Portafolios de IO

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE PRODUCCIÓN LICENCIATURA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Estudiante: Joselyne Johany Núñez Pitty

Cédula 4-762-918

Profesora: Rubiela de Quintero

Segundo Semestre

Año 2013

PORTAFOLIOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

16 de octubre de 2013

Plan de la Asignatura

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ASIGNATURA: COD. DE ASIG: CRÉDITOS: HORAS: ULTIMA REVISIÓN: COMISIÓN DE REVISIÓN: FUNDAMENTAL: CARRERA: AÑO: SEMESTRE: PRE-REQUISITO:

INVESTIGACION DE OPERACIONES ( II ) 7230 4 4 AGOSTO DE 2011 ING. IZAEL URIETA NO LIC. INGENIERIA INDUSTRIAL LIC. ING. MECANICA INDUSTRIAL IV II INVESTIGACION DE OPERACIONES I

BREVE DESCRIPCIÓN: Este curso incorpora conocimientos de Introducción a la Programación dinámica. Programación dinámica determinista. Modelos de optimización en la gestión de inventarios. Elementos de un modelo general de inventarios. Control de Inventarios. Optimización de los Modelos deterministas. Variaciones de los modelos deterministas. Modelos estocásticos de Inventario. Modelado de colas o líneas de espera. Proceso de Poisson. Introducción y definiciones básicas de teoría de colas. Modelos clásicos de colas. Introducción a la simulación. Elementos necesarios para el proceso de simular. Simulación de procesos.

Aplicación de la simulación en la toma de decisiones. Modelado de

Inventarios. Teoría de la decisión. Criterios de decisión. Decisión multicriterio. Modelos de Redes



OBJETIVO GENERAL:  Introducir modelos de decisión basados en análisis matemático o simulación, con el objetivo de tomar decisiones en situaciones de complejidad o incertidumbre, obteniendo los valores óptimos de las variables de decisión que intervienen en el modelo.  Brindar Herramientas Cuantitativas para la Toma de Decisiones.  Apoyar el proceso de Toma de Decisiones a través de la Modelación de problemas de aplicación

METODOLOGÍA  Clases Dirigidas  Solución de Casos y Problemas en Clase  Talleres en el laboratorio de computadoras para desarrollar aplicaciones a través de

softwares de la especialidad.  Aprendizaje interactivo: se enviará con anticipación material de lectura para evaluar la

comprensión del estudiante CONTENIDO: I-

PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA (10 Horas) 1. Introducción 2. Algoritmo de la Programación Dinámica 3. La Recursión de la Programación dinámica a. Cálculo hacia Adelante. b. Cálculo hacia atrás. 4. Aplicaciones de Ejemplo. 5. Regla de máximos y mínimos para intervalos continuos.


II-

MODELOS DE INVENTARIOS DETERMINISTICOS (10 Horas) 1. Modelo General de Inventario a. Costos de un Sistema de Inventario 2. Modelos de Cantidad Económica de Pedidos (EOQ) a. Modelos sin Déficit (Compra y Manufactura) b. Modelos con Déficit (Compra y Manufactura) 3. Descuento por Cantidad en Modelos EOQ a. Descuento Incremental b. Descuento Total 4. Modelo EOQ de Múltiples Artículos con Restricciones a. Limitaciones de Espacio, Capital y Número de Pedidos. 5. Modelo EOQ con Demanda Dinámica a. Compra de un artículo en N Periodos b. Programación de la Producción en N Periodos

III- MODELOS DE INVENTARIO PROBABILISTICOS (6 Horas) 1. Modelo de Revisión Continua a. Modelo probabilista de cantidad económica de pedido (EOQ) 

Modelos con demanda discreta, normal y uniforme.

2. Modelos de un periodo a. Modelos con costo de preparación y sin costo de preparación b. El caso del vendedor de periódicos. 3. Modelos de Revisión Periódica 4. Cálculo del punto de reorden y de las existencias de seguridad

IV- TEORIA DE COLAS. (6 Horas) 1. Descripción de un sistema de colas.



2. El modelo básico 3. Clasificación de los modelos de colas a. Modelo de cola simple b. Modelo múltiple de colas 4. Notación Kendall 5. Distribuciones de probabilidad a. Exponencial (markoviana) b. Degenerada (tiempos constantes) c. Erlang d. Otros Tipos de Distribución.

V- SIMULACION.

(16 Horas)

1. Introducción a la simulación discreta 2. Simulación Monte Carlo 3. Generación de variables aleatorias 4. Simulación con hoja de cálculo a. Simulación con complementos de hoja de cálculo 5. Herramientas de simulación (Flexsim, Arenas, ProModel, etc.) 6. Aplicaciones a. Líneas de espera b. Inventarios con demanda aleatoria.

VI – TEORÍA DE LA DECISIÓN Y JUEGOS (6 Horas) 1. Introducción a la Teoría de la Decisión 2. Tablas de Decisión a. Toma de Decisión bajo Certidumbre




Proceso de Jerarquía Analítica (AHP) b. Toma de Decisión bajo Incertidumbre Reglas de Decisión (Criterio Wald, Maximax, Hurwicz, Savage y Laplace) c. Toma de Decisión bajo Riesgo Reglas de Decisión Criterio del Valor Esperado Otros Criterios: Mínima Varianza con media acotada, de la Dispersión, de la Media con varianza acotada y de la Probabilidad Máxima. 3. Teoría de Juegos.

VII- - CADENAS DE MARKOV. 1. Procesos Estocásticos. a. Definición de una Cadena de Markov. 2. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. 3. Clasificación de Estados en una Cadena de Markov. 4. Tiempos de Primera Pasada. 5. Propiedades a Largo Plazo. a. Probabilidades de Estado Estable. b. Costo Promedio Esperado por Unidad de Tiempo. 6. Estados Absorbentes. a. Formulación de Problemas Físicos



BIBLIOGRAFÍA:  INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Frederick Hillier & Gerald Lieberman, Ed. McGraw Hill, 9na edición  METODOS Y MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Vol. I Juan Prawda, Ed. Limusa, 1ra edición  INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Hamdy Taha, Ed. Prentice Hall, 7ma Edición  INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Aplicaciones y Algoritmos Wayne Winston, Ed. Thomson, 4ta edición  INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES El Arte de la Toma de Decisiones Kamlesh Mathur & Daniel Solow, Ed. Prentice Hall, 1996  INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA Gould, Eppend & Schmidt Ed. Prentice Hall, 5ta. edición  METODOS CUANTITATIVOS PARA ADMINISTRACION Frederick S. Hillier & Mark S. Hillier & Gerald Lieberman, Ed. McGraw Hill, 2000  METODOS CUANTITATIVOS para los Negocios David Anderson & Dennis Sweeney & Thomas Williams, Ed. Thomson, 9 na edición  METODOS CUANTITATIVOS para los Negocios Barry Render & Ralph Stair & Michael Hanna, Ed. Prentice Hall, 9na edición  PROGRAMACION LINEAL Y FLUJO EN REDES M. Bazaraa & John Jarvis Ed. Limusa, 1992



EVALUACIÓN (SUGERIDA) Item a evaluar

Porcentaje

Parciales (3)

45

Casos *

15

Practicas, Tareas

10

Proyecto Final( semestral)

35

Total

100 %

(*) Algunos Casos representan el uso de software aplicado. Tal como, Excel (Solver), Flexsim, QMS y demás software de la especialidad. Se recomienda al menos 4 sesiones de laboratorio de uso del software incluyendo un taller de evaluación sumativa. Conocimientos Mínimos que deben tener los estudiantes al ingresar al curso: - Conocimientos básicos de programación de computadoras. - Maneja de Hojas de Cálculo Electrónicas. - Conocimiento de modelación de problemas. RECURSOS DIDÁCTICOS Se utilizarán como recursos didácticos: 

Bibliografía actualizada (libros y revistas). Estos se utilizarán como una forma de que el alumno adquiera habilidad para Sintetizar e integrar informaciones e ideas; como un medio para que conozcan distintas perspectivas y valoraciones en el área de la Investigación de Operaciones, y desarrollen una actitud de apertura hacia nuevas ideas, logrando así estimular el desarrollo de su lógica..





Software Flexsim, WinQSB, QMS, Solver de Excel, Equipamiento computacional del Laboratorio de Informática y Consultas a INTERNET (plataforma Moodle). Estos se utilizarán como una manera de contribuir a que los alumnos adquieran habilidad para usar herramientas metodológicas y tecnología importantes en esta disciplina.



Pilotos, pizarrón, retroproyector y transparencias, PC y cañón multimedia, software PowerPoint para presentar los diferentes temas de la teoría y para que los alumnos realicen sus exposiciones.



Mis metas con respecto a la asignatura Espero aprender mucho de esta materia principalmente porque es una de las materias esenciales para ser un ingeniero y es lo que hace a un ingeniero ser como tal. La investigación de operaciones, como su nombre lo dice, trata de investigar las operaciones para que, por medio de cálculos matemáticos, se tomen las mejores decisiones y obtener mejores resultados (más óptimos). Como ingenieros industriales, debemos buscar la manera de minimizar nuestros recursos y obtener mejores resultados. En particular, a mí me encanta ser buena en lo que hago, si hago algo me gusta hacerlo bien y si es posible ser la mejor en lo que hago. Como futura ingeniera industrial, a mí me gustaría aprender todo lo posible de esta materia para emplearlo tanto en mi vida (en la economía de mi hogar) como en el trabajo. Tengo muchos proyectos en mente en cuanto a lo laboral y creo que esta es una de las materias que me ayudarán a planificar mejor lo que voy a hacer visto desde el plano de las matemáticos y me ayudará a tomar decisiones por lo que mi principal meta será aprender, y aprender en serio.


Material de apoyo  Libros consultados:  INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Hamdy Taha Ed. Prentice Hall, 7ma. Edición  Métodos Cuantitativos de Render . Prentice Hall  Videos instructivos en youtube     

http://www.youtube.com/watch?v=VNmPMHJxIy8 http://www.youtube.com/watch?v=KtRUeIxBsyY http://www.youtube.com/watch?v=jb3_zvj0w_c http://www.youtube.com/watch?v=j8YWiYgxNVM http://www.youtube.com/watch?v=QjIPpskMZe0




Material dado en Clases MODELOS DETERMINÍSTICOS DE INVENTARIO CUESTIONARIO DE INVENTARIO Nombre: Joselyne Núñez Cédula: 4-762-918 1. ¿Qué es inventario? Se considera inventario cualquier recurso almacenado que se utiliza apra satisfacer una necesidad actual o futura. La materia prima, los trabajos en proceso y los bienes terminados son ejemplos de inventario. 2. ¿En qué consiste una política de inventario? Una política de inventario consiste en colocar y recibir en forma repetida pedidos (u “órdenes”) de determinados tamaños a intervalos de tiempo establecidos. 3. ¿Cuál es el objetivo de una política de inventario? El objetivo de una política de inventario es la de contestar las 2 siguientes preguntas: 1. ¿Cuánto pedir? 2. ¿Cuándo pedir? 4. ¿Cuáles son los costos relacionados a un modelo de inventario? ( ) ( ) ( ( ) (

) )

5. ¿En qué consiste un modelo de cantidad económica de pedido? El modelo de cantidad económica de pedido (EOQ) es una de las técnicas más antiguas y mejor conocidas del control de inventarios. Los primeros datos sobre su uso se remontan a un artículo de 1915 de Ford W. Harris. 6. Derive la fórmula de la cantidad óptima de pedido



√

7. ¿Cómo se calcula el ciclo de pedido?

Las características de la demanda para el modelo, permiten deducir el tiempo en el cual se presenta un ciclo de pedidos, el cual corresponde a aquel que transcurre desde el aprovisionamiento de inventario con una cantidad de pedido Q hasta que se agota completamente y es necesario volver a reaprovisionarlo en la misma cantidad. Esta variable está dada por:

En donde T representa el tiempo de ciclo de pedido, en fracción de año. 8. ¿Cómo se calcula el nivel promedio de inventario? El nivel promedio de inventario es la mitad del nivel máximo, es decir, Q/2, donde Q es la cantidad de pedidos. 9. ¿Cómo se calcula el tiempo efectivo de entrega, cuando el tiempo de entrega es menor que la longitud del ciclo? Donde, n es el entero mayor, no mayor que L es el tiempo de espera entre la colocación y recepción de pedido es el ciclo de pedido 10. ¿Qué es un punto de reorden? El punto de reorden (ROP) es el nivel de inventario en el cual debe realizarse un pedido. El ROP se expresa como: ROP = (demanda por día)x(plazo de entrega de un pedido nuevo en días) ROP = (d)x(L)



Desarrolle el ejemplo 11.2-1 del Libro de Taha Se cambian las luces de Neón en el campus de la U de A a una tasa de 100 unidades diarias. Estas luces de neón se piden en forma periódica. Cuesta $100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neón en el almacén cuesta unos $0.02 diarios. El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Determine la política óptima de inventario para pedir las luces de neón. De acuerdo con los datos de este problema, D = 100 unidades por día K = $100 por pedido h = $0.02 por unidad y por día L = 12 días Así, √

√

(

)(

)

La longitud del ciclo correspondiente es

Como el tiempo de entrega L=12 días es mayor que la longitud del ciclo debe calcular Le. La cantidad de ciclos incluidos en L es: (

)

(

)

(=10 días), se

Entonces, Le = L-n Le =12-(1)(10) Le = 2 días Entonces el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a: Le D =2 x 100 = 200 luces de neón La política de inventario para pedir luces de neón es:



“Pedir 1000 unidades cuando el inventario baja a 200 unidades” El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es: ( )

( )

( ) 11. Desarrolle problemas 1 y 2 de la pág. 433 de Taha del Conjunto de Problemas 11.2A Problema #1 En cada uno de los siguientes casos no se permiten faltantes y los tiempos de retraso entre la locación y la recepción de un pedido son 30 días. Determine la política óptima de inventario y el costo diario correspondiente. a. K = $100 h= $0.05 D=30 unidades diarias b. K = $50 h= $0.05 D=30 unidades diarias c. K = $100 h= $0.01 D=40 unidades diarias d. K = $100 h= $0.04 D=20 unidades diarias a. √

√

(

)(

)

(

)

(

)

Entonces, Le = L-n Le =30-(2)(11.55) Le = 6.90 días



Entonces el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a: Le D =6.90 x 30 = 207 unidades La política de inventario para pedir luces de neón es: “Pedir 346.41 unidades cuando el inventario baja a 207 unidades” El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es: ( )

( )

( ) b. √

√

(

)(

)

(

)

(

)

Entonces, Le = L-n Le =30-(3)(8.17) Le = 5.49 días Entonces el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a: Le D =5.49 x 30 = 164.7 unidades La política de inventario para pedir luces de neón es: “Pedir 244.95 unidades cuando el inventario baja a 164.7 unidades” El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es:



( ) ( ) ( ) c. √

√

(

)(

)

(

)

(

)

Entonces, Le = L-n Le =30-(1)(22.36) Le = 7.64 días Entonces el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a: Le D =7.64 x 40 = 305.60 unidades La política de inventario para pedir luces de neón es: “Pedir 894.43 unidades cuando el inventario baja a 305.60 unidades” El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es: ( )

( )

( )



d. √

√

(

)(

)

(

)

(

)

Entonces, Le = L-n Le =30-(1)(15.81) Le = 14.19 días Entonces el punto de reorden se presenta cuando la cantidad de inventario baja a: Le D =14.19 x 20 = 283.80 unidades La política de inventario para pedir luces de neón es: “Pedir 316.23 unidades cuando el inventario baja a 283.80 unidades” El costo diario de inventario correspondiente a la política propuesta es: ( )

( )

( )



Problema #2 Mc Burger pide una carne molida al comenzar cada semana, para cubrir la demanda semanal de 300lb. El costo fijo por pedido es de $20. Cuesta unos $0.03 por libra y por día refrigerar y almacenar la carne. a. Determinar el costo semanal inventario para política actual de pedidos b. Determine la política óptima de inventario que debería usar McBurger, suponiendo tiempo de entrega cero entre la colocación y la recepción de un pedido. c. Determine la diferencia de costos semanales entre las políticas actual y óptima de pedidos. a. ( )

( )

( ) b. √

√

(

)(

)

( )

( ) Le = 0 días

Política: “Pedir 239 lbs cuando el inventario baje a cero” c. Diferencia de costo: $5.50 - $5.20 = $1.30





SISTEMAS DE COLAS ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS En cada una de las siguientes situaciones, identifique al cliente y al servidor: Cliente

Servidor

1

aviones

Aeropuerto

2

pasajeros

Sitio de taxis

3

herramientas

Taller de maquinado

4

cartas

Oficina postal

5

Personas que se van a

Universidad

inscribir 6

casos

Cortes legales

7

caja

Supermercado

8

autos

estacionamientos

PAPEL DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL El tiempo entre llegadas a la oficina estatal de Hacienda es exponencial, con valor medio de 0.05 horas. La oficina abre a las 8:00A.M a. Escriba la distribución exponencial que describe el tiempo entre llegadas 

f(t)=20e-20t,t<0.

b. Encuentre la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina alrededor de las 8:15 A.M 

P{t> } = e-0.20(0.25)= 0.0067

c. En este momento son las 8:35 A.M. el ultimo cliente llegó a la oficina a la 8:26¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 A.M?¿de que no llegue alrededor de los 8:40 A.M?




P{t> } =1- e-0.20(0.05)= 0.63



P{t> } = e-0.20(0.083)= 0.19


d. ¿Cuál es el promedio de clientes que llegan entre 8.10 y 8.45 A.M  NACIMIENTO PURO El tiempo entre llegadas en el restaurante L&J es exponencial con media de 5 minutos. El restaurante abre a las 11:00AM determine lo siguiente: a) La probabilidad de tener 10 llegadas en el restaurante alrededor de las 11:12 A.M dado que 8 clientes llegaron a las 11:05 A.M

( )

(

)

= 0.2417

b) La probabilidad de que un nuevo cliente llegue entre las 11:28 y las 11.33 A.M, si el ultimo cliente llegó a las 11:25 A.M c)

( )

(

)

= 0.3679

MODELO DE MUERTE PURA Un taller mecánico se acaba de surtir de 10 partes de repuesto para la reparación de una máquina. La reposición de la existencia que regresa el nivel a 10 piezas ocurre cada 7 días. El tiempo entre fallas es exponencial con media de 1 día. Determine la probabilidad de la máquina permanezca descompuesta durante dos días porque no hay partes de repuestos disponibles.



MODELO DE COLAS GENERAL DE POISSON En el modelo de B&K del ejemplo 18.5-1, suponga que las tres cajas están siempre abiertas y que la operación está configurada de tal manera que el cliente vaya primero a la caja vacía. Determinar lo siguiente: a) La probabilidad de que las tres cajas estén en uso



La probabilidad de que las tres cajas estén en uso es de 0.4444

b) La probabilidad de que el cliente que llegue no tenga que esperar. 

La probabilidad de que el cliente no tenga que esperar es de 0.5556

MODELO DE UN SOLO SERVIDOR 2. Jhon Macko en la U de Ozark. Realiza trabajos peculiares para complementar sus ingresos. Las solicitudes para que realice un trabajo llegan cada 5 días, pero el tiempo etre solicitudes es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial con media de 4 días. (M/M/1): (GD/



)

¿Cuál es la probabilidad de que Jhon se quede sin trabajo?


=




= 0.8

Si Jhon gana aproximadamente $50 por trabajo, ¿cuál es su ingreso mensual promedio? $50/trabajo ($50)(0.25)(30 días)= $375.00



Si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cada uno, ¿Cuánto, en promedio, debe esperar que le paguen? Lq= wq =

=

= 3.2*$40 =$128

5- Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para servicio en su auto. Los autos llegan según una distribución de Poisson a razón de dos cada 5 minutos. El espacio el espacio en frente de la ventanilla puede acomodar a la sumo 10 autos, incluso el que se está atendiendo. Los demás autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. Determine lo siguiente: (M/M/1): (GD/

)

a) La probabilidad de que la ventanilla este ociosa



La probabilidad de que la ventanilla este ociosa es 0,403

b) La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos 

Lq= 0.8845



c) El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido 

Wq= 2,21

d) La probabilidad de que la línea de espera exceda la cantidad de 10 espacios. 

P{n>=11}= 0.0034

Conjunto de problemas 18.6C 5. Una cafetería puede acomodar un máximo de 50 personas. Los clientes llegan en una corriente Poisson a razón de 10 por hora y son atendidos (uno a la vez) a razón de 12 por hora. (M/M/1) : (GD/50/ ) a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue no coma en la cafetería porque está llena?  

P51=

(

)

= 0.0000152

b) Suponga que a tres clientes (con tiempos de llegada aleatorios) les gustaría sentarse juntos ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla su deseo? (suponga que pueden hacerse arreglos para que se sienten juntos en cuanto haya tres sillas disponibles) P47= (P48+P49+P50) =(

(

)

(

)

(

)

= 0.00006



MODELOS DE VARIOS SERVIDORES El centro de cómputo de la U de A esta equipado está con cuatro maxi computadoras idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Cada usuario es capaz de enviar un trabajo desde una terminal cada 15 minutos es promedio, pero el tiempo real entre varios es exponencial. Los trabajadores que llegan automáticamente se van a la primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por envió es exponencial con una media de 2 minutos. Calcule lo siguiente:

a) La probabilidad de que un trabajo no se ejecute de inmediato inmediatamente después de enviarlo.



La probabilidad de que no se ejecute de inmediato es de 0.6577, >K b) El tiempo promedio hasta que los resultados de un trabajo se le devuelvan al usuario.



Ws= 0,0662 c) El promedio de trabajos en espera de ser ejecutados.



Lq= 3.29 trabajos d) El porcentaje de tiempo que todo el centro de cómputo este ocioso.





P0= 0,0213 e) El promedio de computadoras ociosas.



4-(Lq-Ls)= 4-(3.29-6.62)= 0.67

Conjunto de problemas 18.6E 2. En la tienda de Eat&Gas funciona una estación de gasolina de dos bombas. El carril que conduce a las bombas puede alojar cuando mucho 3 autos, excluyendo a los que se les está dando atención. Los autos que llegan se van a otra parte si el carril está lleno. La distribución de los autos que llegan es de Poisson con media de 20 por hora. El tiempo para llenar el tanque y pagar es exponencial con media de 6 minutos. Determine lo siguiente:

a) El porcentaje de autos que buscarán servicio en otra parte. Según TORA



Debe ser la probabilidad de P5= 0.18182 b) el porcentaje de tiempo que una bomba está en uso.



P1= 0.18182



c) La utilización en porcentaje de las dos bombas.  d) La probabilidad de que un auto que llega no inicie el servicio de inmediato pero que encuentre un espacio vació en el carril. 

(p2+p3+p3)= 0.18182+ 0.0182+0.0182=0.54546 f) La capacidad del carril que garantice que la probabilidad de que ambas bombas estén ociosas es de menos 0.05 o menos.



P0<=0.05



reemplazando en esta fórmula obtenemos la siguiente tabla:

(∑

(

))-1, =1

N

5

6

7

8

9

10

Pn

0.0909

0.0769

0.0667

0.0588

0.0526

0.0476

Concluyendo entonces que la capacidad del carril ser de N>= 10 para que ambas bombas estén ociosas y se cumpla que la probabilidad sea menos de 0.05.



Programación con metas 

Variables de Holgura



Variables de diferencia (Logro de más del objetivo de la utilidad) (Logro de menos del objetivo de la utilidad)

Ejemplo# 1 Una empresa produce 2 productos (

), los 2 productos deben pasar por un proceso de

producción que implica cableado eléctrico y ensamble. Se requiere de 2 horas para cablear el producto 1 y 3 horas para el producto 2. En el área de ensamble se requiere 6 y 5 horas respectivamente para cada producto. El producto 1 reditúa $ 7.00 y el producto 2 $ 6.00. La empresa se va a mudar a otro lugar durante el periodo de producción y considera que un nivel de utilidad de 30 dólares será satisfactorio durante el periodo de ajuste. Formule el problema como un problema de programación con metas. Suponga que agregamos otras metas: 2. Utilizar por completo las horas en el departamento de cableado. 3. Evitar el tiempo extra en el departamento de ensamble. 4. Cumplir con un proveedor y producir por lo menos 7 unidades del producto 2. Desarrollo Meta1: 7 +6 +

+

=30

(Metas de utilidad)

Meta2: 2 +3 +

+

=12

(Uso del tiempo de cableado)

Meta3: 6 +5 +

+

=30

(Evitar el tiempo extra)

=7

(Compromiso con el cliente)

Meta4:

+



En este caso las prioridades van en el mismo orden que fueron dadas En la FO hay que minimizar las desviaciones FO= Resuelto en QM

Al remplazar los valores obtenidos en QM de las variables: La primera meta no se cumple ya que nos da un resultado de 36 es decir que nos pasamos por 6 de utilidad. La segunda meta no cumple ya que nos da un resultado de 18 al remplazar y este se pasa por 6 horas. La tercera meta si cumple ya que nos da el mismo valor en la igualación de 30. La cuarta meta no cumple debido a que nos da un resultado de 30 es decir que nos estamos pasando por 23 unidades del producto 2



Problemas en Clase Ejemplo# 1 Una empresa produce 2 productos (

), los 2 productos deben pasar por un proceso de

producción que implica cableado eléctrico y ensamble. Se requiere de 2 horas para cablear el producto 1 y 3 horas para el producto 2. En el área de ensamble se requiere 6 y 5 horas respectivamente para cada producto. El producto 1 reditúa $ 7.00 y el producto 2 $ 6.00. La empresa se va a mudar a otro lugar durante el periodo de producción y considera que un nivel de utilidad de 30 dólares será satisfactorio durante el periodo de ajuste. Formule el problema como un problema de programación con metas. Suponga que agregamos otras metas: 2. Utilizar por completo las horas en el departamento de cableado. 3. Evitar el tiempo extra en el departamento de ensamble. 4. Cumplir con un proveedor y producir por lo menos 7 unidades del producto 2. Desarrollo Meta1: 7 +6 +

+

=30

(Metas de utilidad)

Meta2: 2 +3 +

+

=12


Meta3: 6 +5 +

+

=30


=7


Meta4:

+

En este caso las prioridades van en el mismo orden que fueron dadas En la FO hay que minimizar las desviaciones FO=



Resuelto en QM




Problema# 2 (11.22) El director de campaña pretende utilizar 4 formas de publicidad (anuncios de TV, radio, pancartas y anuncios en periódicos). Los costos son $900 por cada anuncio de Tv, $500 por cada anuncio de radio, $600 por las pancartas y $180 por cada anuncio de periódico. La audiencia alcanzada por cada costo de anuncio ha sido estimada por 40,000 personas por cada anuncio de TV, 32,000 por cada anuncio de radio, 34,000 por cada pancarta y 17,000 por cada anuncio de periódico. El presupuesto mensual es de 16,000 dólares. Se han establecido y clasificado las siguientes metas: 1) El número de personas alcanzadas debe ser por lo menos 1, 500,000. 2) El presupuesto mensual de publicidad no deberá ser excedido. 3) Juntos el número de anuncios de TV y radio deberán ser por lo menos 6. 4) No deberán ser utilizados más de 10 anuncios de cualquier tipo de publicidad. Formule, resuelva e indique cuáles metas pueden ser alcanzadas por completo y cuáles no. Programación por metas X1, X2, X3, X4 P1 40,000X1+32,000X2+34,000X3+17000X4+ P2

900X1+500X2+600X3+180X4+

P3

X1+

P4

X1

X2

X2 X3

= 1,500,00 = 16,000

+

=6

+

=10

+

=10

+

=10


X4 F.O. P1

+

P3

Resolución del problema mediante QM

=10




Problema 11.24 Geraldine Shawhan es presidente de Shawhan File Works, una firma que fabrica dos tipos de archiveros metálicos. La demanda de su modelo de dos cajones es hasta de 600 archiveros por semana; la demanda del archivero de 3 cajones está limitada a 400 por semana. La capacidad semanal de operación de Shawhan File Works es de 1300 horas y el archivero de 2 cajones requiere 1 hora para ser fabricado y el de 3 cajones requiere 2 horas. Cada modelo de 2 cajones que se vende, reditúa una utilidad de $10 y la utilidad del modelo grande es de $15. Shawhan estableció las siguientes metas en orden de importancia. 1. Alcanzar una utilidad semanal tan cerca de $11,000 como sea posible 2. Evitar la subutilización de la capacidad de producción de la firma 3. Vender tantos archiveros de 2 y 3 cajones conforme la demanda lo indique Formule este problema como un problema de programación por metas Programación por metas P1 10X1 + 15X2 + P2 X1 + 2X2 + P3 X1 X2 F.O.

= 11 000 = 1300

+

= 600

+

= 400





PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA Una forma razonable y comúnmente empleada de resolver un problema es definir o caracterizar su solución en términos de las soluciones de sub-problemas del mismo. Esta idea proporciona métodos eficientes de solución para problemas en los que los subproblemas son versiones más pequeñas del problema original. La programación dinámica es útil para resolver un problema donde se deben tomar una serie de decisiones interrelacionadas. La programación dinámica encuentra la solución óptima de un problema con n variable, descomponiéndolo en n etapas, siendo cada etapa un subproblema de una sola variable. Conviene resaltar que a diferencia de la programación lineal, el modelado de problemas de programación dinámica no sigue una forma estándar. Así, para cada problema será necesario especificar cada uno de los componentes que caracterizan un problema de programación dinámica. La solución de problemas mediante esta técnica se basa en el llamado principio de optimalidad que establece la idea de que Dado el estado actual, la decisión óptima para cada una de las etapas restantes no tiene que depender de los estados ya alcanzados o de las decisiones tomadas previamente. Esta técnica llega a una solución trabajando hacia atrás, partiendo del final del problema hacia el principio, por lo que un problema enorme e inmanejable se convierte en una serie de problemas más pequeños y manejables. La programación dinámica se utiliza tanto en problemas lineales como no lineales. PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA En este tipo de programación dinámica, el estado de la siguiente etapa está determinado por completo por el estado y la política de decisión de la etapa actual. El caso probabilístico es en el cual existe una distribución de probabilidad del valor posible del siguiente estado. Se analizará posteriormente.



NATURALEZA RECURSIVA DE LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA Los cálculos de programación dinámica se hacen en forma recursiva, ya que la solución óptima de un sub-problema se usa como dato para el siguiente sub-problema. Para cuando se resuelve el último sub-problema se obtiene la solución óptima de todo el problema. La forma en la que se hacen los cálculos recursivos depende de cómo se descomponga el problema original. En particular, los sub-problemas se vinculan normalmente mediante restricciones comunes. Al pasar de un sub-problema al siguiente se debe mantener la factibilidad de esas restricciones comunes. RECURSIÓN EN AVANCE Y EN REVERSA Se usa la recursión en avance, cuando los cálculos se hacen de la primera etapa a la última etapa; y se usa la recursión en reversa, cuando los cálculos se hacen de la última etapa a la primera etapa. Con las recursiones en avance y en reversa se obtiene la misma solución. Aunque el procedimiento en avance parece más lógico, en las publicaciones sobre programación dinámica se usa la recursión en reversa. La razón de esta preferencia es que, en general, la recursión en reversa es más eficiente desde el punto de vista computacional. ELEMENTOS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA ETAPA (n) Es el período de tiempo, lugar, fase o situación en donde se produce un cambio debido a una decisión (Xn). ESTADO (Sn) Muestra la situación actual del sistema cuando nos encontramos en la etapa n. En la terminología de la programación dinámica, a Sn se le llama estado del sistema en la etapa n. De hecho, se considera que el estado del sistema en la etapa n es la información que enlaza, conecta o vincula las etapas, de tal modo que se puedan tomar las decisiones para las etapas restantes sin volver a examinar cómo se llegó a las decisiones de las etapas anteriores. También se puede decir que por estado se quiere dar a entender la información que se necesita en cualquier etapa para tomar una decisión óptima.





VARIABLES DE DECISIÓN (Xn) Hacen referencia a toma de decisiones (o política de decisión) que se producen en una etapa y que produce un cambio en el estado actual del sistema.



FUNCIÓN RECURRENTE (Fn) Refleja el comportamiento del sistema en función de los estados y de las variables de decisión: F n (Sn, Xn). La recursión relaciona el costo o la contribución ganada durante alguna etapa con el costo o la contribución ganada en la etapa posterior de forma acumulativa.

CARACTERÍSTICAS DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA Para que un problema pueda ser resuelto con la técnica de programación dinámica, debe cumplir conciertas características: o 

El problema puede ser dividido en etapas, cada una de las cuales requiere de una política de decisión.



Cada etapa se relaciona con una cierta cantidad de etapas.



Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio.



La decisión óptima de cada etapa depende solo del estado actual y no de las decisiones anteriores.



La decisión o política de decisión tomada en una etapa determina el modo en que el estado de la etapa actual se transforma en el estado de la etapa siguiente.

Tipos de problemas que se pueden utilizar 

Ruta más corta



Volumen carga



Mochila,



Asignación de recursos



Asignación de personal



De inventarios



PROBLEMA 5. Un alumno debe seleccionar en total 10 cursos opcionales de cuatro departamentos distintos, y al menos un curso de cada departamento. Los 10 cursos se asignan a los 4 departamentos en una forma que maximiza el conocimiento. El alumno mide el conocimiento en una escala de 10 puntos, y llega a la tabla siguiente: Número de cursos Departamento

1

2

3

4

5

6

>=7

I

25

50

60

80

100

100

100

II

20

70

90

100

100

100

100

III

40

60

80

100

100

100

100

IV

10

20

30

40

50

60

70

 Este problema tiene 4 etapas y 7 estados. Variables:

Restricciones:



Etapa 1 (

1

25

2

50

3

60

4

80

5

100

6

100

7

100

)

25

1

50

2

60

3

80

4

100

5

100

6

100

7

Etapa 2 (

2

45

3

70

95

4

80

120

115

5

100

130

140

125

6

120

150

150

150

125

7

120

170

170

160

150

125

8

120

170

190

180

160

150

125

)

45

1

95

2

120

2

140

3

150

2,3,4

170

2,3

190

3



Etapa 3 (

3

85

4

135

105

5

160

155

175

6

180

180

175

145

7

190

200

200

195

145

8

210

210

220

220

195

145

9

230

230

230

240

220

195

145

)

85

1

135

1

175

3

180

1,2

200

2,3

220

3,4

240

4

Etapa 4 (

4

95

5

145

105

6

185

175

115

7

190

195

165

125

8

20

200

205

175

135

9

230

220

210

215

185

145

10

250

240

230

220

225

195

Solución optima:

155

)

95

1

145

1

185

1

195

2

210

1

230

1

250

1



Ejemplo 10.3-1 Un barco de 4 toneladas se carga con uno o más de tres artículos. La tabla siguiente muestra el peso unitario, , en toneladas, y el ingreso por unidad , en miles de dólares, para el artículo i. ¿Cómo se debe cargar el barco para maximizar los ingresos totales? Artículo i 1 2 3

2 3 1

Como los pesos unitarios valores enteros.

31 47 14

y el peso máximo W son enteros, el estado

sólo debe tener

Etapa 3 f3(x3)= máx {14m3}, máx {m3} = 4/1= 4 14m3 X3 0 1 2 3 4

m3=0 0 0 0 0 0

m3=1 14 14 14 14

m3=2 28 28 28

m3=4 42 42

Etapa 2 f2(x2)= máx {47m2 + f3 ( -3 m2), máx {m2} = 4/3= 1

X2 0 1 2 3 4

47m2 + f3( -3 m2) m2=0 m2=1 0+0=0 0+14=14 0+28=28 0+42=42 47+0=47 0+56=56 47+14=61

Solución óptima f2 (x2) m2 0 0 14 0 28 0 47 1 61 1

Solución óptima f3(x3) m3 0 0 14 1 28 2 42 3 56 4



Etapa 1 f3(x3)= máx {31m1 + f2 ( -2 m1)}, máx {m2} = 4/2= 2

X1 0 1 2 3 4

m1=0 0+0=0 0+14=14 0+28=28 0+47=47 0+61=61

31m1 + f2( -2 m1) m1=1 31+0=31 31+14=45 31+28=59

m1=2 62+0=62

La solución óptima se determina de la siguiente manera: X1=4; m1=2 X2 = X1-2m1 = 4-2 (2) X2=0; m2=0 X3=x2-3m2 =0-3 (0) X3=0; m3=0

Solución óptima f1(x1) m1 0 0 14 0 31 1 47 0 62 2



PROBLEMA 5. Un alumno debe seleccionar en total 10 cursos opcionales de cuatro departamentos distintos, y al menos un curso de cada departamento. Los 10 cursos se asignan a los 4 departamentos en una forma que maximiza el conocimiento. El alumno mide el conocimiento en una escala de 10 puntos, y llega a la tabla siguiente:

Departamento I II III IV Variables:

1 25 20 40 10

2 50 70 60 20

3 60 90 80 30

Número de cursos 4 5 80 100 100 100 100 100 40 50

6 100 100 100 60

>=7 100 100 100 70

Restricciones:

Etapa 1

1 2 3 4 5 6 7

25 50 60 80 100 100 100

( ) 25 50 60 80 100 100 100

1 2 3 4 5 6 7



Etapa 2

2 3 4 5 6 7 8

45 70 80 100 120 120 120

95 120 130 150 170 170

115 140 150 170 190

125 150 160 180

125 150 160

125 150

125

( ) 45 1 95 2 120 2 140 3 150 2,3,4 170 2,3 190 3

Etapa 3

3 4 5 6 7 8 9

85 135 160 180 190 210 230

105 155 180 200 210 230

175 175 200 220 230

145 195 220 240

145 195 220

145 195

145

( ) 85 135 175 180 200 220 240

1 1 3 1,2 2,3 3,4 4

155

( ) 95 145 185 195 210 230 250

1 1 1 2 1 1 1

Etapa 4

4 5 6 7 8 9 10

95 145 185 190 20 230 250

Solución óptima:

105 175 195 200 220 240

115 165 205 210 230

125 175 215 220

135 185 225

145 195



Ejemplo 10.3-2 Un contratista constructor estima que la fuerza de trabajo necesaria durante las próximas 5 semanas será de 5,7,8,4 y 6 trabajadores, respectivamente. La mano de obra en exceso que se conserve le costará $300 por trabajador semanalmente, y la nueva contratación en cualquier semana tendrá un costo fijo de $400 más $200 por trabajador y por semana. Los datos del problema en resumen como sigue: = 5,

=7,

( (

=8,

=4,

)= 3(

=6

),

, i=1,2,…,5

)= 4+2(

),

Las funciones de costo, Etapa 5 (

, se dan en cientos de dólares

=6) (

X4 4 5 6 Etapa 4 (

)+ ( X5=6 3(0)+4+2(2)=8 3(0)+4+2(1)=6 3(0)+0 =0

Etapa 3 (

X4=4 3(0)+0+8=8

(

X1 5 6 7 8

Solución óptima f5(x4)

X5

8 6 0

6 6 6

)+

( )+ f5(x4) X4=5 X4=6 3(1)+0+6=9 3(2)+0+0=6

Solución óptima f5(x4) X5 6 6

=8)

X2 7 8 Etapa 2 (

)

=4) (

X3 8

, i=1,2,…,5

)+

( ) + f4(x3) X3=8 3(0)+4+2(1)+6=12 3(0)+0+6=6

Solución óptima f3(x2) 12 6

X3 8 8

=7) ( )+ ( X2=7 3(0)+4+2(2)+12=20 3(0)+4+2(1)+12=18 3(0)+0 +12=12 3(0)+0 +12=12

) + f3(x2) X2=8 3(1)+4+2(3)+6=19 3(1)+4+2(2)+6=17 3(1)+4+2(1)+6=15 3(1)+0 +6=9

Solución óptima f2(x1) x2 19 8 17 8 12 7 9 8

PORTAFOLIOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Etapa 1 (


=5) (

X0 X1=5 0 3(0)+4+2(5)+19=33

)+

X1=6 3(1)+4+2(6)+17=36

La solución óptima: X0=0; X1=5; X2=8; X3=8; X4=6; X5=6

(

) + f2(x1) X1=7 3(2)+4+2(7)+12=36

X1=8 3(2)+4+2(8)+9=38

Solución óptima f1(x0) x1 33 5



Practica 1 Investigación de operaciones Problema en clase Una empresa produce 2 productos ( ), los 2 productos deben pasar por un proceso de producción que implica cableado eléctrico y ensamble. Se requiere de 2 horas para cablear el producto 1 y 3 horas para el producto 2. En el área de ensamble se requiere 6 y 5 horas respectivamente para cada producto. El producto 1 reditúa $ 7.00 y el producto 2 $ 6.00. La empresa se va a mudar a otro lugar durante el periodo de producción y considera que un nivel de utilidad de 30 dólares será satisfactorio durante el periodo de ajuste. Formule el problema como un problema de programación con metas. Suponga que agregamos otras metas: 2. Utilizar por completo las horas en el departamento de cableado. 3. Evitar el tiempo extra en el departamento de ensamble. 4. Cumplir con un proveedor y producir por lo menos 7 unidades del producto 2. Desarrollo Meta1:

7 +6 +

+

=30

(Metas de utilidad)

Meta2:

2 +3 +

+

=12


Meta3:

6 +5 +

+

=30


Meta4:

+

=7


En este caso las prioridades van en el mismo orden que fueron dadas En la FO hay que minimizar las desviaciones FO=



Resuelto en QM




Problema 11.22 Render El director de campaña pretende utilizar 4 formas de publicidad (anuncios de TV, radio, pancartas y anuncios en periódicos). Los costos son $900 por cada anuncio de Tv, $500 por cada anuncio de radio, $600 por las pancartas y $180 por cada anuncio de periódico. La audiencia alcanzada por cada costo de anuncio ha sido estimada por 40,000 personas por cada anuncio de TV, 32,000 por cada anuncio de radio, 34,000 por cada pancarta y 17,000 por cada anuncio de periódico. El presupuesto mensual es de 16,000 dólares. Se han establecido y clasificado las siguientes metas: 1) El número de personas alcanzadas debe ser por lo menos 1, 500,000. 2) El presupuesto mensual de publicidad no deberá ser excedido. 3) Juntos el número de anuncios de TV y radio deberán ser por lo menos 6. 4) No deberán ser utilizados más de 10 anuncios de cualquier tipo de publicidad. Formule, resuelva e indique cuáles metas pueden ser alcanzadas por completo y cuáles no. Programación por metas X1, X2, X3, X4 P1 40,000X1+32,000X2+34,000X3+17000X4+ P2

900X1+500X2+600X3+180X4+

P3

X1+

P4

X1

X2

X2 X3 X4 F.O. P1

P3

= 1,500,00 = 16,000

+

=6

+

=10

+

=10

+

=10

+

=10



Resolución QM

Al ver los resultados podemos concluir que hay 2 de 4 metas que se cumplen la uno y la dos. La meta 3 y 4 no se cumplen y vemos que es porque faltarían 5.2701 para la meta 2 y se excede en 76.86 la meta 4 y esto no es lo ideal ni lo propuesto.



Problema 11. 24 Render Problema 11.24 Geraldine Shawhan es presidente de Shawhan File Works, una firma que fabrica dos tipos de archiveros metálicos. La demanda de su modelo de dos cajones es hasta de 600 archiveros por semana; la demanda del archivero de 3 cajones está limitada a 400 por semana. La capacidad semanal de operación de Shawhan File Works es de 1300 horas y el archivero de 2 cajones requiere 1 hora para ser fabricado y el de 3 cajones requiere 2 horas. Cada modelo de 2 cajones que se vende, reditúa una utilidad de $10 y la utilidad del modelo grande es de $15. Shawhan estableció las siguientes metas en orden de importancia. 1. Alcanzar una utilidad semanal tan cerca de $11,000 como sea posible 2. Evitar la subutilización de la capacidad de producción de la firma 3. Vender tantos archiveros de 2 y 3 cajones conforme la demanda lo indique Formule este problema como un problema de programación por metas Programación por metas P1 10X1 + 15X2 +

= 11 000

P2 X1 + 2X2 +

= 1300

P3 X1

+

= 600

+

= 400

X2

F.O.

Formulación en QM



Tabla solución

Los resultados muestran que se cumplen con las 4 metas propuestas, sin embargo hay una deficiencia de 100 en la meta 2 pero la exigencia era igual o por debajo del valor asi que no estamos violando la meta a cumplir.



Problemas 8.2 A 1. Formule el problema fiscal de Fairville, suponiendo que el concejo municipal especifique una meta más, G5, que requiera que el impuesto sobre la gasolina sea igual por lo menos a 1% de la factura fiscal total. Solución: Según lo plantado ya teníamos 4 metas definidas, sin embargo para esta debemos anexar una quinta meta. Definiendo las variables: X1= impuesto predial X2=impuesto alimento y medicina X3= impuesto de ventas generales. X4= impuesto de gasolina La función objetivo es: Minimizar Z= Pd1-+Pd2-+Pd3-+Pd4++Pd5+

Sujeto a las restricciones: 550 X1 +35 X2 +55 X3 +.075 X4 ≥16 55 X1 -31.5 X2 +5.5X3 +.0075 X4 ≥0 110 X1 +7 X2-44X3 +.015 X4 ≥0 X4≤ 2 5.5 X1 +0.35 X2+0.55X3 -0.07425 X4 ≥0 X1 , X2 ,X3 , X4 ≥0



Estas restricciones se transforman en: 550 X1 +35 X2 +55 X3 +.075 X4 +d1--d1+ = 16 55 X1 -31.5 X2 +5.5X3 +.0075 X4+d2--d2+ = 0 110 X1 +7 X2- 44X3 +.015 X4+d3--d3+ = 0 X4+d4--d4+= 2 5.5 X1 +0.35 X2+0.55X3 -0.07425 X4 + d5--d5+ = 0 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0 Desarrollando en QM tenemos:

La tabla de solución es:



Según la tabla de solución se cumplen 4 de las 5 metas propuestas, sin embargo la meta 5 que es la que no se cumple excede lo solicitada por 0.01 millón. 2. El Centro Comercial NW gestiona eventos especiales para atraer clientes potenciales. Entre los eventos que parecen atraer a los adolescentes, al grupo de jóvenes de mediana edad y a los adultos mayores, los dos más populares son los conciertos de bandas y las exposiciones de arte. Sus costos por presentación son de $1500 y $3000, respectivamente. El presupuesto anual (estricto) total asignado a los dos eventos es de $15,000. El gerente del centro comercial estima la asistencia como sigue:

El gerente ha fijado metas mínimas de 1000, 1200 y 800 para la asistencia de adolescentes, personas de mediana edad y adultos mayores, en ese orden. Formule el problema como un modelo de programación de metas. Solución Definiendo las variables X1= concierto con orquesta X2=espectáculos del arte Función objetivo: Minimizar Z= Pd1++Pd2-+Pd3 -+Pd4Sujeta a las restricciones: 1500 X1 +3000X2 ≤ 15000 200 X1 ≥ 1000 100X1 +400 X2 ≥1200 250X2 ≥ 800 X1, X2, X3, X4 ≥0


Las restricciones se convierten en: 1500 X1 +3000X2 +d1--d1+ = 15000 200 X1 +d2--d2+ =1000 100 X1 +400X2+d3--d3+ = 1200 250X2+d4--d4+= 800 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0

Desarrollando en QM

Tabla de resultados




Según los resultados la meta 4 no se cumplirá ya que requerimos de 175 para cubrir la meta de los adultos mayores en la asistencia. Sin embargo la meta 3 tenemos valores de excedencia que compensa esta deficiencia en la 4. 3. La oficina de admisión de la Universidad de Ozark está recibiendo solicitudes de estudiantes de primer año para el año académico venidero. Las solicitudes caen dentro de tres categorías: estudiantes del estado, de fuera del estado, e internacionales. Las relaciones hombres-mujeres de los solicitantes del estado y de fuera del estado son 1:1 y 3:2; para estudiantes internacionales, la relación correspondiente es de 8:1. La calificación en el Examen de Universidades Americanas (ACT, por sus siglas en inglés) es un importante factor en la aceptación de nuevos estudiantes. Las estadísticas recopiladas por la universidad indican que las calificaciones promedio de estudiantes del estado, fuera del estado e internacionales, son de 27, 26 y 23, respectivamente. El comité de admisiones ha establecido las siguientes metas deseables para la nueva clase de primer año: (a) Que la clase que empieza sea por lo menos de 1200 estudiantes. (b) Que la calificación promedio de todos los solicitantes sea por lo menos de 25. (c) Que los estudiantes internacionales constituyan por lo menos 10% de la clase. (d) Que la relación mujeres-hombres sea por lo menos de 1:1. (e) Que los estudiantes de fuera del estado comprendan por lo menos 20% de la clase. Formule el problema como un modelo de programación de metas. Definiendo las variables X1= estudiantes de estado X2=estudiantes de otros estados X3= estudiantes internacionales

Función objetivo Minimizar Z= Pd1-+Pd2-+Pd3 -+Pd4 -+Pd5X1 + X2 +X3 ≥1200 2X1 +X2 -2X3 ≥0 -0.1X1 -0.1X2+0.9X3 ≥0 2X2+7X3 ≥0 -0.2X1 +0.8 X2-0.2X3 ≥0 X1 , X2 ,X3 ≥0



Estas restricciones se convierten en X1 + X2 +X3 +d1--d1+ = 1200 2X1 +X2 -2X3 +d2--d2+ = 0 -0.1X1 -0.1X2+0.9X3 +d3--d3+ = 0 2X2+7X3 +d4--d4+= 0 -0.2X1 +0.8 X2-0.2X3 + d5--d5+ = 0 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0 En QM

Solución

,



Según los resultados podemos ver que las 5 metas se cumplen, sin embargo hay unas metas que como la 2 y la 4 que exceden los valores que solicitamos, pero las indicaciones eran que por lo menos una cantidad así q podíamos pasar ese valor. 4. Las granjas Circle K consumen 3 toneladas diarias de un alimento especial, el cual está constituido por una mezcla de piedra caliza (carbonato de calcio), maíz y soya, y que debe satisfacer los siguientes requisitos nutricionales: Calcio. Al menos 0.8%, pero no más de 1.2%. Proteína. Por lo menos 22%. Fibra. A lo sumo 5%. La siguiente tabla muestra el contenido nutricional de los ingredientes alimenticios.

Formule el problema como un modelo de programación de metas, y establezca su opinión con respecto a la aplicabilidad de la programación de metas a esta situación. Solución Definiendo las variables X1= piedra caliza X2= maíz X3= soya Función objetivo Minimizar Z= Pd1++Pd2-

X1+X2 +X3 ≤ 6000 0.380 X1 +0.001 X2 +002 X3 ≥48 0.380 X1 +0.001 X2 +002 X3 ≤ 72 0.09 X2+0.5X3 ≥1320 0.02 X2+0.08X3 ≤ 300 X1 , X2 ,X3 ≥0

+Pd3++Pd4-+Pd5-


Sujeta a:

Las restricciones se convierten en: X1 + X2 +X3 +d1--d1+ = 6000 0.380 X1 +0.001 X2 +002 X3 +d2--d2+ = 48 0.380 X1 +0.001 X2 +002 X3 +d3--d3+ = 72 0.09 X2+0.5X3+d4--d4+= 1320 0.02 X2+0.08X3 + d5--d5+ = 300 X1, X2 ,X3 ≥0 En QM




Vemos que las 5 metas se cumplen y según las cantidades de cada uno de los ingredientes hay dos metas que excedemos del valor, sin embargo no viola la meta porque nos solicitaban más de ese valor base. 5. Mantel produce un carruaje de juguete, cuyo ensamble final debe incluir cuatro ruedas y dos asientos. La fábrica que produce las piezas trabaja tres turnos al día. La siguiente tabla proporciona las cantidades producidas de cada pieza en los tres turnos.

Idealmente, la cantidad de ruedas producidas es el doble de la de asientos. Sin embargo, como las tasas de producción varían de turno a turno, el balance exacto en la producción puede no ser posible. A Mantel le interesa determinar la cantidad de corridas de producción en cada turno que minimice el desbalance en la producción de las piezas. Las limitaciones de la capacidad restringen las corridas a entre 4 y 5 para el turno 1; 10 y 20 para el turno 2, y 3 y 5 para el turno 3. Formule el problema como un modelo de programación de metas. Solución Como deseamos minimizar el desbalanceo en la producción, debemos buscar las partes que se producen en mayor o menor cantidad en los diferentes turnos: En el turno 1 se producen ruedas suficientes para 125 ensambles, sin embargo se producen asientos para 150 ensambles, por cual el desbalanceo es de 25 ensambles de ruedas que faltan, y como cada ensamble requiere tenemos que faltarían 100 ruedas en el turno 1. De forma análoga, sabemos que el turno 2 sobran 40 ruedas; y en el turno 3 sobran 80 ruedas. Definimos las variables: X1=corridas de ruedas turno 1 X2= corridas de ruedas turno 2 X3= corridas de ruedas turno 3



Función objetivo: Minimizar Z= Pd1-+Pd1+ Restricciones -100 X1 +40 X2 -80 X3 ≥0 X1 ≥ 4 X1 ≤ 5 X2 ≥ 10 X2 ≤ 20 X3≤ 3 X3 ≤5 X1, X2 ,X3 , ≥0

Estas restricciones se convierten en -100 X1 +40 X2 -80 X3 +d1--d1+ = 0 Como la meta única de la empresa es eliminara el desequilibrio entre la producción de un turno y otro, a la única restricción que le agregamos las desviaciones de mas o de menos es a la primera. Además por eso se minimiza en la función objetivo esas dos desviaciones porque necesitamos un numero estándar por turno que no esté de más ni de menos. En QM



Solución

Con este resultado vemos que los valores que x toma en alguna de las restricciones no las cumple, sin embargo lo que las meta exigía era evitar las desviaciones de estos valores ya fuera hacia arriba o abajo, por lo cual debía ser un numero que mantuviera entre las corridas un valor preciso de juguetes realizados por turno. 6. Camyo Manufacturing produce cuatro piezas que requieren el uso de un torno y un taladro vertical. Las dos máquinas operan 10 horas al día. La siguiente tabla proporciona el tiempo en minutos que se requiere por pieza:

Se desea balancear las dos máquinas limitando la diferencia entre sus tiempos de operación totales a lo sumo a 30 minutos. La demanda del mercado de cada pieza es de al menos 10



unidades. Además, la cantidad de unidades de la pieza 1 no puede exceder la de la pieza 2. Formule el problema como un modelo de programación de metas. Definimos las variables X1= parte 1 X2=parte 2 X3= parte 3 X4= parte 4 Función objetivo Minimizar Z= Pd1++Pd2+ Sujeto a las restricciones: 2 X1 +4 X2 +2X3 +3 X4 ≤ 30 X1 ≥ 10 X2 ≥ 10 X3 ≥ 10 X4 ≥10 X1 - X2 ≤ 0 Luego se transforman en

X1 , X2 ,X3 , X4 ≥0 2 X1 +4 X2 +2X3 +3 X4 +d1--d1+ = 30 X1 - X2 +d2--d2+ = 10 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0

En QM



Solución

Vemos que la meta 1 no se cumple, sin embargo esta meta se excede asi que podemos decir que la meta fue mejor de lo que esperamos. 7. Se fabrican dos productos en dos máquinas secuenciales. La siguiente tabla da los tiempos de maquinado en minutos por unidad para los dos productos.

Las cuotas de producción diarias para los dos productos son de 80 y 60 unidades. Cada máquina opera 8 horas al día, y si es necesario, aunque no deseable, puede utilizarse tiempo extra para satisfacer las cuotas de producción. Formule el problema como un modelo de programación de metas. Definiendo las variables: X1= producto A X2=producto B


Función objetivo Minimizar Z= Pd1-+Pd2-+Pd3++Pd4+ Restricciones: X1 ≥80 X2 ≥60 5 X1 +3X2 ≤ 480 6 X1 +2X2 ≤ 480 X1 , X2 , ≥0 X1+d1--d1+ = 16 X2+d2--d2+ = 0 5 X1 +3X2+d3—d3+ = 480 Las restricciones se convierten en:

6 X1 +2X2 +d4--d4+= 480 X1, X2 ≥0

En QM




Solución

Vemos que las metas 3 y 4 no se cumplen, y al evaluar los valores de: X1 ≥80 X2 ≥60 En las restricciones de tiempo vemos que para la meta 3 el valor es 580 así que necesitamos 100 minutos mas para la maquina 1. Para la meta 4 al evaluar los valores vemos que el valor es 600 por cual necesitamos 120 minutos en la maquina 2 para cumplir con estas metas. 8. El hospital de Vista City planea la asignación de camas sobrantes (las que no estén ya ocupadas) para estancias cortas, con 4 días de anticipación. Durante el periodo de planificación de 4 días, alrededor de 30,25 y 20 pacientes requerirán estancias de 1, 2 o 3 días, respectivamente. Las camas sobrantes durante el mismo periodo se estiman en 20, 30, 30 y 30, respectivamente. Aplique la programación de metas para resolver el problema de sobre admisión y subadmisión en el hospital. Definiendo las variables X1= disponibilidad de camas día 1 X2= disponibilidad de camas día 2 X3= disponibilidad de camas día 3 X4= disponibilidad de camas día 4


Función objetivo Minimizar Z= Pd1++Pd2++Pd3+

Restricciones -10X1 + -10X2 + X3 + X4 ≥30 X1 + X2 +X3 + X4 ≥25 X1 + X2 + X3 + X4 ≥20 X1≤ 20

X2≤ 20

X3≤ 24

X4≤ 30

X1 , X2 ,X3 , X4 ≥0 Se convierten en X1 + X2 + X3 + X4 +d1--d1+ = 30 X1 + X2 + X3 + X4 +d2--d2+ = 25 X1 + X2 + X3 + X4 +d3--d3+ = 20 X1, X2 ,X3 , X4 ≥0 En Qm




Los resultados son que las metas se cumplen y que al evaluar los valores las metas tienen excedencia.



Conjunto de Problemas 11.3B 1. Resuelva el ejemplo 11.3-1, suponiendo que los costos unitarios de producción y almacenamiento son los de la siguiente tabla. Periodo i

Costo Unitario en

Costo Unitario en

Costo unitario de

tiempo normal ($)

tiempo extra ($)

almacenamiento ($) para el periodo i*1

1

5.00

7.50

0.10

2

3.00

4.50

0.15

3

4.00

6.00

0.12

4

1.00

1.50

0.20

Tabla 1 R1

90

O1

10

2

5.00 7.50

3

4

Exedente

7.60

30

R2

100

O2

60

3.00 4.50 4.00

R3

120

O3

80

6.00 1.00

R4

110

O4

50

1.50

0

20

Costo total: (90*5.00)+(10*7.50)+(30*7.69)+(100*3.00)+(60*4.50)+(10*7.75)+(120*4.00)+(80*6.00)+( 110*1.00)+(50*1.50)= $2545.50



2. Se fabrica un artículo para satisfacer la demanda conocida durante 4 periodos de acuerdo con los datos siguientes:

Costo de producción unitario ($) durante el periodo Intervalo de producción

1

2

3

4

1-3

1

2

2

3

4-11

1

4

5

4

12-15

2

4

7

5

16-25

5

6

10

7

0.30

0.35

0.20

0.25

11

4

17

29

2

3

4

(Unidades)

Costo de retención unitaria ($) Demanda Total (Unidades)

1 5.00

R1 R2 R3 R4

11

4.35

4.00

4

11 6

5.20

5.00

5 10

Costo Total= (11*5)+(4*4)+(11*4.35)+(6*5)+(14*5.85)+(5*5.20)+(10*4)=$ 296.75

4.00



CUESTIONARIO TEORIA DE COLAS 1. ¿En qué consiste el modelo de teoría de colas o el modelo de sistema de espera? El estudio de líneas de espera, llamada teoría de colas, es una de las técnicas de análisis cuantitativo más antiguas y que se utilizan con mayor frecuencia. Las líneas de espera son un suceso cotidiano, que afecta a las personas que van de compra a las tiendas de abarrotes, a cargar gasolina, a hacer depósitos bancarios, o bien, a quienes esperan en el teléfono a que conteste la primera operadora disponible para hacer su reservación en una aerolínea. La mayoría de los problemas de línea de espera se centran en la cuestión de encontrar el nivel ideal de servicio que debería proporcionar una empresa 2. ¿Cuáles son los componentes o elementos de un modelo de colas? Los componentes de un modelo de colas son las llegadas, las instalaciones de servicio y la línea de espera real 3. ¿Cuáles son los costos relacionados a los modelos de línea de espera o modelo de colas? Los costos relacionados al modelo de línea son el costo total esperado que es igual al costo de dar el servicio de tiempo de espera del cliente 4. ¿Qué papel juega la distribución exponencial o Poisson en el modelo de cola? La distribución de Poisson es utilizado en el modelo de colas para calcular el número de llegadas por unidad de tiempo (el patrón de llegadas) 5. ¿En qué consisten los modelos de nacimientos puros o muertes puras? Dos situaciones del modelo de colas por el modelo de nacimiento puro en el cual solo ocurren llegadas, y el modelo de muerte pura en el cual sólo ocurren salidas. Un ejemplo de nacimiento puro es la creación de actas de nacimiento de bebés recién nacidos. EL modelo de muerte pura puede demostrarse por medio del retiro aleatorio de un artículo en existencia en una tienda. 6. ¿En qué consiste el modelo generalizado de cola de Poisson? ¿Cómo se define? El modelo generalizado de colas de Poisson combina tanto llegadas como salidas con base en la suposición de Poisson, es decir los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio siguen la distribución exponencial. El desarrollo de éste modelo se basa en el comportamiento a largo plazo o de estado estable de la situación de colas, alcanzando después de que el sistema ha estado en operación durante un tiempo suficientemente largo. 7. ¿En qué consiste el modelo de colas especializadas?



En el modelo de colas especializadas se selecciona un cliente de la cola para iniciar el servicio con el primer servidor disponible. La tasa de llegadas al sistema es de λ clientes por unidad de tiempo. Todos los servidores paralelos son idénticos, es decir que la tasa de servicio de cualquier servidor es de µ clientes por unidad de tiempo. La cantidad de clientes en el sistema se define para incluir los que están en el servicio y los que están en cola. 8. Indique en qué consiste la notación de Kendall La notación de Kendall es un método de clasificación de sistemas de cola que se basa en la distribución de llegadas, la distribución de los tiempos de servicio y el número de canales de servicio. La notación de Kendall básica tiene 3 símbolos que tienen la siguiente forma: Distribución de llegadas/Distribución de tiempos de servicio/Número de canales de servicio abiertos Se utilizan 3 letras apra representar las distribuciones de probabilidad M= Distribución de Poisson del número de ocurrencias (o tiempos exponenciales) D=Tasa constante (Determinística) G= Distribución general con media y varianza conocidas Una notación cómoda para resumir las características de la cola es la que tiene el siguiente formato: (a/b/c) : (d/e/f) En donde a= distribución de llegadas b= distribución de salidas (o del tiempo de servicio) c= cantidad de servicio en paralelo (=1,2, …, ∞) d= disciplina de la cola e= cantidad máxima (finita o infinita) admisible en el sistema (en la cola más en servicio) f= tamaño de la fuente (finito o infinito) 9. ¿Cuáles son las medidas de desempeño o de eficiencia de un sistema de colas? Las medidas de desempeño, eficiencia o funcionamiento de una cola son: Ls = Cantidad esperada de clientes en el sistema Lq = Cantidad esperada de clientes en la cola Ws = Tiempo esperado de espera en el sistema Wq = Tiempo esperado de espera en la cola C = Cantidad esperada de servidores ocupados ρ = tasa de utilización del sistema λ = tasa de llegada µ = tasa de servicios Recuerde que el sistema abarca tanto la cola como la instalación de servicio Tasa de llegada debe ser menor que la tasa de servicio



SISTEMAS DE COLAS ELEMENTOS DE UN MODELO DE COLAS En cada una de las siguientes situaciones, identifique al cliente y al servidor: Cliente Servidor aviones Aeropuerto pasajeros Sitio de taxis herramientas Taller de maquinado cartas Oficina postal Personas que se van a Universidad inscribir casos Cortes legales caja Supermercado autos Estacionamientos

1 2 3 4 5 6 7 8

PAPEL DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL El tiempo entre llegadas a la oficina estatal de Hacienda es exponencial, con valor medio de 0.05 horas. La oficina abre a las 8:00A.M e. Escriba la distribución exponencial que describe el tiempo entre llegadas  f(t)=20e-20t,t<0. f. Encuentre la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina alrededor de las 8:15 A.M 

P{t> } = e-0.20(0.25)= 0.0067

g. En este momento son las 8:35 A.M. el ultimo cliente llegó a la oficina a la 8:26¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 A.M?¿de que no llegue alrededor de los 8:40 A.M? 

P{t> } =1- e-0.20(0.05)= 0.63



P{t> } = e-0.20(0.083)= 0.19

h. ¿Cuál es el promedio de clientes que llegan entre 8.10 y 8.45 A.M 



NACIMIENTO PURO El tiempo entre llegadas en el restaurante L&J es exponencial con media de 5 minutos. El restaurante abre a las 11:00AM determine lo siguiente: d) La probabilidad de tener 10 llegadas en el restaurante alrededor de las 11:12 A.M dado que 8 clientes llegaron a las 11:05 A.M

( )

(

)

= 0.2417

e) La probabilidad de que un nuevo cliente llegue entre las 11:28 y las 11.33 A.M, si el ultimo cliente llegó a las 11:25 A.M

f)

( )

(

)

= 0.3679 MODELO DE MUERTE PURA

Un taller mecánico se acaba de surtir de 10 partes de repuesto para la reparación de una máquina. La reposición de la existencia que regresa el nivel a 10 piezas ocurre cada 7 días. El tiempo entre fallas es exponencial con media de 1 día. Determine la probabilidad de la máquina permanezca descompuesta durante dos días porque no hay partes de repuestos disponibles. MODELO DE COLAS GENERAL DE POISSON En el modelo de B&K del ejemplo 18.5-1, suponga que las tres cajas están siempre abiertas y que la operación está configurada de tal manera que el cliente vaya primero a la caja vacía. Determinar lo siguiente: c) La probabilidad de que las tres cajas estén en uso



La probabilidad de que las tres cajas estén en uso es de 0.4444



d) La probabilidad de que el cliente que llegue no tenga que esperar.  La probabilidad de que el cliente no tenga que esperar es de 0.5556 MODELO DE UN SOLO SERVIDOR 2. Jhon Macko en la U de Ozark. Realiza trabajos peculiares para complementar sus ingresos. Las solicitudes para que realice un trabajo llegan cada 5 días, pero el tiempo etre solicitudes es exponencial. El tiempo para terminar un trabajo también es exponencial con media de 4 días.

)

(M/M/1): (GD/



¿Cuál es la probabilidad de que Jhon se quede sin trabajo? =





= 0.8

Si Jhon gana aproximadamente $50 por trabajo, ¿cuál es su ingreso mensual promedio? $50/trabajo ($50)(0.25)(30 días)= $375.00 Si al final del semestre John decide subcontratar los trabajos pendientes a $40 cada uno, ¿Cuánto, en promedio, debe esperar que le paguen?

Lq= wq =

=

= 3.2*$40 =$128

5- Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para servicio en su auto. Los autos llegan según una distribución de Poisson a razón de dos cada 5 minutos. El espacio el espacio en frente de la ventanilla puede acomodar a la sumo 10 autos, incluso el que se está atendiendo. Los demás autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. Determine lo siguiente: (M/M/1): (GD/

)

e) La probabilidad de que la ventanilla este ociosa



 La probabilidad de que la ventanilla este ociosa es 0,403 f) La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos  Lq= 0.8845 g) El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido  Wq= 2,21 h) La probabilidad de que la línea de espera exceda la cantidad de 10 espacios.  P{n>=11}= 0.0034

Conjunto de problemas 18.6C 5. una cafetería puede acomodar un máximo de 50 personas. Los clientes llegan en una corriente Poisson a razón de 10 por hora y son atendidos (uno a la vez) a razón de 12 por hora. (M/M/1) : (GD/50/ ) c) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue no coma en la cafetería porque está llena?  

P51=

(

)

= 0.0000152

d) Suponga que a tres clientes (con tiempos de llegada aleatorios) les gustaría sentarse juntos ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla su deseo? (suponga



que pueden hacerse arreglos para que se sienten juntos en cuanto haya tres sillas disponibles) P47= (P48+P49+P50) =(

(

)

(

)

(

)

= 0.00006

MODELOS DE VARIOS SERVIDORES El centro de cómputo de la U de A esta equipado está con cuatro maxi computadoras idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Cada usuario es capaz de enviar un trabajo desde una terminal cada 15 minutos es promedio, pero el tiempo real entre varios es exponencial. Los trabajadores que llegan automáticamente se van a la primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por envió es exponencial con una media de 2 minutos. Calcule lo siguiente:

g) La probabilidad de que un trabajo no se ejecute de inmediato inmediatamente después de enviarlo.



 

La probabilidad de que no se ejecute de inmediato es de 0.6577, >K h) El tiempo promedio hasta que los resultados de un trabajo se le devuelvan al usuario. Ws= 0,0662 i) El promedio de trabajos en espera de ser ejecutados. Lq= 3.29 trabajos



j) El porcentaje de tiempo que todo el centro de cómputo este ocioso.



P0= 0,0213 k) El promedio de computadoras ociosas.



4-(Lq-Ls)= 4-(3.29-6.62)= 0.67

Conjunto de problemas 18.6E 2. En la tienda de Eat&Gas funciona una estación de gasolina de dos bombas. El carril que conduce a las bombas puede alojar cuando mucho 3 autos, excluyendo a los que se les está dando atención. Los autos que llegan se van a otra parte si el carril está lleno. La distribución de los autos que llegan es de Poisson con media de 20 por hora. El tiempo para llenar el tanque y pagar es exponencial con media de 6 minutos. Determine lo siguiente:

d) El porcentaje de autos que buscarán servicio en otra parte. Según TORA



Debe ser la probabilidad de P5= 0.18182 e) el porcentaje de tiempo que una bomba está en uso.

 P1= 0.18182 f) La utilización en porcentaje de las dos bombas.





d) La probabilidad de que un auto que llega no inicie el servicio de inmediato pero que encuentre un espacio vació en el carril.

 (p2+p3+p3)= 0.18182+ 0.0182+0.0182=0.54546



l) La capacidad del carril que garantice que la probabilidad de que ambas bombas estén ociosas es de menos 0.05 o menos. P0<=0.05



reemplazando en esta fórmula obtenemos la siguiente tabla:

(∑ N Pn

5 0.0909

( 6 0.0769

))-1, =1 7 0.0667

8 0.0588

9 0.0526

10 0.0476

Concluyendo entonces que la capacidad del carril ser de N>= 10 para que ambas bombas estén ociosas y se cumpla que la probabilidad sea menos de 0.05.



Metalco va a contratar un técnico en mantenimiento para un taller de 0 máquinas. Se están considerando 2 candidatos. El primero puede realizar reparaciones a razón de 5 máquinas por hora y gana $15 por hora. El candidato 2 gana $20 ya que puede realizar reparaciones a razón de 8 máquinas por hora. Metalco estima que cada máquina descompuesta incurrirá en un costo de $50 por hora a causa de la producción perdida. Suponiendo que las maáquinas se descomponen con una distribución de Poisson con una media de 3 por hora y que el tiempo de reparación es exponencial ¿cuál técnico debe ser contratado? Candidato 1 Lamda= 3 máq/hora = 5 Sueldo= $15 Costo por pérdida= $50

Candidato 2 Lamda= 3 máq/hora = 8 Sueldo= $20 Costo por pérdida= $50

Candidato 1

Candidato 2

Según los resultados arrojados por QM indica los siguientes costos: candidato 1= $813.34 y el candidato 2= $723. 44, es decir, que el candidato que se debe contratar es el candidato 2 ya que incurre en menos costos para Metalco.



B&K groceries va abrir una tienda que presumirá de contar con lectores de barras de “ultima generación”. El señor BIH uno de los propietarios de B&K a limitado las opciones a dos lectores: el lector A puede procesar 10 artículos por minutos, el lector B puede leer 15 artículos por minutos. El costo diario de operación (10 horas) y mantenimiento de los lectores es de $25 y $35 respectivamente. Los clientes que terminan sus compras llegan a las cajas de acuerdo a una distribución de Poisson a razón de 10 clientes por hora. Cada carrito lleva entre 25 y 35 artículos. Distribuidos de manera uniforme. El señor BIH estima que el costo promedio por cliente que espera es de 20 centavos por minuto. ¡cuál lector debe adquirir B&K?. (sugerencia: el tiempo de servicio por cliente no es exponencial, sino uniformemente distribuido). Lamda: 10 clientes/hora Detector A

detector B

= 600 art/ hora

= 900 art/ hora

Costo de mantenimiento= $2.50

costo= $3.50

Costo de espera= 0.20x60= $12 Lector A



Lector B

Según los datos obtenidos de QM al meter los datos los costos son: lector A= $23.00 y lector B= $15. En conclusión se escogería el lector B ya que sus costos son más baratos.



AUTOEVALUACIÓN   

Antes de aplicarse la autoevaluación, remítase a los objetivos de aprendizaje al principio del capítulo, a las notas en los márgenes y al glosario al final del capítulo Utilice las soluciones al final del libro para corregir sus respuestas Estudie nuevamente las páginas correspondientes a cualquier pregunta que conteste incorrectamente o al material con el cual se sienta inseguro

1. La simulación es una técnica que se reserva generalmente sólo para el estudio de los problemas más sencillos y más claros a. Verdadero b. Falso 2. Un modelo de simulación está diseñado para llegar a una respuesta numérica y específica para un problema determinado a. Verdadero b. Falso 3. El empleo de simulación generalmente requiere estar familiarizado con las estadísticas para evaluar los resultados a. Verdadero b. Falso 4. Un modelo de simulación de incremento de tiempo de evento de evento siguiente se justificaría si la variable a investigar fuera a. La venta diaria de periódicos b. La cantidad de lluvia en un día específica c. El tiempo promedio que en cliente pasa en espera en la cola d. El número de llamadas de emergencia al 911 en un día 5. El proceso de verificación implica asegurarse de que a. El modelo representa adecuadamente el sistema real b. El modelo es internamente coherente y lógico c. Se utilizaron los números aleatorios correctos d. Se simularon numerosas corridas de prueba 6. El proceso de validación implica asegurarse de que a. El modelo representa adecuadamente el sistema práctico b. El modelo internamente es coherente y lógico c. Se utilizaron los números aleatorios correctos d. Se simularon numerosas corridas de prueba



7. ¿Cuál de las siquientes es una ventaja de la simulación? a. Permite la comprensión de tiempos b. Siempre es relativamente sencilla y de bajo precio c. Los resultados generalmente se pueden transferir a otros problemas d. Siempre se encontrará la solución óptima a un problema 8. ¿Cuál de las siguientes es una desventaja de la simulación? a. Es de bajo costo aun para los problemas más complejos b. Siempre genera la solución óptima a un problema c. Los resultados generalmente se pueden transferir a otros problemas d. Los administradores deben generar todas las condiciones y limitaciones de las soluciones que deseen examinar 9. Un meteorólogo simula el número de días que habrá lluvia en un mes específico. El intervalo de números aleatorios desde 01 hasta 30 se utiliza para indicar que lloverá en un día específico, y el intervalo 31-00 indica que la lluvia no ocurrirá. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva? a. 0.30 b. 0.31 c. 1.00 d. 0.70 10. Es mejor pensar en la simulación como una técnica que a. Proporciona respuestas numéricas concretas b. Aumenta la comprensión de un problema c. Proporciona soluciones rápidas a problemas relativamente sencillos d. Proporciona soluciones rápidas a problemas relativamente sencillos 11. Se han desarrollado lenguajes especializados de cómputo que permiten simular inmediatamente tipos específicos de problemas a. Verdadero b. Falso 12. Al simular un experimento Monte Carlo, la demanda simulada promedio a largo plazo debería aproximarse a a. La demanda real b. La demanda esperada c. Un muestreo de demanda d. La demanda diaria



13. La idea que subyace a la simulación es a. Imitar una situación cotidiana b. Estudiar las propiedades y características de operación de una situación cotidiana c. Sacar conclusiones y tomar decisiones de acción con base en los resultados de la simulación d. Todas las anteriores 14. El uso de una simulación para un problema de colas sería apropiado si a. La tasa de llegadas adopta una distribución de Poisson b. La tasa de servicio en constante c. Se supone una disciplina de cola FIFO d. Existe una posibilidad de 10% de que una llegada se retire antes de recibir el servicio 15. Los lenguajes de simulación para propósitos especiales incluyen a. C++ b. BASIC c. GPSS d. Java e. Todas las anteriores 16. Se ha desarrollado una distribución de probabilidad de dos llegadas dentro de la hora siguiente es de 0.20. Se debe asignar un intervalo de números aleatorios a esta situación. ¿Cuál de los siguientes no sería un intervalo apropiado? a. 01- 20 b. 21- 40 c. 00- 20 d. 00- 19 e. Todos los anteriores serían apropiados 17. En una simulación de Monte Carlo, quizá se desee simular una variable como a. Plazo de entrega para que lleguen los pedidos de inventario b. Tiempo entre descomposturas de maquinaria c. Tiempo entre llegadas en una instalación de servicio d. Número de empleados que se ausentan del trabajo cada día e. Todas las anteriores 18. Utilice los siguientes números aleatorios para simular respuestas si y no a 10 preguntas con la primera línea y considere que a. Los números de 2 dígitos 00- 49 representan si y 50- 99 representan no



No si no no no si si si no si b. Los números pares de dos dígitos representan si y los impares representan no Si si si si no si si no no no c. Los números aleatorios 52 06 50 88 53 30 10 47 99 37 66 91 35 32 00 84 57 00



PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS Preguntas para análisis

1. ¿Cuáles son las ventajas y limitaciones de los modelos de simulación? VENTAJAS 1. Es un proceso relativamente eficiente y flexible. 2. Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa situación real, pero no puede ser empleada para solucionar un modelo de análisis cuantitativo convencional. 3. En algunos casos la simulación es el único método disponible. 4. Los modelos de simulación se estructuran y nos resuelve en general problemas trascendentes. 5. Los directivos requieren conocer cómo se avanza y que opciones son atractivas; el directivo con la ayuda del computador puede obtener varias opciones de decisión. 6. La simulación no interfiere en sistemas del mundo real. 7. La simulación permite estudiar los efectos interactivos de los componentes individuales o variables para determinar las más importantes. 8. La simulación permite la inclusión en complicaciones del mundo real. LIMITACIONES 1. Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costoso; a menudo el proceso es largo y complicado para desarrollar un modelo. 2. La simulación no genera soluciones óptimas a problemas de análisis cuantitativos, en técnicas como cantidad económica de pedido, programación lineal o PERT / CPM / LPU. Por ensayo y error se producen diferentes resultados en repetidas corridas en el computador. 3. Los directivos generan todas las condiciones y restricciones para analizar las soluciones. El modelo de simulación no produce respuestas por si mismo. 4. Cada modelo de simulación es único. Las soluciones e inferencias no son usualmente transferibles a otros problemas. 2. ¿Por qué podría un gerente verse forzado a utilizar la simulación en lugar de un modelo analítico al tratar con un problema de (a) la política de pedido de inventario Puede requerir simulación si tiempo de espera y la demanda diaria no son constantes. También es útil si los datos no siguen la distribución tradicional de probabilidad. (b) barcos que permanecen en un muelle para descargar Si las llegadas y descargas no siguen las distribuciones exponenciales de Poisson comunes a los problemas de gestión de colas, o si se violan otros supuestos del modelo de cola (por ejemplo, no se observó FIFO).



(c) ventanillas de cajeros de servicios bancarios Si las llegadas y tiempos de servicio no siguen distribuciones normales, o si existen varias líneas de espera, puede ser más fácil de usar simulación. (d) la economía de Estados Unidos Debido a que las ecuaciones y relaciones matemáticas son demasiado complejas para resolver matemáticamente y porque una solución óptima puede no existir. 3. ¿Qué tipos de problemas administrativos pueden resolverse más fácilmente con el uso de técnicas de análisis cuantitativo en lugar de simulaciones? Problemas con las condiciones determinísticas pueden resolverse más fácilmente por otras técnicas de control de calidad. Los problemas que requieren respuestas rápidas que no pueden esperar para un modelo de simulación que se construirán son una segunda categoría. 4. ¿Cuáles son los pasos más importantes en el proceso de simulación? Los pasos más importantes en el proceso de simulación son: • definir un problema • introducir variables importantes • la construcción de modelo, especifique los valores para probar • la simulación conducta • analizar los resultados • seleccionar mejor plan 5. ¿Qué es una simulación Monte Carlo? ¿Qué principios subyacen a su uso y cuáles pasos son seguidos en su aplicación? La simulación de Monte Carlo es aquella que se usa para generar valores de forma aleatoria a las variables del modelo bajo estudio. Sus principios son aquellos que se justifican por el gran números de variables que tienen los sistemas cotidianos que se rigen de forma probabilística como loo son demanda de inventario semanal, plazo de entrega semanal, tiempo de servicio, tiempo entre descomposturas, etc. Los pasos seguidos de su aplicación son: • establecer la distribución de probabilidad (s), • establecer probabilidades acumuladas • establecer intervalos de números aleatorios • generar números aleatorios • simular ensayos



6. Presente 3 maneras en las que los números aleatorios pudieran generarse para su uso en una simulación Los números aleatorios se pueden generar a través de: • los programas informáticos como Excel • tirando de los números de una urna • el uso de una tabla de números aleatorios 7. Explique los conceptos de verificación y validación en una simulación La validación es el proceso de comparación de un modelo con el sistema real que representa. La verificación es el proceso de determinar que un modelo es internamente consistente y sigue la lógica del modelo conceptual. 8. ¿Cuándo es apropiado usar un modelo de simulación en incrementos de tiempo de evento siguiente? Un modelo de incremento de tiempo de evento se debe utilizar cuando es necesario registrar la información cada vez que cambia el estado del sistema. Por ejemplo, si se desea determinar el tiempo promedio que un cliente espera en la cola, es necesario saber con precisión el tiempo que persona entra en la línea y el momento en que sale de la persona fila. Esto no se puede lograr con un modelo de incremento de tiempo fijo. 9. En la simulación de la política de pedidos de taladros Simkin’s Hardware, ¿cambiarían los resultados (tabla 15.9) de manera significativa si se simulara un periodo más largo? ¿Por qué es válida o inválida la simulación en un periodo de 10 días?

Los resultados se cambiarían con mucha probabilidad, y quizá de manera significativa, si un período más largo fue simulado. La simulación de 10 días es válida sólo para ilustrar las características del sistema. No sería seguro predecir sobre la base de ese corto lapso. 10. ¿Por qué es necesaria una computadora para llevar a cabo una simulación práctica? Una computadora es necesaria por tres razones: • Que puede hacer periodos de tiempo o ensayos en cuestión de segundos o minutos, • Que puede examinar y permitir un cambio en las complejas interrelaciones que se estudian rápidamente. • Puede internamente (a través de una declaración de subrutina o función) generar números aleatorios por los miles o millones



11. ¿Qué son los juegos operacionales? ¿Qué es una simulación de sistemas? Proporcione ejemplos acerca de cómo pueden aplicarse cada uno Los juegos operacionales son una simulación de la participación de jugadores de la competencia. Ejemplo, administración de negocios, juegos militares, entre otros. La simulación de sistemas prueba el entorno operativo de un sistema de gran tamaño, como una corporación, gobierno u hospital. 12. ¿Cree que la aplicación de la simulación aumentará considerablemente en los siguientes 10 años? ¿Por qué sí o por qué no? Simulación si aumentara su uso por varias razones: • Equipos se encuentran en todos los tipos y tamaños de empresas • Lenguajes de simulación pueden ser refinados y hacen más fácil para los administradores su uso, especialmente con el advenimiento de los enfoques de hojas de cálculo • La masa de graduados formados en QA entrar en el mundo de los negocios es cada vez mayor, la disminución de la resistencia a las técnicas sofisticadas • Los problemas complejos no serán menos en la naturaleza. 13. ¿Por qué preferiría un analista utilizar un lenguaje de propósitos generales tales como BASIC en una simulación en donde haya ventajas para el uso de lenguajes de propósitos múltiples tales como GPSS/H, SIMSCRIPT 11.5 y SLAM II? "C o BASIC " es un popular lenguaje común. El aprendizaje de un lenguaje de simulación especializado puede ser largo y difícil. Para las simulaciones regulares, lenguajes regulares pueden ser suficientes. Es posible que tome unos segundos extra de tiempo de CPU de la computadora (GPSS y SIMSCRIPT son muy eficientes), pero el tiempo de computadora es a menudo un coste fijo.



Prácticas de Simulación usando el Método Montecarlo Puerto de Nueva Orleans Las barcazas totalmente cargadas llegan de noche a Nueva Orleans, donde culminan sus tediosos viajes a lo largo del Río Mississippi desde las ciudades industriales del medio oeste. El número de barcazas que atracan una noche cualquiera varía desde 0 hasta 5. La probabilidad de 0, 1, 2, 3, 4 o 5 llegadas se muestran en la siguiente tabla: Número de llegadas 0 1 2 3 4 5

Probabilidad 0.13 0.17 0.15 0.25 0.20 0.10

Probabilidad Acumulada 0.13 0.30 0.45 0.70 0.90 1.00

Intervalo de Números Aleatorios 01 a 13 14 a 30 31 a 45 46 a 70 71 a 90 91 a 100

En la misma tabla, se establecen probabilidades acumuladas e intervalos de números aleatorios correspondientes por cada valor posible. Un estudio realizado por el superintendente del muelle revela que debido a la naturaleza de su carga, el número de barcazas descargadas también tiende a variar de un día al siguiente. Además, presenta esta información a partir de la cual se puede crear una distribución de probabilidad de la variable tasa de descarga diaria en la siguiente tabla: Tasa diaria de descarga 1 2 3 4 5

Probabilidad 0.05 0.15 0.50 0.20 0.10

Probabilidad Acumulada 0.05 0.20 0.70 0.90 1.00

Intervalo de Números Aleatorios 01 a 05 06 a 20 21 a 70 71 a 90 91 a 100



Tomando en cuenta estos datos, trataremos de resolver este problema utilizando los números aleatorios que genera Excel, y estos fueron los resultados:

En esta tabla de resultados de Excel, podemos notar que: -

El número promedio de retrasos por noche es de: 1.33 barcazas retrasadas por día El número promedio de llegadas por noche es de: 1.87 barcazas que han llegado por día El número promedio de descargas por noche es de: 1.87 barcazas por día



Problema 15.18 PUERTO DE NUEVA ORLEANS Un incremento del tamaño del equipo de descarga de Nueva Orleans (vea sección 15.5) ha provocado una distribución de probabilidades de las tasas diarias de descarga. En particular las de la tabla 15.11 pueden revisarse como se muestra a continuación: Tasa diaria de descarga 1 2 3 4 5 6

Probabilidad 0.03 0.12 0.40 0.28 0.12 0.05

(a) Simule de nuevo 15 días de descargas de las barcazas y calcule el número promedio de éstas que se retrasan, el número promedio de llegadas nocturnas y el número promedio de barcazas descargadas cada día. Obtenga números aleatorios de la fila inferior de la tabla 15.5 para generar las llegadas diarias y genere las tasas diarias de descarga a partir de la penúltima fila (b) ¿De qué manera se comparan los resultados simulados con los que se presentan en el capítulo? Desarrollando este problema por medio de Excel y generando los números aleatorios por medio de esta misma herramienta obtenemos que:

En la tabla de resultados de Excel, podemos notar que: -

El número promedio de barcazas que se retrasan por día es de 0.33


-


El número promedio de barcazas que llegan por día es de 2.07 El número promedio de barcazas que son descargadas por día es de 2.07

En comparación con el problema anterior, los retrasos disminuyeron y las llegadas y descargas aumentaron por lo que es recomendable aumentar el tamaño del equipo de descarga. Problema de Simkin’s Hardware Mark Simkin, el propietario y gerente general de la ferretería Simkin’s Hardware, quiere determinar una política de inventario eficiente y de bajo costo para manejar un producto en específico: el taladro eléctrico modelo Ace. Debido a la complejidad de la situación, ha decidido utilizar la simulación para ayudarse. Estos son los datos del problema:

Al evaluar este problema en Excel, tenemos como resultado lo siguiente:

Según este resultado, se deberán realizar pedidos en 4 ocasiones. -

El promedio de inventario inicial es de 3.27 unidades por día El promedio de inventario final es de 2.33 unidades por día El promedio de demanda es de 3.27 unidades por día



Tarea   

Investigar sobre las pruebas de Chi Cuadrado y la prueba de Kolmorogov – Smirnov para determinar tipo de distribución. Minitab hay otro que se llama Easy Fit (Pruebas de bondad de ajustes) Minitab – estadística – tablas - pruebas de chi cuadrado (una sola variable) Bajar el manual de Flexim

Desarrollo

Prueba Chi Cuadrado Devuelve la prueba de independencia. PRUEBA.CHI devuelve el valor de la distribución chi cuadrado (χ2) para la estadística y los grados de libertad apropiados. Las pruebas χ2 pueden utilizarse para determinar si un experimento se ajusta a los resultados teóricos. Sintaxis PRUEBA.CHI(rango_actual;rango_esperado) Rango_actual esperados.

es el rango de datos que contiene observaciones para probar frente a valores

Rango_esperado es el rango de datos que contiene la relación del producto de los totales de filas y columnas con el total global. Observaciones  

Si rango_actual y rango_esperado tienen un número diferente de puntos de datos, PRUEBA.CHI devuelve el valor de error #N/A. La prueba χ2 primero calcula una estadística χ2 utilizando la fórmula:

donde: Aij = frecuencia actual en la i-ésima fila, j-ésima columna Eij = frecuencia esperada en la i-ésima fila, j-ésima columna r = número de filas c = número de columnas

PORTAFOLIOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES  




Un valor bajo de χ2 es un indicador de independencia. Como se puede ver en la fórmula, χ 2 siempre es positivo o 0, y es 0 sólo si Aij = Eij para todo i,j. PRUEBA.CHI devuelve la probabilidad de que un valor de la estadística χ2 como mínimo tan elevado como el valor calculado mediante la fórmula anterior pueda haberse producido al azar en el supuesto de independencia. Al calcular esta probabilidad, PRUEBA.CHI utiliza la distribución χ 2 con un número adecuado de grados de libertad, df. Si r > 1 y c > 1, entonces df = (r - 1)(c - 1). Si r = 1 y c > 1, entonces df = c - 1 o si r > 1 y c = 1, entonces df = r - 1. r = c= 1 no está permitido y se devuelve #N/A. Es más apropiado utilizar PRUEBA.CHI cuando Eij no son demasiado pequeños. Algunos estadísticos sugieren que cada Eij debería ser mayor o igual a 5. Ejemplo El ejemplo puede resultar más fácil de entender si lo copia en una hoja de cálculo en blanco.

A

B

C

1

Hombres (Real)

Mujeres (Real)

Descripción

2

58

35

Están de acuerdo

3

11

25

Neutrales

4

10

23

No están de acuerdo

5

Hombres (Esperado)

Mujeres (Esperado)

Descripción

6

45,35

47,65

Están de acuerdo

7

17,56

18,44

Neutrales

8

16,09

16,91

No están de acuerdo

Fórmula

Descripción (Resultado)

=PRUEBA.CHI (A2:B4;A6:B8)

La estadística χ2 de los datos anteriores es 16,16957 con 2 grados de libertad (0,000308).



Prueba de Kolmogorov-Smirnov para distribución normal En estadística, la prueba de Kolmogórov-Smirnov (también prueba K-S) es una prueba no paramétrica que se utiliza para determinar la bondad de ajuste de dos distribuciones de probabilidad entre sí. En el caso de que queramos verificar la normalidad de una distribución, la prueba de Lilliefors conlleva algunas mejoras con respecto a la de Kolmogórov-Smirnov; y, en general, el test de Shapiro–Wilk o la prueba de Anderson-Darling son alternativas más potentes. Conviene tener en cuenta que la prueba Kolmogórov-Smirnov es más sensible a los valores cercanos a la mediana que a los extremos de la distribución. La prueba de Anderson-Darling proporciona igual sensibilidad con valores extremos http://www.youtube.com/watch?v=5xYoOMDMCws

Se supone que el tiempo de llegada tiene una distribución de poisson . Demostrar que ese tiempo de llegada tiene una distribución de Poisson.

Miu=lambda


Análisis de decisión Problema de ejemplo: Problema 3.16 del libro de Taha

Los Resultados, resolviendo en QM:



El mejor valor esperado es Best EV, es decir 75,000 El valor esperado de información perfecta es de 66 000:

EL criterio de minimax nos genera la matriz de arrepentimiento (Minimax Regret)






Problema 3.24 Brilliant Color En Excel

En QM

Conclusión: Se debe comprar 11 debido a que nos da una utilidad de 385 y es la mejor alternativa



Problema 3.25 Megley Cheese Company En Excel

En QM

Debo comprar 8 cajas para obtener una utilidad de $352.50, ya que este es el mejor valor esperado



Problema 3.26 Farm Grown Inc Precio DE VENTA Costo 1 Costo 2

$15.000 $5.000 $16.000 Vender

comprar comprar comprar Proabailidad

Vender

Vender

100 200 300 100 $1,000.000 $900.000 $800.000 200 $1,000.000 $2,000.000 $1,900.000 300 $1,000.000 $2,000.000 $3,000.000 0.3

0.4

0.3

Valor ESPERADO 900 1670 2000 Comprar 300


ARBOL DE DECISIÓN Problema 3.32 de Render



Problema 3.35




Tarea de Render del Capítulo 3

Autoevaluación 1. En la terminología de la teoría de la decisión, un curso de acción o estrategia que la persona que toma las decisiones podrá elegir se conoce como: a. Pago  Alternativa b. Estado de la naturaleza c. Ninguna de las anteriores 2. En la teoría de la decisión, las probabilidades están asociadas con a. Ganancias b. Alternativas  Estados de la naturaleza c. Ninguna de las anteriores 3. Si las probabilidades están disponibles para quien toma las decisiones, entonces el ambiente para la toma de decisiones se conoce como a. Certidumbre b. Incertidumbre  Riesgo c. Ninguna de las anteriores 4. ¿Cuál de las siguientes corresponde a un criterio para la toma de decisiones que se emplea bajo riesgo?  Criterio del valor monetario esperado a. Criterio Hurwicz (criterio de realismo) b. Criterio de igualdad de probabilidad 5. La mínima perdida de oportunidad esperada a. Es igual a la mayor ganancia esperada b. Es mayor que el valor esperado con información perfecta c. Es igual al valor esperado de la información perfecta  Se calcula cuando se encuentra la decisión de arrepentimiento minimax 6. Cuando se emplea el criterio de realismo (criterio de Hurwicz) el coeficiente de realismo (α)



a. Es la probabilidad de un buen estado de la naturaleza  Describe el grado de optimo en el que se basa el proceso de toma de decisiones. b. Describe el grado de pesimismo en el que se basa el proceso de toma de decisiones. c. Es por lo general menor a cero 7. Lo máximo que una persona debe pagar por la información perfecta es  El EVPI a. El máximo EMV menos el mínimo EMV b. El máximo EOL c. El mínimo EMV 8. El criterio de minimo EOL siempre genera la misma decisión que a. El criterio maximax b. Pueden ser negativos en algunas ocasiones  El criterio de EMV máximo c. El criterio de la igualdad de probabilidades. 9. Se prefiere un árbol de decisión a una tabla de ganancia cuando a. Se debe tomar un numero de decisiones secuenciales  Las probabilidades están disponibles b. Se emplea el criterio maximax c. El objetivo es maximizar la perdida 10. El teorema de bayes se utiliza para revisar las probabilidades. Las probabilidades nuevas (revisadas) se conocen como a. Probabilidades a priori b. Probabilidades de muestra c. Probabilidades de encuesta  Probabilidades a posterior 11. En un árbol de decisión, en cada nodo del estado de la naturaleza, a. Se selecciona una alternativa que tenga los valores más altos de EMV  Se calcula EMV b. Se añaden todas las posibilidades c. Se selecciona la rama que tiene la probabilidad más alta.



12. El EVSI a. Se obtiene al restar el EMV sin la información de muestreo de los valores EMV con información de muestreo b. Es siempre igual que el valor esperado de la información perfecta  Equivale a EMV con información de muestreo asumiendo el costo de la información menos EMV sin la información de muestreo c. Es por lo general negativo 13. Una vez que el árbol de decisión ha sido dibujado y las ganancias y probabilidades se han colocado en él, el análisis (cálculo de valores de EMV y selección de la mejor alternativa)  Se realiza trabajando hacia atrás (se comienza por el lado derecho y se sigue hacia izquierda) a. Se realiza trabajando hacia adelante (se comienza por el lado izquierdo y se sigue hacia la derecha) b. Se realiza comenzando por la parte superior del árbol y se sigue hacia abajo. c. No puede determinarse sin más información. 14. Cuando se estiman los valores utilidad a. El peor resultado representa una utilidad de -1 b. El mejor resultado representa una utilidad de 0  El peor resultado representa un valor de 0 c. El mejor resultado representa el valor de -1 15. Si una persona selecciona una alternativa que no maximiza los valores de EMV, se esperaría que dicha alternativa  Minimice el EMV a. Maximice la utilidad esperada b. Minimice la utilidad esperada c. Tenga una utilidad de cero asociada con cada una de las ganancias posibles.



PREGUNTAS PARA ANALISIS 1. Proporcione un ejemplo de una buena decisión que haya tomado y que haya resultado mal. También de un ejemplo de una mala decisión que haya tomado y que haya dado buen resultado ¿Por qué fue buena o mala cada una de estas decisiones? Siento que una buena decisión fue la de ir a competir en junio a Panamá, para representar a la universidad pero resultó mal debido a que cuando regrese no tuve el tiempo suficiente para ponerme al día y dos de las seis materias que tengo que dar este semestre, casi las fracaso. Una mala decisión fue la de aceptar un trabajito de realizar unas encuestas, ya que siento que he perdido algo de tiempo pero siento que ha resultado bien porque tengo independencia y he aprendido a desenvolverme frente a personas que no conozco. La primera decisión fue buena porque me trajo buenos resultados pero los siguientes resultados fueron malos. La segunda decisión fue mala porque el trabajo me salió para una semana en la que no he tenido mucho tiempo para estudiar ni hacer tareas pero a pesar de todo, he sabido cómo sacar todo adelante y aprovechar la oportunidad de aprender más 2.

Describa que está involucrado en el proceso de toma de decisión Están involucradas las siguientes fases para el proceso de toma de decisiones:  Definir el problema  Elaborar una lista con posibles alternativas  Identificar los posibles resultados o estados de la naturaleza  Listar el pago o utilidad de cada combinación de alternativas y resultados.  Seleccionar uno de los modelos matemáticos del proceso de toma de decisiones  Aplicar el modelo y tomar su decisión.

3. ¿Qué es alternativa?, ¿Qué es un estado de la naturaleza? R/ Alternativa es el curso de acción o estrategia que puede seleccionase por quien toma las decisiones. Estado de la naturaleza es el resultado sobre el que se tiene poco o ningún control por parte de la persona que toma las decisiones



4. Exponga las diferencias entre proceso de toma de decisiones bajo certidumbre, de riesgo y de incertidumbre Bajo certidumbre

De riesgo

Incertidumbre

Conocen con certeza la Hay varios resultados Hay varios resultados consecuencia de cada una posibles para cada posibles para cada de las alternativas alternativa alternativa Seleccionaran la alternativa que maximizara su bienestar o que dará el mejor resultado

Quien toma la decisión Quien toma la decisión no conoce la probabilidad de conoce las probabilidades que cada uno de estos de los diferentes resultados resultados ocurra

5. ¿Qué técnicas se emplean para resolver los problemas de toma de decisiones bajo incertidumbre?, ¿Qué técnicas provoca una decisión optimista?, ¿Cuál produce una decisión pesimista? R/ Las técnicas que se emplean para resolver problemas de toma de decisiones bajo incertidumbre son:  Maximax (optimista)  Maximin (pesimista)  Criterio de realismo (criterio de Hurwicz)  Igualdad de probabilidades (laplace)  Arrepentimiento minimax Las técnicas que provoca una decisión optimista: maximax Técnicas provoca una decisión pesimista: maximin 6. Defina perdida de oportunidad. ¿Qué criterio para la toma de decisiones se emplea en una tabla de pérdida de oportunidad? R/ Perdida de oportunidad a la diferencia entre el beneficio o pago óptimo de un determinado estado de la naturaleza y el pago real obtenido a partir de una decisión en particular; es decir, es la cantidad que se pierde por no haber seleccionado la mejor alternativa ante determinado estado de la naturaleza. Se emplea en el criterio de arrepentimiento minimax.



7. ¿Qué información debe colocarse en un árbol de decisión? Todos los arboles deben contener un nodo de decisión del que se pueden seleccionar varias alternativas y yn nodo de estado de la naturaleza a partir del cual podría ocurrir un estado de la naturaleza 8. Describa como determinaría la mejor decisión por medio del criterio de EMV mediante un árbol de decisión. R/Para el análisis de los problemas con árboles de decisión implica cinco fases:  Definir el problema  Estructurar o dibujar el árbol de decisión  Asignar probabilidad a los estados de la naturaleza  Calcular las ganancias de cada combinación posible de alternativas y estados de la naturaleza  Resolver el problema mediante el cálculo de los valores monetarios esperados de cada nodo de estado de la naturaleza. Esta operación se hace trabajando hacia atrás, es decir, se comienza desde derecha del árbol y se trabaja hacia el origen de los nodos de decisión que se encuentra a la izquierda. Además, en cada nodo de decisión se debe seleccionar la alternativa que tiene el mejor EMV. 9. ¿Cuál es la diferencia entre probabilidades previa y posterior? R/ La probabilidad previa o a priori son aquellas probabilidades son investigación de mercado. Y la probabilidad posterior son aquellas nuevas que ya está revisadas por medio del análisis bayesiano. 10. ¿Cuál es el propósito de un análisis bayesiano? Describa como utilizaría usted un análisis bayesiano en el proceso de toma de decisiones. R/ El propósito del análisis bayesiano es permitir a quienes toman las decisiones revisar los valores de probabilidad. El propósito del análisis bayesiano es determinar probabilidades posteriores basadas en probabilidades previas y la nueva información. Análisis bayesiano se puede utilizar en el proceso de toma de decisiones cada vez que se recoge información adicional. Esta información puede combinarse con probabilidades previas para llegar a probabilidades posteriores. Una vez que estas probabilidades posteriores se calculan, se pueden utilizar en el proceso de toma de decisiones como cualquier otro valor de probabilidad.



11. ¿Qué es EVSI? y ¿Cómo se calcula? R/ El valor esperado de la información de la muestra (VEIM) es el aumento en el valor esperado que resulta de tener información de la muestra. Se calcula como sigue: EVSI= (valor esperado con información de la muestra)+ (costo de la información)-(valor esperado sin información de la muestra) 12. ¿Cuál es el propósito general de la teoría de la utilidad? R/ El propósito de la teoría de la utilidad es conocer nuestras propias actitudes hacia el riesgo; utilizar únicamente criterios EMV no es siempre una buena forma de tomar estos tipos de problemas como: un afortunado de poseedor de un billete de lotería con un 50% de probabilidad de ganar o $2 millones de dólares seguros por vender ese billete. 13. Comente brevemente como puede estimarse una función de utilidad. ¿qué es un riesgo estándar y como se emplea para determinar los valores de utilidad? R/ Un riesgo estándar son las utilidades que corresponden al mejor y peor resultado. Se emplea determinando la p que corresponde al mejor resultado y (1-p) es la probabilidad de obtener el peor. 14. ¿Cómo se utiliza una curva de utilidad para seleccionar la mejor decisión en un problema en particular? R/ Cuando una curva de utilidad es usada en la toma de decisiones de un proceso, los valores de utilidad de la curva de utilidad reemplazan todos los valores monetarios en las ramas terminales de un árbol de decisión o en el cuerpo de una tabla de decisión. Entonces, utilidades esperadas se determinan en el misma manera como se esperaba valores monetarios. La alternativa con la utilidad esperada más alta se selecciona como la mejor decisión. 15. ¿Qué es una persona que busca el riesgo?, ¿Qué es una persona que siente aversión por el riesgo?, ¿en que difiere una curva de utilidad en estos tipos de personas que toman decisiones? R/ Las personas que buscan riesgos es un individuo con características que toma las decisiones, obtiene mayor utilidad a un riesgo más alto y pago potencial también mayor, a medida que se incrementa el valor monetario de su curva de utilidad, la utilidad se incrementa cada vez más. Una persona que es indiferente al riesgo tiene una curva de utilidad que corresponde a una línea recta.



La forma de la curva de utilidad de una persona depende de la decisión específica que se considere, los valores monetarios involucrados en la situación, el perfil psicológico del individuo y la manera en que siente acerca del futuro.



Tarea del Capítulo 16 de Render AUTOEVALUACIÓN

1. Si los estados de un sistema o proceso son tales que el sistema solamente puede encontrarse en un estado a la vez, entonces los estados son: a. Colectivamente exhaustivos  Mutuamente excluyentes c. Absorbentes d. Desvanecidos

2. El producto de un vector de probabilidades de estado y la matriz de probabilidades de transición producirá:  Otro vector de probabilidades de estado. a. Un desbarajuste sin sentido b. La inversa de la matriz de estado de equilibrio. c. Todas las anteriores d. Ninguna de las anteriores

3. En el largo plazo, las probabilidades de estado son de 0 y 1 a. En ningún caso b. En todos los casos  En algunos casos

4. Para encontrar las condiciones de equilibrio a. Debe conocerse el primer vector de probabilidades de estado. b. No es necesaria la matriz de probabilidades de transición.  Los términos generales del vector de probabilidades de estado se utilizan en dos ocasiones.



5. ¿Cuál de las siguientes no es un supuesto del análisis de Markov? a. Existe un número limitado de estados posibles.  Existe un número limitado de periodos futuros. b. Un estado futuro puede predecirse a partir del estado anterior y la matriz de probabilidades de estado. c. El tamaño y composición del sistema no cambian durante el análisis. d. Todos los anteriores son supuestos del análisis de Markov.

6. En el análisis de Markov, las probabilidades de estado deben:  Sumar 1 b. Ser menos que 0 e. Ser menores que 0.01 f.

Ser mayores que 1

g. Ser mayores que 0.01

7. Si las probabilidades de estado no cambian de un periodo al siguiente, entonces:  El sistema se encuentra en equilibrio. a. Cada probabilidad de estado debe ser igual a 0. b. Cada probabilidad de estado debe ser igual a 1. c. El

sistema

se

encuentra

en

un

estado

8. En la matriz de las probabilidades de transición,  La suma de las probabilidades de cada fila debe ser igual a 1. b. La suma de las probabilidades de cada columna debe ser igual a 1. c. Por lo menos debe haber un 0 en cada columna. d. Debe haber por lo menos un 0 en cada columna.

fundamental.



9. Es necesario utilizar la matriz fundamental a. Para encontrar las condiciones de equilibrio cuando no existen estados absorbentes.  Para encontrar las condiciones de equilibrio cuando hay uno o más estados b. Para encontrar la matriz de probabilidades de transición c. Para encontrar la inversa de la matriz.

10. En el análisis de Markov, la matriz de probabilidades de transición nos permite pasar de un estado actual a un estado futuro.

11. En el análisis de Markov, se supone que las probabilidades de estados son tanto colectivamente exhaustivos como mutuamente excluyentes.

12. El Vector de probabilidades de estado es la probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado específico.



PREGUNTAS DE ANÁLISIS

16.1 Presente los supuestos en los que se basa el análisis de Markov. Análisis de Markov requiere el uso de álgebra matricial, principalmente matriz multiplicación. Es posible que desee que los estudiantes revisen básica conceptos de álgebra de matrices antes que el material en el capítulo sea cubierto. Si va a cubrir absorber el análisis del estado en los detalles, será necesario álgebra matricial más avanzada, incluyendo la identidad matriz, la resta de la matriz, y la inversa de una matriz.

16.2 ¿Qué son el vector de probabilidades de estado y la matriz de probabilidades de transición y cómo pueden determinarse? Análisis de Markov requiere una matriz conocida y estable de transición. Los estudiantes deben ser informados de que el análisis de Markov no es válido si el matriz de transición no permanece la misma. Un pequeño cambio en la matriz de transición se puede hacer una gran diferencia en el equilibrio cálculos.

16.3 Describa cómo se puede utilizar el análisis de Markov para hacer predicciones. Hay un número de aplicaciones de análisis de Markov. Las aplicaciones cuadro en este capítulo se presenta un ejemplo. Los estudiantes pueden ser pedido encontrar aplicaciones adicionales en el análisis cuantitativo / revistas de ciencias de gestión, tales como interfaces. Además, los estudiantes se le puede pedir a desarrollar sus propios problemas. Por ejemplo, Análisis de Markov se puede utilizar para predecir el porcentaje de estudiantes quien estará en determinadas carreras

el

próximo

año

o

en

el

largo

plazo.



16.4 ¿Qué es una condición de equilibrio? ¿Cómo se sabe que existe una condición de equilibrio, y cómo pueden calcularse las condiciones de equilibrio con base en la matriz de probabilidades de transición? Aunque el análisis de sensibilidad no es una parte formal del material discutido en este capítulo, es un tema importante e interesante. Los estudiantes se les puede pedir para determinar el grado de sensibilidad de los resultados de Análisis de Markov son a los cambios en los valores de probabilidad

16.5 ¿Qué es un estado absorbente? Dé varios ejemplos de estados absorbentes. Como se mencionó en este capítulo, las condiciones de equilibrio no dependen en el estado o condición inicial. El único factor que debe considerarse es la matriz de transición. Si bien esto es cierto, el tiempo o número de periodos necesarios para enfoque de equilibrio es una función del estado inicial. Los estudiantes se les puede pedir para determinar qué impacto tiene el estado inicial en el número de períodos que toma para alcanzar el equilibrio.

16.6 ¿Qué es la matriz fundamental y cómo se utiliza para determinar condiciones de equilibrio? Absorbiendo el análisis del estado requiere álgebra de matrices más complejas, incluyendo la inversa de la matriz (I-B). Si va a entrar en las matemáticas de la absorción de un análisis del estado, puede que tenga que pasar tiempo adicional que cubre el álgebra matricial más avanzada. Un enfoque alternativo es para cubrir los supuestos y enfoque general del modelo y dejar los cálculos para el equipo.



PROBLEMAS DE EJEMPLO Problema de Ejemplo 1 George Walls, director de Bradley School, se encuentra preocupado por el número decreciente de inscripciones. Bradley School es una universidad técnica que se especializa en capacitar programadores y operadores de computadoras. A lo largo de los años, ha habido mucha competencia entre Bradley School, International Technology y Career Academy. Las tres compiten por proporcionar educación en las áreas de programación y operación de computadoras, así como en la de habilidades secretariales básicas. Para comprender mejor cuál de estas escuelas será la líder en el área, George decidió llevar a cabo una encuesta. En ella analizó el número de estudiantes que se cambiaban de una escuela a otra durante sus carreras académicas. En promedio, Bradley School fue capaz de retener 65% de sus estudiantes inscritos originalmente. Sin embargo, 20% de los estudiantes que al principio se inscribieron en ella se fueron a Career Academy y 15% a T International Technology. De estas dos, Career Academy tuvo la tasa de retención más alta: 90% de sus estudiantes se quedaron en ella hasta terminar totalmente su programa académico. George estima que alrededor de la mitad de los estudiantes que abandonan Career Academy entran a Bradley School y la otra mitad a International Technology. Esta última pudo retener 80% de sus estudiantes después de que se inscribieron. Por otra parte, 10% de los estudiantes inscritos originalmente se cambiaron a Career Academy y el otro 10% se inscribió en Bradley School. Actualmente, Bradley School tiene 40% del mercado. Career Academy, la cual es mucho más nueva, tiene 35o/o del mercado. La participación de mercado restante (25%) consiste en estudiantes que asisten a International Technology. A George le gustaría determinar la participación de mercado de Bradley en el próximo año. ¿Cuáles son las participaciones de mercado en equilibrio de las tres escuelas? Solución Los datos de este problema se resumen de la siguiente forma: Estado 1 participación inicial = 0.40-Bradley School



Estado 2 participación inicial = 0.35-Career Academy Estado 3 participación inicial = 0.25-International Technology Los valores de la matriz de transición son: A DE

1 Bradley

2 Careff

3 International

1 Bradley

0.65

0.20

0.15

2 Careff

0.05

0.90

0.05

3 International

0.10

0.10

0.80

Para que George determine la participación de mercado de Bradley School durante el próximo año que multiplicar las participaciones de mercado actual por la matriz de probabilidades de continuación se muestra la estructura general de estos cálculos: {0.40 0.35 0.25) [0.65 0.20 0.15] 0.05 0.90 0.05 0.10 0.10 0.80

En consecuencia, la participación de mercado de Bradley School, International Academy puede calcularse multiplicando las participaciones de mercado actual por las probabilidades la matriz de transición, tal como se muestra. El resultado será una nueva matriz con uno de los cuales representa la participación de mercado de una de las escuelas. Los cálculos de la matriz son los siguientes: Participación de mercado de Bradley School = (0.40) (0.65) + (0.35) (0.05) + (0.25) (0.10) = 0.303 Participación de mercado de Career Academy = (0.40) (0.20) + (0.35) (0.90) + (0.25) (0.10)= 0.420 Participación de mercado de International Technology = (0.40) (0.15) + (0.35) 0.05+ (0.25) (0.10)= 0.278



Ahora, a George le gustaría calcular las proporciones de mercado en equilibrio de las condiciones de equilibrio, la participación de mercado futura es igual a la participación tente o actual multiplicada por la matriz de probabilidades de transición. Si las diversas participaciones de mercado de estas tres escuelas, es posible desarrollarlas y permite calcular las participaciones de mercado en equilibrio.

X1 =participación de mercado de Bradley School X 2 =participación de mercado de Career Academy X 3 = participación de mercado de International Technology En equilibrio,

El siguiente paso consiste en hacer las multiplicaciones apropiadas en el lado de hacerlas será posible obtener tres ecuaciones con los tres valores de la incógnita i-. Suma de las proporciones de mercado en cualquier periodo debe sumar l. De esta ecuación se puede mejorar cuatro ecuaciones que se resumen como: X1 =0.65X1 +0.05X 2 +O.lOX3 X 2 =0.20X1 +0.90X2 +0.10X3 X3 =0.15X1 +0.05X2 +0.80X3 X1 +X2 +X3 =l Debido a que hay cuatro clasificaciones y sólo tres incógnitas, se puede borrar III superiores y dejar así tres ecuaciones y tres incógnitas. Estas ecuaciones puede mediante procedimientos algebraicos estándar para obtener los valores en equilibrio de Bradley School, International Technology y Career Aca estos cálculos se muestran en la siguiente tabla:



ESCUELA

PARTICIPACIÓN DE MERCADO

X1 (Bradley)

0.158

X2 (Career)

0.579

X3 (International)

0.263

Problema 2 Central State University administra exámenes de competencia en computación cada año. Estos exámenes permiten a los estudiantes "exentar" la clase de introducción a la computación que se imparte en la universidad. Los resultados de los exámenes pueden clasificarse en uno de los siguientes cuatro estados: Estado 1: aprobación de todos los exámenes de cómputo y exención del curso Estado 2: no se aprueban todos los exámenes de cómputo en el tercer intento y se requiere tomar el curso Estado 3: reprobar los exámenes de cómputo en el primer intento Estado 4: reprobar los exámenes de cómputo en el segundo intento El coordinador de los exámenes del curso ha anotado la siguiente matriz de probabilidades de transición

Actualmente hay 200 estudiantes que no aprobaron todos los exámenes en el primer intento. Además, 50 alumnos no pasaron en el segundo intento. En el largo plazo, ¿cuántos estudiantes estarán exentos del curso debido a que pasaron los exámenes? ¿Cuántos de los 250 alumnos tendrán que tomar el curso de computación?



Solución Los valores de la matriz de transición se resumen de la siguiente forma:

El primer paso para determinar cuántos estudiantes tendrán que tomar el curso y cuántos lo exentarán consiste en dividir la matriz de transición en cuatro matrices. Éstas son las matrices J, O, A y B:

El siguiente paso es calcular la matriz fundamental, la cual se representa por la letra F. Esta matriz en determina al restar la matriz B de la matriz I para luego tomar la inversa de los resultados:

Primero se encuentra que



r = ad - be = (0.9) (0.8) - (-0.4) (- 0.1) = 0.72- 0.04 = 0.68

Ahora se multiplica la matriz F por la matriz A. Este paso es necesario para determinar cuántos estudiantes estarán exentos de tomar el curso y cuántos lo tendrán que tomar:

El paso final consiste en multiplicar los resultados de la matriz FA por la matriz M, como se muestra a continuación:

Como puede observarse, la matriz MFA consta de dos números. El número de estudiantes que se encuentra en el curso es de 231. El número de alumnos que finalmente tendrán que tomar el curso es de 19.


Ejercicios cortos PARCIAL 1







Quiz 1







QUIZ 2






Reflexión de Aprendizaje Al terminar todas mis asignaciones y finalizar los parciales, estoy convencida que investigación de operaciones es una materia que quiero seguir estudiando, ya que tiene mucho campo de estudio y me ayudara en mi camino a la logística. Observo que se pudiese estudiar esta materia en inglés, ya que tenemos problemas para manejar programas en inglés como flexim, Tora, WINqsb, qM. Soy buena en esto y quiero dar lo mejor de mí y estoy segura que quiero aplicar este conocimiento en mi futuro profesional como ingeniera industrial, para poder optimizar recursos y maximizar utilidades a lo más que pueda, en las empresas que trabaje o en mi propia empresa. Esta materia es muy difícil de entender y creo que la domino bastante bien. Para mí fue un reto el alcanzar mi meta de ser una excelente ingeniera industrial y demostrar mis conocimientos para hacer crecer mi futuro profesional. Creo que me siento muy entusiasmada cada vez que yo tengo estos retos, materias como estas dan pie a desarrollar la capacidad lógica y analítica de un ingeniero.

Portafolios de IO

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