Thifenen Norton

‫تحليل الدوائر المركبة باستخدام نظرية ثــڤينن‬ ‫هذه نظرية هامة لنها تبسط أي دائرة كهربائية مهما كانت معقدة الى دائرة مبسطة )وتسمى‬ ‫بمكافئ ثــڤينن ‪.Thevinen's Theorem‬‬ ‫هذه الدائرة تتكون من مصدر جهد ‪ VTh‬متصل على التوالي مع مقاومة مكافئة ‪ RTh‬كما موضح‬ ‫بالشكل أدناه‪:‬‬

‫ويكون العنصر المراد ايجاد التيار فيه متصل على التوالي مع مقاومة مكافئة ‪ RTh‬لتصبح الدائرة‬ ‫دائرة بسيطة ويمكن ايجاد التيار ‪ I‬المار في العنصر ‪ R‬وذلك باستخدام العلقة التالية‪:‬‬ ‫‪VTh‬‬ ‫‪RTh + R‬‬

‫=‪I‬‬

‫خطوات نظرية ثــڤينن ‪:‬‬ ‫اذا أردنا ايجاد التيار والجهد لعنصر مــــــا بين نقطتين )عقدتين( في الدائرة نتبع الخطوات‬ ‫التالية‪:‬‬ ‫‪-1‬‬

‫نزيل الفرع المطلوب ايجاد التيار فيه )نفتح الدائرة( وذلك بغرض حساب فرق‬

‫الجهد بين النقطتين ويرمز له بـــــــ )‪.(VTh‬‬ ‫‪-2‬‬

‫عمل قصر على مصادر التغذية الموجودة في الدائرة )أي جعل قيمتها تساوي‬

‫الصفر( وذلك بغرض حساب المقاومة الكلية للدائرة ويرمز لها ‪) RTh‬عند ايجاد ‪RTh‬‬ ‫ينظر للدائرة بين النقطتين المحصور بينهما العنصر المطلوب حساب التيار فيه(‪.‬‬ ‫‪-3‬‬

‫رسم مكافئ ثــڤينن )دائرة مكافئة( ويتكون من ‪ VTh‬كمصدر تغذية متصل على‬

‫التوالي مع ‪ RTh‬ثم العنصر المطلوب حساب التيار فيه كما في الشكل أعله‪ ,‬ويصبح‬ ‫قيمة التيار المار في العنصر المحصور بين النقطتين كما يلي‪:‬‬ ‫‪VTh‬‬ ‫‪RTh + R‬‬

‫ملحوظة‪:‬‬

‫=‪I‬‬

‫نجد أن نظرية ثــڤينن تتعامل مع جزء من الدائرة المركبة ‪ Complex Circuit‬هذا الجزء أو‬ ‫العنصر سوف نتعامل على أساس أنه يمثل خرج الدائرة ‪.output‬‬ ‫‪-1‬‬

‫عند عمل ‪ Open‬للدائرة معنى ذلك إنا أزلنا الحمل من الدائرة بغرض ايجاد‬

‫فرق الجهد على الحمل وهو مايطلق عليه ‪. VTh‬‬ ‫‪-2‬‬

‫الخطوة الثانية هو ايجاد المقاومة الكلية للدائرة عبر )أي بين نقطتي اتصال‬

‫الحمل( )أطراف الحمل( وهي ‪ RTh‬بعد عمل قصر على مصادر الجهد أو فتح مصادر‬ ‫التيار‪.‬‬ ‫‪-3‬‬

‫مكافئ ثــڤينن دائرة مكافئة عبارة عن دائرة توالي بسيطة ‪ ,‬مكونة من مصدر‬

‫تغذية ‪ VTh , RTh‬ثم ‪ RL‬وهي نفس دائرة ثــڤينن‪.‬‬ ‫مثال )‪:(1‬‬ ‫في الدائرة التالية أوجد قيمة التيار في الفرع ‪ a,b‬باستخدام ثــڤينن‪:‬‬

‫الحل‬ ‫‪-1‬‬

‫نزيل الفرع ‪ a,b‬من الدائرة )‪ (open‬وذلك ليجاد فرق الجهد بين النقطتين ‪a,b‬‬

‫وهو ‪: VTh‬‬

‫ثم نحسب التيار المار في الدائرة من قانون أوم حيث أن مصدري التغذية في وضع معاكس‪:‬‬ ‫)‪10 − 5 = I × ( 4 + 8‬‬ ‫)‪(10 − 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪∴I‬‬ ‫=‬ ‫‪A‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫ايجاد ‪ Va‬من جهة المصدر الكبر كما يلي‪:‬‬

‫‪Va = 10 − I × 4‬‬ ‫‪5 ‬‬ ‫‪Va = 10 −   × 4‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪Va = 8.33V‬‬

‫ولو أردنا حساب الجهد عند النقطة ‪ a‬من جهة الجهد الصغر فيجب أن نلحظ ذلك )أن الجهد‬ ‫عند النقطة ‪ a‬أعلى من قيمة المصدر الصغر وهو ‪ 5V‬لن التيار دائما يبدأ حركته من الجهد‬ ‫الكبر الى الجهد القل وبالتالي يصبح ‪ Va‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪Va = 5 + I ×8‬‬ ‫‪8 ‬‬ ‫‪Va = 5 +   ×8‬‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪Va = 5 + 3.33 ≈ 8.33V‬‬

‫وهي نفس القيمة التي حصلنا عليعا عند ايجاد ‪ Va‬من جهة المصدر الكبر في القيمة‪.‬‬ ‫‪-2‬‬

‫حساب ‪ RTh‬بعد قصر المصادر)‪:(Short‬‬ ‫‪RTh = Rab‬‬

‫وبعد عمل قصر على مصادر الدائرة تصبح الدائرة على الصورة‪:‬‬

‫أو تكافئ الدائرة‪:‬‬

‫وعلى ذلك يمكن حساب المقاومة ‪ RTh‬كالتي‪:‬‬ ‫‪= 2.66 Ω‬‬

‫‪-3‬‬

‫)‪( 4 × 8‬‬ ‫)‪( 4 + 8‬‬

‫= ‪∴ RTh = Rab‬‬

‫حساب مكافئ ثــڤينن من الدائرة الكهربائية المبينة في الشكل أدناه‪:‬‬

‫ويمكن حساب التيار في الفرع ‪ a,b‬كالتي‪:‬‬ ‫‪VTh‬‬ ‫‪8.33‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.96 A‬‬ ‫)‪RTh + 6Ω (2.66 + 6‬‬

‫= ‪I ab‬‬

‫مثال )‪:(2‬‬ ‫بتطبيق نظرية التركيب على الدائرة الموجودة في المثال السابق‪:‬‬ ‫نجد أن الدائرة السابقة عبارة عن دائرتين بحيث كل دائرة تحتوي على مصر تغذية واحد‪:‬‬ ‫الدائرة الولى‪ :‬يتم ازالة المصدر ‪ E2‬وقصر الدائرة عنده أي تغذى الدائرة عن طريق المصدر‬ ‫‪ E1‬كما هو موضح أدناه‪:‬‬

‫يمكن حساب التيار ‪ Iab‬كالتي‪:‬‬ ‫)‪(8 × 6‬‬ ‫‪= 7.43 Ω‬‬ ‫)‪(8 + 6‬‬

‫‪RT = 4 +‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪= 1.345 A‬‬ ‫‪7.43‬‬ ‫‪ 8 ‬‬ ‫‪= 1.345 × ‬‬ ‫‪ = 0.77 A‬‬ ‫‪8 +6 ‬‬

‫= ‪IT1‬‬ ‫‪I ab 1‬‬

‫الدائرة الثانية‪:‬‬ ‫عندما يقصر المصدر ‪ E1‬ويتم ارجاع المصدر ‪ E2‬ليغذي الدائرة‪:‬‬

‫يمكن حساب التيار ‪ Iab2‬كالتي‪:‬‬ ‫)‪( 6 × 4‬‬ ‫‪= 10 .4Ω‬‬ ‫)‪( 4 + 6‬‬

‫‪RT = 8 +‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪= 0.48 A‬‬ ‫‪10 .4‬‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫‪= 0.48 × ‬‬ ‫‪ = 0.192 A‬‬ ‫‪4 +6 ‬‬

‫= ‪IT‬‬ ‫‪I ab 2‬‬

‫الخطوة الثالثة‪ :‬نوجد المجموع الجبري للتيارات المارة في الفرع ‪ ab‬نتيجة وجود مصدرين‬ ‫كمايلي مع مراعاة ان اتجاه التيار واحد أي يتم جمعهم كما يلي‪:‬‬ ‫‪I ab = 0.77 + 0.192 = 0.962 A‬‬

‫وهي نفس الجابة التي حصلنا عليها في المثال السابق‬ ‫مثال )‪:(3‬‬ ‫أوجد التيار المار في المقاومة ‪ RL‬في الدائرة أدناه بالطرق التالية‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬

‫طريقة توزيع التيار‬

‫)‪(2‬‬

‫طريقة ثــڤينن‬

‫)‪(1‬‬

‫باستخدام طريقة توزيع التيار نجد ان المقاومتين ‪ 12KΩ, 8KΩ‬على التوالي‬

‫الحل‬ ‫ومجموعهما على التوازي مع ‪:10KΩ‬‬ ‫‪ 10  2‬‬ ‫‪I RL = 2 × ‬‬ ‫‪ = mA‬‬ ‫‪ 10 + 20  3‬‬

‫ثانيا باستخدام نظرية ثــڤينن‬

‫الخطوة الولى‪ :‬نزع العنصر ‪ RL‬لحساب قيمة ‪ VTh‬فتصبح الدائرة كما يأتي‪:‬‬

‫‪VTh = 2mA ×10 KΩ = 20V‬‬

‫الخطوة الثانية‪:‬‬ ‫فتح مصدر التيار فتصبح الدائرة كما يأتي‪:‬‬

‫ويمكن حساب ‪ RTh‬كالتي‪:‬‬ ‫‪RTh = 10 +12 = 22 KΩ‬‬

‫الخطوة الثالثة‪ :‬رسم مكافي ثفينن‪:‬‬

‫ويمكن بالتالي حساب التيار في الدائرة بتطبيق قانون أوم كمايلي‪:‬‬ ‫‪VTh‬‬ ‫‪20‬‬ ‫=‬ ‫‪RTh + R 22 KΩ + 8 KΩ‬‬

‫= ‪I‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= mA‬‬ ‫‪30 KΩ 3‬‬

‫= ‪I‬‬

‫وهي نفس النتيجة التي حصلنا عليها في السابق‪.‬‬

‫مثال )‪:(4‬‬ ‫للدائرة أدناه أحسب ‪:‬‬ ‫‪ -1‬فرق الجهد على الحمل ‪ RL‬بين النقطتين ‪D, C‬‬ ‫‪ -2‬التيار المار في الحمل ‪RL‬‬

‫الحل‬ ‫نزيل الفرع ‪ RL‬بين النقطتين ‪ D,C‬وذلك لحساب ‪ VTh‬حيث‪ :‬عن طريق ‪KVL‬‬ ‫‪VTh = VC − V D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪VS‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ R3 ‬‬ ‫‪ R4‬‬ ‫‪VS − ‬‬ ‫‪Vth = ‬‬ ‫‪ R 2 + R4‬‬ ‫‪ R1 + R3 ‬‬

‫ويمكن اعادة توضيح الدائرة كمايلي‪:‬‬

‫‪VT h = VC − VD‬‬ ‫‪ 680 ‬‬ ‫‪ 560 ‬‬ ‫‪Vt h = ‬‬ ‫‪ × 2 4− ‬‬ ‫‪× 24‬‬ ‫‪ 3 3 0+ 6 8 0‬‬ ‫‪ 6 8 0+ 5 6 0‬‬ ‫‪{VT h = 1 6.1 5 8− 1 0.8 3 8= 5.3 2V‬‬

‫ثم نقصر المصدر للجهد =‪ 0‬ليجاد قيمة ‪ RTh‬عند النظر بين النقطتين ‪C, D‬‬

‫ويمكن حساب ‪ RTh‬كمايلي‪:‬‬ ‫‪R1 R3‬‬ ‫‪R2 R4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪R1 + R3 R2 + R4‬‬

‫= ‪RTh‬‬

‫‪ 330 x680   680 x560 ‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 330 + 680   680 + 560 ‬‬ ‫‪RTh = 529 .27 Ω‬‬

‫الخطوة الثالثة‪:‬‬ ‫رسم مكافئ ثفينين‪:‬‬

‫ويمكن بالتالي حساب التيار في الفرع ‪ C, D‬من دائرة مكافئ ثفينن بتطبيق قانون أوم‪:‬‬ ‫‪VTh‬‬ ‫‪5.32‬‬ ‫=‬ ‫‪= 3.5mA‬‬ ‫‪RTh + R L 629 .27 + 1000‬‬

‫مثال)‪:(5‬‬ ‫من الدائرة بالشكل التالي أوجد دائرة ثفينين المكافئة‬

‫= ‪I CD‬‬

‫الحل‬ ‫نحذف المقاومة ‪ Rab‬نوجد ‪ VTh‬عن طريق نظرية التركيب وذلك لوجود مصدري جهد‪:‬‬ ‫تأثير مصدر الجهد ‪: 6V‬‬ ‫المقاومة ‪ 1.4K‬تلغى لنها دائرة مفتوحة ومنها‬

‫‪V Th =V6 Ω =V4 KΩ‬‬

‫‪4KΩ // 6KΩ = 2.4KΩ‬‬ ‫وباستخدام قانون مجزئ الجهد‪:‬‬

‫)‪(6 x 2.4 KΩ‬‬ ‫‪= 4.5V‬‬ ‫) ‪(2.4 K + 0.8 K‬‬

‫= ‪VTh‬‬

‫تأثير مصدر الجهد ‪: 10V‬‬

‫‪V Th =V6 KΩ‬‬

‫‪6KΩ//0.8KΩ = 0.706KΩ‬‬ ‫)‪(10 × 0.706 KΩ‬‬ ‫‪= 1.5V‬‬ ‫) ‪(0.706 K + 4 K‬‬

‫نلحظ أن القطاب في قيمتي الجهد‬

‫‪V Th , V Th‬‬

‫= ‪V Th‬‬

‫عكس بعضها‬

‫جهد ثفنين الكلي‪:‬‬ ‫‪VTh =V Th −V Th = 4.5 −1.5 = 3V‬‬

‫نوجد ‪ RTh‬بعد قصر المصادر‬

‫‪0.8 KΩ// 4 KΩ// 6 KΩ = 0.6 KΩ‬‬ ‫‪RTh = 0.6 KΩ+1.4 KΩ = 2 KΩ‬‬

‫دائرة ثفنين المكافئة تكون بالشكل التالي‪:‬‬

‫‪HW‬‬ ‫أوجد دائرة ثفينين المكافئة للدوائر الكهربائية أدناه‪:‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪ -4‬أوجد التيار المار في المقومة ‪ Ω6‬عن طريق نظرية ثفينين‬

‫‪ -5‬أوجد دائرة ثفينن المكافئة للدائرة أدناه خارج المقاومة ‪R‬‬

‫نظرية نورتن ‪: Norton's Theorem‬‬ ‫هي ايضا نظرية لتحليل الدوائر الدوائر الكهربائية‪ ,‬فدائرة نورتن تحتوي على مقاومة تسمى‬ ‫مقاومة نورتن ‪ RN‬موصلة على التوازي مع مصدر تيار نورتن ‪ . IN‬أي أن أي دائرة ذات تيار‬ ‫مستمر يمكن استبدالها بدائرة نورتن كما في الشكل التالي‪:‬‬

‫وباستخدام نظرية تحويل المصادر يمكن تحويل دائرة ثفينين الى دائرة نورتن والعكس صحيح‬ ‫كمايلي‪:‬‬

‫خطوات الحل ‪ :‬في طريقة نورتن لتختلف كثيرا عن طريقة ثفينن وهي كما يلي‪:‬‬ ‫نفس خطوات ثفنين ازالة المقاومة ‪ RL‬وايجاد ‪ RN‬حيث ‪RTh=RN‬‬ ‫حساب ‪ IN‬وذلك بارجاع كل المصادر الى حالتها الصلية ومن ثم ايجاد تيار ‪short circuit‬‬ ‫وهو التيار المار بين النقطتين المحدتين‪.‬‬ ‫ثم نرسم الدائرة المكافئة مع الخذ بالعتبار ارجاع الجزء المحذوف من الدائرة‪.‬‬ ‫مثال)‪:(1‬‬ ‫أوجد دائرة نورتن المكافئة للدائرو أدناه خارج المقاومة ‪: RL‬‬

‫الحل‬ ‫‪-1‬‬

‫نقطع الجزء من الدائرة المراد ايجاد دائرة نورتن له‪:‬‬

‫‪-2‬‬

‫نحذف المصدر بالدائرة ليجاد ‪RN‬‬

‫‪RN=3//6 = 2Ω‬‬

‫‪ -3‬ارجاع المصادر ليجاد تيار نورتن وهو التيار مابين النقطتين ‪ b, a‬بعد قصر النقطتين‬ ‫‪ a, b‬من الدائرة نلحظ ان ان تيار نورتن الغى المقاومة ‪ ohm 6‬بسبب الـــــ ‪short‬‬ ‫‪ circuit‬فان تيار نورتن أصبح هو تيار المصدر ويساوي‪:‬‬

‫‪9V‬‬ ‫‪= 3A‬‬ ‫‪3Ω‬‬

‫= ‪IN‬‬

‫وفي النهاية نحصل على دائرة نورتن المكافئة‬

‫مثال )‪:(2‬‬ ‫أوجد التيار المار في المقاومة ‪ Ω9‬عن طريق دائرة نورتن المكافئة بالشكل أدناه ‪:‬‬

‫الحل‬

‫‪R N = 5 + 4 = 9Ω‬‬

‫نلحظ أن تيار نورتن هو نفس التيار المار في المقاومة ‪ 4Ω‬لذا يمكن استخدام قانون مقسم‬ ‫التيار‪:‬‬

‫‪= 5.556 A‬‬

‫)‪( 5Ω ×10 A‬‬ ‫)‪( 5Ω + 4Ω‬‬

‫= ‪IN‬‬

‫دائرة نورتن المكافئة‪:‬‬

‫وليجاد التيار المار في المقاومة ‪ 9Ω‬عن طريق مجزئ التيار‪:‬‬ ‫)‪(5.556 × 9‬‬ ‫‪= 2.778 A‬‬ ‫)‪(9 + 9‬‬

‫= ‪I 9 ohm‬‬

‫مثال)‪:(2‬‬ ‫أوجد دائرة نورتن بين ‪ a,b‬في الجزء المظلل في الشكل أدناه‪:‬‬

‫الحل‬ ‫الجزء المراد ايجاد دائرة نورتن المكافئة له هو‬

‫ليجاد ‪: RN‬‬

‫‪R N = 6Ω// 4Ω‬‬ ‫)‪( 6 × 4‬‬ ‫‪= 2 .4 Ω‬‬ ‫)‪( 6 + 4‬‬

‫= ‪RN‬‬

‫ليجاد تيار نورتن نستخدم نظرية التراكب وذلك لوجود مصدرين في الدائرة‪:‬‬ ‫أول‪ :‬تأثير مصدر الجهد ‪: 7V‬‬ ‫تيار نورتن تيار ‪ short‬لذلك ألغى المقاومة ‪6Ω‬‬

‫‪7V‬‬ ‫‪= 1.75 A‬‬ ‫‪4Ω‬‬

‫= ‪IN‬‬

‫ثانيا تأثير مصدر التيار ‪: 8A‬‬

‫نلحظ أن المقاومتين ‪ Ω, 6 Ω 4‬ليس لهما تأثير لوجود ‪short circuit‬‬ ‫‪I N = 8A‬‬

‫ليجاد تيار نورتن الكلي‪:‬‬ ‫‪I N = I N − I N = 8 −1.75 = 6.25 A‬‬

‫تم طرح التيارين لنهما في اتجاه مختلف‪.‬‬

‫‪HW‬‬ ‫‪-1‬أوجد دائرة نورتن المكافئة للدائرة بالشكل أدناه‪:‬‬

‫‪-2‬أوجد دائرة نورتن المكافئة للدائرة بالشكل أدناه‪:‬‬