$.- %e desea observar una &amilia que posee dos automóviles y para cada uno observamos si &ue &abricado en 'olombia" si es americano o si es (uropeo. a.- 'uales son los posibles resultados de este experimento) R '* +abricado en 'olombia ,* +abricado en ,mrica ,mrica (* (uropeo R* Resultados del (xperimento R={ ( C , C ) ; ( A , A ) ; ( E E , E ) ; ( C , A ) ; ( C , E ) ; ( A , E ) }
b.- e&ina el evento ,/ Los dos automóviles no son &abricados en 'olombia E , E
( A , A ) ; (¿ ) ; ( A , E) } A =¿ 0/ Un automóvil es colombiano y el otro no. B ={ (C , A ) ; ( C , E ) } c.- e&ina los eventos A ∪ B y B ∩ A . A ∪ B ={ ( A , A ) ; ( E E , E ) ; ( A , E ) ; ( C , A ) ; ( C , E ) } B ∩ A =∅
- La biblioteca de una universidad tiene cinco e2emplares de un cierto texto en reserva" os e2emplares e2emplares 31 y $4 son primera edición edición y los otros tres 3" 5 y 64 son segundas ediciones. Un estudiante examina estos libros en orden aleatorio" y se detiene cuando selecciona una segunda impresión. (2emplos de resultados son/ 6" $1. a.- 7aga una lista de los elementos de % R % es el con2unto de elementos elementos que incluye incluye a todos los elementos elementos que existen o el con2unto universal. Luego/ S ={ 1,2,3,4,5 }
b.- Liste los eventos ,/ el libro 6 es seleccionado" 0/ exactamente un libro debe ser examinado" '/ el libro 1 no es examinado R ,*869
- Uno de los libros debe ser examinado. 0 puede ser cualquier valor. Pero como anteriormente se selecciono el libro 6 y este corresponde a la segunda edición" se puede asumir que este es el libro examinado. 0*869 - !odos los libros se seleccionan menos el primero. (ntonces/ '*8$""5"69 c.- (ncuentre/
A ∪ B
"
B ∩ A
."
A ∪ C
y
B ∩ C
.
A ∪ B
(l libro que , utiliza es 869 y como 0 es el quinto libro tambin" entonces la unión es solamente el quinto libro. A ∪ B ={5 } B∩ A
!anto como , y 0 son el quinto libro" la intercepción es este. (s el valor que está en ambos. A ∩B ={5 } A ∪ C
!odos los elementos de a y todos los elementos de c. A ∪ C ={2,3,4,5 } B ∩ C
(l #nico elemento que esta tanto el 0 como en '" es el quinto libro. B ∩C ={ 5 } 5.- os estaciones de gasolina se encuentran en un cierto cruce de la ciudad" en cada una 7ay 5 bombas para despac7o de gasolina. 'onsidere el experimento en que el n#mero de bombas en uso en un d:a particular se determina para cada una de las estaciones. Un resultado experimental especi&ica cuantas bombas están en uso en la primera estación y cuantas están en uso en la segunda. a.- 'uales son los posibles resultados del experimento R Los posibles resultados son R * 8;" 1" $" " 59 para cada estación. Luego los posibles resultados para ambas estaciones vienen dados por el producto cartesiano de RxR" es decir/
83;";4" 3;"14" 3;"$4" 3;"4" 3;"54" 31";4" 31"$4" 31"4" 31"54" 3$";4" 3$"14" 3$"$4" 3$"4" 3$"54" 3";4" 3"14" 3"$4" 3"4" 3"54" 35";4" 35"14" 35"$4" 35"4" 35"549 b.- e&ina el evento ,/ el n#mero de bombas en uso es el mismo en ambas estaciones" R (vento ,/ 83;";4" 31"14" 3$"$4" 3"4" 35"549 el evento 0/ el n#mero de bombas en uso es máximo dos en cada estación" R (vento 0/ 83;";4" 3;"14" 3;"$4" 31";4" 31"14" 31"$4" 3$";4" 3$"14" 3$"$49 el evento '/ el n#mero total de bombas en uso en ambas estaciones es cuatro. R (vento '/ 83;"54" 31"4" 3$"$4" 3"14" 35";49. c.- e&ina , u 0" R , u 0 * 8 3;" ;4" 31" 14" 3$" $4" 3" 4" 35" 54" 3;" 14" 3;" $4" 31" ;4" 31" $4" 3$" ;4" 3$" 14 9 0n' R 0 n ' * 83$" $49 6.- (l siguiente diagrama de
a. ,=
R
b. , n
R
0
c.
3, n 04 u ' R
d.
30 u '4> R
e.
3, n 04> u ' R
?.- Una mu2er es portadora de 7emo&ilia clásica. (sto signi&ica que" aunque la mu2er no tenga 7emo&ilia" puede transmitir la en&ermedad a sus 7i2os. (lla tiene tres 7i2os. escriba el espacio muestral de este experimento. R Llamamos @ al nino en&ermo de 7emo&ilia y A al nino normal. %*8@@@ " @@A " @A@ " @AA " A@@ " A@A " AA@ " AAA 9 B.- (n una encuesta realizada entre $;; inversionistas activos" se 7alló que 1$; utilizan corredores por comisión" 1$? usan corredores de tiempo completo y ?5 emplean ambos tipos de corredores. etermine el n#mero de inversionistas tales que/ a. Utilizan al menos un tipo de corredor.
b. Utilizan exactamente un tipo de corredor. c. Utilizan sólo corredores por comisión. d. Ao utilizan corredores. Represente con un diagrama de
a4 1$;D1$?-?5 * 1E$ b4 31$;-?54D31$?-?54* 11E c4 1$;-?5*6? d4 $;;-1E$* 1E E.- La tabla siguiente presenta un resumen de las caracter:sticas solicitadas en 1;; órdenes de compra de computadores.
%ean/ A/ evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional y sin procesador opcional de alta velocidad. B/ evento donde la orden de compra es solicitada sin memoria adicional. etermine el n#mero de muestras en ,> n 0" 0> y , u 0. ibu2e un diagrama de
(speci&ique el n#mero de elementos en cada uno de los siguientes eventos y de&:nalos con palabras/ a4 " RPre&erencia programa deportivo 34" total ;" nivel de estudio" colegio" universitario" Postgrado. b4 , u H R Pre&erencias programa de rama en nivel de estudio colegio total 6" Universidad 6" Postgrado 16. c4 I F R 'omplemento a Pre&erencias de programas en comedia" total G6" programas eportes" Aoticia y rama. d4 ' n A R Cntersección Aivel de postgrado en pre&erencias en noticias total 1;. e4 n 0 R Cntersección tipo de programa de deportes en nivel universitario total E. &4 3H n ,4 = R 'omplemento a intersección en Pre&erencias de programas de drama en el nivel de colegio" están el nivel de universidad con 6 y nivel de postgrado con16. EJERCICIOS CAPÍTULO 2.
1.- %uponga que una persona que vive en el municipio de 0ello 3,ntioquia4 traba2a en el centro de la ciudad de Hedell:n. Para llegar a su sitio de traba2o" este tiene tres rutas distintas para llegar a la ,utopista y de all: puede tomar otras tres rutas para llegar al centro de la ciudad. (n el centro" puede tomar cuatro rutas para llegar al parqueadero más cercano a su o&icina. Je cuántas maneras o rutas distintas podr:a tomar la persona para llegar de la casa al parqueadero más próximo a su o&icina) R A#mero de rutas para llegar a la autopista/ A1 K A#mero de rutas para llegar al centro de la ciudad/ A$ K A#mero de rutas para llegar al parqueadero/ A K 5 ,plicando el principio de la multiplicación tenemos/ A1 A$ x AK 34 34 354 K? Por lo tanto se pueden realizar ? rutas distintas para llegar de la casa al parqueadero. $.- (n un restaurante en el centro de la ciudad o&recen almuerzos e2ecutivos con las siguientes opciones/ tres tipos di&erentes de sopa" cuatro tipos de carne con la
bande2a" cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. Je cuántas maneras puede un comensal elegir su men# que consista de una sopa" una carne para su bande2a" una bebida y un postre) R !ipos de sopa/ A1 K !ipos de carne/ A$ K 5 !ipos de bebida/ A K 5 !ipos de postre/ A5 K $ ,plicando el principio de la multiplicación tenemos/ A1 A$ x A x A5 K 34 354 354 3$4 KG? Un comensal puede elegir su men# de G? maneras di&erentes. .- %i un &utbolista conoce B 2ugadas di&erentes y si el entrenador le instruye para que 2uegue las B sin que ninguna se repita" Jqu libertad le queda a ese 2ugador) R BM K B?65$1K 6.;5; Nue es lo mismo que/ %iete permutado siete" es decir/ BPB K BM 3B-B4 K BM ;M K BM 1 K BMK 6.;5; Por lo tanto el 2ugador le queda la libertad de realizar 6.;5; 2ugadas di&erentes. 5.-J'uántas permutaciones pueden e&ectuarse con el con2unto %*8a"b"c"d9) escriba cada una de las permutaciones posibles. R nPr K nM 3n-r4M K 5M 35-54M K 5M ;M K 5M 1 K 5MK 5xx$x1K $5 permutaciones Las $5 permutaciones son/ 6 K 8a" b" c" d9 abcabdacdbcd acbadbadcbdc bacbadcadcbd bcabdacdacdb cabdabdacdcb cbadbadcadbc 6.- J'uántas permutaciones distintas pueden &ormarse con las letras de la palabra PRO0,0CLC,) R
(n este caso encontramos que 7ay varios elementos que se repiten" entonces utilizamos la de&inición de/ Permutaciones con repetición/ La p se repite 1 vez -- A1 K 1 La r se repite 1 vez -- A$ K 1 La o se repite 1 vez -- A K 1 La b se repite $ veces -- A5 K $ La a se repite $ veces -- A6 K $ La i se repite $ veces -- A? K $ La l se repite 1 vez -- AB K 1 La d se repite $ veces -- AE K $ !otal/ n K 1$ Por lo tanto/ nM n1.n$Mn1M K 1$M 1M 1M1M$M$M$M1M$M K 1$M 1.1.1.3$x143$x143$x1413$x14 K 1$M $x$x$x$ K 1$M 1? K1$x11x1;xGxExBx?x6x5xx$x11? K5BG;;1?;;1? K $G" GB"?;; permutaciones. %e puede realizar $G" GB"?;; permutaciones distintas con la palabra probabilidad. ?.- ados los siguientes seis n#meros/ $" " 6" ?" B" GQ y si no se permiten repeticiones" resuelva/ J'uántos n#meros de tres d:gitos se pueden &ormar con estos seis d:gitos) R ?P K ?M 3?-4M K ?M M K ?x6x5xM M K 1$; n#meros J'uántos de estos son menores de 5;;) R 1 'i&ra $ 'i&ra Ultima ci&ra $ 6 5 entonces $x6x5 K 5; n#meros (xplicación/ Para que el n#mero sea menor a 5;; debe empezar por $ ó " es decir se tienen dos posibilidades. Para la primera ci&ra" como en la primera ci&ra ya se coloca un n#mero y no 7ay repetición" entonces solo quedan 6 n#meros para el segundo digito. Por #ltimo solo quedar:an 5 n#meros para ocupar la #ltima ci&ra. J'uántos son pares) R 1 'i&ra $ 'i&ra Ultima ci&ra 5 6 $ entonces 5x6x$ K 5; n#meros J'uántos son impares) R 1 'i&ra $ 'i&ra Ultima ci&ra 5 6 5 entonces 565 K E; n#meros
J'uántos son m#ltiplos de cinco) R 1 'i&ra $ 'i&ra Ultima ci&ra 5 6 1 entonces 561 K $; n#meros B.- Una tar2eta de circuito impreso tiene oc7o posiciones di&erentes en las que puede colocarse un componente. %i se van a colocar cuatro componentes distintos sobre la tar2eta" Jcuál es el n#mero de diseSos di&erentes posible) R nPr K
G.- (l itinerario de un recorrido tur:stico por (uropa incluye cuatro sitios de visita que deben seleccionarse entre diez ciudades. J(n cuántas &ormas di&erentes puede planearse este recorrido si/ (s importante el orden de las visitas) R nPr K nM 3n-r4M nK 1; y r K 5 1;P5 K 1;M 31;-54M K 1;M ?M K ?$EE;;B$; K 6;5; &ormas Ao importa el orden de las visitas) R 3 nr 4 K nM rM 3n-r4M nK 1; y r K 5 3 1;5 4 K 1;M 5M1;-54M K 1;M 5M?M K $1; &ormas 1;.- (l muy conocido 0,LO!O electrónico es un 2uego de azar que consiste en acertar en ? n#meros de 56 posibles para ganar el premio mayor. 'alcule cuántos boletos de 2uego debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa del 0,LO!O asegura tambin que usted puede ganar un monto determinado si acierta " 5 o 6 veces" calcule tambin cuántos boletos debe comprar para asegurar " 5 y 6 aciertos. J!odav:a cree en el 0,LO!O) R A#mero de elementos del espacio muestral n364 K 56 3 56? 4 K 56M ?M356-?4M K 56M ?MGM K E"156;?; boletos %e necesitar:an E"156;?; boletos para asegurar el boleto ganador. Para aciertos/ 3 56 4 K 56M M356-4M K 56M M5$M K 15.1G; boletos Para 5 aciertos/ 3 565 4 K 56M 5M356-54M K 56M 5M51M K 15E.GG6 boletos Para 6 aciertos/ 3 566 4 K 56M 6M356-64M K 56M 6M5;M K 1.$$1.B6G boletos 11.- (n una sala de espera se encuentran 6 personas/ 7ombres y $ mu2eres. Je cuántas maneras pueden sentarse en una &ila) R 6M K 6x5xx$x1 K 1$; &ormas o maneras (s decir/ (l primer lugar se puede ocupar de 6 &ormas distintas" el segundo de 5" el tercero de " el cuarto de $ y el quinto de solo una.
Je cuántas maneras pueden sentarse en &ila si los 7ombres se sientan 2untos y las mu2eres tambin) R %upongamos que primero s acomodan las mu2eres/ @abr:an $x1 &ormas de acomodarse. Los 7ombres tendr:an x$x1 &ormas de sentarse" es decir seis &ormas. (ntonces combinando los resultados de mu2eres y 7ombres tenemos/ HUT(R(% @OH0R(% 3$14 3$14 $ ? K 1$ maneras de sentarsen Je cuántas maneras pueden sentarse en &ila si 2ustamente las mu2eres se sientan 2untas) R Permutaciones circulares 6P6 K 36-14M K 5M K 5xx$x1 K $5 &ormas. 1$.- (n una urna se tienen 1; bolitas/ 6 ro2as" blancas y $ azules. %i se toman con reemplazo" Jde cuántas maneras se pueden sacar las tres bolitas de modo que todas sean del mismo color) R Para que todas sean del mismo color entonces puede ser que" las tres sean ro2as" olas tres blancas o las tres azules. 1. 0 0 0 $. R R R . , , , @abr:a maneras de sacar las bolitas de modo que todas sean del mismo color. 1.- Una prueba de opción m#ltiple consta de 16 preguntas y cada una tiene tres alternativas" de las cuales sólo debe marcar una. J(n cuántas &ormas di&erentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas) R 'orresponde a variaciones con repetición de elementos tomados de 16 en 16" es decirQ 16 K xxxxxxxxxxxxxx K 15.5E.G;B &ormas. 15.- J'uántas placas ve7iculares se pueden elaborar en 'olombia) Recuerde que stas constan de tres letras del al&abeto y tres d:gitos. !ome $? letras del al&abeto. R Primer caso/ se pueden repetir d:gitos y letras/ Para la primera letra se tienen $? posibilidades. Para la segunda letra se tienen $? posibilidades. Para la tercera letra se tienen $? posibilidades.
Para la primera ci&ra se tienen 1; opciones" para la segunda 1; y para la tercera tambin. ,qu: suponemos que la placa puede empezar por cero. (ntonces aplicando el principio de la multiplicación tenemos/ 1ra. letra $da. letra . letra 1er.n#mero $do.n#mero ltima ci&ra $? $? $? 1; 1; 1; $?x$?x$?x1;x1;x1; K 11$$;;; placas. Una placa podr:a ser/ ,0' $5Q O!R, 0VL ;5. 16.- 'uantas &ormas 7ay de seleccionar candidatos de un total de E recin egresados y con las mismas capacidades para ocupar vacantes en una empresa) R (l ob2etivo es seleccionar tres candidatos de un total de E egresados de un total de oc7o egresados. Por lo tanto no importa el orden de selección. Por e2emplo" 3Pedro" 'arlos y 0eto4 K 30eto" Pedro y 'arlos4" es decir que el problema se resuelve por medio de combinatoria. 3 nr 4 K nM rM3n-r4M 3 E 4 K EM M3E-4M K EM M6M K ExBx?x6x$x1.6M K 6? @ay 6? &ormas de seleccionar los candidatos de los E egresados. 1?.- (n un estudio realizado en 'ali&ornia" se concluyo que al seguir B reglas sencillas de salud la vida de un 7ombre puede alargarse" en promedio 11 aSos. Las B reglas son no &umar" 7acer e2ercicio regularmente" tomar alco7ol solo en &orma moderada" dormir B 7oras " conservar un peso apropiado" desayunar y no comer entre alimentos. (n cuantas &ormas puede una persona adoptar 6 de estas reglas" a4 si actualmente las viola todasQ b4 %i nunca toma bebidas alco7ólicas y siempre desayuna. R 'orresponde a combinaciones de B reglas tomadas. a4 si actualmente las viola todas. e 6 en 6 3 B6 4 K BM 6M3B-64M K BM 6M$M K Bx?x6M 6M.$x1 K 5$$ K $1 %i actualmente las viola todas" las puede adoptar de $1 &ormas. b4 %i nunca toma bebidas alco7ólicas y siempre desayuna. 'orresponde a combinaciones de 3B-$4. Reglas tomadas de en . 3 6 4 K 6M M36-4M K 6M M$M K 1; &ormas
1B.- Un !estigo de un accidente de tránsito en el que el causante 7uyó le indica al polic:a que el numero de matricula tenia las letras R@L seguida por tres d:gitos el primero de los cuales era cinco" el testigo no puede recordar los otros dos pero está seguro que los tres n#meros eran di&erentes" encuentre el n#mero máximo de registros que debe veri&icar la polic:a R Principio de multiplicación 6 PL,',%/ R@L G E GxE K B$ registros. (s decir para el segundo d:gito tenemos G opciones y para el tercero E" ya que no 7ay repetición. 1E.- %eis alumnos de #ltimo aSo de bac7illerato participan en un concurso de ensayo literario. Ao puede 7aber empates. J'uántos resultados di&erentes son posibles) J'uántos grupos de primero" segundo y tercer puesto puede 7aber) J'uántos resultados di&erentes son posibles) R 'omo no pueden 7aber empates" entonces tendr:amos del primer 314 puesto 7asta el sexto 3?4. (ntonces aplicando el principio de la multiplicación tenemos/ ?M K ?x6x5xx$x1 K B$; resultados di&erentes ?P K ?M 3?-4M K ?M M K ?x6x5xM M K 1$; grupos. 1G.- Un psicólogo tiene 15 pacientes entre los cuales debe seleccionar nueve para un experimento en grupo. J'uántos grupos de nueve se puede 7acer) R Ao importa el orden de selección Ao 7ay repetición de pacientes. (ntonces utilizamos combinatorias/ 3nr4 K nM rM3n-r4M K n K 15 Q r K G 315G4 K 15M GM315-G4M K 15M GM6M K $;;$ %e pueden 7acer $;;$ grupos de nueve. EJERCICIOS CAPITULO 3
1- %ea P3,4 * ;.? P3,p04 * ;.$6 P30=4* ;.B a.- (ncontrar P 30,4 R P 30,4 * P 3,W04 P 3,4 P 3,04 * P 3,W04 P 304 entonces/ ;.$6* P 3,W04X ;. dado que P 304*1- P 30>4*1 - ;.B*;. Luego P 3,W04*;.$6;.*;.E ,plicando en la &ormula P 30,4 * P 3,W04 P 3,4" 7allemos/ P 30,4 * P 3,W04 P 3,4
* 3;.$6;.4X;.? * ;.6 b.- %on , y 0 independientes" compruebe). R no. Porque si &uesen independientes P 3,W04 * P 3,4 P 304 *;.?X;.*;.1E Y;.E c.- (ncontrar P3 ,= 4 R P 3,=4 * 1- P 3,4 * 1 - ;.? * ;.5 $.- %e extrae una carta al azar de una bara2a de 5; cartas. a.- J'uál es la probabilidad de que sea dos o sea un siete) R $5; D B5; * ;";6 D ;"1B6 * ;"$$6 * $$"6Z b.- 'ual es la probabilidad de que sea oro o un ?) R 15; D ?5; * ;";$6 D ;"16 * ;"1B6 * 1B"6Z .- 'onsideremos el lanzamiento de un dado" usted gana si el resultado es impar o divisible por dos. J'uál es la probabilidad de ganar) R [* 31" $" " 5" 6"?4 , * 31" " 64 ,*el resultado es impar P3,4 * ? * \ *;.6 * 6;Z 0 * 3$" 5" ?4 0*el resultado es divisible por dos P3,4 * ? * \ * ;.6 * 6;Z 'omo los eventos no son mutuamente excluyentes por la regla de la adición/ P 3,u04 * P 3,4 D P 304 ] P 3,n04 * ? D ? * ?? * 1 5.- (n el curso de estad:stica la probabilidad de que los estudiantes tengan computador es de ;.?;" la probabilidad de que tengan auto es de ;.$6 y ambas cosas es de ;.16. 'ual es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga computador o auto) R , --^ tener computador 0 --^ tener auto P3,4*;.?;
P304*;.$6 P3, y 04 * ;.16 P3, o 04 * P3,4 DP304 - P3,y04 P3, o 04 * ;.?; D ;.$6 - ;.16 * ;.B 6.- e entre $; tanques de combustible &abricados para el transbordador espacial" tres se encuentran de&ectuosos. %i se seleccionan aleatoriamente 5 tanques/ a.- cual es la probabilidad de que ninguno de los tanques sea de&ectuoso R %olución/ ,*el tanque no sea de&ectuoso P3,4 * 1B$; 0*el tanque es de&ectuoso P 304 * $; a.- %*ningun tanque sea de&ectuoso %*,,,, 'omo los eventos son independientes la probabilidad total es la multiplicación de las probabilidades marginales/ P3%4 * P 3,4 P 3,4 P 3,4 P 3,4 * 1B$;X1?1GX161EX151B * ;.5G1$ b.- 'ual es la probabilidad de que uno de los tanques tenga de&ectos. R (xisten 5 posibilidades para el evento/ ,,,0 ,,0, ,0,, 0,,, @*uno de los tanques sea de&ectuoso P 3@4* P 3,,,04 D P 3,,0,4 D P 3,0,,4 D P 30,,,4 * 1B$;X1?1GX161EX$;D1B$;X1?1GX$;X161ED1B$;X$;X1?1GX161ED $;X1B$;X1?1GX161E * ;.6BE ?.- (n la tabla aparecen 1;;; estudiantes universitarios clasi&icados de acuerdo con los punta2es que obtuvieron en un examen de admisión a la universidad. !ambin muestra la clasi&icación de los colegios en donde se graduaron de bac7illeres/
'alcular la Probabilidad de que un estudiante escogido al azar/ a4 7aya obtenido un punta2e ba2o en el examen. R P3,4 * $;; * ;.$* $;Z b4 %e 7aya graduado en un colegio de nivel superior R P304* 6;; * ;.6* 6;Z P3'n4 * 6;* ;.;6* 6Z c4 7aya obtenido un punta2e ba2o en el examen y se 7aya graduado en un colegio de nivel superior R P3'n4 * 6;* ;.;6* 6Z d4 7aya obtenido un punta2e ba2o en el examen dado que se 7aya graduado en un colegio de nivel in&erior R P3_4* B6* ;.;B6 * B.6Z e4 si el estudiante escogido termino en un colegio de grado regular encontrar la probabilidad de que tenga un punta2e alto en el examen. R P3,4* B6* ;.;B6 * B.6Z B.- +abián y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que +abián no pierda ninguna materia es del E6Z y la de Pilar es del G;Z. a4 'ual es la probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia. R %olución/ ,>*&abian pierda materia 0* pilar no pierda ninguna materia 0>*pilar pierda materia P 3,4 * ;.E6 P 304 * ;.G; 'omo los eventos son independientes/ P 3,W04 * P 3,4 P 304 * ;.E6X;.G; * ;.B?6 b4 'ual es la probabilidad de que +abián pierda una materia y Pilar ninguna. R P 3,>W04 * P 3,>4 P 304 * 31-;.E64X;.G;*;.16 '4 'ual es la probabilidad de que los dos pierdan una materia. R
P 3,W0>4 * P 3,4 P 30>4 * 31-;.E64X31-;.G;4 *;.;16 E.- 'uatro amigos se dirigen a un lugar y toman 5 rutas di&erentes de acuerdo al riesgo de tener un accidente. Las probabilidades de riesgo de cada ruta son ;.$" ;.16" ;.$6" ;.1; respectivamente. 'uál es la probabilidad de que ninguno su&ra un accidente. R ;.$; D ;.16 D ;.$6 D ;.1; * ;.B; G.- (l conse2ero escolar de un colegio estimó las probabilidades de xito en la universidad para tres alumnos de #ltimo aSo en ;.G" ;.E y ;.B respectivamente. J'uál es la probabilidad de que los tres tengan xito en la universidad) R %olución/ ,*el alumno 1 tiene exito 0*el alumno $ tiene exito '*el alumno tiene exito P 3,4 * ;.G P 304 * ;.E P 3'4 * ;.B 'omo los eventos son independientes/ P 3,W0W'4 * P 3,4 P 304 P 3'4 * ;.GX;.EX;.B * ;.6;5 1;.- Una maquina que produce un determinado art:culo &ue adquirida ba2o la condición de que el Z de los art:culos producidos son de&ectuosos. %i el proceso se realiza ba2o control" es decir independiente cual es la probabilidad de que a.- dos art:culos seguidos sean de&ectuosos" R p 3$4 * ;.;`$ X ;.GB`1 * ;";;;EB b.- dos art:culos seguidos no sean de&ectuosos" R p 3$4 * ;.GB`$ X ;.;`1 * ;";$E$$B c.- el primero sea de&ectuoso y el segundo bueno. R p1 314 * ;.;`1 X ;.GB`; * ;.; p$ 314 * ;.GB`1 X ;.;`; * ;.GB P 3p1 W p$4 * ;.; X ;.GB * ;";$G1
11.- La probabilidad de que un doctor diagnostique en &orma correcta una determinada en&ermedad es de ;.B. ado que el doctor 7ace un diagnostico incorrecto" la probabilidad de que un paciente presenta una demanda es de ;.G. J'uál es la probabilidad de que el doctor 7aga un diagnostico incorrecto y el paciente presente una demanda) R %olución/ '*el doctor diagnostica en &orma correcta una determinada en&ermedad '>*el doctor diagnostica en &orma incorrecta una determinada en&ermedad * el paciente presenta una demanda >* el paciente no presenta una demanda P 3'>4 * ;.G; 'omo P 3'>4 * P 3W'>4P 3'=4 entonces/ ;.G;* P 3W'>4;.; luego despe2amos y tenemos/ P W'> * ;.G;X;.; * ;.$B 1$.- (n una empresa" la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga más de ; aSos es de ;.66. J'uál es la probabilidad de que un empleado escogido al azar tenga ; aSos o menos) R La probabilidad de x ^ ; aSos * ;.66 La probabilidad de x ; es el complemento" es decir 1 - ;.66 * ;.56 1.- (n una ciudad grande el B;Z de los 7ogares compra un periódico matutino y el G;Z uno vespertino. %i se supone que los dos eventos son independientes cual es la probabilidad de que un 7ogar escogido al azar sea uno de los que compra ambos periódicos) R %olución/ ,*compran periódico matutino 0*compran periódico vespertino P 3,4 * ;.B P 304 * ;.G P 3,W04 * P 3,4 P 304 P 3'4 * ;.BX;.G * ;.? 15.- La tabla muestra el resultado de 6;; entrevistas 7ec7as durante una encuesta. Los datos se clasi&icaron seg#n el sector de la ciudad donde se aplico el cuestionario.
%i se selecciona un cuestionario. 'uál es la probabilidad de a4 Ao se 7aya contestado R ?6 6;; x 1;; * 1Z b4 La persona no estaba en casa R 16 6;; x 1;; * $BZ c4 el cuestionario se 7aya contestado y la persona viva en el sector A R 116 1$6 x 1;; * G$Z d4 ado que la persona viva en el sector O" no 7aya contestado el cuestionario R 16 1$6 x 1;; * 1$Z e4 La persona viva en el sector H ó 'onteste el cuestionario. R 1;; 1$6 x 1;; * E;Z +4 %i la persona no estaba cual es la probabilidad de que viva en el sector O. R ?; 1$6 x 1;; * 5EZ 16.- (n el e2ercicio anterior" el resultado de la entrevista es independiente del sector de la ciudad donde vive la persona) 'omprobar la respuesta R (l resultado de la encuesta es dependiente del sector" esto es" los eventos son dependientes entre s:" la ocurrencia de uno de ellos a&ecta el que pueda producirse el otro/ %ea ,*el sector H conteste la encuesta 0*el sector A conteste la encuesta P 30,4 * P 3,W04P 3,4 * $161;; * $.16
Para que los eventos sean independientes es necesario que/ P 30,4 * P 304 lo que no ocurre en este caso. 1?.- (l B;Z de los estudiantes aprueba una asignatura , y el ?;Z aprueba otra asignatura 0. %abemos además" que el 6Z del total de los estudiantes aprueba ambas. (legido un estudiante al azar" calcular las probabilidades de/ a.- 7aya aprobado la asignatura 0 sabiendo que 7a aprobado la , R , --^ aprueba , 0 --^ aprueba 0 P3,4*;.B; P304*;.?; P3, y 04 * ;.6 P30,4 * P3, y 04 P3,4 * ;.6 ;.B; * ;.6 b.- 7aya aprobado la asignatura 0 sabiendo que no 7a aprobado la , R P30 no ,4 * P3no , y 04 P3,4 XXP3no , y 04 * P304 - P3,y04 * ;.?; - ;.6 * ;.$6 P3no ,4 * 1-P3,4 * 1-;.B; * ;.; P30 no ,4 * P3no , y 04 P3no ,4 * ;.$6 ;.; * ;.E --^ E.Z c.- no 7aya aprobado la asignatura 0 sabiendo que 7a aprobado la , R P3no 0,4 * P3, y no 04 P3,4 P3, y no 04 * P3,4 - P3,y04 * ;.B; - ;.6 * ;.6 P3no 0,4 * P3, y no 04 P3,4 * ;.6 ;.?; * ;.6E --^ 6E.Z d.- no 7aya aprobado la asignatura 0 sabiendo que no 7a aprobado la , R P3no ,no 04 * P3no , y no 04 P3no 04 XXP3no 04 * 1-;.?; * ;.5; XXP3no , y no 04 * 1-P3,o04 * 1 - 3 P3,4 D P304 - P3,y044 * 1 - 3;.B; D;.?; - ;.64 * ;.;6 P3no ,no 04 * P3no , y no 04 P3no 04 * ;.;6;.5; * ;.1$6 --^ 1$.6Z 1B.- Los pedidos nuevos de los productos de una compaS:a var:an en valor monetario" seg#n el siguiente cuadro
a4 cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a $.;;; R P 3x ^$.;;;4 * P 3$.;;1x .;;;4D P 3.;;1 x 5.;;;4 D P 35.;;1 x 6.;;;4 * ;"$6 D ;"$; D ;"1; * ;"66 @ay un 66Z de probabilidad de que el pedido sea mayor que $.;;;. b4 cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea igual o menor a $;;; dado que el pedido excede a 1.;;; R P 3x $.;;; x ^ 1.;;;4 *P3 x $.;;; W x ^ 1.;;;4P3x ^ 1.;;;4 * ;.61-;.1; * ;.EEE @ay" aproximadamente" un GZ de probabilidad de que el sea igual o menor que $;;;" dado que el pedido excede a mil. c4 cual es la probabilidad de que un nuevo pedido sea mayor a .;;; dado que la venta excede a $.;;; R P 3x ^ .;;; x ^ $.;;;4 * P3 x ^ .;;; W x ^ $.;;;4 P3x ^ $.;;;4 * P3x ^ .;;;4 P3x ^ $.;;;4 * ;.;;.66 *;.6565 @ay aproximadamente" un 66Z de probabilidad de que el nuevo pedido sea mayor que ;;;" dado que las ventas exceden a $;;;. 1E.- Una compaS:a encontró que el E$Z de las personas seleccionadas para su programa de entrenamiento de vendedores termino el curso. e estos solamente ?;Z se convirtieron en vendedores productivos. %i un aspirante nuevo llega al curso cual es la probabilidad de que termine el curso y se convierta en un vendedor productivo. R P3,u04*P3,4 X P304 P3,u04*;.E$ X ;.?* ;.5G$ ;.5G$*5G.$Z 1G- (n un centro mdico" los &umadores que se sospec7a ten:an cáncer pulmonar" el G;Z lo ten:a" mientras que el 6Z de los no &umadores lo padec:a. %i la proporción de &umadores es del 56Z e&inamos los siguientes sucesos o eventos. ,/ la persona es &umadora. ,>/ la persona no es &umadora. 0/ la persona tiene cáncer pulmonar. 0>/ la persona no tiene cáncer pulmonar.
atos. P 3,4 * ;"56 P 30,4 * ;"G; P 30,f4 * ;";6 %abemos que P ,4DP 3,>4 * 1 ⇒ P 3,>4 * 1-P 3,4 * 1-;"56 * ;"66 a4 'uál es la probabilidad de que un paciente con cáncer seleccionado al azar sea &umador) R P 3,04 * ) Luego por el !eorema de 0ayes tenemos/ P 3,04 * P3,4P30,4 P304 * P3,4P30,4 P3,4P30,4 D P3,=4P30,=4 * ;"56X;"G; 3 ;"56X;"G; D ;"66X;";6 4 * 1?$1B * ;"G?51? 04 'ual es la probabilidad de que la persona tenga cáncer.. R P 304 *) Por de&inición de la probabilidad total tenemos/ P 304 * P3,4 P 30,4 D P 3,>4 P 30,>4 P 304 * ;"56X;"G; D ;"66X;";6 * 1B5;; * ;"5$6 $;.- Un investigador de una cl:nica de especialistas 7a descubierto que durante un periodo de varios aSos" el $;Z de los pacientes que llegaron a la cl:nica ten:an la en&ermedad 1" el ;Z la en&ermedad $" y el 6;Z la en&ermedad . (l investigador descubrió tambin que un con2unto de s:ntomas bien de&inidos al que denomino %" se encontraba en un $6Z de los pacientes con la en&ermedad 1" ?;Z de los que ten:an la en&ermedad $" y E;Z de los que ten:an la en&ermedad . (l investigador quiere utilizar esta in&ormación para 7acer rápidamente el diagnostico a los pacientes recin llegados. %upongamos que 7a sido admitido un paciente con el con2unto de s:ntomas %" cual es la probabilidad de que tenga la en&ermedad " cual es la probabilidad de que tenga la en&ermedad 1. R 1 * ;.$; % * ;.$6 $ * ;.; % * ;.?; * ;.6; % * ;.E; !eorema de 0ayes cual es la probabilidad de que tenga la en&ermedad P34 * 3;.$6 x ;.6;4 D 3;.?; x ;.6;4 D 3;.E; x ;.6;4 * ;.E$6 cual es la probabilidad de que tenga la en&ermedad 1 P314 * 3;.$6 x ;.$;4 D 3;.?; x ;.$;4 D 3;.E; x ;.$;4 * ;. $1.- Un cient:&ico 7a descubierto en un 7ospital para en&ermedades crónicas que el 16Z de los pacientes permanecen en el 7ospital menos de ; d:as" mientras que el E6Z de los pacientes permanece ; d:as o más. !ambin 7a descubierto que el $;Z de los que se quedan menos de ; d:as y el ?;Z de los que se quedan ;
d:as o más" presentan cierto grupo de caracter:sticas. 'ual es la probabilidad de que un paciente que llega al 7ospital con esas caracter:sticas permanezca menos de ; d:as). R e&inamos los eventos o sucesos. ,₁/ los pacientes permanecen en el 7ospital menos de ; d:as. ,₂/ los pacientes permanecen en el 7ospital ; d:as o más. 0₁/ los pacientes presentan cierto tipo de caracter:sticas. 0₂/ los pacientes no presentan cierto tipo de caracter:sticas. P 3,₁4 * ;"16 P 3,₂4 * ;"E6 P 30₁,₁4 * ;"$; P 30₁,₂4 * ;"?; P 3,₁0₁4 *) Por el teorema de bayes tenemos/ P 3,₁0₁4 * P3,₁W0₁4 P30₁4 * P3,₁4.P301,₁4 P3,₁4.P30₁,₁4 D P3,₂4.P30₁,₂4 P 3,₁0₁4 * 3 ;"16X;"$; 4 3;"16X;"$; D ;"E6X;"?;4 * 11E* ;" ;66? $$.- , un sospec7oso se le aplica un suero de la verdad que se sabe que es con&iable en G;Z cuando la persona es culpable y en GGZ cuando la persona es inocente. (n otras palabras el 1;Z de los culpables se consideran inocentes cuando se usa el suero y el 1Z de los inocentes se 2uzgan culpables. %i el sospec7oso se escogió de un grupo del cual solo 6Z 7an cometido alguna vez un crimen y el suero indica que la persona es culpable" cual es la probabilidad de que sea inocente) R %ea %C*8%uero lo encuentra Cnocente9 %'*%Cc*8%uero lo encuentra 'ulpable9 C*8(l su2eto es Cnocente9 '*Cc*8 (l su2eto es 'ulpable9 P3%''4*;.G P3%CC4*;.GG P3%'C4*;.;1 P3C4*;.G6 P3'4*;.;6 P3C%'4* P3%'C4 X P3C4 D P3%''4 X P3'4 P3%'C4 X P3C4 * ;.;1 X ;.G6 D ;.G X ;.;6 ;.;1 X ;.G6 *;.1B5 $.- 'on los 2ugadores de un club de &#tbol se &orman dos equipos para 2ugar un partido de entrenamientoQ entre los dos equipos se re#nen ? de&ensas" E medios" ? delanteros y $ porteros. (l entrenador sabe que en estos partidos" la probabilidad de que se lesione un 2ugador es ;.$$ si es delantero" ;.11 si es medio" ;.;66 si es de&ensa y ; si es portero.
a.- 'alcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los 2ugadores en este partido. R e&inamos/ *se lesione un delantero H*se lesione un medio &*se lesione un de&ensa P*se lesione un portero L*se lesione cualquiera de los 2ugadores del equipo P 34 *;.$$ P 3H4 *;.11 P 3&4 *;.;66 P 3P4 *; P 3L4 * ?$$X;.$$ D E$$X;.11 D ?$$X;.;66 D $$$X;.$$ * ;.;16D;.;5D;.;? * ;.116 b.- %i se sabe que un 2ugador se 7a lesionado" determinar la probabilidad de que 7aya sido un de&ensa. R ,plicando el teorema de 0ayes/ P 3&L4 * P3& WL4 P3L4 * ?$$ X ;.;66 ;.116 * ;.;16;.116 * ;.1;5 $.- !ras un estudio estad:stico en una ciudad se observa que el B;Z de los motoristas son varones y" de estos" el ?;Z llevan 7abitualmente casco. (l porcenta2e de mu2eres que conducen 7abitualmente con casco es del 5;Z. %e pide/ a.- 'alcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. R ,*motoristas varones 0*Llevan casco p304 * 651;; * ;.65 365 de la suma del B;Z de varones y ;Z de mu2eres que llevan cascoQ 1;;" del n#mero de personas en total4 b.- %e elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. J'uál es la probabilidad de que sea varón) R p3,n04 * 3B;1;;4 x 35$B;4 * ;.5$ La &órmula para la intersección es P3,n04 * p3,4 x p30,4 (l 3B;1;;4 sale de la probabilidad que sea varón 37ay B; varones de 1;; motoristas4 el 3?;B;4 sale de que de B; motoristas varones" el ?;Z 3o sea 5$4 usan casco. $5.- Los alumnos de Primero de 0iolog:a tienen que realizar dos pruebas" una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de ;.?" la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de ;.E y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es ;.6.
a.- J%on independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica) R %i son independientes/ p3,W04*P3,4 x P304 Q ;.6*;.? x ;.E Q ;.6Y;.5E Por lo tanto no son independientes. b.- J'uál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes) R P3(4*1 1- P3,4 ]P304 D P3,W04* ;.1*Probabilidad de no aprobar ning#n examen c.- J'uál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes) R P3,U04* P3,4 D P304 ] P3,W04*;.G ] P3,W04* ;.5 Probabilidad de aprobar un #nico examen. d.-%e sabe que un alumno aprobó la teor:a. J'uál es la probabilidad de que apruebe tambin la práctica) R P30,4* P3,W04P3,4* ;.6;.? * ;.E $6.- (n una ca2a 7ay x bolas blancas y 1 bola ro2a. ,l extraer de la ca2a dos bolas al azar sin reemplazamiento" la probabilidad de que sean blancas es 1$. 'alcula el n#mero de bolas blancas que debe tener la ca2a. R (n la ca2a 7ay xD1 bolas/ x blancas y 1 ro2a. %ea/ 0*sacar una bola blanca R*sacar una bola ro2a P 304 * xxD1 P 3R4 * 1xD1 P30W04 * xxD1X x-1x * 1$ (ntonces/ xxD1X x-1x * 1$ de aqui tenemos/ $Xx-1*xD1 $x-$*xD1 x* @ay bolas blancas en la ca2a. $?.- (l $;Z de los empleados de una empresa son ingenieros y otro $;Z son economistas. (l B6Z de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 6;Z de los economistas tambin" mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el $;Z ocupan un puesto directivo. J'uál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero)
R ingenieros $;Z * $; 316 - directivo3B6Z4 D 6 no directivo3$6Z4 economistas $;Z * $; 31; - directivo36;Z4 D 1; no directivo36;Z4 no ingenieros y no economistas * ?; 31$ - directivo3$;Z4 D 5E no directivo3E;Z4 P3empleado directivo sea ingeniero4 * ingenieros directivos total directivos * P3empleado directivo sea ingeniero4 * 16 316 D 1; D 1$4 * 16B P3empleado directivo sea ingeniero4 * 16B Respuesta * 16B * h5;"6BZ AUTOEVALUACION UNIDAD 1
1. -UnaVendedor at i ene10pr oduc t osyl osdes eae x hi bi re nunaf er i anac i onal . Si ne mbar go,nopuedee x hi bi rs i n oc uat r o.¿Ent r ec uant asmues t r asdi f er ent es puedees c ogers i el or denenquev aae x hi bi rl ospr o duc t osnot i en ei mpor t anc i a? 2. -Enundepós i t oh ayal mac enados50 3eq ui posdet el e vi s i ón.Enl at abl as e hal l anc l as i fi c adoss egúnl amar c ayel model o.
Conl osdat os ,enc ont r ar : a)P( B1)b)P( B2∩ S4)c )P(S1∪ B1) d)L ap r o ba bi l i d add eq ueu ne qu i p os e l e c c i on ad oal e at o r i ame nt es e ad ema r c a B1,dadoquesumodel oesS4 e)L ap r o ba bi l i d addequ eu ne qu i p os e l e c c i on ad os eadema r c aB1oB3 3. -Ci nc oami g osquedander euni r s eel s ábadoenl at ar deenel r es t aur ant e“ el s o mb r e r o ”s u c ed eq ueh ayc i n c or e s t a ur a nt e senl ac i u da dc o ne lmi s mon omb r ey noac or dar onac ual deel l osi banai r .Cual esl apr obabi l i daddequel osc i nc o v ay anar es t aur ant esdi f er ent es ? 4. -Enl o sa r c h i v o sdeu nac o mp añ í ad es eg ur o ss eh anr e gi s t r a doq uee nl o s úl t i mosañosd eu nt ot al de94 9171j óv e nesde21años ,s ol o5778 82l l egar onal a e dadde6 5a ño s .Si t o ma mo se s t o sd at o sc o mor epr e s en t a t i v o sdel ar e al i d ad a)¿c uál esl apr obabi l i daddequeunj o v ende2 1a ñosv i v apar apens i onar s eal os 6 5a ño s ?b )Si e nu nac i u da dp eq ue ñah aye nl aa c t u al i d ad2 00 0j ó v en esc u an t o s d ee l l o ss ep ue dee s pe r a rq ues epe ns i o ne n.
5. -Uns eñorr eempl az ol asdospi l asi ns er v i bl esdes ul i nt er napordosnuev as , per os el eol v i dot i r arl aspi l asus adasal abas ur a.Suhi j opequeñoquees t aba j ugandoc onl al i nt er na,s ac ol aspi l asyr ev ol v i ól aspi l asnuev asc onl asus adas . Si el s eñorc ol oc anuev ament epi l asas ul i nt er na¿c uál esl apr obabi l i daddeque f unc i one?Pors upues t o,s es upon equel al i nt er n an opued ef unc i on arc onunapi l a nuev ayunai ns er v i bl e. 6. -Uns eñort ení ac i nc omaqu i nasdeaf ei t ardes ec hab l esl asc ual esy aes t aban muyus adas ,l aspus oenunc aj ónc onl ai nt enc i óndebo t ar l asal abas ur a.Suhi j o p equ eñ on ol os a bí ayl asr e v ol v i óc o nt r esnue v asqu es ac od eunpa qu et e .Si e l s eñorpr uebadosmaqui nasdeaf ei t aru nat r asot r a¿Cuál esl apr obabi l i dadde q uel a sdo ses t é nu s ad as ? 7. -Lapr ob abi l i dadd equeJ uanl l eguet ar deas uc i t ac onRos yesde0. 3.La pr obabi l i d addequeambosl l eguent ar deesde0. 2.¿Cuál e sl apr obabi l i dadde q ueJ ua nl aes t ees p er a nd o? 8 . -Enune x ame nd ema t e má t i c a ss o l o75 %d eu nac l a s er e s po nd i ót o da sl a s pr egunt as .Deaquel l osquel ohi c i er on,80 % apr obó,per odel o squen o r es pondi er ont odo,s ól oapr obar on5 0%.Si unes t udi ant epas o,¿Cuál esl a pr obabi l i d addequeha y ar es pondi dot odasl aspr egunt as ? 9. -Sehaobs e r v a doqu eh omb r esymuj er e sr e ac c i o na nd i f er e nt eau n me di c a me nt o;7 0% d el a smu j er e sr e ac c i o na nb i e n,mi e nt r a sq uee lpo r c e nt a j ee n l o sho mb r e sess o l a me n t ed e4 0%.Ser e al i z oun ap r u eb aaungr u pode20 p er s o nas ,1 5mu j e r esy5h ombr espar aa na l i z a rs u sr e ac c i o ne s .Un ar e s pue s t a el egi daal az ardel as20r es ul t onegat i v a.¿Cuál esl apr obabi l i daddequeha y a c o n t e s t a dounho mb r e ? 10. -Er nes t oyLuí ses t ánen amor adosdeSi l v i a.Si Er nes t ol epi deques eas u no v i a,t i e ne70% depr o babi l i daddequel edi g aques íyLui s30%.Si Er nes t oe sel no v i od eSi l v i ah ayun ap r o ba bi l i da dd el 40 %d eq ues ec a s enys ie sL ui sde l 30%.Si Si l v i as ec as ó¿ Cuál e sl apr obabi l i daddequeha y as i d oc onL ui s ?
