulo del momento de la fuerza, que es una cantidad escalar
2 Operaciones con magnitudes escalares
Las magnitudes escalares se comportan como números reales y por tanto admiten las operaciones básicas entre números: suma y multiplicación (con sus respectivas inversas y combinaciones entre ellas). La suma de magnitudes escalares debe respetar el principio de homogeneidad dimensional, esto es, las magnitudes sumadas deben poseer las mismas dimensiones (no se puede sumar una distancia a un tiempo). En el producto de magnitudes escalares, el resultado tiene por dimensiones el producto de las dimensiones de los diferentes factores. Así, por ejemplo la densidad de masa
pose dimensiones
y se medirá en el SI en kg/m³. La suma y el producto de magnitudes escalares poseen las propiedades habituales: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico. Además, conjuntamente poseen la propiedad distributiva, que permite sacar factor común o quitar paréntesis, según el caso
3 Operaciones con magnitudes vectoriales Las operaciones que pueden efectuarse entre magnitudes vectoriales entre sí y con magnitudes escalares, son más amplias y poseen propiedades específicas.
3.1 Suma de vectores las magnitudes vectoriales pueden sumarse, siempre respetando el principio de homogeneidad dimensional (una fuerza puede sumarse con otra, pero no con una velocidad, por ejemplo).
Gráficamente, la suma de magnitudes vectoriales puede definirse de dos formas equivalentes: Colocándolos con el mismo origen: la suma vectorial será la diagonal del paralelogramo que definen ( regla del paralelogramo).
Colocando uno a continuación del otro y uniendo el origen del primero con el extremo del segundo (regla del triángulo).
Regla del paralelogramo
Regla del triángulo
Esta suma así definida presenta las propiedades usuales de la suma: conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento simétrico. La propiedad asociativa, junto con la regla del triángulo, permite sumar n vectores a base de formar una línea quebrada disponiendo los vectores en sucesión y uniendo el origen del primero con el extremo del último.
Para que dos vectores ligados se puedan sumar, deben poseer el mismo punto de aplicación. No tiene significado sumar, por ejemplo, el campo eléctrico en un punto con el campo eléctrico en otro. Sí lo tiene sumar dos campos eléctricos aplicados sobre el mismo punto. Cuanto los puntos de aplicación coinciden, el punto de aplicación de la suma será el mismo que el de los sumandos.
3.2 Producto por un escalar Las magnitudes vectoriales pueden multiplicarse por magnitudes escalares resultando una nueva cantidad vectorial. Así, por ejemplo, la fuerza sobre una carga puntual es proporcional al campo eléctrico en el que se encuentra
El resultado es un vector, la fuerza, que tiene por módulo
por dirección la misma del vector original, en este caso el campo eléctrico, y por sentido el mismo que el del vector si la magnitud escalar, la carga en este caso, es positiva y opuesto si es negativa. Las dimensiones del producto de un escalar por un vector son las del escalar multiplicadas por las del vector. Así, por ejemplo, de la segunda ley de Newton
3.2.1 Vectores unitarios La multiplicación de un vector por un escalar, permite definir el vector unitario en una dirección dada
Por tratarse de la división entre dos cantidades con las mismas dimensiones se deduce que los vectores unitarios son adimensionales.
3.3 Producto escalar El producto escalar entre dos magnitudes vectoriales es una magnitud escalar , definida como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, α. Así, para la potencia desarrollada sobre una partícula
Obsérvese que el producto escalar se representa con un punto entre los dos vectores, mientras que el producto por un escalar no lo lleva (además de la presencia o ausencia de flechas que indican el carácter vectorial de las magnitudes). El producto escalar da como resultado una cantidad positiva o negativa según el ángulo que formen los dos vectores. Es positivo si el ángulo es agudo, negativo si es obtuso, y nulo si los dos vectores son ortogonales.
El producto escalar también se anula si alguno de los dos vectores es el vector nulo, por lo que se puede concluir
El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a su módulo al cuadrado, ya que el coseno es igual a la unidad,
El producto escalar es conmutativo, pero NO es asociativo, ya que ni siquiera está definido el producto escalar de tres vectores.
En la desigualdad
tenemos en cada miembro el producto de un escalar (el producto escalar de dos vectores) por un vector. El resultado en el primer miembro es un vector que apunta en la dirección de y en el segundo en la de , que será diferente en general, por lo que los resultados no son coincidentes. 3.4 Producto vectorial
Dados dos magnitudes,
y
, que forman un ángulo θ, podemos construir una nueva magnitud
como el producto vectorial de estas dos
. Esta magnitud es también vectorial, con
las propiedades:
Módulo Es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el valor absoluto del seno del ángulo que forman. Equivalentemente, es el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
De aquí se deduce que las dimensiones del producto ve ctorial equivalen al producto de las dimensiones de los factores. Así, si
es una posición y
es una fuerza,
tiene las
dimensiones
y en el SI se medirá en N·m.
Dirección la perpendicular al plano definido por los vectores
y
.
Sentido el dado por la regla de la mano derecha: si colocamos nuestra mano derecha de forma que los dedos sigan el sentido de giro desde el primer vector,
, hacia el segundo vector,
camino más corto, entonces el pulgar extendido apunta en el sentido de
El producto vectorial posee dos importantes no-propiedades: NO es asociativo
NO es conmutativo
.
, por el
En su lugar, el producto vectorial es anticonmutativo
El producto vectorial se anula cuando alguno de los vectores e s nulo o se trata de vectores paralelos
El producto vectorial, además de para hallar áreas, es muy útil para determinar distancias.
3.4.1 Doble producto vectorial Tres vectores se pueden multiplicar sucesivamente de forma ve ctorial, obteniéndose el doble producto vectorial , cuya expresión puede demostrarse que es equivalente a
Obsérvese que el resultado del doble producto vectorial contiene un término en la dirección de
y otro en la dirección de
. Se encuentra contenido por tanto en el plano definido por
estos dos vectores. Si agrupamos de otra forma los vectores obtenemos la relación similar, pero no idéntica
3.5 Resumen Tenemos entonces tres tipos de productos que hay que distinguir:
Primer elemento
Segundo elemento
Operación
Resultado
Escalar
Vector
Producto por un escalar
Vector
Vector
Vector
Producto escalar (·)
Escalar
Vector
Vector
Producto
Vector
Ejemplo
vectorial (×)
3.6 Descomposición de un vector En física, es muy frecuente que sea necesario descomponer un vector en suma de dos vectores ortogonales. Así por ejemplo, la aceleración se descompone en tangencial y normal, y el peso de un objeto en un plano inclinado se separa en una componente paralela al plano y una ortogonal a él. Es fácil ver que esta descomposición es única. En todos estos casos tenemos un vector
, que queremos descomponer y otro
, que marca una
dirección. Nuestro objetivo es escribir
La parte paralela es fácil de hallar. Su módulo se halla geométricamente
y su dirección la da el unitario en la dirección de
Una vez que tenemos la parte paralela o tangencial, hallamos la normal restando
Pueden calcularse las dos partes simultáneamente con ayuda del doble producto vector ial. Aplicando que
Despejando de aquí
El primer término es el paralelo a descomposición de
, mientras que el segundo es ortogonal, por lo que la
es
Aunque hemos empleado los símbolos de la velocidad y la aceleración, el proceso e s obviamente el mismo para cualquier otra descomposición análoga.
4 Sistemas de referencia 4.1 Definición Los puntos del espacio pueden etiquetarse mediante letras, O, P, Q,… Sin embargo, para operar con ellos, es conveniente emplear coordenadas, que no son más que etiquetas numéricas que identifican cada punto de forma unívoca.
Existen muchos sistemas de coordenadas posibles. Las más sencillas son las coordenadas cartesianas
Dado un punto del espacio, O, que tomamos como origen de coordenadas, tomamos tres planos que pasan por dicho punto y que sean ortogonales entre sí, que denominaremos XY, XZ e YZ. Definimos entonces las coordenadas cartesianas de cualquier otro punto como las distancias (con signo), x, y, z a estos planos coordenados ( x la distancia al YZ, y al XZ, y z al XY).
Los planos se cortan en tres re ctas, también ortogonales entre sí, que denominamos ejes de coordenadas OX, OY y OZ (o simplemente X, Y y Z).
Los vectores unitarios tangentes a estos ej es forman una base ortonormal que denotamos como
.
Por ser ortonormales, verifican
o, en forma de tabla:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Esta base canónica es además dextrógira, esto es, verifica la regla de la mano derecha cuando los vectores se colocan en el orden
. Empleando el producto vectorial, esto se expresa
y análogamente para el resto de pr oductos: positivo si se gira en sentido antihorario y negativo si se va en sentido horario en la figura. En forma de tabla:
4.2 Componentes de un vector Una vez definida la base canónica, todo vector libre o ligado puede descomponerse de forma única en una parte paralela a
, una paralela a
y otra paralela a
Donde cada una de las componentes F x, F y y F z puede hallarse, según hemos visto, con ayuda del producto escalar
En Física es habitual trabajar simultáneamente con más de un sistema de referencia (por ejemplo, al describir del movimiento de un observador respecto a otro). Puesto que las componentes de un vector dependen de la base que se emplee para describirlo, es importante escribir los vector es como en la expresión anterior y NO en la forma
, ya que en esta última forma se
pierde la información sobre la base en que se trabaja. La única excepción la constituye el ve ctor de posición de un punto del espacio.
4.3 Vector de posición La posición de cualquier punto P puede expresarse mediante su vector de posición, que es aquél que tiene como origen el de coordenadas y como extremo el punto P (e s, por tanto, un vector ligado)
La posición del origen de coordenadas y la orientación de los ejes son arbitrarias. Por ello no hay que presuponer que, por ejemplo, “el eje Z es vertical”. Nadie se encuentra un eje Z por la calle. El eje Z será el que nosotros queramos que sea y si nos interesa que forme un ángulo de 37° r especto al suelo, pues así lo podemos tomar. En forma abreviada, la posición del punto P se puede e scribir en la forma P ( p x, p y, p z ) La posición relativa del punto Q respecto al punto P la da el vector que tiene por origen P y por extremo Q. Es inmediato obtener las componentes de este vector en la base cartesiana, conocidas las coordenadas cartesianas del origen y del extremo. B asta restarle las primeras a las segundas. Si P ( p x, p y, p z ) y Q(q x,q y,q z ), el vector
es:
4.4 Expresión de las operaciones 4.4.1 Igualdad entre vectores Dos vectores libres son equivalentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y se ntido. En términos de las componentes, dos vectores son e quivalentes cuando son iguales componente a componente
En particular, un vector es nulo si y solo si son nulas cada una de sus componentes.
4.4.2 Suma de vectores Para sumar dos vectores, basta con sumar las componentes respectivas
A la hora de sumar, hay que tener cuidado con sumar las componentes correspondientes al mismo vector de la base y tener en cuenta que alguna componente puede ser nula. Por ejemplo
4.4.3 Producto por un escalar Las componentes del producto de un vector por un escalar se obtienen multiplicando todas y cada una de ellas, por el escalar.
4.4.4 Producto escalar El producto escalar se halla desarrollando la expresión
Como consecuencia de la ortonormalidad de la base, la e xpresión se reduce a
Conviene recordar que los productos son entre componentes correspondientes no “la primera por la primera más…” ya que es posible que alguna de ellas sea nula. Por ejemplo:
A partir del producto escalar se o btiene la expresión para el módulo de un vector en función de sus componentes cartesianas
También permite determinar las componentes de un vector si éstas no se conocen previamente
Por ejemplo, si se nos dice que una fuerza tiene de módulo 10 N y forma un ángulo de 60° con la vertical, tendremos que la componente vertical de la fuerza vale
4.4.5 Producto vectorial Las componentes del producto vectorial se hallan de manera análoga a las del producto vectorial, desarrollando la expresión correspondiente y sustituyendo los productos vectoriales entre los vectores de la base. El resultado es
5 Distancias 5.1 Entre dos puntos Si tenemos dos puntos P y Q, la distancia entre ellos es el módulo de su vector de posición relativo
A su vez el módulo de un vector se puede hallar a partir del producto escalar del vector por sí mismo
y usando la expresión del producto escalar en coordenadas cart esianas nos queda
5.2 De un punto a una recta Si tenemos una recta que pasa por un punto A y lleva la dirección de un vector
, sus puntos se
pueden escribir en la forma
O usando la notación del vector de posición relativo
Si ahora tenemos un punto Q no situado en la recta, la distancia de Q a la recta se mide sobre la perpendicular a ésta. Esta distancia es igual a
siendo β el ángulo que el vector de posición relativo vector director
forma con la recta (es decir, con el
). Por las propiedades del producto vectorial
Es decir, basta con tomar un punto c ualquiera de la recta (no tiene por qué ser el que está en la perpendicular) y hallar el vector de posición relativo respecto a Q. Su producto vectorial por el vector director de la recta (dividido por el módulo de éste) nos da la distancia de Q a la recta en cuestión.
