PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Determine Determine el espacio factible para cada una de las siguientes restricciones independientes, independientes, cuando X1, X2≤ a. -3X1 + X2 ≤ 6 b. X1 – 2X2 ≤ 6 c. 2X1 -3X2 ≥ 5 d. X1 –X2 ≤ 0 e. –X1 + X2 ≥ 0 2.
Identifique la dirección de aumento de z, en cada uno de los
a. b. c. d. 3.
casos siguientes:
Maximizar Z = X 1 –X2 Maximizar Z = - 5X 1 -6X2 Maximizar Z = - X 1 + 2X2 Maximizar Z = - 3X 1 + X2
En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (lb) de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:
Alimento Maíz Soya
Lb por lb de alimento Proteínas Fibras 0.09 0.02 0.6 0.06
Costo ($/lb) 0.3 0.9
Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que Produzcan un costo diario mínimo. 4. Un restaurante busca optimizar sus ingresos por la venta de postres puede disponer de 4 diferentes tipos, natillasm gelatinas, budín y dulce, los cuales requieren de azúcar y leche condensada en las cantidades que se señalan en la siguiente Tabla. Postre Natilla Gelatina Budín Dulce
Azúcar grs. 60 70 90 120
Leche mls 120 135 170 200 2 00
Precio $/u 3.5 3. 5 3.6 4.0 4.6
Si el restaurante dispone de una entrega de 10 Kgs. De azúcar y 18 Lts, de leche condensada Cuantos deberá preparar de cada tipo de postre? 5. Una fábrica de quesos debe elaborar estas con un contenido de grasa no mayor del 20 % , para la cual puedo adquirir 2 tipos diferentes de leche, el primer tipo tiene un 25 % de grasas y cuesta 1.2 $/Lts, mientras que el segundo tipo contiene 16 % de grasa y su costo es de 1.7 $/Lts, ¿Cómo deberá mesclar estas leches para preparar queso a un costo mínimo? 6. Un supermercado puede poner en sus estantes 3 nuevos productos lo cuales le ocuparían 3,5 y 5 estantes respectivamente y le proporcionaría 6,7 y 8.5 $ de ingresos adicionales respectivamente
si el supermercado cuenta con 80 estantes para colocar estos productos ¿cuantos productos de cada tipo deberá colocar de tal modo que maximice sus ingresos adicionales? 7. Un proveedor de materiales de construcción desea preparar grava que contenga por lo menos el 65 % de materiales de ½”, para esto cuenta con 3 tipos de materias primas las cuales contiene 80, 60 y 58 % de materiales de ½” con un costo de 10, 7 y 6.5 $/Ton, respectivamente.? Como deberá mezclar estas 3 materias primas para preparar una tonelada de grava a un costo mínimo? 8. Un taller de herrería busca sus utilidades fabricando 2 tipos diferentes de puertas el taller cuenta con 150 kg. De fierro y 70 hrs, de tiempo disponible, La puerta tipo numero I, requiere de 10 KG. De fierro y 6 Hrs de tiempo dando una utilidad de $180, mientras que el segundo tipo necesita de 12 Kg. De fierro y 7 Hrs, de tiempo, con una utilidad de $200, ¿Cuantas puertas de cada tipo deberá fabricar el taller de manera que maximice sus utilidades. 9. Una industria(5) productora de muebles fabrica mesas, sillas, escritorios y libreros utilizando dos tipos diferentes de maderas A y B; de las cuales dispone de 3600 y 2000 pies respectivamente. Cada mesa, silla, escritorio y librero requieren 5, 1,9 Y 12 pies 2 de madera tipo A y 2, 3, 4 Y 3 pies 2 de madera tipo B. Cuenta con 1200 horas hombre para este trabajo. Para la fabricación una mesa requiere 3 horas hombre, una silla 2, un escritorio 5 y un librero 10. Los pedidos le exigen una producción mínima de 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y no más de 10 libreros. Las utilidades se estiman en $18000 por mesa, $ 7500 por silla,$22500 por escritorios y $27000 por librero. Cuántos muebles de cada tipo debe producir para obtener las mayores utilidades? 10. Juan debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos, y al mismo tiempo asistir a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en dos tiendas al menudeo: en la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas por semana, y en la tianda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas le pagan el mismo sueldo por hora. En consecuencia, Juan quiere basar su decisión acerca de cuántas horas trabajar en cada tienda en un criterio distinto: el factor de tensión en el trabajo. Con base en las entrevistas con otros empleados, Juan estima que en una escala de 1 a 10, los factores de tensión son 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Como la tensión aumenta cada hora, supone que la tensión total al final de la semana es proporcional a la cantidad de horas que trabaja en las tiendas. ¿Cuántas horas debería trabajar Juan en cada tienda? 11. OilCo construye una refinería para elaborar cuatro productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para aviones. Las demandas (en barriles/día) de esos productos son 14,000, 30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Irán y Dubai tienen contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irán, y el resto de Dubai. OilCo pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudos determinan dos proporciones distintas de productos: un barril de crudo de Irán rinde 0.2 barril de diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería, en barriles de crudo por día. 12.
Investigación Operativa I 13. La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes: Horas de Trabajo por Unidad Horas de Trabajo Departamento Disponibles Riesgo Especial Hipoteca Suscripciones 3 2 2400 Administración 0 1 800 Reclamaciones 2 0 1200 a. Formule un modelo de programación lineal. b. Use el método gráfi co para resolver el modelo. c. Verifique el valor exacto de su solución óptima del inciso b) con la solución algebraica de las dos ecuaciones simultáneas relevantes. 14. Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hot dogs y pan para hot dogs. Muelen su propia harina a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifi ca la entrega de 800 libras de productos de puerco cada lunes. Cada hot dog requiere de libra de producto de puerco. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hot dog requiere 3 minutos de trabajo y cada pan 2 minutos de este insumo. Cada hot dog proporciona una ganancia de $0.80 y cada pan $0.30. Weenies and Buns desea saber cuántos hot dogs y cuántos panes debe producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible. a. Formule un modelo de programación lineal para este problema. b. Use el método gráfico para resolver el modelo. 15. Electra produce dos clases de motores eléctricos, cada uno en una línea de producción aparte. Las capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y de 750 motores. El motor tipo 1 usa 10 unidades de cierto componente electrónico, y el motor tipo 2 usa 8 unidades. El proveedor de ese componente puede suministrar 8000 piezas por día. Las utilidades son $60 por cada motor de tipo 1 y $40 por cada uno de tipo 2. a. Determine la mezcla óptima de producción diaria. b. Determine el intervalo de optimalidad para la relación de utilidades unitarias que mantenga inalterada la solución en el punto a). 16. Se contrata a Enlatadora Popeye para que reciba 60,000 lb de tomates maduros a 7 centavos por libra, con los cuales produce jugo de tomate y pasta de tomate, ambos enlatados. Se empacan en cajas de 24 latas. En una lata de jugo se usa 1 lb de tomates frescos, y en una de pasta sólo de lb. La demanda de los productos en el mercado se limita a 2000 cajas de jugo y 6000 cajas de pasta. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de pasta son $18 y $9, respectivamente. a. Deduzca un programa óptimo de producción para Popeye.
b. Determine la relación de precios de jugo entre pasta que permita a Popeye producir más cajas de jugo que de pasta
