Probabilidad 1

UNIVERSIDAD AUTONOMA AGRARIA “ANTONIO NARRO” DIVISION DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y CÁLCULO PROBABILIDAD Ing Alberto Rdz Hdz

PROBABILIDAD Sea E un experimento y sea S un espacio muestral asociado con E, con cada evento (suceso) A asociamos un número real, designado por P(A) y llamado la probabilidad de A. Que satisface las siguientes propiedades: a) 0  P( A)  1. b) P(S) = 1. c) Si  es el conjunto vacío, entonces, P(  ) = 0. d) Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces:

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B).

e) Si A y B son dos eventos que se excluyen mutuamente, entonces,

P( A  B)  P( A)  P( B)

f) Si A, B, y C, son tres sucesos cualesquiera, entonces,

P( A  B C)  P( A)  P( B)  P(C)  P( A  B)  P( A C)  P( B C)  P( A  B C). g) Si A es el suceso complementario de A, entonces, P(A) = 1 - P ( A ). h) Si un experimento puede dar como resultado cualquiera de N resultados diferentes igualmente probables, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces, la probabilidad del evento A es:

P( A) 

n N

i) Eventos independientes. Los eventos A y B son independientes si el echo de que ocurra uno de ellos no afecta a la probabilidad de que ocurra el otro, esto es,

P( A  B)  P( A) P( B).

Ejemplos 1. Si se lanza una moneda dos veces, a) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra una cara? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos una cara? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cuando más una cara? d) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra más de una cara? 2. De una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas, y 5 azules se extrae una al azar. Determinar la probabilidad de que sea (a) roja, (b) blanca, (c) azul, (d) no roja, y (e) roja o blanca. Sol. 0.4, 0.27, 0.33, 0.6, 0.67. 3. Un dado está cargado de manera que es doble mente probable que ocurra un número par que un número impar. Si E es el evento que ocurra un número inferior a 4 en un solo lanzamiento del dado. a) Si E es el evento que ocurra un número inferior a 4 en un solo lanzamiento del dado. Encuentre la P(E). b) Sea A el evento que aparezca un número par y B el evento de que se presente un número divisible entre 3. Encuentre P( A  B) y P( A  B)

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4. Una combinación de dulces contiene 6 mentas, 4 chiclosos y 3 chocolates. Si una persona elige al azar uno de estos dulces, encuentre la probabilidad de que escoja a) una menta, b) un chicloso o un chocolate. 5. La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 2/3 y la probabilidad de que apruebe inglés es de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de 1/4, ¿cuál es la probabilidad de que Paula apruebe cuando menos uno de estos cursos? 6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 ú 11 puntos, cuando se lanza un par de dados? 7. Un sistema contiene dos componentes A y B, y se conecta de manera que éste funciona si cualquiera de los componentes funciona. Se sabe que la probabilidad de que A funcione es 0.9 y la de B es 0.8 y la probabilidad de ambas es 0.72. Determinar la probabilidad de que el sistema funcione. 8. Si las probabilidades de que un mecánico automotriz atienda a 3, 4, 5, 6, 7, 8 o más automóviles en un día de trabajo son, respectivamente, de 0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10, y 0.07, ¿cuál es la probabilidad de que atienda cuando menos 5 automóviles en su siguiente día de trabajo? 9. Si la probabilidades de que adquiere un automóvil nuevo elija el color verde, blanco, rojo, o azul son, respectivamente, de 0.09, 0.15, 0.21, y 0.23, ¿cuál es la probabilidad de que un comprador adquiera un automóvil nuevo en alguno de estos colores? 10. Determine la probabilidad para cada uno de los siguientes sucesos: a) La aparición en una sola tirada de dos dados de una suma de 8 puntos. b) Un cerrojo no defectuoso a extraer de una población, si de 600 ya examinados 12 fueron defectuosos. c) La aparición de al menos una cara en 3 lanzamientos de una moneda. d) La aparición de águila en el siguiente lanzamiento de una moneda, si en 100 lanzamientos previos aparecen 56 caras. 11. En una escuela preparatoria se gradúan 100 estudiantes, 54 estudiaron matemáticas, 69 historia y 35 ambas materias. Si se selecciona aleatoriamente uno de estos estudiantes, encuentre la probabilidad de que: a) se haya dedicado a matemáticas o historia; b) no haya cursado ninguna de estas materias; c) haya estudiado historia pero no matemáticas. 12. Entre los números 1, 2, 3, ..., 50, se escoge un número al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escogido sea divisible por 6 o por 8? Sol. 0.24. 13. Dos tiradores tienen la misma probabilidad de dar en el blanco y esta es de 0.4. Los tiradores deben disparar alternadamente un máximo de dos disparos y el que de en el blanco obtiene un premio. Hallar la probabilidad de que halla un ganador. 14. La probabilidad de que una industria norteamericana se ubique en Munich es 0.7, la probabilidad de que se ubique en Bruselas es 0.4 y la probabilidad de que se ubique en Munich o Bruselas o en ambas es 0.8, ¿Cuál es la probabilidad de que la industria se ubique (a) en ambas ciudades? (b) En ninguna de estas ciudades?


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15. Una urna contiene 75 canicas: 35 son azules y 25 de éstas canicas azules están vetadas. El resto de ellas son rojas, y 30 de éstas también están vetadas. Las canicas que no están vetadas son transparentes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar: a) una canica azul vetada; b) una canica roja transparente; c) Una canica vetada. Independencia 16. De una caja que contiene dos artículos defectuosos y tres no defectuosos se extraen sucesivamente, al azar y sin reemplazo, tres artículos. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener el primero defectuoso el segundo bueno y el tercero defectuoso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sen buenos? 17. Una caja contiene 6 bolas rojas, 4 azules y 5 blancas. Si se extraen 3 bolas sucesivamente y al azar, encuentre la probabilidad de que la extracción sean en el orden roja, blanca y azul. a) con sustitución. b) Sin sustitución. 18. Dos bulbos defectuosos se confunden con dos buenos. Los bulbos se prueban uno por uno, hasta encontrar los defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último bulbo defectuoso en la segunda prueba? 19. Se tienen 80 artículos sin defectos y 20 artículos defectuosos. Si escogemos 2 artículos al azar sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos? Probabilidad Condicional 20. La probabilidad de que un automóvil al que se llena el tanque de gasolina necesite también un cambio de aceite es de 0.25; la de que requiera un nuevo filtro de aceite, de 0.40 y de que le haga falta tanto cambio de aceite como de filtro, de 0.14. a) Si debe cambiarse el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que necesite un filtro nuevo? b) Si necesita un filtro nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que requerirá que se le cambiarse el aceite? 21. En un experimento para estudiar la relación entre la hipertensión y el hábito de fumar, se reunieron los siguientes datos en 180 individuos:

Hipertenso No hipertenso

No fumadores

Fumadores moderados

Fumadores empedernidos

21 48

36 26

30 19

Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encuentre la probabilidad de que la persona: a) experimente hipertensión, dado que es un fumador empedernido; b) sea un no fumador, dado que no ha presentado problemas de hipertensión. . 22. Suponga el lanzamiento de tres monedas. Sea A el evento de que cae a lo más un sello y sea B el evento en la que la primera moneda cae sello. Determine P(A/B). 23. Un maestro lanza dos dados sobre la mesa, mira los números que salieron y los cubre con la mano para que sus alumnos no lo vean. Entonces, les pregunta lo siguiente: a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dados muestre un cuatro y el otro un cinco?


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b) Suponga que el maestro le proporciona a sus alumnos la información de que en uno de los dados salió el cinco. Conociendo este dato, ¿cuál es la probabilidad de que el otro dado muestre el cuatro? 24. En cierta universidad de 5000 alumnos, 3000 son menores de 21 años, 750 estudian estadística, 150 estudian estadística y son menores de 21 años. Si se seleccionamos un alumno al azar, a) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie estadística? b) Si sabemos que es menor de 21 años, ¿cuál es la probabilidad de que estudie estadística? 25. En cierta escuela el 45% de los alumnos tienen licencia de manejar, el 35% tiene miopía, el 5% de los que tienen licencia de manejar tienen miopía. a) Si se selecciona a un alumno al zar y sabemos que tiene miopía, ¿cuál es la probabilidad de que tenga licencia para manejar? b) Si sabemos que tiene licencia de manejo, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga miopía? 26. Se lanza un dado cuyas caras 1, 2, 3 son blancas y las caras 4, 5, 6 son negras. Si sabemos que el dado muestra una cara negra, ¿cuál es la probabilidad de que sea impar? 27. Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad de los suburbios, la probabilidad de que el esposo vote en alguna elección es de 0.21, la de que su esposa lo haga, de 0.28 y la de que ambos voten, de 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Al menos un miembro de la pareja de casados vote? b) Vote una esposa, dado que su esposo lo hace? c) Vote un esposo, dado que su esposa no lo hace? 28. La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de televisión es de 0.4 y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga es de 0.5. La probabilidad de que un hombre vea el programa dado que su esposa lo hace es de 0.7. Encuentre la probabilidad de que: a) La pareja de casados vea el programa? b) La esposa vea el programa dado que su esposo lo hace? c) Al menos una persona del matrimonio vea el programa? 29. La probabilidad de que un vehículo que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canadá es 0.12, la probabilidad de que sea una casa rodante es 0.28 y la probabilidad de que sea una casa rodante con placas de Canadá es 0.09. ¿Cuál es la probabilidad de que (a) una casa rodante que entra a las Cavernas Luray tenga placas de Canadá? (b) un vehículo con placas de Canadá que entra a las Cavernas Luray sea una casa rodante? (c) un vehículo que entra a las Cavernas Luray no tenga placas de Canadá o que no sea una casa rodante? Teorema de Bayes 30. Un fabricante de videograbadoras compra un cierto chip de tres proveedores. Un 30% de los microcircuitos se compran al proveedor  , un 20% al proveedor  y el restante 50% al proveedor  . El fabricante tiene registros a cerca de los tres proveedores y sabe que 3% de los chips de



son defectuosos,

 produce 5% de defectuosos y  el 4%. Cuando los chips

llegan al fabricante, se colocan directamente y no son inspeccionados o identificados de algún modo por el proveedor. Se selecciona un chip para su instalación y se encuentra que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido manufacturado por el proveedor  ?


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31. El departamento de Matemáticas de una universidad tiene registros que indican que 80% de los estudiantes realizan las tareas asignadas. Además se sabe que de los alumnos que hacen las tareas 90% aprobarán el curso y solo aprobará el 50% de los estudiantes que no hicieron la tarea. Ambrosio López cursó Matemáticas el semestre pasado y aprobó el curso, ¿cuál es la probabilidad de que sí haya hecho las tareas? Sol. 0.8571. 32. El departamento de crédito de una negociación comercial, informó que 30% de sus ventas son en efectivo, 30% se pagan con cheques en el momento de la adquisición y 40% son a crédito. Se tiene que 20% de las compras son en efectivo, 90% en cheques y 60% de las compras a crédito son por más de $50. Tina Septién acaba de comprar un vestido nuevo que cuesta $120. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en efectivo? Sol. 0.1053. 33. Un equipo de béisbol juega 70% de sus partidos por la noche y 30% durante el día. El equipo gana 50% de sus juegos nocturnos y 90% de los diurnos. De acuerdo con el diario de hoy el equipo ganó ayer. ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya jugado por la noche?

Sol. 0.5645.

34. Una empresa tiene cuatro proveedores de materia prima. En la tabla que sigue se muestran las cantidades adquiridas de cada proveedor y el porcentaje de materia prima defectuosa que cada uno proporciona:

Proveedor

Porcentaje adquirido

Porcentaje defectuoso

30.0 20.0 25.0 25.0

2.50 1.75 3.00 1.00

Roberts, Inc. Asmus, Mfg. Lewis, Ltd. Melvin, Inc.

El material empleado esta mañana resultó defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya adquirido de la compañía Asmus Mfg.? 35. Suponga que se distribuyen pelotas de colores en tres cajas idénticas de la siguiente manera: Rojo Blanco Azul

Caja 1

Caja 2

Caja 3

2 1 5

4 1 4

5 4 5

Una caja se selecciona aleatoriamente, de ella se saca una pelota, también aleatoriamente, y se observa que es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja 3 sea la que se escogió? 36. Martin Coleman, gerente del departamento de crédito de Beck’s, sabe que la compañía utiliza tres métodos para conminar a pagar a las personas con cuentas morosas. De los datos que se tienen registrados, él sabe que 70% de los deudores son visitadores personalmente, 20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. Las probabilidades de recibir alguna cantidad de dinero a los pagos de una cuenta con estos tres métodos son 0.75, 0.60, y 0.65, respectivamente. El señor Coleman acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. ¿Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho por teléfono? Deudores Pagos 70% Visitados personalmente: 0.75 20% vía Telefónica: 0.60 Ing Alberto Rdz Hdz – UAAAN

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10% por Carta: 0.65 Total: 100% Deudores 37. En una muestra de 150 residentes, a cada persona se le preguntó si estaba a favor de la iniciativa de tener una sola agencia de policía en el municipio. Este está integrado por una gran ciudad y muchas poblaciones suburbanas. En la tabla se resume la residencia (en la ciudad o fuera de ésta) y las respuestas de los habitantes. Si uno de estos residentes se elige al azar, a) ¿cuál es la probabilidad de que esa persona esté a favor de la iniciativa?, b) esté a favor de la iniciativa si la persona elegida reside fuera de la ciudad? Residencia En la ciudad Fuera de la ciudad

A favor

En contra

80 20

40 10

39. Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro médico, de todos los fumadores de quien se sospecha que tenía cáncer pulmonar, el 90% lo tenía mientras que únicamente el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de los fumadores es de 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar seleccionado al azar sea fumador? 40. Una persona posee dos automóviles, un modelo compacto y uno estándar. Aproximadamente utiliza el vehículo compacto para trasladarse a su trabajo las tres cuartas partes del tiempo y el restante usa el carro más grande. Cuando emplea el carro compacto llega a su casa a las 5:30 el 75% de las veces, si utiliza el carro de tamaño estándar llega a la misma hora el 60% de las veces (pero disfruta del aire acondicionado del carro más grande) Si llega a su casa después de las 5:30, ¿cuál es la probabilidad de que haya usado el carro compacto?


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