Trabaj Dinamica Estructural 2toeria

DINAMICA ESTRUCTURAL

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1.0 INTEGRAL DE DUHAMEL En esta sección se analiza la respuesta U(t) del oscilador simple sometido a una excitación P(t) arbitraria. El procedimiento consiste en tratar el efecto de la fuerza P(t) como la superposición de impulsos infinitesimales como se indica en la Figura1.

FIG. 1

La respuesta al cabo de un instante t genérico será igual a la suma (integral) de los efectos producidos por los impulsos elementales P(τ).dτ aplicados hasta ese instante. 1.1 Respuesta a un impulso rectangular de muy corta duración Se adoptan como condiciones iniciales: ̈ ecuación del movimiento:

̇

para resolver la

̇

Debido a las condiciones iniciales y a la corta duración del impulso la ecuación se reduce a: 𝑃 𝑈̈ (a) 𝑀 La velocidad en el instante

es:

𝑈̇ 𝑓

𝑃 ∆𝑡 𝑀

(b)

1 𝑃 ∆𝑡 2 2 𝑀

(c)

El espacio recorrido resulta:

𝑈𝑓

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FIG. 2 La respuesta en un instante t corresponde a vibraciones libres regida por la (Ec. 2)

𝑈

𝑈̈ 𝑜+𝜔 𝜉 𝑈𝑜 𝜔𝐷

𝑒 −𝜉𝜔𝑡

sin 𝜔𝐷 𝑡

𝑈𝑜 cos 𝜔𝐷 𝑡

(2)

Con condiciones iniciales dadas por las ecuaciones (b) y (c) aplicadas en cualquier instante τ: 𝑈

𝑒 −𝜉𝜔

𝑡−𝜏

𝑈̇ 𝑜+𝜔 𝜉 𝑈𝑜 𝜔𝐷

sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏

𝑈𝑜 cos 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏

Donde: Uo = Uf, es dado por (c) ̇

̇

, esta dado por (b)

Si se considera un tiempo infinitésimo dτ, el valor de Uo dado por (c) es un infinitésimo de orden superior frente a ̇ dado por (b) y puede por lo tanto despreciarse; luego: ARTURO COHAILA TITO

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𝑑𝑈 𝑡

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𝑒 −𝜉𝜔

𝑃 𝜏 𝑑𝜏 sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏 𝑀 𝜔𝐷

𝑡−𝜏

(3)

La respuesta para una carga arbitraria se obtiene considerando que la misma es la integral de las respuestas correspondientes a una sucesión de impulsos infinitesimales:

FIG. 3

La respuesta total es la integral de las respuestas infinitésimas dada por (3):

𝑈 𝑡

1 𝜔𝐷 𝑀

𝑡

𝑒 −𝜉𝜔

0

𝑡−𝜏

𝑃 𝜏 sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏

𝑑𝜏

(4)

Adicionalmente, hay que agregar al U(t) dado por (4) la respuesta transitoria ̇ que son independientes de debida a las condiciones iniciales en t = 0 P(t). NOTA:

Este procedimiento se basa en el principio de superposición y es valido solo para sistemas lineales

La ecuación (4) se conoce como INTEGRAL DE DUHAMEL. Cabe destacar que esta ecuación es completamente general y puede aplicarse a cualquier tipo de carga pero normalmente se la utiliza para tratar impulsos o efectos transitorios ya que para condiciones de una carga armónica en régimen ya se cuenta con la solución general analizada anteriormente. La integral de ARTURO COHAILA TITO

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DUHAMEL es un caso particular de la integral de Convolucion entre dos funciones, la de carga y la de la respuesta a un impulso unitario. Aquellos casos en que la variación de la carga no es una función sencilla como para aproximarla por alguno de los casos cuya solución se conoce, la solución puede obtenerse evaluando la integral de Duhamel por algún procedimiento numérico (método de los trapecios, Simpson, etc.). Estrictamente, la Integral de Duhamel sólo resulta conveniente para calcular la respuesta en un instante dado perfectamente definido, es decir para un instante “t” dado. Partiendo de la expresión (4) se han desarrollado técnicas de recurrencia que permiten obtener ∆ a partir de que permiten calcular en forma numérica la Integral de Duhamel para todos los valores de la variable t. En el caso de cargas impulsivas el valor máximo de la respuesta, que constituye el principal interés práctico, ocurre poco tiempo después de iniciada la aplicación de la carga y el amortiguamiento no alcanza a reducir significativamente su efecto de reducción de la respuesta. Si no se considera amortiguamiento la expresión (4) se simplifica y toma la forma:

𝑈 𝑡

1 𝜔𝐷 𝑀

𝑡 0

𝑃 𝜏 sin 𝜔𝐷 𝑡 − 𝜏

𝑑𝜏

(5)

La integral de la (5) está resuelta en forma analítica exacta para una cantidad de casos típicos de cargas impulsivas. Varias soluciones explícitas de estos resultados están dadas en la Tabla 2.1.

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2.0 ESPECTRO DE RESPUESTA ELASTICO En general los diagramas de respuesta espectrales se preparan calculando la respuesta, a una excitación especifica, de un sistema con un solo grado de libertad con varios valores de amortiguación. Para determinar la respuesta del sistema se aplica un procedimiento de integración numérica con intervalos de tiempo corto. El procedimiento de integración numérica se continúa hasta completar el registro total del terremoto. El valor máximo de la función de interés es registrado como la respuesta espectral del sistema para esa excitación. Cambiando los parámetros del sistema, para cambiar su frecuencia natural, el proceso se repite para registrar otro valor de la respuesta espectral. Este proceso se continua, hasta la región de todas las frecuencias de interés ha sido cubierta y los resultados representados en un grafico. Debido a que cada movimiento sísmico es diferente, este proceso tendría que repetirse para todos los que fueran de interés. 3.0 ESPECTRO DE RESPUESTA INELASTICO Supone que el oscilador de un grado de libertad exhibe comportamiento nolineal, es decir que la estructura puede experimentar deformaciones en rango plástico por acción del terremoto. Este tipo de espectros son muy importantes en el diseño sismorresistente, dado que por razones prácticas y económicas la mayoría de las construcciones se diseñan bajo la hipótesis que incursionarán en campo plástico. Como ejemplo, podemos mencionar los espectros de ductilidad (recordemos que ductilidad de desplazamientos es la relación entre el desplazamiento máximo que experimenta la estructura y el desplazamiento de fluencia). Estos espectros representan la ductilidad requerida por un terremoto dado en función del periodo de vibración de la estructura y se grafican usualmente para distintos niveles de resistencia. También, se construyen espectros de aceleración, desplazamiento de fluencia o desplazamiento último de sistemas inelásticos, en donde se consideran distintos niveles de ductilidad o distintos tipos de comportamiento histérico de la estructura, como se indica en la Figura A. NOTA:

Los modelos histerético indican la relación entre la fuerza restitutiva Fs y el desplazamiento u. En una estructura lineal y elástica se verifica que Fs = k u, siendo k la rigidez, mientras que en sistemas no-lineales que incursionan en rango plástico, la fuerza Fs es una función no-lineal de u y de la historia de desplazamientos experimentados previamente (fenómeno de histéresis ). En este último caso, la relación Fs-u es mucho más compleja y se define mediante modelos histeréticos como los indicados en la Figura A.

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FIG. A

4.0 ESPECTRO DE RESPUESTA NORMA E-030 Siguiendo las indicaciones de la Norma Técnica E-030 de Diseño Sismorresistente se emplea el siguiente espectro: -

Para cada una de las direcciones horizontales analizadas se utilizara un espectro inelástico de pseudo-aceleraciones definido por: 𝑆𝑎

-

𝑍𝑈𝐶𝑆 𝑔 𝑅

Para análisis en la dirección vertical podrá usarse un espectro con valores iguales a los 2/3 del espectro empleado para las direcciones horizontales.

Espectro Elástico de la Norma Peruana

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5.0 GRAFICO DE ACELEROGRAMAS

Acelerograma del terremoto de Lima del 03/10/74, registrado en el Parque de la Reserva. Componente E-W (registro rotado de su dirección original N82°W).

6.0 HISTERESIS Y DIAGRAMA DE HISTERESIS  Curva de Histéresis Una curva de Histéresis no es más que el grado de deterioro en la relación de la deformación – carga aplicada en los materiales y para los elementos estructurales es la degradación de rigidez en la ductilidad de la disipación de energía sísmica.

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7.0 COMPORTAMIENTO INELASTICO DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO

7.1 Comportamiento Inelástico Obsérvese que nada de lo que se estudia en este tema es aplicable a los materiales frágiles. Para que los conceptos y soluciones que se dan sean aplicables a un material dado, este debe presentar siempre algo de ductilidad, es decir, ha de tener un punto de cedencia y una zona de deformación inelástica o plástica en los diagramas de ensayo a esfuerzo simple. 7.2 Modelo Inelástico de Secciones y Elementos  Momento Flector y Curvatura Este caso se refiere a un elemento estructural de concreto reforzado sometido a la acción de un momento flector. En el eje de las ordenadas se aprecia el momento flector M mientras que en las abscisas se aprecia la curvatura φ resultante. Este es el llamado diagrama Momento – Curvatura (M-φ) que desempeña un importante papel en la definición de la ductilidad. Si no hay refuerzo longitudinal, el comportamiento es frágil; ante un pequeño valor de momento flector el elemento estructural se rompe. Si hay refuerzo, el comportamiento estructural depende de la cantidad de refuerzo, del valor de f`c, del límite de fluencia del acero de refuerzo. En la gráfica siguiente se aprecia que al inicio para pequeños valores de momento flector, la relación M-θ es sensiblemente lineal; a mayores valores de momento, se comienza a presentar no linealidad. Cuando el acero llega a su límite de fluencia, hay un quiebre brusco de la pendiente. Por las razones mencionadas, es usual idealizar la relación M- θ como un proceso bilineal. Se aprecia en la figura un valor de curvatura de fluencia θ y y un valor último de la curvatura θu. En cuanto mayor sea θu, mayor la energía bajo la curva, por lo tanto mayor la capacidad de disiparla.

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 Diagrama Simplificado Diagrama idealizado por la unión de trazos rectos entre los puntos notables del diagrama momento curvatura, de donde se obtiene la capacidad de rotación inelástica de los elementos.

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7.3 Modelo Inelástico de los Elementos Unidimensionales (vigas – columnas) La ductilidad de la curvatura está asociada directamente con la capacidad de rotación de un elemento estructural sometido a la acción de un momento flector. En el caso sísmico, el sistema estructural es sometido a violentos sacudimientos que implican desplazamientos horizontales de mayor o menor magnitud. Para analizar la ductilidad a la curvatura en un elemento de concreto reforzado, se deben tener en cuenta las deformaciones que la flexión introduce en la sección transversal del elemento estructural, así como las zonas que sufren mayor daño, que son las adyacentes a los nudos en una longitud determinada “L”; para un mejor análisis se puede establecer una zona de daño equivalente donde se concentre toda la deformación inelástica, en la cual el daño y la curvatura se asuman constantes. Esta zona se denomina rótula plástica; a la cual le corresponde una longitud equivalente “Lp” asumiéndose igual a 0.5h, donde h es el peralte del elemento (viga y/o columna).

8.0 DUCTILIDAD DE ELEMENTOS DE CONCRETO ARMADO La relación esfuerzo-deformación en un material dúctil se puede representar aproximadamente mediante el diagrama ideal de la figura A-1

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La zona elástica del diagrama es el segmento de pendiente E, modulo elástico del material. La zona plástica también es una línea recta que empieza en el punto de cedencia y tiene una pendiente C. esta pendiente es mucho menor que E, por lo que el aumento de esfuerzo necesario para producir un incremento de deformación determinado, es mucho menor en la zona plástica que en la elástica, pero siempre es necesario un incremento de esfuerzo, aunque sea pequeño, para producir un incremento de deformación. Un material en el que C sea nulo se llama elasto-plastico perfecto; en un material de este tipo, sobrepasado el punto de cedencia, la deformación puede seguir aumentando indefinidamente sin aumento ulterior del esfuerzo FACTOR DE DUCTILIDAD

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DUCTILIDAD Y DEMANDA SISMICA EN ESTRUCTURAS

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9.0 DECREMENTO LOGARITMICO Un método práctico para determinar experimentalmente el coeficiente de amortiguación de un sistema consiste en iniciar su vibración libre, obtener una representación grafica del movimiento vibratorio y medir la proporción en que decrece la amplitud del movimiento. Esta proporción puede ser expresada, convenientemente por el decremento logarítmico , que se define como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes máximas consecutivas y1 e y2 fig(B) en vibración libre o sea:

𝛿

𝑙𝑛

𝑦1 𝑦2

(1)

Para evaluar la amortiguación, podemos notar que cuando el factor coseno de la ecuación: 𝑦 𝑡

𝐶 𝑒 𝜉𝜔𝑡 cos 𝜔𝐷 𝑡 − 𝛼

(2) Tiene el valor unitario, el desplazamiento cae sobre puntos de la curva exponencial como se muestra en la figura (B), estos puntos se acercan, pero no coinciden exactamente con los puntos máximos del movimiento oscilatorio.

Los puntos de la curva exponencial aparecen ligeramente a la derecha de los puntos de amplitud máxima. En la práctica, en la mayoría de los casos esta discrepancia es insignificante y por lo tanto los puntos de la curva , pueden aceptarse como coincidentes con los puntos de amplitud máxima. De manera que podemos escribir, para dos desplazamientos máximos consecutivos, y1 en el instante t1 e y2, tD segundos después, 𝑦1

𝐶 𝑒 −𝜉𝜔𝑡1 (3)

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e 𝐶 𝑒 −𝜉𝜔

𝑦2

𝑡1+𝑡𝐷

(4)

Dividiendo estas dos amplitudes máximas y tomando logaritmos naturales obtenemos: 𝛿

𝑙𝑛

𝑦1 𝑦2

𝜉𝜔𝑡𝐷

(5)

O sustituyendo tD , el periodo con amortiguación, por su valor de la ecuación 2𝜋 𝜔𝐷

𝑡𝐷

2𝜋 𝜔 1 − 𝜉2 (6)

Tenemos:

𝛿

2𝜋𝜉/ 1 − 𝜉 2

(7) Como se puede ver, la razón de amortiguación puede ser calculada a partir de la ecuación (7) después de haber determinado experimentalmente dos amplitudes máxima del movimiento vibratorio libre del sistema. Para valores pequeños de la razón de amortiguación la ecuación (7) se puede aproximar por: 𝛿

2𝜋𝜉

10.0 FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA

Es el coeficiente entre el máximo coeficiente desplazamiento dinámico y el que produciría la carga en forma estática:

𝐹𝐴𝐷

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𝑥 𝑡 𝑚𝑎𝑥 𝑥𝑒𝑠𝑡

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