TEORÍA DE FLUJO POTENCIAL
INTRODUCCIÓN: En mecánica de fluidos, flujo potencial describe el campo de velocidad como el gradiente de una función escalar: el potencial de velocidad. Como resultado, un flujo potencial se caracteriza por un campo de velocidades irrotacional, que es una aproximación válida para varias aplicaciones. La irrotacionalidad de un flujo potencial es debido a la curvatura de un gradiente de estar siempre igual a cero. En el caso de un flujo incompresible el potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace, la teor!a del potencial es aplicable. "in embargo, los flujos de potenciales tambi#n se $an utilizado para describir los flujos compresibles. El enfoque de flujo de potencial se produce en el modelado de tanto estacionaria, as! como los flujos no estacionarios. Las aplicaciones de flujo potencial son, por ejemplo: el campo de flujo exterior de perfiles aerodinámicos, ondas de agua, flujo electroosmótica, el flujo de las aguas subterráneas. %ara flujos con efectos vorticidad fuertes, el potencial de flujo de aproximación no es aplicable
1.- TEORIA DEL FLUJO POTENCIAL
1
La teor!a de flujo potencial pretende describir el comportamiento cinemático cinemático de los fluidos basándose en el concepto matemático de función potencial, asegurando que el campo de velocidades &que es un campo vectorial' vectorial' del flujo de un fluido es igual al gradiente de una función potencial que determina el movimiento de dic$o fluido: V
∇∅
=−
(onde el campo de velocidades queda definido como. V =u i +v j + w ^k ⃗
^
^
El signo menos en la ecuación de arriba es sólo una convención de signos sobre la defini definició ción n de
∅
.
∅
puede definirse sin el signo menos la formulación que se
obtendr!a ser!a la misma. ) un fluido que se comporta seg*n esta teor!a se le denomina fluido potencial, que da lugar a un flujo flujo potencial. +na de las primeras primeras personas personas en aplicar esta formulaci formulación ón para el flujo de un fluido fue ()lembert. -l estudió la fuerza de resistencia producida por un flujo de fluido sobre un cuer cuerpo po que que se opon opon!a !a a #ste #ste en dos dos dime dimens nsio ione ness cuan cuando do este este prob proble lema ma era era completamente enigmático e/ton, a pesar de $aberlo estudiado, no $ab!a llegado a conclusiones satisfactorias. ()lembert ()lembert definió definió la función función de corriente, corriente,
Ѱ
, para para describi describirr la traectoria traectoria que tuviera tuviera
cada part!cula part!cula de un fluido a trav#s del tiempo. tiempo. Esta función función corriente está determinada, determinada, en el plan plano, o, por por dos dos varia variabl bles es espa espaci cial ales es para para cada cada valo valorr de Ѱ
1.1-
Ѱ
la igua iguald ldad ad
=Ѱ ( x , y ) , determina un lugar geom#trico llamado l!nea de corriente.
La N Naaturaleza de de
Ѱ
y su rela!"# $#
∅
%rimer %rimerame amente nte defini definirem remos os la funció función n corrie corriente nte en el plano, plano, para para luego luego expli explicar car sus cara caract cter er!s !stitica cas. s. La func funció ión n se defi define ne como como aque aquelllla a que que cump cumple le con con las las sigu siguie ient ntes es condiciones:
2
∂ Ѱ ∂ Ѱ =uy =− v ∂y ∂x
Las l!neas de corriente determinan la traectoria de una part!cula de fluido que se encuentra sobre #stas. )s!, por ejemplo, si una part!cula de fluido se $alla sobre la l!nea equipotencial de
lugar
Ѱ
geom#trico
=3 , tendrá una traectoria que se situará exactamente sobre el que
determinará
la
igualdad
Ѱ
( x , y )=3
&l!nea
de
corriente0traectoria es debido a que contemplamos un movimiento plano independiente de t 12&x,'1'. Esta propiedad de las l!neas de corriente exige que las funciones ∅
Ѱ
est#n 1sincronizadas1, a que la velocidad en cualquier punto del flujo de fluido será
siempre tangente a la traectoria de la l!nea de corriente. 3ácilmente se puede demostrar que la familia de curvas determinadas por la función corriente la función potencial de velocidades forman una red ortogonal, como se verá a continuación: %artimos del diferencial total de la función :
d ∅=
∂∅ ∂∅ dx + dy ∂x ∂y
)s! en cualquier curva equipotencial
=constante se cumplirá que
∅
∂∅ ∂∅ dx + dy =0 ∂x ∂y
Esto implica que:
( ) dy dx
∅=
= cte
−u
v
La misma propiedad se aplica a cada l!nea de corriente:
3
( ) dy dx
=
Ѱ =cte
u v
por lo cual de determina que:
( ) dy dx
( )
=−
Ѱ =cte
dy dx
∅=
cte
Esta propiedad de ambas funciones permite intercambiarlas para generar otros patrones de flujo , como las l!neas de corriente no pueden cortarse entre s!, no existe ning*n caudal que las atraviesa perpendicular a #stas. Esto permite suponer a las l!neas de corriente l!mites materiales, es decir, paredes u obstáculos que restringen o determinan el flujo que se desea estudiar. Esto a lo supuso ()lembert al estudiar el efecto de empuje de un flujo corriendo sobre un objeto que lo obstaculiza. Estudiando las propiedades de la función corriente la función potencial determinó que pod!an superponerse para generar as! un patrón de fluido que combinara diversos movimientos. "uperponiendo una fuente un sumidero de igual caudal obtuvo una circunferencia, que combinó con un flujo uniforme para modelar el flujo de fluido sobre un cilindro de longitud infinita. +na vez obtenido esto, demostró que la suma de las presiones sobre el cilindro se anulaban, lo que $ac!a que la fuerza resultante sobre el cilindro fuera cero. Esta es la llamada paradoja de ()lembert.
1.%-
&EDIDA' DE LA (I'CO'IDAD
La viscosidad de un fluido puede medirse por un parámetro dependiente de la temperatura llamado coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad: Coeficiente de viscosidad dinámico, designado como 4 o 5.
En unidades en el "6:
[ µ ]= [ Pa·s ] =[ kg.m−
[ ] =10− [ Pa·s ] =[ 10−
1 poise =1 P
1
1
1
−1
−1
kg.s . m
4
−1
.s
]
]
7 otras unidades:
Coeficiente de viscosidad cinemático, designado como 8, que resulta ser igual al cociente entre el coeficiente de viscosidad dinámica la densidad del fluido. 2 8 0 59. &En unidades en el "6: ;8< 0 ; m . s
1
−
<. En el sistema cegesimal es el sto=es &"t'.
En dinámica de fluidos, flujo potencial describe el campo de velocidad como el gradiente de una función escalar: el potencial de velocidad. Como resultado, un flujo potencial se caracteriza por un campo de velocidades irrotacional, que es una aproximación válida para varias aplicaciones. El irrotationalit de un flujo potencial es debido a la curvatura de un gradiente de estar siempre igual a cero. En el caso de un flujo incompresible el potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace, la teor!a del potencial es aplicable. "in embargo, los flujos de potenciales tambi#n se $an utilizado para describir los flujos compresibles. El enfoque de flujo de potencial se produce en el modelado de tanto estacionaria, as! como los flujos no estacionarios. Las aplicaciones de flujo potencial son, por ejemplo: el campo de flujo exterior de perfiles aerodinámicos, ondas de agua, flujo electroosmótica, el flujo de las aguas subterráneas.
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%ara flujos con efectos vorticidad fuertes, el potencial de flujo de aproximación no es aplicable. Caracter!sticas aplicaciones
1.)-
DE'CRIPCIÓN * CARACTERÍ'TICA'
En dinámica de fluidos, un flujo potencial se describe por medio de un potencial de velocidad f, que es una función del espacio el tiempo. La velocidad de flujo v es un campo vectorial igual al gradiente, del potencial de velocidad f: ) veces, tambi#n la definición v 0 > f, con signo negativo, se utiliza. %ero aqu! vamos a utilizar la definición anterior, sin el signo menos. (e cálculo vectorial se sabe, que el enrollamiento de un gradiente es igual a cero: en consecuencia, la vorticidad, el rizo del campo de velocidad v, es igual a cero: Esto implica que un potencial de flujo es un flujo irrotacional. Esto tiene consecuencias directas sobre la aplicabilidad de flujo potencial. En las regiones de flujo de vorticidad, donde se sabe que son importantes, tales como estelas capas l!mite, la teor!a del flujo potencial
no
es capaz de
proporcionar
predicciones
razonables del
flujo.
)fortunadamente, $a a menudo grandes regiones de un flujo donde el supuesto de irrotationalit es válida, por lo que el flujo de potencial se utiliza para diversas aplicaciones. %or ejemplo, en: flujo alrededor de los aviones, el flujo de las aguas subterráneas, la ac*stica, las ondas de agua el flujo electroosmótica.
1.+.- APLICA,ILIDAD * LI&ITACIONE' 3lujo potencial no inclue todas las caracter!sticas de las corrientes que se encuentran en el mundo real. %or ejemplo, el flujo de potencial exclue la turbulencia, que se encuentra com*nmente en la naturaleza. )demás, la teor!a de flujo potencial no se puede aplicar para los flujos internos viscosos. ?ic$ard 3enman considera el flujo potencial de ser no f!sico que el *nico l!quido que obedecer las premisas era 1agua seca1.
6
3lujo potencial incompresible tambi#n $ace una serie de predicciones válidas, como d)lembert paradoja, que establece que la fricción en cualquier objeto que se mueve a trav#s de un fluido infinito de otro modo en reposo es cero. @ás precisamente, el flujo de potencial no puede explicar el comportamiento de los flujos que incluen una capa l!mite. "in embargo, la comprensión de flujo potencial es importante en muc$as ramas de la mecánica de fluidos. En particular, simples flujos potenciales, tales como el vórtice libre el punto de origen poseen soluciones anal!ticas preparadas. Estas soluciones pueden superponerse para crear flujos más complejos que satisfacen una variedad de condiciones de contorno. Estos flujos se corresponden estrec$amente con las corrientes de la vida real sobre el conjunto de la mecánica de fluidos , además, surgen muc$as ideas valiosas al considerar la desviación entre el caudal observado el flujo potencial correspondiente. 3lujo potencial encuentra muc$as aplicaciones en campos como el diseAo de aeronaves. %or ejemplo, en la dinámica de fluidos computacional, es una t#cnica para acoplar una solución de flujo potencial fuera de la capa l!mite a una solución de las ecuaciones de capa l!mite dentro de la capa l!mite. La ausencia de efectos de capa l!mite significa que cualquier l!nea de corriente puede ser sustituido por un l!mite sólido con ning*n cambio en el campo de flujo, una t#cnica que se utiliza en muc$os enfoques de diseAo aerodinámico. Btra t#cnica ser!a el uso de sólidos ?iabouc$ins=. )nálisis para el flujo de dos dimensiones %otencial de flujo en dos dimensiones es simple para analizar el uso de mapeo conforme, por el uso de transformaciones del plano complejo. "in embargo, el uso de n*meros complejos no es necesario, como por ejemplo en el análisis clásico de flujo de fluido más allá de un cilindro. o es posible resolver un flujo potencial utilizando n*meros complejos en tres dimensiones.
7
1..- FLUJO POTENCIAL INCO&PRE'I,LE. En el caso de un flujo incompresible > por ejemplo de un l!quido, o un gas a bajos n*meros de @ac$7 pero no para las ondas sonoras > la velocidad v tiene cero divergencia: con el punto que denota el producto interior. Como resultado, el potencial de velocidad f tiene que satisfacer la ecuación de Laplace donde es el operador de Laplace. En este caso, el flujo se puede determinar por completo de su cinemática: los supuestos de irrotationalit cero divergencia del flujo. (inámica sólo tienen que ser aplicados despu#s, si se está interesado en presiones de computación: por ejemplo, para el flujo alrededor de superficies de sustentación a trav#s del uso del principio de ernoulli. En dos dimensiones, flujo potencial se reduce a un sistema mu simple que se analiza usando el análisis complejo.
1..1. C$#d!!$#es de $rde /ara Flu0$ P$te#!al. Las condiciones necesarias que vamos a tomar en este caso son que el flujo considerado sea: a.> 6ncompresible, ρ = Cte , o bien si es un gas por ejemplo aire, el n*mero de @ac$ M< 0.3, es decir la suposición de flujo incompresible , cosa que es válida para
aerodinámica subsónica. →
b.> %ermanente,
∂ V =0 ∂t
para todo el campo de flujo en estudio. (e esto se
desprende que, como la ecuación diferencial de la continuidad era :
8
→
→
→ → ∂ V ∂ V + grad × ρ V = 0 → + ρ gra d × V = 0 → ∂t ∂t
a partir de las condiciones a b, deducimos entonces que: →
→
grad × V = 0 → div V = 0 →
c.> 6rrotacional,
rot V = 0
d.> )nálisis D( o sea bidimensional. Llamamos movimiento bidimensional a aquel en que cada part!cula se mueve paralelamente a un plano fijo, (x,y)
las velocidades de todas las part!culas
correspondientes en profundidad, tienen la misma velocidad dirección. Es decir el campo es de vectores paralelos $omólogos en z desde -∞ a + ∞ . ) veces a este espacio donde la ocurrencia del los campos de velocidades presiones se repite sin cambios para todos los planos $omólogos paralelos a (x,y) desde -∞ a + ∞ se lo llama D.(. La restricción a dos dimensiones, asegura un análisis matemático fácil de manejar, aunque el potencial de velocidad se puede definir para cualquier flujo irrotacional, incluso en (, el t#rmino se asocia en general a flujo incompresible irrotacional en dos dimensiones. Ejemplo: el flujo en torno a un cilindro infinito por una corriente que lo embiste puede ser estudiado con análisis D(, para el análisis del flujo en torno a una esfera se requiere análisis (.
1..%- De!#!!"# de P$te#!al de (el$!dades. )plicando las condiciones c d junto con la definición de rotacional, llamando u v a las componentes de la velocidad de la part!cula en movimiento D(:
9
→
rot V =
i
j
j
u
v
0
∂v ∂u → ∂v ∂u ∂ ∂ ∂ k = 0 → = 0 → − − = 0 ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y
"i para este campo de velocidades, podemos encontrar una función escalar Φ que $aga cumplir la condición anterior, deber!a ser:
∂Φ ∂ x ∂Φ v= ∂ y
u
=
2
2
∂ Φ ∂ Φ → − =0 ∂ x∂ y ∂ y∂ x
∂Φ ∂ x o también ∂Φ v=− ∂ y u
=−
∂ 2Φ ∂ 2Φ →− + =0 ∂ x∂ y ∂ y∂ x
→
→
V = grad φ o bien V = − grad φ
Es decir el campo de velocidades se puede tomar: Esta condición se cumple si Φ es una función continua derivable con continuidad. ) tal campo escalar se lo llama %otencial del campo vectorial de velocidades inicial si es que existe, o 3unción %otencial,. La aplicación de la ecuación diferencial de la continuidad dará:
∂ 2Φ ∂ 2Φ grad × V = 0 → div V = 0 → + =0 ∂ x 2 ∂ y 2 →
→
lo que indica tambi#n que el campo escalar o 3unción %otencial es una función armónica, &recordamos que una función armónica es aquella que satisface para un campo escalar la ecuación de Laplace
∇ 2Φ = 0
'.
1..)- La Fu#!"# C$rr!e#te.
10
En flujo incompresible permanente, no pude fluir materia a trav#s de las l!neas de corriente a que por definición las velocidades de las part!culas son tangentes a ellas, o sea que se cumple con: →
→
V ∧ ds = 0
para toda traectoria diferencial d sobre la l!nea de corriente, de la cual se deducen las ecuaciones de las l!neas de corriente en este caso bi>dimensional seg*n vimos en el @ódulo F, que para el caso D( es: dy dx
=
v u
)demás por lo indicado por la Ecuación de Continuidad, entre dos l!neas de corriente dadas circulará un caudal *nico. En la 3ig D..F $emos representado dos l!neas de corriente en flujo bi>dimensional, dos curvas arbitrarias entre los puntos F D, es fácil ver que el caudal que atraviesa estas zonas entre las posiciones F D es igual para ambas curvas, su valor lo llamamos q!" =# " - # !, los valores de # " # ! son arbitrarios siempre que # " - # ! = q!" es decir # " # ! son valores funcionales arbitrarios siempre que la diferencia sea el valor del caudal entre ambas l!neas de corriente. En general a # se la llama función corriente.
3ig.D..F
11
Cabe acotar que cada una de las curvas dibujadas, puede imaginarse como la directriz de una superficie cil!ndrica de generatrices paralelas al eje z , por lo cual la región limitada entre las dos superficies # , da lugar a un volumen cil!ndrico paralelo al eje z, como el flujo es incompresible, por la ecuación de continuidad, el caudal que pasa por la superficie F>D izquierda es igual al que pasa por la superficie F>D derec$a o sea q!"i = q!"d , en lo cual $emos llamado q al caudal másico por unidad de profundidad z.
Con la anterior definición no $a duda de que a las l!neas de corriente las podemos caracterizar por funciones # (x , y)= C por tanto $
∂ψ dy − ∂ψ ∂ψ ∂ x dx + dy = 0 → = ∂ψ dx ∂ x ∂ y ∂ y como por la definición de l!nea de corriente bi>dimensional era a su vez: dy dx
=
v u
comparando ambos resultados,
∂ψ ∂ x ∂ψ u= ∂ y v
=−
$aciendo referencia a la figura, para el caudal a trav#s de cada porción diferencial de la curva F> D, el pasaje a velocidad
u
por dy , aumenta el caudal, mientras que la
componente v que pasa por dx lo disminue, estos se puede observar en la viAeta de la figura tendremos entonces: 2
2 ∂ψ ∂ψ q = udy − vdx = dy + dx = d ψ = ψ 2 −ψ 1 12 y x ∂ ∂ 1 1 1
∫
2
∫
∫
12
"iendo # " - # ! = q!" un valor constante, resulta evidente que # " y # ! tambi#n lo son individualmente, como estamos trabajando con flujo bi>dimensional ambas funciones representan l!neas de corriente, podemos deducir que siempre las funciones de corriente tendrán la forma #(x,y) = C. Btra forma más matemática de demostrar esto es a partir de la definición de l!nea de dy
corriente bi G dimensional
dx
=
v
udy − vdx = 0
u
podemos escribir:
pero como se ve en la
viAeta de la figura D.D.F u es una función solamente de y , análogamente v lo es *nicamente de x por lo que podemos escribir a partir de:
udy − vdx = 0 como
u = f(y) v = f ( x) →
∫
∫
f ( y ) dy − f ( x )dx = 0 → d f ( y )dy − d f ( x)dx = d (Cte) = 0 →
∫ f ( y)dy − ∫ f ( x)dx = (Cte) → ψ ( x, y) = Cte a que la diferencia de las integrales anteriores será una función de las variables combinadas x e y.
Ejemplo: "upongamos el caso particular de la distribución para el campo de velocidades siguiente:
= y → ydy − xdx = 0 → v = x u
∫
∫
ydy − xdx = 0 →
y 2 2
−
x 2 2
= Cte
) su vez, por la condición de irrotacionalidad, aplicada a este caso, →
rot V = (
dv dx
−
du dy
)=0→−
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 0→ − = + =0 ∂ x2 ∂ y 2 ∂ x2 ∂ y 2
13
de donde deducimos por esta *ltima condición que H es tambi#n una función armónica, a que cumple con la ecuación de Lapalace:
∇2Φ = 0
.
1..+- Rela!"# e#tre el P$te#!al de (el$!dad y la Fu#!"# de C$rr!e#te. Como de acuerdo a las definiciones anteriores resulta:
∂φ ∂ x ∂φ v= ∂ y u
=
∂ψ ∂ y → ∂ψ v=− ∂ x
u
=
∂φ ∂ψ = ∂ x ∂ y ∂φ ∂ψ =− ∂ y ∂ x
Estas dos *ltimas expresiones se conocen como identidades de Cauc$ G ?iemann . Como para ambas funciones seg*n vimos se cumple que
∂φ ∂φ dx + dy = 0 ∂ x ∂ y → ∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂ x ∂ y ∂φ dy = ∂ x dx φ = k ∂φ ∂ y − ∂φ ∂ψ dy ∂ y 1 = ∂ x = = =− ∂φ dx ψ = c ∂ψ ∂φ ∂ y ∂ x − ∂ x ∂φ ∂ y
1
dy dx φ = k
Con lo cual vemos que las tangentes son ortogonales a que en el punto com*n ) las coordenadas de los puntos # = c , Φ = % son id#nticas los segundos miembros de las ecuaciones anteriores son uno rec!proco del otro con signo opuesto. B sea las l!neas equipotencial
de corriente para un punto se cortan ortogonalmente, como ) es
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arbitrario, concluimos que la totalidad de las l!neas de ambas familias conforma una red ortogonal.
3ig.D..D
1...- Pr$/!edades de l$s lu0$s /$te#!ales. %odemos definir las siguientes: a.> Las familias # = c , Φ = % son curvas ortogonales. b.> las ecuaciones: →
div V = 0 →
rot V = 0
dan lugar a:
∇2φ = 0 ∇2ψ = 0
B sea que las funciones potencial corriente deben satisfacer las condiciones de armonicidad, por tanto deben ser continuas, derivables con continuidad.
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c.> Como vimos, la ecuación diferencial de la cantidad de movimiento, da lugar a la ecuación de ernuolli para l!nea de corriente, es decir los lugares, # = c la cumplen, por ello es posible conociendo la malla o familia de # = c determinar el campo de presiones. d.> Como vimos la aplicación del primer principio a un volumen de control que contenga un tubo de corriente, conduce a la ecuación de ernuolli, o sea que si se satisface para flujo potencial la ecuación de cantidad de movimiento, tambi#n se satisface la de energ!a e.> El segundo principio en ausencia de fricción por tanto procesos irreversibles de trasmisión del calor, no agrega restricciones. f.> )demás de ser armónicas las funciones de corriente potencial de velocidades de un flujo potencial no deben violar las condiciones de pared si $a un obstáculo. La condición de obstáculo es que sobre la superficie l!mite, las velocidades normales deben ser nulas a que el obstáculo en si debe ser tomado como una l!nea de corriente l!mite al ser baAado por una corriente, no puede pasar flujo a trav#s de ella, no obstante no $a restricción a la velocidad tangencial a*n sobre la pared a que el flujo ideal no se ad$iere a la pared, aqu! no se presenta el fenómeno de capa l!mite.
Iome en cuenta que los flujos potenciales son una idealización matemática cuo rango de aplicación con poco error, es la obtención de los campos de velocidades presiones en las proximidades de los objetos pero no en regiones tan próximas como el entorno de las capas l!mites reales donde el error ser!a apreciable. Llamando con el sub!ndice b a los puntos sobre un obstáculo sólido será entonces &en referencia a la 3ig D.J.F.'.: ∂φ ∂n = 0 b ∂ψ ∂ s = 0 b
a gran distancia del obstáculo:
16
u
∂φ = Vo = ∂ x x → ∞
∂ψ = y → ∞ ∂ y x → ∞ y → ∞
En las proximidades del obstáculo, el campo de velocidades viene dado por: φ = ux + vy ψ = uy − vx
3ig:D.J.F.
1..2.- Patr$#es de Flu0$ '!3/les. 1..2.1. Flu0$ U#!$r3e. →
"upongamos que el flujo venga definido por el campo componentes de velocidad del campo son:
= V o v=0 u
de donde:
17
→
V = V o i
, en este caso las
∂φ = Vo ∂ x → φ = V dx = V x + C o o 1 ∂φ v= =0 ∂ y ∂ψ u= = Vo ∂ y → ψ = V dy = V y + C o o 2 ∂ψ v=− = 0 ∂ x u
=
∫
∫
Los dos resultados anteriores dan lugar a una malla ortogonal, dibujada en la 3igura D.K.F. %robemos primero al efecto de verificar que los campos # = c , Φ =%
∂φ ∂ 2φ = Vo → =0 ∂ x ∂ x∂ y ∂φ ∂ 2φ =0→ =0 ∂ y ∂ x∂ y
por tanto se satisface la condición de armonicidad, análogamente se demuestra para # = c
En este caso el caudal entre dos l!neas de corriente será: 2
ψ 1,2 =
∫ d ψ = ψ 2 −ψ 1 = V o y2 − V o y1 = Vo ( y2 − y1) 1
18
3ig.D.K.F
1..2.%.- Fue#te y 'u3!der$. Estos casos son singularidades en los cuales las l!neas # son radiales con sentido desde $acia el origen respectivamente Φ son circunferenciales conc#ntricas ortogonales a las primeras. Las ecuaciones a las que responden los campos respectivos son:
→ Fuente 2π Q ψ = θ 2π Q φ = − ln r → Sumidero 2π Q ψ = − θ 2π φ =
Q
ln
r
en la cual las coordenadas polares se $an tomado:
r = x 2 + y 2 θ = arc tg
y x
19
& es el caudal másico o intensidad de la 3uente o "umidero. En la figura, para 3uente r es saliente del origen, en el "umidero, r es entrante $acia el origen.
3ig.D.K.D
%uede demostrarse fácilmente que ambos grupos de funciones cumplen la condición de armonicidad, que en coordenadas polares es: 2 2 ∂ 2φ ∂ 2ψ 1 ∂ φ 1 ∂ φ + = 0 → 2 + 2 2 =0 r ∂r r ∂θ ∂ x 2 ∂ y 2
Las rectas de las l!neas de corriente vienen dadas por la ecuación: Q 2π
θ = Cte
que en coordenadas polares son rectas que parten del origen, mientras que las l!neas de equipotencial vienen dadas por: Q 2π
ln r = Cte
que son circunferencias conc#ntricas. Las componentes radial tangencial de la velocidad, vienen dadas por:
∂φ Q = ∂r 2π r ∂φ V θ = =0 r ∂θ Vr =
20
)plicando los resultados anteriores, podemos calcular el caudal total que como es lógico es: 2π
q=
2π
∫
Vr rd θ =
0
Q
∫ 2π r rd θ = Q 0
siendo el resultado para el sumidero, -&,' tambi#n el caudal es constante para cada gajo. "i calculamos la circulación respecto del origen, de acuerdo a la definición que $ab!amos dado de la misma:
Γ =
→ →
2π
∫ V × d l = ∫ V θ rd θ = 0 0
B sea, el flujo de la fuente o el sumidero tienen circulación nula sobre todos los circuitos cerrados posibles, incluso si estos rodean al origen.
1..2.).- 4!l$ de ("rt!e se56# la d!re!"# “ z”. "i en las ecuaciones anteriores invertimos los roles de las funciones M H utilizadas para los modelos de fuente sumidero, obtendremos las ecuaciones del $ilo de vórtice , esto es:
2π Q ψ = ln r 2π φ =
Q
θ
)$ora, las l!neas de corriente son circunferencias conc#ntricas el valor de la velocidad será: Q V θ = 2π r V r = 0
21
la circulación:
Γ =
→ →
2π
2π
0
0
Q
∫ V × d l = ∫ V θ rd θ = ∫ 2π r rd θ = Q
En la figura, l!nea de vórtice entrante $acia el papel, circulación dextrógira, o a derec$a, l!nea de vórtice saliendo del papel, circulación levógira o a izquierda.
3ig. D.K.
1..2.+ 'u/er/$s!!"#. El principio de superposición es válido por la condición de Laplace el corolario del mismo que nos indica que si dos o más funciones M F, MD, MNson armónicas, entonces la
suma
∑ φ i
tambi#n lo será. ) modo de ejemplo, examinamos el óvalo o elipse de
22
?an=ine, en el cual una fuente un sumidero, se colocan a distancia Oa Ga del origen &seg*n se indica en la figura D.P.F' se superpone además un flujo uniforme. Iodo el flujo de la fuente 3 es absorbida por el sumidero " , pero entre los tres flujos, se establece una elipse como l!nea divisoria cua forma dependerá de las intensidades relativas . Los valores de la combinación se establecen por suma directa:
φ = V ox + ψ = V o y +
Q
ln r 1 −
Q
ln r 2 2π Q θ 1 − θ 2 2π 2π
2π Q
%uede reemplazarse ! = x + a, " = x a, quedando:
( x + a)2 + y 2 4π ( x − a) 2 + y 2 Q y − arc tg y arc tg ψ = V o y − 2π x + a x − a φ = V ox +
Q
ln
la elipse divisoria cerrada puede asumirse tambi#n como un l!mite sólido , as! la superposición de flujos permite el estudio de flujos abiertos embistiendo sólidos, obteni#ndose distribuciones aproximadas de velocidades presiones fuera de la capa l!mite. "i bien el flujo estudiado es D.( la elipse puede ser análogamente interpretada como la sección de un prisma el!ptico que va desde z 0 >Q a z 0 Q, a que cada corte será $omólogo en su flujo
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3ig.D.P.F
1..2..- P$te#!al $3/le0$. y Tra#s$r3a!$#es C$#$r3es. %ara estos casos simples precedentes , Φ y # se encontraron resolviendo la ecuación armónica, o por integración simple de los valores conocidos de la velocidad. En general, la mejor forma de determinar Φ # , es utilizando la teor!a de variable compleja las transformaciones conformes. %ara ello el plano f!sico (x, y) en el cual $ab!amos representamos Φ y # , como familias ortogonales, lo transformamos en un plano base complejo : z = x + i y , z es a$ora, un punto de este plano, si a$ora definimos una función gen#rica del plano complejo, que llamamos potencial complejo como: *(z) = Φ(z) + i #(z) * puede describirse como una función de z , donde la parte real de * es Φ(x,y) la
parte imaginaria, #(x,y). En el espacio complejo as! definido de *, las funciones Φ y # forman como vimos una red ortogonal. Es posible a$ora pasar del plano z = x + iy de referencia a otro = + i a trav#s de una transformación, pero tal que conserve la naturaleza ortogonal de Φ y # . la transformación entre estos planos referenciales puede quedar definida por una función:
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R 0 ( z ). %or ejemplo cuando transformamos un globo terráqueo en un mapa plano a trav#s de una transformación @ercator, los paralelos meridianos son ortogonales entre s! tanto en la representación esf#rica como plana, lo mismo que se conserva para cada punto $omónimo los valores de latitud longitud, sin embargo las superficies de ambas representaciones del planeta Iierra se deforman en particular más $acia los polos menos $acia el ecuador. Estas apropiadas transformaciones que mantienen la naturaleza del potencial complejo original, se denominan Iransformaciones Conformes. Escogiendo funciones apropiadas del tipo = (z ) podemos obtener modelos de flujo en torno a formas complicadas si se conoce el patrón de flujo *(z) para una forma simple a trav#s de la descripción del plano R una vez obtenido *( ). %or ejemplo un cilindro circular en rotación embestido por una corriente presenta un fenómeno de sustentación positiva conocido como Efecto @agnus, la transformación conforme de Sou=o/s=, nos permite obtener formas complicadas con aspecto de perfiles de gota arqueados de cola afilada que presentan sustentación, estas formas reciben el nombre de su descubridor T%erfiles Sou=o/s=U. ) diferencia de la transformación @ercator, la transformación Sou=o/s= deforma más en las posiciones próximas al origen menos $acia los extremos de los ejes , por tanto una circunferencia se deformará en un perfil, pero lejos del centro, las l!neas de corriente casi no se deformarán es decir se mantienen las condiciones de la corriente lejos de la forma o en infinito. En estos perfiles aerodinámicos las curvas superior e inferior que convergen en la cola afilada presentan la particularidad de tener tangentes coincidentes &o ángulo de salida de perfil de VW', a veces esta descripción geom#trica se llama Tpunto cuspidalU. En general estos puntos llevan impl!cita una discontinuidad del flujo de escurrimiento que proviene de la región superior e inferior del perfil, pero Sou=o/s= demostró que siempre existe una configuración de escurrimiento para la cual el aire abandona la cola sin discontinuidad, es la adaptación del valor de la circulación transformada.
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"i el valor de la circulación de base en el cilindro con efecto @agnus se ajusta a un valor espec!fico, la discontinuidad no se manifiesta despu#s de la transformación. Este valor de circulación óptima solamente será función de la velocidad del flujo $orizontal en infinito, en los perfiles reales la velocidad de infinito ajusta automáticamente la circulación.
%ara visualizar f!sicamente el efecto @agnus, al cilindro circular se lo $ace rotar sobre su eje luego se $ace embestir la corriente $orizontal &o mover $orizontalmente el cilindro', as! generamos la circulación f!sica apoados en la viscosidad, para los perfiles aerodinámicos reales la discontinuidad inicial de los escurrimientos sobre la parte superior e inferior del perfil antes de lograr la igualación de los flujos, produce la estela parásita en acuerdo con el teorema Xelvin G Yelzmoltz , la circulación inversa compensadora en torno al perfil, &a que si la circulación era nula, a$ora la sumatoria de la vorticidad de estela más la circulación tambi#n deberá ser nula' as! a diferencia de la sustentación por efecto @agnus en un cilindro, el perfil no necesita rotar para generar sustentación. La profundización de estos aspectos nos llevar!a de pleno al terreno de las bases de la aerodinámica teórica subsónica, cosa que nos apartar!a del propósito de estas notas, pero el alumno interesado puede profundizar estos interesantes temas con la bibliograf!a de referencia
CONCLU'IONE':
el flujo potencial resulta incapaz de predecir correctamente las fuerzas de arrastre en un cuerpo sumergido que avanza a velocidad constante.
La teor!a del flujo potencial, permite predecir fuerzas en otros casos particulares de inter#s.
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LIN7O8RAFIA $ttps:99es.scribd.com9document9DFZPP[JK[9Ieoria>(el>3lujo>%otencial $ttps:99///.outube.com9/atc$\v0lz"]"YJYCp[ $ttp:99///./i=i/and.com9es9Ieor^C^)(a_de_flujo_potencial $ttps:99es.scribd.com9doc9DV[PDFJ9mecanica>de>fluidos $ttps:99es./i=ipedia.org9/i=i9Ieor^C^)(a_de_flujo_potencial
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