UNIVERSIDAD HISPANOAMERICANA SEDE HEREDIA
TRABAJO FINAL
CARRERA, INGENIERIA INDUSTRIAL CURSO, INVESTIGACIÒN DE OPERACIONES I PROFESOR: MAURICIO CERNAS
ESTUDIANTES: JUAN PABLO GODÌNEZ ELIAS GONZALEZ FECHA DE ENTREGA, 03 DE MAYO DE 2010.
INDICE INDICE....................................................................................................... ............................................................................................................... ........... ... 2 EJERCICIO 1................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 3 EJERCICIO 2................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 4 EJERCICIO 3................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 5 EJERCICIO 4................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 7 EJERCICIO 5................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 8 EJERCICIO 6................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 9 EJERCICIO 7............................................................................................... ...................................................................................................... .......11 11 EJERCICIO 8............................................................................................... ...................................................................................................... .......13 13 EJERCICIO 9............................................................................................... ...................................................................................................... .......16 16 EJERCICIO 10.............................................................................................. .................................................................................................... ......18 18 EJERCICIO 11.............................................................................................. .................................................................................................... ......19 19 EJERCICIO 12.............................................................................................. .................................................................................................... ......21 21 EJERCICIO 13.............................................................................................. .................................................................................................... ......24 24 EJERCICIO 14.............................................................................................. .................................................................................................... ......26 26 EJERCICIO 16.............................................................................................. .................................................................................................... ......27 27 EJERCICIO 17.............................................................................................. .................................................................................................... ......29 29 EJERCICIO 18.............................................................................................. .................................................................................................... ......30 30 EJERCICIO 19.............................................................................................. .................................................................................................... ......32 32 EJERCICIO 20.............................................................................................. .................................................................................................... ......33 33 EJERCICIO 21.............................................................................................. .................................................................................................... ......34 34 EJERCICIO 22.............................................................................................. .................................................................................................... ......36 36 EJERCICIO 23.............................................................................................. .................................................................................................... ......37 37
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INDICE INDICE....................................................................................................... ............................................................................................................... ........... ... 2 EJERCICIO 1................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 3 EJERCICIO 2................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 4 EJERCICIO 3................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 5 EJERCICIO 4................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 7 EJERCICIO 5................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 8 EJERCICIO 6................................................................................................ ........................................................................................................ ........ 9 EJERCICIO 7............................................................................................... ...................................................................................................... .......11 11 EJERCICIO 8............................................................................................... ...................................................................................................... .......13 13 EJERCICIO 9............................................................................................... ...................................................................................................... .......16 16 EJERCICIO 10.............................................................................................. .................................................................................................... ......18 18 EJERCICIO 11.............................................................................................. .................................................................................................... ......19 19 EJERCICIO 12.............................................................................................. .................................................................................................... ......21 21 EJERCICIO 13.............................................................................................. .................................................................................................... ......24 24 EJERCICIO 14.............................................................................................. .................................................................................................... ......26 26 EJERCICIO 16.............................................................................................. .................................................................................................... ......27 27 EJERCICIO 17.............................................................................................. .................................................................................................... ......29 29 EJERCICIO 18.............................................................................................. .................................................................................................... ......30 30 EJERCICIO 19.............................................................................................. .................................................................................................... ......32 32 EJERCICIO 20.............................................................................................. .................................................................................................... ......33 33 EJERCICIO 21.............................................................................................. .................................................................................................... ......34 34 EJERCICIO 22.............................................................................................. .................................................................................................... ......36 36 EJERCICIO 23.............................................................................................. .................................................................................................... ......37 37
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EJERCICIO 1 Gasa Gasaho hol,l, Inc. Inc. Tien Tiene e 1400 14000 0 galo galone ness de una una mezc mezcla la de gaso gasolin lina a y alco alcoho holl almacenada en su instalación de Fresno y 16000 galones almacenados en su instalación de Bakersfield. Desde estas instalaciones, Gasahol debe proveer a Fresh Food Farms (FFF) 10000 galones y a American Growers (AG) 20000 galones. El costo de embarcar un galón desde cada instalación de almacenado a cada cliente es:
DE Fresno Bakersfield
HACIA FFF $0.04 $0.05
HACIA AG $0.06 $0.03
Form Formul ule e un mode modelo lo de prog progra rama maci ción ón line lineal al para para dete determ rmin inar ar el plan plan de embarq embarque ue de costo costo mínimo mínimo que satisfa satisfaga ga las restric restriccio ciones nes de provis provisión ión y demanda. Planteo Gráfico: FRFFF Fresh Food Farms (FFF) Fresno (FR) FRAG Bakersfield (BK) BKFFF BKAG American Growers (AG) Variables de Decisión: 3
FRFFF: Cantidad de galones para proveer de Fresno a Fresh Food Farms. FRAG: Cantidad de galones para proveer de Fresno a American Growers. BKFFF: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a Fresh Food Farms. BKAG: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a American Growers. Restricciones de no negatividad: FRFFF, FRAG, BKFFF y BKAG >= 0. Restricciones de Disponibilidad: FRFFF + BKFFF >= 10000 FRAG + BKAG >= 20000 FRFFF + FRAG <= 14000 BKFFF + BKAG <= 16000 Función Objetivo: Min = [ ( FRFFF * 0.04 ) + ( FRAG * 0.06 ) + ( BKFFF *0.05 ) + ( BKAG * 0.03) ]
EJERCICIO 2 HealthNut Company esta desarrollando una nueva barra de mantequilla de cacahuate y chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas, pero no más de 5 gramos de carbohidratos y 3 gramos de grasas saturadas. Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad de cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo total mínimo, basándose en los siguientes datos: Costo ($/oz) Proteínas (g/oz) Carbohidratos (g/oz) Grasas saturadas (g/oz) 4
Mantequilla de cacahuate 0.10 4.00 2.50 2.00
Chocolate 0.18 0.80 1.00 0.50
Variables de Decisión: M: onzas (peso) de mantequilla de chocolate por barra. C: onzas de chocolate por barra. Restricciones de no negatividad: M >=0 ; C >=0. Restricciones de cantidad: Proteínas: Carbohidratos: Grasas saturadas: Función Objetivo:
4 * M + 0.8 * C >= 5 2.5 * M + 1 C <= 5 2 * M + 0.5 * C=3 Min = [ ( M * 0.10 ) + ( C * 0.18 ) ]
EJERCICIO 3 HealthNut Company tiene una máquina que muele semillas de Psyllium hasta producir un polvo fino a una velocidad de 30 lb por hora. La compañía también usa la máquina para hacer crema de cacahuate con cacahuates tostados a una velocidad de 60 lb por hora. El tiempo de fijación para cambiar la máquina de un producto al otro es despreciable. La demanda mensual y los costos de mantenimiento de inventario de cada producto se muestran en la tabla siguiente: DEMANDA (lb) Crema de cacahuate Mayo 400 Junio 450 Julio 500
COSTOS DE MANTENIMIENTO($/lb) Psyllium Crema de cacahuate Psyllium 600 0,10 0,05 700 0,10 0,05 650 0,12 0,05
El inventario inicial para cada producto a principios de mayo es 0 y también debe ser 0 a finales de julio. En ningún momento el inventario de Psyllium puede exceder las 1.000 libras ni el mantequilla de cacahuate las 500 libras. Asimismo, cada mes hay 20 hs. de tiempo de máquina disponible. Formule un programa lineal para determinar un plan de producción para los mese de mayo, junio y julio que minimice los costos totales de almacenamiento, suponiendo que satisface la demanda al final de cada mes y que los costos de 5
mantenimiento de existencia se basan en la cantidad del inventario a principios del mes. Variables de Decisión:
Ipi = Cantidad de libras de mantequilla de cacahuate en inventario al inicio de cada mes i =1,2,3,4 Isi = Cantidad de libras de psylium en inventario al inicio de cada mes i = 1,2,3,4 Ppi = Cantidad de libras de mantequilla de cacahuate a producir cada mes i= 1,2,3 Psi = Cantidad de libras de semilas de psylium a producir cada mes i= 1,2,3 Restricciones de no negatividad:
Ipi, Isi,Ppi,Psi >= 0 para i >= 1,2,3,4 Restricciones de Equilibrio de Inventario: Ip1 = 0 Is1 = 0 Ip4 = 0 Is4 = 0 -Ip1 + Ip2 – Pp1 + 400 = 0 -Is1 + Is2 – Ps1 + 600
=0
-Ip2 + Ip3 – Pp2 + 450 = 0 -Is2 + Is3 – Ps2 + 700
=0
-Ip3 + Ip4 – Pp3 + 500 = 0
6
-Is2 + Is4 – Ps3 + 650
=0
Restricciones de Producción / Tiempo:
0.01667 * Pp1 + 0.0333 * Ps1 =< 20 0.01667 * Pp2 + 0.0333 * Ps2 =< 20 0.01667 * Pp3 + 0.0333 * Ps3 =< 20 Restricciones de Capacidad de Inventario:
Ip1=< 500 Ip2 =< 500 Ip3 =< 500 Ip4 =< 500 Is1 =< 1000 Is2 =< 1000 Is3 =< 1000 Is4 =< 1000
Función Objetivo: Min = ( 0.05* Is1 + 0.05*Is2 + 0.05 *Is3)
EJERCICIO 4 En Explosives, Inc. se mezclan azufre, carbón y salitre para producir pólvora. El producto final debe contener al menos 10%, pero no más de 20%, de carbón 7
por unidad de peso. La cantidad de salitre no puede exceder el 50% de la cantidad de carbón usado. Para evitar una explosión accidental, la suma de 50% del azufre más 60% del carbón más 30% del salitre usados no puede exceder el 35% del producto final. El azufre es con mucho el componente más caro. Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ingrediente que debe utilizarse para producir cada libra de pólvora que satisfaga las restricciones y, a la vez, que requiera la menor cantidad de azufre. Variables de Decisión:
A: porcentaje de azufre a utilizar para producir una libra de pólvora. C: porcentaje de carbón a utilizar para producir una libra de pólvora. S: porcentaje de salitre a utilizar para producir una libra de pólvora. Restricciones de no negatividad:
A,B,C y D >= 0. Función Objetivo:
MIN = C.
EJERCICIO 5 Cada semana, Florida Citrus, Inc., usa una sola maquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y de toronja en concentrados almacenados en dos tanques separados de 1000 galones antes de congelarlos. La maquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero solo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6.00 por galón. Cada galón de jugo de toronja cuesta $2.00 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de toronja se vende después en $8.00 por galón.
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Formule un modelo de programación lineal para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana usando las variables: JN = el número de galones de jugo de naranja por utilizar esta semana. JT = el número de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana. Variables de Decisión: JN: número de galones de jugo de naranja por utilizar esta semana. JT: número de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana. Restricciones de no negatividad: JN Y JT >= 0 Restricciones de producción: JN/25 + JT/20 <= 150 JN - 0.3 JN <= 1000 JT - 0.25 JT <= 1000 Función Objetivo:
MAX = [ ( 2.7 * JN ) + ( 4 * JT) ]
EJERCICIO 6 Oklahoma Oil, Inc., debe transportar 100000 barriles de cada uno de sus tres campos petroleros a su tanque de almacenamiento en Oklahoma City. El petróleo puede transportarse en camiones directamente de los campos al tanque de almacenamiento a un costo de $0.03 por barril por milla. Hasta 150000 barriles de petróleo también pueden enviarse desde los campos mediante ductos a un eje central en Tulsa a un costo de $0.02 por barril por milla y luego transportarse en camiones a Oklahoma City por $1 por barril.
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Formule un modelo para determinar el plan de embarque de costo mínimo, dadas las siguientes distancias en millas:
DESDE Campo petrolero 1 Campo petrolero 2 Campo petrolero 3
HACIA OKLAHOMA 150 170 190
TULSA 50 65 80
Planteo gráfico: C1O Campo petroleo1 Oklahoma C1T Campo petroleo2 C2O C2T Tulsa C3O Campo petroleo3 C3T Variables de Decisión: C1O: cantidad de barriles a transportar desde el campo petroleo1 hacia Oklahoma.
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C2O: cantidad de barriles a transportar desde el campo petroleo2 hacia Oklahoma. C3O: cantidad de barriles a transportar desde el campo petroleo3 hacia Oklahoma. C1T: cantidad de barriles a transportar desde el campo petroleo1 hacia Tulsa. C2T: cantidad de barriles a transportar desde el campo petroleo2 hacia Tulsa. C3T: cantidad de barriles a transportar desde el campo petroleo3 hacia Tulsa. Restricciones de no negatividad: C10, C20, C30, C1T, C2T y C3T >= 0 Restricciones de embarque: C1O + C1T = 100000 C2O + C2T = 100000 C3O + C3T = 100000 C1T + C2T + C3T =< 150000 C1O, C2O, C3O, C1T, C2T, C3T >= 0 Función Objetivo: Min = [(C10 * 0.03 * 150) + (C20 * 0.03 * 170) + (C30 * 0.03 * 190) + (C1T + 0.02 *50) + (C2T * 0.02*65 + C2T) + (C3T *0.02 * 80 + C3T)]
EJERCICIO 7 Cajun World mezcla seis especias para fabricar un producto para atezar pescados. La siguiente tabla proporciona el costo de cada especia y los
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porcentajes mínimos y máximos por unidad de peso que pueden usarse en el producto final: ESPECIA Cayena Pimienta negra Semillas de hinojo Polvo de cebolla Ajo Orégano
COSTO ($/gm) 0.020 0.025 0.082 0.025 0.028 0.075
MINIMO (%) 18 15 12 16 12 14
MÁXIMO (%) 20 18 14 20 15 18
Formule un programa lineal para determinar la cantidad de cada especia utilizada para producir cada kilogramo de producto que minimice el costo total. Variables de Decisión: C: porcentaje de Cayena que debo utilizar para producir 1 Kg. de producto. P: porcentaje de Pimienta negra que debo utilizar para producir 1 Kg. de producto. S: porcentaje de Semillas de hinojo que debo utilizar para producir 1 Kg. de producto. PO: porcentaje de Polvo de cebolla que debo utilizar para producir 1 Kg. de producto. A: porcentaje de Ajo que debo utilizar para producir 1 Kg. de producto. O: porcentaje de Orégano que debo utilizar para producir 1 Kg. de producto. Restricciones de no negatividad: C, P, S, PO, A y O >= 0 Restricciones de producción:
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C+P+S+PO+A+O = 1 C>=0.18 C <= 0.2 P <= 0.15 P <= 0.18 S <= 0.12 S <= 0.14 PO <= 0.16 PO <= 0.2 A <= 0.12 A <= 0.15 A <= 0.14 A <= 0.15 Función Objetivo: MIN = [ ( 0.02 * C ) + ( 0.025 * P ) + ( 0.082 * S ) + ( 0.025 * PO ) + ( 0.028 * A ) + ( 0.075 * O ) ]
EJERCICIO 8 Incredible Indelible Ink Company mezcla tres aditivos A1, A2 y A3 a una base en diferentes proporciones para obtener diferentes colores de tinta. La tinta roja se obtiene mezclando A1, A2 y A3 en la proporción de 3,1, 2; la tinta azul en la proporción de 2, 3, 4 y la tinta verde en la proporción de 1, 2, 3. Después de mezclar estos aditivos, se añade una cantidad igual de base para cada color:
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La compañía actualmente tiene 1000 galones de A1, 1500 de A2, 2000 de A3 y 4000 de base. Dado que el precio de venta por galón de cada tipo de tinta es el mismo, desarrolle un modelo para determinar cómo deberían usarse estos recursos para obtener los máximos ingresos. Variables de Decisión: R = Cantidad de galones de tinta roja producidos B = Cantidad de galones de tinta azul producidos G = Cantidad de galones de tinta verde producidos Ra1 = Cantidad de galones de aditivo A1 utilizados en tinta roja Ra2 = Cantidad de galones de aditivo A2 utilizados en tinta roja Ra3 = Cantidad de galones de aditivo A3 utilizados en tinta roja Ba1 = Cantidad de galones de aditivo A1 utilizados en tinta azul Ba2 = Cantidad de galones de aditivo A2 utilizados en tinta azul Ba3 = Cantidad de galones de aditivo A3 utilizados en tinta azul Ga1 = Cantidad de galones de aditivo A1 utilizados en tinta verde Ga2 = Cantidad de galones de aditivo A2 utilizados en tinta verde Ga3 = Cantidad de galones de aditivo A3 utilizados en tinta verde Rb = Cantidad de galones de base utilizados en la tinta roja Gb = Cantidad de galones de base utilizados en la tinta azul Bb = Cantidad de galones de base utilizados en la tinta verde Restricciones de no negatividad:
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R,B,G,Ra1,Ra2,Ra3,Ba1,Ba2,Ba3,Ga1,Ga2,Ga3,RRb,Gb y Bb >=0 Restricciones de disponibilidad: Ra1 + Ba1 + Ga1 =< 1000 Ra2 + Ba2 + Ga2 =< 1500 Ra3 + Ba3 + Ga3 =< 2000 Rb + Bb + Gb =< 4000 Ra1 – 3Ra2 = 0 2Ra2 – Ra3 = 0 Ra1 + Ra2 + Ra3 – Rb = 0 Ra1 + Ra2 + Ra3 + Rb – R = 0 3Ba1 – 2Ba2 = 0 4Ba2 – 3Ba3 = 0 Ba1 + Ba2 + Ba3 – Bb = 0 Ba1 + Ba2 + Ba3 + Bb – B = 0 2Ga1 – Ga2 = 0 3ga2 – 2Ga3 = 0 Ga1 + Ga2 + Ga3 – Gb = 0 Ga1 + Ga2 + Ga3 – Gb – G = 0 Función Objetivo:
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Max = [(R + B + G)]
EJERCICIO 9 El departamento de energía de Lilliput actualmente está en el proceso de desarrollar un plan nacional de energía para el año siguiente. Lilliput puede generar energía de cualquiera de cinco fuentes: carbón, gas natural, materiales nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo. Los datos sobre los recursos de energía, las capacidades de energía medidas en megawatt-hora(MW-hs), y los costos unitarios de generación se dan en la siguiente tabla. FUENTE DE ENERGIA Carbón Gas natural Nuclear Hidroeléctrica Petróleo
CAPACIDAD TOTAL (MW-hs) 45000 15000 45000 24000 48000
COSTO DE GENERACIÓN ($/MW-hs) 6.0 5.5 4.5 5.0 7.0
Lilliput necesita 50000 MW-hs de energía de uso doméstico, y el país tiene un compromiso para producir 10000MW-hs para exportación. Más aún, a fin de conservar los recursos de energía y proteger el ambiente, el gobierno ha aprobado las siguientes regulaciones: 1. La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la energía total generada por Lilliput; 2. Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad d las plantas de carbón; 3. Los efluentes que salen a la atmósfera no deben exceder los límites especificados en la tabla; 4. La cantidad de energía generada a partir de gas natural debe ser al menos 30% de la generada a partir de petróleo;
FUENTE ENERGIA Carbón Gas natural
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DE DIÓXIDO
MONÓXIDO DE PARTICULAS
DE AZUFRE CARBONO 1.5 1.2 0.2 0.5
DE POLVO 0.7
DESECHOS SOLIDOS 0.4
Nuclear Hidroeléctrica Petróleo 0.4 Kg máximos 75
0.1
0.2
0.7
0.8 60
0.5 30
0.1 25
permitidos
Formule un programa lineal para determinar un plan de energía de costo mínimo. Variables de Decisión: C: cantidad de energía generada de carbón medidas en megawatt-horas (MWhs). G: cantidad de energía generada de gas natural medidas en megawatt-horas (MW-hs). N: cantidad de energía generada de nuclear medidas en megawatt-horas (MWhs). H: cantidad de energía generada de hidroeléctrica medidas en megawatt-horas (MW-hs). P: cantidad de energía generada de petróleo medidas en megawatt-horas (MW-hs). Restricciones de no negatividad: C, G, N, H, P >= 0 Restricciones de disponibilidad: C <= 45000; G <= 15000; N <= 45000;
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H <= 24000; P <= 48000; C + G + N + H + P >= 60000; N <= 0.2*(C+G+N+H+P); 45000*0.8<=C; 1.5*C + 0.2*G + 0.4*P <= 75000; 1.2*C + 0.5*G + 0.1*N + 0.8*P <= 60000; 0.7*C + 0.2*N + 0.5*P <= 30000; 0.4*C + 0.7*N + 0.1*P <= 25000; G >= 0.3*P; Función Objetivo:
MIN = [ ( 6 * C ) + ( 5.5 * G ) + ( 4.5 * N ) + ( 5 * H ) + ( 7 *
P)]
EJERCICIO 10 Fresh Food Farms, tiene 50 acres de tierra en la cual puede plantar cualquier cantidad de maíz, soya, lechuga, algodón y brócoli. La siguiente tabla muestra información relevante perteneciente a la producción, el costo de plantación, el precio de venta esperado y los requerimientos de agua para cada cultivo: CULTIVO PRODUCCIÓN (Kg/acre) Maíz 640 Soya 500 Lechuga 400 Algodón 300 Brócoli 350
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COSTO ($/Kg) 1.00 0.50 0.40 0.25 0.60
PRECIO DE VENTA ($/Kg) 1.70 1.30 1.00 1.00 1.30
AGUA REQUERIDA (litros/Kg) 8.75 5.00 2.25 4.25 3.50
Para la próxima temporada, hay 100000 litros de agua disponibles y la compañía ha contratado vender al menos 5120 Kg de maíz. Formule un programa lineal para determinar una estrategia de plantación óptima para la compañía. Use el número de acres de cada cultivo para plantación como las variables de decisión. Variables de Decisión: M: acres destinados a la plantación de maíz. F: acres destinados a la plantación de frijoles de soja. L: acres destinados a la plantación de lechuga. A: acres destinados a la plantación de algodón. B: acres destinados a la plantación de brócoli. Restricciones de no negatividad: M, F,L, A y B >= 0 Restricciones de producción:
640*M >= 5120 M+F+L+A+B <= 50 5600*M+2500*F+900*L+1275*A+1225*B <= 100000 Función Objetivo:
MAX = [ ( 448 * M ) +( 400 * F ) + ( 240 * L ) + ( 225 * A )
+ ( 245 * B )]
EJERCICIO 11 La D & M POWER, fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial en compañías de servicios electrónicos: aisladores de aplicación general, de 19
aplicación especial y de alto voltaje. Cada producto pasa a través de tres operaciones de producción en la planta de la D & M: horneado, lavadolaminado y pulimiento. Solo existe disponible una máquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de producción (en unidades por hora) para cada tipo de aislador, y en cada operación se muestran en tabla Nº 02. Los costos de las materias primas asociadas con la fabricación de los aisladores son de S/.5 (aplicación general), S/.6 (aplicación especial) y S/.10 (alto voltaje). Los costos por hora de las respectivas operaciones de producción son: S/. 250 (horneado), S/. 200 (lavado y laminado), y S/.100 (pulimiento). Los precios unitarios de venta son S/. 25.00, S/. 39.75 y S/.67.50 para los tres productores respectivamente. A la compañía le gustaría asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones de manera que se maximicen las utilidades por hora.
TABLA Nº 02 Tasas de producción: D & M POWER Proceso de Fabricación Tipo de Aislador
(unidades/hora) Horneado Lavado
y Pulimient
Aplicación General 50
laminado 40
o 25
Aplicación Especial 40
20
10
Alto Voltaje
10
10
Solución: 20
25
Variables de Decisión. Xi = Número de aislador del tipo i (i: 1, 2, 3) x hora a producirse.
Tipo de Aislador A.A. A. A. Especial
A.
General 25 5
39.75 6
Voltaje 67.50 10
Horneado
250/50 = 5
250/40 = 6.25
250/25 = 10
Lav-Lam
200/40 = 5
200/20 = 10
200/10 = 20
Pulido
100/25 = 4
100/20 = 5
100/10 = 10
Precio de Venta Costo de Materiales Costo del Proceso:
Total Costo Total Ganancia
14 19 6
21.25 27.25 7.5
Alto
40 50 17.50
Función Objetivo. Máx. Z = 6X1 + 7.5X2 + 17.50X3 Sujeto a: 0.02X1 + 0.025X2 + 0.04X3
1
0.025X1 + 0.05X2 + 0.10X3
1
0.02X1 + 0.10X2 + 0.10X3 X1, X2, X3
1
0
EJERCICIO 12 MUEBLES DESK compañía, un fabricante de muebles de oficina, produce dos tipos de muebles de escritorio: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es una planta antigua opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2, que es una planta más nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo, y dado que los administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han encontrado operadores para que trabajen en los 21
dos turnos. En esos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. No se apaga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno, la tabla Nº 03 muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y los costos estándar (en soles por unidad) en cada planta. La compañía ha competido con éxito en el pasado asignado un precio de S/. 350 a los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la compañía tendrá que reducir el precio de los escritorios secretariales a S/. 250 con el objetivo de estar en posición competitiva. La compañía ha estado experimentando exceso de costos en las últimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores han fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de S/. 2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de S/. 2200. A los administradores les gustaría determinar cuál es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades.
TABLA Nº 03 Tiempo (horas) y costos (soles): Muebles Desk Compañía
Tiempos
de Costo Estándar
Producción
(soles/unidad)
(horas/unidad) Planta Planta 2
Planta
Planta 2
Escritorios
1 7.0
6.0
1 250
260
Ejecutivos
4.0
5.0
200
180
Tipos de Escritorio
Escritorios Secretariales Solución:
22
Tiempos
de Producció
Tipo de Escritorio
Costo Estándar Precio
($/unidad)
Venta
n
Presupuest
($/unida o
Ejecutivo
(horas/unidad) Planta1 Planta 2 7 6
Secretarial Tiempo Disponible
4 80
5 50
d)
($/semana)
Planta 1 Planta 2 250 260 350
2000
200
2200
180
275
(hrs/sem) Variables de Decisión. Xij = Escritorio del tipo i (i: 1, 2) a fabricarse por semana en la Planta j (j: 1, 2) i (1: Ejecutivo, 2: Secretarial) j (1:Planta 1 , 2: Planta 2) Función Objetivo. Para la Función Objetivo, es necesario calcular la utilidad para cada uno de los escritorios, en la siguiente forma: Planta 1
Planta 2
Ejecutivo
350 - 250 = 100
350 – 260 = 90
Secretarial
275 - 200 = 75
275 – 180 = 95
Máx. Z = 100X 11 + 9,000X12 + 7,500X21 + 9,500X22 Sujeto a: 1. Producción. Planta 1
7X11 + 4X21
Planta 2
6X12 + 5X22
80 50
2. Presupuesto.
23
Ejecutivo
250X11 + 260X12
Secretarial
200X21 + 180X22
2000
2200
3. No negatividad Xij
0
EJERCICIO 13 1. Un fabricante cuyo negocio es mezclar aguardiente, compra tres
grados A, B y C. los combina de acuerdo a las recetas que especifican los porcentajes máximo y mínimo de los grados A y C en cada mezcla. Estos porcentajes se dan en la tabla Nº 1. TABLA Nº 1: ESPECIFICACIONES DE MEZCLAS Mezcla Super Fuerte
Especificación No más del 60% de A
Precio por botella S/. 6.80
Fuerte
No menos del 20% de C No más del 60% de C
S/. 5.70
Menos Fuerte
No menos del 15% de A No más de 50% de C
S/. 450
La provisión de los tres grados de aguardientes básicos, junto con sus costos se presente en la tabla Nº 2. TABLA Nº 2: DISPONIBILIDAD Y COSTOS DE AGUARDIENTE Aguardiente
Máxima cantidad disponible Costo por botella
A
botellas por día 2 000
S/. 7.00
B
2 500
S/. 5.00
C
1 200
S/. 4.00
Indique como se obtiene la primera matriz en un modelo de programación lineal de una política de producción que haga máxima la ganancia.
Solución:
24
Variables de Decisión. Xij = Cantidad de aguardiente del tipo i (i: A, B, C) utilizada en la mezcla (j: 1, 2) 1: Super fuerte 2: Fuerte XA1 = Cantidad de aguardiente del tipo A utilizado en el super fuerte XB1 = Cantidad de aguardiente del tipo B utilizado en el super fuerte XC1 = Cantidad de aguardiente del tipo C utilizado en el super fuerte XA2 = Cantidad de aguardiente del tipo A utilizado en el fuerte XB2 = Cantidad de aguardiente del tipo B utilizado en el fuerte XC2 = Cantidad de aguardiente del tipo C utilizado en el fuerte Ganancia = Pv – Costo Función Objetivo. Máx. Z = 6.80 (XA1 + X B1 + X C1) + 5.70 (XA2 + XB2 + XC2) – [7 (XA1 + XA2) + 5.0 (XB1 + XB2) + 4.0 (XC1 + XC2)] Sujeto a: Disponibilidad XA1 + XA2 XB1 + XB2 XC1 + XC2 Especificaciones super fuerte XA1 X A1 + XB1 + XC1 XC1 XA1 + XB1 + XC1 Especificaciones fuerte 25
XC2 X A2 + XB2 + XC2 XA1 XA2 + XB2 + XC2
Xij
0,
i: A, B, C
j:1, 2
EJERCICIO 14 Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad, y el cinturón B es de Baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de S/. 0.40 y S/. 0.30. cada cinturón de tipo A requiere el doble de tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la compañía podría fabricar 1000 día, el abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800 cinturones diarios (A y B combinados) el cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone 400 diarias. Se tiene únicamente 700 hebillas el día para el cinturón B. establezca las ecuaciones de programación lineal para el problema.
Solución: TABLA Nº 1: GANANCIA DE CINTURONES Y DISPONIBILIDAD DE CINTURONES Tipos de cinturón
Ganancia por cinturón
Disponibilidad
A
0.4
hebillas por día 400
B
0.3
700
Variables de decisión: Xi = Número de cinturones a producirse del tipo i (i = A, B) al día Función Objetivo: Max (z) = 0.4XA + 0.3XB Restricciones sujeto a:
26
de
1. Tiempo tA = 2tB 2. Abastecimiento de cinturones 2XA + XB XA + XB
1000
800
3. Disponibilidad de hebillas XA
400
XB
700
4. No negatividad Xi
0
EJERCICIO 16 Un fabricante de laminas metálicas recibe un pedido para producir 2000 laminas de tamaño 2' x 4' y 1000 laminas de tamaño 4'x7'. Se dispone de dos láminas estándar de tamaño 10' x 3000' y otra de 11' x 2000'. El personal del departamento de ingeniería decide que los tres siguientes patrones anteriores de corte son adecuados para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio. Formule el problema como un modelo de programación lineal. Patron Nº 2
Patron Nº 1
4'
4'
2'
2'
7
7'
2'
Patron Nº 3
4'
27 2'
2'
2'
2'
2'
Solución:
Láminas 2’ * 4’ → 2000
10’ * 3000’
4’ * 7’ → 1000
11’ * 2000’
Variables de decisión: Xij = Número de patrones del tipo i (i = 1, 2, 3) utilizados en el rollo j (j = 1, 2) Función Objetivo: Min (z) = 4X11 + 0X31 + 0X22 + 4X32 Sujeto a: 1. Láminas 2’ * 4’ X11 + 5X31 + 2X 22 + 5X32
2 000
2. Láminas 4’ * 7’ X11 + 0X31 + X22 + 0X32 28
1000
3. Cantidad de patrones X11 + X31
3000/4
X22 + X32
2000/4 4. No negatividad Xij
0
EJERCICIO 17 El real hotel opera los 7 días a la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar seis horas diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2 días. Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El real hotel requiere como mínimo las horas de servicio. Lunes 150, Martes 200, Miércoles 400, Jueves 300, Viernes 700, Sábado 800 y Domingo 300. El administrador desea encontrar un plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo. Formule este problema como un modelo de programación lineal. Solución: L
Ma Mi XL
J
V
S
D
L
Ma Mi
XMa XMi XJ XV XS XD XL
29
J
V
Variables de Decisión. Xi = Numero de mucamas que inician a trabajar el día i (i: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) por 5 días. 1: Lunes, 2: Martes, 3: Miércoles, 4: Jueves, 5: Viernes, 6: Sábado, 7: Domingo Función Objetivo. Min. Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 Sujeto a: X4 + X5 + X6 + X7 + X1 X5 + X6 + X7 + X1 + X2 X6 + X7 + X1 + X2 + X3 X7 + X1 + X2 + X3 + X4 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥
≥
150/6
≥
200/6
≥
400/6
≥
300/6
≥
700/6
X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥
300/6
800/6
Xi ≥ 0 i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
EJERCICIO 18 Panificadora Nacional decide (importar) y vender harina de trigo debido a la escasez que existe actualmente en el mercado nacional. Posee una bodega con capacidad de 50,000 sacos (de 50 Kg. Cada uno). El primero de octubre tenía un inventario inicial de 10,000 sacos y $ 200,000 disponibles. El precio estimado de harina de trigo por saco para el último trimestre es el siguiente: MES
Octubre Noviembre 30
PRECIO
DE PRECIO DE VENTA
COMPRA ($)
($)
28 30
31 32
Diciembre
29
30
La harina de trigo se entrega en el mes de compra y no puede ser vendida hasta el mes siguiente. La compra y venta se hace estrictamente al contado contra entrega. La Panificadora Nacional Desea tener un inventario final de 20,000 sacos el terminar el trimestre como precaución a una posible escasez al inicio del próximo año. El gerente le solicita a usted el programa óptimo de compra y venta para el trimestre. Solución:
Io = 10000
I1
I2
I3 Io = 200000
D1
D2
D3 Variables de decisión: Yi = Cantidad de sacos de trigo a vender en el mes i (i: 1, 2, 3) Xi = Cantidad de sacos de trigo a comprar en el mes i (i: 1, 2, 3) 1: Octubre, 2: Noviembre,
3: Diciembre
Función Objetivo. Máx. Z = 31Y1 + 32Y2 + 30Y3 - 28X1 - 30X2 - 29X3 Sujeto a: Inventario I1 = 10000+X1 - Y1 I2 = I1 + X2 - Y2 20000 ≤ I2 + X3 - Y3
31
Disponibilidad del dinero D1 = 200000+31Y 1 - 28X1 D2 = D1 + 32Y2 - 30X2 D3 = D2 + 30Y3 - 29X3
Y1 ≤ 10000 Y2 ≤ I1 Y3 ≤ I3 I1 ≤ 50000 I2 ≤ 50000 I3 ≤ 50000 Xi ≥ 0;
i: 1, 2, 3
EJERCICIO 19 A un estudiante de Ingeniería de Industrial se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al estudiante S/. 50, además sabia que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de Cerveza, 10 Ginebras, 12 Whiskys y 24 Martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6 minutos por cada vaso de ginebra, 7 y 4 minutos por cada vaso de Whisky y Martini. Los precios de la bebida eran: Cerveza S/. 1 el vaso, Ginebra S/. 2 el vaso, Whisky S/. 2 el vaso, Martini S/. 4 el vaso. El estudiante pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante los 90 minutos que tenía que entender a su huésped. Logro que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de cerveza, Ginebra, Whisky y Martini, 17, 15, 16 y 7 por vaso respectivamente. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 Whiskys. ¿Cómo resolvió el estudiante el problema?
32
Solución:
Variables de Decisión. Xi = Numero de vaso del tipo i (i: 1, 2, 3, 4) 1: Cerveza 2: Ginebra 3: Whisky 4: Martini Función Objetivo. Máx. Z = 17X1 + 15X2 + 16X3 + 7X4 Sujeto a: X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 ≤ 50 X1
≤
X2
8
≤
X3
≤
10
12
15X1 + 6X2 + 7X3 + 4X4 ≤ 9 X1, X2, X3, X4, ≥ 0
EJERCICIO 20 Nestle Company está desarrollando una nueva barra de mantequilla de cacahuate y chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas por onza de mezcla pero no más de 5 gramos de carbohidratos y 3 gramos de grasas saturadas. Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad de cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo total mínimo, basándose en los siguientes datos:
33
MANTEQUILLA CACAHUATE
DE CHOCOLATE (por
onza)
Proteínas (gr.) 4.0 Carbohidratos (gr.) 2.5 Grasas saturadas 2.0
0.8 1.0 0.5
(gr.) Costo por onza
$ 0.18
$ 0.10
Solución:
Variables de Decisión. Xi = Onza de i (i: 1, 2) utilizado en una onza de mezcla 1: Mantequilla de cacahuate 2: Chocolate Función Objetivo. Máx. Z = 0.10X1 + 0.18X2 Sujeto a: 4X1 + 0.8X2
≥
5
2.5X1 + X2
≤
5(X1 + X2)
2.0X1 + 0.5X2 ≤ 3(X1 + X2) X1, X2 ≥ 0
EJERCICIO 21 La Ferguson tiene limitaciones de tiempo tanto en el Departamento de Maquinaria asi como en los Departamentos de Inspección, Prueba y ensamble.
34
La Ferguson Ingeniería S.A. fabrica válvulas de aguja, válvulas de globo y ensambla un módulo que consta de un bloque maquinado y dos válvulas de agujas. Recientemente ha obtenido un contrato para ensamblar 200 módulos. El contrato estipula que por cada módulo que deje de entregar la Ferguson tiene que pagar una multa de $ 20. El mercado para las válvulas, aguja y globo se presenta óptimo ya que la demanda de estos dos productos es bastante grande. La ganancia por unidad por cada tipo de producto es como sigue: Válvula aguja Válvula globo Módulo
$ 10.00 $ 20.00 $ 60.00
TIEMPO REQUERIDO EN EL DEPARTAMENTO DE MAQUINARIA (Minutos por unidad)
MAQUINA VALVULA AGUJA
VALVULA
BLOQUE
TIEMPO
GLOBO
MAQUINADO DISPONIBLE (minutos/semana)
Torno Fresadora
10 5
15 5
25 10
25,000 15,000
TIEMPO REQUERIDO (Minutos por unidad)
MAQUINA
VALVULA
VALVULA
AGUJA
GLOBO
MODULO
TIEMPO DISPONIBLE (minutos/semana)
Inspección 5 Ensamblaje Prueba
5 5 5
10 10 20
45,000 45,000 45,000
Solución:
Válvula aguja Válvula globo Módulo Variables de Decisión.
35
$ 10.00 $ 20.00 $ 60.00
Xi = Cantidad de productos del tipo i (i: 1, 2, 3) a fabricarse a la semana. 1: Válvula aguja 2: Válvula globo 3: Módulo Función Objetivo. Máx. Z = 10X1 + 20X2 + 60X3 Sujeto a: 10X1 + 15X2 + (25 + 2x10)X3 5X1 + 5X2 + 10X3
≤
15000
5X1 + 5X2 + 10X3
≤
45000
5X2 + 10X3
≤
45000
5X2 + 20X3
≤
45000
X3
≥
300
≤
25000
X1, X2, X3 ≥ 0
EJERCICIO 22 Un fabricante de muebles desea determinar cuántas mesas, sillas, escritorios y libreros debe fabricar para optimizar el uso de los recursos disponibles. En estos productos se utilizar dos tipos de madera diferente y tiene en existencia 1500 pies del primer tipo y 1000 pies del segundo tipo, para hacer el trabajo total cuenta con 800 horas hombre. Su pronóstico de ventas mas sus órdenes pendientes de entrega hacen necesario fabricar no más de 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y 10 libreros. Cada mesa, silla, escritorio y librero requieren 5, 1, 9 y 12 pies respectivamente del primer tipo de madera, 2, 3, 4 y 1 pies del segundo tipo de madera. Una mesa requiere 3 horas/hombre para ser fabricada, una silla requiere de 2 horas/hombre, 5 horas/hombre un escritorio y 10 horas/hombre el librero. Solución:
36
Tipo
Madera
Madera
Horas/Hombre
Utilidad
Muebles Mesas Sillas Escritorios Libreros Existencia
1 5 1 9 12 1500
2 2 3 4 1 1000
3 2 5 10 800
12 5 15 10
(pies)
Variables de decisión: Xi = Cantidad i (1, 2, 3, 4). Función Objetivo. Máx. Z = 12X1 + 5X2 + 15X3 + 10X4 Sujeto a: 5X1 + X2 + 9X3 + 12X4 ≤ 1500 2X1 + 3X2 + 4X3 +
X4 ≤ 1000
3X1 + 2X2 + 5X3 + 10X4 ≤ 800 Xi ≥ 0;
i: 1, 2, 3, 4
EJERCICIO 23 PETROPERU comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal. Cada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en siguiente cuadro: Especificaciones de manufactura y precio por barril: PETROPERU
Gasolina
Octanaje mínimo Presión máxima vapor (Kg./cm3)
(%)
Normal 37
de Precio venta (barril)
80
9
S/. 21
Extra
100
6
S/. 24
Se atizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas normal y extra. Las características de las gasolinas base se muestran en el siguiente cuadro: Características de la gasolina base: PETROPERU
Gasolina
Octanaj
Presión
base
e
vapor
de Disponibilidad máxima
Costo
por
barril
Tipo 1
108
4
32,000
S/. 22
Tipo 2
90
10
20,000
S/. 20
Tipo 3
73
5
38,000
S/. 19
PETROPERU se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000 barriles de gasolina regular por semana. No se tiene compromisos con respecto a la gasolina extra. A la compañía le gustaría determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina que maximice las utilidades Solución:
Consideraciones: 1. Se utilizan tres tipos de gasolina base de las cuales se conoce: el octanaje, presión de vapor, disponibilidad y costo por barril. 2. Para fabricar dos tipos de gasolina a comercializar y que deben cumplir ciertas especificaciones. Definición de las variables: Xij = Numero de barriles de gasolina base tipo i (i: 1, 2, 3) que se utiliza para fabricar gasolina j (j: N, E) por semana. Función Objetivo. Máx. Z = 21(X1N + X 2N + X 3N) + 24(X1E + X 2E + X3E) - [22(X1N + X1E) + 20(X2N + X2E) + 19(X3N + X3E)]
38
