UNIDAD N°1 PROBABILIDAD
KATHERIN BENITEZ SALAZAR
INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD PROB ABILIDAD TUTOR: HERNANDO VEGA COGOLLO
IV SEMESTRE – INGENIERÍA DE SISTEMAS UNIVERSIDAD DE CARTAGENA 19 DE AGOSTO DE 2016 CARTAGENA DE INDIAS, BOLIVAR
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.
La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de experimentos aleatorios, de los que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La probabilidad es un evento o suceso que puede ser improbable, probable o seguro.
La probabilidad es simplemente qué tan posible es que ocurra un evento determinado.
La probabilidad Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 (evento imposible) y un evento que ocurra con certeza es de 1 (evento cierto).
La probabilidad es una rama de las matemáticas, cuyo objeto de estudio son variables aleatorias (que son valores que dependen básicamente del azar o de la posibilidad de que puedan o no ocurrir), que busca establecer las características y propiedades matemáticas (definiciones, teoremas y consecuencias) de tales variables. Su método es de tipo deductivo, esto es, partiendo de ciertas definiciones y propiedades básicas establecidas de antemano, conocidas como axiomas, se van deduciendo las propiedades de los objetos de interés, y cuyos resultados se establecer como teoremas, que son proposiciones ciertas o verdaderas que pueden y deben ser demostradas. En este sentido, la probabilidad es afín a otras ramas de las matemáticas tales como el álgebra, el análisis matemático, la geometría o la topología.
La Probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas.
IMPORTANCIA DE LA PROBABILIDAD La importancia de la probabilidad radica en que, mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la manera más exacta posible los imponderables debidos al azar en los más variados campos tanto de la ciencia como de la vida cotidiana. En efecto, la probabilidad es una estrategia mediante la cual se intenta estimar la frecuencia con la que se obtiene un cierto resultado en el marco de una experiencia en la que se conocen todos los resultados posibles. Así, el ejemplo más tradicional consiste en definir cuál es la prevalencia de obtener un número al arrojar un dado. Sobre seis resultados posibles (todas las caras), sólo es posible lograr un número por cada vez que el dado es arrojado. En este caso, la probabilidad puede expresarse como uno en seis, un sexto, la sexta parte o, en términos matemáticos precisos, 0.16 ó 16%. La importancia esencial de la aplicación de los métodos de cálculo de la probabilidad reside en su capacidad para estimar o predecir eventos. Cuanto mayor sea la cantidad de datos disponibles para calcular la probabilidad de un acontecimiento, más preciso será el resultado calculado.
APLICACIÓN EN LA INGENIERIA DE SISTEMAS La probabilidad es importante para el análisis de rendimiento de algoritmos. Así como también aplica para los sistemas de procesamiento electrónico de datos (uno de los campos de aplicación más importantes de la ingeniería de sistemas.) se justifican cuando los volúmenes de datos recogidos son muy grandes y la única manera de obtener información útil de grandes volúmenes de datos es mediante el análisis estadístico. Dada la complejidad de los sistemas en los que suele aplicarse la teoría de la probabilidad, se requiere de modelos informáticos y estadísticos de gran
elaboración, que serían imposibles de no contarse con los modernos recursos tecnológicos relacionados con la computación.
PROBABILIDAD GENERAL La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Ejemplo: Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar. Ejemplos: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
TEORÍA DE PROBABILIDADES La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:
Suceso: es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Ejemplos: Al lanzar una moneda salga cara. Al lanzar un dado se obtenga 4.
Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Ejemplos: Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}. Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso aleatorio: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo:
Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Un ejemplo completo: Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)} 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} 4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
PROBABILIDAD MARGINAL Para obtener expresiones útiles en el cálculo de este tipo de probabilidades, se realizará un ejemplo: En un taller mecánico tienen un total de 135 desatornilladores, los técnicos atribuyen a éstos dos características cuando se los piden a sus ayudantes, su longitud (largo y cortos) y la forma de la punta que embona en los tornillos (planos o de cruz) de acuerdo a la definición de eventos que sigue, la distribución es la siguiente:
Eventos
Característica
A
Largo
A
Corto
B
Punta plana
B
Punta de Cruz
1 2 1 2
Evento
A
A
Total
B
40
60
100
B
15
20
35
Total
55
80
135
1
2
1
2
Para determinar una probabilidad conjunta, digamos desatornilladores cortos con punta plana, de acuerdo con la tabla, es el cociente 60/135=0.444, que se obtuvo de dividir el número de desatornilladores cortos y que tienen punta plana, en términos de conjuntos, n(A2∩B1)=n21=60, entre el total de los desatornilladores del taller, ns=135. Generalizando se obtiene la probabilidad conjunta de dos eventos con la expresión siguiente: P(Ai∩Bj)=nij/ns
Donde i=1, 2, 3,…n y j=1, 2, 3,…n Considérese que únicamente nos interesa conocer la probabilidad de los eventos Bj, por ejemplo de B1, P(B1)=(n11+n21)/ns=(40+60)/135=100/135=0.74 Se observa que el subíndice correspondiente al evento B permanece constante en la suma del numerador n11+n21.
Generalizando, la probabilidad marginal de cualquier evento Bj puede calcularse P(Bj)=Ʃi=1nnij/ns, pero Ʃi=1nnij/ns=Ʃi=1nP(Ai∩Bj), por lo tanto P(Bj)=Ʃi=1nP(Ai∩Bj). En otra palabras la probabilidad de un evento Bj es igual a la suma de probabilidades conjuntas del evento Bj y los eventos Ai, la suma se realiza sobre los eventos Ai. También se puede determinar la probabilidad marginal de cualquier evento Ai: P(Ai)=Ʃj=1nP(Ai∩Bj), en este caso la suma se realiza sobre los eventos Bj. Se puede demostrar que la suma de probabilidades marginales de los eventos Ai, o de los eventos Bj, es igual a uno, como se demuestra a continuación: P(A1)=55/135=0.4075 y P(A2)=80/135=0.5925
Por lo tanto Ʃi=12P(Ai)=1 P(A1)+P(A2)=0.4975+0.5925=1
P(B1)=100/135=0.74 y P(B2)=35/135=0.26
Por lo tanto Ʃi=12P(Ai)=1 P(A1)+P(A2)=0.74+0.26=1
PROBABILIDAD CONDICIONADA Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E. Se llama probabilidad del suceso B condicionado a A y se representa por P(B/A) a la probabilidad del suceso B una vez ha ocurrido el A.
Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.
Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes si, p(A/B) = p(A)
Sucesos dependientes Dos sucesos A y B son dependientes si, p(A/ B) ≠ p(A)
TEOREMA DE BAYES Si A 1, A 2,..., An son: sucesos incompatibles 2 a 2 y cuya unión es el espacio muestral (A 1
A2
...
A n = E) y B es otro suceso.
Resulta que:
Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.
Las
probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.
Las
probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.
Ejemplos
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.
CONCLUSIONES Luego de realizado el trabajo puedo concluir que tanto la probabilidad como la estadística son muy importante en todo lo que tiene que ver con la vida cotidiana ya que la probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. También podemos concluir la importancia que tiene cada tipo de probabilidad , y más que todo la las diferentes aplicaciones que tiene, por ejemplo en la ingeniería de sistemas , para el procesamiento de datos y al crear algoritmos para la creación de software en ese caso me refiero a la probabilidad de error que existe en la creación de estos sistemas. Por último la teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.
