Universidad Abierta Para Adultos (UAPA)
Presentado por: Anlly Luz Pay Payano ano Paya Payano no Matricula: 16-5790 Tema: Trabao !inal Asi"natura: Matem#tica $#sica 1
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Tra b aajj a r e n á llg g eeb b ra ra c on on s is is t e e n m aan n e j ar ar r eell ac ac i on on e s n um érica s en las q ue un a o más can tid ad es so n d eess c on on oc oc id id aass . E s ta ta s c a n ntt i d aad d eess s e l la la m aan n v a r i ab ab le le s , incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. !as ex expre presio sione ness alge al gebr brai aicas cas nos permi pe rmiten ten,, por ejemp ejemplo lo,, "allar áreas y volúmenes. !ongitud de la circun#erencia $%r, donde r es el radio de la circun#erencia. &rea del cuadrado ' ( l $ , donde l es el lado d el cuadrado. )olumen del cubo ) ( a * , donde a es la arista del cubo. Expresiones algebraicas comunes El doble o duplo de un número 2 x El triple de un número 3 x El cuádruplo de un número x !a mitad de un número x ! 2 Un tercio de un número x ! 3 Un cuarto de un número x ! Un número es proporcional a $, *, +... 2x" 3x" x### Un número al cuadrado x $ Un número al cubo x % Un número par 2 x Un número impar 2x & ' os números consecutivos x ( x & '
os números consecutivos pares 2x ( 2x & 2 os números consecutivos impares 2x & ' ( 2x & 3 escomponer $+ en dos partes x ( 2 ) x !a suma de dos números es $+ x ( 2 ) x !a di#erencia de dos números es $+ x ( 2 & x El producto de dos números es $+ x ( 2!x El cociente de dos números es $+ x ( 2 * x
Variables Una variable es aquello que varía o puede variar, es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Este conjunto es denominado conjunto universal de la variable o universo de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable. Si X es una variable del universo {2, 4, , !", entonces, # puede tener cualquiera de dic$os valores, es decir, que puede ser reempla%ada por cualquier n&mero par menor a '. (os t)rminos dependiente e independiente los utili%aremos para representar una relaci*n de causalidad entre dos variables. (a relación de causalidad se refiere a lo si+uiente Si tenemos dos variables, el valor de la variable dependiente depende del valor de la variable independiente, es decir, la variable independiente determinar- el valor de la variable dependiente. Veamos un ejemplo:
enemos la variable X que representa el n&mero de man%anas cosec$adas en un día y la variable / que representa el n&mero de trabajadores que cosec$an las man%anas.
(ue+o tenemos la ecuaci*n
.
En este ejemplo, el valor de la variable X, es decir, el n&mero de man%anas cosec$adas en un mes, depende del valor de la variable /, es decir, del n&mero de trabajadores que cosec$an las man%anas. 0eemplacemos la variable Y por los valores 1 y 2. Si / es 1, es decir, si tenemos un solo trabajador, el n&mero de man%anas cosec$adas serde 233 # 1 5 1 6 231 man%anas. Si / es 2, es decir, si a$ora en ve% de un trabajador, tenemos dos, el n&mero de man%anas cosec$adas ser- de 233 # 2 5 1 6 431 man%anas. 7omo te $abr-s dado cuenta, el n&mero de man%anas cosec$adas depende del n&mero de trabajadores que las cosec$en, a mayor n&mero de trabajadores, mayor es el n&mero de man%anas cosec$adas. En este primer ejemplo estamos frente a una proporcionalidad directa , ya que, al aumentar una variable, aumenta tambi)n la otra y al disminuir la primera, disminuye la se+unda.
Términos Son aquellos t)rminos que tienen las mismas variables y )stas tienen los mismos e#ponentes, sin importar cu-l es su coeficiente. Ejemplos 2#2y8 es semejante a 9 2 8#2y8 :8#;y es semejante a 2y#; 4#y1<2 es semejante a 9 2 8y1<2# 4#2y no es semejante a 8#y2 =ara que dos t)rminos sean semejantes, deben ser del mismo +)nero de suma, por ejemplo 2 man%anas y 4 man%anas son semejantes, de $ec$o se pueden reducir 2 man%anas 5 4 man%anas 6 man%anas >e i+ual manera, 8?2 y ;?2 son t)rminos semejantes, tambi)n se pueden sumar
8?2 5 ;?2 6 !?2 =ero 8 peras y 2 pi@as, no son t)rminos semejantes. 0educci*n de t)rminos semejantes >ebido a que los t)rminos semejantes, entre ellos, son +)neros de suma i+uales, pueden sumarse o restarse unos con otros, basta operar sumar o restar a los coeficientes de los mismos. Se llama reducir t)rminos semejantes a sumarlos o restarlos se+&n cada caso. (os t)rminos no semejantes, no pueden sumarse ni restarse. EX=(A7B7ACD )rminos semejantes son los q t& ves o identificas las mismas cosas # decirlo así si lo quieres matem-ticas y est-s viendo factori%aci*n 2#y y 8#y son semejantes ya que tienen las mismas variables. arriba te daba el ej de las man%anas, los t)rminos semejantes es como estar $ablando de un solo cosa entiendes ED matem-ticas esto te facilita muc$o $acer operaciones, ya que si #ej tienes 2#F258#F26;#F2 SC(C AEDES G SUHB0 DC0HB(HEDE el resto queda 6 ya que es semejante si tienes dos man%anas y tres pi@as no las puedes sumar, es decir son como t)rminos con las mismas variables.
ELEMENTOS DE UN TÉRMINO En todo t)rmino debemos distin+uir los si+uientes elementos El si+no. Un t)rmino puede ser positivo 5 o ne+ativo 9 . Dota. 7uando un t)rmino es positivo, no es necesario colocarle el sin+o m-s 5 si es el &nico o est- al comien%o de una e#presi*n al+ebraica. El coeficiente. 7orresponde al n&mero que multiplica la letra o las letras. Ejemplos. Amportante. 7uando un t)rmino no tiene un coeficiente escrito, se debe sobreentender que es 1 uno. (a parte literal. 7orresponde a las letras del t)rmino con sus respectivos e#ponentes. Amportante. 7uando una letra no tiene e#ponente se sobreentiende que dic$o e#ponente es uno 1.
El +rado. El +rado de un t)rmino puede ser absoluto o relativo.
Grado de un término Irado de un t)rmino El +rado de un t)rmino es la suma de todos los e#ponentes de todos los factores literales. =ara mencionar el +rado que pertenece una e#presi*n al+ebraica se sumaran los e#ponentes de cada uno de los t)rminos y el mayor ser- el +rado al que pertene%ca la e#presi*n al+ebraica. Ejemplo ;ab26 1526 86 +rado 0educci*n de t)rminos semejantes JEn qu) consiste la reducci*n de t)rminos semejantes 0educir los t)rminos semejantes si+nifica sumar o restar los coeficientes num)ricos en una e#presi*n al+ebraica, que ten+an el mismo factor literal. =ara desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o se restan los coeficientes num)ricos y se conserva el factor literal Ejemplo 8a2 5 2a2 6 ;a2 JGu) es un t)rmino semejante Son todos aquellos t)rminos que tienen i+ual factor literal, se decir, a aquellos t)rminos que tienen i+uales letras símbolos literales a i+ual e#ponente Ejemplo 2#2y8 es semejante a 9 122 8KL # 2y8
Clases de Expresiones l!ebraicas
Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término, en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Partes de un monomio Coeficiente El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. Parte literal La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables
Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos. P(x) !x"! # $x
Binomio al cuadrado Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término m%s, o menos, el doble producto del primero por el segundo m%s el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b 2 (x # $)! x ! # ! & x &$ # $ !
x ! # ' x #
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b 2
(!x $)! (!x)! # ! & !x & $ # $ ! *x! # +! x #
Binomio al cubo Un binomio al cubo es igual al cubo del primero m%s, o menos, el triple del cuadrado del primero por el segundo m%s el triple del primero por el cuadrado del segundo m%s, o menos, el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b 2 + b3 (x # $)$ x $ # $ & x! & $ # $ & x& $ ! # $$
x $ # x! # !x # !
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b 2 − b3
(!x $)$ (!x)$ $ & (!x)! &$ # $ & !x& $ ! $$ -x $ $' x! # * x !
Binomio de Newton /a fórmula que nos permite 0allar las potencias de un binomio se conoce como binomio de 1e2ton.
/os coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima deltri%ngulo de 3artaglia.
4n el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero5 y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que lasuma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n. 4n el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.
Trinomio Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos. P(x) !x"! # $x #
Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, m%s el cuadrado del seguno, m%s el cuadrado del tercero, m%s el doble del primero por el segundo, m%s el doble del primero por el tercero, m%s el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c (x! 6 x # +)! (x!)! # (x)! # +! #! & x! & (x) # ! x! & + # ! & (x) & +
x* # x! # + !x $ # !x! !x x* !x$ # $x! !x # +
Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o m%s monomios. Un polinomio es una expresión algebraica de la forma7 P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + + a1 x1 + a!
8iendo an, an + ... a+ , ao números, llamados coeficientes. •
n un número natural.
•
x la variable o indeterminada.
•
an es el coeficiente principal.
•
ao es el término independiente.
"rado de un #olinomio 4l grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada lavariable x. •
Polinomio de $rado cero P(x) !
•
Polinomio de #rimer $rado P(x) $x # !
•
Polinomio de %e$undo $rado P(x) !x!# $x # !
•
Polinomio de tercer $rado
P(x) x$ 6 !x!# $x # !
•
Polinomio de cuarto $rado
P(x) x* # x$ 6 !x!# $x # !
"olinomio un polinomio es una e#presi*n matem-tica constituida por una suma finita de no determinados o productos entre variables valores desconocidos y constantes n&meros fijos llamados coeficientes . (as variables pueden tener e#ponentes de valores definidos naturales incluido el cero y cuyo valor m-#imo se conocer- como +rado del polinomio. En t)rminos m-s simples, un polinomio es una suma de monomios.
Grado de un polinomio
El gra+o de un polinomio -x/ es el ma(or exponen,e al que se encuentra elevada la -ariable x. Polinomio de grado cero
-x/ ( $ Polinomio de primer grado
-x/ ( *x 0 $ Polinomio de segundo grado
-x/ ( $x $ 0 *x 0 $ Polinomio de tercer grado
-x/ ( x * 1 $x $ 0 *x 0 $ Polinomio de cuarto grado
-x/ ( x + 0 x * 1 $x $ 0 *x 0 $
#nterpretación de expresiones al!ebraicas
J=ara qu) sirven las e#presiones al+ebraicas
(as e#presiones al+ebraicas sirven para indicar pasos a se+uir, te dicen que $acer multiplicar, sumar, restar, dividir, etc. 7omo debes de interpretarlas es utili%ando variables como pueden ser literales X, /, M, etc. Ejemplo 0epartir N833 entre alma, patricia, y /adira de modo que la parte de patricia sea el doble que la de alma y la de /adira sea el triple de la de Bna. Bquí
a
partir
de
ese
problema
lo
interpretamos
de
la
si+uiente
manera
enemos N833 los cuales deben ser repartidos entre 8 personas en cantidades diferentes, pero la suma de estas nos dar-n los N833 pesos entonces se puede decir que Blma tiene una cantidad X de dinero, patricia tiene el doble de alma 2X y /adira el triple 8X
Crden de un =olinomio (os polinomios se pueden ordenar de forma ascendente y de forma descendente. Un polinomio est- or+ani%ado de forma descendente con relaci*n a una letra, cuando se inicia con el t)rmino que tiene mayor +rado con relaci*n a dic$a letra y si+ui)ndole los dem-s t)rminos en forma descendente con relaci*n al +rado. 7uando se inicia con el t)rmino de menor +rado relativo a la letra y termina en el mayor +rado, decimos que el polinomio est- or+ani%ado de forma ascendente.
El t)rmino principal es aquel que tiene mayor +rado con relaci*n a la variable que est- or+ani%ado el polinomio. En este caso 4# 8, el cual podemos llamar t)rmino c&bico, por estar elevada la variable a 8. 2#2, t)rmino cuadr-tico. :#, t)rmino de primer +rado o lineal, cuando el e#ponente de la variable es 1. ;, t)rmino constante, cuando no aparece la variable considerada.
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los valores numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.
Ejemplo Resuelve 2a2bc3, cuando a=2, b=3 y c= 2!2"2 !3" !"3 = 2!#" !3" !" = 2# ⋅
⋅
⋅
⋅
Ejemplo $valuar
,
cuando b=% y x=2
Ejemplo $valuar
cuando a=, b=2, y=# y x=3.
Ejemplo Resuelve
para x =3.
Ejemplo Resuelve
para x=2 y=3.
Ejemplo $valuar
cuando
w =
&#.2
z =
3.'
Términos semejantes
(os t)rminos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal, o dic$o de otra forma aquellos que ten+an las mismas letras y con i+ual e#ponente. Ejemplo a2 y ;a2 son t)rminos semejantes, adem-s O4a2 y 8;a2 tambi)n son t)rminos semejantes, pues su parte literal es decir a2 es la misma. Bl+unos ejemplos m-s 8ab2 y O!8ab2, a8bm51 y O!a8bm51, etc. En estos casos las parejas de t)rminos tienen t)rminos semejantes, la primer pareja tiene a ab2 como t)rmino semejante y en la se+unda pareja lo es a8bm51. El $ec$o de que ten+amos t)rminos semejantes en una e#presi*n al+ebraica nos permite reducir dic$os t)rminos $aciendo las operaciones que sean posibles entre ellos. Ama+inemos
que
tenemos
la
si+uiente
e#presi*n
al+ebraica
O!a8b;58a8b;5a8b; Si queremos reducirla tendremos que reali%ar las operaciones que se nos piden. Es decir sumas y restas. Es mas f-cil si la reacomodamos de la si+uiente forma 8a8b;5a8b;O!a8b; B$ora para reducir t)rminos semejantes tendremos que operar con los coeficientes de cada t)rmino. (os coeficientes en cada t)rmino son 8,1 y :! respectivamente. B$ora vamos a sumar todos los coeficientes y al final a+re+ar la parte literal. 8515O!64O!6O4 y a+re+amos la parte literal Pa8b;P, el resultado final es 8a8b;5a8b;O!a8b;6O4a8b;
dición de expresiones al!ebraicas Una suma al+ebraica es una operaci*n matem-tica donde intervienen la suma y la resta, como por ejemplo en 119451892O58Q cada n&mero de la suma separado por un si+no m-s o un si+no menos se denomina t)rmino. =or ejemplo 25264 (os t)rminos precedidos por el si+no m-s si+uiendo con el ejemplo anterior 11, 18, 8 se llaman t)rminos positivos y los t)rminos precedidos por el si+no menos O4, O2, O se llaman t)rminos ne+ativos. =ara resolver una suma al+ebraica, se suman los t)rminos positivos y se le resta la suma de los t)rminos ne+ativos. Si la resta no puede reali%arse, se invierten el minuendo y el sustraendo y a la diferencia se le antepone el si+no menos.
$ustracción %e Expresiones l!ebraicas 0esta 0esta es uno de los cuatro principios b-sicos aritm)tica operaciones, Es la inversa de Bdem-s, (o que si+nifica que si comen%amos con cualquier n&mero y a@adir el n&mero a continuaci*n, resta el mismo n&mero que a+re+*, re+resamos a la cantidad que empe%amos. 0esta se denota por un si+no menos en notaci*n infijo. (os nombres tradicionales de las partes de la f*rmula c O b 6 una se minuendo R O sustraendo b 6 diferencia una. (as palabras minuendoT y sustraendoT son poco comunes en el uso moderno.1V En su lu+ar, decir que c y :W son t)rminos y tratar la resta como suma de la inverso aditivo. (a respuesta es que todavía se llama el diferencia. 0esta se utili%a para modelar cuatro procesos relacionados con 1. >e una colecci*n dada, para llevar restar un n&mero determinado de objetos. =or ejemplo, ; man%anas menos 2 man%anas $ojas 8 man%anas. 2. >esde una medici*n dada, para llevar una cantidad medida en las mismas unidades. Si yo peso 233 libras, y perder 13 libras, entonces pesa 233 : 13 6 1'3 libras. 8. 7omparar dos cantidades como para encontrar la diferencia entre ellos. =or ejemplo, la diferencia entre N !33 y N 33 es de N !33 : N 33 6 N 233. ambi)n conocido como resta comparativa. 4. =ara encontrar la distancia entre dos lu+ares a una distancia fija desde el punto de partida.
&ultiplicación de expresiones al!ebraicas Ley de signos: el resultado es ne+ativo si la cantidad de factores ne+ativos es
impar, de lo contrario es positivo. 5 5 6 5 : : 6 5 5 : 6 : : 5 6 : Ley de exponentes: el producto de dos o m-s potencias de la misma base es
i+ual a la base elevada a la suma de las potencias. #m #n 6 #m 5 n Ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto
# % y 6 y % # 6 % # y 6 #y% =ero en el -l+ebra se obedece tambi)n la ley de los coe'icientes . (ey de los coe'icientes el coeficiente del producto de dos o m-s e#presiones
al+ebraicas es i+ual al producto de los coeficientes de los factores. 4# ;y 6 4 ; # y 6 23#y
&ultiplicación de monomios: Se le llama multiplicaci*n de monomios a la
multiplicaci*n de un solo t)rmino por otro t)rmino.
)e!las: • • • •
Se multiplica )l termino del multiplicando por )l termino del multiplicador. Se suman los e#ponentes de las literales i+uales. Se escriben las literales diferentes en un solo t)rmino resultado. Se coloca el si+no de acuerdo con las re+las de los si+nos vistas anteriormente. 7uando e#isten multiplicaci*n m-s de dos monomios resulta sencillo multiplicar uno a uno los factores para obtener el resultado.
%i*isión de expresiones al!ebraicas
)epaso de conceptos
Una e#presi*n al+ebraica es aquella en la que se utili%an letras, n&meros y si+nos de operaciones. =or ejemplo, Suma de cuadrados a 2 + b 2 riple de un n&mero menos doble de otro ,x - 2y Suma de varias potencias de un n&mero a + a , + a 2 + a (as e#presiones al+ebraicas se clasifican se+&n su n&mero de t)rminos. Clases de expresiones al!ebraicas:
1. Si una e#presi*n al+ebraica est- formada por un solo t)rmino se llama monomio. Ejemplo ,ax 2 2. Si la e#presi*n al+ebraica tiene varios t)rminos se llama polinomio . 8. 7uando un polinomio esta formado por dos t)rminos se llama binomio . Ejemplo 2x 2 + ,xy 4. 7uando un polinomio esta formado por tres t)rminos se llama trinomio . Ejemplo /x 2 + y / 0 x 2 y %i*isión de monomios
=ara dividir monomios se resta los e#ponentes de las potencias de misma base si+uiendo la ley de los e#ponentes
Ejemplo
%i*isión de un polinomio por un monomio
=ara dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los t)rminos del dividendo entre el t)rmino del divisor. (a potenciación es una operaci*n matem-tica entre dos t)rminos n denominados base a y e#ponente n. Se escribe a y se lee usualmente como Ya elevado a nZ o Ya elevado a la nZ y el sufijo en femenino correspondiente al e#ponente n. [ay al+unos n&meros especiales, como el 2, al cuadrado o el 8, que le corresponde al cubo . D*tese que en el caso de la potenciaci*n la base y el e#ponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente +eneral la base ser- un elemento del anillo pero el e#ponente ser- un n&mero natural que no tiene porqu) pertenecer al anillo. En un cuerpo el e#ponente puede ser un n&mero entero.
"otencia de un binomio Se trata de buscar una re+la +eneral para elevar un binomio a cualquier e#ponente. enemos, por tanto
Si queremos buscar la cuarta potencia
=ara ver si todos estos desarrollos si+uen al+una re+la +eneral, vamos a poner sus coeficientes como n&meros combinatorios.
